PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
DUY XUYÊN NĂM HỌC 2017-2018 Môn : TOÁN - Lớp 8
Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1(3,5đ) a) Chứng minh n 3
 1 7 n chia hết cho 6 với mọi n  Z b) Rút gọn biểu thức ( 2 x  a) 1 (  a) 2 2  a x 1 2 2 2 Bài 2(4,5đ) (x  a) 1 (  a)  a x  1
a) Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4 m thì dừng lại
1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lại 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây, … Cứ như vậy đi
từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc
2 m/giây. Tính khoảng cách từ A đến B. 2 2 a  b b) Biết a 3  3 a b 2  5 và b 3  3 a 2 b  1 0 Tính M = 2018 Bài 3(4đ) a) Giải phương trình ( 2 x  x  ) 1 ( 2 x  x  2)  12
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x 2  y 2  4 ( x  y)  2010 Bài 4(4,5đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của BD, BC, DC.
a) Chứng minh APQR là hình thang cân.
b) Biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài của AR. Bài 5(2,5đ)
Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường 1 1 1
chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh   BN BM BK Bài 6(1đ) Biết
a , b , clà độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : ( 2 2 2 a  b  c )2  4 2 2 a b  0 ------ Hết------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
DUY XUYÊN THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017-2018 Môn : TOÁN - Lớp 8 Bài 1: 3 3 (3,5đ) a) n  1 7
n = n  n18n  n(n  ) 1 (n  ) 1 18n 0,5 n ( n
 1 ) ( n  )1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
và 3, (2,3) =1 nên chia hết cho 6 0,5 1 8 n chia hết cho 6 0,5 0 Suy ra Điều chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 b) (x  a) 1 (  a)  a x 1
x  x a  a  a  a x 1  2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 (x  a) 1 (  a)  a x 1
x  x a  a  a  a x 1 2 2 2 2 2 2 2 2
x  x a  a x 1 a  a x 1 (  a  a )  1 (  a  a )   0,5 2 2 2 2 x  x a  a x 1 2 2  a  a x 1 ( 2  a  a )  1 ( 2  a  a ) ( 2 x  ) 1 1 ( 2  a  a ) 2 1  a  a  = ( 2 x  ) 1 1 ( 2  a  a ) 2 1  a  a 1.0
a) Gọi x là số lần đi ( x  N , x  ) 0 , số lần dừng là x-1 0,25 Bài 2: Thời gian đi 4 8 12 4x    .......  ( 4,5đ) 2 2 2 2
= 2+4+6+…+2x = 2(1+2+3+…+x) = x(x+1) 0,5
Thời gian dừng 1+2+3+….+(x-1) (x 1  ) 1 (x  ) 1 x(x  ) 1   0.5 Lập được pt x(x  ) 1 2 2  x(x  ) 1 155 0,25 2 Biến đổi được 3 2 x  x  310  0 0.25
Giải tìm đúng x= 10 (chọn), x= -31/3 (loại) 0.5
Khoảng cách AB là 10(10+1).2 = 220 (m) 0.25 b) a 3  3 a b 2  5 6  a  6 4 2 a b  9 2 4 a b  25 0.5 3 b  3 2 a b  10 6 2 4 4 2  b  a b  a b  6 9 100 0.5 6  a  3 4 2 a b  3 2 4 6 a b  b  125 0.5 2 2 a  2 2 3 3 5  b (a  b )  5   0.5 2018 2018 Bài 3 a) 2 2 (x  x  ) 1 (x  x  2)  12 (4đ) 2 2 Đặt x  x  1  X có X  X 12  0 0,25 2
X  4X  3X 12  0 (X  ) 4 (X  ) 3  0 0,25  X   ; 4 X  3 0,5 2 1 19
X    x  x    x    4 2 5 0 ( ) 0 Vô nghiệm 0,5 2 4 X  3 2
 x  x  2  0  ( 2 x  2x)  (x  2)  0 0,5
 (x )1(x2)  0  x   ;1x  2 0,5 2 2
b)P = x  y  4(x  y)  2010 2 2
x  4x  4  y  4 y  4  2018 = 0,5
= (x  2)2  ( y  2)2  2018  2  018 0,5 Pmin = -2018 khi x=y =2 0,5 Bài 4
a) PQ là đường trung bình tam giác BDC, suy ra PQ// AR nên (4,5đ) APQR là hình thang. 0,5
AQ= ½ BC (trung tuyến tam giác vuông ABC) 0,5
PR = ½ BC ( đường trung bình tam giác DBC) 0,5 Suy ra AQ = PR 0,5
Kết luận APQR là hình thang cân 0,25 b)Tính được BC= 10 cm 0,5
Tính chất đường phân giáctrong của Tg ABC D . A BA  DC BC 0,5 Suy ra .DA BA 0,5  AC BC  BC
Thay số tính đúng AD= 3cm; DC=5cm; DR=2,5 cm 0,5 Kết quả AR= 5,5 cm 0,25
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài 5
AB//AC (hai cạnh đối hình bình hành). Theo định lí Talét có : (2,5đ) .MC NC MN MC  AB MN  NB BM      ) 1 ( 0,5 AB AN NB AB BN BN 0,5 .KM KD MD BK  KM AB  MD BM AB  MD       ( ) 2 BK KA AB BK AB BK AB Từ (1) và (2) BM BM AB  MC AB  MD MC  MD      0,75 BN BK AB AB AB Mà MC+MD= CD=AB nên 0,25 .BM BM
  1 Suy ra điều cần chứng minh 0.5 BN BK Bài 6(1đ) ( 2 2 2 a  b  c )2  4 2 2 a b  ( 2 2 2 a  b  c  2ab)( 2 2 2 a  b  c  2ab) 0,25   2 2 (a  b)  c  2 2 (a  b)  c  0,25           (a b c)(a b c)(a c b)(b c a) 0,25
Tổng 2 cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số của tích
đều dương, suy ra điều chứng minh 0,25
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/
Học sinh giải cách khác , phân biểu điểm tương tự./.