SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11
CỤM TRƯỜNG THPT GL - LB
NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I (4,0 điểm) Cho phương trình sin x cos 2x  cos x  sin x  0.
1) Giải phương trình đã cho.
2) Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0;20.
Bài II (4,0 điểm)
1) Tính các giới hạn sau:  1 1 1  a) lim 1   ...  .  2   3 3 3n n 
3 x  7  3x 1 b) . lim 2 x 1  x 1 2
 ax  bx  2  khi x  1
2) Cho hàm số f  x   x 1 . 4 khi x  1 
Tìm tất cả các cặp số  ,
a b để hàm số f  x liên tục tại x  1.
Bài III (2,0 điểm) Giải bất phương trình log
x  1  log 3  x  log  x  32  0. 1 8 2 2
Bài IV (7,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh . a Đường
thẳng SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD, SA  a 2.
1) Tính góc giữa hai đường thẳng AD và SC.
2) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh S ,
B SC, SD lần lượt tại các điểm
E, F, I. Chứng minh đường thẳng IE song song với đường thẳng B . D AH
3) Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AF và IE. Tính tỉ số . AF
4) Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh CD, (M khác C và D). Mặt phẳng qua M và vuông
góc với CD cắt các cạnh SC, SB lần lượt tại N và .
P Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MNP. u   1 1
Bài V (3,0 điểm) Cho dãy số u được xác định như sau: n 
u  3u  2n, n   1, 2, 3,...  n 1  n
1) Đặt v  u  2n , n
  1, 2, 3,... Chứng minh v là một cấp số nhân. n  n n
u  u  ...  u 2) Tìm 1 2 lim n .  3n n
- - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - -
Họ và tên thí sinh:...............................................Số báo danh:..............................................
Chữ kí CBCT 1: .............................................. Chữ kí CBCT 2: ..........................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11
CỤM TRƯỜNG THPT GL - LB
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Điểm
1) Giải phương trình sin x cos 2x  cos x  sin x  0. 2,0
Ta có: sin x cos 2x  cos x  sin x  0  x  2 sin 2 cos x  
1  cos x  sin x  0 0,5 2
 2sin x cos x  cos x  0 cos x  0
 cos x 2sin x cos x   1  0   1,0 sin 2x  1    x   k  2   k . 0,5 
 x   k  4 Bài I
2) Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0; 2. (4,0 đ) 2,0 
Xét họ nghiệm x   k ,
 k   có x 0; 20  0  k  19 0,5 2 
Tương tự họ nghiệm x   k ,
 k   có x 0; 20  0  k  19 0,5 4
Do đó tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0; 20 là: 19 19       0,5 S   k   k      k 0  2  k 0  4           19 .20  19 .20      2 2   4 4  0,5    395 .  2 2
1) Tính các giới hạn sau:  1 1 1 
3 x  7  3x 1 a) lim 1   ...   b) lim 2,0 2  2  3 3 3n n  x 1  x 1 n 1   1  1   1 1 1  3  3  1  a) Ta có 1   ...    1 0,5 Bài II 2 n  n 1  3 3 3 1 2  3   (4,0 đ) 1 3  1 1 1  3  1  3 Do đó lim 1   ...   lim 1   0,5 2 n   n 1  n  3 3 3 n  2  3     2 3 3
x  7  3x 1
x  7  2  2  3x  1 b) Ta có lim  lim 0,25 2 2 x 1  x 1 x 1  x 1    1 3  0,5  lim   2  x 1 
  x   3 x   3  x    x   1 2  3x 1 1 7 2 7 4    1 3 1     0,25 24 8 3 2) Tìm  ,
a b để hàm số f  x liên tục tại x  1. 2,0
Để hàm số f  x liên tục tại x  1 thì f  x phải có giới hạn tại x  1. 0,5
Do đó a  b  2  0  b  a  4. 2
ax  ax  4x  2
Khi đó lim f  x  lim x 1  x 1  x 1 2
ax  ax  4x  4 a  x   1  4 a  2 1,0    . lim lim x 1   x   1  2
ax  ax  4x  2 x 1  2 2
ax  ax  4x  2
Hàm số f  x có giới hạn tại x  1 a  2 0,5
 lim f  x  f   1 
 4  a  6  b  2  . x 1  2 Giải phương trình log
x  1  log 3  x  log  x  32  0. 1 8 2 2,0 2
Điều kiện: 1  x  3. 0,5 log
x  1  log 3  x  log  x  32  0  log x 1  log 3  x  log x  3 1 8 2   2   2   Bài III 2 0,5 2 (2,0 đ)
  x     x   x   2 1 3
3  x  2x  3  x  3 x  1 0,5 2
 x  x  0  .  x  0 
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là: S  1;0  1;3. 0,5
1) Tính góc giữa hai đường thẳng AD và SC. 2,0 S 0,5
Do AD∥ BC  SC, AD   SC,CB .
Chứng minh SBC vuông tại B Bài IV   SC CB  ,  SCB 0,5 (7,0 đ) A B  SB a 3   tan SCB    3  SCB  60 BC a 1,0 D C
Vậy góc giữa SC và AD là 60 .
2) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC … 1,0 S
Chứng minh BD  SC  BD∥  AEI  0,5 F E BD  ∥  AEI  Do   BD∥ EI. A B  AEI 
 SBD  EI  0,5 D C
3) Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AF và IE. .. 2,0 S
Chứng minh ba điểm S, H , O thẳng hàng. 0,5
Do SA  AC  a 2  S
 AC vuông cân tại 0,5 F E
A  F là trung điểm SC . H I
Xét SAC có SO  AF  H  H là A B AH 2 trọng tâm S  AC   . 1,0 O AF 3 D C
4) Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh CD, (M khác C và D)... 2,0 S
Gọi Q là giao điểm của  và AB .
Chứng minh MNPQ là hình thang vuông tại P và Q . P 1  S  N . P PQ . MNP 2 1,0 N A B Q D M C SP Đặt
 x 0  x   1 ta có: SB NP SP   NP  . x a BC SB 0,5 PQ BP 
 PQ  a 2 1 x SA BS 2 2 2 2 a 2 a
2  x 1 x  a 2 Suy ra S  . x  x   MN  P 1    2 2  2  8 0,5 2 a 2 Vậy Max S 
khi M là trung điểm CD . MNP 8 Bài V
1) Chứng minh v là một cấp số nhân. n  1,0 (3,0 đ) Ta có: n n 1 u
 3u  2  u
 2   3 u  2n n 1  n n 1   n  0.5 v  3 1   v  3v , n   1, 2,3...  n 1  n 0,5
Suy ra v là một cấp số nhân. n 
u  u  ...  u 2) Tìm 1 2 lim n . 2,0  3n n
Ta có v  3n , n
  1, 2, 3...  u  3n  2n , n   1, 2, 3... 0,5 n n
Do đó u  u  ...  u        n  1 1 3 2   2 2 3 2 ... 3n 2n 1 2    0,5   2
1 3  3  ...  3n    2
1 2  2  ...  2n  n 1  n 1  n 2 3 1 0,5      n 3 2 1 1 2   * 1  , n    2 2 n 1  n2
u  u  ... u 3  2 1 3 Suy ra 1 2 n . lim  lim  0,5  3n  2.3n n n 2
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.