SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẾN TRE
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể phát đề)
Câu 1 (5 điểm)
Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4
4 1 = 0
(

)
[
;
]
là tập xác định của hàm số
() =


.
a) Đặt
(
)
= 
(
)

(
)
.Tìm
(
)
theo t.
b) Chứng minh rằng: Với
,
,
0;
, nếu 
+ 
+ 
= 1
thì
(
)
+
(
)
+
(
)
<
.
Câu 2 (5 điểm)
Cho tam giác ABC có
= 60
, > .Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF ( , ). Trên các
cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho  = . Tính giá trị của


.
Câu 3 (5 điểm)
Dịp năm học 2017 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n số
nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học
sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy
rằng: với 2 học sinh bất kỳ đúng một lần được phân công làm vsinh trong cùng
một ngày.
a) Khi = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.
b) Chứng minh rằng là số lẻ.
Câu 4 (5 điểm)
Xác định tất cả các hàm : à: thỏa mãn đồng thời các điều
kiện:
(1) Với mọi , :2
(
)
(
)
=
(
)
;
(2) Với mọi :
(
)
.
(
)
+ 1.
HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẾN TRE
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: TOÁN
+ Hướng dẫn chung: (nếu có)
………………………………………………………………………………………………………
Câu Nội dung Điểm
Ghi
chú
1
Giải sử α, β là các nghiệm thực của phương trình
4
4 1 =
0
(

)
[
;
]
là tập xác định của hàm số
() =


.
a) Đặt
(
)
= 
(
)

(
)
.Tìm
(
)
theo t.
b) Chứng minh rằng: Với
,
,
0;
,
nếu 
+ 
+ 
= 1 thì
(
)
+
(
)
+
(
)
<
.
5
1a)
Đặt
1 2
x x
khi đó
2 2
1 1 2 2
4 4 1 0,4 4 1 0
x tx x tx
Do đó:
2 2
1 1 1 2
4( ) 4 ( ) 2 0
x x t x x
1 2 1 2
1
2 ( ) 0
2
x x t x x
1
2 1 2 1 1 2
2 1
2 1
2 2 2 2
2 1 2 1
( ) ( ) 2 2
2 2
( ) ( )
1 1 ( 1)( 1)
x x t x x x x
x t x t
f x f x
x x x x
2 1 1 2 2 1 1 2
1
t x x x x t x x x x
vì vậy
2 1
( ) ( ) 0
f x f x
nên
( )f x
là một hàm tăng trên
;
1
t
1
4

2 2
2 2
2
2
5
1( )
8 1(2 5)
2
( ) axf(x)-minf(x)=f( )-f( )=
25
16 25
16
t t
t t
g t m
t
t
1
1b)
2
2
2
8 2 16
( 3) 24cosu
cosu cos cosu
(tan )
16
16 9cos
9
cos
i
i i i
i
i
i
u
g u
u
u
1
2 2
2 16.24 16 6
(tan ) ( 1,2,3)
16 9cos 16 9cos
i
i i
g u i
u u
Vì thế
3 3 3
2 2
1 1 1
1 1 1
(16 9 os ) (16.3 9.3 9 sin )
(tan )
16 6 16 6
i i
i i i
i
c u u
g u
3
1
sin 1
i
i
u
với
(0; ), 1,2,3
2
i
u i
ta có
3 3
2 2
1 1
3 sin ( sin ) 1
i i
i i
u u
Vì vậy
1 2 3
1 1 1 1 1 3
(75 9. ) 6
(tan ) (tan ) (tan ) 3 4
16 6
g u g u g u
1
2
Cho tam giác ABC có
= 60
, > .
Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF
( , )
. Trên các cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm
M, N sao cho
 = .
Tính giá trị của


.
5
Trên đoạn BE lấy điểm K sao cho: BK = CH
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên

= 2
=
120
.
Ta có

= 180
= 120
nên

=

suy ra bốn điểm B,
C, O, H cùng thuộc một đường tròn

=
.
2
Xét 2 tam giác BOK và COH có OB = OC, BK = CH và

=
nên
 = 
suy ra

=
à = 
Ta có

=
=120
,
=
=30
2
Áp dụng định lý sin cho tam giác OKH, ta
 =
3
Ta có


=


=


=
3.
1
3
Dịp năm học 2017 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n
(n số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu
trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt
cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với 2 học sinh bất kỳ
có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày.
a) Khi = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu
trên. Giải thích.
b) Chứng minh rằng

là số lẻ.
5
a)
Khi
= 3:
có 9 học sinh mang số từ 1 đến 9.
Số các sắp xếp học sinh làm vệ sinh thỏa yêu cầu là 12.
Cụ thể là:
(
1,2,3
)
,
(
1,4,5
)
,
(
1,6,7
)
,
(
1,8,9
)
,
(
2,4,6
)
,
(
2,7,8
)
,
(
2,5,9
)
,
(
3,4,8
)
,
(
3,5,7
)
,
(
3,6,9
)
,
(
4,7,9
)
,
(
5,6,8
)
.
3
b)
Ta lấy cố định một học sinh A.
Vì học sinh A được phân công vệ sinh đúng một lần với mỗi học sinh
khác và mỗi ngày có 3 học sinh làm vệ sinh nên
3 1
học sinh còn lại
được chia thành từng cặp, ta có
(3 1) 2
nên n là số lẻ
2
4
Xác định tất cả các hàm
: à:
thoả mãn đồng
thời các điều kiện:
(1) Với mọi
, :2
(
)
(
)
=
(
)
;
(2) Với mọi
:
(
)
.
(
)
+ 1.
5
Từ 1) thay
x y
ta có
2f (x) g(x) f (x) x f (x) g(x) x x .
Như vậy giả thiết 1) trở thành :
2(g(x) x) g(x) (g(y) y) y g(x) 2x 2y g(y) x, y .
1.5
Thay y = 0 và đặt g(0) = b ta có
g(x) 2x b,
do đó
f (x) x b.
Thay biểu thức của f và g vào bất đẳng thức ở 2) ta được :
2 2
(x b)(2x b) x 1 x 2x (3b 1)x b 1 0 x.
(*)
1
Bất đẳng thức (*) được thoả mãn với mọi x khi và chỉ khi
2 2 2 2
(3b 1) 4.2(b 1) b 6b 9 0 (b 3) 0 b 3.
Hiển nhiên các hàm
f (x) x 3 ; g(x) 2x 3
thoả mãn điều kiện
2).
1
Ta chứng minh chúng cũng thoả mãn điều kiện 1)
Thật vậy, ta có
2f (x) g(x) 2(x 3) (2x 3) 3
f (y) y y 3 y 3.
Vậy 1) được thoả mãn
1
Kết luận : Tất cả các cặp hàm số f và g cần tìm là
f (x) x 3 ;g(x) 2x 3.
0.5

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI BẾN TRE
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể phát đề) Câu 1 (5 điểm)
Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4 4 1 = 0 ( ∈ ) và
[ ; ] là tập xác định của hàm số ( ) = . a) Đặt ( ) = ( ) ( ). Tìm ( ) theo t. b) Chứng minh rằng: Với , , ∈ 0; , nếu + + = 1 thì + + < √ . ( ) ( ) ( ) Câu 2 (5 điểm) Cho tam giác ABC có = 60 , >
. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF ( ∈ , ∈ ). Trên các
cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho = . Tính giá trị của . Câu 3 (5 điểm)
Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n là số
nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học
sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy
rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày.
a) Khi = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.
b) Chứng minh rằng là số lẻ. Câu 4 (5 điểm)
Xác định tất cả các hàm : → à : →
thỏa mãn đồng thời các điều kiện: (1) Với mọi , ∈ : 2 ( ) ( ) = ( ) ; (2) Với mọi ∈ : ( ). ( ) ≥ + 1. HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẾN TRE
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TOÁN
+ Hướng dẫn chung: (nếu có)
………………………………………………………………………………………………………
Câu Nội dung Điểm Ghi chú
Giải sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4 4 1 = 0 ( ∈
) và [ ; ] là tập xác định của hàm số ( ) = . a) Đặt ( ) = ( ) ( ). Tìm ( ) theo t. 1 b) Chứng minh rằng: Với , , ∈ 0; , 5 nếu + + = 1 thì + + < √ . ( ) ( ) ( ) 1a)
Đặt   x x   khi đó 2 2
4x  4tx 1  0, 4x  4tx 1  0 1 2 1 1 2 2 1 1 Do đó: 2 2
4(x x )  4t(x x )  2  0  2x x t(x x )   0 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2x t 2x t
(x x ) t(x x )  2x x  2 2 1 2 1  2 1 1 2 
f (x )  f (x )    2 1 2 2 2 2 x  1 x  1
(x  1)(x  1) 2 1 2 1 1 1
t(x x )  2x x  2  t(x x )  2x x   0 2 1 1 2 2 1 1 2 2
vì vậy f (x )  f (x )  0 nên f (x) là một hàm tăng trên ;   2 1 1 
Vì     t và   4 2 2 5 t 1(t  ) 1 2 2
8 t 1(2t  5) 2 g(t)  axf m (x)-minf(x)=f( )-f( )=  2 25 2 16t  25 t  16 1b) 8 2 16 (  3)  24cosu 2 cosu cos u cosu i g(tan u ) i i i   1 i 2 16 16  9cos u  9 i 2 cos ui 2 16.24 16 6 g(tan u )   (i  1, 2,3) i 2 2 16  9cos u 16  9cos u i i Vì thế 3 3 3 1 1 1 2 2  (16  9 os c u )  (16.3  9.3  9 sin u )     g(tan u ) i i i 1 i 16 6 i 1  16 6 i 1  3  Vì sin u  1 
với u  (0; ),i  1, 2,3 ta có i i 2 i 1  3 3 2 2 3 sin u  ( sin u )  1  ii 1 i 1  i 1  1 1 1 1 1 3 Vì vậy    (75  9. )  6 g(tan u ) g(tan u ) g(tan u ) 16 6 3 4 1 2 3 Cho tam giác ABC có = 60 , >
. Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF 2 ( ∈ , ∈
). Trên các cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm 5 M, N sao cho = . Tính giá trị của .
Trên đoạn BE lấy điểm K sao cho: BK = CH
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên = 2 = 120 . 2 Ta có = 180 = 120 nên = suy ra bốn điểm B,
C, O, H cùng thuộc một đường tròn → = .
Xét 2 tam giác BOK và COH có OB = OC, BK = CH và = nên = suy ra = à = 2 Ta có = = 120 , = = 30
Áp dụng định lý sin cho tam giác OKH, ta có = √3 1 Ta có = = = √3.
Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n
(n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu
trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt
cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với 2 học sinh bất kỳ 3
có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày. 5
a) Khi = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.
b) Chứng minh rằng là số lẻ.
Khi = 3: có 9 học sinh mang số từ 1 đến 9.
Số các sắp xếp học sinh làm vệ sinh thỏa yêu cầu là 12. a) Cụ thể là: 3
(1,2,3), (1,4,5), (1,6,7), (1,8,9), (2,4,6), (2,7,8),
(2,5,9), (3,4,8), (3,5,7), (3,6,9), (4,7,9), (5,6,8).
Ta lấy cố định một học sinh A.
Vì học sinh A được phân công vệ sinh đúng một lần với mỗi học sinh b) 2
khác và mỗi ngày có 3 học sinh làm vệ sinh nên 3 1 học sinh còn lại
được chia thành từng cặp, ta có (3 1) 2 nên n là số lẻ
Xác định tất cả các hàm : → à : → thoả mãn đồng thời các điều kiện: 4 (1) Với mọi , ∈ : 2 ( ) ( ) = ( ) ; 5 (2) Với mọi ∈ : ( ). ( ) ≥ + 1. Từ 1) thay x  y ta có
2f (x)  g(x)  f (x)  x  f (x)  g(x)  x x  . 1.5
Như vậy giả thiết 1) trở thành :
2(g(x)  x)  g(x)  (g(y)  y)  y  g(x)  2x  2y  g(y) x, y  .
Thay y = 0 và đặt g(0) = b ta có g(x)  2x  b, do đó f (x)  x  b.
Thay biểu thức của f và g vào bất đẳng thức ở 2) ta được : 1 2 2
(x  b)(2x  b)  x 1 x  2x  (3b 1)x  b 1 0 x. (*)
Bất đẳng thức (*) được thoả mãn với mọi x khi và chỉ khi 2 2 2 2
  (3b1) 4.2(b 1)  b 6b 9  0  (b3)  0  b  3. 1
Hiển nhiên các hàm f (x)  x  3 ; g(x)  2x  3 thoả mãn điều kiện 2).
Ta chứng minh chúng cũng thoả mãn điều kiện 1) Thật vậy, ta có
2f (x)  g(x)  2(x  3)  (2x  3)  3 1
và f (y)  y  y  3 y  3. Vậy 1) được thoả mãn
Kết luận : Tất cả các cặp hàm số f và g cần tìm là 0.5
f (x)  x  3 ; g(x)  2x  3.