Đề HSG Toán 7 vòng 1 năm 2022 – 2023 liên trường THCS huyện Diễn Châu – Nghệ An

PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG VÒNG 1 LIÊN TRƯỜNG THCS NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,5 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức: 2   a)  3 4  5  4 3   5   1   1  1 :   :    
; b) 6.   3.  1 : ( 1   7 11 11  7 11  11   3   3    3   2 2 1 1  0, 4    0, 25    c) 2022 9 11 3 5    : 7 7 1 2023  1,4   1  0,875  0,7   9 11 6 
Câu 2. (4,0 điểm) a) Tìm x biết: x x2 2  .3  3  99 ;
b) Tìm x, y biết: 1+3y  1+5y  1+7y ; 12 5x 4x
c) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2 2
7(x  2023)  23  y
Câu 3. (4,5 điểm)
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6.
b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó: x 1 P  . 2x  2
c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là 85 em, Nếu
chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ
lệ thuận với 7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Câu 4.(7,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và
AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: a) BM = CN. b) BC < MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và BC luôn luôn đi qua
một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
2. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia
CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADB
--------------HẾT--------------
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh...............................................................SBD:.............
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC 2022-2023
( Hướng dẫn chấm này có 04 trang ) Câu Ý Nội dung Điểm 1 a
1. Tính giá trị biểu thức: 1,5 4,5 1,5        đ a) 3 4 5 4 3 5  :   :     ;  7 11 11  7 11  11
 3 4  5  4 3  5 3 4 4 3 5 0,5  :   :  (    ) :      7 11 11  7 11  11 7 11 7 11 11 3  4 4 3 5 1 5  (    ) :  (1 ) : 0,5 7 7 11 11 11 11 11 10 11  .  2 0,5 11 5 b   1 2   1   1 1,5 1,5
b) 6.   3.  1 : ( 1    3   3    3  2  1 1      1  1  4 0.5 6.   3.  1    
 : ( 1)  6. 11 : ( )  3 3   3  9        3   1  4 2 3 0.5
6. 11 : ( )  (  2).( )  9    3 3 4 8 3  .( )  2  0.5 3 4 c  2 2 1 1  1,5 0, 4    0, 25  1,5   c) 2022 9 11 3 5    : 7 7 1 2023  1,4   1  0,875  0,7   9 11 6   2 2 2 1 1 1      0,5   2022 5 9 11 3 4 5     : 7 7 7 7 7 7 2023        5 9 11 6 8 10    1 1 1   1 1 1   0,5 2          5 9 11 3 4 5      2022     :
  1 1 1  7  1 1 1   2023 7           5 9 11 2 3 4 5        2 2  2022   :  0   0.5  7 7  2023 2 a 2. a) Tìm x biết: x x2 2  .3  3  99 ; 1,0 4,0 1,0 x x2 x x2 2  .3  3  99  2.3  3  99 0.25 đ x 2  3 (2  3 )  99 0.25
 3 .x11  99  3x  9  x  2 0.5 b 1,5
b) Tìm x, y biết: 1+3y  1+5y  1+7y ; 1,5 12 5x 4x
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 1  7y  1  5y 2y 1  5y  1       3y  2y 12 5x 4x 4x  5x x 5x  12 5x  12 0,5 => 2y 2y  x 5x 12
TH1: y = 0, thay vào=> không thỏa mãn 0,5
TH2: y  0  x  5x -12  x=2
Thay x = 2 vào trên ta được: 1 3y 2y    y 12 2
=>1+ 3y = -12y=> y = 1 15
Vậy x = 2, y = 1 thoả mãn đề bài. 0,5 15 c
c) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2 2
7(x  2023)  23  y 1,5
1,5 Vì x, y là các số tự nhiên nên 2
(x  2023) , y 2 là các số chính phương 0,5 nên không âm nên 2 23  y  23  2
0  7(x  2023)  23 2 (x  2023)  0 x  2023 0.5 Do đó   2  (x  2023) 1 x  2024
+ Với x = 2023 thì không có giá trị của y tự nhiên thỏa mãn. 0.25 + Với x =2024 thì 2
y  16  y  4 . Vậy (x;y) =(2024;4) 0.25 3 a
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. 1,5
4,5 1,5 Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6. đ
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó p + 1 chẵn 0,5 => (p + 1)  2 (1)
Cũng do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 0,25 (k N)
Nếu p = 3k + 1 thì p +2 = 3k +3 = 3(k + 1)  3 0,25
=> p + 2 không là số nguyên tố nên p = 3k + 1 không xảy ra.
Do đó p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 3 = 3(k +1)  3 (2) 0,25
Vì (2;3) = 1 nên từ (1) và (2) ta có (p + 1)  6 0,25 b
b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn 1.5 1,5 nhất đó: x 1 P  . 2x  2 x 1 (x 1)  2 1 2 P     0.5 2x  2 2(x 1) 2 x 1 Để 2 Pmax a 
m x  x-1 >0 và nhỏ nhất (x nguyên)  x  2 0.5 x-1 1 2 3 Pmax     x  2 0.5 2 2 1 2 b
c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là
1,5 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh
ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao 1,5 nhiêu học sinh?
Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh) ( *
x, y, z  N , x  10 0,25
Theo bài ra ta có x  y  85 (1) 0.25
Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba
lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 nên ta có: 0,25 x 10 y z 10   (2) 7 8 9
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 0,25 x 10 y z 10 (x 10)  y 85 10      5 7 8 9 7  8 15
Suy ra x  45, y  40, z  35 (Thỏa mãn điều kiện) 0.25
Vậy số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 45, 40, 35 học sinh. 0,25 4
1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối 6,0 7,0
của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với đ
BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: a) BM = CN. b) BC < MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và
BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC a Xét ∆MDB và ∆NEC có: 2,0   0
MDB  NEC( 90 ) 0.5 BD = CE (gt) 0.25   
MBD  NCE( ACB) 0.75
=>∆MDB = ∆NEC (g.c.g)=> BM = CN (hai cạnh tương ứng) 0.5 b
Ta có BC=BD+DC; DE=DC+CE, mà BD=CE(gt) 1.0 => BC=DE
2.0 Gọi I là giao điểm của MN và BC ta có DE=DI+IE1.0
giữa đường vuông góc và đường xiên)=>BCc
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.
=> AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác cân ABC. 2.0 0,25
Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I. 0,25 ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)   
OBA  OCA (cặp góc tương ứng) (*)
 OC = OB (cặp cạnh tương ứng) (1) 0,25 ∆MDI = ∆NEI (g.c.g)  0,25
IM = IN (cặp cạnh tương ứng) (2) ∆OIM = ∆OIN (c.g.c)  0,25
OM = ON (cặp cạnh tương ứng) (3)
Từ (1), (2) và (3)=> ∆OBM = ∆OCN (c.c.c)  0,25  
OBM  OCN (cặp góc tương ứng) (**) Từ (*) và (**) suy ra  
OCA  OCN =900, do đó OC  AC. 0,25
=> điểm O cố định. Vậy đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm
của MN và BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên 0,25 cạnh BC
2. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia 1.0
đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADB 2. A 1,0 đ H B C D
KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v×  0  0
ACD  60  CDH  30
Từ đó chứng minh được CD CH = CH = BC 2 0,5
Tam gi¸c BCH c©n t¹i C   0  0
CBH  30  ABH  15 Mμ  0
ABH  15 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H
Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H VËy  0 0 0
ADB  45  30  75 ADB = 450+300=750 0,5 Lưu ý:
- Nếu học sinh không vẽ hình bài 4 hoặc vẽ sai thì không chấm bài 4.
- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng phần.