Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Ninh Giang – Hải Dương

UBND HUYỆN NINH GIANG
KÌ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2024-2025 MÔN: TOÁN 8
Thời gian làm bài 150 phút Câu 1: (2,0 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử: 5 3 n − 5n + 4n 2) Rút gọn biểu thức 2x − 9 x + 3 2x +1 A = − −
với x ≠ 2; x ≠ 3. 2
x − 5x + 6 x − 2 3− x Câu 2: (2,0 điểm)
1) Cho đa thức f(x) = x2 + ax + b. Tìm các hệ số a, b biết đa thức f(x) có nghiệm bằng
2 và f(x) chia hết cho đa thức 2x – 3.
2) Giải phương trình: ( x − )(x + )2 3 2 1 (3x +8) = 16 −
Câu 3: (2,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên (x;y) thỏa mãn 2 2
x + 5xy + 6y + x + 2y − 2 = 0
2) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2
a = b + c + d . Chứng minh abcd + 2025
viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
Câu 4. (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh ΔAEF đồng dạng với ΔABC
b) Chứng minh AH.AE + CH.CF = AC2 (AB+AC+BC)2 c) Chứng minh ≥ 4 2 2 2 AD +BE +CF Câu 5. (1,0 điểm)
1) Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2 , chỉ có 2 học sinh
được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng
nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10).
2) Xét x, y là hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện .xy =1. Tìm giá trị lớn nhất của 2( 3 3 x + y ) biểu thức A = ( . 4 2 x + y )( 2 4 x + y )
-----------------Hết---------------- UBND HUYỆN NINH GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2024-2025 MÔN: TOÁN 8 Câu Ý Đáp án Điểm Ta có: 5 3 − + = ( 4 2 n 5n 4n n n − 5n + 4) 0,25 1 (1 điểm) = ( 4 2 n n − 5n + 4) 0,25
= (n − 2)(n−1)n(n+1)(n+ 2) 0,25
= (n − 2)(n−1)n(n+1)(n+ 2) 0,25
+) Với x ≠ 2; x ≠ 3 ta có: Câu 1 2x − 9
x + 3 2x +1 (2x − 9) − ( x + 3)( x − 3) + (2x + ) 1 (x − 2) 0,25 A = − − = (2 2
x − 5x + 6 x − 2 3− x
(x −3)(x − 2) điểm) 2 2
2x − 9 − x + 9 + 2x − 3x − 2 = ( 0,25
x − 3)(x − 2) 2 (1 điểm) 2 x − x − 2 0,25 = (x−3)(x−2) (x + ) 1 (x − 2) x +1 0,25 = ( =
x − 3)(x − 2) x − 3 Vậy với +
x ≠ 2; x ≠ 3 thì x 1 A = x − 3 1
+) Từ đề bài ta suy ra được f(2) = 0 => 9+ 2a + b = 0 (1) 0,25 (1 điểm) +)
f (x)( x − )  2  2 4 2 3 ⇒ f = a + b + =  
0 hay 6a + 9b = 4 − (2)  3  3 9 0,25 Từ 1, 2 tìm được 50 23 a = − ;b = 0,25 3 6 Kết luận cho bài toán 0,25 2 2 2 Câu 2
Ta có (3x − 2)(x + ) 1 (3x +8) = 16 −
⇔ (3x − 2)(3x + 3) (3x + 8) = 144 − (1 điểm) (3
Đặt 3x + 3 = t ⇒ 3x − 2 = t −5;3x +8 = t + 5. 0,25 điểm)
Ta có Phương trình (t − ) 2
5 t (t + 5) = 144 − 0.25 t = t = ±
⇔ t − 25t +144 = 0 ⇔ (t −9)(t −16) 2 9 3 4 2 2 2 = 0 ⇔  ⇔ 2 t =16  t = 4 ± 2 t = 9 t = 3 ± 0,25 ⇔  ⇔ 2 t =16  t = 4 ±
Xét các trường hợp của t ta tìm được x=0 ; x= 2 − ; x= 1 ; x= 7 − 0,25 3 3  1 7 −
Vậy phương trình có tập nghiệm là S 0; 2; ;  = − 3 3    1 Ta có: 2 2
x + 5xy + 6y + x + 2y − 2 = 0 ⇔ (x + 2y)(x + 3y) + x + 2y − 2 = 0 (1 điểm)
⇔ (x + 2y)(x + 3y +1) = 2 0,25
Do x, y nguyên nên ta có bảng các trường hợp sau: x+2y 1 2 -1 -2 0,25 x+3y+1 2 1 -2 -1 x 1 6 3 -2 0,25 y 0 -2 -2 0 Câu 3
Vậy các cặp (x,y) thỏa mãn là: (1;0); (6;-2);(3;-2);(-2;0) 0,25 (2 2 điểm) Ta có: ( m + )2 2 2
1 = 4m + 4m +1 = 4m(m +1) +1. (1 điểm) 0,25 Do đó ta có ( m + )2 2
1 là số chính phương lẻ chia 8 luôn dư 1. Nếu a, ,
b c, d đều lẻ thì 2 2 2 2
a , b , c , d chia 8 đều dư 1 dẫn đến không 0,25 xảy ra 2 2 2 2
a = b + c + d (vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3)
Vậy trong các số a, ,
b c, d phải có ít nhất một số chẵn nên abcd chẵn ⇒ abcd + 2023 lẻ. 0,25 Đặt abcd + = k + = 
(k + ) − k 
 (k + ) + k =  (k + )2 2 2023 2 1 1 1 1 − k 0,25 Với (k ∈) Vẽ hình 0,25 (0,25 điểm) x A E F j K H Câu 4 C (3 B D điểm) M a) Xét AE ∆ B và AF ∆ C có (0,75 điểm  =  0 AEB AFC = 90 Góc A chung ⇒ AE ∆ B  AF ∆ C (g − g) 0,25 Suy ra AE AB = 0,25 AF AC Xét AE ∆ Fvà AB ∆ C có : AE AB = ,  BAC chung 0,25 AF AC ⇒ AE ∆ F  AB ∆ C (c − g − c)
b) (1điểm) Chứng minh được A ∆ HE ∽ A ∆ CD Suy ra AH AE 0,25 =
⇒ AH.AD = AE.AC (1) AC AD Chứng minh được C ∆ HE ∽ C ∆ AF 0,25 Suy ra CH CE =
⇒ CH.CF = AC.CE (2) AC CF Từ (1) và (2) suy ra 0, 5
AH AD + CH CF = AC ( AE + CE) 2 . .
= AC.AC = AC c)
Qua C vẽ tia Cx vuông góc với CF, lấy điểm M sao cho Cx là trung (1 điểm)
trực AM suy ra AC = CM. Gọi K là giao điểm Cx và AM
Ta có tứ giác AKCF là hình chữ nhật suy ra AM ⊥AB và AK = CF Mà AM = 2 AK nên AM = 2 CF Theo Pi ta go ta có 0,25 2 2 2
AB + AM = BM ≤ (BC + CM )2 = (BC + AC)2 2 2
⇒ AB + 4CF ≤ (BC + AC)2 2
⇒ 4CF ≤ (BC + AC)2 2 − AB 0,25 Tương tự 2 ≤ ( + )2 2 4AD AB AC − BC 2 ≤ ( + )2 2 4BE AB BC − AC 0,25 2 2 2
⇒ 4AD + 4BE + 4CF ≤ ( AB + AC + BC)2
(AB+ AC + BC)2 ⇒ ≥ 4 2 2 2
AD + BE + CF 0,25 Câu 5 1)
Vì trong lớp có 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới (1
(0,5điểm) 2 và có 2 học sinh được 10 điểm nên có 45 2  43 học sinh còn lại 0,25 điểm)
có số điểm từ 2 đến 9 điểm.
Như vậy có 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả
sử mỗi loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh
thì lớp học có không quá 5.8 = 40 học sinh, ít hơn 43 học sinh. Vậy 0,25
tồn tại ít nhất 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. 2) 2( 3 3 x + y ) 3 3
x + y + x + y x + y +1.( 3 3 3 3 3 3 x + y ) (0,5điểm) A = ( = = 4 2 x + y )( 2 4 x + y ) ( 4 2 x + y )( 2 4 x + y ) ( 4 2 x + y )( 2 4 x + y ) 3 3
x + y + x . y ( 3 3 x + y ) . y ( 4 2
x + y ) + .x( 2 4 x + y ) x y ( = = + 4 2 x + y )( 2 4 x + y ) ( 4 2 x + y )( 2 4 x + y ) 4 2 2 4 x + y x + y 0,25
Ta có (x − y)2 2 4 2 2 ≥ 0 x
∀ , y ⇒ x + y ≥ 2x y x ∀ , y ⇒ x x 1 1 ≤ =
= (do x, y > 0 ) 4 2 2 x + y 2x y 2xy 2 y 1 Chứng minh tương tự ≤ ⇒ A ≤1 2 4 x + y 2 2 x = y  0,25 Dấu “=” xảy ra khi 2
x = y ⇔ x = y = 1. Vậy giá trị lớn nhất của A =1 khi xy =1  x = y =1
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
Xem thêm: ĐỀ THI HSG TOÁN 8
https://thcs.toanmath.com/de-thi-hsg-toan-8
Document Outline

• ĐỀ HSG Toán 8 (2024-2025)
• HSG 8