Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2018 – 2019
Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số 3 2 y 2x 3(m 3)x 18mx 8 , m là tham số.
a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên .
b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm vế hai phía của trục tung.
c) Tìm m để giá trị nhô nhất của hàm số đã cho trên đoän [ 1;0] bằng 24 Giải a) 2
y '  6x  6(m  3)x  18m ,
Hàm số đồng biến trên 2 2
  '  0  9(m  3)  108m  0  m  6m  9  0  m  3 . y '
b) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung m 0 c) + Nếu 2 m 3 y ' 6x 36x 54
hàm số nghịch biến trên nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là ( y 0) 8 24 (vô lí) + Nếu 2 m 1 y ' 6x 12x
18 thì trên ( 1;0) hàm số nghịch biến nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là ( y 0) 8 24 (vô lí) + Nếu 2 m 0 y ' 6x
18x thì trên ( 1;0) hàm số đồng biến nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là ( y 1) 3 21m 24 m 1 (loäi) + Nếu m 3, m 0, m 1 thì y '
0 luôn có hai nghiệm là m và 3 . Ta xét các trường hợp sau  Nếu m
0 thì trên ( 1;0) hàm số đồng biến nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là ( y 1) 24 m 1 (nhận)  Nếu 1 m
0 thì trên ( 1;m) hàm số đồng biến và trên ( ;
m 0) hàm số nghịch biến nên giá
trị nhô nhất trên [ 1;0] là y( 1) hoặc y(0), mà ( y 0) 24 (vô lí) và ( y 1) 24 m 1 (loäi)  Nếu m
1 thì trên [ 1;0] hàm số nghịch biến nên giá trị nhô nhất trên [ 1;0] là y( 1) hoặc y(0), mà ( y 0) 24 (vô lí) và ( y 1) 24 m 1 (loäi) Vậy m 1 là giá trị cần tìm Câu 2. (3,5 điểm)
1) Giâi phương trình x x 2x 1 8.25 8.10 15.2     0 .
2) Giâi phương trình (1 2sin 4x)tan2x 1 Giải x  5  5  2x x        x x x  5 5  2 2 1) 2 1 8.25 8.10 15.2 0 8.  8.  30 0           x  1 2 2  x      5  3      2 2   2) Điều kiện x k 4 2 (1 2sin 4x)tan2x 1 sin2x 2sin 4x.sin2x cos2x sin2x cos2x cos 6x cos2x 2x 6x k2 x k 2 16 4 sin 2x cos 6x cos 2x cos 6x (thôa đk) 2 2x 6x k2 x k 2 8 2
Câu 3. (3,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) . Tam giác BCD là tam giác đều, AB , a BC 2a .
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD)
2) Tính theo a khoâng cách giữa hai đường AC và BD Giải 1) Có AB (BCD) mà AB (ABC) (ABC) (BC ) D .
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) là 0 90
2) Gọi E là trung điểm BD , dựng hình chữ nhật BFCE
Gọi H là hình chiếu của B trên AF Ta có BD FC BD (AFC) Suy ra d(B , D AC) d(S , B (AFC)) d( , B (AFC)) BH AF (1)
CF vuông góc BF và AB . Suy ra BH CF (2) Từ (1) và (2) BH (AFC). Vậy BH d( , B (AFC) d(B , D AC )
Xét tam giác vuông ABF ta có : BF.AB CE.AB a 3.a a 3 BH 2 2 2 2 2 2 2 BF AB CE AB 3a a a 3 Vậy d(B , D AC ) 2
Câu 4. (3,0 điểm) Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh , A ,
B C thực hiện trò chơi chơi như sau : Mỗi bän , A ,
B C chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0 thuộc khoâng ( 6;6) và lần
lượt thế vào ba tham số của hàm số 4 2 y ax bx
c ; nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị
đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng. Tính xác suất để ba học sinh , A , B C được nhận thưởng. Giải 3 ( n ) 10 Hàm số có ba cực trị ab 0 x 0 3 2 y ' 4ax 2bx 0 2x(2ax b) 0 b x 2a 2 2 b b b b
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ( A 0;c), B ; c , C ; c 2a 4a 2a 4a Trường hợp 1 : Nếu a
0 thì A là điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành a 0 a 0 a { 5; 4; 3; 2; 1} b 0 b 0 b {1;2;3;4;5} có 5.5.5 125 (cách) y 0 c 0 c {1;2;3;4;5} A Trường hợp 2 : Nếu a 0 thì ,
B C là điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành a 0 a 0 b 0 b 0 y 0 B 2 b y 0 c C 4a Dễ suy được c 0 và 4a {4;8;12;16;20} Ta có các khâ năng sau : 2 b Với c 1 1, b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 1 1, b 2 a {2;3;4;5} có 4 (cách) 4a 2 b Với c 1 1, b 3 a {3;4;5} có 3 (cách) 4a 2 b Với c 1 1, b 4 a {5} có 1 (cách) 4a 2 b Với c 2 2 , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 2 2 , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 2 2 , b 3 a {2;3;4;5} có 4 (cách) 4a 2 b Với c 2 2 , b 4 a {3;4;5} có 3 (cách) 4a 2 b Với c 2 2 , b 5 a {4;5} có 2 (cách) 4a 2 b Với c 3 3 , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 3 3 , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 3 3 , b 3 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 3 3 , b 4 a {2;3;4;5} có 4 (cách) 4a 2 b Với c 3 3 , b 5 a {3;4;5} có 3 (cách) 4a 2 b Với c 4 4 , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 4 4 , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 4 4 , b 3 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 4 4 , b 4 a {2;3;4;5} có 4 (cách) 4a 2 b Với c 4 4 , b 5 a {2;3;4;5} có 4 (cách) 4a 2 b Với c 5 5 , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 5 5 , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 5 5 , b 3 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 5 5 , b 4 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) 4a 2 b Với c 5 5 , b 5 a {2;3;4;5} có 4 (cách) 4a
Trong trường hợp này có : 101 (cách) Suy ra có tất câ 125 101 226 (cách chọn) 226 113 Vậy xác suất là 1000 500 3 2 2 x x y y 2x 1 0 (1)
Câu 5. (2,5 điểm) Giâi hệ phương trình 2 x x 2 3y 2 2y (2) Giải 2
Điều kiện: x 0, y 3 3 2 2 3 2 2 2 2 x x y y 2x 1 0 (x x y x ) (x xy x) (xy x) (1 y ) 0 2 x (x y 1) x(x y 1) x(y 1) (1 y)(1 y) 0 2 x (x y 1) x(x y 1) (y 1)(x y 1) 0 2 (x y 1)(x x y 1) 0 x y 1 2 x x y 1 0 Với x y 1 thay vào (2) ta được 2 2 y 1 y 3 3y 2 2y 3y 2 y 1 (2y y 3) 0 3 5 y x 2y 3 2 2 (2y 3)(y 1) 0 1 3y 2 y 1 y 1 0 (VN ) 3y 2 y 1 5 3
Trường hợp này có nghiệm ; 2 2 Với 2 2 x x y 1 0 1 x x y , vì 2 x 0 1 x x 1 y 1 2
Kết hợp điều kiện ta được y 1 3 2 2 3x 3x 1 0 3 21 Ta có 2 2 x x 1 y x x 1 1 0 x 0, 3 2 3 x x 0 6 3 21 0 x 0, 3 (vì x 0) 6 3 21 7
Xét vế trái của (2) : f (x) x x 2 với 0 x f (x) 2 6 4 2 Xét vế phải ta có 2 f (y) 3y 2 2y với y 1 3 3 3 Ta có 3 f '(y) 4y 0 8y 3y 2 3 192y 128y 9 0 y 2 3y 2 4 5 Suy ra 1 f (y)
nên phương trình vô nghiệm 8 5 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; 2 2 Câu 6. (2,5 điểm) a b c
1) Cho ba số thực dương , a ,
b c . Tìm giá trị nhô nhất củaP 2b c 2c 3a 2a 3b
2) Chứng minh rằng n
C chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương 3n 1 a ( 6u 9v 4w) u 2b 3c 35 1 1) Đặt v 2c 3a b (9u 4v 6w) 35 w 2a 3b 1 c (4u 6v 9w) 35 1 6u 9v 4w 4u 6v 9w 9u 4v 6w 1 9v 4w 4u 9w 9u 4v P 18 35 u v w 35 u u v v w w 1 4v 4u 4w 4v 4w 4u 5v 5w 5u 18 35 u v v w u w u v w 1 3 ( 18 2. 16 2 16 2. 16 3 125) 35 5 5
Vậy giá trị nhô nhất của P là a b c 3 n n n n n (3 )! 1.2.3...(3 1).3 1.2.3...(3 1) 2) n 1 C 3. .3 3. n C C chia hết cho 3 3n 3n 1 3 n !.(2n)! 1.2.3...n.(2n)! 1.2.3...(n 1).(2n)! n