Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 (có đáp án)

Sưu tầm Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8, gồm 3 trang có đáp án giúp bạn củng cố, ôn tập và có một kì thi tốt. Mời bạn đọc đón xem!

117 59 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 8

Môn: Toán 8

Thông tin:

3 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Hoàng Ngân
Trang 1
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Cho biểu thức:
( )( )
22
2 2 4 2
13
.
5 6 3 2 1
xx
xx
K
x x x x x x
−−

=+

− + − + + +

a) Rút gọn K
b) Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 2: a) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x
2
– 6y
2
= 1.
b) Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1 6.
Bài 3: a) Chứng minh rằng A = 7.5
2n
+ 12.6
n
chia hết cho 19
b) Giải phương trình nghiệm nguyên:
4 4 3
( 2) (1)x x y+ − =
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B và D), Gọi M là
điểm đối xứng của C qua P
a. Chứng minh AM song song với BD
b. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB.
Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng
c. Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí
của P
Bài 5: Cho hai số thực
2 2 2 2
2 2 2 2 2
4
, 0, : 3(1)
()
x y x y
x y CMR
x y y x
+ +
+
Hết
Bài 1
a, ĐKXĐ:
1;2;3x
( )( ) ( )( )
( )( )
22
42
13
.
3 2 2 1
1
xx
xx
K
x x x x
xx

−−
=+


− − − −
++

2
42
2
1
x
K
xx
= =
++
b, Nếu
00xK= = =
Nếu
2
2
2
2 2 2
0
1
3
1
1
3
xK
x
x
x
x
= = =

++
−+


, vậy K lớn nhất bằng
2
3
khi x= - 1
Bài 2
a) HD:
Trang 2
2 2 2 2 2
2
22
2
ã: x 6 1 1 6 ( 1)( 1) 6
6 2 ( 1)( 1) 2
µ x - 1 + x + 1 = 2x x - 1 vµ x + 1 cã cï ng tÝnh ch½n lÎ .
x - 1 vµ x + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp
( 1)( 1) 8 6 8 3 4
2 2 2 5
Ta c y x y x x y
Do y x x
M
x x y y
y y y x
− = − = − + =
− +
− +
= =
b) HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2
với k
N*.
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)
p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó
p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).
Do p là số nguyên tố và p > 3
p lẻ
k lẻ
k + 1 chẵn
k + 1 2 (2)
Từ (1) và (2)
p + 1 6.
Bài 3 Chứng minh rằng A = 7.5
2n
+ 12.6
n
chia hết cho 19
HDa:
Ta có A = A = 7.5
2n
+ 12.6
n
= A = 7.25
n
+ 12.6
n
Vì 25 ≡ 6 (mod 19) => 25
n
≡ 6
n
(mod 19)
=>7.25
n
≡ 7.6
n
(mod 19) => 7.25
n
+ 12.6
n
≡ 7.6
n
+ 12.6
n
≡ 19.6
n
≡ 0 (mod 19) . Điều
này chứng tỏ A chia hết cho 19.
HD b:
3 2 3 3 3 2 3
(1) 8 24 32 16 2 2 2 ( ) 3 4 2x x x y y y y z z Z x x x z + + + = → → → = → = + + =
Ta chứng minh được:
3 3 2 3 2 3 3 2
( 2) 2 1 3 4 2 ( 1) 3 3 1x z x x z x z x x x x x x x x + → + → = + → + + + = + = + + +
1 0 0 ( , ) ( 1,0)x z y x y→ = − → = → = → = −
Bài 4:
Trang 3
a, Ta có: O là trung điểm của AC (ABCD là hình chữ nhật)
P là trung điểm của CM ( Vì M đối xứng với C qua P)
Nên Op là đường trung bình của
ACM, do đó: OP//AM=> AM//BD
b, Vì OP là đường trunh bình của
ACM nên OP//AM và OP=
1
2
AM
Do đó: OP//AI và OP=AI=> tứ giác AIPO là hình bình hành=> PI//AC (1)
Kẻ ME//AB cắt AC tại K, ta có:
KAE EAM=
(
)
KDA=
Nên AE là phân giác
KAM
. Mặt khác:
AE KM AKM⊥ =
cân
E là trung điểm của KM,
do đó EI là đường trung bình của
AMK=> EI//OA=>EI//AC (2)
Ta lại có : E, I, F thẳng hàng (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: E, F, P thẳng hàng.
B5.HD:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4
(1) 1 2 0
()
4 ( ) 2
0
()
( ) ( )
0
()
x y x y
x y y x
x y x y x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
− + + −
+
− + + −
+
+
− − −
+
+
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
4 4 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
11
( ) . 0
()
()
( ) . 0
()
( ) . 0
()
xy
x y x y
x y x y
xy
x y x y
x y x y
xy
x y x y
xy

− −

+

+−
−
+
++
−
+
=
K
I
F
E
O
M
D
B
C
A
P
| 1/3
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 2 2  x x  (x − ) 1 ( x − ) 3
Bài 1: Cho biểu thức: K =  + . 2 2 4 2 x − 5x + 6 x − 3x + 2 x + x + 1   a) Rút gọn K
b) Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 2: a) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.
b) Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1 6.
Bài 3: a) Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 4 3
(x + 2) −x = y (1)
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B và D), Gọi M là
điểm đối xứng của C qua P
a. Chứng minh AM song song với BD
b. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB.
Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng
c. Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí của P 2 2 2 2 4x y x y
Bài 5: Cho hai số thực x, y  0,CMR : + +  3(1) 2 2 2 2 2 (x + y ) y x Hết Bài 1 a, ĐKXĐ: x  1;2;3 2 2  x x  (x − ) 1 (x − ) 3 K =   ( +   x − ) 3 (x − ) 2
(x−2)(x− ) . 4 2 1  x + x + 1  2  2x  (x − ) 1 (x − ) 3 2 2x = K =  = K = 4 2  (   x − ) 1 (x − ) . 4 2 3  x + x + 1  x + x + 1
b, Nếu x = 0 = K = 0 2 2 2 2
Nếu x  0 = K = =
 , vậy K lớn nhất bằng khi x= - 1 2 1 2 3  1 3 x 1  + + 2 x − + 3 x    x  Bài 2 a) HD: Trang 1 2 2 2 2 2 Ta ã
c : x − 6y = 1 x −1 = 6y  (x −1)(x + 1) = 6y 2
Do 6y 2  (x −1)(x + 1) 2
Mµ x - 1 + x + 1 = 2x  x - 1 vµ x + 1 cã cï ng tÝnh ch½n lÎ .
 x - 1 vµ x + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp 2 2
 (x −1)(x +1) 8 6y 83y 4 2
y 2  y 2  y = 2  x = 5
b) HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k N*.
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)  p + 2 3 và p + 2 > 3. Do đó
p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).
Do p là số nguyên tố và p > 3  p lẻ  k lẻ  k + 1 chẵn  k + 1 2 (2) Từ (1) và (2)  p + 1 6.
Bài 3 Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 HDa:
Ta có A = A = 7.52n + 12.6n = A = 7.25n + 12.6n
Vì 25 ≡ 6 (mod 19) => 25n ≡ 6n (mod 19)
=>7.25n ≡ 7.6n (mod 19) => 7.25n + 12.6n ≡ 7.6n + 12.6n ≡ 19.6n ≡ 0 (mod 19) . Điều
này chứng tỏ A chia hết cho 19. HD b: 3 2 3 3 3 2 3
(1)  8x + 24x + 32x +16 = y → y 2 → y 2 → y = 2z(z Z ) → x = 3x + 4x + 2 = z Ta chứng minh được: 3 3 2 3 2 3 3 2
x z  (x + 2) → x z x + 2 → z = x +1 → x + 3x + 4x + 2 = (x +1) = x + 3x + 3x +1 → x = 1
− → z = 0 → y = 0 → ( , x y) = ( 1 − ,0) Bài 4: Trang 2 B C P O M I F E A D K
a, Ta có: O là trung điểm của AC (ABCD là hình chữ nhật)
P là trung điểm của CM ( Vì M đối xứng với C qua P)
Nên Op là đường trung bình của  ACM, do đó: OP//AM=> AM//BD b, Vì OP là đườ 1
ng trunh bình của  ACM nên OP//AM và OP= AM 2
Do đó: OP//AI và OP=AI=> tứ giác AIPO là hình bình hành=> PI//AC (1)
Kẻ ME//AB cắt AC tại K, ta có: KAE = EAM (= KD ) A
Nên AE là phân giác KAM . Mặt khác: AE ⊥ KM = AKM cân E là trung điểm của KM,
do đó EI là đường trung bình của  AMK=> EI//OA=>EI//AC (2)
Ta lại có : E, I, F thẳng hàng (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: E, F, P thẳng hàng. B5.HD: 2 2 2 2 4x y x y (1)  −1+ + − 2  0 2 2 2 2 2 (x + y ) y x 2 2 2 2 2 4 4 2 2
4x y − (x + y )
x + y − 2x y  +  0 2 2 2 2 2 (x + y ) x y 2 2 2 2 2 2 −(x − y ) (x − y )  +  0 2 2 2 2 2 (x + y ) x y  1 1  2 2 2  (x − y ) . −  0   2 2 2 2 2  x y (x + y )  2 2 2 2 2
(x + y ) − x y 2 2 2  (x − y ) .  0 2 2 2 2 2
x y (x + y ) 4 4 2 2
x + y + x y 2 2 2  (x − y ) .  0 2 2 2 2 2
x y (x + y )  x =  y Trang 3