PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022 – 2023
(Đề thi có 02 trang)
MÔN: TOÁN – LỚP 8 Ngày thi: 09/02/2023
Thời gian làm bài 120 phút
I. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm). Chọn đáp án đúng nhất
Câu 1. Cho hai số thực ; x y thỏa mãn 2 2 2
x + y − 2x − 4y + 6 =1− (x − y +1) . Giá trị của biểu thức
A = 2022x + 2023y bằng A.4045. B. 1 C. -1. D. 6068. 2
Câu 2. Cho 3x-y=3z; 2x+y=7z.Giá trị biểu thức x − 2xy B =
(x ≠ 0; y ≠ 0) là: 2 2 x + y A. 2 − − − . B. 5 . C. 3 . D. 8 . 3 2 13
Câu 3. Cho phương trình mx +5 x + m m + =
. Điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất là 10 4 20
A. m ≠ -2,5.
B. m ≠ 2,5.
C. m = -2,5.
D. mọi m∈ .
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH = 4(cm) , BC =10(cm). Gọi D và E lần
lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . Diện tích tứ giác ADHE là A. ( 2 1,6 cm ) B. ( 2 6,4 cm ) C. ( 2 20 cm ) D. ( 2 3,2 cm ) Câu 5. Cho a + 3 C =
. S là tập hợp các giá trị nguyên của a để C nhận giá trị nguyên. Khi đó 2a +1 A. S = { 3 − ;0;1; } 2 B. S = { 3 − ; 2 − ; 1 − ; } 0 C. S = { 3 − ; 1; − } 2 D. S = { 3 − ; 1; − 0; } 2
Câu 6. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 2
xy z = 7 . Giá trị của biểu thức 2 x 7y z D = + + là: 2 2 2
xz + x + 7 xy + 7y + 7 y z + z +1 A. 7. B. 1. C. 2. D. 5.
Câu 7. Cho tam giác ABC có BC = 8(cm) . Gọi D, E,M , N theo thứ tự lần lượt là trung điểm của
AC, AB, BE,C .
D Độ dài đoạn thẳng MN là A. 4 . cm B. 12 . cm C. 6 . cm D. 2 . cm
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có AB = 12 cm, AD = 8 cm và  D
A C = 45°. Diện tích hình bình hành ABCD bằng: A. 64 cm2 B. 48 cm2 C. 48 2 cm2 D. 24 2 cm2
Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 2
E = x + 2x + 2023 là: A. 2021 B. 2020 C. 2022 D. 2023
Câu 10. Rút gọn biểu thức F = ( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 + )( 32 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + )1+1 ta được: A. 64 2 B. 64 2 −1. C. 64 2 +1. D. 64 1− 2 .
Câu 11. Phương trình x +1 x −1 x + = có nghiệm duy nhất là 2019 2021 1010 A. 2019. B. 2020. C. -2020. D. 2021.
Câu 12. Số nghiệm của phương trình 3 x ( 2 x ) 4 3 1 1  + − =   0 là 2  x  A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. 2 2 2 Câu 13. Cho x − + = y = z ≠ x y z
0 , rút gọn biểu thức M =
(với mẫu khác 0) ta được a b c
(ax − by + cz)2 A. 1 1 1 M = . B. M = . C. M = . D. 1 M = .
a − b + c 2 2 2
a − b + c 2 2 2
a + b − c
2ax − 2by − 2cz
Câu 14. Cho a, b, c là các số thực sao cho 1 ax + b c ( = +
. Khi đó a + b + c bằng : 2 x + ) 1 (x − ) 2 1 x +1 x −1 A. 3 − B. 1 C. 1 − D. 3 2 2 2 2
Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và phân giác AD. Giá trị DC – DB bằng: A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 7 7 7 7
Câu 16. Tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, BC = 10 cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh
BC tại D. Tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD là: A. 4 B. 3 C. 3 D. 1 5 4 5 4 2
Câu 17. Rút gọn biểu thức x − 6x + 9 6 P = + (với x ≠ 3
± ) ta được kết quả là 2 x − 9 x + 3
A. P = x B. P = 1 −
C. P =1.
D. P = −x .
Câu 18. Đa thức ( ) 7 3 2
G x = x + x + ax + x + b chia hết cho đa thức H (x) 2
= x + x +1 khi và chỉ khi A. a = 2; − b =1.
B. a =1;b = 2 .
C. a = 2;b =1.
D. a = 2;b = 1 − .
Câu 19. Biết đa thức P(x) chia cho x – 1 thì dư 1, P(x) chia cho 3 x +1 thì dư 2
x + x +1. Đa thức dư
của phép chia P(x) cho (x − )( 3 1 x + ) 1 là: A. 3 2
−x − x − x . B. 3 2
x + x + x . C. 3 2
x − x − x . D. 3 2
−x + x + x .
Câu 20. Cho hình thoi ABCD có AB = 20cm , AC = 24cm . Diện tích hình thoi ABCD bằng A. 2 768cm B. 2 192cm C. 2 384cm D. 2 480cm
B. TỰ LUẬN (14 điểm) Bài 1. (5.0 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = ( x − x)2 2 + ( 2 3 7
5 3x − 7x)+ 4 . 2  + −   + +  2. Cho biểu thức
a 1 a 1 2024a a 2a 12 3 A = − −   :  − (với a ≠ 1; − a ≠ 1). 2 2
 a −1 a +1 a −1   a −1 a −1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2. (4.0 điểm) 2 2 2
1. Giải phương trình : x + 3   x − 3  7(x − 9) + 6 =     2  x − 2   x + 2  x − 4
2.Tìm các hằng số a,b để 4 3
ax + bx +1 chia hết cho 2 (x −1) .
3.Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn 2 2 2
x + y + z ≤ xy + 3y + 2z − 4 Bài 3. (4.0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh BC lấy N (0 <
NC < NB), đường thẳng vuông góc với ON tại O cắt AB tại M. Gọi E là giao điểm của AN với DC,
gọi K là giao điểm của ON với BE. 1. Chứng minh MO ∆ N vuông cân. 2. Chứng minh MN // BE.
3. Gọi H là giao điểm của KC và BD. Chứng minh: O . B NC CH + = 1. OH.NB KH
Bài 4. (1.0 điểm)
Cho các số a,b thỏa mãn 4(1+ a)(1−b) ≥ 9.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = a + 2b + . b
---------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:..................................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022 – 2023
(Đề thi có 02 trang) MÔN: TOÁN– LỚP 8 Ngày thi: 09/02/2023
Thời gian làm bài 120 phút
I. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm). Chọn đáp án đúng nhất
Câu 1. Cho hai số thực ; x y thỏa mãn 2 2 2
x + y − 2x − 4y + 6 =1− (x − y +1) . Giá trị của biểu thức
A = 2022x + 2023y bằng A.4045. B. 1 C. -1. D. 6068. 2
Câu 2. Cho 3x-y=3z; 2x+y=7z.Giá trị biểu thức x − 2xy B =
(x ≠ 0; y ≠ 0) là: 2 2 x + y A. 2 − − − . B. 5 . C. 3 . D. 8 . 3 2 13
Câu 3. Cho phương trình mx +5 x + m m + =
. Điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất là 10 4 20
A. m ≠ -2,5.
B. m ≠ 2,5.
C. m = -2,5.
D. mọi m∈ .
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH = 4(cm) , BC =10(cm). Gọi D và E lần
lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . Diện tích tứ giác ADHE là A. ( 2 1,6 cm ) B. ( 2 6,4 cm ) C. ( 2 20 cm ) D. ( 2 3,2 cm ) Câu 5. Cho a + 3 C =
. S là tập hợp các giá trị nguyên của a để C nhận giá trị nguyên. Khi đó 2a +1 A. S = { 3 − ;0;1; } 2 B. S = { 3 − ; 2 − ; 1 − ; } 0 C. S = { 3 − ; 1; − } 2 D. S = { 3 − ; 1; − 0; } 2
Câu 6. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 2
xy z = 7 . Giá trị của biểu thức 2 x 7y z D = + + là: 2 2 2
xz + x + 7 xy + 7y + 7 y z + z +1 A. 7. B. 1. C. 2. D. 5.
Câu 7. Cho tam giác ABC có BC = 8(cm) . Gọi D, E,M , N theo thứ tự lần lượt là trung điểm của
AC, AB, BE,C .
D Độ dài đoạn thẳng MN là A. 4 . cm B. 12 . cm C. 6 . cm D. 2 . cm
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có AB = 12 cm, AD = 8 cm và  D
A C = 45°. Diện tích hình bình hành ABCD bằng: A. 64 cm2 B. 48 cm2 C. 48 2 cm2 D. 24 2 cm2
Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 2
E = x + 2x + 2023 là: A. 2021 B. 2020 C. 2022 D. 2023
Câu 10. Rút gọn biểu thức F = ( 2 + )( 4 + )( 8 + )( 16 + )( 32 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + )1+1 ta được: A. 64 2 B. 64 2 −1. C. 64 2 +1. D. 64 1− 2 .
Câu 11. Phương trình x +1 x −1 x + = có nghiệm duy nhất là 2019 2021 1010 A. 2019. B. 2020. C. -2020. D. 2021.
Câu 12. Số nghiệm của phương trình 3 x ( 2 x ) 4 3 1 1  + − =   0 là 2  x  A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. 2 2 2 Câu 13. Cho x − + = y = z ≠ x y z
0 , rút gọn biểu thức M =
(với mẫu khác 0) ta được a b c
(ax − by + cz)2 A. 1 1 1 M = . B. M = . C. M = . D. 1 M = .
a − b + c 2 2 2
a − b + c 2 2 2
a + b − c
2ax − 2by − 2cz
Câu 14. Cho a, b, c là các số thực sao cho 1 ax + b c ( = +
. Khi đó a + b + c bằng : 2 x + ) 1 (x − ) 2 1 x +1 x −1 A. 3 − B. 1 C. 1 − D. 3 2 2 2 2
Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và phân giác AD. Giá trị DC – DB bằng: A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 7 7 7 7
Câu 16. Tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, BC = 10 cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh
BC tại D. Tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD là: A. 4 B. 3 C. 3 D. 1 5 4 5 4 2
Câu 17. Rút gọn biểu thức x − 6x + 9 6 P = + (với x ≠ 3
± ) ta được kết quả là 2 x − 9 x + 3
A. P = x B. P = 1 −
C. P =1.
D. P = −x .
Câu 18. Đa thức ( ) 7 3 2
G x = x + x + ax + x + b chia hết cho đa thức H (x) 2
= x + x +1 khi và chỉ khi A. a = 2; − b =1.
B. a =1;b = 2 .
C. a = 2;b =1.
D. a = 2;b = 1 − .
Câu 19. Biết đa thức P(x) chia cho x – 1 thì dư 1, P(x) chia cho 3 x +1 thì dư 2
x + x +1. Đa thức dư
của phép chia P(x) cho (x − )( 3 1 x + ) 1 là: A. 3 2
−x − x − x . B. 3 2
x + x + x . C. 3 2
x − x − x . D. 3 2
−x + x + x .
Câu 20. Cho hình thoi ABCD có AB = 20cm , AC = 24cm . Diện tích hình thoi ABCD bằng A. 2 768cm B. 2 192cm C. 2 384cm D. 2 480cm
B. TỰ LUẬN (14 điểm) Bài 1. (5.0 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = ( x − x)2 2 + ( 2 3 7
5 3x − 7x)+ 4 . 2  + −   + +  2. Cho biểu thức
a 1 a 1 2024a a 2a 12 3 A = − −   :  − (với a ≠ 1; − a ≠ 1). 2 2
 a −1 a +1 a −1   a −1 a −1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2. (4.0 điểm) 2 2 2
1. Giải phương trình : x +3   x − 3  7(x − 9) + 6 =     2  x − 2   x + 2  x − 4
2.Tìm các hằng số a,b để 4 3
ax + bx +1 chia hết cho 2 (x −1) .
3.Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn 2 2 2
x + y + z ≤ xy + 3y + 2z − 4 Bài 3. (4.0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh BC
lấy N (0 < NC < NB), đường thẳng vuông góc với ON tại O cắt AB tại M. Gọi E là
giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE. 1. Chứng minh MO ∆ N vuông cân. 2. Chứng minh MN // BE.
3. Gọi H là giao điểm của KC và BD. Chứng minh: O . B NC CH + = 1. OH.NB KH
Bài 4. (1.0 điểm)
Cho các số a,b thỏa mãn 4(1+ a)(1−b) ≥ 9.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = a + 2b + . b
---------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:..................................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM
HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
Bản hướng dẫn chấm có trang A- TRẮC NGHIỆM CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN 1 D 11 C 2 B 12 A 3 A 13 B 4 B 14 C 5 D 15 D 6 B 16 B 7 C 17 C 8 C 18 C 9 D 19 D 10 A 20 C B- TỰ LUẬN Bài Hướng dẫn giải Điểm Bài 1 (5 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = ( x − x)2 2 + ( 2 3 7
5 3x − 7x)+ 4 . Đặt 2
3x − 7x = t ta có 2
B = t + 5t + 4 0.5 1 2
= t + t + 4t + 4 = (t + ) 1 (t + 4) 0.5 (2.0 điểm) Thay 2
3x − 7x = t ta được
B = ( 2x − x + )( 2x − x + ) = ( 2 3 7 1 3 7 4
3x −7x + )1(3x −4)(x − )1 0.75 Vậy... 0.25 2
 a +1 a −1 2024a   a + 2a +12 3  A = − −   :  − (với a ≠ 1; − a ≠ 1). 2 2
 a −1 a +1 a −1   a −1 a −1 a) Với a ≠ 1; − a ≠ 1, ta có 0.25 2
 a +1 a −1 2024a   a + 2a +12 3  A = − −   :  − 0.5 2 2
 a −1 a +1 a −1   a −1 a −1 2 2 2  (a +1) (a −1)
2024a   a + 2a +12 3(a +1)  = − −   :  −
(a −1)(a +1) (a −1)(a +1) (a −1)(a +1)   (a −1)(a +1) (a −1)(a +1)  0.5 2 2 2  + + − + − −   + + − −  2 a
2a 1 a 2a 1 2024a a 2a 12 3a 3 =   :   (3 điểm)  (a −1)(a +1)   (a −1)(a +1)  2 
2020a   a − a + 9  =   :
(a −1)(a +1) 
  (a −1)(a +1)  0.5  2020 −
a   (a −1)(a +1)  .  =  2
(a −1)(a +1)   a − a + 9  2020 − a = 2 a − a + 9 Vậy 2020 − a A = (với a ≠ 1; − a ≠ 1). 2 a − a + 9 0.25 b) Ta có 2 2
a − a + 9 − 5a = (a − 3) ≥ 0 0.25 2
⇒ a − a + 9 ≥ 5a a 1 0.25 ⇒ ≤ 2 a − a + 9 5 2020 − a 2020 − ⇒ ≥ = 404 − 0.25 2 a − a + 9 5 ⇒
GTNN của A bằng -404, đẳng thức xảy ra khi a=3 0.25 Bài 2 (4 điểm) 2 2 2
1. Giải phương trình : x + 3   x − 3  7(x − 9) + 6 =     (1). 2  x − 2   x + 2  x − 4 2
Đặt u = x + 3 ; v= x − 3 => u.v = x − 9 x − 2 x + 2 2 x − 4
Phương trình (1) có dạng 0.25 2 2
u − 7uv + 6v = 0 (2) ⇔(u-v)(u-6v)=0 u = v ⇒  0.25 u = 6v 1 x + x −
(1 điểm) Nếu u=v thì 3 = 3 (3) x − 2 x + 2 2 2
⇒ x + 5x + 6 = x − 5x + 6 ⇔ 10x = 0 ⇔ x = 0 (TM)
Nếu u=6v thì x + 3 = 6(x − 3) (4) x − 2 x + 2 0.25 2
⇒ x − 7x + 6 = 0
⇔ (x−1)(x− 6) = 0 x = 1 ⇒  (TM) x = 6
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {0;1; } 6 0.25
2. Tìm các hằng số a,b để 4 3
ax + bx +1 chia hết cho 2 (x −1) .
Vì đa thức chia có bậc 4, đa thức chia có bậc 2 nên đa thức thương có bậc 2 2
Gọi đa thức thương là 2
cx + dx + e (1,5 Ta có : 4 3 ax + bx +1= 2 (x −1) 2
(cx + dx + e) điểm) 0.75 = 4 3 2 2 2 2
cx + dx + ex − 2cx − 2dx − 2ex + cx + dx + e = 4 3 2
cx + (d − 2c)x + (e − 2d + c)x + (d − 2e)x + e . Để 4 3
ax + bx +1 chia hết cho 2 (x −1) thì c = a a = 3 d 2c b b  − = = 4 −    e 2d c 0  − + = ⇔ c = 3 0.5 d 2e 0  − = d = 2   e =1 e =1 Vậy a=3, b =-4 0,25
3) Vì x,y,z nguyên nên ta có 2 2 2
x + y + z ≤ xy + 3y + 2z − 4 2 y 2 ( ) 3 y x 1 ⇔ − + − + (z − )2 1 ≤   0 (*) 2  2  2 y  y  Mà 2 (x − ) + 3 −1 + (z − )2 1 ≥   0 2  2  với mọi x,y,z 0.75 2 y  y  3 2 ⇒ (x − ) + 3 −1 + (z −   )2 1 =0 (1,5 2  2  điểm)  y x − = 0 0,5  2  x = 1  y  1 0  ⇒ − = ⇔ y = 2 2  z =  1 z −1 = 0  Vậy:… 0,25 Bài 3. (4.0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt
nhau tại O. Trên cạnh BC lấy N (0 < NC < NB), đường thẳng
vuông góc với ON tại O cắt AB tại M. Gọi E là giao điểm của
AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE. Bài 3 1. Chứng minh (4,0 MO ∆ N vuông cân. điểm) 2. Chứng minh MN // BE.
3. Gọi H là giao điểm của KC và BD. Chứng minh: O . B NC CH + = 1. OH.NB KH M B A O N K D C E H Ta có  0 = ⇒  +  0 BOC 90 CON BON = 90 ; vì  0 = ⇒  +  0 = ⇒  =  MON 90 BOM BON 90 BOM CON
-Ta có BD là phân giác góc ABC⇒  =   BOC 0 MBO CBO = = 45 2 0.75
Tương tự ta có  =   BOC 0 NCO DCO = = 45 Vậy ta có  =  MBO NCO 2 -Xét OB ∆ M và OC ∆
N có OB=OC ;  =  BOM CON ;  =  MBO NCO ⇒ 0.75 OB ∆ M = OC ∆
N ⇒ OM = ON *Xét MO ∆ N có  0
MON = 90 ;OM = ON ⇒ M
∆ ON vuông cân 2) OB ∆ M = OC ∆
N ⇒ MB = NC ; mà AB=BC AM BN
⇒ AB − MB = BC − NC ⇒ AM = BM ⇒ = MB NC 0.5 -Ta có AB//CD ⇒ // AN BN AM CE ⇒ = NE NC 0.75 Vậy ta có AM AN ⇒ =
⇒ MN / /BE ( theo định ký ta lét đảo ) 0.25 MB NE d)Vì KH//OM mà ⊥ ⇒ ⊥ ⇒  0 MK OM MK KH NKH = 90 , mà 0.25  0 = ⇒  0 = ⇒  =  =  0 NKC 45 CKH 45 BKN NKC CKH = 45 Xét B ∆ KC có  = 
BKN NKC ⇒ KN là phân giác trong của B ∆ KC , 0.25
mà KH ⊥ KN ⇒ KH là phân giác ngoài của B ∆ KC KC HC ⇒ = . 3 KB HB (1 điểm)
Chứng minh tương tự ta có KN BN ⇒ = KH BH 0.25
Vậy ta có KC KN NC HC BN CN + + = + + = ... BH = = 1 KB KH BH HB BH BH BH 0.25 Bài 4
Bài 4. (1.0 điểm) Cho các số a,b thỏa mãn 4(1+ a)(1−b) ≥ 9. Tìm giá trị (1 điểm)
nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = a + 2b + . b Từ giả thiết 9 5
(1+ a)(1− b) ≥ ⇔ a − b − ab ≥ 4 4 2 0.25 2 2  2 1  1 2 2  1  1
P = (a + b ) + b + b + − = 
(a + b ) + b + −  4 4 2      4 Ta có 2 2 a + b ≥ 2 − ; ab  2 1 2 a  + ≥   2a;  4   2 1 2 b  + ≥ 2 −   b  4  0.25 suy ra ( 2 2 a + b ) 5 5 3
+1≥ 2(a − b − ab) ≥ 2. = 2 2 1 ⇔ a + b ≥ 4 2 2 Từ đó ta có 1 1 1 P ≥ + 0 − = 2 4 4 Dấu " = " xảy ra khi 1 1 a = ,b = − 2 2 0.25 Vậy 1 min P = khi khi 1 1 a = ,b = − . 0.25 4 2 2 Tổng (14 điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 3, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.
Document Outline

• ĐỀKS HSG Toán 8 nam 2223s
• KS HSG Toán 8 nam 2223s