Đề Olympic Toán 10 năm 2020 – 2021 liên cụm trường THPT – Hà Nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2020-2021
LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT MÔN TOÁN LỚP 10
THANH XUÂN  CẦU GIẤY
Thời gian làm bài: 150 phút
MÊ LINH  SÓC SƠN
(Đề thi gồm 01 trang) ĐÔNG ANH
Bài 1. (5 điểm)
1. Tìm tham số b, c sao cho hàm số 2
y  f (x)  x  bx  c có đồ thị là một đường parabol với đỉnh là I( 2  ;5).
2. Lập bảng biến thiên của hàm số y  x  3  2x  4 . Từ đó hãy tìm tham số m sao cho
phương trình x  2x  4  m có nghiệm duy nhất.
Bài 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình 2 4x 1 
2x 1  (x 1)( 2x 1 1). 2. Biết 2
f (x)  x  2mx  n  0, x   . Tìm tham số ,
m n để biểu thức
P  5m  n  n đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (2 điểm) 2
x  2y  3 
Giải hệ phương trình  .
 x  2  2y  3
Bài 4. (8 điểm)
1. Cho hình chữ nhật ABCD với AB  3 2, AD  3. Gọi O là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, I và G lần lượt là trung điểm của CD và OB. 1 1 3
a) Chứng minh rằng OG 
( AB  AD) và IG  AB  A . D 4 4 4
b) Chứng minh rằng AI  I . G
c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2 2
MA  MB  MC  MD  37.
2. Cho tam giác ABC có 0
BC  a, BAC  60 . Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM
và CN vuông góc với nhau tại trọng tâm G. Tính theo a diện tích tam giác ABC.
Bài 5. (1 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng 3 3 3
4(a  b  c ) 15abc  27.
…………………HẾT …………………
Họ và tên thí sinh:…………………………………………….SBD:………………
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 10
KÌ THI OLYMPIC LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN-CẦU GIẤY,
MÊ LINH-SÓC SƠN, ĐÔNG ANH HÀ NỘI Năm học: 2020-2021 …………o0o……….. Bài Đáp án Điểm b 
1.1. Vì parabol có đỉnh I( 2  ;5) nên  2  2 1,0  1,0 và f ( 2  )  5 (hoặc  5 ) 4a b  4 0,75 Khi đó: 
4  2b  c  5 b   4 0,75   . Vậy b=4, c=9. c  9
x  3  2x  4 khi x  2 3
 x  7 khi x  2 0,5
1.2. Ta có: y  x  3  2x  4     .        
x 3 4 2x khi x 2 x 1 khi x 2
-Hàm số đồng biến trên khoảng (2; )
 , hàm số nghịch biến trên khoảng  ( ;2). -BBT Bài 1 0,5 x -∞ (5 đ) 2 +∞ +∞ +∞ y -1
-Ta có: PT  x  3 2x  4  m  3, từ BBT ta thấy PT có nghiệm duy nhất  m 3  1   m  2. 0,5 1
2.1. ĐK: x  . 2 0,5
PT  2x 1( 2x 1 1)  (x 1)( 2x 1 1)
 ( 2x 1 1)( 2x 1  x 1)  0 0,5
+) 2x 1 1  0  2x 1  1  2x 1  1  x  1(TM ). 0,5 x 1 0
+) 2x 1  x 1  0  2x 1  x 1   2
2x 1  (x 1) 0,5 x 1 x 1   
 x  0  x  4(TM ). 0,5 2
x  4x  0    x 4
Bài 2 Vậy: x 1;  4 . (4đ) 2.2. Vì f ( ) x  0, x
  và hệ số a=1>0 nên 2 2
'  m n  0  n  m . 0,5 Ta có: 2
P  5m  n  n  5m  m  m 0,25 Ta lại có: 2 2 2
m  5m  m  m  4m  4  (m  m )  4  (m  2)  (m  m )  4 0,25 Vì 2 (m  2)  0 0,25 m  2  0,25  m  2  và m  m
  m  m  0  P  4
 . Dấu “=” khi m  0   .  n  4 2 n  m Vậy Min P  4  khi m  2  & n  4. ĐK: x  2. 
Ta có: x  2  3  2 y 0,5  3 3   2y  0 y  Bài 3     2 2  0,5
x  2  (3  2 y) 2  (2đ)
x  4y 12y  7
Thế x theo y vào PT còn lại ta được: 2 2 2 2
4 y 12 y  7  2 y  3
  2y 12y 10  0  y  6y  5  0 0,5
 y  1 (TM ) 0,5  
. Với y=1 thì x  1.  Vậy ( ; x y)  ( 1  ;1).
 y  5(KTM ) 4.1a. 3 2 B A G O 3 D I C 1 1 1 -Ta có: OG  DB  ( AB  AD). 4 4  1 1 1
-Ta có: IG  IO  OG  AD  DB 2 4 Bài 4 1  1  1 3 1 AD  ( AB  AD)  AB  A . D (8đ) 2 4 4 4 1 0,5
4.1 b. Ta có: AI  AD  DI  AD  AB 2  1 3   1   0,5 I . G AI  AB  AD . AD  AB      4 4   2 
Vì AB  AD  A .
B AD  0 , theo giả thiết AB  3 2; AD  3 0,5 1 3 1 3 nên 2 2 I . G AI  AB 
AD  .18  .3  0  AI  I . G 8 4 8 4 0,5 4.1c
Ta có: OA  OB  OC  OD  0 0,25 nên 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2
MA  MB  MC  MD  (MO  O ) A
 (MO  OB)  (MO  OC)  (MO  OD) 2 2 2 2 2 2 2
 4MO OA OB OC OD  4MO  4.OA 0,25 2 2 2 2 2 2
 4.OM  4.OA  4.OM  AC  4.OM  21 37  OM  4  OM  2. 0,25
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính bằng 2.
4.2 Đặt AB=c, AC=b. Theo định lý Pytago, ta có: 2 2 2
BC  BG  CG 0,5 2 2 2 4
4a  b  c 0,5 2 2 2
 a  (m  m )  2 2 2
 b  c  5a . 9 b c 9
Theo định lý cosin trong tam giác ABC, ta có: 2 2 2 2 2 2
a  b  c  2b .
c cos A  5a  2b .
c cos60  5a  bc  bc  4a . 0,5 1 1 0,5 Do đó: 2 2 S  b . c sin A 
.4a .sin 60  a 3. ABC 2 2 Ta có: 0,25 3 3 3 2 2 2
E  4(a  b  c  3abc)  27abc  4(a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca)  27abc 2 2 2
12(a  b  c  ab  bc  ca)  27ab . c
Chứng minh được: abc  (a  b  )
c (b  c  )
a (c  a  ) b 0,25
Bài 5 Mà a+b+c=3 nên abc (32 ) a (3 2 ) b (3 2 ) c (1đ)
 abc  27 18(a b  )
c 12(ab  bc  c ) a 8abc
 9abc 12(ab bc c )
a  27  3abc  4(ab  bc  c ) a 9. 0,25 Do đó: 2 2 2                0,25 E 12(a b c
ab bc ca) 9.[4(ab bc ca) 9] 2 12(a b c) 81 27. Dấu “=” khi a=b=c=1.
Document Outline

• 1. De Olympic cụm - Mon Toan - Lớp 10 nam 2021
• 1. Dap an Olympic cụm - Mon Toan - Lớp 10 nam 2021