PHÒNG GD&ĐT VĂN BÀN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS KHÁNH YÊN NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm có: 01 trang, 07 câu) Câu 1 (5,0 điểm) 2 2 x + x  x +1 1 2 − x 
1.1. Cho biểu thức: P = : − + 2 2 x 2x 1 x 1 x x x  − + − −  
a) Rút gọn biểu thức P. Tìm x để P<1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1. a b c d
1.2. Cho các số a, b , c , d thoả mãn điều kiện: = = = và a + b +c +d ≠ 0.
3b 3c 3d 3a
Chứng minh rằng: a= b = c = d Câu 2 (2,0 điểm)
Trong trò chơi rung chuông vàng trên sàn đấu có 120 học sinh được đánh số thứ
tự từ 1 đến 120. Chọn ngẫu nhiên một học sinh để phỏng vấn. Tính xác suất của biến
cố. 1. A : “Học sinh được chọn mang số tròn chục”.
2. B: “ Học sinh được chọn mang số chia cho 17 dư 2 và chia cho 3 dư 1”
Câu 3 ( 2,0 điểm)
Để đánh máy một bản thảo cuốn sách gồm 71 trang, hai cô nhân viên văn phòng
Nhung và Hoa cùng đánh máy trong 4 giờ, ngoài ra cô Hoa còn phải làm thêm 2,5 giờ
nữa mới xong. Nếu cả cô Nhung và cô Hoa cùng đánh máy trong 4,75 giờ thì để hoàn
thành công việc, cô Hoa chỉ cần làm thêm 45 phút nữa. Hỏi mỗi cô đánh máy riêng một
mình thì trong một giờ đánh máy được bao nhiêu trang. Câu 4 (2,0 điểm)
4.1. Cho x ≥1; y ≥1 1 1 2 . Chứng minh + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy
4.2. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c =3 . Tìm giá
ab + bc + ca
trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
P = a + b + c + 2 2 2
a b + b c + c a
Câu 5 (1,0 điểm) Chứng minh rằng: n (n+2) ( 25n2 - 1 )  24 ∀ n ∈ N
Câu 6 (2,0 điểm ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
x + x − y = 0 Câu 7 (6,0 điểm )
7.1. Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Qua điểm A kẻ
đường thẳng d vuông góc với AC, đường thẳng d cắt tia CD tại E. Kẻ DK vuông góc với AE (K thuộc AE).
a) Chứng minh: Tam giác KDA đồng dạng với tam giác DAC
b) Chứng minh: DA2 = DC . DE
c) Gọi P là giao điểm của OE và KD. Chứng minh rằng: PK = PD
d) Chứng minh ba đường thẳng CK, AD, OE cùng đi qua một điểm.
7.2. Bạn Hà làm một cái lồng đèn hình quả trám (xem hình bên) là hình
ghép từ hai hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 20 cm, cạnh bên 32 cm, khoảng
cách giũa hai đỉnh của hai hình chóp là 30 cm.
a) Tính thể tích của lồng đèn.
b) Bạn Hà muốn làm 50 cái lồng đèn như này, cần phải chuẩn bị bao
nhiêu mét thanh tre? ( mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)
..........................Hết.........................