Đề học sinh giỏi huyện Toán 7 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Tiên Du – Bắc Ninh

UBND HUYỆN TIÊN DU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/2/2023 I. PHẦN CHUNG
Câu 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A  .  .  .  . 2 3  3  4 4 5  5  6   b) B       2 2 2 1 3 5 0,5.0, 3 . 9   : 1    3  3   2  5 4 2 4 .6  9 .8 c) C   12  4
Câu 2 (3,0 điểm) Tìm x biết: 1 1 2 a)  : 2x 1   3 3 3 1 x 2  5 b)  . 9  1 x Câu 3 ab b
(2,0 điểm) Cho các số có hai chữ số a ; b bc   thỏa mãn c 0 . bc c 2 2 a  b a Chứng minh rằng  . 2 2 b  c c
Câu 4 (6,5 điểm)
Cho tam giác ABC có AB  A .
C Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm I. Trên cạnh AC
lấy điểm D sao cho AD = AB.
a) Chứng minh rằng BI = ID.
b) Tia DI cắt tia AB tại điểm E. Chứng minh rằng I  BE  I  D .
C Từ đó suy ra BD // CE.
c) Gọi H là trung điểm của EC. Chứng minh AH  B . D .
d) Cho ABC  2.AC .
B Chứng minh AB + BI = AC. II. PHẦN RIÊNG
Thí sinh lựa chọn làm một (chỉ một) câu trong hai câu sau:
Câu 5a (4,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1) Cho A     ... 
. Chứng minh rằng A  . 2 4 6 8 98 100 7 7 7 7 7 7 50
2) Tìm tất cả các số tự nhiên m và n thỏa mãn 2m  2021  n  2020  n  2022 .
Câu 5b (4,0 điểm) 1 2 3 99 100 7 1) Cho A    ... 
. Chứng minh rằng A  . 2 3 9 100 7 7 7 7 7 36
2) Tìm tất cả các sống uyên dương a , a ,..., a và b (n là số nguyên dương nào đó) thỏa mãn 1 2 n
đồng thời hai điều kiện sau: i)
b  a  a  ...  a  1. 1 2 n  1   1   1   1  ii) 1 1 ...1   2 1 .   a a a       b  1 2 n --------HẾT--------
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ............................ UBND HUYỆN TIÊN DU HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GD & ĐT
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán - Lớp 7 Câu Đáp án Điểm 1.a (1,5 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 A  .  .  .  . 2 3  3  4 4 5  5  6 1  1  1  1      0,5 2.3 3.4 4.5 5.6  1 1 1 1          2.3 3.4 4.5 5.6   1 1 1 1 1 1 1 1              0,5 2 3 3 4 4 5 5 6   1 1        2 6  1   0,5 3 1.b (1,5 điểm)   B       2 2 2 1 3 5 0, 5.0, 3 . 9   : 1    3  3  1 1 4  4    0,75 3. 25  . .3   :   2 3 3  3  1 4 3   3.5   . 2 3 4 0,5 1  15  1 2 27 0,25  . 2 1.c (1,5 điểm)  2  5 4 2 4 .6  9 .8 C   124 2 .2.34 5 4 12  3 .2  4 12 0,5 5 4 4 12 4 2 .2 .3  2 .3   2 .34 2 9 4 12 4 2 .3  2 .3  8 4 2 .3 0,5 9 4 2 .3  3 1   2   8 4 2 .3  14. 0,5 2.a (1,5 điểm) 1 1 2  : 2x 1   3 3 3 1 1  2  : 2x 1      0,25 3 3  3  1 : 2x 1  1 3 1 0,25 2x 1  3  1  2 2x 1  x    0,25 3 3     1 1   0,5 2x 1   x   3  3 1 2 0,25 Vậy x   ; . 3 3 2.b (1,5 điểm) 1 x 25   9  1 x  
1 x1 x   9  . 25   0,5   1 x2  225 0,25 1   x 15 x  14      1   x  15  x 16 0,5 Vậy x  1  4;1  6 . 0,25 3. (2,0 điểm) ab b
Cho các số có hai chữ số a ; b bc thỏa mãn  c  0 . bc c 2 2 a  b a Chứng minh rằng  . 2 2 b  c c ab b
+ Với các số có hai chữ số a ; b bc thỏa mãn
 c  0 . Ta có: bc c ab 10a  b 10a  b b    . 0,25 bc 10b  c 10b  c c
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được: 10a  b b
10a  b  b 10a a     . 0,5 10b  c c
10b  c  c 10b b 2 2 a b a b a b a Từ     .  . 0,5 2 2 b c b c b c c
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được: 2 2 2 2 a b a a  b    2 2 2 2 b c c b  c 0,5 2 2 a  b a Vậy  . 2 2 0,25 b  c c 4.1 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB  A .
C Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm
I. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB.
e) Chứng minh rằng BI = ID.
f) Tia DI cắt tia AB tại điểm E. Chứng minh rằng I  BE  I  D . C Từ đó suy ra BD // CE.
g) Gọi H là trung điểm của EC. Chứng minh AH  B . D
h) Cho ABC  2.AC .
B Chứng minh AB + BI = AC. A D C B I 0,5 H E
Vẽ hình đúng, ghi GT- KL đủ + Chứng minh A  BI  A
 DI  .cg.c 1,0 0,5
 BI  ID (hai cạnh tương ứng) 4.2 (1,5 điểm) + A  BI  A
 DI cmt  ABI  ADI 0,25 Mà 0 0
ABI  IBE  180 ; ADI  IDC  180 (kề bù) 0,25
 IBE  IDC 0,25 Chứng minh I  BE  I
 DC g. .cg 0 180  BID + IB = ID (cmt)  I
 BD cân tại I  IBD  0,25 2 0 180  CIE I  BE  I
 DC cmt  IE  IC  I
 CE cân tại I  ICE  0,25 2
Mà BID  CIE (đối đỉnh) nên IBD  ICE mà hai góc nay so le trong nên BD // CE. 0,25 4.3 (1,5 điểm) + I  BE  I
 DC cmt  BE  DC . Mà AB = AD  AB  BE  AD DC  AE  AC . 0,25 Chứng minh A  EH  A  CH  . c .
c c  AHE  AHC . 0,5 Mà 0
AHE  AHC  180 (kề bù) 0,5 0
 AHE  90  AH  EC
Lại có EC // BD (cmt)  AH  B . D 0,25 4.4 (1,5 điểm)
+ Có ABC  2.ACB hay ABI  2.DCI , mà ABI  ADI cmt  ADI  2.DCI (1) 0,5
+ Lại có ADI là góc ngoài tại D của D
 IC  ADI  DCI  DIC (2) 0,5
+ Từ (1) và (2)  DCI  DIC  D
 IC cân tại D  DI  DC
Mà DI = BI, AB = AD nên AB + BI = AD + DC = AC (đpcm) 0,5 5.1 bảng A (2,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 a) Cho A     ... 
. Chứng minh rằng A  . 2 4 6 8 98 100 7 7 7 7 7 7 50 1 1 1 1 1 1 A     ...  2 4 6 8 98 100 7 7 7 7 7 7 Ta có:  1 1 1 1 1 1  2 2 7 .A  7 .    ...    0,5 2 4 6 8 98 100  7 7 7 7 7 7  1 1 1 1 1 0,5 49A  1    ...  2 4 6 96 98 7 7 7 7 7  1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 1 
 49A  A  1    ...       ...      2 4 6 96 98 2 4 6 8 98 100  7 7 7 7 7   7 7 7 7 7 7  0,5 1  50A  1  1 100 7 1  0,5 A  . Suy ra đpcm. 50 5.2 bảng A (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên m và n thỏa mãn
2m  2021  n  2020  n  2022 .
Với m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 2m  2021  n  2020  n  2022 .
Ta xét ba trường hợp sau: 0,25
 Trường hợp 1: n  2022 , ta có:
2m  2021  2n  4042 0,5 2m  2n  6  063
Vế phải là số lẻ, mà 2n là số chẵn 2m 
là số lẻ  m  0  n  3032tm
 Trường hợp 2: 2020  n  2022 , ta có: 0,5
2m  2021  n  2020  2022  n 2m  2  019 (vô lí)
 Trường hợp 3: n  2020 , ta có:
2m  2021  4042  2n 0,5
2m  2n  2021
Vế phải là số lẻ, mà 2n là số chẵn 2m 
là số lẻ  m  0  n  1010tm
Vậy m = 0, n = 3032 hoặc m = 0, n = 1010 thỏa mãn bài ra. 0,25
5.1 bảng B (2,0 điểm) 1 2 3 99 100 7 Cho A    ... 
. Chứng minh rằng A  . 2 3 99 100 7 7 7 7 7 36 1 2 3 99 100 A     ...  2 3 99 100 7 7 7 7 7  1 2 3 99 100   7A  7.    ...    2 3 99 100  7 7 7 7 7  2 3 4 99 100  1    ...  2 3 98 99 7 7 7 7 7  2 3 4 99 100   1 2 3 99 100 
 7A  A  1    ...      ...      2 3 98 99 2 3 99 100  7 7 7 7 7   7 7 7 7 7  1 1 1 1  1 100 6 A  1    ...   0,75 2 3 9 7 7 7 7 8 99 100 7 7 Đặ 1 1 1 1 1 t B  1   ...  2 3 98 99 7 7 7 7 7  1 1 1 1 1   7B  7. 1    ...    2 3 98 99  7 7 7 7 7  1 1 1 1  7 1    ... 2 3 98 7 7 7 7  1 1 1 1   1 1 1 1 1 
 7B  B  7 1    ...  1    ...      2 3 98 2 3 98 99  7 7 7 7   7 7 7 7 7  1  6B  7   7 99 7 7 0,75  B  6 Lại có: 100 7 7 6A  B 
 B  6A   A  . 0,5 100 7 6 36 5.2 bảng B (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương a ,a ,...,a và b (n là số nguyên dương nào đó) 1 2 n
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: iii)
b  a  a  ...  a  1. 1 2 n  1   1   1   1  iv) 1 1 ...1   2 1 .   a a a       b  1 2 n
Vì a , a ,..., a và b là các số nguyên dương (n là số nguyên dương nào đó) thỏa 1 2 n mãn 1 1 1 1 2  1  4
b  a  a  ...  a  1  b  3 
 1 1   2 1  * 0,75 1 2 n     b 3 b 3 3  b  3 Lại có:
a  a  ...  a  1 1 2 n 1 1 1  0    ...   1 0,25 a a a 1 2 n  1 0,75 0  1 1  a 1   1 0  1 1   1   1   1    a
 1 1 ...1  1 ** 2   a a a   1   2    ... n   1 0  1 1  0,25 a  n  1   1   1   1 
Từ (*) và (**) suy ra điều mâu thuẫn với 1 1 ...1   2 1 .   a a a       b  1 2 n
Vậy ko tồn tại các số nguyên dương thỏa mãn bài ra. Chú ý:
1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong
trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với
tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------