Đề Olympic Toán 10 năm 2020 – 2021 liên cụm trường THPT – Hà Nội

Đề Olympic Toán 10 năm 2020 – 2021 liên cụm trường THPT – Hà Nội được biên soạn theo dạng đề thi tự luận, đề gồm 01 trang với 05 bài toán, thời gian làm bài 150 phút, đề thi có lời giải chi tiết, mời các bạn đón xem

24 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 10

Môn: Toán 10

Thông tin:

4 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Thanh Tâm
Bài 1. (5 điểm)
1. Tìm tham số
,bc
sao cho hàm số
2
()y f x x bx c
có đồ thị là một đường parabol
với đỉnh là
( 2;5).I
2. Lập bảng biến thiên của hàm số
3 2 4 .y x x
Từ đó hãy tìm tham số m sao cho
phương trình
24x x m
có nghiệm duy nhất.
Bài 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình
2
4 1 2 1 ( 1)( 2 1 1).x x x x
2. Biết
2
( ) 2 0, .f x x mx n x
Tìm tham số
,mn
để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (2 điểm)
Giải hệ phương trình
2
23
.
2 2 3
xy
xy
Bài 4. (8 điểm)
1. Cho hình chữ nhật
ABCD
với
3 2, 3.AB AD
Gọi O là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, I và G lần lượt là trung điểm của CD và OB.
a) Chứng minh rằng
1
()
4
OG AB AD
và
13
.
44
IG AB AD
b) Chứng minh rằng
.AI IG
c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho
2 2 2 2
37.MA MB MC MD
2. Cho tam giác ABC có
0
, 60 .BC a BAC
Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM
và CN vuông góc với nhau tại trọng tâm G. Tính theo a diện tích tam giác ABC.
Bài 5. (1 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c.
Chứng minh rằng
3 3 3
4( ) 15 27.a b c abc
…………………HẾT …………………
Họ và tên thí sinh:…………………………………………….SBD:………………
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT
THANH XUÂN
CẦU GIẤY
MÊ LINH
SÓC SƠN
ĐÔNG ANH
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2020-2021
MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 10
KÌ THI OLYMPIC LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN-CẦU GIẤY,
MÊ LINH-SÓC SƠN, ĐÔNG ANH HÀ NỘI
Năm học: 2020-2021
…………o0o………..
Bài
Đáp án
Điểm
Bài 1
(5 đ)
1.1. Vì parabol có đỉnh
( 2;5)I
nên
2
2
b

1,0
và
( 2) 5f 
(hoặc
5
4a

)
1,0
Khi đó:
4
4 2 5
b
bc
0,75
4
.
9
b
c
Vậy b=4, c=9.
0,75
1.2. Ta có:
3 2 4 khi 2 3 7 khi 2
3 2 4 .
3 4 2 khi 2 1 khi 2
x x x x x
y x x
x x x x x



0,5
-Hàm số đồng biến trên khoảng
(2; ),
hàm số nghịch biến trên khoảng
( ;2).
0,5
-BBT
-1
2
+
∞
+
∞
+
∞
-
∞
y
x
-Ta có:
3 2 4 3,PT x x m
từ BBT ta thấy PT có nghiệm duy nhất
3 1 2.mm
0,5
2.1. ĐK:
1
.
2
x
PT
2 1( 2 1 1) ( 1)( 2 1 1)x x x x
0,5
( 2 1 1)( 2 1 1) 0x x x
0,5
+)
2 1 1 0 2 1 1 2 1 1 1( ).x x x x TM
0,5
+)
2
10
2 1 1 0 2 1 1
2 1 ( 1)
x
x x x x
xx

0,5
Bài 2
(4đ)
2
1
1
4( ).
0
40
4
x
x
x TM
x
xx
x


Vậy:
1;4 .x
0,5
2.2. Vì
( ) 0,f x x
và hệ số a=1>0 nên
22
' 0 .m n n m
0,5
Ta có:
2
55P m n n m m m
0,25
Ta lại có:
2 2 2
5 4 4 ( ) 4 ( 2) ( ) 4m m m m m m m m m m
0,25
Vì
2
( 2) 0m
0,25
và
0 4.m m m m P
Dấu “=” khi
2
2
2
0.
4
m
m
m
n
nm




Vậy Min
4P 
khi
2& 4.mn
0,25
Bài 3
(2đ)
ĐK:
2.x 
Ta có:
2 3 2xy
0,5
2
2
3
3 2 0
2
2 (3 2 )
4 12 7
y
y
xy
x y y



0,5
Thế x theo y vào PT còn lại ta được:
2 2 2 2
4 12 7 2 3 2 12 10 0 6 5 0y y y y y y y
0,5
1 ( )
5( )
y TM
y KTM
. Với y=1 thì
1.x 
Vậy
( ; ) ( 1;1).xy
0,5
4.1a.
3
3
2
I
G
O
A
D
C
B
-Ta có:
11
( ).
44
OG DB AB AD
1
-Ta có:
IG IO OG
11
24
AD DB

1
Bài 4
(8đ)
11
()
24
AD AB AD
13
.
44
AB AD
1
4.1 b. Ta có:
1
2
AI AD DI AD AB
0,5
1 3 1
..
4 4 2
IG AI AB AD AD AB
0,5
Vì
.0AB AD AB AD
, theo giả thiết
3 2; 3AB AD
0,5
nên
22
1 3 1 3
. .18 .3 0 .
8 4 8 4
IG AI AB AD AI IG
0,5
4.1c
Ta có:
0OA OB OC OD
0,25
nên
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )MA MB MC MD MO OA MO OB MO OC MO OD
0,25
2 2 2 2 2 2 2
4 4 4.MO OA OB OC OD MO OA
0,25
2 2 2 2 2 2
4. 4. 4. 4. 21 37 4 2OM OA OM AC OM OM OM
.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính bằng 2.
0,25
4.2 Đặt AB=c, AC=b. Theo định lý Pytago, ta có:
2 2 2
BC BG CG
0,5
2 2 2
2 2 2
44
()
99
bc
abc
a m m

2 2 2
5.b c a
0,5
Theo định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
2 2 2 2 2 2
2 .cos 5 2 .cos60 5 4 .a b c bc A a bc a bc bc a
0,5
Do đó:
22
11
.sin .4 .sin60 3.
22
ABC
S bc A a a
0,5
Bài 5
(1đ)
Ta có:
3 3 3 2 2 2
4( 3 ) 27 4( )( ) 27E a b c abc abc a b c a b c ab bc ca abc
2 2 2
12( ) 27 .a b c ab bc ca abc
0,25
Chứng minh được:
( )( )( )abc a b c b c a c a b
0,25
Mà a+b+c=3 nên
(3 2 )(3 2 )(3 2 )abc a b c
27 18( ) 12( ) 8abc a b c ab bc ca abc
9 12( ) 27 3 4( ) 9.abc ab bc ca abc ab bc ca
0,25
Do đó:
2 2 2
12( ) 9.[4( ) 9]E a b c ab bc ca ab bc ca
2
12( ) 81 27.abc
Dấu “=” khi a=b=c=1.
0,25
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2020-2021
LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT MÔN TOÁN LỚP 10
THANH XUÂN CẦU GIẤY
Thời gian làm bài: 150 phút
MÊ LINH SÓC SƠN
(Đề thi gồm 01 trang) ĐÔNG ANH
Bài 1. (5 điểm)
1. Tìm tham số b, c sao cho hàm số 2
y f (x)  x bx c có đồ thị là một đường parabol với đỉnh là I( 2  ;5).
2. Lập bảng biến thiên của hàm số y x  3  2x  4 . Từ đó hãy tìm tham số m sao cho
phương trình x  2x  4  m có nghiệm duy nhất.
Bài 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình 2 4x 1 
2x 1  (x 1)( 2x 1 1). 2. Biết 2
f (x)  x  2mx n  0, x   . Tìm tham số ,
m n để biểu thức
P  5m n n đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (2 điểm) 2
x  2y  3 
Giải hệ phương trình  .
 x  2  2y  3
Bài 4. (8 điểm)
1. Cho hình chữ nhật ABCD với AB  3 2, AD  3. Gọi O là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, I và G lần lượt là trung điểm của CD và OB. 1 1 3
a) Chứng minh rằng OG
( AB AD) và IG AB A . D 4 4 4
b) Chứng minh rằng AI I . G
c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2 2
MA MB MC MD  37.
2. Cho tam giác ABC có 0
BC a, BAC  60 . Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM
và CN vuông góc với nhau tại trọng tâm G. Tính theo a diện tích tam giác ABC.
Bài 5. (1 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng 3 3 3
4(a b c ) 15abc  27.
…………………HẾT …………………
Họ và tên thí sinh:…………………………………………….SBD:………………
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 10
KÌ THI OLYMPIC LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN-CẦU GIẤY,
MÊ LINH-SÓC SƠN, ĐÔNG ANH HÀ NỘI Năm học: 2020-2021 …………o0o……….. Bài Đáp án Điểm b
1.1. Vì parabol có đỉnh I( 2  ;5) nên  2  2 1,0  1,0 và f ( 2  )  5 (hoặc  5 ) 4a b  4 0,75 Khi đó: 
4  2b c  5 b   4 0,75   . Vậy b=4, c=9. c  9
x  3  2x  4 khi x  2 3
x  7 khi x  2 0,5
1.2. Ta có: y x  3  2x  4     .        
x 3 4 2x khi x 2 x 1 khi x 2
-Hàm số đồng biến trên khoảng (2; )
 , hàm số nghịch biến trên khoảng  ( ;2). -BBT Bài 1 0,5 x -∞ (5 đ) 2 +∞ +∞ +∞ y -1
-Ta có: PT x  3 2x  4  m  3, từ BBT ta thấy PT có nghiệm duy nhất  m 3  1   m  2. 0,5 1
2.1. ĐK: x  . 2 0,5
PT  2x 1( 2x 1 1)  (x 1)( 2x 1 1)
 ( 2x 1 1)( 2x 1  x 1)  0 0,5
+) 2x 1 1  0  2x 1  1  2x 1  1  x  1(TM ). 0,5 x 1 0
+) 2x 1  x 1  0  2x 1  x 1   2
2x 1  (x 1) 0,5 x 1 x 1   
 x  0  x  4(TM ). 0,5 2
x  4x  0    x 4
Bài 2 Vậy: x 1;  4 . (4đ) 2.2. Vì f ( ) x  0, x
  và hệ số a=1>0 nên 2 2
'  m n  0  n m . 0,5 Ta có: 2
P  5m n n  5m m m 0,25 Ta lại có: 2 2 2
m  5m m m  4m  4  (m m )  4  (m  2)  (m m )  4 0,25 Vì 2 (m  2)  0 0,25 m  2  0,25  m  2  và m m
  m m  0  P  4
 . Dấu “=” khi m  0   .  n  4 2 n m Vậy Min P  4  khi m  2  & n  4. ĐK: x  2. 
Ta có: x  2  3  2 y 0,5  3 3   2y  0 y Bài 3     2 2  0,5
x  2  (3  2 y) 2  (2đ)
x  4y 12y  7
Thế x theo y vào PT còn lại ta được: 2 2 2 2
4 y 12 y  7  2 y  3
  2y 12y 10  0  y  6y  5  0 0,5
y  1 (TM ) 0,5  
. Với y=1 thì x  1.  Vậy ( ; x y)  ( 1  ;1).
y  5(KTM ) 4.1a. 3 2 B A G O 3 D I C 1 1 1 -Ta có: OG DB  ( AB AD). 4 4  1 1 1
-Ta có: IG IO OG AD DB 2 4 Bài 4 1  1  1 3 1 AD  ( AB AD)  AB A . D (8đ) 2 4 4 4 1 0,5
4.1 b. Ta có: AI AD DI AD AB 2  1 3   1   0,5 I . G AI AB AD . AD AB      4 4   2 
Vì AB AD A .
B AD  0 , theo giả thiết AB  3 2; AD  3 0,5 1 3 1 3 nên 2 2 I . G AI AB
AD  .18  .3  0  AI I . G 8 4 8 4 0,5 4.1c
Ta có: OA OB OC OD  0 0,25 nên 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2
MA MB MC MD  (MO O ) A
 (MO OB)  (MO OC)  (MO OD) 2 2 2 2 2 2 2
 4MO OA OB OC OD  4MO  4.OA 0,25 2 2 2 2 2 2
 4.OM  4.OA  4.OM AC  4.OM  21 37  OM  4  OM  2. 0,25
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính bằng 2.
4.2 Đặt AB=c, AC=b. Theo định lý Pytago, ta có: 2 2 2
BC BG CG 0,5 2 2 2 4
4a b c 0,5 2 2 2
a  (m m )  2 2 2
b c  5a . 9 b c 9
Theo định lý cosin trong tam giác ABC, ta có: 2 2 2 2 2 2
a b c  2b .
c cos A  5a  2b .
c cos60  5a bc bc  4a . 0,5 1 1 0,5 Do đó: 2 2 Sb . c sin A
.4a .sin 60  a 3. ABC 2 2 Ta có: 0,25 3 3 3 2 2 2
E  4(a b c  3abc)  27abc  4(a b c)(a b c ab bc ca)  27abc 2 2 2
12(a b c ab bc ca)  27ab . c
Chứng minh được: abc  (a b  )
c (b c  )
a (c a  ) b 0,25
Bài 5 Mà a+b+c=3 nên abc (32 ) a (3 2 ) b (3 2 ) c (1đ)
abc  27 18(a b  )
c 12(ab bc c ) a 8abc
 9abc 12(ab bc c )
a  27  3abc  4(ab bc c ) a 9. 0,25 Do đó: 2 2 2                0,25 E 12(a b c
ab bc ca) 9.[4(ab bc ca) 9] 2 12(a b c) 81 27. Dấu “=” khi a=b=c=1.
Document Outline

  • 1. De Olympic cụm - Mon Toan - Lớp 10 nam 2021
  • 1. Dap an Olympic cụm - Mon Toan - Lớp 10 nam 2021