Đề học sinh giỏi Toán 12 GDTX cấp tỉnh năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2024-2025 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 29/10/2024 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 180 phút, không tính thời gian phát đề Đề thi có 1 trang
Câu I. (3,0 điểm): 1) Cho hàm số 3 2
y  x 3x 9x3 có đồ thị C. a) Gọi ,
A B là hai điểm cực trị của C. Tính độ dài đoạn AB .
b) Cho M 0; 
1 . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB .
2) Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được cho bởi công thức
f t 26t 10 
( f t được tính bằng nghìn người). Xem y  f t là một hàm số xác định t 5 trên 0;.
a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2025 là bao nhiêu?
b) Dân số của thị trấn đó không thể vượt quá bao nhiêu nghìn người?
Câu II. (2,0 điểm):
1) Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh
nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm
vào cơ thể sau t giờ được cho bởi công thức   2t C t 
(đơn vị là miligam/lít). Sau khi tiêm 2 t 1
thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
2) Có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Tính xác suất để 4
học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu III. (2,0 điểm):
1) Giải phương trình: 2sin .xcos x2sin x cos x1 0 .
2) Giải phương trình: 3x2 5 6 9  27  x .
Câu IV. (2,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tâm O . Cho
SO  ABCD và SA  a 3 .
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD.
Câu V. (1,0 điểm):
Cho tam giác ABC có A2; 
3 và hai đường cao kẻ từ B,C lần lượt có phương trình là
d :3x  2y 3  0, d :x3y  4  0. Viết phương trình đường thẳng 1  2 BC .
- - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - -
Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ……………………………
Cán bộ coi thi số 1 ……………………………… Cán bộ coi thi số 2 ………………………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH HẢI DƯƠNG
NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Câu ý Nội Dung Điểm Cho hàm số 3 2
y  x 3x 9x3 có đồ thị C. a) Gọi ,
A B là hai điểm cực trị của C. Tính độ dài đoạn AB . 2
y '  3x  6x9 x 1 y '  0   x  3  y ' 0,5  0  x  ;   
3 1;; y' 0  x 3;  1
Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x  3; x 1. 1 y  3  24; y  1  8
Hai điểm cực trị của C là A1;  8 , B3;24  0,5 AB    2
4;32  AB  16 32  4 65 b) Cho M 0; 
1 . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB .
Phương trình đường thẳng x1 y 8 AB : 
 8x  y  0 0,5 1 8 8.0 1
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB là 65 d   0,5 2 8 1 65 I
Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được cho bởi công thức
f t 26t 10 
( f t được tính bằng nghìn người). Xem y  f t là một hàm số t 5
xác định trên 0;.
a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2025 là bao nhiêu?
Từ năm 1970 đến năm 2025 có 55 năm 0,25
Dân số của thị trấn đó vào năm 2025 là f   26.5510 55   24 (nghìn 555 0,25 2 người).
b) Dân số của thị trấn đó không thể vượt quá bao nhiêu nghìn người? f t 120 ' 
 0,t  0 . Suy ra hàm số f t đồng biến trên 0;. t 0,25  2 5 10 26    26t 10 lim  lim  lim t f t  26 t t t 5 t 5 1 t 0,25
Đồ thị hàm số y  f t có đường tiệm cận ngang là y  26. Vậy dân số
của thị trấn tăng nhưng không vượt quá 26 nghìn người.
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh
nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân
sau khi tiêm vào cơ thể sau t giờ được cho bởi công thức   2t C t  (đơn vị là 2 t 1
miligam/lít). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất. Xét hàm số   2t C t  t  0 2 t 1 2 0,25   22 ' t C t  1 t  2 2 1
C 't 0  t  1 0,25 Bảng biến thiên: t 0 1 +∞ C '(t) + 0 − II 0,25 C (t) 1 0 0
Vậy sau 1 giờ thì nồng thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất. 0,25
Có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Tính xác suất để
4 học sinh được chọn có cả nam và nữ. n  4  C  330 11 0,25
Gọi A là biến cố : “4 học sinh được chọn có cả nam và nữ”
A biến cố : “Chọn được 4 học sinh nam hoặc 4 học sinh nữ” 0,25 2 n  4 4
A  C C  20 6 5
P  n  A 20 2 A    0,25 n   330 33 Vậy P 
A   P  2 31 1 A 1  0,25 33 33
Giải phương trình: 2sin .xcos x2sin x  cos x1 0 . 2sin .
x cos x2sin x  cos x1 0 0,25
 2sin xcos x   1  cos x1 0  cos x  1 2sin x   1  0 0,25 III 1 2sin x 1 0   cos x1 0   1 0,25 sin x    2  cos x 1   x 
   k2  6   7  x  
 k2 k   0,25  6 
x  k2  
Giải phương trình: 3x2 5 6 9  27  x . 3x2 5 6 9  27  x 0,25
 3 3x2 3 5 6 2 3  x 2  2 3x2  3 5 6  x  3  3 0,25 6x4 15 18  3  3  x 0,25 11
 6x  4 1518x  x  0,25 24
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tâm O . Cho
SO ABCD và SA  a 3 .
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD . S H 0,25 A 1 D K B C
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên 2 S  a . ABCD IV a 2
AC  a 2  AO  0,25 2 2 Xét tam giác vuông a a SOA có 2 2 2 2 10
SO  SA  AO  3a   0,25 4 2 3 1 1 a 10 2 a 10 V  SO S  a  0,25 S ABCD . ABCD . . . 3 3 2 6
2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD. d  ;
A SCD 2dO,SCD 0,25 2 C  D  SO
Kẻ OK  CD tại K , 
 CD  SOK SCD  SOK C  D   OK 
SCDSOK SK , kẻ OH  SK tại H thì 0,25
OH  SCD OH  d  ; O SCD Xét tam giác vuông SOK có 1 1 1 4 4 44 a 110       OH  0,25 2 2 2 2 2 2 OH SO OK 10a a 10a 22
Vậy d A SCD a 110 ;  0,25 11
Cho tam giác ABC có A2; 
3 và hai đường cao kẻ từ B,C lần lượt có phương
trình là d :3x  2y 3  0, d :x3y  4  0. Viết phương trình đường thẳng 1  2 BC . d A 1 d2 0,25 B C 
Đường thẳng AB đi qua A2; 
3 , VTPT n 3;1 nên có phương trình: 1    3 x2  1 y  
3  0  3x  y 9  0. V 3
 x  y  9 x  5
Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình       B5;6 3  x 0,25  2y  3 y     6  
Đường thẳng AC đi qua A2; 
3 , VTPT n 2;3 nên có phương trình: 2  
2x23y  
3  0  2x3y 5  0. Tọa độ C là nghiệm hệ phương trình 0,25
2x3y  5 x  1       C1;  1
x3y  4 y    1  
Đường thẳng BC đi qua B5;6, VTCP u6;7 nên có phương trình: x5 y  6 0,25 
 7x  6y 1 0 . 6 7
Xem thêm: ĐỀ THI HSG TOÁN 12
https://toanmath.com/de-thi-hsg-toan-12
Document Outline

• TOÁN ĐỀ THƯỜNG XUYÊN
• New Microsoft Word Document