Đề Thi Chọn Học Sinh Năng Khiếu Môn Toán 8 Có Đáp Án

PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2025-2026 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán-Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 02 trang
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 318 mà chia hết cho 7? A. 45 B. 46 C. 47 D. 48
Câu 2. Tập nghiệm của phương trình ( x − )( 2 2 3 4x − ) 1 = 0 3 1  3 1   3 1  3 1 
A. m =  ; .
B. m =  ;− .
C. m = − ; .
D. m =  ; . 2 2 2 2  2 2 2 2
Câu 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 160m . Nếu tăng chiều rộng thêm
10m , giảm chiều dài 10m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 2
200m . Tính diện tích
mảnh đất khi chưa thay đổi kích thước. A. 2 1365m . B. 2 1375m . C. 2 1385m . D. 2 1395m . 2 1− 2x 3x + 2
Câu 4 Với x  2 thì biểu thức M = + + được rút gọn bằng 2 x − 2 x + 2 4 − x 2 − x 2x 2x 2 − x A.  B.  C.  D.  x + 2 x + 2 x − 2 x − 2
Câu 5 Phân tích đa thức 2 2
x − 9xy + 20y ta được kết quả
A. ( x + 4y)( x + 5y) B. ( x + 4y)( x − 5y) C. ( x − 4y)( x + 5y) D. ( x − 4y)( x − 5y)
Câu 6 Cho a là một nghiệm của đa thức g ( x) 2
= x − 3x +1. Tính giá trị của biểu thức 4 3 2
P = a −13a + 34a −19a + 20112024. A. 20112019. B. 20112020. C. 20112021. D. 20112022.
Câu 7. Cho biểu thức 2 2
M = 2a + b − 2ab − 2a − 2b + 35 . Biểu thức M có giá trị nhỏ nhất bằng A. 30. B. 29. C. 28. D. 27.
Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi M là điểm trên cạnh AB , lấy điểm N
trên cạnh BC sao cho AM = x, BN = y (0  x, y  a) . Tia MN cắt đường thẳng DC tại
điểm P . Tính độ dài đoạn thẳng CP theo a, x, y. 2
a + a ( x + y) + xy 2
a − a ( x + y) + xy A. CP =  B. CP =  y y 2
a + a ( x + y) − xy 2
a − a ( x + y) − xy C. CP =  D. CP =  y y
Câu 9. Một bác nông dân có 48m rào thép B40. bờ tường
Bác ấy muốn rào một sân vườn hình chữ nhật,
bằng cách tận dụng một chiều dài của hình
chữ nhật là bờ tường có sẵn, chỉ có ba mặt sân vườn
là bờ rào bằng thép. Hỏi diện tích sân vườn
lớn nhất có thể là bao nhiêu? A. 2 280m . B. 2 284m . C. 2 288m . D. 2 290m .
Câu 10. Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 24cm và 10cm .Tính
chu vi hình thoi đã cho. Trang 1 A. 52 . cm B. 58 . cm C. 60 . cm D. 62 . cm
II. PHẦN TỰ LUẬN (7,5 điểm)
Bài 1 (2,0 điểm) 3 1− x  x −1 
a) Rút gọn biểu thức A = ( x − ) 1  + x với x  1. 2  1− x  1− x 
b) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn 2
x − 2xy + 3x − y = 20 .
c) Cho các số nguyên m, n, p thỏa mãn 3 3 3
m − 2n = 4 p và biểu thức S = m + n − p .
Chứng minh rằng S 3.
Bài 2 (2,0 điểm). 5 3 2 a) Giải phương trình + = 2 2
x + x − 6 2 − 4x x + 4x + 3 2
b) Giải phương trình (x − x) + ( − x)2 2 8 7 4 = 256
Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân có các đường cao BD,CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh rằng .
AD AC = AE.AB .
b) Gọi M , I thứ tự là trung điểm của BC và DE . Chứng minh rằng đường thẳng MI đi
qua trung điểm của AH .
c) Gọi O là giao ba đường trung trực của tam giác ABC . Gọi N, P lần lượt là hình
chiếu của O trên các cạnh C ,
A AB theo thứ tự đó. Tính giá trị của biểu thức 3 3 3
OM + ON + OP T =  3 3 3
HA + HB + HC
Bài 4 (0,5 điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 8 8
S = a + b + c + 2(a − ) 1 (b − ) 1 (c − ) 1
-------------- Hết--------------
Họ và tên thí sinh: ...................................................................... SBD: .................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8 ĐỀ THI CHỌN HSNK ĐỀ CHÍNH THỨC Trang 2 NĂM HỌC 2019-2020
Hướng dẫn chấm có 06 trang I.
Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi cán bộ
chấm thi cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể
chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp án mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho
điểm tương ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II.
Đáp án – thang điểm
(Mỗi câu trả lời đúng 0,25 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 `10 Đáp án B D B A D C A B C A
Câu 1. Dãy các số tự nhiên chia hết cho 7 và nhỏ hơn 318 là 0;7;14;....;318 .
Do đó có tất cả (315 − 0) : 7 +1 = 46 . Chọn phương án B. Câu 2  3 x =  − =  ( x   2x − 3)( 2 3 0 2 4x − ) 2 3 1 1 = 0      x   ;  2 4x −1 = 0 1  2 2 2  x =   2 Chọn phương án D Câu 3
Gọi chiều rộng là x(m)  chiều dài là 80 − x(m)(0  x  40)
Từ giả thiết suy ra ( x +10)(80 − x −10) = x(80 − x) + 200 Giải được x = 25
Do đó diện tích mảnh đất khi chưa thay đổi kích thược bằng = ( 2 25.55 1375 m ) Chọn phương án B.
Câu 4. Vớii x  2 thì biểu thức 2 1− 2x 3x + 2
2( x + 2) + ( x − 2)(1− 2x) − (3x + 2) 2 − x(x − 2) 2 − x M = + + = = = 2 x − 2 x + 2 4 − x (x − 2)(x + 2)
(x − 2)(x + 2) x + 2 Chọn phương án A. Câu 5 Ta có 2 2 x − xy + y = ( 2 x − xy) − ( 2 9 20 4
5xy − 20y ) = x(x − 4y) − 5y(x − 4y) = (x − 4y)(x − 5y) Chọn phương án D. Câu 6 Ta có Theo bài ra 2
a − 3a +1 = 0 . Thực hiện biến đổi được P = ( 2 a − a + )( 2 3
1 a −10a + 3) + 20112021 = 20112021 Chọn phương án C. Câu 7. Ta có Trang 3 A x M a-x B y N a-y D P C 2 2
M = 2a + b − 2ab − 2a − 2b + 35 2
M = b − 2(a + ) 1 b + ( 2 a + 2a + ) 2
1 + a − 4a + 4 + 30 M = b −  (a + ) 2 1  +  (a − 2)2 + 30 Chọn phương án A. Câu 8. Theo ĐL Ta-let CP CN CP a − y =  = MB NB a − x y 2
a − a ( x + y) + xy  CP = y Chọn phương án B. Câu 9.
Gọi chiều dài là x(m) , chiều rộng là y (m) ( x  y  0) .
Khi đó x + 2y = 48
Diện tích sân vườn là S = xy
 S = y (48 − 2y) 2
= −2y + 48y = −2( 2 2
y − 24y +12 ) + 288
 S = −2( y −12)2 + 288 bờ tường Mặt khác
S = − ( y − )2 2 12 + 288  288 sân vườn
Dấu đẳng thức xảy ra khi Trang 4 y = 12 Từ đó suy ra 2 max S = 288m
Khi y = 12, x = 24 Chọn phương án C. Câu 10.
Theo định lí Pi-ta-go độ dài mỗi cạnh hình thoi là 2 2 12 + 5 = 13(cm)
Do đó chu vi hình thoi đã cho là 4.13 = 52(cm) Chọn phương án A. Nội dung trình bày Điểm
Bài 1 (2,5 điểm) 3 1− x  x −1 
a) Rút gọn biểu thức A = ( x − ) 1  + x với x  1. 2  1− x  1− x  2,5
b) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn 2
x − 2xy + 3x − y = 20 .
c) Cho các số nguyên m, n, p thỏa mãn 3 3 3
m − 2n = 4 p và biểu thức S = m + n − p .
Chứng minh rằng S 3.
a) Với x  1ta có ( − x)( 2 1 1+ x + x )   − −  A = ( x − ) (1 x) 1  + x   0,25  1− x  
 (1− x)(1+ x)  ( − = x − )( 2
+ x + x + x) 1 1 1  0,25 1+ x ( − x)(x + )2 1 1 = 0,25 x +1 = ( − x)( + x) 2 1 1 = 1− x 0,25 b) Ta có 2 2
x − xy + x − y =
 xy + y = x + x −  y ( x + ) 2 2 3 20 2 3 20 2
1 = x + 3x − 20 2 x + 3x − 20  y =
(do x  nên 2x +1  0 ) 2x +1 0,25 2 2 4x +12x − 80
4x + 4x +1+ (8x + 4) − 85  4y =  4y = 2x +1 2x +1 (2x + )2 1 + 4(2x + ) 1 − 85 85  4y =
 4y = 2x +1+ 4 − 2x +1 2x +1
Vì x, y  nên 85 (2x + ) 1 0,25 Trang 5
Mặt khác 2x +1lẻ do đó 2x +1 1  ;5;17; 
85  2x −2;0;−6;4;−18;16;−86;  84
 x −1;0;−3;2;−9;8;−43;  42 Thử lại thu được x  1 − ;0; 3 − ;2; 9 − ;8; 43 − ;  42  ( ; x y)  (  1 − ;22);(0; 20 − );( 3 − ;4);(2; 2 − );( 9 − ; 2 − );(8;4);( 43 − ;20);(42;22) 0,25 Vậy ( ; x y)  (  1 − ;22);(0; 2 − 0);( 3 − ;4);(2; 2 − );( 9 − ; 2 − );(8;4);( 4 − 3;20);(42;22)
•Lưu ý: Không trừ điểm nếu quên kết luận. c) Ta có 0,25 3 3 3 3 3 3
m − n = p  m + n − p = ( 3 3 2 4
3 n + p ) Do đó 3( 3 3
n + p ) − S 3 3 3
= m + n − p − (m + n − p) = ( 3 m − m) + ( 3 n − n) − ( 3 p − p) = m(m − ) 1 (m + ) 1 + n(n − ) 1 (n + )
1 − p ( p − ) 1 ( p + ) 1 0,25
Vì tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 nên m  (m − ) 1 (m + ) 1 + n(n − ) 1 (n + )
1 − p ( p − ) 1 ( p + ) 1  3  0,25 Do đó  3 3  ( 3 3
3 n + p ) − S 3  S 3 
do 3(n + p ) đpcm.
Bài 2 (2,0 điểm). 4 3
a) Giải bất phương trình  2 2 x − 2x − 3 x − x − 2 2,0 2
b) Giải phương trình (x − x) + ( − x)2 2 8 7 4 = 256 x  3 2
x − 2x − 3  0 (  x +  ) 1 ( x − 3)  0  a) ĐKXĐ:     x  1 − 0,25 2
x − x − 2  0 (  x +  ) 1 ( x − 2)  0 x  2  Khi đó 0,25 Trang 6 4 3  2 2 x − 2x − 3 x − x − 2 4 3  
( x + 1)( x − 3)
( x + 1)( x − 2) 4 3  −  0
( x + 1)( x − 3)
( x + 1)( x − 2)
4( x − 2) − 3( x − 3)   0
( x + 1)( x − 3)( x − 2) x + 1   0
( x + 1)( x − 3)( x − 2) 1   0
( x − 3)( x − 2)
 (x − 3)(x − 2)  0 x − 3  0   x − 2  0  x − 3  0  x − 2  0 x  3  0,25  x  2    x  3  x  2  x  3  x  2 x  3 
Kết hợp ĐKXĐ bất phương trình có nghiệm là  x  2  0,25 x  −1 b) Ta có
(x − x)2 + ( − x)2 =
 (x − x + ) 2 −  + ( − x)2 2 2 8 7 4 256 8 16 16 7 4 = 256  0,25
 ( x − 4)4 − 32( x − 4)2 + 256 + 7( x − 4)2 = 256 0,25
 ( x − 4)4 − 25( x − 4)2 = 0  ( x − 4)2 ( x − 4)2 − 25 = 0   x − 4 = 0 x = 4 x 4 5   − =  x = 9   0,25 x − 4 = 5 − x = 1 −  
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  1 − ;4;  9 0,25 Trang 7
Bài 3 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân có các đường cao BD,CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh rằng .
AD AC = AE.AB .
b) Gọi M , I thứ tự là trung điểm của BC và DE . Chứng minh rằng đường thẳng
MI đi qua trung điểm của AH .
c) Gọi O là giao ba đường trung trực của tam giác ABC . Gọi N, P lần lượt là hình
chiếu của O trên các cạnh C ,
A AB theo thứ tự đó. Tính giá trị của biểu thức 3 3 3
OM + ON + OP T =  3 3 3
HA + HB + HC A D J I P N E O H B M C K a) Ta có 0
ADB = ACE = 90 (vì BD,CE là các đường cao của ABC ) 0,25
Xét ABD và ACE có BAC chung 0,25 0
ADB = ACE = 90 (chứng minh trên)
Do đó ABD ∽ ACE (g-g) 0,25 AB AD Suy ra =  A .
B AE = AC.AD  đpcm. 0,25 AC AE
b) Gọi J là trung điểm của AH . Ta cần chứng minh M , I , J thẳng hàng. 0,25
Dễ dàng chỉ ra được các tam giác ADH , AEH , BDC, BEC vuông, 0,25
Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có 0,25 Trang 8  BC ME = MD =  2 ME = MD    AH  JD = JE JD = JE =  2
Suy ra MJ là trung trực của DE , do đó MJ qua I  đpcm. 0,25
c) Gọi K là điểm đối xứng với A qua O .
Theo tính chất đối xứng và giao điểm của 3 đường trung trực
OC = OA = OK = OB  ACK  , AB
 K lần lượt vuông tại B,C .
BH ⊥ AC,CK ⊥ AC C  K / /BH 0,25 Suy ra    C
 H ⊥ AB, BK ⊥ AB C  H / /BK
 BHCK là hình bình hành.
Do đó H , M , K thẳng hàng. 1
Từ đó suy ra OM là đường trung bình của A
 HK  OM = AH 2 1 1
Chứng minh tương tự ON = BH ,OP = CH 0,25 2 2 3 3 3
OM + ON + OP 1 Do đó T = = 3 3 3
8OM + 8ON + 8PO 8
Bài 4 (0,5 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 8 8
S = a + b + c + 2(a − ) 1 (b − ) 1 (c − ) 1
Với a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác ta có
a  a − (b − c)2 2 2 2
a  (a − b + c)(a + b − c)     b
  b − (c − a)2 2 2 2  b
  (b − c + a)(b + c − a)  
c  c − (a − b)2 2 2 2 c  
(c − a + b)(c + a −b)  
 abc  (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) 0,25
Áp dụng BĐT trên khi a + b + c = 3ta có
abc  (3 − 2a)(3 − 2b)(3 − 2c)
 abc  27 − 8abc +12(ab + bc + ca) −18(a + b + c) 4
 abc  (ab + bc + ca) − 3 3 (a −  )2 4 8 4
1  0  a  2a −1 Mặt khác 8 2 
 a  4a − 3 (a −  )2 2 4 2
1  0  a  2a −1
Chứng minh tương tự ta có 8 2 8 2
b  4b − 3; c  4c − 3 Do đó 0,25 Trang 9 8 8 8
S = a + b + c + 2abc − 2(ab + bc + ca) + 4  S  ( 2 2 2
a + b + c ) 8 4
− 9 + (ab + bc + ca) − 6 − 2(ab + bc + ca) + 4 3  S  ( 2 2 2
a + b + c ) 2 4
+ (ab + bc + ca) −11 3 1
 S  (a + b + c)2 11 + ( 2 2 2
a + b + c ) −11 3 3 1
 S  (a + b + c)2 11 +
(a + b + c)2 −11 3 9 14  S  9 −11 S  3 9
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy min S = 3 khi a = b = c = 1
----------------------Hết---------------------- Trang 10