Đề kiễm tra đội tuyển học sinh giỏi quốc gia năm 2024 môn Vật lý đại cương 2 | Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2024 Môn VẬT LÝ
Thời gian làm bài: 180 phút Câu I. (4,0 điểm)
Hai vâ t nh c khi lưng v M=2m đưc ni vi nhau bng mô t m
si dây mm, nh!, không d"n c chiu di như h#nh v$ bên. Hê  3l
đang nm yên trên mă t sn nm ngang, trơn, nh*n th# nhâ n đưc m
mô t xung hưng th,ng đ-ng lên trên khi.n n đô  t ngô t c vâ n tc v .0
Bi.t vâ t không r0i khi sn v kho2ng c3ch gi4a hai vâ t bng đ5ng M
chiu di c6a si dây trong sut qu3 tr#nh chuy8n đô ng c6a hê . Gọi gia
tc rơi tự do tại l  O g
1. Vi.t phương tr#nh qu? đạo c6a trong hê  quy chi.u
đ-ng yên (h#nh v$), gc tọa đô  trBng m O xy
vi vC trD ban đEu c6a khi tâm c6a hê . Mô t2 c3c đă c đi8m c6a qu? đạo ny. C
2. Bi.t rng n.u ở vC trD dây treo vuông gc vi sn,
vẫn không r0i sn v si dây vẫn căng th# M
chuy8n động c6a hệ tha m"n gi2 thi.t ban đEu (nghĩa l trong sut qu3 tr#nh chuy8n động M
không r0i sn v kho2ng c3ch gi4a hai vật không đổi). TDnh gi3 trC cực đại v cực ti8u c6a . v0 3. Trong trư0ng hp √ v
, tại th0i đi8m si dây ni hai vật hp vi phương th,ng đ-ng một 0=3 g l gc α=30,0 °
a. vận tc gc c6a dây treo phụ thuộc vo theo hệ th-c no? M , m, l, g
b. lực căng c6a si dây v ph2n lực m sn phụ thuộc vo theo hệ th-c no? M , m, l , g ĐÁP ÁN 1.
Gọi đEu dây ni vi vật l , đEu ni vi l , ta c =2 M A AC=3l m
M+m=l; BC=3l−AC l m B {
Do sn không c ma s3t nên khi tâm
chuy8n động th,ng đ-ng trên C trục , do đ { O y xm 4l =2 2+y lcos 2 φ
ym=3lsin φ Phương tr#nh qu? đạo 9l2=1 x2 y ≥ 0
Qu? đạo l nXa phDa trên c6a elip tâm c: O -) trục nh nm trên 4l O x -) trục ln nm trên . 6l O y 2.
Khi si dây ni hai vật vuông gc vi sn, lên đ.n đi8m cao nhất v c vận tc bng , vận tc c6a C 0
c2 v đu song song vi mặt đất, 3p dụng đCnh luật b2o ton động lưng v đCnh luật b2o ton cơ m M năng, ta c Trang 1/3
M vM=m vm=mv ⟹ {vm=v vM=v 2 2m (v )2 m v 2 2 2 2+M v 2 M 2=mv2 2+mg (3l )=m v0 2+ 2+3mgl ⟹
v2=2 (v02−6g l) 3
L5c ny c3c lực t3c động lên M hưng theo phương th,ng đ-ng (ph2n lực c6a sn N , lực căng TM c6a
si dây v trọng lực M g) m M chỉ trưt trên sn nên gia tc c6a M bng 0, hệ quy chi.u gắn vi M
l5c ny l hệ quy chi.u qu3n tDnh. Theo đCnh luật II Newton, ta c (v− vM 3 )2
mg ≤ mg+T=m l=3
4lm v2=34lm2 (v02−6g l)=12lm (v02−6g l)⟹ 3
v0≤2 √2gl=v0min
T+N−Mg=0⟹N=
(M+m )g−(T+mg )
N= (M+m )g−12lm (v02−6g l)=12lm (v02−12g l)≥0⟹
v0≤2 √3g l=v0max 3. a.
Theo đCnh luâ t b2o ton cơ năng, ta c
1 (M+m )v2+1 2 C
2ICω2+ (M+m )g l sinφ=1 2m v0(1) 2
IC=M l2+m(2l)2=6ml2
Xdt chuy8n đô ng c6a M trong c3c hê  quy chi.u Oxy v O ' x ' y ', ta c:
vM= vC+ vM'= vC+ ω× l1⟹0=vC−ωl cosφ⟹vC=ω lcosφ=ω l2⟹ (2 ) ω2 g l≈0,5635g
4+2ω2+ √3gl=3g l⟹ω2=4 (3−√3) l⟹ 9
ω=2 √3− √3 √gl≈0,751 √g 3 l b. Ta c
{N+(M+m )g=(M+m)aC ⟹{N=−(M+m )(g−aC)
T+ N+M g=M aM=2m aM
Tcosφ=2m aM aC
⟹ {N=(M+m )(g+aC )=3m (g+aC)(1) T=4maM
N lcosφ=Iγ ⟺N=Iγ
lcosφ=12ml γ(2 ) Ta lại c a  M=  aC+  aM '=  aC+  γ ×
CA−ω2 CA ⟹ Trang 2/3
Chi.u lên O x v O y, ta đưc
{aM=−γ l√2+32 (3−√3)9g (3)
aC+γ2 l+2 (√3−1 ) 3g=0 Câu II. (4,0 điểm)
Con lắc c6a một chi.c đồng hồ qu2 lắc l một ng đồng thau rỗng c chiu di l1=1,00m ở nhiệt độ
t1=25,0℃ . Bi.t rng đồng hồ ny chạy đ5ng gi0 ở nhiệt độ t1, hệ s nở di c6a đồng thau c6a qu2 lắc
l λ=2,00.10−5K−1 , gia tc trọng trư0ng tại nơi lm thD nghiệm lg=9,80m/s2 .
1. Khi gi2m nhiệt độ c6a đồng hồ xung t0=0℃ th# chiu di con lắc ngắn hơn l1 một lưng bng bao nhiêu?
2. T#m chu kỳ T1 c6a đồng hồ khi n chạy đ5ng gi0. Khi nhiệt độ l t2=37,0℃ th# chu k# dao
động c6a đồng hồ thay đổi một lưng bng bao nhiêu so vi T1?
3. Ngư0i ta bCt kDn đEu dưi c6a con lắc rồi đổ th6y ngân vo ng. Bi.t rng b dy c6a đ3y ng
không đ3ng k8, th6y ngân c hệ s nở khi đ,ng 3p α=1,80.10−4K−1 . Khi khối lượng của
thủy ngân bằng khối lượng của vỏ ống th# chu kỳ c6a con lắc hEu như không phụ thuộc vo
nhiệt độ v khi đ chiu cao c6a cột th6y ngân l h.
a. Ch-ng t rng khi nhiệt độ c6a con lắc thay đổi một lưng Δ t th# chiu cao h c6a cột
th6y ngân thay đổi một lưng Δ h=σh Δt
, vi σ gEn đ5ng l một hng s. TDnh σ .
b. Tỉ s h/l c gi3 trC bng bao nhiêu đ8 th. năng khi Hg hEu như không phụ thuộc t
c. T#m h v chu kỳ dao động c6a con lắc sau khi đổ thêm th6y ngân. ĐÁP ÁN 1.
−Δl1=λ l Δt =5,00.10−4m 2.
T1=2π √2l13g=1,64s
Khi con lắc ở nhiệt độ t2
T2 =√l2≈√1+λ(t2−t1 )≈1+λ (t2−t1)⇒T2=T1 (1+λ (t2−t1)) T1 l1 2 2 λ
⇒ΔT =T2−T1=T1
(t2−t1 )≈1,97.10−4s 2 3. a. Ta c Trang 3/3
dS=2λSdt ;d V Hg =α V Hg dt
Chiu cao c6a cột th6y ngân: h=VHg S⇒dh=d V H
S g−VHg S2dS=α V Hg S d
− tVHg S22λSdt= (α−2λ )hdt Hay ni c3ch kh3c:
Δh=σhΔt ; σ =α−2λ=1,4.10−4K−1 b. Ta c )2
T=2π √ I 2m dGg=2π √ ml2 3+m h2
12+m (l−h2 ⇒
(ml2+m(l−h )g 2
l2− l h+h2)
T=2π √ I =2π √ 2 (4 3 2mg dG
3g (3l−h ) ⇒ 3g T 2
8π2=4l2−3l h+h2 3l−h Câu III. (4,0 điểm)
Đưa một qu2 cEu kim điện môi tâm C b3n kDnh R=10,0cm c hng s điện môi ε=3,00 vo một điện
trư0ng đu c cư0ng độ điện trư0ng c độ ln E0=1,00kV /m v hưng theo chiu dương trục O x,
ban đEu dưi t3c động c6a điện trư0ng, c3c electron v c3c ion c6a khi điện môi bC dCch chuy8n trong
qu2 cEu khi.n cho sự phân b điện tDch c6a qu2 cEu thư0ng xuyên bC x3o trộn. Do sự tương t3c vi tinh
th8 nên c3c điện tDch mất dEn năng lưng khi.n qu2 cEu ta ra một nhiê t lưng tổng cộng W rồi đạt đ.n
trạng th3i cân bng tĩnh điện. Bi.t rng ở trạng th3i cân bng tĩnh điện qu2 cEu phân cực đu vi độ
phân cực P cBng hưng vi E0 (độ phân cực c6a qu2 cEu l momen lưỡng cực c6a một đơn vC th8 tDch c6a qu2 cEu).
1. Ch-ng t rng điện trư0ng bên trong lòng qu2 cEu l điện trư0ng đu c cư0ng độ E=3 E0/5
2. Ch-ng t rng mật độ điện tDch liên k.t tại đi8m M trên b mặt c6a qu2 cEu l thnh phEn ph3p
tuy.n c6a P tại M . TDnh mật độ “điện tDch liên k.t” tại đi8m M trên b mặt qu2 cEu, bi.t CM
hp vi E0 một gc bng θ=30,0° .
3. T#m cư0ng độ điện trư0ng tại đi8m N c3ch tâm qu2 cEu một kho2ng r=30,0cm theo hưng
hp vi chiu dương c6a trục O x một gc α=30,0° .
4. T#m gi3 trC c6a W. 1. Trang 4/3
V# qu2 cEu phân cực đu vi độ phân cực P nên   P
P=ε0 (ε−1 )
E⟺ E= ε0(ε−1)
l cư0ng độ điện trư0ng c6a một điện trư0ng đu. Ta lại c cư0ng độ điện
trư0ng tại M bên ngoi qu2 cEu  4π p ε E 0CM3+3 ( p . CM )  P=4π R3 M=  E0− CM ; p=4π R3 3ε0 (ε−1 )E⟹ 4π ε0CM5 3
vi M nm trên mặt cEu   R E  M=  E'= 
E0−ε−1 E+(ε−1)(E . )R 3 R R
Cư0ng độ ph3p tuy.n tại M bên trong v bên ngoi qu2 cEu tại M trên mặt cEu { En=Ecosθ
'=E0cosθ−ε−1 En 3Ecosθ+
(ε−1)Ecosθ= (E0+2 (ε−1 ) 3E )cosθ
V# En'=ε En nên E0+2 (ε− 3 1 E )
=εE ⟹E=3 ε+2E0⟹ E=3 E0=3 E0 ε+2 5 2.
Xdt một khi điện môi h#nh lăng trụ xiên c cạnh bên song song vi P
như h#nh v$. Momen lưỡng cực c6a h#nh trụ
p=q l=σS l= P V =P S l cos
(P ,n)⟹ p=PS l co
( sP ,n)=PnS l
Ta c th8 coi h#nh lăng trụ như 2 mặt c diện tDch S mang điện tDch
vi mật độ σ v -σ⟹
p=σS l⇒σ=Pn
Điện tDch ny đưc gọi l điện tDch mặt liên k.t. V# c3c điện tDch ny ở rất gEn c3c điện tDch tr3i dấu vi
n nên n.u ta c lấy một phEn bất kỳ c6a khi điện môi, th# điện tDch tổng cộng c6a phEn bất kỳ đ luôn bng 0.
σM=± P cos30°=± ε ( 0
ε−1 )Ecos30°=±3 √3
5ε0E0≈9,20nC /m2 3.
Từ k.t qu2 ý 1 vi CN=3 R, ta c 4π R3 3ε0
(ε−1 )E 3(4π R3 3ε0
(ε−1)E.3 R) EN= E0− 3+ 53 R 4π ε0(3R ) 4π ε0(3R )
v# E=3 E0/5 , ε=3 , (E0; R)=30° nên Trang 5/3  E R N=133 
E0+3 √3E0 R⟹ 135 135
{ EN=√18913135E0≈1,02kV /m
(EN; R)=arctan133sin30° 3≈28,9° 133cos30°+3 √ 4.
Công m điện trư0ng ngoi t3c dụng lên qu2 cEu A=−W  )=8π R3 1= E0.  p=  E0.4π R3 3ε0 (ε−1 )(3E0 5ε0E0 2≈44,5nJ 5
Th. năng tự tương t3c c6a qu2 cEu
W2=−1 E'. p=−1 (E−E0).4π R3 3ε0
(ε−1 )E=8π R3 25ε0E0 2⟹ 2 2
W=A−W2=32π R3 25ε0E0 2≈35,6nJ Câu IV. (4,0 điểm)
Thấu kDnh Luneburg tiêu chuẩn l một khi cEu trong
sut tâm O b3n kDnh R lm bng vật liệu c chi.t suất
thay đổi theo b3n kDnh r (kho2ng c3ch từ tâm O c6a khi
cEu đ.n đi8m đang xdt, r ≤ R) theo bi8u th-c: n (r )=√ 2−(r )2 R
Khi cEu đặt c đCnh trong không khD. Cho tc độ 3nh
s3ng trong chân không l c.
1. Chi.u một tia s3ng đơn sắc đ.n đi8m A c6a qu2
cEu vi gc ti i0. Tia s3ng l ra khi khi cEu tại đi8m C vi ^ H#nh IV
COB=φ (vi AB l một đư0ng kDnh c6a qu2 cEu như H#nh IV).
a. Ch-ng t rng tia s3ng đi trong khi cEu trong sut s$ tha m"n điu kiện tDch
n(r). r .sini l hng s, trong đ i l gc ti c6a tia s3ng đ.n mặt cEu b3n kDnh r v x3c
đCnh kho2ng c3ch gEn nhất c6a tia s3ng đi trong khi cEu vi tâm O.
b. Ch-ng t rng φ=i0.
2. Xdt một nguồn s3ng đi8m đơn sắc S bất k# nm s3t trên v cEu c6a thấu kDnh Luneburg.
a. X3c đCnh vC trD 2nh S' c6a S.
b. Một photon xuất ph3t từ S đi qua tâm O v l ra tại đi8m Ptrên v khi cEu. TDnh gc
^SOP v th0i gian photon chuy8n động bên trong khi cEu.
c. Một photon xuất ph3t từ S v l ra tại đi8m Q trên v khi cEu sao cho gc ^SOQ=120° ,
t#m th0i gian photon chuy8n động bên trong khi cEu. ĐÁP ÁN 1. Trang 6/3 a.
SX dụng đCnh luật kh5c xạ 3nh s3ng v đCnh lý sin ta c điu ph2i ch-ng minh. b.
Theo k.t qu2 câu 1a: n (r )rsini=Rsini0
⟹ √2−(r )2rR=sini0 (1) R sini
⟹r2=R2−R2 √1−sin2i0 sin2i(2)
rmin khi i=90° ⟹ 2sin i0 rmin=R √ 2 c.
Xdt đư0ng đi c6a 1 tia s3ng trong khi cEu, ta c dθ=tani rdr (3)
Từ (2) vi phân hai v. v thay vo (3) ta c
dθ=1 ( d(cosi)
cos2i0−cos2i−di )(4) 2 √
Xdt tia ti c gc i(-ng vi vC trD c rmin, i∈ [i0,π ]) cho tia l vi gc l θ (θ∈[π, θ0]). 2
TDch phân hai v. c6a (4) đưc: θ0 π/2
∫ dθ=12∫ [ d(cosi) −di] π i √cos2i0−cos 0 2i ⟹θ [− (cosπ2) ]=− 0−π=1 π π 2+i −π 0+arcsin 2+i0 2 cosi0 2
⟹θ0=π+i0 2(5)
Tia s3ng l ra tại vC trD -ng vi gc θ=20=π+i0 nên tia l ra khi qu2 cEu song song vi trục Δ hay song song
vi đư0ng th,ng đi qua tâm O v đi8m ti ⟹ điu ph2i ch-ng minh. 2. a.
Mọi tia s3ng từ S l ra s$ song song vi đư0ng th,ng đi qua SO hay chBm l l chBm song song. Ảnh c6a S ở vô cực. b.
Gc i0=0°⇒θ0=0°⇒ ^SOP=π
Quang tr#nh c6a tia s3ng (đư0ng thng SOP) truyn trong khi cEu
LSOP=2LSO =2LOP
Chia đoạn OP dọc trục O x (0 ≤ x ≤ R) thnh vô s đoạn nh c qu"ng đư0ng dx, quang tr#nh tương
-ng l n(x).dx. Quang tr#nh c6a tia s3ng đi từ O đ.n P: Trang 7/3 R R R 2 =I L √a2−x dx
OP=∫ ndx =∫√
2−(x )2dx=1R∫ R R 0 0 0 Vi: a=√2R v
I=1 [x√a (R2+π R2)
2−x2+a2.arctan ( x )]R0=1 2 √a 2 2 2−x2 Suy ra:
LOP=1 (R+πR )⇒LSOP=2LOP=R+πR2= (2+π )R 2 2 2
Th0i gian tia s3ng truyn trong khi cEu từ S qua O đ.n P: tSOP=LSOP
c= (2+π )R 2 c c.
Quang tr#nh c6a tia s3ng (đư0ng cong SQ) truyn trong khi cEu:
LSQ =LSOP−LQK
Quang tr#nh c6a đoạn tia l QK // SO (QK = R/2) đi ra ngoi không khD: LQK=1.R 2
Suy ra: LQK=LSOP−LQK=R+πR2−R2= (1+π )R 2
Th0i gian tia s3ng truyn trong khi cEu: tSQ=LSQ
c= (1+π )R 2 c Câu V. (4,0 điểm)
Một chất phng xạ beta X1 c chu kỳ b3n r" T1 phân r" thnh chất phng xạ alpha X2 c chu kỳ b3n r"
T2 . S2n phẩm phng xạ c6a X2 l hạt nhân bn X3 . Ngư0i ta ch. tạo X1 vi tc độ q (phân tX/s)
1. Mỗi lEn ch. tạo ngư0i ta thu đưc ti đa nhiêu hạt X1 (Nmax=max (NX1 )=? )?
2. Tổng s hạt X1, X2 v X3 ở th0i đi8m t, tDnh từ l5c bắt đEu ch. tạo X1 bng bao nhiêu ? Nt=NX + + = 1
NX2 NX3 qt
3. Trong một lEn ch. tạo, tại một th0i đi8m t0 no đ ngư0i ta thu đưc N0=0,707Nmax hạt X1 .
a. TDnh th0i gian ch. tạo N1 .
b. Bi.t rng s hạt X2 c trong mẫu ở th0i đi8m t, tDnh từ l5c bắt đEu ch. tạo X1 c dạng −ln2 t T N 2
, vi f (t ) l một hm no đ c6a th0i gian. X3c đCnh f (t ) v tDnh s hạt X ( 2
t )=f (t )e
X2 c trong mẫu ở th0i đi8m thu hoạch N0 hạt X1 k8 trên. ĐÁP ÁN 1.
S hạt X1 đạt cực đại khi tc độ sinh hạt X1 bng tc độ phân r" c6a n, do đ Trang 8/3 N =q T max =q 1 λ1 ln2 2.
V# c3c hạt X2 v X3 đu c nguồn gc từ hạt X1 nên Nt=NX + + = 1
NX2 NX3 qt 3. Ta c − d N q X = − =− 1
qdt λ1NX1dt λ1 (NX1 )dt ⟹ λ1 ( −tT N 1 ) X (
(1−e−λ1t )=q T1 1−2 1 t )=qλ1 ln2 a. Theo gi2 thi.t −t ln0,293 1−2T =0,707⟹ 1 t=−T1 ln 2=1,77T1 Ta lại c d N X = − 2
λ1NX1dt λ2NX2dt ⟹ d N X2
dt =−λ2NX + 2 λ1NX1 b. −ln2 V# N T2 t=f
X2 (t )=f (t )e
(t )e−λ2t nên df (t )
dt e−λ2t−λ2f (t)e−λ2t=−λ2f (t )e−λ2t+λ1NX1 K.t hp vi NX (
(1−e−λ1t )∧ 1 t )=q f (0 )=0 λ1 ta c df (t )
dt =q (1−e−λ1t )eλ2t⟹ λ1 t (λ2−λ
f (t )=∫ q (1−e− 1 ) λ ( (
1t )eλ2tdt =q
eλ2t−1 )−q e t−1 )⟹ λ2 λ2−λ1 0 NX =
e−λ1t−λ1 2 q (1−λ2
e−λ2t ) λ2 λ2−λ1 λ2−λ1 Hay NX =
e−λ1t+λ1 2 q (1−λ2
e−λ2t ) λ2 λ2−λ1 λ2−λ1 Hay −t −t NX = + 2 q T2(1−T1 T T2 T 2 1 2 2 ) ln2 T1−T2 T1−T2 Trang 9/3 Vi t=1,77T1 −1,77T1 NX = + 2 q T2(1−0,293T1 T2 T2 2 ) ln2 T1−T2 T1−T2
------------------------------HẾT------------------------------ Trang 10/3