PHÒNG GD&ĐT TP. BẮC GIANG
ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2022 - 2023
MÔN KHẢO SÁT: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày khảo sát: 11/02/2023
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề có: 01 trang)
Câu 1: (5,0 điểm)  (a − )2 2  3 1 1) Cho biểu thức 1− 2a + 4a 1 a + 4 =  − +  : a M
, với a ≠ 0; a ≠ 1. 3a +  (a − )2 3 2 1 a −1 a −1 4a 
a) Rút gọn M .
b) Tìm giá trị của a để M đạt giá trị lớn nhất.
2) Cho các số thực a, b thỏa mãn: 2 2
a + b + ab − a + b +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức 3 4
M = 3a − 2b + 2022 .
Câu 2: (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: 6 5 4 3 2 x 3
− x + 6x − 7x + 6x − 3x +1 = 0
2) Tìm đa thức f (x) biết f (x) chia cho (x −3) dư 2; f (x) chia cho (x + 4) dư 9 và f (x) chia cho ( 2
x + x −12) được thương là ( 2 x + 3) và còn dư.
Câu 3: (4,0 điểm)
1) Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn : 2 3y x + = 3026
2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2 a + a = 2 2
3b + b . Chứng minh rằng: a − b và
2a + 2b +1 là các số chính phương.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE,CF . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh: 1) A
∆ BC đồng dạng với A ∆ EF . 2) HD HE HF + + = 1. AD BE CF
(AB + BC +CA)2 3) ≥ 4 . 2 2 2
AD + BE + CF
Câu 5: (1,0 điểm) 2
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 3 + + = 1011 x y yz z − .Tìm giá trị lớn nhất 2
và nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y + z .
...........................................HẾT...........................................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 5.0  (a − )2 2  2 1 1− 2a + 4a 1 4a M =  − +  ⋅ 2 0.5
 a + a +1 (a − ) 1 
( 2a +a+ )1 a−1 a  ( 2a +4) (a − )3 2 2
1 −1+ 2a − 4a + a + a +1 4a 1.1a M = ( a 0.5 − ) ⋅ 1 ( 2 a + a + ) 2 1 a + 4 (2,0 điểm) 3 2 2 2
a − 3a + 3a −1−1+ 2a − 4a + a + a +1 4 = a M ( a − ) ⋅ 1 ( 2 a + a + ) 2 1 a + 4 0.5 3 a −1 4a 4 = ⋅ = a M 3 2 2
a −1 a + 4 a + 4 0.5 KL 4a
( 2a +4)−( 2a −4a+4) (a − 2)2 Ta có M = = = 1− 0.5 2 2 2 a + 4 a + 4 a + 4 1.1b (a − 2)2 (a − 2)2 Vì
≥ 0 với mọi a nên 1− ≤ 1 với mọi . a 2 a + 4 2 a + 4 (1.5 0.5 điểm) (a − 2)2 Dấu " = " xảy ra khi = 0 ⇔ a = 2 (tm) 2 a + 4
Vậy giá trị lớn nhất của M là 1 khi a = 2 . 0.5 Ta có 2 2 a + b + ab − a + b +1 = 0 ⇔ 2 2
2a + 2b + 2ab − 2a + 2b + 2 = 0 0.5 ⇔ 2 2 2 2
(a + 2ab + b ) + (a − 2a +1) + (b + 2b +1) = 0 1.2 2 (a + b) = 0 a = −b (1.5    a = 1 2 2 2 2 điểm)
⇔ (a + b) + (a −1) + (b +1) = 0 ⇔ (a −1) = 0 ⇔  a =1 ⇔  0.5   b = 1 − 2 (b +1) = 0 b = 1 −    a =1 Thay  vào 3 4
M = 3a − 2b −1 ta được 3 4 M = 3.1 − 2( 1 − ) + 2022 = 2023 0.5 b = 1 −
Vậy giá trị của biểu thức M = 2023. Câu 2 4.0
+) x = 0 không là nghiệm của phương trình
+) Chia cả hai vế cuả phương trình cho x3 ta được: 0.5 3 2 6 3 1 3 1 2 1 1
x − 3x + 6x − 7 + − +
= 0 ⇔ (x + ) − 3(x + ) + 6(x + ) − 7 = 0 2 3 3 2 x x x x x x 1 1 1  1  1  1 Đặt 2 2 3 3  3
t = x + ⇒ x + = t 2; − x + = x + 3 − . x x + = t −     3t 0.5 2 3 x x x  x  x  x 
2.1 Thay vào phương trình ta được: (2.0 3 2
điểm) t − 3t − 3(t − 2) + 6t − 7 = 0 ⇔ (t − )3 1 =1 ⇔ t =1 0.5 1 2
⇒ x + =1 ⇔ x − x +1 = 0 x 1 2
⇒ x + =1 ⇔ x − x +1 = 0 vô nghiệm x 0.5 KL Do f(x) chia cho 2
x + x −12 = (x −3)(x + 4) được thương là 2 x + 3 còn dư nên ta có : 0.5
f (x) = (x + )(x − )( 2 4
3 x + 3) + .ax + b 2.2 Cho x = 4
− => f (x) = 4 − a + b = 9 (2.0 0.5 = => = + = điểm) Cho x 3
f (x) 3a b 2  4 − a + b = 9 a = 1 − Khi đó ta có hệ:  ⇔ 3 0.5  a b 2 b  + =  = 5
Đa thức cần tìm: f (x) = (x + )(x − )( 2 4
3 x + 3) − x + 5 0.5 Câu 3 4.0 Xét 2
y = 0 ⇒ x = 3026 −1 = 3025 ⇒ x = 55 0.5 3.1 y (2
Xét y > 0 ⇒ 3 3 còn 2 x :3 dư 0 hoặc 1 0.5 điểm) 2 ⇒ + 3y x
:3 dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2 , vô lý 0.5 KL: Vậy ( ; x y) = (55;0). 0.5 2 2
a + a = b + b ⇔ ( 2 2
a − b ) + (a −b) 2
= b ⇔ (a − b)( a + b + ) 2 2 3 2 2 2 2 1 = b (1) 0.5 Gọi(a − ;2 b a + 2b + ) 1 = d . Khi đó : 2
b = (a − b)( a + b + ) 2 2
2 1 d ⇒ bd 0.5 3.2 (2
Mà a − bd ⇒ ad ⇒ 2a + 2bd ⇒ (2a + 2b + )
1 − (2a + 2b)d ⇒1d ⇒ d =1 điểm) 0.5 Như vậy: (a − ;
b 2a + 2b +1) =1.
Từ đó, theo (1) suy ra: a − b và 2a + 2b +1là các số chính phương. 0.5 A Câu 4 E F K H B D C Chứng minh đúng: A ∆ EB∽ A ∆ FC . 0.5 4.1 Suy ra: AE AF = (2 AB AC 0.5
điểm) Chứng minh đúng: A ∆ BC∽ A ∆ EF 1.0 HD S 4.2 Chỉ ra được: BHC = AD S 0.5 ABC (2.0 HE S HF S điểm) Tương tự: AHC = ; AHB = . BE S CF S 0.5 ABC ABC HD HE HF S + S + S Suy ra: BHC AHC AHB + + = AD BE CF S 0.5 ABC HD HE HF + + = 1 AD BE CF 0.5
Dựng đường thẳng d đi qua C song song với AB. Gọi K là điểm đối xứng với A qua d.
Chứng minh được góc BAK vuông, CK=AC, AK = 2CF. 0.5
Xét ba điểm B, C, K ta có BK  BC CK.
Tam giác BAK vuông tại A nên:
AB  AK  BK  AB  AK  BC CK 2 2 2 2 2 2 0.5 4.3
 AB  CF  BC CK2  CF  BC  2 2 2 2 2 4 4 CA  AB . (1.0
điểm) Hoàn toàn tương tự ta có
4AD  AB  AC 2 2 2  BC , 0.5
4BE  AB  BC 2 2 2  AC .
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có
AB  AC  BC 0.5
4AD  BE CF   AB  AC  BC   2 2 2 2 2   4. 2 2 2
AD  BE CF Câu 5 2 x Ta có 2 2 3
y + yz + z =1011− 2 2 2 2 (1
⇔ 2y + 2yz + 2z = 2022 − 3x điểm) 0.5 2 2 2 2 2 2 2
⇔ x + y + z + 2xy + 2yz + 2xz = 2022 − x + 2xy − y − z + 2xz − x 2 2 2
⇔ (x + y + z) = 2022 − (x − y) − (x − z) ≤ 2022
⇔ − 2022 ≤ x + y + z ≤ 2022
⇒ x + y + z 2022
nhỏ nhất bằng − 2022 khi x y z − = = = 3 0.5 x + y + z 2022
lớn nhất bằng 2022 khi x = y = z = 3 Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp
logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.