Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Ninh Bình
Ngày 11 tháng 09 năm 2019, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán năm học 2019 – 2020. Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Ninh Bình với 01 trang với 04 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài 180 phút.
Preview text:
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi: 11/09/2019
Thời gian làm bài: 180 phút – không kể thời gian phát đề
Đề thi gồm 04 câu trong 01 trang Câu 1. (5.0 điểm)
Tìm x, y, z nguyên thỏa mãn hệ phương trình: 3 2
x 4x 16x 60 y 3 2
y 4 y 16 y 60 z 3 2
z 4z 16z 60 x Câu 2. (5.0 điểm) Xét phương trình: n 2
x x x 1, n , n 2.
a) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n lớn hơn 2 phương trình trên có đúng một nghiệm dương duy nhất.
b) Gọi x là nghiệm dương duy nhất của phương trình trên. Tính lim x . n n Câu 3. (5.0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD ( D thuộc BC ) và hai điểm M, N lần lượt nằm
trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Điểm P chuyển động trên đoạn thẳng
MN. Lấy các điểm E, F sao cho EP AC , EC BC , FP AB , FB BC.
a) Gọi I là giao của EF và AD. Chứng minh rằng I cố định khi P chuyển động trên đoạn MN.
b) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng đường trung trực
của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ. Câu 4. (5.0 điểm)
Cho số nguyên dương n và tập hợp S 1;2;...;
n . Tìm số các tập con của S không chứa
hai số nguyên dương liên tiếp. ---------- HẾT ----------