Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Hậu Lộc – Thanh Hóa

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 7 đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 7 năm học 2022 – 2023 phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Hậu Lộc, tỉnh Thanh Hóa

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 7

Môn: Toán 7

Thông tin:

5 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
PHÒNG GD&ĐT
HUYỆN HẬU LỘC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán 7
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày khảo sát: 25/02/2023
(Đề gồm: 01 trang).
Bài 1: (4 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức
(
)
(
)
2
99 3 9 4 3 90
1
99 1,(3) 5.2 7 99 . 27 81 99
3
A


= − − −− + + − −




2) Tính tích
77 7 7
1 1 1 ... 1
9 20 33 2900
P
 
=++ + +
 
 
3) Tính giá trị biểu thức
333
abc
Q
abc
++
=
với a, b, c thỏa mãn:
( )
2
32 43 0ab bc
− +−≤
Bài 2: (4 điểm)
1) Tìm x, biết:
2
1
1 16
3.5
5 125
x
x
−
−
+=
2) Tìm x, biết:
1 81 2
3. 1
2 15 5 3
x


−− − +=




3) Tìm x, y biết :
Bài 3: (4 điểm)
1) Số A được chia thành ba phần tỉ lệ theo
231
::
546
. Biết rằng tổng các bình phương
của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
2) Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn:
( )
2
5 49x xy y− +=−−
3) Cho
,,,abcd
là các số nguyên thỏa mãn
2 22 2
=++abcd
.
Chứng minh rằng:
2023+abcd
viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương
Bài
4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC
các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE và
DIB
= 60
0
.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh: ∆AMN đều.
c) Chứng minh rằng: IA là phân giác của góc DIE.
Bài 5: (2 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
++>
+++
1
abc
bc ca ab
-----------------------------------------------------------------
----------------Hết------------------
Họ tên học sinh:.....................................................; Số báo danh:.................................
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7
Bài
Đáp án
Điểm
Bài
1
4
điểm
1)
Tính
(
)
( )
2
99 3 9 4 3 90
1
99 1,(3) 5.2 7 99 . 27 81 99
3
A


= − − −− + + − −




( )
( )
2
99 3 9 12 12 90
1
99 1,(3) 5.2 7 99 . 3 3 99
3
A


= − − −− + + − −




0,5
( )
(
)
2
99 3 99
2
99 3 99
1
99 1,(3) 5.2 7 99
3
1
99 1,(3) 5.2 7 99
3


= − − −− + −





= − − +− − +


0,25
0,25
99 99
41
99 40 49 99 10
33
= −+ − +− =−
Vậy A = -10
0,25
0,25
2)
7 7 7 7 16 27 40 2907
1 1 1 ... 1 . . ...
9 20 33 2900 9 20 33 2900
P
 
=++ + + =
 
 
2.8.3.9.4.10...51.57
1.9.2.10.3.11...50.58
2.3.4...51 8.9.10...57
.
1.2.3...50 9.10.11...58
51.8 204
58 29
=
=
= =
Vậy P =
204
29
0,25
0,5
0,25
0,5
3)Tính giá trị
333
abc
Q
abc
++
=
với a, b, c thỏa mãn:
( )
2
32 43 0ab bc− +−≤
Vì
( )
2
3 2 0; 4 3 0ab bc− ≥ −≥
nên để
( )
2
32 43 0ab bc− +−≤
thì:
( )
2
32 0
32
43
234
43 0
ab
ab
abc
bc
bc
−=
=
⇒ ⇒==

=
−=
0,5
Đặt
2;3;4
234
abc
k a kb kc k===⇒= = =
Thay vào Q ta có:
( ) (
) ( )
( )
333
33 3 3
333
3
234
234
33
2 .3 .4 24 8
k
kkk
abc
Q
abc k k k k
++
++
++
= = = =
0,5
Bài 2
4 đi
ểm
1) Tìm x, biết:
2
1
1 16
3.5
5 125
x
x
−
−
+=
12
11
1 1 16
3.
5 5 125
1 1 16
3. .5
5 5 125
xx
xx
−−
−−
 
+=
 
 
 
+=
 
 
0,25
( )
1
1
1 16
1 15
5 125
11
5 125
x
x
−
−

+=



=


0,5
13
4
x
x
−=
=
Vậy x = 4
0,25
2) Tìm x, biết:
1 81 2
3. 1
2 15 5 3
x


−− − +=




111
3.
233
x

−− =


0,5
11
31 2
22
xx−−=⇒−=
0,5
15
1) 2
22
xx−=⇒=
13
2) 2
22
xx− =−⇒ =−
Vậy
53
;
22
x
−

∈


0,5
3)Tìm x, y biết :
3 17 43 7 5
45 3
x y xy
x
− − +−
= =
Nếu
3 7 50
xy+ −=
thì
1
3 10
3
7 40 4
7
x
x
y
y
=
−=
⇒

−=
=
0,5
Nếu
3 7 50xy+ −≠
thì áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta
có:
3174375375
45 9 3
3
x y xy xy
x
x
− − +− +−
= = =
⇒=
0,5
3.3 1 7 4
2
45
−−
⇒ = ⇒=
y
y
Vậy
( ) ( )
14
, ; , 3; 2
37
xy


∈




0,5
Bài 3
4 đi
ểm
1) Số A được chia thành ba phần, tỉ lệ theo
231
::
546
. Biết rằng tổng các bình
phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Gọi ba phần được chia lần lượt là: a, b, c
Theo bài ra ta có:
231
:: : :
546
abc=
và
222
24309abc++=
0,25
Ta có:
231
: : : : 24 : 45 :10
5 4 6 24 45 10
= = ⇒==
abc
abc
0,25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 2 222
24309
9
24 45 10 576 2025 100 576 2025 100 2701
a b c a b c abc++
==⇒= == = =
++
0,5
2
576.9 5184 72
135; 30
⇒ = = ⇒=±
=±=±
aa
bc
0,25
Vậy
( ) ( ) ( )
{ }
, , 72;135;30 , 72; 135; 30∈ −− −abc
0,25
2)Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn:
( )
2
5 49x xy y− +=−−
Ta có:
( )
2
5 49x xy y− +=−−
(
)
2
2
59 4
59 4
x x xy y
x x yx
− += −
⇒ − += −
0,25
( ) ( )
{ } { }
2
59 4
4 45454
4 1; 5 1;3;5;9
⇒−+ −
⇒ −−−+ −⇒ −
⇒ − ∈± ± ⇒ ∈−

xxx
xx x x x
xx
0,25
0,5
Với
1x = −
thì
3
y
= −
Với
3
x
=
thì
3y = −
Với
5x =
thì
9y =
Với
9
x =
thì
9
y =
Vậy
(
) (
) (
)
( )
( )
{ }
, 1; 3,3; 3,5;9,9;9xy
∈−− −
Học sinh có thể viết đẳng thức đã cho về dạng:
( )( )
4 15x xy− −− =−
Từ đó tìm ra các cặp số (x,y)
0,25
0,25
3)Cho
,,,abcd
là các số nguyên thỏa mãn
2 22 2
=++
abcd
. Chứng
minh rằng:
2023+abcd
viết được dưới dạng hiệu của hai số chính
phương
Ta có:
( )
2
2
21 4 414(1)1+ = + += + +
m m m mm
. Do đó ta có số chính
phương lẻ chia 8 luôn dư 1
0,25
Nếu a, b, c, d đều lẻ thì
222 2
,,,abcd
chia 8 đều dư 1 dẫn đến không
xảy ra
2 22 2
=++
abcd
(vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3)
0,25
Vậy trong các số a, b, c, d phải có ít nhất một số chẵn nên
2023+abcd
lẻ
0,25
Đặt
( )
( )( ) ( ) ( )
2
2
2023 2 1
11 1
+ =+∈
= +− ++ = + −
abcd k k Z
k k k k k k dpcm
0,25
Bài 4
6
điểm
I
K
A
B
C
D
E
a)Ta có:
0
DAC BAE BAC 60
= = +
Từ AD = AB;
DAC BAE=
và AC = AE
Suy ra ∆ADC = ∆ABE (c.g.c)
1,0
Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a)
ABE ADC
⇒=
,
mà
BKI AKD=
(đối đỉnh).
Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK suy ra
BIK DAK=
= 60
0
(đpcm)
b) Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và
ACM AEN=
⇒∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và
CAM EAN=
MAN CAE=
= 60
0
. Do đó
∆
AMN đều.
1,0
0,5
0,5
1,0
c) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB
⇒
∆
BIJ đều
⇒ BJ = BI và
JBI DBA=
= 60
0
suy ra
IBA JBD=
, kết hợp BA = BD
⇒∆IBA = ∆JBD (c.g.c)
AIB DJB⇒=
= 120
0
mà
BID
= 60
0
DIA⇒
= 60
0
. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 5
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có
a aa
01
bc bc bc
< <⇒ >
+ ++
Vì a là số dương nên theo tính chất của tỉ số ta được
aa
bc abc
>
+ ++
Do đó ta có
aa
bc abc
>
+ ++
Chứng minh tương tự ta được
bb c c
;
ca abc ab abc
>>
+ ++ + ++
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được
abc
1
bc ca ab
++ >
++ +
Vậy bài toán được chứng
1,0
1,0
----------------------------------------------------------------------------
I
K
A
B
C
D
E
M
N
J
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HUYỆN HẬU LỘC Môn: Toán 7
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát: 25/02/2023
(Đề gồm: 01 trang).
Bài 1: (4 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức 99   3 A = 99 − 1  ,(3) − 5.2 − ( 7 − )2 1 9 + + 99 .( 4 3 90 27 − 81 − 99 )  3      2) Tính tích 7  7  7   7 P 1 1 1 ...1  = + + + +  9 20 33 2900        3 3 3
3) Tính giá trị biểu thức a + b + c Q =
với a, b, c thỏa mãn:( a − b)2 3 2
+ 4b − 3c ≤ 0 abc
Bài 2: (4 điểm) 1) Tìm x, biết: 1 2−x 16 + 3.5 = x 1 5 − 125 2) Tìm x, biết:  1   8 1  2 3− x − . − + =   1  2  15 5  3
3) Tìm x, y biết : 3x −1 7y − 4 3x + 7y −5 = = 4 5 3x
Bài 3: (4 điểm)
1) Số A được chia thành ba phần tỉ lệ theo 2 3 1
: : . Biết rằng tổng các bình phương 5 4 6
của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
2) Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn: 2x − x( y +5) = 4 − y − 9
3) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2
a = b + c + d .
Chứng minh rằng: abcd + 2023 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC
các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE và  DIB = 600.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh: ∆AMN đều.
c) Chứng minh rằng: IA là phân giác của góc DIE.
Bài 5: (2 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c + + > 1 b + c c + a a + b
-----------------------------------------------------------------
----------------Hết------------------
Họ tên học sinh:.....................................................; Số báo danh:.................................
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài Đáp án Điểm Bài 1) Tính 99   3 A = 99 − 1  ,(3) − 5.2 − ( 7 − )2 1 9 + + 99 .( 4 3 90 27 − 81 − 99 ) 1  3      4 99   3 2 1 9 12 12 90  điểm A = 99 − 1  ,(3) − 5.2 − ( 7
− ) + + 99 .(3 − 3 − 99 )  3      0,5 99   3 = 99 − 1  ,(3) − 5.2 − ( 7 − )2 1 99 + − 99   3      0,25 99  3 99 1  ,(3) 5.2 ( 7)2 1 99 99  = − − + − − + 3    0,25 99 4 1 99
= 99 − + 40 − 49 + − 99 = 10 − 0,25 3 3 Vậy A = -10 0,25 2) 7  7  7   7  16 27 40 2907 P  = 1+ 1+ 1+ ... 1+ = 0,25       . . ...  9  20  33   2900  9 20 33 2900 2.8.3.9.4.10...51.57 = 0,5 1.9.2.10.3.11...50.58 2.3.4...51 8.9.10...57 = . 1.2.3...50 9.10.11...58 0,25 51.8 204 = = 58 29 Vậy P = 204 0,5 29 3 3 3 3)Tính giá trị a + b + c Q =
với a, b, c thỏa mãn: abc ( a − b)2 3 2
+ 4b − 3c ≤ 0 Vì ( a − b)2 3 2
≥ 0; 4b − 3c ≥ 0 nên để ( a − b)2 3 2
+ 4b − 3c ≤ 0 thì: (  a − b)2 3 2 = 0 3  a = 2b a b c  ⇒  ⇒ = = 0,5
 4b − 3c = 0 4b = 3c 2 3 4  Đặt a b c
= = = k ⇒ a = 2k;b = 3k;c = 4k Thay vào Q ta có: 2 3 4 a + b + c
(2k)3 +(3k)3 +(4k)3 3 k ( 3 3 3 3 3 3 2 + 3 + 4 ) 33 Q = = = = 3 abc 2k.3k.4k 24k 8 0,5 Bài 2 1) Tìm x, biết: 1 2−x 16 + 3.5 = 4 điểm x 1 5 − 125 x 1 − x−2  1   1  16 +  3. =  5  5     125 x 1 − x 1  1   1 −  16 +  3.  .5 =   5   5  125 0,25 x 1  1 −   ( + ) 16 1 15 =   5  125 x 1  1 −  1 =  5   125 0,5 x −1 = 3 x = 4 Vậy x = 4 0,25 2) Tìm x, biết:  1   8 1  2 3− x − . − + =   1  2  15 5  3  1  1 1 3− x − . =   2  3 3 0,5 1 1
3− x − =1⇒ x − = 2 2 2 0,5 1 5
1)x − = 2 ⇒ x = 1 3 2)x − = 2
− ⇒ x = − 2 2 2 2 Vậy 5 3 x ; −  ∈  0,5 2 2   
3)Tìm x, y biết : 3x −1 7y − 4 3x + 7y −5 = = 4 5 3x  1 x =  − =  Nếu 3x 1 0 3 
x + 7y − 5 = 0 thì 3  ⇒ 7 y 4 0  − = 4 y = 0,5  7
Nếu 3x + 7y −5 ≠ 0 thì áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3x −1 7y − 4 3x + 7y − 5 3x + 7y − 5 = = = 4 5 9 3x 0,5 ⇒ x = 3 3.3−1 7y − 4 ⇒ = ⇒ y = 2 4 5 Vậy (x y)  1 4 ,  ;  ∈  ,(3;2) 0,5   3 7   
Bài 3 1) Số A được chia thành ba phần, tỉ lệ theo 2 3 1
: : . Biết rằng tổng các bình 4 điểm 5 4 6
phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Gọi ba phần được chia lần lượt là: a, b, c Theo bài ra ta có: 2 3 1
a :b : c = : : và 2 2 2
a + b + c = 24309 0,25 5 4 6 Ta có: 2 3 1
: : = : : = 24 : 45:10 ⇒ a = b = c a b c 0,25 5 4 6 24 45 10
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a + b + c 24309 = = ⇒ = = = = = 9 0,5 24 45 10 576 2025 100 576 + 2025 +100 2701 2
⇒ a = 576.9 = 5184 ⇒ a = 72 ± b = 135 ± ;c = 30 ± 0,25
Vậy (a,b,c)∈ ({72;135;30),( 72 − ; 135 − ; 30 − )} 0,25
2)Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn: 2x − x( y +5) = 4 − y − 9 Ta có: 2
x − x( y + 5) = 4 − y − 9 2
x − 5x + 9 = xy − 4y 2
⇒ x − 5x + 9 = y (x − 4) 0,25 2
⇒ x − 5x + 9x − 4 0,25
⇒ x(x − 4) − (x − 4) + 5x − 4 ⇒ 5x − 4 ⇒ x − 4∈{ 1 ± ;± } 5 ⇒ x ∈{ 1 − ;3;5; } 9 0,5 Với x = 1 − thì y = 3 −
Với x = 3 thì y = 3 − 0,25
Với x = 5 thì y = 9
Với x = 9 thì y = 9
Vậy (x, y)∈ ({ 1 − ; 3 − ),(3; 3 − ),(5;9),(9;9)} 0,25
Học sinh có thể viết đẳng thức đã cho về dạng: (x − 4)(x − y − ) 1 = 5 −
Từ đó tìm ra các cặp số (x,y)
3)Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2
a = b + c + d . Chứng
minh rằng: abcd + 2023 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương Ta có: ( m + )2 2 2
1 = 4m + 4m +1 = 4m(m +1) +1. Do đó ta có số chính
phương lẻ chia 8 luôn dư 1 0,25
Nếu a, b, c, d đều lẻ thì 2 2 2 2
a ,b ,c ,d chia 8 đều dư 1 dẫn đến không xảy ra 2 2 2 2
a = b + c + d (vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3) 0,25
Vậy trong các số a, b, c, d phải có ít nhất một số chẵn nên 0,25 abcd + 2023 lẻ
abcd + 2023 = 2k +1(k ∈ Z ) Đặt
= (k +1− k)(k +1+ k) = (k + )2 2 1 − k (dpcm) 0,25 E Bài 4 A D 6 điểm K I C B a)Ta có:  =  =  0 DAC BAE BAC + 60 Từ AD = AB;  =  DAC BAE và AC = AE
Suy ra ∆ADC = ∆ABE (c.g.c) 1,0
Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a)⇒  =  ABE ADC, mà  =  BKI AKD(đối đỉnh).
Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK suy ra  =  BIK DAK = 600 (đpcm) 1,0 E A D N J K M I C B
b) Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và  =  ACM AEN 0,5
⇒∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và  =  CAM EAN 0,5  = 
MAN CAE = 600. Do đó ∆AMN đều. 1,0
c) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ⇒ ∆BIJ đều 0,5 ⇒ BJ = BI và  =  JBI DBA = 600 suy ra  =  IBA JBD, kết hợp BA = BD ⇒∆IBA = ∆JBD (c.g.c) 0,5 ⇒  =  AIB DJB = 1200 mà  BID = 600 0,5 ⇒  DIA = 60
0. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE 0,5
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có a a a 0 < < 1 ⇒ > b + c b + c b + c
Vì a là số dương nên theo tính chất của tỉ số ta được a a > b + c a + b + c 1,0 Bài 5 Do đó ta có a a > b + c a + b + c
Chứng minh tương tự ta được b b c c > ; > c + a a + b + c a + b a + b + c
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a b c + + > 1 b + c c + a a + b
Vậy bài toán được chứng 1,0
----------------------------------------------------------------------------