Trang 1
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2025 2026
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi gồm 02 trang)
I. TRC NGHIM KHÁCH QUAN: (8,0 đim)
Câu 1. Cho hai số
,ab
thỏa mãn
1ab+=
. Giá trị của biểu thức
33
2 6 2 2P a ab b= + +
bằng
A.
2.
1.
C.
0.
D.
1.
Câu 2. Đa thức dư trong phép chia đa thức
50 49 2
( ) .... 1f x x x x x= + + + + +
cho đa thức
2
1x
A.
5 26.x +
25 1.x +
C.
25 26.x +
D.
5 1.x +
Câu 3. Cho
1 1 1
0
x y z
+ + =
(với
, , 0x y z
). Giá trị của biểu thức
2 2 2
yz xz xy
A
x y z
= + +
A.
1.
3.
C.
0.
D.
4.
Câu 4. Cho
22
3
8
xy
xy
=
+
. Giá trị của biểu thức
22
22
2
2
x xy y
A
x xy y
−+
=
++
bằng
A.
3
.
8
8
.
3
C.
1
.
7
D.
1
.
7
Câu 5. Cho biểu thức
( )
2
6 1 6
: , 2 .
4 3 6 2 2
x
Ax
x x x x

= +

+ +

Số các giá trị nguyên của
x
để biểu
thc
A
nhận giá trị nguyên
A.
1.
2.
C.
4.
D.
8.
Câu 6. Rút ra một lá bài từ bộ bài
52
. Xác suất để rút được con bích
A.
1
.
4
1
.
13
C.
12
.
13
D.
3
.
4
Câu 7. Nghiệm của phương trình
3 1 2 5
2
58
xx−−
−=
A.
0.
3.
C.
1.
D.
2.
Câu 8. Cho hai đường thẳng
( )
1
: 3 1d y x= +
( )
2
: 2 3 7d y x m= +
, với
m
tham số. Giá trị của
m
để đường thẳng
( )
1
d
cắt đường thẳng
( )
2
d
tại một điểm trên trục tung là
A.
1.
2.
C.
3.
D.
4.
Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
, chiều cao bằng
15cm
, thể tích là
3
1280cm
. Khi đó diện
tích xung quanh
xq
S
của hình chóp là
A.
2
548 .cm
2
542 .cm
C.
2
544 .cm
D.
2
546 .cm
Câu 10. Cho hình thoi
ABCD
, biết độ dài hai đường chéo
24 , 10 .AC cm BD cm==
Chu vi hình thoi là
A.
52 .cm
48 .cm
C.
68 .cm
D.
72 .cm
Câu 11. Cho hình bình hành
ABCD
, điểm
G
thuộc cạnh
CD
sao cho
1
5
DG DC=
. Gọi
E
giao điểm
của
AG
BD
. Kết quả của tỉ số
:DB DE
A.
5.
4.
C.
3.
D.
6.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2
Câu 12. Cho hình thang
ABCD
5 , 15AB cm CD cm==
, độ dài hai đường chéo
16 , 12 .AC cm BD cm==
Diện tích hình thang
ABCD
bằng
A.
2
96 .cm
2
192 .cm
C.
2
100 .cm
D.
2
72 .cm
Câu 13. Cho hình thoi
ABCD
cạnh
.AB a=
Một đường thẳng bất qua
C
cắt tia đối của các tia
,BA DA
lần lượt tại
M
N
. Khi đó tích
.BM DN
có giá trị bằng
A.
2
2.a
2
.a
C.
2
3.a
D.
2
4.a
Câu 14. Cho hình thang
ABCD
AB
đáy nhỏ, gi
O
giao điểm của hai đường chéo. Qua
O
kẻ
đường thẳng song song với
AB
cắt
AD
BC
theo thứ tự tại
,.MN
Hệ thức nào sau đây đúng?
A.
1 1 1
.
AB CD MN
+=
1 1 1
.
CD MN AB
+=
C.
12
.
AB CD MN
+=
D.
11
.
2
MN
AB CD
+=
Câu 15. Cho hình chữ nht
ABCD
6 , 8AD cm AB cm==
hai đường chéo cắt nhau ti
O
. Qua
D
kẻ đường thẳng
d
vuông góc với
DB
,
d
ct
BC
kéo dài tại
E
. Kẻ
CH
vuông góc với
DE
tại
H
. Khi
đó tỉ số diện tích
EHC
EBD
S
S
bằng
A.
4
.
5
16
.
25
C.
256
.
625
D.
25
.
16
Câu 16. Bn Nam đi siêu thị mua một món hàng đang khuyến mãi gim giá 20%, Nam có th khách hàng
thân thiết ca siêu th nên được giảm thêm 2% trên giá đã giảm nữa, do đó Nam ch phi tr 196000 đồng
cho món hàng đó. Giá ban đầu ca món hàng nếu không khuyến mãi là
A.
250000.
225000.
C.
350000.
D.
375000.
II. PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn
( )( )
2
2 146 3 2 3 0x x y =
.
2. Cho số tự nhiên
n
thỏa mãn
27n +
3 10n +
là các số chính phương. Chứng minh rằng
3 40.n +
Câu 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình
( ) ( )( )
2
2 2 1 2 7 5.x x x+ + + =
2. Cho hai số thực phân biệt
,0ab
thỏa mãn
33
1 1 3
1.
a b ab
+ + =
Tính giá trị biểu thức
( )( )
2024
1 1 2023 .A a b= +


Câu 3. (4 điểm)
1. Cho tam giác
ABC
có ba góc nhọn. Các đường cao
,,AD BE CF
cắt nhau tại
.H
a) Chứng minh rằng
. . .BD DC DH DA=
b) Chng minh rng điểm
H
cách đều ba cnh ca tam giác
.DEF
c) Gi
, , , , ,M N P Q I K
lần lượt là trung điểm của các đoạn thng
,,BC CA AB
,
,,.EF FD DE
Chng minh rằng ba đường thng
,,MQ NI PK
đồng quy ti mt điểm.
2. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Hai đường phân giác trong
,BD CE
cắt nhau tại
O
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
22
.
BD CE
BO CO
+
Câu 4. (1 điểm) Cho hai số
,xy
thỏa mãn điều kiện
( )
2
2 2 2 2 2 2
4 2 0.x y x y x y + + =
Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
.A x y=+
------------------------------ Ht-----------------------------
- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Trang 3
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 – 2024
MÔN: TOÁN 8
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
II. Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
Câu 8
C
C
B
D
B
A
D
B
Câu 9
Câu 10
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
Câu 15
Câu 16
C
A
D
A
B
C
C
A
2. Phần tự luận:
Nội dung
Đi
m
Câu 1.
1. Tìm các s nguyên
,xy
tha mãn
( )( )
2
2 146 3 2 3 0x x y =
.
2. Cho s t nhiên
n
tha mãn
27n +
3 10n +
là các s chính phương. Chứng minh rng
3 40.n +
3,0
1.
( )( ) ( )( )
2
2 146 3 2 3 0 3 2 2 9 128x x y x x y = + =
2 2 9 2xy−+
nên ta có bng
Vy
( ) ( ) ( )
, 131;135 ; 125; 120xy
3x
128
128
2 2 9xy−+
1
1
x
131
125
y
135
120
0,5
0,25
0,5
0,25
2.
27n +
là s chính phương lẻ nên
( ) ( )
2 7 1 mod8 3 0 mod4nn+ +
Suy ra
3 10n +
là số chính phương lẻ
( ) ( )
3 10 1 mod8 3 0 mod8nn+ +
Ta có
( ) ( ) ( )
2 7 3 10 5 17 2 mod5 2 7 1 mod5 3 0 mod5n n n n n+ + + = + + +
Suy ra
3 40n +
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 2.
1. Giải phương trình
( ) ( )( )
2
2 2 1 2 7 5.x x x+ + + =
4,0
- ớng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần
bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
Trang 4
2. Cho hai số thực phân biệt
,0ab
thỏa mãn
33
1 1 3
1.
a b ab
+ + =
Tính giá trị biểu thức
( )( )
2024
1 1 2023A a b= +


1.
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
22
2 2 1 2 7 5 2 4 2 1 2 7 20x x x x x x+ + + = + + + =
Đặt
24xt+=
. Ta có phương trình
( )( )
2
3 3 20t t t + =
( ) ( )( )
2 2 2 2
9 20 4 5 0t t t t = =
2
2
2 4 2
2 4 2
4
2 4 5
5
2 4 5
x
x
t
x
t
x
+=
+ =
=

+=
=
+ =
1
3
54
2
54
2
x
x
x
x
=−
=−
=
−−
=
. Vậy
5 4 5 4
1; 3; ;
22
S


=



0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
2. Ta có
( ) ( )
33
3
33
1 1 3 1 1 1 1
1 1 3. . . 1 0
a b ab a b a b
+ + = + + =
22
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0
a b a b ab a b
+ + + + + =
2 2 2
22
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0
2a b ab a b a b a b

+ + + + = + + + +



(vì
ab
)
Suy ra
11
1 0 0a b ab ab a b
ab
+ = + = =
( )( ) ( )
2024
2024
2024
1 1 2023 1 2023 2024A a b ab a b= + = + + =


0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 3.
1. Cho tam giác
ABC
có ba góc nhọn. Các đường cao
,,AD BE CF
cắt nhau tại
.H
a) Chứng minh rằng
. . .BD DC DH DA=
b) Chng minh rng điểm
H
cách đều ba cnh ca tam giác
.DEF
c) Gi
, , , , ,M N P Q I K
lần lượt là trung điểm của các đoạn thng
,,BC CA AB
,
,,.EF FD DE
Chng minh rằng ba đường thng
,,MQ NI PK
đồng quy ti một điểm.
2. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Hai đường phân giác trong
,BD CE
cắt nhau tại
O
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
22
.
BD CE
BO CO
+
4,0
Trang 5
1.
a) Ch ra được
( . ) . .
BD DH
BDH ADC g g BD DC DH DA
AD DC
= =
b) Chứng minh được
( )
..AEF ABC c g c AEF ABC =
Tương tự:
.DEC ABC=
Do đó
AEF DEC=
0
90AEF HEF DEC HED+ = + =
nên
HEF HED=
EH
là phân giác ca góc
FED
. Chứng minh tương tự
FH
là phân giác ca góc
EFD
Do đó H là giao của các đường phân giác trong của tam giác
DEF
. Suy ra điều phải chứng minh.
c) Do
BEC
vuông ti
E
,
M
là trung điểm
BC
nên
1
2
EM BC=
(trung tuyến ng vi cnh
huyền), Tương tự:
1
2
FM BC=
Do đó:
EMF
cân ti
M
, mà
Q
là trung điểm
EF
MQ
là đường trung trc ca
EF
Tương tự, chứng minh được
NI
PK
cũng là đường trung trực của tam giác
DEF
nên ba đường
thẳng
,,MQ NI PK
đồng quy tại một điểm.
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Hai
đường phân giác trong
,BD CE
cắt nhau
tại
O
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
22
22
.
BD CE
BO CO
+
1,0
Xét
ABC
BD
là đường phân giác trong nên
CD BC CD BC CD BC CD AC
AD AB AD CD AB BC AC AB BC BC AB BC
= = = =
+ + + +
.
Xét
BCD
CO
là đường phân giác trong nên
OD CD AC OD OB AC AB BC BD AC AB BC
OB BC AB BC OB AB BC BO AB BC
+ + + + +
= = = =
+ + +
.
Tương tự ta có
CE AC AB BC
CO AC BC
++
=
+
.
0,25
K
I
Q
P
N
M
H
F
E
D
A
B
C
Trang 6
Suy ra
( )
( )( )
2
..
++
+ + + +
==
+ + + +
AC AB BC
BD CE AC AB BC AC AB BC
BO CO AB BC AC BC AB BC AC BC
.
Đặt
;;BC a AC b AB c= = =
.
Tam giác
ABC
vuông tại
A
nên
2 2 2 2 2 2
BC AB AC a b c= + = +
.
Như vậy
( )
( )( )
( )
( )( )
22
.
AC AB BC a b c
BD CE
BO CO AB BC AC BC a b a c
+ + + +
==
+ + + +
2 2 2
2
2 2 2a b c ab bc ca
a ac ab bc
+ + + + +
=
+ + +
2 2 2 2
22
2 2 2b c b c ab bc ca
b c ac ab bc
+ + + + + +
=
+ + + +
( )
22
22
2 b c ab bc ca
b c ac ab bc
+ + + +
=
+ + + +
2=
22
22
2. . 4
BD CE BD CE
BO CO BO CO
+ =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
22
BD CE
BO CO
+
4.
Dấu ‘=’ xảy ra
ABC
vuông cân tại
.A
0,25
0,25
0,25
Câu 4. Cho hai số
,xy
thỏa mãn điều kiện
( )
2
2 2 2 2 2 2
4 2 0.x y x y x y + + =
Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
.A x y=+
1,0
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
2
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
4 2 0 2 4 2 0
2 2 0 2 1 3 1
1 3 1
x y x y x y x y x y x y x y
x x y y x y x y x y x
x y x
+ + = + + + =
+ + + = + + + = +
+ = +
Ta có:
( )
2
2 2 2 2 2
3 1 1 1 1 1 1 1 0 2x x x y x y A + + +
22
0
0 0.
0
x
A x y
xy
=
= = =
+=
Vậy
min 0 0A x y= = =
2 2 2
00
2
22
xx
A
x y y
==

=

+ = =

. Vậy
2
0
max 2
2
x
A
y
=
=
=
0,25
0,25
0,25
0,25
……….Ht……….

Preview text:


PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2025 – 2026 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề
(Đề thi gồm 02 trang)
I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (8,0 điểm)
Câu 1. Cho hai số a,b thỏa mãn a + b = 1. Giá trị của biểu thức 3 3
P = 2a + 6ab + 2b − 2 bằng A. −2. B. −1. C. 0. D. 1.
Câu 2. Đa thức dư trong phép chia đa thức 50 49 2
f (x) = x + x + ....+ x + x +1 cho đa thức 2 x −1 là A. 5x + 26.
B. 25x +1. C. 25x + 26. D. 5x +1. 1 1 1 yz xz xy
Câu 3. Cho + + = 0(với x, y, z  0 ). Giá trị của biểu thức A = + + x y z 2 2 2 x y z A. 1. B. 3. C. 0. D. 4. xy 3 2 2
x − 2xy + y Câu 4. Cho
= . Giá trị của biểu thức A = bằng 2 2 x + y 8 2 2
x + 2xy + y 3 8 − 1 − 1 A. . B. . C. . D. . 8 3 7 7  x 6 1  6
Câu 5. Cho biểu thức A = − + : , x  2  . 
Số các giá trị nguyên của x để biểu 2  ( )
x − 4 3x − 6 x + 2  x + 2
thức A nhận giá trị nguyên là A. 1. B. 2. C. 4. D. 8.
Câu 6. Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để rút được con bích là 1 1 12 3 A. . B. . C. . D. . 4 13 13 4 3x −1 2 −5x
Câu 7. Nghiệm của phương trình − 2 = là 5 8 A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 8. Cho hai đường thẳng (d : y = 3
x +1 và (d : y = 2x − 3m + 7 , với m là tham số. Giá trị của m 2 ) 1 )
để đường thẳng (d cắt đường thẳng (d tại một điểm trên trục tung là 2 ) 1 ) A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , chiều cao bằng 15cm , thể tích là 3
1280cm . Khi đó diện
tích xung quanh S của hình chóp là xq A. 2 548cm . B. 2 542cm . C. 2 544cm . D. 2 546cm .
Câu 10. Cho hình thoi ABCD , biết độ dài hai đường chéo AC = 24c , m BD = 10c .
m Chu vi hình thoi là A. 52 . cm B. 48 . cm C. 68 . cm D. 72 . cm 1
Câu 11. Cho hình bình hành ABCD , điểm G thuộc cạnh CD sao cho DG = DC . Gọi E là giao điểm 5
của AG BD . Kết quả của tỉ số DB : DE A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. Trang 1
Câu 12. Cho hình thang ABCD AB = 5c ,
m CD = 15cm , độ dài hai đường chéo AC = 16c , m BD = 12c .
m Diện tích hình thang ABCD bằng A. 2 96cm . B. 2 192cm . C. 2 100cm . D. 2 72cm .
Câu 13. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = .
a Một đường thẳng bất kì qua C cắt tia đối của các tia B ,
A DA lần lượt tại M N . Khi đó tích BM .DN có giá trị bằng A. 2 2a . B. 2 a . C. 2 3a . D. 2 4a .
Câu 14. Cho hình thang ABCD AB là đáy nhỏ, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ
đường thẳng song song với AB cắt AD BC theo thứ tự tại M , N. Hệ thức nào sau đây đúng? 1 1 1 1 1 1  1 2 1 1 MN A. + = . B. + = . C. + = . D. + = . AB CD MN CD MN AB AB CD MN AB CD 2
Câu 15. Cho hình chữ nhật ABCD AD = 6c ,
m AB = 8cm và hai đường chéo cắt nhau tại O . Qua D
kẻ đường thẳng d vuông góc với DB , d cắt BC kéo dài tại E . Kẻ CH vuông góc với DE tại H . Khi S
đó tỉ số diện tích EHC bằng SEBD 4 16 256 25 A. . B. . C. . D. . 5 25 625 16
Câu 16. Bạn Nam đi siêu thị mua một món hàng đang khuyến mãi giảm giá 20%, Nam có thẻ khách hàng
thân thiết của siêu thị nên được giảm thêm 2% trên giá đã giảm nữa, do đó Nam chỉ phải trả 196000 đồng
cho món hàng đó. Giá ban đầu của món hàng nếu không khuyến mãi là A. 250000. B. 225000. C. 350000. D. 375000.
II. PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm)
Câu 1.
(3,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2
2x −146 − ( x − 3)(2y − 3) = 0 .
2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn 2n + 7 và 3n +10 là các số chính phương. Chứng minh rằng n + 3 40. Câu 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình ( x + )2 2 (2x + ) 1 (2x + 7) = 5 − . 1 1 3
2. Cho hai số thực phân biệt a,b  0 thỏa mãn + +
=1. Tính giá trị biểu thức 3 3 a b ab
A = (a − )(b − ) 2024 1 1 + 2023 . 
Câu 3. (4 điểm)
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng . BD DC = DH. . DA
b) Chứng minh rằng điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
c) Gọi M , N, P,Q, I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,C ,
A AB , EF, FD, DE.
Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hai đường phân giác trong BD,CE cắt nhau tại O . 2 2 BD CE
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + . 2 2 BO CO
Câu 4. (1 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện (x y )2 2 2 2 2 2 2
+ 4x y + x − 2y = 0. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A = x + y .
------------------------------ Hết-----------------------------
- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ............................. Trang 2
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 – 2024 MÔN: TOÁN 8
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
- Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần
bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 C C B D B A D B Câu 9 Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 C A D A B C C A 2. Phần tự luận: Nội dung Điể m Câu 1.
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2
2x −146 − ( x − 3)(2y − 3) = 0 . 3,0
2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn 2n + 7 và 3n +10 là các số chính phương. Chứng minh rằng n + 3 40. 1. 2
2x −146 − ( x − 3)(2y − 3) = 0  ( x − 3)(2x − 2y + 9) =128 0,5
Vì 2x − 2 y + 9 2 nên ta có bảng 0,25 x − 3 128 −128 2x − 2 y + 9 1 1 − 0,5 x 131 −125 y 135 −120
Vậy ( x, y) (  131;135);( 12 − 5; 12 − 0) 0,25
2. Vì 2n + 7 là số chính phương lẻ nên 2n + 7  1(mod8)  n + 3  0(mod 4) 0,5
Suy ra 3n +10 là số chính phương lẻ 3n +10  1(mod8)  n + 3  0(mod8) 0,5
Ta có 2n + 7 + 3n +10 = 5n +17  2(mod5)  2n + 7 1(mod5)  n + 3  0(mod5) 0,25 Suy ra n + 3 40 0,25 Câu 2. 4,0
1. Giải phương trình ( x + )2 2 (2x + ) 1 (2x + 7) = 5 − . Trang 3 1 1 3
2. Cho hai số thực phân biệt a,b  0 thỏa mãn + +
=1. Tính giá trị biểu thức 3 3 a b ab
A = (a − )(b − ) 2024 1 1 + 2023   2 2
1. ( x + 2) (2x + ) 1 (2x + 7) = 5
−  (2x + 4) (2x + ) 1 (2x + 7) = 2 − 0 0,25
Đặt 2x + 4 = t . Ta có phương trình 2
t (t − 3)(t + 3) = 20 − 0,25 2
t ( 2t − ) = −  ( 2t − )( 2 9 20 4 t − 5) = 0 0,5 2x + 4 = 2  2 t = 4 2x + 4 = 2 −     2 t = 5 2x + 4 = 5  2x + 4 = − 5 0,5 x = 1 − x = 3 −   5 − 4  − − −   5 4 5 4 x = . Vậy S =  1 − ; 3 − ; ;   2  2 2    0,5 − 5 − 4 x =  2 3 3 1 1 3  1   1  0,5 3 1 1 2. Ta có + + =1  + + 1 − − 3. . . 1 − = 0 3 3     ( ) ( ) a b aba   b a b  1 1  1 1 1 1 1   + −1 + +1− + + = 0   2 2   a b  a b ab a b  0,5 2 2 2 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1        Vì + +1− + + =  +1 + +1 + −     
   0 (vì a b ) 2 2 a b ab a b 2  a   b   a b    0,5 1 1
Suy ra + −1 = 0  a + b = ab ab a b = 0 a b 0,25
A = (a − )(b − ) 2024 +  = 
(ab a b + + )2024 2024 1 1 2023 1 2023 = 2024 0,25 Câu 3.
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng . BD DC = DH. . DA
b) Chứng minh rằng điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
c) Gọi M , N, P,Q, I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,C ,
A AB , EF, FD, DE. 4,0
Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hai đường phân giác trong BD,CE cắt nhau tại O . 2 2 BD CE
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + . 2 2 BO CO Trang 4 1. A E Q F H P N K I B D M C BD DH a) Chỉ ra được BDH A
DC(g.g)  =  B .
D DC = DH.DA AD DC 1,0
b) Chứng minh được AEF ABC ( .
c g.c)  AEF = ABC 0,25
Tương tự: DEC = ABC. Do đó AEF = DEC 0,25 Mà 0
AEF + HEF = DEC + HED = 90 nên HEF = HED 0,25
EH là phân giác của góc FED . Chứng minh tương tự có FH là phân giác của góc EFD 0,25
Do đó H là giao của các đường phân giác trong của tam giác DEF . Suy ra điều phải chứng minh. 1
c) Do BEC vuông tại E , M là trung điểm BC nên EM =
BC (trung tuyến ứng với cạnh 0,25 2 1
huyền), Tương tự: FM = BC 2
Do đó: EMF cân tại M , mà Q là trung điểm EF 0,25
MQ là đường trung trực của EF 0,25
Tương tự, chứng minh được NI PK cũng là đường trung trực của tam giác DEF nên ba đường 0,25
thẳng MQ, NI , PK đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hai
đường phân giác trong BD,CE cắt nhau
tại O . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1,0 2 2 BD CE thức + . 2 2 BO CO
Xét ABC BD là đường phân giác trong nên CD BC CD BC CD BC CD AC =  =  =  = . AD AB AD + CD AB + BC AC AB + BC BC AB + BC
Xét BCD CO là đường phân giác trong nên OD CD AC OD + OB
AC + AB + BC BD
AC + AB + BC = =  =  = . OB BC AB + BC OB AB + BC BO AB + BC 0,25 CE
AC + AB + BC Tương tự ta có = . CO AC + BC Trang 5 BD CE
AC + AB + BC AC + AB + BC
(AC + AB + BC)2 Suy ra . = . = . BO CO AB + BC AC + BC
(AB + BC)(AC + BC) 0,25
Đặt BC = a; AC = ; b AB = c .
Tam giác ABC vuông tại A nên 2 2 2 2 2 2
BC = AB + AC a = b + c . Như vậy BD CE
(AC + AB + BC)2
(a +b+ c)2 2 2 2
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca . = = = BO CO
(AB + BC)( AC + BC) (a +b)(a +c) 2
a + ac + ab + bc 2 2 2 2
b + c + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 2( 2 2
b + c + ab + bc + ca) 0,25 = = = 2 2 2
b + c + ac + ab + bc 2 2
b + c + ac + ab + bc 2 2 BD CE BD CE +  2. . = 4 2 2 BO CO BO CO 0,25 2 2 BD CE
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức +
là 4. Dấu ‘=’ xảy ra  ABC vuông cân tại . A 2 2 BO CO
Câu 4. Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện ( x y )2 2 2 2 2 2 2
+ 4x y + x − 2y = 0. Tìm giá trị lớn 1,0
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A = x + y . (x y )2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
+ 4x y + x − 2y = 0  x + y − 2x y + 4x y + x − 2y = 0 0,25
 (x + 2x y + y ) + x − 2y = 0  (x + y )2 4 2 2 4 2 2 2 2 − 2( 2 2 x + y ) 2 +1= −3x +1
 (x + y − )2 2 2 2 1 = 3 − x +1 Ta có: − x +  x
  (x + y − )2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1  1
−  x + y −11 0  A  2 0,25 x = 0 A = 0  
x = y = 0.Vậy min A = 0  x = y = 0 2 2 0,25 x + y = 0 x = 0 x = 0 x = 0 A = 2    
. Vậy max A = 2   2 2 2 x + y = 2 y = 2 2  y = 2 0,25
……….Hết………. Trang 6