Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2022 – 2023 trường THCS Ba Đồn – Quảng Bình

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 7 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 7 năm học 2022 – 2023 trường THCS Ba Đồn, thị xã Ba Đồn, tỉnh Quảng Bình; đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.

29 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 7

Môn: Toán 7

Thông tin:

4 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BA ĐỒN
TRƯỜNG THCS BA ĐỒN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 7-NĂM HỌC 2022-2023
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm): Thực hiện các phép tính
a)
(
)
(
)
12 5 6 2 10 3 5 2
63
93
2 45
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
A
−−
= −
+
+
b)
222 2
111 1
B ( 1).( 1).( 1)...( 1)
2 3 4 2023
=−−− −
Câu 2 (2,0 điểm): Tìm x, y, z biết
a)
2
1
3 2 60
6
xy

− + −≤


b)
4 = 3 ;4 = 3x yy z
và 2x + y – z = -14
Câu 3 (1,5 điểm):
Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B
là 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp
7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;
8; 9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Câu 4 (1,0 điểm):
Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố lớn hơn 3 thì
(
+ 1
)(
− 1
)
chia hết cho 24.
Câu 5 (3,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của
BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với
MD tại M cắt AC tại E.
a) Chứng minh: MD = ME.
b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại I.
Chứng minh I là trung điểm của DK.
c) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh SC
⊥
AK.
Ghi chú:
+ Học sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay.
+ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
TRƯỜNG THCS BA ĐỒN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7
Câu
Điểm
1
a)
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
63
93
2 45
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
A
−−
= −
+
+
=
=
=
Vậy
7
A
2
=
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
222 2
111 1
B ( 1).( 1).( 1)...( 1)
2 3 4 2023
=−−− −
222 2
222 2
1 2 1 3 1 4 1 2023
. . ...
2 3 4 2023
−−− −
=
22 2 2
3 8 15 4092528
. . ...
2 3 4 2023
−−− −
=
222 2 2 2 2 2
3 8 15 4092528 1.3 2.4 3.5 2022.2024
. . ... . . ...
2
3 4 2023 2 3 4 2023
= =
22 2 2
1.3 2.4 3.5 2022.2024
. . ...
2 3 4 2023
=
222 2
1.3.2.4.3.5....2022.2024
2 .3 .4 ...2023
=
(1.2.3.4.5....2022)(3.4.5....99.2024)
(2.3.4.5....99.2023)(2.3.4.5....2023)
=
1.2024
2023.2
=
1012
2023
=
Vậy
1012
B
2023
=
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a) Vì
2
1
30
6
x

−≥


với
x∀
;
2 60y −≥
,y∀
do đó:
2
1
3 2 6 0 ,
6
x y xy

− + −≥ ∀


,
theo đề bài thì:
22
11
3 260 3 260
66
xy xy
 
− +−≤⇒ − +−=
 
 
.
Khi đó:
11
30
6 18
2 60 3
xx
yy

−= =

⇒


−= =

0,25
0,25
0,25
0,25
12 5 12 4 10 3 10 4
12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
−−
−
++
( )
( )
( )
( )
12 4 10 3
12 5 9 3
2 .3 3 1 5 .7 1 7
2 .3 3 1 5 .7 1 8
−−
−
++
( )
10 3
12 4
12 5 9 3
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
−
−
1 10 7
632
−
=−=
b)
43
3 4 9 12
xy x y
xy= ⇒=⇒=
(1)
43
3 4 12 16
yz y z
yz= ⇒=⇒ =
(2)
Từ (1) và (2)
2
9 12 16 18 12 16
xy z xy z
⇒= = ⇒ = =
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có
⇔
2 2 14
1
18 12 16 18 12 16 14
1
9
9
1 12
12
16
1
16
x y z xyz
x
x
y
y
z
z
+− −
= = = = = −
+−
= −
= −

=−⇔ =−


= −
= −
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(
*
, , , 10xyz N x∈>
).
Theo bài ra ta có
85xy+=
(1)
Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh
ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 nên ta có:
10 10
789
x yz−+
= =
(2)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
10 10 ( 10) 85 10
5
7 8 9 7 8 15
x yz x y− + −+ −
= = = = =
+
Suy ra
45, 40, 35xyz= = =
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 45, 40, 35 học
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
= +p 3k 1
= +p 3k 2
với k là số tự nhiên khác 0.
+ Nếu
= +p 3k 1
thì
( )
( ) (
)
+=+p 1 p – 1 3k 2 .3k
chia hết cho 3
+ Nếu
= +p 3k 2
thì
( )( ) ( )( )
+ =++p 1 p – 1 3k 3 3k 1
chia hết cho 3
Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì
( )( )
+p 1 p–1
chia hế
(1)
Mặt khác vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ. Suy ra
+p1
và
−p1
là hai số chẵn liên tiếp
Đặt
=p – 1 2n
thì
+= +p 1 2n 2
, ta có
( )( ) ( ) ( )
+ = += +p 1 p – 1 2n 2n 2 4n n 1
Do
( )
+nn 1
chia hết cho 2 nên
( )
+4n n 1
chia hết cho 8. Do đó
( )( )
+p 1 p–1
chia hết cho 8 (2)
0,25
0,25
0,25
(2) ta suy ra
( )( )
+p 1 p–1
chia hết cho 24.
0,25
5
0,5
0
( ) ; 45AMB AMC c c c AM BC MAB MAC∆ =∆ −− ⇒ ⊥ = =
AM MB MC⇒==
+ Xét
MAD
∆
và
MCE
∆
có
0
45MAD MCE= =
MA MC=
(cmt)
13
MM=
(cùng phụ với
2
M
MAD MCE⇒∆ =∆
MD ME⇒=
0,25
0,25
0,25
0,25
;
DP BC KQ BC⊥⊥
+ Chứng minh
PBD QCK∆=∆
(ch-gn)
PD KQ⇒=
+ Chứng minh
PDI QKI∆=∆
(g-c-g)
DI KI⇒=
⇒
0,25
0,25
0,25
0,25
c) + Chứng minh
= SABS AC
∆∆
(c-g-c)
SAB ACS⇒=
(hai góc
tương ứng) ; (1)
SB=SC (hai cạnh tương ứng)
+ Chứng minh
=SID SIK∆∆
(c-g-c)
SD SK⇒=
(hai cạnh tương
ứng)
+ Chứng minh
SBD SCK∆=∆
(c-c-c)
SBD SCK⇒=
(2)
+ Từ (1) và (2)
SCA SCK⇒=
mà
0
180SCA SCK+=
(kề bù)
SCA SCK SC AK
⇒ = ⇒⊥
0,25
0,25
0,25
0,25
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BA ĐỒN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS BA ĐỒN
MÔN TOÁN 7-NĂM HỌC 2022-2023
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm): Thực hiện các phép tính 12 5 6 2 10 3 5 2 a) 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A − − = ( − 2 2 .3)6 4 5 + 8 .3 (125.7)3 9 3 + 5 .14 b) 1 1 1 1
B = ( −1).( −1).( −1)...( −1) 2 2 2 2 2 3 4 2023
Câu 2 (2,0 điểm): Tìm x, y, z biết 2 a)  1 3x  − + 2y − 6 ≤   0  6  b) 4x = 3 ;
y 4y = 3z và 2x + y – z = -14
Câu 3 (1,5 điểm): Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B
là 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp
7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7; 8; 9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Câu 4 (1,0 điểm): Chứng minh rằng nếu 𝑝𝑝 là số nguyên tố lớn hơn 3 thì
(𝑝𝑝 + 1)(𝑝𝑝 − 1) chia hết cho 24.
Câu 5 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của
BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với
MD tại M cắt AC tại E.
a) Chứng minh: MD = ME.
b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại I.
Chứng minh I là trung điểm của DK.
c) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh SC ⊥ AK. Ghi chú:
+ Học sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay.
+ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
TRƯỜNG THCS BA ĐỒN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Câu Đáp án Điểm 1 a) 12 5 6 2 10 3 5 2 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A − − = ( − 2 2 .3)6 4 5 + 8 .3 (125.7)3 9 3 + 5 .14 12 5 12 4 10 3 10 4 = 2 .3 − 2 .3 5 .7 − 5 .7 − 12 6 12 5 9 3 9 3 3 0,25 2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7 12 4 10 3 = 2 .3 (3− ) 1 5 .7 (1− 7) − 0,25 12 5 2 .3 (3+ ) 9 3 1 5 .7 (1+8) 12 4 10 3 2 .3 .2 5 .7 .( 6 − ) = − 12 5 9 3 2 .3 .4 5 .7 .9 0,25 − 1 10 7 = − = 6 3 2 0,25 Vậy 7 A = 2 b) 1 1 1 1
B = ( −1).( −1).( −1)...( −1) 2 2 2 2 2 3 4 2023 2 2 2 2 1− 2 1− 3 1− 4 1− 2023 − − − − = . . ... 3 8 15 4092528 = . . ... 0,25 2 2 2 2 2 3 4 2023 2 2 2 2 2 3 4 2023
3 8 15 4092528 1.3 2.4 3.5 2022.2024 = . . ... = . . ... 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2023 2 3 4 2023 1.3 2.4 3.5 2022.2024 = . . ... 1.3.2.4.3.5....2022.2024 = 2 2 2 2 2 3 4 2023 2 2 2 2 2 .3 .4 ...2023 0,25
(1.2.3.4.5....2022)(3.4.5....99.2024) = 1.2024 = 1012 =
(2.3.4.5....99.2023)(2.3.4.5....2023) 2023.2 2023 Vậy 1012 B = 0,25 2023 2 2 a) Vì  1 3x  − ≥   0 với x
∀ ; 2y − 6 ≥ 0 y ∀ ,do đó: 0,25  6  2  1 3x  −
+ 2y − 6 ≥ 0 x ∀ 0,25   , y ,  6  theo đề bài thì: 2 2  1   1 0,25 3x 2y 6 0 3x  − + − ≤ ⇒ − + 2y − 6 =     0 .  6   6   1  1 3  x − = 0 x = 0,25 Khi đó:  6 ⇒  18
2y − 6 = 0 y = 3 b) 4 = 3 x y x y x y ⇒ = ⇒ = (1) 3 4 9 12 0,25 4 = 3 y z y z y z ⇒ = ⇒ = (2) 3 4 12 16 Từ (1) và (2) x y z 2x y z ⇒ = = ⇒ = = 0,25 9 12 16 18 12 16
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có 2x y z
2x + y − z 14 − = = = = = 1 − 0,25 18 12 16 18 +12 −16 14  x = 1 −  ⇔ 9  x = 9 −  y  1  = − ⇔ y = 12 − 0,25 12  z = 16 z −   = 1 − 16  3
Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh) 0,25 ( *
x, y, z ∈ N , x >10 ).
Theo bài ra ta có x + y = 85 (1)
Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh 0,25
ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 nên ta có: x −10 y z +10 = = (2) 7 8 9 0,25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x −10 y z +10 (x −10) + y 85 −10 0,25 = = = = = 5 7 8 9 7 + 8 15
Suy ra x = 45, y = 40, z = 35 (Thỏa mãn điều kiện) 0,25
Vậy số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 45, 40, 35 học sinh. 0,25 4
* Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên ta được p = 3k +1 hoặc
p = 3k + 2 với k là số tự nhiên khác 0. + Nếu p
= 3k + 1thì (p +1)(p – 1) = (3k + 2).3k chia hết cho 3 0,25
+ Nếu p = 3k + 2 thì (p+1)(p –1) = (3k + 3)(3k +1) chia hết cho 3
Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p+1)(p –1) chia hết cho 3 (1) 0,25
Mặt khác vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ. Suy ra
p + 1và p −1 là hai số chẵn liên tiếp
Đặt p –1 = 2n thìp+1 = 2n + 2 , ta có
(p+1)(p–1) = 2n(2n + 2) = 4n(n +1) 0,25
Do n(n +1) chia hết cho 2 nên 4n(n +1) chia hết cho 8. Do đó (
p + 1)(p – 1) chia hết cho 8 (2)
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, 3.8 = 24 nên từ (1) và 0,25
(2) ta suy ra (p+1)(p –1) chia hết cho 24. 5 0,5 a) Chứng minh ∆ = ∆ − − ⇒ ⊥  =  0 AMB AMC(c c c)
AM BC;MAB MAC = 45 0,25
⇒ AM = MB = MC + Xét MA ∆ D và MC ∆ E có  =  0 MAD MCE = 45 0,25 MA = MC (cmt)  0,25 =  M
M (cùng phụ với  M 1 3 2 0,25 ⇒ MA ∆ D = MC ∆
E (g-c-g) ⇒ MD = ME (hai cạnh tương ứng)
b) Kẻ DP ⊥ BC;KQ ⊥ BC 0,25 + Chứng minh P ∆ BD = Q
∆ CK (ch-gn)⇒ PD = KQ 0,25 + Chứng minh P ∆ DI = QK ∆ I (g-c-g) 0,25
⇒ DI = KI (hai cạnh tương ứng)⇒ I là trung điểm DK 0,25 c) + Chứng minh A ∆ BS= A
∆ CS (c-g-c)⇒  =  A S B ACS (hai góc 0,25 tương ứng) ; (1)
SB=SC (hai cạnh tương ứng) + Chứng minh S ∆ ID= S
∆ IK (c-g-c) ⇒ SD = SK (hai cạnh tương 0,25 ứng) + Chứng minh SB ∆ D = SC
∆ K (c-c-c) ⇒  =  SBD SCK (2) 0,25
+ Từ (1) và (2) ⇒  =  SCA SCK mà  +  0
SCA SCK =180 (kề bù) 0,25 ⇒  = 
SCA SCK ⇒ SC ⊥ AK (đpcm).