de on thi cao hoc mon toan truong su pham

x   y  x  y  0 VI TÍCH PHAÂN A2  y  0     x  2; y   2   y   2 
CHÖÔNG 1: CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ 
x   2; y  2 y  2 
A. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn ñi tìm cöïc trò cuûa haøm soá
Haøm soá coù 3 ñieåm döøng 0(0,0); M1( 2, 2 ); M2(  2, 2 )
Cho haøm soá f(x,y) xaùc ñònh treân mieàn D: Tính A = ' f =12x2 – 4; B = ' f =4; C = ' f =12y2 – 4 xx xy yy '   f  0 x B1: Giaûi heä
b. Taïi ñieåm 0(0,0) ta coù  =B2-AC =0 ta chöa theå khaúng 
ñeå ñi tìm ñieåm döøng cuûa haøm soá  ' ñònh ngay ñöôïc  f  0 y
Xeùt f(0,k)-f(0,0) =k4 – 2k2 = k2(k2-2) thay ñoåi daáu khi k thay ñoåi
B2: Xeùt daáu cuûa bieåu thöùc  =B2-AC taïi töøng ñieåm döøng trong
neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi 0(0,0) ñoù: A = ' f ; B = ' f ; C = ' f xx xy yy -
Taïi ñieåm M1( 2, 2 ); M2(  2, 2 ) ñeàu coù  =-
- Neáu  <0, A >0 haøm soá ñaït cöïc tieåu
384<0 vaø A=20>0 neân haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi M1, M1
- Neáu  <0, A <0 haøm soá ñaït cöïc ñaïi fCT=f(M1)=f(M2)=-8
- Neáu  >0 haøm soá khoâng coù cöïc trò
- Neáu  =0 chöa khaúng ñònh lieàn ñöôïc
Baøi 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá sau: ( 2 2 x y
B. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn ñi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá f(x,y) = ) e  (2x2+3y2)
Cho haøm soá f(x,y) xaùc ñònh treân mieàn D:
trong mieàn D={(x,y): x2+y2  1} ' Giaûi:   f  0 x B1: Giaûi heä 
ñeå ñi tìm ñieåm döøng cuûa haøm soá naèm ' ( 2 x  2 y ) 2 2   f  0  xe
(2  2x  3y )  0  ' x  f  0 y Giaûi heä    2 2  ' f  0  ( x  y ) 2 2 trong mieàn D  y  ye 3
(  2x  3y )  0
B2: Tìm caùc ñieåm döøng cuûa haøm soá treân bieân D
B3: Tính giaù trò taïi caùc ñieåm döøng vöøa tìm ñöôïc ôû B1, B2. So 2 2 
x(2  2x  3y )  0 x  y  0 saùnh vaø keát luaän    x  ; 0 y  1  y 3 (  2 2 x  3 2 y )  0   x   ; 1 y  0
C. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn tìm cöïc trò coù ñieàu kieän
Haøm soá coù 1 ñieåm döøng naèm trong mieàn D
Cho haøm soá f(x,y) trong ñoù x,y bò raøng buoäc bôûi g(x,y)=0 laø 0(0,0)
B1: Ñaët F(x,y,  )=f(x,y) +  g(x,y)  f(0)=0  ' F  0 x -
Tính caùc giaù trò cuûa haøm soá treân bieân  Giaûi heä ' D F  0
ñeå tìm caùc ñieåm döøng cuûa haøm soá y 
Ta coù x2+y2=1  y2= x2 – 1 vôùi x[-1,1]
g(x, y)  0 thay vaøo haøm soá ta coù
B2: ÖÙng vôùi töøng ñieåm döøng M. Xeùt daáu cuûa cuûa bieåu thöùc: x2 3  f(x,y)=g(x)= vôùi x[-1,1] dF(M,  )= ' 2
F (M , )dx + F ' (M , )dxdy + ' 2
F (M , )dy e xx xy yy
- Neáu dF(M,  )<0 haøm soá ñaït cöïc ñaïi 2 3 nhaän thaáy  g(x)  vôùi x[-1,1]
- Neáu dF(M,  )>0 haøm soá ñaït cöïc tieåu e e
- Neáu dF(M,  )=0 chöa theå khaúng ñònh
g(x)= 2  x=0  y=  1; g(x)= 3  x=  1  y=0 e e D. Baøi taäp maãu
So saùnh taát caû caùc giaù trò ta coù: 2 GTLN Maxf = taïi (0,1); (0,-1)
Baøi 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá sau: e f(x,y) = x4 +y4- 2(x-y) 2 3 GTNN Minf = taïi (1,0); (-1,0) Giaûi: e ' 3   f  0
4x  4(x  y)  0 x 
Baøi 3: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá f(x,y) =x+y Giaûi heä    1 1  ' 3 vôùi ñieàu kieän  f  0 4y  ( 4 x  y)  0   1 y  x y 3 Giaûi: -
Vôùi x= y+k2  thay vaøo pt (2) ta coù: 1 1
cosy – sin(y+k2  +y)=0  cosy=sin(2y+ k2 )=sin2y
Ñaët F(x,y,  ) = x+y +  (  1) x y   y 
 2 y  h  2 Giaûi heä   2  cosy=cos( - 2y)    2     1   0  y  2 y   h  2  2  ' 2 F  0  x    2 x ) 1 ( x       h  2 '   2 F  0  1   0
   y (2) y   y  2  
  5 3   y  6 3 1 1    y  ; ; ; do yD 1 1  1  0 1 1   1  0 ) 3 (   6 2 6 2  y   h  x y   1  0   x y  2  x y
Töø (1) vaø (2)  x2 = y2  y=  x        y  ; x   k  2  y  ; x 
- Vôùi y =x thay vaøo phöông trình (3) ta coù x=2 öùng vôùi  =4 6 6 6 6  
- Vôùi y =-x thay vaøo phöông trình (3) ta coù -1=0 voâ lyù      y  ; x   k  2
 y  ; x 
Vaäy haøm soá chæ coù duy nhaát moät ñieåm döøng laø M(2,2) öøng vôùi  2 2  2 2  =4      5  5 5 5 Xeùt dF(M,  )  y  ; x   k  2  y  ; x   6 6  6 6 = ' 2
F (M , )dx + F ' (M , )dxdy + ' 2
F (M , )dy (*) xx xy yy   3  3  3 3 2 4 . 2  y  ; x   k  2  y  ; x  Trong ñoù '
F (M , ) = = =1; '
F (M , ) =0;  2 2  2 2 xx 3 x 8 xy 2 2 4 . '
F (M ,  ) = = =1
Vaäy haøm soá coù 6 ñieåm döøng: yy 3 y 8     5 5 3 3 M1( , ); M2( , ); M3( , ); M4( , ); Vaø dy=dx 6 6 2 2 6 6 2 2
Thay taát caû vaøo (*) ta coù dF(M,  )=2dx2 > 0  3 3  M , ); M , )
Vaäy haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi M(2,2); f 5( 6( CT = 4 2 2 2 2 Tính A = '
f =-sinx – cos(x+y); B = ' f = -cos(x+y);
Baøi 4: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y) xx xy 3 3 C = ' f =-siny – cos(x+y) yy vôùi D ={(x,y): 0  x  ;0  y  } 2 2 1
- Taïi ñieåm M1, M3 thì: A =-1; B =- ; C =-1 Giaûi: 2
- Tìm caùc ñieåm döøng cuûa haøm soá trong mieàn D
3 <0 . Maø A =-1<0 neân haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi M '   =- 1, M3   f  0 x
cos x  sin(x  y)  0 ) 1 ( 4 Giaûi heä    3  '  f  0
cos y  sin(x  y)  ( 0 2)  f y  CÑ = f(M1)=f(M3)= 2
x   y  k  2 - Taïi ñieåm M
Laáy (1) tröø (2)  cosx=cosy  2, M4 thì A =0; B =1; C=0  ; vôùi kZ
x  y  k  2
  =1 >0 neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M2, M4
- Vôùi x=-y+k2   x+y = k2 thay vaøo heä ta coù:
b. Taïi ñieåm M5 thì A = -2; B = -1; C = 0
  =1 >0 neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M5   x    k -
Taïi ñieåm M6 thì A = 0; B = -1; C = -2
cos x  sin(k 2 )  0 cos x  0   2     
  =1 >0 neân haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi M6
cos y  sin(k 2 )  0 cos y  0     5 5 y    k
Vaäy haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi M1( , ); M3( , )   2 6 6 6 6 vaø f 3   3 CÑ = x  ; 2   2 2   Do x,y D   3 y  ;   2 2 4
 ( x, y) 2
CHÖÔNG 2: TÍCH PHAÂN BOÄI
 f (x, y, z)dxdydz =  (  f (x, y, z)dz)dxdy V D
 ( x, y) 1
2. Neáu V laø hình hoäp giôùi haïn bôûi caùc
A. Caùc daïng baøi toaùn tích phaân keùp
maët: x=a; x=b; y=c; y=d; z=e; z=f thì
 f (x, y)dxdy
f (x, y, z)dxdydz = D 
1. Neáu D={(x,y): a  x  b; c  y  d} thì: V b d f b d
 f (x, y)dxdy =  dx f (x, y)dy
 dx dy f (x, y, z)dz a c e D a c
3. Duøng phöông phaùp ñoåi bieán soá sang heä toïa ñoä truï ñöa mieàn V giôùi haïn bôûi x,y,z
2. Neáu D={(x,y): a  x  b; y
 V’ giôùi haïn bôûi r,  , z 1(x)  y  y2(x)} thì:
Vôùi x=rcos  ; y=rsin  ; z=z vaø J=r  0 b y ( x) 2
f (x, y, z)dxdydz =  f (r cos , r sin  , z) | J | drd d  z
 f (x, y)dxdy =  dx  f (x, y)dy  V V ' D a y ( x) 1
4. Duøng phöông phaùp ñoåi bieán soá sang heä toïa ñoä caàu ñöa mieàn V
giôùi haïn bôûi x,y,z  V’ giôùi haïn bôûi r,  , 
3. Duøng phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå ñöa mieàn D giôùi haïn bôûi x,y Vôùi x=rcos sin ; y=rsin sin ; z=rcos vaø |J|=r2sin
 D’ giôùi haïn bôûi u, v ' '
f (x, y, z)dxdydz x x 1 
Vôùi x=x(u,v); y=y(u,v) vaø J = u v hoaëc khi ñoù V ' ' y y ' ' u u = u v x y
 f (r cos  sin  , r sin  sin  , r cos  ) | J | drd d ' ' v v V ' x y
 f (x, y)dxdy =  f (x(u,v), y(u,v)) | J | dudv
D. Moät soá maët caàn löu yù D D' 1. Trong maët phaúng
4. Duøng phöông phaùp chuyeån veà toïa ñoä cöïc ñöa mieàn D giôùi haïn
bôûi x,y  D’ giôùi haïn bôûi r, 
Vôùi x=rcos  ; y=rsin  vaø J=r  0
 f (x, y)dxdy =  f (r cos ,r sin ) | J | d d  r D D'
B. ÖÙng duïng trong tích phaân keùp
1. Tính dieän tích hình phaúng: S   dxdy D
2. Tính dieän tích maët cong: S    1 (z' 2 )  (z ' 2 ) dxdy x y D
3. Tính theå tích cuûa vaät theå: V   z(x, y)dxdy D 2. Trong khoâng gian
C. Caùc böôùc giaûi baøi toaùn tích phaân 3 lôùp
 f (x, y, z)dxdydz V
1. Neáu V laø theå truï môû roâng giôùi haïn bôûi
2 maët cong  ,  xung quanh maët 1 2
truï coù ñöôøng sinh song song vôùi truïc 0z thì: E. Baøi taäp maãu
Baøi 1: Tính tích phaân sau: 5 x y
Baøi 4 : Tính tích phaân sau:
I   xy e
dxdy , D={(x,y): x  0; y  0; x+y  1} ( x2  2 I  xy y e
) dxdy với D={(x,y): 2 2
x  xy  y  1} D   Giaûi: D Giải:  u  v x 
u  x  y   y y 2 3 2 1 2 2 2 Ñaët
Ta coù: x  xy  y  1  (x  )  ( )  1    |  J |
v  x  y  u  v 2 2 2   y   v  2  y  u  x  x  u 
D  D’={(u,v): u+v  0; -u+v  0; v  1}   2  3 2 Ñaët:    |  J | x y u  y 3  2v 3
I   xy e dxdy =  v e dudv v  y    2   3 D D' 1 v u 1 2 2 =  dv  v e du = ( 1  e  e )
D  D’={(u,v): u  v  1} 4 0 v 2 ( x2  2 2 I  xy y e ) dxdy = ( 2 u v ) e dudv     3 D D'
Baøi 2: Tính tích phaân sau: u   r cos I    x2 4  y2 dxdy
Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc. Ñaët | J  | r  v  r  sin  D
D’  D’’: 0  r  1; 0    2
vôùi D laø nöûa hình troøn (x  ) 1 2 2  y  1 Giaûi: 2 1 2 2 2 2 2 1
x  r cos  I  ( 2 u v ) e dudv =  d e r rdr = 1 (  )
Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc. Ñaët | J  | r      3 3 3 e y  r D' 0 0  sin  
D  D’ giôùi haïn bôûi 0  r  2cos  ; 0   
Baøi 5: Tính dieän tích phaàn maët 2 2 z 
x  y naèm trong 2
hình truï x 2  y 2  2x I    x2 4
 y2 dxdy =   2 4 r drd Giaûi: D D '  x y ' ' 2 cos  z  ; z  2 8  2 x y 2 2 2 2 =   d  4  2 r rdr = (  ) x  y x  y 3 2 3 0 0  1  ( ' z )2  ( ' z )2  2 x y
Hình chieáu cuûa D xuoáng mp 0xy laø
Baøi 3 : Tính tích phaân sau:
D’: x 2  y 2  2x
I   xy2dxdy vôùi D laø mieàn giôùi haïn bôûi caùc S  1  ' 2 ' 2 (z ) (z ) dxdy D    x y ñöôøng troøn 2 x  ( y  ) 1 2  1 vaø D' =
2dxdy = 2S(D')   2 (ñvdt) 2 2
x  y  4 y  0  D ' Giaûi:
Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc. Ñaët
Baøi 6: Tính dieän tích phaàn maët phaúng
x  r cos
z=2x naèm phía trong parabolid | J  | r  y  r 2 2  sin 
z  x  y
D  D’ giôùi haïn bôûi 2sin   r  4sin  ; 0     Giaûi: ' ' ' 2 ' 2
I   xy2dxdy =  2
r cos (r sin  ) rdrd
z  2 ; z  0 ; x y
1  (z )  (z )  5 x y D D'
Hình chieáu cuûa D xuoáng mp 0xy laø D’: (x  ) 1 2 2  y  1  4 sin  =  2
sin  cos  d  4 r dr =0 S    1 ' 2 (z )  ' 2 (z ) dxdy x y 0 2 sin  D' 6
=  5dxdy = 5S(D')   5 (ñvdt) 2 2 2 
x  y  z  2z Ta coù heä: D '   2 x  2 y  2 z
Baøi 7: Tính tích phaân sau:   2 2
z  2z  0  z  ; 0 z  1
I   z x2  y2 dxdydz vôùi V laø
Hình chieáu cuûa V xuoáng mp 0xy laø mieàn V 2 2
mieàn giôùi haïn bôûi x2  y 2  2x ;
D: x  y  1 y  0 ; z=0; z=a
Chuyeån sang heä toïa ñoä truï. Ñaët
x  r cos Giaûi: 
Hình chieáu cuûa V xuoáng mp 0xy laø D:
 y  r sin  | J  | r
x2  y2  2x ; y  0 z  z 
Chuyeån sang heä toïa ñoä truï. Ñaët
V  V’: 0    2  ; 0  r  1; r  z  1+ 2 1  r
x  r cos  2 1  1  2 1 r
 y  r sin  | J  | r
V   dxdydz=  rd d
 rdz =  d  rdr  dz z  z  V V ' 0 0 r 2 1  1 2
V  V’: 0  r  2cos  ; 0    , 0  z  a
= d r 1( 1 r  r)dr = 2 . = (ñvtt) 2 2 0 0 I 
 z x2  y2 dxdydz=  2 zr drd d  z
Caùch khaùc: chuyeån sang heä toïa ñoä caàu V V ' 
Ñaët x=rcos  sin ; y=rsin  sin ; z=rcos vaø |J|=r2sin 2 cos 2  a 8 2 a 
=  d  r2dr zdz =
V  V’: 0   
; 0    2 ; 0  r  2cos 9 4 0 0 0
V   dxdydz=  2 r sind d  d  r
Baøi 8: Tính tích phaân sau: V V '  
I   y cos(z  x)dxdydz trong ñoù V laø mieàn giôùi haïn bôûi 4  2 2 cos  4 16 2 3 V = sin 
d  d  r dr =   cos  sin  d  3 0 0 0 0 y=0; y= x ; z=0; x+z= 2 16 1  = 4 4 
 . cos  | =  Giaûi: 0 3 4
I   y cos(z  x)dxdydz V
Baøi 10: Tính theå tích cuûa vaät theå   x 2 2 2 2 x 2
naêm trong maët caàu x  y  z  6
=  dx  ydy  cos(z  x)dz vaø naèm treân parabol 2 2
z  x  y 0 o o Giaûi:  2 2 2 2 2 
x  y  z  6  x y Ta coù heä  = x dx. | .sin(z  x  2 ) |  0 0 2 2 2 
z  x  y 0 2  
 z  z  6  z   ; 3 z  2 2 x 1 2  2 2 2 =  1 (  sin x) dx = (
 J ) vôùi J   xsin xdx=1
Hình chieáu cuûa V leân mp 0xy laø mieàn D: x  y  2 2 2 8 0 0
Chuyeån sang heä toïa ñoä truï. Ñaët x=rcos  ; y=rsin  ; z=z  |J|=r 1 2   I  (  ) 1
V  V’: 0    2  ; 0  r  2 ; 2 r  z  2 6  r 2 8 2 2 6 2 r 2
V   dxdydz   d  rdr  dz = (6 6  1 ) 1 (ñvtt)
Baøi 9: Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi x2  y 2  z 2  2z ; 3 2 V 0 0 r 2 2 2
x  y  z Giaûi: 7
C. Tích phaân maët loaïi 1
CHÖÔNG 3: TÍCH PHAÂN ÑÖÔØNG & TÍCH PHAÂN MAËT
 f (x, y, z)dS S
A. Tích phaân ñöôøng loaïi 1
- Neáu maët cong S coù phöông trình z=z(x,y)
 f (x, y)ds
 f (x, y, z)dS =  f (x, y, z(x, y)) 1 (z' 2 )  (z ' 2 ) x y L S D
- Neáu L : x=x(t); y=y(t);   t  
D laø hình chieáu cuûa S xuoáng maët phaúng 0xy 
 f (x, y)ds= f (x t(), y t()) (x' t 2 ( )) ( y' t 2 ( )) dt  
D. Tích phaân maët loaïi 2: sinh vieân töï soaïn theâm nheù, chöa coù L  thôøi gian ñeà caäp
- Neáu L : y=y(x); a  x  b b
E. Moät soá baøi taäp maãu
 f (x, y)ds= f (x, y(x)) 1 (y'(x dx   2 )) L a
Baøi 1: Tính tích phaân ñöôøng: 2
B. Tích phaân ñöôøng loaïi 2 x
I   xyds trong ñoù L laø elip 2
 y  1 naèm trong goùc
 P(x, y)dx  Q(x, y)dy 4 L L phaàn tö thöù nhaát
- Neáu L : x=x(t); y=y(t);   t   Giaûi:
 P(x, y)dx  Q(x, y)dy x  2 cost
x' 2sin t  Ñaët  ;t [ , 0 ]   L y  sin t y' cost 2  
= [P(x t(), y t())x' t()  Q(x t(), y t())y' t() d ] t I   xyds L L
- Neáu L : y=y(x); a  x  b 
 P(x, y)dx  Q(x, y)dy 2 =  2
2cos t sin t 4sin t  2 cos tdt L 0
= [P(x, y(x))  Q(x, y(x))y'(x) d ] x  L 2 2
- Coâng thöùc Green ñoái vôùi ñöôøng cong kín
= 2sin t cost 3sin t  . 1 dt Q P 0
 P(x, y)dx  Q(x, y)dy   (  )dxdy  x y 2 1 L D 1 2 2 2
- Tích phaân khoâng phuï thuoäc vaøo ñöôøng noái 2 ñieåm maø chæ phuï =  (3sin t  ) 1 d 3 ( sin t  ) 1 3 thuoäc vaøo 2 ñieåm ñoù 0 3 Q  P  2  14 2 Neáu  khi ñoù: = 2 2 3 ( sin t  ) 1 | = 0 x  y  9 9
 P(x, y)dx  Q(x, y)dy
Baøi 2: Tính x 2 ds doïc theo ñöôøng cong laø giao cuûa 2 maët L  ( x ; y ) b b ( x ; y ) b b L =
 P(x, y)dx  Q(x, y)dy =  d((x, y))
phaúng x-y+z =0 vaø x+y+2z =0 töø goác 0 ñeán ñieåm (3,1,-2) ( x ; y ) Giaûi: a a ( x ; y ) a a
d: x-3y =0 laø giao tuyeán cuûa 2mp khi ñoù x y 1
Trong ñoù: (x, y)   P(x, y )dx  L : y= x; 0  x  3 0
Q(x, y)dy 3 x y 0 0 3 x y
 x2ds = x2 1 (y'(x 2 )) dx  
Hoaëc (x, y)   P(x, y)dx  Q(x , y)dy 0 L 0 x y 0 0 10 3 3
D. ÖÙng duïng cuûa tích phaân ñöôøng loaïi 2 = 10 = 3 x | = 3 10  2 x dx 0 9 1 3 0
Tính dieän tích: S (D) 
 xdy  ydx 2 L 8
Baøi 3: Tính  (x  y)ds
Baøi 5: Tính (2a  y)dx  (a  y)dy  L L
vôùi L laø nöûa ñöôøng troøn 2 y  ax  x
x  a(t  sin t) Vôùi L : 
töø ñieåm O(0,0) ñeán A(2  a,0) Giaûi  y  a 1 (  cost) a Giaûi: x  y
Ta tính x’ = a(1-cost); y’ =asint Ta coù: 2 y  ax  x  2 ( )2  ( )2  1 a a
Nhaän thaáy f(t)=t –sint ñoàng bieán neân 2 2
Vôùi 0  x  2  a  0  t-sint  2  f(0)  f(t)  f(2 )  0  t  2  a  a x  1 (  cost) x'  sin t   2   2
(2a  y)dx  (a  y)dy  Ñaët   
; vôùi 0  t   L  a a y  sin t  y' cost  2   2   2 = 2 a [ 1 (  cost) 1
(  cost)  cost sin t]dt
 (x  y)ds 0 2 2 L a = 1 (  cos 2t sin 2t)dt    a a 2 = [ 1 (  cost) 
sin t] (x' t 2 ( ) y' t 2 ( ) dt   0 2 2 2 2 0 a 1 1 a 1 1 =  2 (t  sin 2t  cos 2t) | = (2   ) = 2 a 2  0 a 2 a 2 2 2 2 2 2 =  1
(  cost  sin t)dt = 
(t  sin t  cost) | 0 2 4 4
Baøi 6: Tính  2xydx  x dy vôùi L laø bieân mieàn D giôùi haïn 0 L 2 a 2 a 2 = ( 1  ) 1 = (  2)
bôûi y  x ; y  x laáy theo chieàu döông. Tính dieän tích mieàn D 4 4 Giaûi: -
Aùp duïng coâng thöùc Green ñoái vôùi ñöôøng cong kín Baøi 4: Tính Q  P  xydx x 2 2 dy = (  d ) xdy (
2 x2  y 2 )dx  x(4 y  ) 3 dy  trong ñoù    x  y  L D L 1 x 1
L laø ñöôøng gaáp khuùc 0AB vôùi 0(0,0); 1
=  dx (2x  2x)dy= 4 2
x(x  x)dx =  A(1,1); B(2,0) 3 0 x2 0 Giaûi: b. Ta coù coâng thöùc: 1 1 Q P Pdx  Qdy  = Pdx  Qdy  + Pdx  Qdy  S (D) 
 xdy  ydx =  (  )dxdy 2 2 x y L D L OA AB 1 x 1
Trong ñoù OA: y=x; OB: y=2-x 1 1 = 1 (  ( )
1 )dxdy = dx dy = 2 (x x )dx = (dvdt) 1       2 6 2 Pdx  Qdy  =  2 [ ( 2 x  2
x )  x(4x  ) 3 ]dx D 0 x 0 (3 ) 1 , OA 0
(x  2 y)dx  ydy Baøi 7: Tính 1  8 3 8 3 25 (x  2 y) =  2 8
( x  3x)dx = 3 2 1 ( x  x ) | =  = ) 1 , 1 ( 0 3 2 3 2 6 Giaûi: 0 Q P  2 y Nhaän thaáy  
Choïn ñieåm (1,0) coá ñònh: 3 2 x y (x  2) Pdx  Qdy  =  2 [ ( 2 x  (2  2 x) )  x( ( 4 2  x)  ) 3 ]dx x y 1 y AB 1
(x, y)   dx   dy 2 2 x (x  y) 8 19 11 1 0 =  2 8 ( x 19x  ) 8 dx = 3 2 2 ( x 
x  8x) | =  1 (3 1 , ) 3 2 6 x
(x  2 y)dx  ydy 1
= ln( x  y)  1   2 25 11 7 x  y (x  y) 1 , 1 ( )  (
2 x2  y 2 )dx  x(4 y  ) 3 dy  =  = 6 6 3 (3 ) 1 , 3 1 L
= d((x, y)) = ) 1 ,
(x, y) | = ) 1 , 1 ( ln 2  4 ( 1 , 1 ) 9
 Y  xexQ (x) n
CHÖÔNG 4: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN 
TH:  laø nghieäm boäi cuûa pt (3)  2
Y  x exQ (x)
A. Phöông trình vi phaân caáp 1 n
Tìm Y’ vaø Y’’. Sau ñoù thay ngöôïc vaøo pt(1), ñoàng nhaát heä soá ñeå
1. Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly M(x)dx+N(y)dy=0 tìm Q (x) n
Caùch giaûi: tích phaân 2 veà -
Xeùt tröôøng hôïp: dy
f ( x)  e x ( P ( x ) cos  x  Q ( x ) sin  x )
2. Phöông trình thuaàn nhaát:
 f (x, y) n dx 
TH:   i khoâng laø nghieäm phöùc cuûa pt (3)
Haøm f(x,y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát neáu:
 Y  ex (U (x) cos x  V (x) sin x) l l
f (x, y) n
  f (x, y) 
TH:   i laø nghieäm phöùc cuûa pt (3) Caùch giaûi: x y dy du
 Y  xe (U (x) cos x  V (x) sin x) l l Ñaët u   y=u.x   u  x thay vaøo phöông trình x dx dx Vôùi l  max{ , n } m du
Tìm Y’ vaø Y’’. Sau ñoù thay ngöôïc vaøo pt(1), ñoàng nhaát heä soá ñeå ta coù: u  x  f (u) dx
tìm U (x) , U (x) l l du
Suy ra nghieäm cuûa phöông trình toång quaùt (1): y  y  Y  x  f u
( )  u : Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly dx
3. Phöông trình tuyeán tính caáp moät: y’ +P(x)y=Q(x) C. Baøi taäp maãu
B1: Giaûi pt thuaàn nhaát y’ +P(x)y =0
 P ( x)dx
Phöông trình coù nghieäm toång quaùt laø:  y  Ce
Baøi 1: Giaûi phöông trình: xy' 2  y 1  0 (1)
y =0 cuõng laø nghieäm cuûa pttt thuaàn nhaát öùng vôùi C=0 Giaûi:
B2: Giaûi phöông trình tuyeán tính caáp moät: y’ +P(x)y=Q(x) dy (1)  2 x
 y  1  xdy  ( y 2  ) 1 dx
Ta coù nghieäm toång quaùt: dx P( x) dx TH: x( 2 y  )
1  0  x=0; y  1laø nghieäm cuûa pt y y(   Q(x)e dx  C) TH: x( 2 y  )
1  0 . Chia 2 veá cuûa pt(1) cho x( 2 y  ) 1
B. Phöông trình vi phaân caáp 2 dy dx
xdy  ( y 2  ) 1 dx  
Trong chöông trình naøy chæ trình baøy phöông phaùp giaûi phöông y 2 1 x
trình vi phaân caáp 2 vôùi heä soá khoâng ñoåi Tích phaân 2 veá ta coù: y’ +py’+q=f(x) (1) 1 dy dx 1 1 y 1
B1: Giaûi phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát y’’+py’+q=0 (2) 2   ln C   2 ln |
| ln | x |  ln C 2  y  1 x 2 y  1
- Giaûi phöông trình ña thöùc ñaëc tröng: 2
k  pk  q  0 (3) y 1 y  1 2 1  Cx 
TH: pt (3) coù 2 nghieäm k , k 2 ln | | ln Cx  Cx 1 2  2  y  y  1 y  1 2 1  Cx
 Pt (2) coù nghieäm toång quaùt: k x k x
y  C e 1  C e 2 1 2 2 1  Cx 
TH: pt (3) coù nghieäm keùp k
Vaây pt coù nghieäm toång quaùt: y  ; y  1 2 1  Cx
 Pt (2) coù nghieäm toång quaùt: kx kx y  C e  C xe 1 2 
TH: pt (3) coù 2 nghieäm phöùc a  bi
Baøi 2: Giaûi phöông trình: 2 2
y  x y' x . y y' (2)
 Pt (2) coù nghieäm toång quaùt: Giaûi:
y  C eax cosbx  C eax sin bx 2 1 2 (2)  2
(xy  x ) y' y
B2: Giaûi tìm nghieäm rieâng Y cuûa phöông trình tuyeán tính khoâng
TH: x =0  y =0 laø nghieäm phöông trinh
thuaàn nhaát: y’’+py’+q=f(x)
TH: y=x khoâng laø nghieäm phöông trình
- Xeùt tröôøng hôïp f (x)  ex P (x) 2 n
TH: xy  x  0 . Chia 2 veá cho 2
xy  x ta coù: 
TH:  laø khoâng laø nghieäm cuûa pt (3) 2 2 2
(xy  x ) y' y  y y' : haøm thuaàn nhaát
 Y  exQ (x) 2 n xy  x 
TH:  laø nghieäm ñôn cuûa pt (3) 10 y 2 x
y''4 y'8 y  e (2) ( ) 2 dy y dy du 2   x . Ñaët u   y  ux   u  x Xeùt x
f (x)  e    2 ; P(x)=1 dx y x dx dx  1
Do 2 khoâng laø nghieäm cuûa pt ña thöùc ñaëc tröng, baäc P(x)=0 neân x nghieäm rieâng coù daïng:
thay vaøo phöông trình ta coù:
Y  e2x A  Y '  e2x 2
A; Y '  e2x 4 A 1 1 1 2 du u u  x   x u (  ) 1 du  udx 1 Thay vaøo pt(2) ta coù: 2 x 2 x 4 Ae  e  A  dx u 1 4
TH: u =0  y =0 laø nghieäm pt 1 2 u  1 1  x Y  e 1
TH: u  0. Chia 2 veá cho ux ta coù: du  dx 4 u x -
Tìm nghieäm rieâng cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát: 1 1 y'' 4  y' 8
 y  sin 2x (3) Tích phaân 2 veá ta coù: 1 (  )du  dx  ln C   u x
Xeùt f (x)  sin 2 0 x  e x 0 ( cos 2x  . 1 sin 2x)
 u  ln | u | ln | x |  ln C
   0 ;   2 ; P(x) =0 vaø Q(x) =1 y y   ln |
| ln | x |  ln C Do 0  i
2 khoâng laø nghieäm phöùc cuûa pt ña thöùc ñaëc tröng, baäc x x
cuûa P(x) vaø Q(x) baèng 1 neân nghieäm rieâng coù daïng: y y 
 ln | y |  ln C  ln | y |  ln C
Y  Acos 2x  B sin 2x 2 x x
 Y '  2Asin 2x  2B cos 2x y y 2 y ln C '  ln | y |  ln C  x x y  e  Ce
Y  4 Acos 2x  4B sin 2x 2 x Thay vaøo pt(3) ta coù: y
(4 A  8B) cos 2x  8
( A  4B) sin 2x  sin 2x
Vaäy pt coù nghieäm toång quaùt: x
y  Ce ; y =0 öùng vôùi C=0  1 A  1
4 A  8B  0   10
Baøi 3: Giaûi phöông trình: y' y  3x
Ñoàng nhaát heä soá ta coù:    x
8 A  4B  1  1 B  Giaûi:   20 1 Ta coù: P(x)= ; Q(x)=3x x 1 1  Y  cos 2x  sin 2x
Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát 2 10 20 1 1  
 P( x)dx  dx 1
Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát laø: y'
y  0 coù daïng: y  e  x e =  x e ln = x x
y  y  Y  Y 1 1
 Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn
= C e2x cos 2x  C e 2x sin 2x + 1 2 nhaát coù daïng: 1 1 1 + x e2 + cos 2x  sin 2x P( x) dx 1 1 dx  y
y( Q(x)e   dx  C)  = ( 3 . x e x dx  C)  4 10 20 x 1 1 1 = ( 3 . ln x e x dx  C)  = 3 ( 2 x dx  C)  = ( 3 x  C) x x x
Baøi 4: Giaûi phöông trình: y'' 4
 y'8 y  e2x  sin 2x (1) Giaûi:
- Tìm nghieäm toång quaùt cuûa PTTT thuaàn nhaát: y'' 4
 y'8y  0 k  2  i 2
Xeùt pt ña thöùc ñaëc tröng: 2
k  4k  8  0  1  k  2  i 2 2
 Nghieäm toång quaùt cuûa PTTT thuaàn nhaát coù daïng:
y  C e2x cos 2x  C e2x sin 2x 1 2
- Tìm nghieäm rieâng cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát: 11
Thoûa maõn ñieàu kieän y(0)=5; y’(0)=10
MOÄT SOÁ ÑEÀ THI TUYEÅN SINH CAO HOÏC CAÀN THÔ Ñeà thi naêm 2009
TÖØ NAÊM 2006 ÑEÁN 2011
Caâu 1: Tính tích phaân ñöôøng vôùi C laø moät chu tuyeán baát kyø: 2 2
I   (x  y )(xdx  ydy) Ñeà thi naêm 2006 C 2 2 2 2 2 2 2 2 4 y
Caâu 2: Cho mieàn D giôùi noäi bôûi: (x  y )  2a (x  y )
Caâu 1: Tính tích phaân: I    (4  2 x )dxdy
a. Tính dieän tích mieàn D 0 0 b. Tính  xydxdy
Caâu 2: Tính tích phaân ñöôøng: I   xyds vôùi L laø ñöôøng D L
Caâu 3: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá:
giao tuyeán cuûa caùc maët 2 2
z  2  x  2 y vaø 2
z  x töø ñieåm f (x, y) 3 3
 x  y  3xy  5 A(0,1,0) ñeán B(1,0,1)
Caâu 3: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá sau: f(x,y)=sinx+siny+cos(x+y) Caâu 4: Tìm nghieäm cuûa pt sau: 3 3 2 vôùi D ={(x,y): 0  x  ;0  y  } y'' 4  y' 3
 y  x  3x  5 2 2 Ñeà thi naêm 2010
Caâu 4: Vieát nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình:
Caâu 1: Tính tích phaân ñöôøng doïc theo C laø caùc caïnh cuûa tam a. y'' 4  y' 4  y  2 2 e x ( 2 x  2x  1 ) 0
giaùc noái caùc ñænh O(0,0); A(2,0); B(0,2) b. ( 2 2
x  y  x)dx  ydy  0
I   x2 y(ydx  xdy) Ñeà thi naêm 2007 C
Caâu 1: Cho mieàn V giôùi noäi bôûi caùc maët z=0; y=z; y=x2; y=1
Caâu 2: Cho mieàn D giôùi noäi bôûi: a. Bieåu dieãn mieàn V
D  {(x, y) : 2 2 2
  x  y  4 2  } b. Tính theå tích mieàn V
a. Bieåu dieãn hình hoïc mieàn D
c. Tính  (x  y)dxdydz b. Tính I   x2 sin  y 2 dxdy V D
Caâu 2: Tính tích phaân ñöôøng
Caâu 3: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá:
I   (2x2  2y2 )dx  (ln y  4xy)dy vôùi L laø ñöôøng noái 2 f (x, y) 2 2
 x  y  3xy  5 L
Caâu 4: Vieát nghieäm toång quaùt cuûa pt: ñieåm A(-1,1); B(4,e) xy' 1
(  2x) y  x
Caâu 3: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá f(x,y)=(x-2)lnxy
Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 1)
Caâu 4: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa pt:
Caâu 1: Cho haøm f(x,y)=x+y-xy vaø taäp y'' 6  y'9 2 y  e x ( 2 x  ) 5 2 Ñeà thi naêm 2008
D  {(x, y) : 0  y  ; 1 y  x  2 y  y }
Caâu 1: Tính tích phaân ñöôøng doïc theo C  C  C
a. Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm f treân mieàn D 1 2 b. Tính
f (x, y)dxdy
I   (4x2  4y2)dx  (ln y 8xy)dy trong ñoù: D C
Caâu 2: Tính tích phaân ñöôøng:
C  {(x, y) :1  x  , 2 2 y  x } vaø 1 (3,2)
C  {(x, y) : 2  x  , 4 y  8  2 } x x I  e y[ 1
(  x  y)dx  1
(  x  y)dy] 2 
Caâu 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi 2
x  4  y ; x=0; -1  x  1 (2 ) 1 , 2 a. Bieåu dieãn mieàn D y
Caâu 3: a. Giaûi pt vi phaân sau: y' 
b, Tính dieän tích mieàn D 2 xy  x c. Tính  xydxdy 2 3 ( y  )dx  (x  )dy  D b. GPT vi phaân sau: 0 2 2 x y
Caâu 3: Tìm cöïc trò haøm soá sau:
Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 2)
f (x, y)  4 3
x  10xy  2 2 y  10
Caâu 1: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm 2 ( x y)
f (x, y)  x ye treân
Caâu 4: Tìm nghieäm cuûa pt sau:
mieàn D ñoùng vaø bò chaën bôûi x  0; y  0 vaø x+y  4 5 y'' 4  y' 2
 y  e x ( 2 x  4x  ) 5 12
Caâu 2: Tính theå tích vaät theå naèm trong maët caàu Y ' 2  e x (2 2
Ax  (2 A  2B)x  B  2C) 2 2 2
x  y  z  4 vaø trong maët truï x2  y 2  2 y Y '' 2  e x (4 2 Ax  8
( A  4B)x  2 A  4B  4C) y
Caâu 3: Tính tích phaân ñöôøng 1 1 75
 arctg dy  dx
Thay vaøo PT ñoàng nhaát heä soá ta coù A  ; B  ; C  x (OmAn ) 8 8 64
Trong ñoù O(0,0); A(1,1); OmA: 2
y  x ; OnA:y=x
Vieát nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình: 2 1 1 75
Caâu 4: a. GPT vi phaân: y ln ydx  x 1
(  ln y)dy  0 y= 2 x 2  x C e  C xe + e x ( 2 x  x  ) 1 2 8 8 64
b. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa pt: b. ( 2 2
x  y  x)dx  ydy  0 2 x x x 2 y'' 3
 y'2 y  xe (sin  cos ) Ñeà thi naêm 2007 2 2 Caâu 1
Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 2) : 1 1 y
Caâu 1: Tìm cöïc trò haøm aån z=z(x,y) xaùc ñònh bôûi phöông trình
b. V   dxdydz=  dx dy dz 2 2 2
x  y  z  2x  4 y  6z 11  0 V 1 2 x 0
Caâu 2: Tính theå tích vaät theå naèm treân mp 0xy vaø giôùi haïn bôûi 1 1 1 1 = dx ydy = 1 (  4 x )dx maët parabolid 2 2
z  x  y vaø maët truï 2 2 2
x  y  a (a>0)    2 1 2 x 1
Caâu 3: Tính tích phaân maët sau: 4 = (ñvtt)
xz 2 dydz  (x 2 y  z 3 )dzdx  (2xy  y 2 z)dxdy  5 S c. (x y)dxdydz
Vôùi S laø nöûa treân hình caàu giôùi haïn bôûi caùc maët   V 2 2 2 2
x  y  z  a (a>0) vaø z=0 1 1 y 4 2 3
=  dx  dy(x  y)dz =
Caâu 4: a. GPT: ( y  )dx  (x 
)dy  0 ; y(1)=1 7 2 2 2 x y 1 x 0
b. Tìm daïng nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình: Q  P  y''3y' 2
 y  x( x 2  x e  e )
Caâu 2: nhaän thaáy   4  y x  y  Höôùng daãn:
Choïn (0,1) laøm ñieåm coá ñònh Ñeà thi naêm 2006 x y 2 2 2 4 y 2 4 y
(x, y) =  (2x2  )
2 dx   (ln y  4xy)dy
Caâu 1: I    (4  2
x )dxdy =  dy  (4  2 x )dx 0 1 0 0 0 0 2 3 2  =
x  y ln y  y  2xy  1 2 3 1 y2 sin t 2 16 =  2 ( y  ) 8 4  2 y dy   2 (sin t  2 ) 2 cos tdt 127 3 3 (4,e)
 L  (x, y) | = 2  8e 0 0 ( ) 1 , 1 3  2
Caâu 4: Nghieäm toång quaùt cuûa PTTT thuaàn nhaát: 16 1  cos 2t 1  cos 2t  (  ) 2 dt =  3 3x 3 x y  C e  C xe 3 2 2 1 2 0
Nghieäm rieâng cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát coù daïng:
Caâu 2: Giao tuyeán coù daïng: 2 2
x  y  1  2 y  1 x 2 Y  e x ( 2
Ax  Bx  C)  x 1 2 x 2  y'   ' 2 1  ( y ) =
Y ' e (2 Ax  (2 A  2B)x  B  2C) x 2 1  x 2 1 x Y '' 2  e x (4 2 Ax  8
( A  4B)x  2 A  4B  4C) 1 1 1
Thay vaøo PT ñoàng nhaát heä soá ta coù A  ; 1 B  ; 4 C  11
I   xyds =  x 1  2 x . 1  ' 2
( y ) dx = xdx = x  2
Vieát nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình: L 0 0 3 x 3 2 y= x C e
 C xe + e x ( 2 x  4x  1 ) 1 1 2
Caâu 3: Baøi 4 chöông 1 Ñeà thi naêm 2008
Caâu 4: a. Nghieäm toång quaùt cuûa PTTT thuaàn nhaát: Caâu 1: 2  x 2  x y  C e  C xe Caâu 2: 1 2
b, Tính dieän tích mieàn D
Nghieäm rieâng cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát coù daïng: 13 2 Y  e x ( 2
Ax  Bx  C) 2 1 4 y x 3x 1 2 17 107
S   dxdy=  dy  dx
Caâu 4: y  C e  C e  x  x  1 2 3 9 27 D 1 0 Ñeà thi naêm 2010 1 22 =  (4  2) y dy = (ñvdt)
Caâu 1: Aùp duïng ct Green: 3 2 2x 1 Q P 8 I  (  )dxdy= 2 dx x ydy  2 1 4 y 1    1 x y 15
c.  xydxdy=  dy  xydx  5 ( y  3 8y  5 y )dy =0 D 0 0 2 Caâu 2: D 1 0 1 25 125  2  2
Caâu 3: Haøm soá coù 2 ñieåm döøng O(0,0) vaø M ( ; ) b. I  x2 sin y 2 dxdy =  d sin r.rdr 12 24     D 0 
Khoâng ñaït cöïc trò taïi O vaø ñaït cöïc tieåu taïi M; 6985 f    2 2 CT 432 = 
2  r sin rdr = 2[r cos r |2  cos rdr]  
Caâu 4: Nghieäm toång quaùt cuûa PTTT thuaàn nhaát:   1  x = 2    =    = 2 x 2 [ 3  sin r | ] 2 ( 3 )  6
y  C e  C e 5  1 2
Caâu 4: Vieát nghieäm toång quaùt cuûa pt:
Nghieäm rieâng cuûa PTTT khoâng thuaàn nhaát coù daïng: 2 xy' 1
(  2x) y  x Y  e x ( 2
Ax  Bx  C)
TH: x=0  y=0 laø nghieäm cuûa pt Y ' 2  e x (2 2
Ax  (2 A  2B)x  B  2C) 1  2x
TH: x  0. Chia 2 veá pt cho x ta coù: y'  1 daïng Y '' 2  e x (4 2 Ax  8
( A  4B)x  2 A  4B  4C) x
Thay vaøo PT ñoàng nhaát heä soá ta coù y’+P(x)y=Q(x) 1  76 1711 1  2 x 1 2 x 1 A  ; B  ; C 
Nghieäm toång quaùt: y  e ( 2 xe  e x  C) 11 121 1331 x 2 4
Vieát nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình:
Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 1) 1  x
Caâu 1: a. Maxf=1 taïi (1,1), Minf=0 taïi (0,0) 2 1 76 1711 x
y  C e  C e 5 + e x ( 2 x  x  ) 1 2 2 11 121 1331 1 2 y y
b.  f (x, y)dxdy =  dy  (x  y  xy)dx  y( ) 0  5 2662 14450 Do  C  ;C   D 0 y y'( ) 0  10 1 363 2 3993  1 = 3 ( y  2 3y  y  2 y 2 y y )dy Ñeà thi naêm 2009   0 Caâu 1:  1 1
2 y  2 cos  Caâu 2: =   y y  2 2 y dy   7  4 4 12
Chuyeån sang heä toïa ñoä cöïc ta coù 2 r  2 2 a cos  2 0 (3,2)  Caâu 2: x I  e y[ 1
(  x  y)dx  1
(  x  y)dy]
D  D’: 0  r  a 2 cos  2 ; 0     4 (2 ) 1 ,   ( , 3 2 x (3,2 4 a 2 cos 2 4 = )
(x, y) | = )
e y (x  y) | = 3 5  e  e ( 2  ) 1 , (2 ) 1 ,
a. S  4 d  rdr = 2
4a  cos2d
Caâu 3: a. baøi 2 chöông 4 0 0 0 Q P  b. Nhaän thaáy   1 = 2 4 2a sin 2 | = 2 2a (ñvdt) x y 0 2 3  ( y  )dx  (x 
)dy  d ( (x, y))  0 4 a 2 cos 2 2 2 x y
b.  xydxdy = 4  d  3
r cos sin dr   2 3   2 3 D 0 0 d (   xy  ) 2  0 
 xy  2  C x y x y  4 4  a 4 a
Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 2) = 4 2a  2
cos 2 sin 2  d = 3 4  cos 2 | = 0 Caâu 1: Maxf= 3 3 3 4 
e taïi (2,1); Minf=0 taïi caùc ñieåm coøn laïi tröø 0 8 4
Caâu 3: Haøm soá coù 2 ñieåm döøng O(0,0) vaø M(-1,-1) trong ñoù ñieåm ( , ) 3 3
haøm soá khoâng ñaït cöïc trò taïi O vaø ñaït cöïc ñaïi taïi M; f  6 CD 14  2 2 sin 
Caâu 2: V  4  d  4  2 r r.dr 0 0 = 32  2 (  ) (ñvtt) 3 2 3
Caâu 3: AÙp duïng ct y 3 Green:
 arctg dy  dx =  3 x 4 (OmAn ) Caâu 4: x 2 x 2 x 1
y  C e  C e  e ( 2 x  2x) 1 2 2 2 1 1  e x [( x  ) 1 cos x  ( x  ) 1 sin x] 2 2
Ñeà thi naêm 2012 (ñôït 1) Caâu 1: 4 a 
Caâu 2: V  z(x, y) 3 dxdy  r dr  d    (ñvtt) 2 D D' P Q R
Caâu 3: I   (   )dxdydz x y z V  2 2 a
=  (z2  x2  y2)dxdydz = sin d
   d  r 4dr V 0 0 0  2 5 a  2 r5 = a 2
 cos | . | . | = 0 0 0 5 5 Caâu 4: a. vi phaân toaøn phaàn
Choïn (1,1) laøm ñieåm coá ñònh ta coù x y 2 3
(x, y)   1 (  )dx  ( ) 2  x  dy x y 2 1 1 2 x 3 y 2 3 = (x  ) | (xy  ) |  xy    2 1 1 x y x y 2 3  ( y  )dx  (x  dy  C  ) x2 y 2
 d ((x, y))  C   (x, y  C  ) 2 3  xy  
 2  C maø y(1)=1 neân C=0 x y 2 3
Nghieäm toång quaùt: xy    2  0 x y b. Nghieäm toång quaùt:  x 2 x  x 1 2 2 x 1 y  C e  C e
 e ( x  x)  e ( 2 x  x) 1 2 2 2 15