Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Gia Viễn – Ninh Bình

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 7 THCS HUYỆN GIA VIỄN NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2023
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ và tên thí sinh :..............................................................Số báo danh .......................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất: ............................................................................................
Giám thị thứ hai:...............................................................................................
Câu 1 (4,0 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau: 3 3 0,375 − 0,3+ − a) 7 5 7 12 30 A . . − = + + . b) 11 12 B = . 23 17 23 17 23 5 5 0,625 − 0,5 + − 11 12
c) M = a + 3b + 2c, biết a + b = 5; 8 b + c = − .
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, y, z biết: x y , y z =
= và 2x − 3y + z = 6. − 3 4 3 5
b) Tìm số nguyên x, y biết 2xy − x + y = 6.
Câu 3 (4,0 điểm) a) Cho đa thức 2
Q(x) = ax + bx + 4 .
c Chứng minh rằng nếu đa thức Q(x) nhận 2 và -2 là
nghiệm thì a và c là hai số đối nhau. (a −b)2023 (c−d)2023 b) Cho a c
= , với b ≠ 0,d ≠ 0;c ≠ d. Chứng minh rằng = . b d 2023 2023 2023 2023 a − b c − d
c) Chứng tỏ rằng tích của hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm 9 thì chia hết cho 4.
Câu 4 (6,0 điểm) Cho A
∆ BC vuông tại A (AB < AC), D là trung điểm của BC, trên tia đối của tia DA
lấy điểm E sao cho DE = DA. Gọi H và K thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ B và C
xuống đường thẳng AE, M là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC .
a) Chứng minh BK = CH.
b) Chứng minh CD > KM.
c) Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại P và cắt BH tại N. Chứng minh ba điểm D, M, N thẳng hàng. d) Giả sử  0
ACB = 36 , tia phân giác của 
ACB cắt AD tại F. Chứng minh tam giác CEF là tam giác cân.
Câu 5 (2,0 điểm)
a) Một cái hộp đựng 60 quả bóng giống nhau, gồm ba màu: màu đỏ, màu xanh và màu
vàng. Trong đó có 18 quả bóng màu đỏ và 25 quả bóng màu vàng. Hỏi cần phải lấy ra ngẫu
nhiên ít nhất bao nhiêu quả bóng để chắc chắn rằng lấy ra được 2 quả bóng xanh?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2
P = 6. y − + x − 4x + 7. 8
-----------Hết-----------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN GIA VIỄN
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 7 THCS NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán Ngày thi 30/3/2023
(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm
a) (1,5 điểm) 7 5 7 12 30 − 7  5 12  30 − 0,5 a) A = . + . + = . + +   23 17 23 17 23 23 17 17  23 7 30 − 23 1,0 .1 − = + = = 1. − 23 23 23 b) (1,5 điểm) Câu 1: 3 3 3 3 3 3  1 1 1 1  (4,0 điểm) 0,375 − 0,3+ − − + − 3. − + −   1,5 b) 11 12 8 10 11 12  8 10 11 12  3 B = = = = . 5 5 5 5 5 5  1 1 1 1  5 0,625 − 0,5 + − − + − 5. − + − 11 12 8 10 11 12  8 10 11 12   c) (1,0 điểm)
Ta có: M = a + 3b + 2c = (a + b) + 2b + 2c 02,5
M = (a + b) + 2(b + c) 0,25
Thay a + b = 5; 8
b + c = − vào M = (a + b) + 2(b + c) ta được: 0,5 M = 5 + 2( 8 − ) = 5+ ( 16 − ) = 11 − a) (2,0 điểm) 0,5 a) x y x y = ⇒ = (1); y z y z = ⇒ = (2) 3 4 9 12 3 5 12 20 0,5
Từ (1) và (2) ta có x = y = z . 9 12 20 x y z 2x 3y z
2x − 3y + z − 0,5 = = = = = = = 6 = 3 −
9 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2
Tìm được x = -27; y =- 36; z = -60. 0,5 b) (2,0 điểm)
2xy − x + y = 6. ⇒ 4xy − 2x + 2y =12 ⇒ 2x(2y − ) 1 + (2y − ) 1 = 12 −1 Câu 2: 0,5
(4,0 điểm) ⇒ (2x+ )1(2y− )1=11
⇒ 2y −1;2x +1∈ Ư(11) ⇒ 2y −1;2x +1∈{ 1; ± 1 ± } 1 0,5
Giải tìm được 4 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: 1,0 (0;6);( 1 − ; 5 − );(5; ) 1 ;( 6; − 0). 0,5
Cách 2: xy − x + y = ⇒ y( x + ) x + 6 2 6 2
1 = x + 6 ⇒ y = ∈ Z 2x +1
⇒ x + 6 (2x + )
1 ⇒ 2(x + 6) −(2x + ) 1 (2x + ) 1 ⇒ 11 (2x + ) 1 0,5
⇒ 2x +1∈ Ư(11) ⇒ 2x +1∈{ 1; ± 1 ± } 1 1,0
Giải tìm được 4 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (0;6);( 1 − ; 5 − );(5; ) 1 ;( 6; − 0).
a) (1,5 điểm) Vì 2
Q(x) = ax + bx + 4c nhận 2 và -2 là nghiệm nên Q(2) = 0;Q( 2) − = 0. 0,5 Ta có: 2 Q(2) = .2 a + .2
b + 4c = 4a + 2b + 4c = 0 2 Q( 2) − = .( a 2) − + .( b 2)
− + 4c = 4a − 2b + 4c = 0 0,5
⇒ 4a + 2b + 4c + 4a − 2b + 4c = 0 ⇒ 8a + 8c = 0 0,25 Câu 3:
⇒ 8(a + c) = 0 ⇒ a + c = 0
(4,0 điểm) ⇒ a và c là hai số đối nhau. 0,25 b) (1,5 điểm)
Với b ≠ 0,d ≠ 0;c ≠ d, thì a c a b a b = = = − ⇒ (1) 0,5 b d c d c − d a b (a − b)2023 2023 2023 ⇒ = = (2) 0,5 2023 2023 c d (c − d )2023
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b (a − b)2023 2023 2023 2023 2023 = = a − = b 2023 2023 c d (c − d )2023 2023 2023 c − d 0,5
(a − b)2023 (c − d )2023 ⇒ = 2023 2023 2023 2023 a − b c − d c) (1,0 điểm)
Gọi hai số nguyên lẻ liên tiếp là 2a +1 và 2a −1 (a∈Z)
Tích của hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm 9 bằng: 0,25 0,25 (2a + ) 1 (2a − ) 1 + 9 2
= 4a − 2a + 2a −1+ 9 0,25 2 = 4a + 8 = 4.( 2 a + 2)4
Vậy tích của hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm 9 thì chia hết cho 4. 0,25 Câu 4: 0,5 (6,0 điểm) a) (1,5 điểm)
Chứng minh ∆HBD = ∆KCD (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ HD = KD 0,75
Chứng minh ∆DBK = ∆DCH (c-g-c) ⇒ BK = CH 0,75 b) (2,0 điểm)
Chứng minh: AM = MC ⇒ A ∆ MC cân tại M 0,5
Chứng minh: ∆AMC cân tại M, có DM là đường cao nên đồng thời là trung
tuyến. Suy ra M là trung điểm của AC. 0,5
Xét ∆ACK vuông tại K, có KM là trung tuyến nên 1 KM = AC (1) 2 0,5 Mà 1 CD = BC (2) 2 Lại có A
∆ BC vuông tại A ⇒ BC > AC (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ CD > KM. 0,5 c) (1,0 điểm) Chứng minh BE // AC 0,25
Xét ∆BEN có hai đường cao BP và EH cắt nhau tại D nên điểm D là trực 0,25
tâm của ∆BEN ⇒ ND ⊥ BE (4)
Lại có DM ⊥ AC (gt) , mà BE // AC ⇒ NM ⊥ BE (5) 0,25
Từ (3), (4) và (5) suy ra ba điểm D, M, N thẳng hàng. 0,25 d) (1,0 điểm) A
∆ BC vuông tại A,  0 ACB = 36 nên  0 ABC = 54
Có ∆ABD = ∆ECD ⇒  =  = 54O ABD ECD 0,25
Do đó  =  +  = 90O ACE ACB BCE
Từ ∆ABC = ∆CEA ⇒  =  = 36O ACB CAE 0,25
Mặt khác, CF là phân giác 
ACB nên  =  =18O ACF DCF 
CFE là góc ngoài của ∆ACE nên  =  +  0 0 = 18 + 36 = 54o CFE ACF EAC 0,25
Tính được  = 54O CEF ⇒  =  = 54O CEF CFE ⇒ C ∆ EF cân tại C. 0,25 a) (1,0 điểm)
Số quả bóng màu xanh là: 60 - 18 - 25 = 17 (quả). 0,25
Trường hợp xấu nhất: Ta lấy ra được 25 quả bóng màu vàng, 18 bóng 0,5
màu đỏ và 1 quả bóng màu xanh. Khi đó, ta cần lấy thêm 1 quả bóng
nữa thì chắc chắn có được 2 quả bóng màu xanh.
Vậy cần lấy ít nhất là: 25 + 18 + 1 + 1 = 45 quả bóng để thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 b) (1,0 điểm) Câu 5: Ta có: 1 2
P = 6. y − + x − 4x + 7. (2,0 điểm) 8 1 0,25
6. y − ≥ 0, y ∀ 8 2 2
x − 4x + 7 = x − 2x − 2x + 4 + 3 = x (x − 2) − 2(x − 2) + 3 0,25
= (x − ) (x − ) + = (x − )2 2 . 2 3 2 + 3 > 0, x ∀ (vì (x − )2 2 ≥ 0, x ∀ )  1 0,25 6. y 0  − = 1  y = ⇒ P ≥ 3, x,y ∀ . Dấu “=” xảy ra khi: 8  ⇒  8 (x −2  )2 = 0 x = 2  1 0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3 khi y =  8 x = 2 Lưu ý:
- Lời giải trong hướng dẫn chấm chỉ trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hoàn chỉnh, lý
luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa.
- Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng.