Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế

Lời giải: N.V.Sơn. DĐ: 0702626549
GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2018 - 2019. (Lời giải gồm 05 trang)
C©u 1: (4,0 ®iÓm) 2x 1 Cho hµm sè y 
cã ®å thÞ C . Gäi I lµ giao ®iÓm hai ®­êng tiÖm cËn cña ®å x 1
thÞ C . TiÕp tuyÕn t¹i M cña ®å thÞ C  c¾t hai ®­êng tiÖm cËn cña ®å thÞ C  lÇn l­ît t¹i hai ®iÓm A vµ . B
a) Chøng minh M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng . AB
b) X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm M ®Ó chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt. Gi¶i: 1  2a 1 
a) Ta cã y   . Gäi M a ; a     1 lµ tiÕp ®iÓm.  x  2 1  a 1  1 2a 1
Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn d cña ®å thÞ C  t¹i ®iÓm M lµ: y   x  a  . 2   a   1 a 1 Gi¶ sö ,
A B lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña d víi ®­êng tiÖm cËn ®øng vµ tiÖm cËn ngang.  2a  Suy ra: A 1; , B   2a 1;2  a 1 
x  x  1 a   a  x A B 2  1 2 2 M  Khi ®ã:  2 4  2  M a a
lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng . AB y  y   2   2 y  A B  a 1 a 1 M 2 b) Ta cã IA 
; IB  2 a 1  . IA IB  4 a 1
Tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I nªn: 2 2
IA  IB  AB  IA  IB  IA  IB  2 . IA IB  2 . IA IB  4  2 2
VËy chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt b»ng 4  2 2 khi vµ chØ khi:
a  0  M 0  ;1 2 IA  IB   2 a 1   a 1 a  2  M  2;3 
C©u 2: (4,0 ®iÓm)  3    
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 2 cos 2x  sin 2x cos x   4 sin x   0  x       .  4   4 
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh x    x   2
x    x   2 2 3 1 6 2
x  2x  9  0  x  . Gi¶i:
a) Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi:  1 1   1 1 
2 2 cos x  sin xcos x  sin x  sin 2x  cos x  sin x  4 sin x  cos x  0      2 2   2 2 
 4cos x  sin xcos x  sin x  sin 2x cos x  sin x  4sin x  cos x  0
cos x  sin x  0   1  4
 cos x  sin x  sin 2x  4  0 2  1
Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019  *Ta cã  
1  tan x  1  x  
 k k   . 4    *Gi¶i (2): §Æt 2
t  cos x  sin x  2 cos x 
  2; 2   sin 2x  1 t   4     t  1 Ph­¬ng tr×nh trë thµnh: 2 2
4t 1 t  4  0  t  4t  3  0   t  3 (loai)   x  k 2   
Víi t  1 ta cã 2 cos x 1      k       4   x    k 2  2  
VËy ph­¬ng tr×nh ban ®Çu cã 3 hä nghiÖm lµ x  
 k ; x  k 2 ; x  
 k 2 k    4 2 2  2 2 u  
x  2x  9  0 u  v  3 b) §Æt 2 2 
 u  v  2x  3  x  2 2 v  x  6  0  2 2 2 2
 u  v 1 
 u  v 1 
Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: 2 2 u  v  . v  . u  0     2 2      2 2 2
u  v   u  v 2 2
u  v   u  v  0 u  v  0 u  v     2
 u  v  u  v2 1  0
u  v  1 (vn)   3
Víi u  v ta cã 2 2 x  6 
x  2x  9  x   . 2 3
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 1 nghiÖm lµ x   . 2
C©u 3: (4,0 ®iÓm) 3 3 2
x  y  3x  4x  y  2  0 
a) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 x, y  . 3 2
 2x  y  5  3  x  y  x  3x 10 y 10 
b) Cho tËp A  0;1; 2;3; 4;5; 
6 . Gäi S lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c
nhau ®­îc chän tõ c¸c phÇn tö cña tËp .
A Chän ngÉu nhiªn 1 sè tõ tËp S . TÝnh x¸c
suÊt ®Ó sè ®­îc chän chia hÕt cho 15. Gi¶i:
2x  y  5  0 a) §iÒu kiÖn 
3  x  y  0  3
Ph­¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ t­¬ng ®­¬ng:  x     x   3 1 1  y  y  x y   x 2 y  x  2 1 1 1 y 1          0    y  x 1
Thay y  x 1 vµo ph­¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta ®­îc ph­¬ng tr×nh: 3 2
3x  4  4  2x  x  3x 10x 5x 
 x  x  5 x  2
3x  4  4  2x  x  0  
 x  5  x  2  3x  4  4  2x   5 (*)  2
Lời giải: N.V.Sơn. DĐ: 0702626549 4 Do 
 x  2 nªn VT  
*  0 nªn ph­¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm. 3
b) Gäi n  a a a a a lµ sè tù nhiªn cÇn t×m, trong ®ã c¸c ch÷ sè lÊy tõ tËp . A 1 2 3 4 5
*Sè phÇn tö cña tËp S lµ sè c¸c sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè víi c¸c ch÷ sè kh¸c nhau lÊy tõ tËp A.
Ta cã n S  4  6A  2160 6
*Do n chia hÕt cho 15 nªn n chia hÕt cho 3 vµ 5. Suy ra: a  0 hoÆc a  5. 5 5
TH1: a  0  n  a a a a 0 trong ®ã 4 sè a , a , a , a lÊy tõ tËp 1; 2;3; 4;5;  6 5 1 2 3 4 1 2 3 4
Khi ®ã ®Ó n chia hÕt cho 3 th× a  a  a  a  3 1 2 3 4 
Do 4 sè a , a , a , a lÊy tõ tËp 1; 2;3; 4;5;  6 nªn x¶y ra 2TH sau: 1 2 3 4
i) Trong 4 sè ®ã gåm: hai sè chia hÕt cho 3, mét sè chia 3 d­ 1, mét sè chia 3 d­ 2 Cã tÊt c¶: 2 A .2.2.2  96 sè. 4
ii) Trong 4 sè ®ã gåm: hai sè chia 3 d­ 1, hai sè chia 3 d­ 2 Cã tÊt c¶: 2 A .2.2  48 sè. 4
TH2: a  5  n  a a a a 5 trong ®ã 4 sè a , a , a , a lÊy tõ tËp 0;1; 2;3; 4;  6 5 1 2 3 4 1 2 3 4
Khi ®ã ®Ó n chia hÕt cho 3 th× a  a  a  a chia 3 d­ 1. 1 2 3 4 
Do 4 sè a , a , a , a lÊy tõ tËp 0;1; 2;3; 4;  6 nªn x¶y ra 2TH sau: 1 2 3 4
iii) Trong 4 sè ®ã gåm: ba sè chia hÕt cho 3, mét sè chia 3 d­ 1
*NÕu a  3 th× a , a , a lµ c¸c sè trong bé ba sè 0;6;  1 , 0;6; 
4 nªn cã 3! 3!  12 sè 1 2 3 4
*NÕu a  6 th× a , a , a lµ c¸c sè trong bé ba sè 0;3  ;1 , 0;3; 
4 nªn cã 3! 3!  12 sè 1 2 3 4
*NÕu a  1 hoÆc a  4 th× a , a , a lµ c¸c sè trong bé ba sè 0;3; 
6 nªn cã 3! 3!  12 sè 1 1 2 3 4 Cã tÊt c¶: 36 sè.
iv) Trong 4 sè ®ã gåm: mét sè chia hÕt cho 3, hai sè chia 3 d­ 1, mét sè chia 3 d­ 2
*NÕu a  3 hoÆc a  6 th× a , a , a lµ c¸c sè trong bé ba sè 1; 2; 
4 nªn cã 3! 3!  12 sè 1 1 2 3 4
*NÕu a  1 th× a , a , a lµ c¸c sè trong bé ba sè 2; 4;  6 , 2; 4;  3 , 2; 4;  0 nªn cã 3.3!  18 1 2 3 4 sè
*NÕu a  2 hoÆc a  4 th× t­¬ng tù ®Òu cã 18 sè tháa m·n. 1 1
Cã tÊt c¶: 12 18.3  66 sè. 96  48  36  66 41
VËy x¸c suÊt cÇn tÝnh lµ:  . 2160 360
Bµi 4: (3,0 ®iÓm)
Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, cho ®­êng th¼ng  : 5x  2 y 19  0 vµ ®­êng trßn C  2 2
: x  y  4x  2 y  0. Tõ mét ®iÓm M n»m trªn ®­êng th¼ng  kÎ hai tiÕp tuyÕn M ,
A MB ®Õn ®­êng trßn C  víi ,
A B lµ hai tiÕp ®iÓm. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ngo¹i
tiÕp tam gi¸c AMB biÕt AB  10. Gi¶i:
*C¸c tam gi¸c IAM , IBM lµ c¸c tam gi¸c vu«ng nªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh IM ®i qua hai ®iÓm ,
A B nªn ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh IM .
*§­êng trßn C  cã t©m I 2  ;1 b¸n kÝnh R  5 3
Lời giải đề thi HSG TTHuế năm học 2018 - 2019 2 2 2  10  10 IA Ta cã 2 2 IH 
IA  AH   5      IM   10  2  2 IH   A I M H B 2  5a 19  2  5a 19  Gäi M a;   2  
. Ta cã IM  10  a  2  1  10    2   2  a  3 M 3; 2  Gi¶i ra ®­îc  139   139 72  a  M ;   29     29 29   5 1  *Víi M 3; 2
  th× trung ®iÓm IM lµ ;  
 , ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®­êng kÝnh IM lµ:  2 2  2 2  5   1  5 x   y        2   2  2  139 72   197 37  *Víi M ; 
 th× trung ®iÓm IM lµ ; 
 , ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®­êng kÝnh  29 29   58 26  2 2  197   37  5 IM lµ: x   y       .  58   26  2
Bµi 5: (3,0 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ®Òu OAB cã AB  .
a Trªn ®­êng th¼ng d  ®i qua O vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng OAB lÊy mét ®iÓm M sao cho OM  .
x Gäi E, F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc
cña A lªn MB vµ .
OB §­êng th¼ng EF c¾t ®­êng th¼ng d  t¹i N.
a) Chøng minh r»ng AN  BM .
b) X¸c ®Þnh x theo a ®Ó thÓ tÝch khèi tø diÖn ABMN nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. Gi¶i:  AF  OB M a) Ta cã   AF  MB AF  OM 
Mµ AE  MB nªn BM   AEF 
Do AN   AEF  nªn AN  BM . E
b) Theo c©u a) ta cã:  
   
AN.BM  0  ON  OAOM  OB  0 F O B
 OM .ON  . OA . OB cos 60  0 2 . OA . OB cos 60 a  ON   OM 2x N A 4
Lời giải: N.V.Sơn. DĐ: 0702626549 2 2 2 2 1 1 a 3  a  a 3  a 
Do MN  OAB nªn V  .MN.S  . x   x  ABMN     3 OAB 3 4 2x 12 2x     2 2 a a
Theo bÊt ®¼ng thøc C«-si th×: x   2 . x  2a 2x 2x 3 a 6 Suy ra: V  . ABMN 12 3 a 6 2 a a 2
VËy thÓ tÝch lín nhÊt cña khèi tø diÖn ABMN lµ khi x   x  . 12 2x 2
Bµi 6: (2,0 ®iÓm) 1 1 1
Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d­¬ng tháa m·n  
 2018. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña x y z 1 1 1 3029 biÓu thøc P     .
2x  y  z
x  2 y  z
x  y  2z 2 Gi¶i: 1 1  1 1  *XÐt bÊt ®¼ng thøc phô:   
 víi mäi a, b  0. a  b 4  a b 
*Dïng bÊt ®¼ng thøc ë trªn ta cã: 1 1 1  1 1  1  2 1 1           
2x  y  z
 x  y   x  z 4 x  y x  z 16 x y z     1 1  1 2 1  1 1  1 1 2  T­¬ng tù ta cã:    ;       
x  2 y  z 16 x y z
x  y  2z 16 x y z     1  1 1 1  3029 2018 3029 Suy ra: P        2019   4 x y z 2 4 2   3
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng 2019 ®¹t ®­îc khi vµ chØ khi x  y  z  . 2018
------------------------------------------ HẾT --------------------------------------------- 5