Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 18/10/2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán
(Đề này có 01 trang)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (6,0 điểm).
a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2x  y  0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 2 2
x  xy  y
nhỏ nhất của biểu thức P  . 2 2
x  xy  y
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  3mx  m có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành. Bài 2 (5,0 điểm).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u biết u  2 và * n   . n  u  2u  5, 1 n 1  n 1 2v
b) Cho dãy số v thỏa mãn v  , n v  , * n   Chứng minh n  . 1 2018 n 1  2 1 2018vn rằng * v  v , n    . n 1  n
Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 xy      x y  2 2 1 x y  . 2 2 2 2
x y y 1  x 1  x y  x 
Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC và hai đường cao BE, CF cắt
nhau tại H. Các đường tròn O , O cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với 2  1 
BC tại B, C. Gọi D là giao điểm thứ hai của O và O . 2  1 
a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC;
b) Chứng minh ba đường thẳng EF, BC, HD đồng quy.
-------------- HẾT -------------
Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Điểm 1 6,0 a 2 t  t 1 x 1 Ta có P  , với t   . 2 t  t 1 y 2 0,5 2 t  t 1 1
Xét hàm số f (t)  với t  . 2 t  t 1 2 0,5  f (  t)  0 2 2t  2  1,0 Tính được f (  t)  ,  1  t  1. 2 2 (t  t 1) t    2 0,5 Bảng biến thiên 1 0,5
Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng , không có giá trị lớn nhất. 3 b
Tập xác định D   2
y '  3x  6x  3m 0,25
Yêu cầu bài toán  Phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt 0,5
x , x thỏa mãn y  x .y x  0. 1   2  1 2
Phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt  1 m  0 (*) 0,25
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là
A  x ; y , B x ; y . 1 1   2 2  0,25  x 1  Ta có y  
.y  2 m     1 x  3 3  0,25
Do đó y  y x  2 m 1 x 1  1   1 0,25 y  y x
 2 m  1 x 2  2    2 0,5
y  x .y  x   0  4m  2 1 x .x  0 1 2 1 2 0,5
 x .x  0  m  0  m  0 1 2 0,25
Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  0 thỏa mãn bài toán 2 5,0 a * n    , ta có u
 2u  5  u  5  2 u  5 0,5 n 1  n n 1   n  Đặt *
w  u  5, n   . n n Khi đó * w
 2w , n   . 0,5 n 1  n
Do đó w là cấp số nhân có w  u  5  7, công bội q  2. 0,5 n  1 1 Suy ra n 1  n 1  *
w  w .q  7.2 , n    . 0,5 n 1 Vậy n 1  * u  7.2  5, n   . 0,5 n b Chứng minh được * v  0, n    . 0,5 n 2v 2v 1 Khi đó n n * v    , n    . (1) 1,0 n 1  2 1 2108v v n 2 2018. 2018 n Mặt khác, * n    , ta có v  v v v  v n  2 3 1 2018 2 2018 n  n n n v  v   v    0 n 1  n 2 n 2 2 1 2018v 1 2018v 1 2018v n n n 1,0 3 2 xy 4,0 
 x  y   2 2 1  x  y (1)  . 2 2 2 2
x y y 1  x 1  x y  x (2) 
Điều kiện xy  0 0,25 Ta có 2
x 1  x  0, x
   nên y  0 không thỏa mãn (2). Do đó
y  0. Suy ra x  0 không thỏa mãn (1). 0,5
Nếu x, y cùng âm thì (1) vô lí. Do đó x, y cùng dương. 0,25 1 Suy ra (2) 
 2x 1 x  y 2y 11 2  x 1 1 1 2  1 
 y y 1  y (3) 0,5 2 x x x Xét hàm số 2
f (t)  t t 1  t trên khoảng 0; . 0,25 2 t Ta có 2 f (
 t)  t 1  1  0, t   0 0,5 2 t 1
Suy ra f (t) đồng biến trên 0;  0,5  1  1 Do đó (3)  f  f  
 y   y  xy  1 0,5  x  x
Thay xy  1 vào phương trình (1) ta được 2 2
 x  y   2 2 2
1  x  y   x   1   y   1
 0  x  y  1 0,5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  ; x y  1;  1 0,25 4 5,0 a
Gọi I là giao điểm của AD và BC. 0,25 Ta có 2 2 IB  . IA ID  IC . 0,75
Suy ra IB  IC. 0,25
Do đó I là trung điểm của B .
C Hay đường thẳng AD đi qua trung 0,25
điểm I của BC. b A E F H D K B I C Chứng minh được  
BHC  BDC. Suy ra tứ giác BHDC nội tiếp. 1,0
Chứng minh AFHD nội tiếp 1,0
Chứng minh EF , BC, HD đồng qui 1,5