Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  mx  2 có đồ thị là C . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
m để C có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng y  x 1. m  cot x  2
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng  cot x  m    0; .    4  3 1
Câu 3. Giải phương trình: 8sin x   . cos x sin x
Câu 4. Cho dãy số u có số hạng tổng quát u  n n ,  *
n   . Tính lim S biết n  2 ln  2  n  n 1 u u2  1   1   1 un S    . n        e   e   e 
Câu 5. Giải phương trình: 2
x  4  3  x  12  x  x  x 1 2x  5.
Câu 6. Một hộp có 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính
xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8.
Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, AA' = a. Hình chiếu vuông góc
của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AB. Gọi I là trung điểm của A'C, điểm S thỏa  
mãn IB  2SI. Tính theo a thể tích khối chóp S.AA'B'B.
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của
AG và cắt các đoạn AB, AC, AD tại các điểm khác A. Gọi h , h , h , h lần lượt là khoảng cách từ A B C D 2 2 2
h  h  h
các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng (P). Chứng minh rằng: B C D 2  h . 3 A
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D là chân
đường phân giác trong góc A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB, AC. Đường tròn 2 2
(C) : (x  2)  ( y 1)  9 ngoại tiếp tam giác DMN. Gọi H là giao điểm của BN và CM, đường
thẳng AH có phương trình 3x  y 10  0. Tìm tọa độ điểm B biết M có hoành độ dương, A có hoành độ nguyên. 1
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1 và 3 3 a b  b a 
 ab  2. Tìm giá trị ab 1 1 3
lớn nhất của biểu thức P    . 2 2 1 a 1 b 1 2c
---------- HẾT ---------- https://toanmath.com/
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: ……………….
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2019-2020
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  mx  2 có đồ thị là C . Tìm tất cả các giá trị thực của tham m 
số m để C có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng y x . m  1 cotx  2
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  đồng biến trên cotx  m    khoảng 0; .    4 
Câu 3. Giải phương trình:  3  1 8sinx . cosx sinx
Câu 4. Cho dãy số u có số hạng tổng quát u  n  n n   Tính lim S , biết n  2 ln 2 ,  *. n  n 1 u u2  1   1   1 un  S    ...  . n        e   e   e 
Câu 5. Giải phương trình: 2
x  4  3  x  12  x  x  x 1 2x  5 .
Câu 6. Một hộp có 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50. Lẫy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp
đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8.
Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có đáy là tam giác đều cạnh a, AA  a . Hình chiếu
vuông góc của A trên mặt phẳng  ABC trùng với trung điểm cạnh .
AB Gọi I là trung điểm  
của AC, điểm S thỏa mãn IB  2SI. Tính theo a thể tích khối chóp S.AAB . B
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng P đi qua trung
điểm I của AG và cắt các đoạn A ,
B AC, AD tại các điểm khác A. Gọi h ,h ,h ,h lần lượt A B C D 2 2 2
h  h  h
là khoảng cách từ các điểm , A ,
B C, D đến mặt phẳng P. Chứng minh rằng: B C D 2  h 3 A
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Ox ,
y cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D là
chân đường phân giác trong góc A. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên A ,
B AC . Đường tròn C 2 2
: (x  2)  ( y 1)  9 ngoại tiếp tam giác DMN . Gọi H là giao
điểm của BN và CM , đường thẳng AH có phương trình 3x  y 10  0. Tìm tọa độ điểm B
biết M có hoành độ dương, A có hoành độ nguyên. 1 Câu 10. Cho , a ,
b c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 và 3 3 a b  b a 
 ab  2. Tìm giá ab 1 1 3
trị lớn nhất của biểu thức P    . 2 2 1 a 1  b 1 2c
---------------Hết----------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……..…….................…….….….; Số báo danh:……….....……….
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2019-2020
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT
(Hướng dẫn chấm có 05 trang) I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm
của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh làm theo cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong hướng dẫn chấm để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó sẽ không được điểm.
- Trong lời giải câu 7, 8 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung Cho hàm số 3 2
y  x  3x  mx  2 có đồ thị là C . Tìm tất cả các giá trị thực của tham m 
số m để C có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng y  x . m  1 Ta có: 2
y '  3x  6x  m .
Hàm số có cực trị  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt 2
 3x  6x  m  0 có 2 nghiệm phân
biệt x ; x   '  9  3m  0  m  3  (*) 1 2  1 1   2m   m Thực hiện phép chia 
y cho y ' ta được: y  x  y '  2 x  2         3 3   3   3   2m   m   2m m Ta có:   
y  y x    2 x  2 
; y  y x    2 x  2  1  1   1   2  2    2    3   3   3   3   2m   m  1
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là  : y    2 x  2       3   3 
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y  x 1 khi và chỉ khi
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y  x 1  2m  9    2  1  m     (loại)  3  2
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y  x 1 y  y x  x  2m   m  1 2 1 2
 y  x 1   1  
 2 x  x    x  x  I I   2 2 2 1 2     1 2  2 2  3   3   2m   m     2 .2  2 2   2  2  m  0     (thỏa mãn (*))  3   3 
Vậy giá trị của m cần tìm là: m  0 . cotx  2   
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng 0; .    cotx  m  4  1  m  2 2   Ta có sin x y 
cot x  m2 2    
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   0;   
hàm số đó xác định và y  0,x  0;    4   4 
m1;   . m  2  0    m  1. Vậy 
m  1 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;   .  4 
Giải phương trình:  3  1 8sinx cosx sinx si  n x  0  Điều kiện: 
 sin 2x  0  x  k k  (*) cos x  0 2
Với điều kiện (*) , phương trình đã cho 2
 8sin x cos x  3 sin x  cos x
 4  4cos2xcos x  3sin x  cos x  4cos x  4cos2xcos x  3sin x  cos x
 3cos x  2cos x  2cos3x  3sin x  cos x  3sin x  2cos3x 3 1 3     cos x 
sin x  cos3x  cos x   cos3x   2 2  3      3x  x   k2 x   k  3  6      (thỏa mãn (*) )    3x x k2      x    k   3  12 2  
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 
 k ; x    k k . 6 12 2
Cho dãy số u có số hạng tổng quát u  n  n n  
Tính lim S , biết n  2 ln 2 ,  *. n  n 1 u u2  1   1   1 un  S   ... . n        e   e   e  u  1 n  1 1 1  1 1  Ta có        2   ln n 2n  e  
nn  2 2  n n  2 e   1  1 1 1 1 1 1 1 Suy ra  S 
1      ...   n   2  3 2 4 3 5 n n  2  4 1  1 1 1  1  3 1 1   1          2 
2 n 1 n  2  2  2 n 1 n  2  1  3 1 1  3 Vậy, lim S  lim    . n   2
 2 n 1 n  2  4
Giải phương trình: 2
x  4  3  x  12  x  x  x 1 2x  5 x  4  0  5 Điều kiện: 3
  x  0    x  3 (*) 2 2x 5  0 
Đặt t  x  4  3  x t  0 2 2 5
 t  7  2 12  x  x 2 t  7
Phương trình đã cho trở thành 2 t 
 x 1 2x  5  t  2t  2x  5  2 2x  5 (1) 2
Xét hàm số f u 2
 u  2u với u  0
Ta có: f u  2u  2  0,  u
  0  Hàm số đồng biến trên 0; Khi đó:  
1  t  2x  5
hay x  4  3  x  2x  5 2
 7  2 12  x  x  2x  5 2
 12  x  x  x 1 x  1 1 89    x  (thỏa mãn (*) ) 2 2 12
  x  x  x  2x 1 4 1 89
Vậy nghiệm của phương trình là: x  . 4
Một hộp có 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50. Lẫy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó.
Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8. Có 3
C cách lấy ra 3 quả cầu từ 50 quả cầu đã cho 50
Chia 50 quả cầu trong hộp thành 4 nhóm:
Nhóm 1: gồm 25 quả cầu mang số lẻ
Nhóm 2: gồm 13 quả cầu mang số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4
Nhóm 3: gồm 6 quả cầu mang số chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8
Nhóm 4: gồm 6 quả cầu mang số chia hết cho 8.
Để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số không chia hết cho 8 thì có 4 trường hợp 6 sau xảy ra:
TH1) 1 quả thuộc nhóm 1 và 2 quả thuộc nhóm 2: có 1 2 C .C cách lấy 25 13
TH2) 2 quả thuộc nhóm 1 và 1 quả thuộc nhóm 2: có 2 1 C .C cách lấy 25 13
TH3) 2 quả thuộc nhóm 1 và 1 quả thuộc nhóm 3: có 2 1 C .C cách lấy 25 6
TH4) 3 quả thuộc nhóm 1: có 3 C cách lấy 25 1 2 2 1 2 1 3 C .C + C .C + C .C + C 193
Vậy xác suất cần tính là: P 25 13 25 13 25 6 25 = 1 - = 3 C 392 50
Cho hình lăng trụ A . BC A B  C
  có đáy là tam giác đều cạnh a, AA  a . Hình chiếu vuông
góc của A trên mặt phẳng  ABC trùng với trung điểm cạnh A .
B Gọi I là trung điểm  
của AC, điểm S thỏa mãn IB  2SI. Tính theo a thể tích khối chóp S.AA B   . B B' C' A' S I B C H A
Gọi H là trung điểm của AB  A H
   ABC  CH   AA B  B   7 2 3 a 3 1 1 a 3 a 3 a Ta có: CH   V      CH.S   . . C. 2 AA B B 3 AA B A 3 2 2 4   3 3
Do IB  2SI  d S, AA B  B
   d I, AA B  B
   d C, AA B  B   2 4 3 3 3a Suy ra V     V . S.AA B B C. 4 AAB B  16
Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng P đi qua trung điểm
I của AG và cắt các đoạn A ,
B AC, AD tại các điểm khác A. Gọi h ,h ,h ,h lần lượt là A B C D
khoảng cách từ các điểm , A ,
B C, D đến mặt phẳng P . Chứng minh rằng: 2 2 2
h  h  h B C D 2  h . 3 A
Gọi B ,C , D là giao điểm của P với A , B AC, AD A Ta có: V      
V   V   V ; . A B C D . A C D I . A B C I . A B D  I 1 D' S  S  S  S B' GBC  GCD GB  D I 3 BCD V       AB AC AI 3V   1 AB AC . A B C I .  . . A B C I   . C' 8 V AB AC AG V 2 AB AC . A BCG . A BCD B D 3V      
1 AB AD 3V   1 AC AD . A B D I .  . ; A C D I  . G V 2 AB AD V 2 AC AD . A BCD . A BCD C 3V           1 AB .AC AC .AD AB .AD  Suy ra: . A B C D      V 2  A . B AC A . C AD A . B AD  . A BCD 3AB .AC AD 
 1  AB .AC AC .AD AB .AD 
DD BB CC        3   . AB AC.AD 2  . AB AC AC.AD . AB AD  AD AB AC BB h CC h DD h Mặt khác ta có: B  , C  , D 
 h  h  h  3h D C B A AB h AC h AD h A A A
h  h  h
Hơn nữa: h  h  h
 h  h  h   h (đpcm) D C B   D C B 2 2 2 2 2 2 2 B C D 2 3 3 A
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm D là
chân đường phân giác trong góc A . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên A ,
B AC . Đường tròn C 2 2
: (x  2)  (y 1)  9 ngoại tiếp tam giác DMN . Gọi H là
giao điểm của BN và CM , đường thẳng AH có phương trình 3x  y 10  0 . Tìm tọa độ
điểm B biết M có hoành độ dương, A có hoành độ nguyên.
Vì AMDN là hình vuông nên AC . A
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
 y  3x 10 N 9 I 3  x y 10 0     x  2 M    2 2 (x 2) ( y 1) 9        19 H x    E F    5 B C D x  2    A 2;  4 y   4
Đường tròn C có tâm I(2;1) , AMDN là hình vuông nên I là trung điểm AD  D(2;2) .
Gọi E là giao điểm của BN và DM; F là giao điểm của DN và CM .
Ta có AMDN là hình vuông nên MF AN MD ME ME    
 EF / /CD  EF / /BC MC AC AC AN MD NF NF ND AN     A  NF và B
D AN đồng dạng AN AM AB AB  
 ABN  NAF  BN  AF
Tương tự CM  AE  H là trực tâm A
D EF  AH ^ EF  AH ^ BC .
Đường thẳng BC vuông góc AH, qua D nên có phương trình x  3y  8  0 .
Đường thẳng MN vuông góc A ,
D qua I nên có phương trình : y 1  0
Tọa độ của M , N là nghiệm của hệ phương trình: x 1  y 1  0      x   5 2 2 (x
  2)  (y 1)  9  y   1
Vì M có hoành độ dương nên M (1;1) .
Đường thẳng AB qua ,
A M nên có phương trình : x  y  2  0
Do B  AB  BC nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
x  y  2  0 x  7     B(7; 5  )
x  3y  8  0 y  5  Vậy B(7; 5) . 1 Cho , a ,
b c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 và 3 3 a b  b a 
 ab  2. ab 1 1 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P    . 2 2 1 a 1 b 1 2c Theo BĐT Cô–si ta có: 3 3 2 2 2 2 1
a b  ab  2a b  ab  2  2a b  ab 1 1
Đặt t  abt  0 2 3 2
 t  2  2t   2t  t  2t 1  0   t  1. t 2 1 1 2
Với a,b  0; ab  1 ta chứng minh   (*) 2 2 1 a 1 b 1 ab 1 1 1 1 Thật vậy: (*)  (  )  (  )  0 2 2 1 a 1 ab 1 b 1 ab 10
a(b  a)
b(a  b) 2  
 0  (a  b) (ab 1)  0 (đúng) 2 2
(1 a )(1 ab) (1 b )(1 ab) 2 3 2 3t  P     . 1 ab 2 1 t t  2 1 ab 1  2 3t 2 6 Xét t 
;1 ; f t  
; f 't     0  2  1 t t  2
1t2 t  22  1   1  11
Từ đó f t nghịch biến trên
;1  Max f t   f      1  2   ;1  2  15  2    1 1 1
Dấu "  " xảy ra khi t   a  ;b  ;c  2 . 2 2 2
------------------------Hết------------------------
Document Outline

• ÂSAS
• 01_HSG VP TOÁN 12_2019