Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT Yên Định – Thanh Hóa
Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT Yên Định – Thanh Hóa gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài 120 phút, kỳ thi được diễn ra vào ngày 02 tháng 02 năm 2021
Preview text:
PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN MÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2020-2021
(Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát 30/3/2021
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! 4 2 10 .8116.15
Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 4 4 .675 x y z
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và 2 2 x 2 2 y 3 2 z 100 . 3 4 5
Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 0 .
Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2.
Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a b 2 c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a
Tính giá trị của biểu thức: M c d d a a b b c
Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: 2
f x ax bx c (x là ẩn; a, b, c là hệ số).
Biết rằng: f 0 2018 , f 1 2019 , f
1 2017 . Tính f 2019. 27 2x
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x là số nguyên). 12 x
Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c
Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên
tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt
Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK.
Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho MA=2cm, MB=3cm và 0 AMC 135 . Tính MC.
Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3;...; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa
lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
-------------HẾT------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: .................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: ....... PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN
ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2020-2021 Ngày khảo sát 30/3/2021 Hướng dẫn chung:
- Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
- Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó. Câu Nội dung Điểm 4 2 10 .8116.15 4 4 4 4 2 2 A 2 5 . 3 . 2 .3 5 . = 4 4 .675 8 3 2 2 .3 5 . 0,5 4 2 2 2 2 2 3 . .5 5 ( .3 ) 1 225 1 1 = = 0,5 8 3 2 2 3 . 5 . 4 2 .3 224 25.7 = = = 14 0,5 4 2 .3 24.3 3 0,5 x y z 2 2 2 x y z 2 2 x 2 2 y 3 2 z 2 2 x 2 2 y 3 2 z 100 0,5 Từ ta suy ra: 4 3 4 5 9 16 25 18 32 75 25 25 0,5 x 6 y 2 8 x 36 2 x 2 10 Suy ra: y 64 ( Vì x, y, z cùng dấu) x 6 0,5 2 z 100 y 8 z 10
KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10) 0,5
Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2018 0 với mọi x, y nên 0,25
(x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y. 0,25
Mà theo đề bài : (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0
Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0 0,25 3
Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0 0,25 suy ra x = 2, y = 1 0,25 2 0,25
Khi đó tính được: M = 24. 0,5 2a b c d a b 2 c d a b 2c d a b c 2d Từ: a b c d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Suy ra : 1 1 1 1 0,25 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d (*) 0,5 4 a b c d
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d) a b b c c d d a 0,25 M = -4 c d d a a b b c 0,25
Nếu a + b + c + d 0 thì từ (*) a = b = c = d 0,25 a b b c c d d a M = 4 c d d a a b b c 0,25 KL: ...... 0,25
Xét x =0: f (0) 2018 c 2018 0,25
Xét x =1: f (1) 2019 a b c 2018 a b 1 (1) 0,25
Xét x =-1: f (1) 2017 a b c 2017 a b 1 (2) 0,25 5
Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0
Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1 0,25 0,25
Từ đó tìm được f x x 2018 0,25
Suy ra: f 2019 1 0,5 27 2x 3 Ta có: Q = = 2+ . 0,25 12 x 12 x 3 0,25 Suy ra Q lớn nhất khi lớn nhất 12 x 3 0,25
* Nếu x > 12 thì 12 x 0 0 . 12 x 3 0,25
* Nếu x < 12 thì 12 x 0 0 . 6 12 x 3
Từ 2 trường hợp trên suy ra lớn nhất khi 12-x>0 12 x 0,25 3 Vì phân số
có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có 12 x
giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất. 0,25 Hay 12 x 1 x 11
Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11 0,25 0,25
Do a Z+ 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c 0,25
Vậy 5b > 5c b>c 5b 5c 0,25 Hay (a3 + 3a2 + 5) (a+3) a2 (a+3) + 5 a + 3 0,25
Mà a2 (a+3) a + 3 5 a + 3 a + 3 Ư (5) 7 0,25
Hay: a+ 3 { 1 ; 5 } (1)
Do a Z+ a + 3 4 (2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5 a =2 0,25
Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52 b = 2
Và 5c =a + 3 = 2+3= 5 c = 1 0,25 0,25 Vậy: a = 2; b = 2; c = 1
- Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì x BOM 0 BMO 30
- BK là đường cao của tam giác cân BMO 0,5
nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1) 0,5 B - Chứng minh BKO O HB (c.h g.n) z 8 0,5 M - Suy ra BH=OK (2) K 0,25
- Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm O H 0,25 y
- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A D 0,25
(D, B khác phía đối với AM) - Chứng minh ABM A CD (c.g.c) vì:
AD=AM ( AMD vuông cân tại A) A BAM CAD (cùng phụ với CAM 0,5 9 AB=AC (giả thiết) - Suy ra: CD=BM=3cm 0,25
- Tính được MD2=AD2+AM2 = 8 0,25
- Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M 0,25 M
- Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1 B 0,25 C =>CD=1cm 0,25
- Xét 100 số 101; 102; 103; ....; 200. Trong 100 số này rõ ràng không có số nào là bội 0,25
của số kia (vì 101.2>200). Do đó k 101 (1) 0,25
- Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: 1 a a a ... a 200 . 1 2 3 101 0,25
Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng: 1 a 2n .b 1 1 2 a 2n .b 2 2 3 a 2n .b 3 3 ........... 10 1 n 01 a 2 .b 101 101 Với n 0,25
i là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. ( i 1;101 )
Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ...;199}.
Vì có 101 các số bi mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số bi và bj nào đó bằng 0,25 nhau. Suy ra trong hai số a 2 n i
n .b và a 2 j.b sẽ có một số là bội của số còn lại. i i j j 0,25
Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của số kia (2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101. 0,25 ----------Hết---------