PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8
TRƯỜNG THCS HẢI HÒA NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: Toán
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6.0 điểm) Cho biểu thức:
𝑥𝑥2 + 1 𝑥𝑥3 − 1 𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 − 1 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3
a) Nêu ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 = 2 . 6
c) Tìm các giá trị x > 0 để biểu thức B = nhận giá trị nguyên . A Câu 2: (3.0 điểm)
1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: 3
n − n chia hết cho 24.
2. Tìm số nguyên dương n để (n − )2 2 8 + 36 là số nguyên tố. Câu 3: (3.0 điểm)
1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2
2x + 3y + 4x =19 2. Giải phương trình: 2x 13x + = 6 . 2 2
2x − 5x + 3 2x + x + 3 Câu 4: (7.0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung
điểm của BC,qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM ,a cắt AB, AC lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh: 𝛥𝛥𝐴𝐴𝛥𝛥𝛥𝛥 ∼ 𝛥𝛥𝐸𝐸𝐸𝐸𝛥𝛥
b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo
thứ tự tại N và D. Chứng minh: NC = ND và HI = HK.
c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐻𝐻 𝐴𝐴𝐻𝐻 𝐴𝐴𝐻𝐻 Câu 5: (1.0 điểm) 2 Cho hai số + dương x , y 2x 4 y thỏa mãn: =
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 4x +12x + 9 y +1
thức: Q = xy − 3y − 2x − 3.
------------------Hết-------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8
TRƯỜNG THCS HẢI HÒA NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN
(Đề gồm 01 trang) Câu Nội Dung Điể m Cho biểu thức:
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 𝑨𝑨 = 𝒙𝒙
+ 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 + 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟑𝟑
a)Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 6.0 đ
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 .
c) Tìm x > 0 để biểu thức 6
B = nhận giá trị nguyên . A
a) ĐKXĐ: Với 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ −1 0.5
b) Rút gọn: Với 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ −1 ta có: 2 3 4 3
x +1 x −1 x − x + x −1 A = + + 2 3 x x − x x − x 0.5
= 𝑥𝑥2+1 + 𝑥𝑥2+𝑥𝑥+1 − 𝑥𝑥2−𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 x + 2x +1 0.5 Câu 1 = x (6.0 đ) (x + )2 1 = x 0.5
b)Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 = 2
Ta có: 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 = 2
⇔ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2 = 0 ⇔ (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 2) = 0 0.5
𝑥𝑥 = 1 (𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚) 0.5
⇔ �𝑥𝑥 = −2(𝑘𝑘/𝑚𝑚) 0.5
Với 𝑥𝑥 = −2 thì 𝐴𝐴 = −1. 2 0.5 6 0.5
c)Tìm x > 0 để biểu thức B = nhận giá trị nguyên A 6 6x
Vì x > 0 nên B = = > 0 A ( 0.5 x + )2 1
Vì (x-1)2 > 0 suy ra: (x +1)2 > 4x (x + )2 1 4x 0.5 Do đó: A = >
= 4 ⇒ A > 4 ⇒ 6 < 6 = 1,5 x x 𝐴𝐴 4
Khi đó: 0 < B <1,5 mà B nhận giá trị nguyên nên B =1 6x x = 2 + 3 ⇔
=1⇔ 6x = x +1 ⇔ x − 4x +1= 0 ⇔ 2 ( )2 2 (  x + ) 1 x = 2 − 3 0.5 x = 2 + 3
Vậy B nhận giá trị nguyên ⇔  (t/mđk) x = 2 − 3
1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: 3n − n chia hết cho 24.
2. Tìm số nguyên dương n để (n − )2 2
8 + 36 là số nguyên tố. 3.0 đ 1.Ta có: 3
n − n = n(n − ) 1 (n + ) 1 Vì n −1; ;
n n +1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết 0.5 cho 3. Do đó ( 3
n − n)3 (1)
Vì n là số tự nhiên lẻ nên n −1 và n +1 là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó 0.5
(n − )(n + ) ⇒ ( 3 1 1 8
n − n)8 (2)
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) suy ra 0.5
( 3n −n)24 (đpcm) Câu 2 (3.0 đ) 2.Ta có (n − )2 2 4 2 4 2
8 + 36 = n −16n + 64 + 36 = n −16n +100 4 2 2
= n + 20n +100 − 36n = (n + )2 2 2 10 − 36n = ( 2 n − n + )( 2
6 10 n + 6n +10)
Vì n∈ N * nên 2 2
n + 6n +10 > n − 6n +10 0.5 2 n + 6n +10 =1 để (n − )2 2
8 + 36 là số nguyên tố thì  2
n − 6n +10 = 1 Mà 2 2
n + 6n +10 > n − 6n +10 nên 2 n − 6n +10 =1 0.5 2
⇔ n − 6n + 9 = 0 ⇔ (n − 3)2 = 0 ⇔ n = 3
Thử lại: Với n = 3 ⇒ (n − )2 + = ( − )2 2 2 8 36
3 8 + 36 = 37 là số nguyên tố
Vậy với n = 3 thì (n − )2 2 8 + 36 là số nguyên tố 0.5
Câu 3 1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2
2x + 3y + 4x =19 (3.0 đ) 2x 13x
2. Giải phương trình: + = 6 3.0 đ 2 2
2x − 5x + 3 2x + x + 3 1. Ta có: 2 2 2 2
2x + 3y + 4x =19 ⇔ 2x + 4x + 2 = 21− 3y ⇔ 2( 2 x + 2x + ) 1 = 3( 2
7 − y ) ⇔ 2(x + )2 1 = 3( 2 7 − y )( ) 1 0.5 Ta thấy:
Vế trái PT (1) chia hết cho 2 và 3 là số lẻ 2 2
⇒ 7 − y 2 ⇒ y lẻ nên y lẻ (2)
Vì vế trái PT (1) không âm do đó ( 2 − y ) 2 2 3 7
≥ 0 ⇔ 7 − y ≥ 0 ⇔ y ≤ 7(3) 0.5 Từ (2) và (3) suy ra 2 y =1 ⇔ y = 1 ± . Thay 2
y =1vào (1) ta được : (  + =  =
x + )2 = ⇔ (x + )2 x 1 3 x 2 2 1 18 1 = 9 ⇔ ⇔  x 1 3  + = − x = 4 −
Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của PT là ( 0.5 2;− ) 1 ,(2; ) 1 ,( 4; − ) 1 ,( 4; − − ) 1 2. 2x 13x + = 6 2 2
2x − 5x + 3 2x + x + 3
Ta thấy x = 0không là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của các phân thúc cho x ta có 2 13 + = 6 3 3 2x − 5 + 2x +1+ x x Đặt: 3
2x + − 2 = a ta được: 0.5 x 2 13
2a + 6 +13a − 39 6(a − 3)(a + 3) + = 6 ⇔ = a − 3 a + 3 (a − 3)(a + 3) (a − 3)(a + 3) 2
⇒ 15a − 33 = 6a − 54 2
⇔ 6a −15a − 21 = 0 ⇔ (2a − 7)(a +1) = 0 a = 1 −  ⇔ 7 a =  2 0.5 Với a = 1 − 3 7 ⇒ 2x + − 2 = 2
⇔ 2x − x + 3 = 0 x 2 2 2
⇔ 4x − 2x + 6 = 0  1  23 ⇔ 2x − + =   0 vô lý  2  4 Với 7 a = 3 ⇒ 2x + − 2 = 1 − 2
⇔ 4x −11x + 6 = 0 2 x x = 2 2
⇔ 4x − 3x − 8x + 6 = 0 ⇔ (x − 2)(4x − 3) = 0  ⇔ 3 x =  4 0.5
Tập nghiệm của phương trình là 3 S 2;  =  . 4  
Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M là
trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM ,a cắt
AB, AC lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh: 𝜟𝜟𝑨𝑨𝜟𝜟𝜟𝜟 ∼ 𝜟𝜟𝑬𝑬𝑬𝑬𝜟𝜟
b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH,
AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh: H là trung điểm của IK
c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P = 𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝜟𝜟𝑨𝑨 + 𝜟𝜟𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑨𝑨𝑬𝑬 𝑨𝑨𝑯𝑯 Hình vẽ: A F Câu 4 G K (7.0 đ) H I M 0,5 B C E N D
a)Ta có: 𝛥𝛥𝐴𝐴𝐸𝐸𝛥𝛥 ∼ 𝛥𝛥𝛥𝛥𝐸𝐸𝛥𝛥(𝑔𝑔. 𝑔𝑔) ⇒ 𝐶𝐶𝐻𝐻 = 𝐶𝐶𝐴𝐴 1,0 𝐶𝐶𝐻𝐻 𝐶𝐶𝐵𝐵 CE CA Xét A ∆ BC và E ∆ FC có: = và góc C chung 1,0 CF CB
Suy ra: 𝛥𝛥𝐴𝐴𝛥𝛥𝛥𝛥 ∼ 𝛥𝛥𝐸𝐸𝐸𝐸𝛥𝛥(𝑐𝑐𝑔𝑔𝑐𝑐) 0.5
b)Vì CN / /IK mà 𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊥ 𝐼𝐼𝐼𝐼 nên HM ⊥ CN ⇒ M là trực tâm HN ∆ C 0.5
⇒ MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD(H là trực tâm A
∆ BC) ⇒ MN / / AD hay MN // BD 0.5
Xét 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑐𝑐ó: M là trung điểm của BC, MN // BD
⇒ N là trung điểm của CD ⇒ NC = ND (1) 0.5
Vì IK // CD , Áp dụng định lý talets ta có: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐻𝐻 (2) 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐴𝐴
Từ (1) và (2) ⇒ IH = HK hay H là trung điểm của IK 0.5
c)Ta có: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐻𝐻
𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶+𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0.5
Tương tự ta có: 𝐵𝐵𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ; 𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐻𝐻
𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐻𝐻
𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐻𝐻 𝛥𝛥𝐻𝐻 𝛥𝛥𝐻𝐻 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ⇒ 𝑃𝑃 =
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 + 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴
𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 + 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 + 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶
𝐻𝐻𝐸𝐸 + 𝐻𝐻𝐸𝐸 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝑆𝑆 + + 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑆𝑆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 0.5 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑆𝑆 + + + + + 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑆𝑆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 0.5 𝑆𝑆 + + + + + 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 ≥ 2 + 2 + 2 = 6
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 = 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 Khi và chỉ khi A ∆ BC đều . 0.5 2
Cho hai số dương x , y 2x + 4 y thỏa mãn: = . Hãy tìm giá 2 4x +12x + 9 y +1
trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = xy −3y − 2x −3. 1.0 đ 2 2 + + Ta có: y 2x 4 y 2x 4 = ⇒ = 2 2 4x +12x + 9 y +1 (2x + 3) y +1
Đặt a = y ; b = 2x + 3 (a > 0;b > 3) 2 Ta được: a b +1 3 3 =
⇒ a + a = b + b 2 2
⇔ (a − b)(a + ab + b + a + b) = 0 ( ) 1 2 b a +1
Câu 5 Vì a > 0;b > 3 nên 2 2
a + ab + b + a + b > 0 .
(1.0 đ) Do đó : ( )1 ⇔ a = b.
Suy ra: y = 2x + 3. 0.5
Nên : Q = x(2x + 3) − 3(2x + 3) − 2x − 3 2
= 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 12 = 2(𝑥𝑥2 − 5 𝑥𝑥 − 6) = 2 ��𝑥𝑥 − 5� − 121�. 2 4 16 2
= 2 �𝑥𝑥 − 5� − 121 ≥ −121. 4 8 8 Dấu " = " xảy ra khi: 5 11 x = ; y = (thỏa mãn). 4 2 0.5 −
Vậy GTNN của Q là 121 tại 5 11 x = ; y = . 8 4 2 Điểm toàn bài 20 đ
Lưu ý khi chấm bài:
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ,
hợp logic. Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần
theo thang điểm tương ứng.