SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II BẮC NINH NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: Toán 9 (Phần Tự luận)
Thời gian làm bài: 70 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm)
x  2y  4
a) Giải hệ phương trình  .
2x  3y  5  x  x     b) Rút gọn biểu thức 1 1 1 P     x   
 với x  0 và x  1. x 1 x 1   x 
c) Tìm m để phương trình 2
x  2 m  
1 x  2m  3  0 có hai nghiệm x ; x thỏa 1 2 mãn 2 2 x  x  10. 1 2 Câu 2. (1,0 điểm)
Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự định. Nếu năng suất
tăng lên 10 sản phẩm mỗi ngày thì tổ hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10
sản phẩm mỗi ngày. Hỏi tổ đó đã dự kiến làm bao nhiêu sản phẩm trong một ngày? Câu 3 (2,5 điểm)
Cho đường tròn O, R . Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia
đối của tia CD lấy điểm S, SA cắt đường tròn tại M , tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt
CD ở P , BM cắt CD ở T .
a) Chứng minh tứ giác AMTOnội tiếp.
b) Chứng minh rằng P là trung điểm của ST.
c) Biết PM  R , tính T . A SM theo R . Câu 4. (0,5 điểm)
Cho các số thực dương a, ,
b c thỏa mãn ab  bc  ca  3abc . Chứng minh rằng a b c
5(a  b  c)    12 b c a ====== HẾT ======
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẮC NINH
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2023-2024
Môn: Toán 9 (Phần Tự luận)
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
Lưu ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của thí sinh phải trình bày chi tiết, chặt chẽ.
Thí sinh giải cách khác đúng thì chấm điểm thành phần tương ứng. Học sinh làm đúng đến
đâu cho điểm đến đó (nếu quá trình lập luận và biến đổi bước trước sai thì bước sau đúng
cũng không cho điểm). Câu Đáp án Điểm 1.a 0,75
x  2y  4
2x  4y  8 y  3      0,5
2x  3y  5
2x  3y  5 x  2 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:  x, y   2  ; 3. 0,25 1.b 0,75  x 1 x 1   1  P     x   
 với x  0 và x  1. x 1 x 1   x   x 1 x 1   1  P     x     x 1 x 1   x    0,5  x  2 2 1
( x 1)  x 1    x 1 x 1  x   4  x x 1  .  4  x 1 x
Vậy P  4 với x  0; x 1 0,25 1.c 0,5 Xét phương trình 2
x  2 m  
1 x  2m  3  0 có
a  b  c  1 2(m 1)  2m  3  0 0,25
Phương trình có 2 nghiệm là -1 và 2m  3 . Không mất tính tổng quát giả sử x  1
 ; x  2m3 1 2 Để 2 2 2 2 2
x  x  10  ( 1
 )  (2m  3) 10 (2m  3)  9 1 2  0,25
2m  33;  
3  m 0;  
3 . Vậy m 0;   3 2 1,0
Gọi số sản phẩm theo dự kiến làm trong một ngày là x (sản phẩm) 0,25
Điều kiện : x ; x 10
Số ngày hoàn thành công việc khi năng suất tăng 10 sản phẩm là: 350 0,5 x 10 (ngày)
Số ngày hoàn thành công việc khi giảm năng suất 10 sản phẩm là: 350 x 10 (ngày)
Vì khi tăng năng suất hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất ta có phương trình 350 350  2  x 10 x 10 2
 x  3600  x  60 (vì x 10 ). 0,25
Tổ đã dự kiến làm 60 sản phẩm trong một ngày. 3.a 1,0 S P M C T GT,KL 0,25 A B O D Ta có 0
AMB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); 0,25 Vì 0
CD  AB  TOA  90 Xét tứ giác AMTO có 0 0 0
AMT TOA  90  90 180 suy ra tứ giác AMTO 0,5 nội tiếp (đpcm) 3.b 1,0
Vì tứ giác AMTO nội tiếp  MAO  MTP (1) ;
Vì PM là tiếp tuyến của (O)  PMT  MAO (2) 0,5
Từ (1) và (2)  MTP  PMT  P
 MT cân tại P  PM  PT(3) Mặt khác 0 0
AMB  90  SMT  90 (hai góc kề bù) 0
MSP  MTP  90  0
SMP  PMT  90 0,5
 MSP  SMP  S
 MP cân tại P  PS  PM (4) từ (3) và (4)  PS  PT
Suy ra P là trung điểm của ST 3.c 0.5
Vì tứ giác AMTO nội tiếp  SAT  SOM Xét S  AT và S
 OM có SAT  SOM ; AST chung 0,25 S  AT ∽ S
 OM(g  g) TA ST   T .
A SM  ST.OM OM SM Mặt khác ta có 0,25
ST  2R (do ST  2PM  2R ); OM  R 2 T .
A SM  ST.OM  2R . Vậy 2 T . A SM  2R 4 0,5 1 1 1
Ta có ab  bc  ca  3abc     3 a b c 1 1 1 1 b a c Theo AM- GM ta có 3 3
a  b  c  3 abc;    3 ;    3 a b c abc a c b 0,25  1 1 1 
 3(a  b  c)   
(a  b  c)  9  a  b  c  3    a b c  b a c        2(a b c) 9 a c b a b c
 5(a  b  c)  (3a 1 )  (3b 1 )  (3c 1 ) 12 c a b 1 1 1 1 1 1
 5(a  b  c)  a(3  )  b(3  )  c(3  ) 12 a c b a c b 0,25 a b c
 5(a  b  c)    12 (đpcm) b c a
Dấu bằng xảy ra khi a  b  c 1