Đề thi: đại số tuyến tính

Đề thi: đại số tuyến tính

lOMoARcPSD|27790909
TRƯỜNG ĐẠI HC PHENIKAA ĐỀ THI HC PHN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Hc k 1, Năm học 2020–2021 (Đợt hc...)
B MÔN TOÁN
H đào tạo: Chính quy, Bc học: Đại hc
Tên hc phần: Đại s tuyến tính. S TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thi gian làm bài: 90 phút (Không k thời gian phát đề)
Đề s 1
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trn
.
(a) Tính A + 2A
T
, trong đó A
T
là ma trn chuyn v ca A.
(b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Gii h phương trình sau:
x 2y + 3z = 1
x + 2y z = 1
32x + y 3z = 0.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian R cho h véc tơ:
V = {v1 = (3,4,2); v2 = (−2,0,7); v3 = (4,5,0)}.
(a) Kim tra xem h véc tơ trên là độc lp tuyến tính hay ph thuc tuyến tính?
(b) Biu din tuyến tính véc tơ x = (10,6,3) qua các véc tơ ca h V .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trn
.
(a) Tìm các giá tr riêng ca C.
(b) Tìm ma trn P sao cho P
1
CP là ma trn chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Tìm A
12
biết
.
——————————————————————————————
lOMoARcPSD|27790909
Downloaded by M? M? (nguyenmo081102@gmail.com)
Ghi chú:
- Sinh viên không được s dng tài liu;
- Cán b coi thi không được gii thích gì thêm.
Đáp án Đề s 1
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa.
Câu 1. Ta có (a) 1 điểm
=−2 3 −1 + 2 2 3 2 (0,5 điểm) 1 2
A + 2A
T
−3 1 −2 −3
3 2 4 −3 −1 4
3 −2 −9
=2 9
3
(0,5
đim)
=−2 3 −1 · 3 2 (0,25 điểm) 1 2 3AB
1 2
3 2 4 −1 −2
10 12
=8 4 (0,75 điểm)
.
- Sinh viên xác định được định thc ca A: (0.25 đ)
det(A) = −16 6= 0.
- Sinh viên viết và tính định thc ca A
1
: (0.25 đ)
9
(b) Ta có
0 12
1 −10
Câu 2 (2,0 điểm)
Cách 1: Gii theo công thc Cramer:
- Sinh viên xác định được ma trn h s:
(0.25 đ)
lOMoARcPSD|27790909
3
- Sinh viên tính được nghim x: (0.25 đ)
.
- Sinh viên viết và tính định thc ca A
2
: (0.25 đ)
- Sinh viên tính được nghim y: (0.25 đ)
.
lOMoARcPSD|27790909
4
- Sinh viên viết và tính định thc ca A
3
: (0.25 đ)
(0.25 đ)
.
Cách 2: Giải theo phương pháp khử Gauss:
- Viết được m trn m rng (b sung) A¯:
(0.25 đ)
.
- c 1: H1 - H2:
(0.25 đ)
.
- c 2: 2H1 - H3:
(0.25 đ)
.
- c 3: 5*H2 - 4*H3:
(0.25 đ)
.
- Viết lại được h phương trình mới:
(0.25 đ)
- Tính được z t hàng cui:
(0.25 đ)
.
- Tính được y t hàng hai:
(0.25 đ)
.
- Tính được x: (0.25 đ)
.
Cách 3: Giải theo phương pháp Gauss-Jordan: T phương pháp khử Gauss thêm 3 bước biến đổi na
để đưa A v ma trận đơn vị, mỗi bước 0,25 điểm.
Câu 3.
a) (1,0 điểm): Xét
ma trn:
3 4 2
A =−2 0 7 (0,25 điểm)
4 −5 0
lOMoARcPSD|27790909
5
3 4 2
→0 8 25 (0,25 điểm)
0 −31 −8
→0 8 25 (0,25 điểm) 3 4 2
(0.25 đ)
(0.25 đ)
Kết lun . (0.25 đ)
Câu 4.
a) (1,0 điểm):
+ Đa thức đặc trưng
|C λI3| = −λ
3
4λ
2
+ 20λ + 48.
(0,5 điểm)
+ Giá tr riêng λ1 = −2; λ2 = 4 λ3 = −6
b) (1,0 điểm):
(0,5 điểm)
+ Vi λ1 = −2, véc tơ riêng u1 = k(1,0,1) vi k 6= 0.
(0,25 điểm)
+ Vi λ2 = 4, véc tơ riêng u2 = k(1,1,0) vi k 6= 0.
(0,25 điểm)
+ Vi λ3 = −6, véc tơ riêng u3 = k(0,1,1) vi k 6= 0. + Ma
trn P và ma trn chéo cn tìm là
(0,25 điểm)
. (0,25 điểm)
0 0 237
Suy ra r(A) = 3 ⇒ nên h véc tơ là độc lp tuyến tính.
(0.25 đ)
Cách 2: Tính định thc ca ma trận các véc tơ hàng (hoặc ct): det(A) = 237 6= 0
(0.75 đ)
Suy ra r(A) = 3 ⇒ và do đó r(V ) = 3 nên h véc tơ là độc lp tuyến tính. b) (1,0
đim):
(0.25 đ)
Gi s x = k1v1 + k2v2 + k3v3, k1,k2,k3 R
(0.25 đ)
lOMoARcPSD|27790909
Câu 5. Viết được:
. (0.5 đ)
Tính được:
. (1.0 đ)
Kết qu
. (0.5 đ)
Chú ý: nếu chéo hoá rồi tính, các bước và điểm tương tự cho như trên.
Trưởng b môn/khoa
Giảng viên ra đề
TS. Phan Quang Sáng
GV. B môn Toán
lOMoARcPSD|27790909
TRƯỜNG ĐẠI HC PHENIKAA ĐỀ THI HC PHN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Hc k 1, Năm học 2020–2021 (Đợt hc...)
B MÔN TOÁN
H đào tạo: Chính quy, Bc học: Đại hc
Tên hc phần: Đại s tuyến tính. S TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thi gian làm bài: 90 phút (Không k thời gian phát đề)
Đề s 2
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hai ma trn A B:
.
(a) Hãy xác định ma trn C sao cho A + C = B.
(b) Tính D = AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Gii h phương trình sau:
2x + y z =
2 x 2y + z =
2
3x + y 2z = 2.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian R cho h véc tơ:
V = {v1 = (4,2,3); v2 = (0,3,5); v3 = (6,2,0)}.
(a) Kim tra xem h véc tơ trên là độc lp tuyến tính hay ph thuc tuyến tính?
(b) Biu din tuyến tính véc tơ x = (7,9,2) qua các véc tơ của h V .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trn
.
(a) Tìm các giá tr riêng ca C.
(b) Tìm ma trn P sao cho P
1
CP là ma trận chéo và đưa ra ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Tìm A
20
biết
.
——————————————————————————————
Ghi chú:
lOMoARcPSD|27790909
- Sinh viên không được s dng tài liu;
- Cán b coi thi không được gii thích gì thêm.
Đáp án Đề s 2
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa.
.
Câu 1.
(a) 1 điểm
A + C = B C = B A (0,25 điểm)
1 2 1 2 1 2
C =2 1 2 1 2
1 (0,25 đim)
1 2 1 2 1 2
1 1 −1
C =1 −1 1 . (0,5 điểm)
1 2 . (0,25 điểm) 2 1 2 1 2 1
D = AB =1 2 1 2
2 1 2 1 2 1
6 9 6
=6 6 6 . (0,75 điểm)
.
+ det(A) = −4 6= 0 nên h đã cho là hệ Crammer. (0,5 điểm)
(b) 1 điểm
−1
1
1
6 9 6
Câu 2. Ma trn h s và véc tơ ct vế phi:
(0,25 điểm)
lOMoARcPSD|27790909
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,5 điểm)
3
Câu 3.
a) (1,0 điểm): Xét
ma trn:
=0 3 −5 (0,25 điểm) 4 −2 3 A
6 −2 0
4 −2 3
→0 3 −5 (0,25 điểm)
0 2 −9
4 −2 3
→0 3 −5 (0,25 điểm)
0 0 −17
Suy ra r(A) = 3 ⇒ nên h véc tơ là độc lp tuyến tính.
(0.25 đ)
Cách 2: Tính định thc ca ma trận các véc tơ hàng (hoặc ct): det(A) = −34 6= 0
(0.75 đ)
Suy ra r(A) = 3 ⇒ và do đó r(V ) = 3 nên h véc tơ là độc lp tuyến tính. b) (1,0
đim):
(0.25 đ)
Gi s x = k1v1 + k2v2 + k3v3, k1,k2,k3 R
(0.25 đ)
lOMoARcPSD|27790909
4k1 + 6k3 = 7
2k1 + 3k
2
2k
3
= 9 . (0.25 đ)
3k1 5k2 = −2
k312 = 152/17
k = 98/17 (0.25 đ)
k = −163/17
Kết lun . (0.25 đ)
Câu 4.
(a) (1,0 điểm):
+ Đa thức đặc trưng
|C λI3| = −λ
3
+ 12λ
2
44λ + 48
(0,75 điểm)
+ Giá tr riêng λ1 = 2; λ2 = 4 λ3 = 6
b) (1,0 điểm):
(0,25 điểm)
+ Vi λ1 = 2, véc tơ riêng u1 = k(1,0,1) vi k 6= 0.
(0,25 điểm)
+ Vi λ2 = 4, véc tơ riêng u2 = k(1,1,0) vi k 6= 0.
(0,25 điểm)
+ Vi λ3 = 6, véc tơ riêng u3 = k(0,1,1) vi k 6= 0.
+ Ma trn P và ma trn chéo cn tìm là
(0,25 điểm)
. (0,25 điểm)
Câu 5. Viết được:
. (0.5 đ)
4
Tính được:
. (1.0 đ)
Kết qu
. (0.5 đ)
Chú ý: nếu chéo hoá rồi tính, các bước và điểm tương tự cho như trên.
Trưởng b môn/khoa
Giảng viên ra đề
TS. Phan Quang Sáng
GV. B môn Toán
lOMoARcPSD|27790909
TRƯỜNG ĐẠI HC PHENIKAA ĐỀ THI HC PHN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Hc k 1, Năm học 2020–2021 (Đợt hc...)
B MÔN TOÁN
H đào tạo: Chính quy, Bc học: Đại hc
Tên hc phần: Đại s tuyến tính. S TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thi gian làm bài: 90 phút (Không k thời gian phát đề)
Đề s 3
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trn sau:
.
Tính các ma trn A
T
+ 2B BA, trong đó A
T
là ma trn chuyn v ca A.
Câu 2 (2,0 điểm). Gii h phương trình sau:
4x + 3y + z = 2
5x + 2y + 8z =
3 x + 3y + 5z =
7.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong trong không gian véc tơ R
3
cho h véc tơ
S = {v
1
= (0,1,1); v
2
= (1,0,1); v
3
= (1,1,0)}.
(a) Chng minh h S độc lp tuyến tính. T đó suy ra rằng S là một cơ sở ca R
3
.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ u = (1,2,1) trong cơ sở S.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trn
.
(a) Tìm các giá tr riêng ca C.
(b) Tìm ma trn P sao cho P
1
CP là ma trận chéo và đưa ra ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho hai ma trn vuông, thc A B tho mãn các điều kin sau:
A
2021
= 0 AB = A + B.
Chng minh rng det(B) = 0.
——————————————————————————————
lOMoARcPSD|27790909
Ghi chú:
- Sinh viên không được s dng tài liu;
- Cán b coi thi không được gii thích gì thêm.
Đáp án Đề s 3
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa.
Câu 1.
(0,5 điểm) (0,5 điểm)
(0,25 điểm)
(0,75 điểm)
Câu 2. Ma trn h s véc tơ cột vế phi: (0,25 điểm)
.
+ det(A) = 26 6= 0 nên h đã cho là hệ Crammer. (0,5 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,5 điểm)
Câu 3.
a) (1,0 điểm):
Cách 1: Tính định thc ca ma trận các véc tơ cột (hoc hàng):
(0,5 điểm)
Suy ra r(A) = 3 ⇒ và do đó nên h véc tơ là độc lp tuyến tính. (0.25 đ)
S chiu ca R
3
. bng 3, và V gồm 3 véc tơ ĐLTT nên V là một cơ sở ca R
3
. (0.25 đ)
lOMoARcPSD|27790909
3
Cách 2: Ta xét phương trình véc tơ sau (0,25 điểm):
c
1
v
1
+ c
2
v
2
+ c
3
v
3
= 0 (0,25 điểm)
c
2
+ c
3
= 0
c
1
+ c
2
+ c
3
= 0 (0,25 điểm)
c1 +1 c2 = 02 3
c = c = c = 0 (0,25 điểm)
(Có th gii trc tiếp h trên hoặc tính định thc ma trn h s det(A) = 2 6= 0 nên h có nghim duy
nht c
1
= c
2
= c
3
= 0)
Do đó hệ véc tơ là ĐLTT.
S chiu ca R
3
bng 3, và V gồm 3 véc tơ ĐLTT nên V là một cơ sở ca R
3
.
(b) (1,0 điểm) Gi s
(0.25 đ)
u = c1v1 + c2v2 + c3v3.
(0,25 điểm)
c
2
+ c
3
= 1
c
1
+ c
3
= 2 (0,25 điểm)
.
Câu 4.
(a) (1,0 điểm):
+ Phương trình đặc trưng |C λI
3
| = 0:
λ
3
6λ
2
+ λ + 6 = 0
(0,75 điểm)
+ Giá tr riêng λ
1
= −6; λ
2
= 1 λ
3
= 1
b) (1,0 điểm):
(0,25 điểm)
+ Vi λ
1
= −6, véc tơ riêng u
1
= k(1,1,3) vi k 6= 0.
(0,25 điểm)
+ Vi λ
2
= 4, véc tơ riêng u
2
= k(0,1,1) vi k 6= 0.
(0,25 điểm)
c
1
+ c
2
= 1 c
1
= 1, c
2
= 0, c
3
= 1
(0,25 điểm)
Tọa độ ca u trong cơ sở S (1,0,1) Hoc
tọa độ ct ca u là:
(0.25 đ)
lOMoARcPSD|27790909
+ Vi λ
3
= 6, véc tơ riêng u
3
= k(−1,1,4) vi k 6= 0. + Ma
trn P và ma trn chéo cn tìm là
(0,25 điểm)
. (0,25 điểm)
Câu 5. T điu kin A
2021
= 0 ta suy ra det(A
2021
) = [det(A)]
2021
= 0,
(0,5 điểm)
t đó det(A) = 0.
(0,5 điểm)
Mt khác, t điu kin A + B = AB ta suy ra B = A(B I)
(0,5 điểm)
Do đó, det(B) = det(A(B I)) = det(A)det(B I) = 0 (Đpcm).
Trưởng b môn/khoa Giảng viên ra đề
TS. Phan Quang Sáng GV B môn Toán
(0,5 điểm)
TRƯỜNG ĐẠI HC PHENIKAA ĐỀ THI HC PHN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Hc k 1, Năm học 2020–2021 (Đợt hc...)
B MÔN TOÁN
H đào tạo: Chính quy, Bc học: Đại hc
Tên hc phần: Đại s tuyến tính. S TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thi gian làm bài: 90 phút (Không k thời gian phát đề)
Đề s 4
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trn
.
(a) Tính 2A + A
T
, trong đó A
T
là ma trn chuyn v ca A.
(b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Gii h phương trình tuyến tính sau:
x 2y 3z = 0
3x + 2y + z = 2
3x + y3 2z = 0.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian véc tơ R cho hệ véc tơ
S = {u
1
= (1,2,3);u
2
= (2,3,5);u
3
= (−7,9,2)}.
(a) Chng minh rng h S độc lp tuyến tính. T đó chỉ ra rng S là một cơ sở
ca R
3
.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ v = (2,1,4) trong cơ cở S. Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma
trn sau:
0 1 1
lOMoARcPSD|27790909
C = 1 0 1
. 1 1
0
(a) Tìm các giá tr riêng ca C.
(b) Tìm ma trn P sao cho P
1
CP là ma trận chéo và đưa ra ma trận chéo đó? Câu 5 (2,0
đim).
(a) Cho A là ma trn phản đối xng cp n (tc A là ma trn thc vuông cp n tha
mãn A
T
= −A). Chng minh rng nếu n l thì det(A) = 0.
(b) Cho ma trn cp 2:
.
Chng minh rng nếu A
2020
= 0 thì A
2
= 0.
Tìm a,b,c sao cho tn ti n để A
n
= I, vi I là ma trận đơn vị cp 2.
——————————————————————————————
Ghi chú:
- Sinh viên không được s dng tài liu;
- Cán b coi thi không được gii thích gì thêm.
lOMoARcPSD|27790909
Đáp án Đề s 4
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. Câu 1. Ta có (a)
1 điểm
2
2A + A
T
= −4
6
3
= −2
9
(b) Ta có
(0,5
đim)
(0,5
đim)
(0,25
đim)
2
2
2
(0,75
đim)
Câu 2.
Cách 1: Gii theo công thc Cramer:
- Sinh viên xác định được ma trn h s:
(0.25 đ)
.
- Sinh viên xác định được định thc ca A:
(0.25 pt)
det(A) =
14 6= 0.
- Sinh viên viết và tính định thc ca A
1
:
(0.25 đ)
.
- Sinh viên tính được nghim x:
(0.25 đ)
.
- Sinh viên viết và tính định thc ca A
2
:
(0.25 đ)
.
lOMoARcPSD|27790909
4
- Sinh viên tính được nghim
: (0.25 đ)
.
- Sinh viên viết và tính định thc ca A
3
: (0.25 đ)
.
- Sinh viên tính được nghim z:
(0.25 đ)
.
Cách 2: Giải theo phương pháp khử Gauss:
- Viết được m trn m rng (b sung) A¯:
(0.25 đ)
.
- c 1: H1 - H2:
(0.25 đ)
.
- c 2: 3*H1 - H3:
(0.25 đ)
.
- c 3: 7*H2 - H3:
(0.25 đ)
.
- Viết lại được h phương trình mới:
(0.25 đ)
- Tính được z t hàng cui:
14z = −14 → z = 1.
(0.25 đ)
- Tính được y t hàng hai:
y 3z = −2 → y = −3z + 2 = −1.
(0.25 đ)
- Tính được x t hàng đầu:
(0.25 đ)
x 2y 3z = 0 → x = 2y + 3z = 1.
Cách 3: Giải theo phương pháp Gauss-Jordan: T phương pháp khử Gauss thêm 3 bước biến đổi na
để đưa A v ma trận đơn vị, mỗi bước 0,25 điểm.
Câu 3.
a) (1,0 điểm):
+ Định thc ca ma trn có các cột là các véc tơ u
1
,u
2
,u
3
lOMoARcPSD|27790909
. (0,5 điểm)
+ Gii h ta được . (0,25 điểm)
+ Vy tọa độ ca v trong cơ sở . (0,25 điểm)
Câu 4
(a) (1,0 điểm)
+ Phương trình đặc trưng |C λI
3
| = 0:
(0,25 điểm) (0,5 điểm)
+ Giá tr riêng λ
1
= −1 (bi 2) và λ
2
= 2 (bi 1) b) (1,0
đim):
+ Vi λ
1
= −1, các véc tơ riêng là nghiệm khác không ca hpt
(0,25 điểm)
x
1
+ x
2
+ x
3
= 0
x
1
+ x
2
+ x
3
= 0 x
3
= −x
1
x
2
(0,25 điểm)
x
1
+ x
2
+ x
3
= 0
Cho x
1
= 1, x
2
= 0 thì x
3
= −1 hoc x
1
= 0, x
2
= 1 thì x
3
= −1 nên ta chọn được 2 véc tơ riêng
ĐLTT là
p
1
= (1,0,1), p
2
= (0,1,1). (0,25 điểm)
+ Vi λ
2
= 2, chọn 1 véc tơ riêng p
3
= (1,1,1) t là nghim khác không ca hpt: (0,25 điểm)
2x
1
+ x
2
+ x
3
= 0
x
1
2x
2
+ x
3
= 0 x
1
= x
2
= x
3
x
1
+ x
2
2x
3
= 0
+ Suy ra r(A) = 3 = r(S) nên h S độc lp tuyến tính.
(0,25 điểm)
+ Vì dim(R
3
) = 3 = "S phn t ca S" nên S là một cơ sở ca R
3
.
(b) (1,0 điểm): Biu din
(0,25 điểm)
v = αu
1
+ βu
2
+ γu
3
(0,25 điểm)
α + 2β 7γ = 2
−2α + 3β 9γ = 1
3α + 5β + 2γ = 4
(0,25 điểm)
lOMoARcPSD|27790909
6
+ Ma trn P và ma trn chéo cn tìm là
. (0,25 điểm)
lOMoARcPSD|27790909
Câu 5.
a. (1 điểm) Gi thiết A
T
= −A suy ra
det(A
T
) = det(−A)
T các tính cht của định thc chúng ta luôn có
(0,25 điểm)
det(A
T
) = det(A) det(−A) = (−1)
n
· det(A),
nên đẳng thức ban đầu suy ra
(0,25 điểm)
det(A) = (−1)
n
· det(A).
Mt khác do n l nên đẳng thc trên tr thành
(0,25 điểm)
det(A) = −det(A) ⇒ det(A) = 0
b. (1 điểm) Biến đổi A thành tng ca hai ma trn giao hoán:
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
T đó:
(0,25 điểm)
Vi chú ý rng D
k
= 0, vi mi k ≥ 2, nên
(0,25 điểm)
T đó suy ra:
(0,25 điểm)
Nếu A
2020
= 0 thì a = c = 0 suy ra A
2
= 0.
Nếu A
n
= I thì a
n
= c
n
= 1 a
n1
.b = 0. Suy ra a = c = 1,b = 0 hoc a = c = −1,b = 0
(n chn).
Trưởng b môn/khoa
Giảng viên ra đề
TS. Phan Quang Sáng
GV B môn Toán
TRƯỜNG ĐẠI HC PHENIKAA ĐỀ THI HC PHN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Hc k 1, Năm học 2020–2021 (Đợt hc...)
B MÔN TOÁN
H đào tạo: Chính quy, Bc học: Đại hc
Tên hc phần: Đại s tuyến tính. S TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thi gian làm bài: 90 phút (Không k thời gian phát đề)
Đề s 5
Câu 1 (2,0 điểm). Cho ma trn
lOMoARcPSD|27790909
.
Tính
(a) 2A + A
T
;
(b) A
T
A, đó A
T
là ma trn chuyn v ca A.
Câu 2 (2,0 điểm). Gii h phương trình sau:
x + 5y + 9z = −1
4x + 5y + 13z = 4
5x + 6y + 6z = 9. 3
Câu 3 (2,0 điểm). Cho h véc tơ S = {v
1
,v
2
,v
3
} trong không gian véc tơ R với v
1
= (0,1,1), v2 = (1,0,1)
v3 = (1,1,0).
(a) Chng minh rng h S độc lp tuyến tính. T đó chỉ ra rng S là một cơ sở ca R
3
.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ v = (1,1,1) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trn sau
0 −5 −2
C = 2 7 2 .
−2 −3 2
(a) Tìm các giá tr riêng ca C.
(b) Tìm ma trn P sao cho P
1
CP là ma trn chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho các ma trn
.
(a) Đặt E = D M. Chng minh rng: EM = ME D
2
= E
2
+ 2ME + M
2
.
(b) Tính D
2021
.
——————————————————————————————
Ghi chú:
- Sinh viên không được s dng tài liu;
- Cán b coi thi không được gii thích gì thêm.
Đáp án Đề s 5
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa.
Câu 1. (a) Ta có
lOMoARcPSD|27790909
1 1 2 1 −1 0
2A + A
T
= 2 −1 −1 0 + 1 −1 −1 (0,5 điểm)
1 5 9 −1
A = −4 5 13 , b = 4 . 5
6 6
9
nên h đã cho là hệ Crammer. (0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm) + H đã cho có nghiệm duy nht
(0,5 điểm) Câu 3 (2,0 điểm)
(a) + Xét định thưc ma trận gm các cột là các véc tơ v
1
,v
2
,v
3
:
.
Vy h S độc lp tuyến tính.(0,75 điểm)
+ Vì dimR
3
= 3 = ”S phn t ca h S” nên S là một cơ sở ca R
3
(0,25 điểm)
0 −1 1
2
0
1
(b) Ta có
(0,5 điểm)
Câu 2. Ma trn h s
(1 điểm)
lOMoARcPSD|27790909
(b) + Để tính ma trn to độ ca vector u = (1,1,1) ∈R
3
đối với cơ sở (h) S, ta xét phương trình
vector sau:
v = c1v1 + c2v2 + c3v3. (0,25 điểm)
3
Phương trình vector này cho ta hệ phương trình tuyến tính sau:
c2 + c3 = 1
c
1
+ c
3
= 1 (0,25 điểm)
. (0,25 điểm)
Câu 4.
(a) :
+ Đa thức đặc trưng: D(t) = −t
3
+ 9t
2
26t + 24. (0,75 điểm) + D(t) = 0 khi và ch khi t ∈{2,3,4}.
(0,25 điểm)
(b) :
+ Xét t
1
= 2: gii h phương trình
Chn một véc tơ riêng tương ứng vi t
1
v
1
= (3,2,2).
+ Xét t
2
= 3: gii h phương trình
(0,25 điểm)
Chn một véc tơ riêng tương ứng vi t
2
v
2
= (1,1,1).
+ Xét t
3
= 4: gii h phương trình
(0,25 điểm)
c
1
+ c
2
= 1 +) Gii h
phương trình này cho ta nghiệm c
1
= c
2
= c
3
= 1/2.
+) Như vậy, ma trn to độ ca vector v đối với cơ sở S
(0,25 điểm)
lOMoARcPSD|27790909
Chn một véc tơ riêng tương ứng vi t
3
v
3
= (2,2,1).
+ H véc tơ {v
1
,v
2
,v
3
} độc lp tuyến tính.
Kết lun:
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
Câu 5. (a) + Ta có
1 0 0
E = 0 −1 0
0 0 1
=⇒ ME = M = EM (0,5 điểm)
4
+ Chng minh
D
2
= (E + M)
2
= (E + M)(E + M)
= E
2
+ EM + ME + M
2
= E
2
+ 2ME + M
2
(0,5 điểm)
(b) + Ta có M
2
= O. (0,25 điểm)
+ Vì M E giao hoán (ME = EM) nên ta có
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
Trưởng b môn/khoa Giảng viên ra đề
TS. Phan Quang Sáng GV B môn Toán
lOMoARcPSD|27790909
TRƯỜNG ĐẠI HC PHENIKAA ĐỀ THI HC PHN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Hc k 1, Năm học 2020–2021 (Đợt hc...)
B MÔN TOÁN
H đào tạo: Chính quy, Bc học: Đại hc
Tên hc phần: Đại s tuyến tính. S TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thi gian làm bài: 90 phút (Không k thời gian phát đề)
Đề s 6
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trn sau:
.
Tính
(a) A + 2B
T
, đó B
T
là ma trn chuyn v ca B;
(b) AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Gii h phương trình sau:
x
1
2x
2
+ x
3
= −2
2x
1
+ 3x
2
x
3
= 6
x
1
+ x
2
+ 2x
3
= −2. Câu 3
(2,0 điểm). Trong R3 cho h véc tơ
S = {u
1
= (1,2,3);u
2
= (2,3,5);u
3
= (7,9,2)}.
(a) Chng minh rng h S độc lp tuyến tính. T đó chỉ ra rng S là một cơ sở ca R
3
.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ v = (2,4,8) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trn sau
.
(a) Tìm các giá tr riêng ca C.
(b) Tìm ma trn P sao cho P
1
CP là ma trn chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho các ma trn
.
(a) Đặt E = D M. Chng minh rng: EM = ME D
2
= E
2
+ 2ME + M
2
.
(b) Tính D
2021
.
lOMoARcPSD|27790909
——————————————————————————————
Ghi chú:
- Sinh viên không được s dng tài liu;
- Cán b coi thi không được gii thích gì thêm.
Đáp án Đề s 6
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa.
Câu 1 (2,0 điểm). (a) Ta có
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(b) Ta có
(1,0 điểm)
Câu 2.
+ Ma trn h s m rng
+ Kh Gauss
2
3
1
1
1
2
(0.5
đim)
+ Thế ngược
2
1
0
1
3
1
(0.5
đim)
0
1
0
0
0
(0.5
đim)
1 −1
+ Nghim x
1
= 1, x
2
= 1 x
3
= −1.
(0.5
đim)
Chú ý, nếu dùng đnh thc hay ma trn nghịch đảo hay biến đổi thông thường, các bước tính và điểm
tương ứng cho như trên. Câu 3.
(a) + Định thc ca ma trn có các cột là các véc tơ u
1
,u
2
,u
3
.
(0,5 điểm)
+ Do đó hệ S độc lp tuyến tính. (0,25 điểm)
+ Vì dim(R
3
) = 3 = "S phn t ca S" nên S là một cơ sở ca R
3
. (b) Ta có
(0,25 điểm)
lOMoARcPSD|27790909
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
+ Gii h ta được . (0,25 điểm) + Vy tọa độ ca v
trong cơ sở . (0,25 điểm)
Câu 4 (2,0 điểm).
3
(a) :
+ Đa thức đặc trưng: D(t) = −t
3
+ 10t
2
27t + 18. (0.75 điểm) + D(t) = 0 khi và ch khi t
∈{1,3,6}. (0,25 điểm)
(b) :
+ Xét t
1
= 1: gii h phương trình
Chn một véc tơ riêng tương ứng vi t
1
v
1
= (−1,1,0). + Xét
t
2
= 3: gii h phương trình
(0,25 điểm)
Chn một véc tơ riêng tương ứng vi t
2
v
2
= (−1,1,2). + Xét
t
3
= 6: gii h phương trình
(0,25 điểm)
Chn một véc tơ riêng tương ứng vi t
3
v
3
= (1,1,1).
+ H véc tơ {v
1
,v
2
,v
3
} độc lp tuyến tính.
+ Kết lun:
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
Câu 5. (a) + Ta có
=⇒
+ Chng minh
1 0 0
E = 0 −1 0
0 0 1
ME = M = EM
D
2
= (E + M)
2
= (E + M)(E + M)
= E
2
+ EM + ME + M
2
(0,5 điểm)
= E
2
+ 2ME + M
2
(0,5 điểm)
lOMoARcPSD|27790909
(b) + Ta có M
2
= O.
(0,25 điểm)
+ Vì M E giao hoán (ME = EM) nên ta có
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
TRƯỜNG ĐẠI HC PHENIKAA ĐỀ THI HC PHN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Hc k 1, Năm học 2020–2021 (Đợt hc...)
B MÔN TOÁN
H đào tạo: Chính quy, Bc học: Đại hc
Tên hc phần: Đại s tuyến tính. S TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thi gian làm bài: 90 phút (Không k thời gian phát đề)
Đề s 7
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hai ma trn A B xác định như sau:
.
(a) Tìm ma trn D sao cho A D = B.
(b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Gii h phương trình sau:
3x
1
+ 5x
2
+ 7x
3
= 2
2x1 + 4x2 + 9x3 =
5
S = {u
1
= (1,2,3);u
2
=
(2,3,5);u
3
= (−7,9,2)}.
(a) Chng minh rng h S độc lp tuyến tính. T đó chỉ ra rng S là một cơ sở ca R
3
.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ v = (2,1,4) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trn
4x
1
+ 3x
2
Câu 3 (2,0 điểm). Trong R
3
cho h véc tơ
5x
3
=
9.
lOMoARcPSD|27790909
.
(a) Tìm các giá tr riêng ca C.
(b) Tìm ma trn P sao cho P
1
CP là ma trn chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Gi A là ma trn vuông, thc cp n tho mãn tính cht sau A
1
= 3A. Hãy tính
det(A
2021
A).
——————————————————————————————
Ghi chú:
- Sinh viên không được s dng tài liu;
- Cán b coi thi không được gii thích gì thêm.
Đáp án Đề s 7
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa.
Câu 1
(a) Ta có
D = A B
(0,5
đim)
(b) Ta có
1
2
1
1
1
1
1
1
1
(0,5
đim)
(1,0 điểm)
Câu 2 (2,0 điểm).
Câu 3.
(a) + Định thc ca ma trn có các cột là các véc tơ u
1
,u
2
,u
3
. (0,5 điểm)
lOMoARcPSD|27790909
+ Gii h ta được . (0,25 điểm)
+ Vy tọa độ ca v trong cơ sở . (0,25 điểm)
Câu 4. (a) + Đa thức đặc trưng
|C λI
3
| = −λ
3
6λ
2
+ λ + 6.
(0,5 điểm)
+ Giá tr riêng λ
1
= 1; λ
2
= −6 λ
3
= −1
(0,5 điểm)
(b) + Vi λ
1
= 1, véc tơ riêng u
1
= k(−1,1,4) vi k 6= 0.
(0,25 điểm)
+ Vi λ
2
= −6, véc tơ riêng u
2
= k(1,1,3) vi k 6= 0.
(0,25 điểm)
3
+ Vi λ
3
= −1, véc tơ riêng u
3
= k(0,1,1) vi k 6= 0. + Ma
trn P cn tìm là
(0,25 điểm)
. (0,25 điểm)
Câu 5. Nhân hai vế của phương trình 3A = A
1
vi A ta có
, (0,5 điểm)
vi I là ma trận đơn vị cp n.
T đây ta suy ra
(0,5 điểm)
. (0,5 điểm)
Do đó, ta tính được
(0,5 điểm)
Trưởng b môn/khoa
Giảng viên ra đề
TS. Phan Quang Sáng
GV B môn Toán
+ Do đó hệ S độc lp tuyến tính.
(0,25 điểm)
+ Vì dim(R
3
) = 3 = "S phn t ca S" nên S là một cơ sở ca R
3
. (b) Ta có
(0,25 điểm)
v = αu
1
+ βu
2
+ γu
3
(0,25 điểm)
α + 2β 7γ = 2
−2α + 3β 9γ = 1
3α + 5β + 2γ = 4
(0,25 điểm)
lOMoARcPSD|27790909
TRƯỜNG ĐẠI HC PHENIKAA ĐỀ THI HC PHN
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Hc k 1, Năm học 2020–2021 (Đợt hc...)
B MÔN TOÁN
H đào tạo: Chính quy, Bc học: Đại hc
Tên hc phần: Đại s tuyến tính. S TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thi gian làm bài: 90 phút (Không k thời gian phát đề)
Đề s 8
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trn
.
Tính
(a) 2A + A
T
;
(b) AB, đó A
T
là ma trn chuyn v ca A.
Câu 2 (2,0 điểm). Gii h phương
trình sau:
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian R
3
cho h véc tơ:
V = {v
1
= (3,4,2); v
2
= (−2,0,7); v
3
= (4,5,0)}.
(a) Kim tra xem h véc tơ trên là độc lp tuyến tính hay ph thuc tuyến tính?
(b) Biu din tuyến tính véc tơ x = (10,6,3) qua các véc tơ của h V .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trn sau:
.
(a) Tìm các giá tr riêng ca C.
(b) Tìm ma trn P sao cho P
1
CP là ma trn chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho A B là các ma trn vuông cp n tho mãn AB = BA B
2021
= 0.
(a) Chng minh rng nếu A
2020
= 0 thì tn ti s t nhiên k để (A + B)
k
= 0.
(b) Chng minh rng r(I + A + B) = r(I A B) = n (trong đó r(M) là hng ca ma trn M).
(c) Chng minh rng nếu A là kh nghch thì A + B là kh nghch.
——————————————————————————————
Ghi chú:
- Sinh viên không được s dng tài liu;
- Cán b coi thi không được gii thích gì thêm.
+
+
5x
2
4x
2
+
+
7x
3
9x
3
=
=
2
5
4x
1
+
3x
2
5x
3
=
9.
lOMoARcPSD|27790909
Đáp án Đề s 8
SV giải đúng bằng cách khác vn được điểm tối đa.
Câu 1. Ta có (a)
11 + 32
1 −1
2
3
1
(0,5
đim)
(b) Ta có
.
(0,5
đim)
(1,0
đim)
Câu 2 (2,0 điểm).
Câu 3 (2,0 điểm).
a.
+ Xét ma trn:
(0,5 điểm)
(Có th tính det(A) = 237 6= 0)
+ Suy ra r(A) = 3 ⇒ h véc tơ V là độc lp tuyến tính.
(0,25 điểm)
+ Vì dim(R
3
) = 3 = "S phn t ca V " nên V là một cơ sở ca R
3
. b. (1,0
đim):
Gi s tn ti k
1
,k
2
,k
3
R sao cho x = k
1
.v
1
+ k
2
.v
2
+ k
3
.v
3
. Suy ra
(0,25 điểm)
Câu 4. (2,0 điểm)
(a)
3
+ Viết được phương trình đặc trưng và tìm được tr riêng:
lOMoARcPSD|27790909
(0,75 điểm)
(0,25 điểm)
(b)
+ Tìm vector riêng ng vi tr riêng λ = −1: Gi x = (x
1
,x
2
,x
3
) là vector
riêng cn tìm. Nó tho mãn phương trình sau
(A λI)x = 0. Phương
trình này tương ứng vi h phương trình sau:
2x11 + x22 = 03
x + x + x = 0
x
2
+ 2x
3
= 0 Nghim ca h phương trình này có dạng x
1
= t,
x
2
= −2t, và x
3
= t, vi t là s thc khác không tu ý. Do đó, vector riêng có dạng tng quát
x = (t,2t,t) = t(1,2,1). Cho t = 1 ta có vector riêng đơn giản nht
(và là một cơ sở) ca không gian riêng ng vi tr riêng λ = −1:
p
1
= (1,2,1). (0,25 điểm)
+ Tìm vector riêng ng vi tr riêng λ = 1:
H phương trình tương ứng có dng sau:
x12 = 02 3
x x + x = 0
x
2
= 0
Nghim ca h phương trình này có dng x
1
= s, x
2
= 0, và x
3
= −s vi s s thc khác không tu ý. Do
đó, vector riêng có dạng tng quát
x = (s,0,s) = s(1,0,1).
Cho s = 1 ta vector riêng đơn gin nht (và một sở) ca không gian riêng ng vi tr riêng λ =
1:
p
2
= (1,0,1). (0,25 điểm)
+ Tìm vector riêng ng vi tr riêng λ = 2:
H phương trình tương ứng có dng sau:
1x1 + x22 = 03
x 2x + x = 0
x
2
x
3
= 0
lOMoARcPSD|27790909
4
Nghim ca h phương trình này có dạng x
3
= x
2
= x
1
= k vi k là s thc khác không tu ý.
Do đó, vector riêng có dạng tng quát
x = (k,k,k) = k(1,1,1).
Cho k = 1 ta vector riêng đơn gin nht (và là một cơ sở) ca không gian riêng ng vi tr riêng λ =
2:
p
3
= (1,1,1).
+ Viết được ma trn P m chéo hoá ma trn C có dng:
(0,25 điểm)
. (0,25 điểm)
Câu 5 (2,0 điểm).
a. Có: .
Do đó chọn k = 2021 + 2020 = 4041 suy ra đpcm. (0,5 điểm)
b. I = I (A + B)
k
= (I A B)(I + (A + B) + ··· + (A + B)
k1
).
Suy ra det(I AB).det(I +(A+B)+···+(A+B)
k1
) = det(I) = 1. Suy ra det(I AB) 6=
0 ⇒ r(I A B) = n. Tương tự r(I + A + B) = n. (0,75 điểm) c. Có A2021 = A2021 + B2021 = (A + B)(A2020
A2019.B + ··· + B2020). Vì A kh nghch nên det(A) 6= 0, suy ra det(A + B) 6= 0. (0,75 điểm)
Trưởng b môn/khoa
Giảng viên ra đề
TS. Phan Quang Sáng
GV B môn Toán
| 1/35

Preview text:

lOMoARcPSD| 27790909
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 1
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trận .
(a) Tính A + 2AT, trong đó AT là ma trận chuyển vị của A. (b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:
x − 2y + 3z = 1
x + 2y z = 1
32x + y − 3z = 0.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian R cho hệ véc tơ:
V = {v1 = (3,4,2); v2 = (−2,0,7); v3 = (4,−5,0)}.
(a) Kiểm tra xem hệ véc tơ trên là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
(b) Biểu diễn tuyến tính véc tơ x = (10,6,−3) qua các véc tơ của hệ V .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận .
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P−1CP là ma trận chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Tìm A12 biết .
—————————————————————————————— lOMoARcPSD| 27790909 Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Đáp án Đề số 1
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. Câu 1. Ta có (a) 1 điểm A + 2AT =−2 3 −1 + 2 2 3 2 (0,5 điểm) 1 2 −3 1 −2 −3 −3 2 4 −3 −1 4 3 −2 −9 −9 0 12 =2 9 3 (0,5 điểm) (b) Ta có AB =−2 3 −1 · 3 2 (0,25 điểm) 1 2 −3 1 2 −3 2 4 −1 −2 10 12 −1 −10 Câu 2 (2,0 điểm)
Cách 1: Giải theo công thức Cramer:
- Sinh viên xác định được ma trận hệ số: (0.25 đ) =8 4 (0,75 điểm) .
- Sinh viên xác định được định thức của A: (0.25 đ)
det(A) = −16 6= 0.
- Sinh viên viết và tính định thức của A1: (0.25 đ)
Downloaded by M? M? (nguyenmo081102@gmail.com) lOMoARcPSD| 27790909
- Sinh viên tính được nghiệm x: (0.25 đ) .
- Sinh viên viết và tính định thức của A2: (0.25 đ)
- Sinh viên tính được nghiệm y: (0.25 đ) . 3 lOMoARcPSD| 27790909
- Sinh viên viết và tính định thức của A3: (0.25 đ)
- Sinh viên tính được nghiệm z: (0.25 đ) .
Cách 2: Giải theo phương pháp khử Gauss:
- Viết được mở trận mở rộng (bổ sung) A¯: (0.25 đ) . - Bước 1: H1 - H2: (0.25 đ) . - Bước 2: 2H1 - H3: (0.25 đ) . - Bước 3: 5*H2 - 4*H3: (0.25 đ) .
- Viết lại được hệ phương trình mới: (0.25 đ)
- Tính được z từ hàng cuối: (0.25 đ) .
- Tính được y từ hàng hai: (0.25 đ) .
- Tính được x: (0.25 đ) .
Cách 3: Giải theo phương pháp Gauss-Jordan: Từ phương pháp khử Gauss thêm 3 bước biến đổi nữa
để đưa A về ma trận đơn vị, mỗi bước 0,25 điểm. Câu 3. a) (1,0 điểm): Xét ma trận: 3 4 2 A =−2 0 7 (0,25 điểm) 4 −5 0 4 lOMoARcPSD| 27790909 3 4 2 0 0 237
Suy ra r(A) = 3 ⇒ nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. (0.25 đ)
Cách 2: Tính định thức của ma trận các véc tơ hàng (hoặc cột): det(A) = 237 6= 0 (0.75 đ)
Suy ra r(A) = 3 ⇒ và do đó r(V ) = 3 nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. b) (1,0 (0.25 đ) điểm):
Giả sử x = k1v1 + k2v2 + k3v3, k1,k2,k3 ∈ R (0.25 đ) →0 8 25 (0,25 điểm) 0 −31 −8 →0 8 25 (0,25 điểm) 3 4 2 (0.25 đ) (0.25 đ) Kết luận . (0.25 đ) Câu 4. a) (1,0 điểm): + Đa thức đặc trưng
|C λI3| = −λ3 − 4λ2 + 20λ + 48. (0,5 điểm) + Giá trị riêng λ (0,5 điểm)
1 = −2; λ2 = 4 và λ3 = −6 b) (1,0 điểm):
+ Với λ1 = −2, véc tơ riêng u1 = k(1,0,1) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Với λ2 = 4, véc tơ riêng u2 = k(1,1,0) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Với λ3 = −6, véc tơ riêng u3 = k(0,1,1) với k 6= 0. + Ma (0,25 điểm)
trận P và ma trận chéo cần tìm là . (0,25 điểm) 5 lOMoARcPSD| 27790909 Câu 5. Viết được: . (0.5 đ) Tính được: . (1.0 đ) Kết quả . (0.5 đ)
Chú ý: nếu chéo hoá rồi tính, các bước và điểm tương tự cho như trên. Trưởng bộ môn/khoa Giảng viên ra đề TS. Phan Quang Sáng GV. Bộ môn Toán lOMoARcPSD| 27790909
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 2
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hai ma trận A B: .
(a) Hãy xác định ma trận C sao cho A + C = B.
(b) Tính D = AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:
−2x + y z =
2 x − 2y + z = 2
3−x + y − 2z = 2.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian R cho hệ véc tơ:
V = {v1 = (4,−2,3); v2 = (0,3,−5); v3 = (6,−2,0)}.
(a) Kiểm tra xem hệ véc tơ trên là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
(b) Biểu diễn tuyến tính véc tơ x = (7,9,−2) qua các véc tơ của hệ V .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận .
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P−1CP là ma trận chéo và đưa ra ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Tìm A20 biết .
—————————————————————————————— Ghi chú: lOMoARcPSD| 27790909
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Đáp án Đề số 2
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. . Câu 1. (a) 1 điểm
A + C = B C = B A (0,25 điểm) 1 2 1 2 1 2 C =2 1 2 − 1 2 1 (0,25 điểm) −1 1 −1 1 2 1 2 1 2 (b) 1 điểm −1 1 −1 C =1 −1 1 . (0,5 điểm) D = AB =1 2 1 2
1 2 . (0,25 điểm) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 6 9 6 6 9 6
Câu 2. Ma trận hệ số và véc tơ cột vế phải: (0,25 điểm) =6 6 6 . (0,75 điểm) .
+ det(A) = −4 6= 0 nên hệ đã cho là hệ Crammer. (0,5 điểm) lOMoARcPSD| 27790909 (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm) 3 Câu 3. a) (1,0 điểm): Xét ma trận: A =0 3 −5 (0,25 điểm) 4 −2 3 6 −2 0 4 −2 3 →0 3 −5 (0,25 điểm) 0 2 −9 4 −2 3 0 0 −17
Suy ra r(A) = 3 ⇒ nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. (0.25 đ)
Cách 2: Tính định thức của ma trận các véc tơ hàng (hoặc cột): det(A) = −34 6= 0 (0.75 đ)
Suy ra r(A) = 3 ⇒ và do đó r(V ) = 3 nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. b) (1,0 (0.25 đ) điểm):
Giả sử x = k1v1 + k2v2 + k3v3, k1,k2,k3 ∈ R (0.25 đ) →0 3 −5 (0,25 điểm) lOMoARcPSD| 27790909 4k1 + 6k3 = 7 −2k1 + 3k2 − 2k3 = 9 . (0.25 đ) 3k1 − 5k2 = −2 k312 = 152/17 ⇔ k = 98/17 (0.25 đ) k = −163/17 Kết luận . (0.25 đ) Câu 4. (a) (1,0 điểm): + Đa thức đặc trưng
|C λI3| = −λ3 + 12λ2 − 44λ + 48 (0,75 điểm) + Giá trị riêng λ (0,25 điểm)
1 = 2; λ2 = 4 và λ3 = 6 b) (1,0 điểm):
+ Với λ1 = 2, véc tơ riêng u1 = k(1,0,1) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Với λ2 = 4, véc tơ riêng u2 = k(1,1,0) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Với λ3 = 6, véc tơ riêng u3 = k(0,1,1) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Ma trận P và ma trận chéo cần tìm là . (0,25 điểm) Câu 5. Viết được: . (0.5 đ) 4 Tính được: . (1.0 đ) Kết quả . (0.5 đ)
Chú ý: nếu chéo hoá rồi tính, các bước và điểm tương tự cho như trên. Trưởng bộ môn/khoa Giảng viên ra đề TS. Phan Quang Sáng GV. Bộ môn Toán lOMoARcPSD| 27790909
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 3
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trận sau: .
Tính các ma trận AT + 2B BA, trong đó AT là ma trận chuyển vị của A.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:
4x + 3y + z = 2
−5x + 2y + 8z = −3
x + 3y + 5z = 7.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong trong không gian véc tơ R3 cho hệ véc tơ
S = {v1 = (0,1,1); v2 = (1,0,1); v3 = (1,1,0)}.
(a) Chứng minh hệ S độc lập tuyến tính. Từ đó suy ra rằng S là một cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ u = (1,2,1) trong cơ sở S.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận .
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P−1CP là ma trận chéo và đưa ra ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho hai ma trận vuông, thực A B thoả mãn các điều kiện sau:
A2021 = 0 và AB = A + B.
Chứng minh rằng det(B) = 0.
—————————————————————————————— lOMoARcPSD| 27790909 Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Đáp án Đề số 3
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. Câu 1. (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,75 điểm)
Câu 2. Ma trận hệ số và véc tơ cột vế phải: (0,25 điểm) .
+ det(A) = 26 6= 0 nên hệ đã cho là hệ Crammer. (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm) Câu 3. a) (1,0 điểm):
Cách 1: Tính định thức của ma trận các véc tơ cột (hoặc hàng): (0,5 điểm)
Suy ra r(A) = 3 ⇒ và do đó
nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. (0.25 đ)
Số chiều của R3. bằng 3, và V gồm 3 véc tơ ĐLTT nên V là một cơ sở của R3. (0.25 đ) lOMoARcPSD| 27790909 3
Cách 2: Ta xét phương trình véc tơ sau (0,25 điểm):
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 (0,25 điểm) c2 + c3 = 0
c1 + c2 + c3 = 0 (0,25 điểm) c1 +1 c2 = 02 3
c = c = c = 0 (0,25 điểm)
(Có thể giải trực tiếp hệ trên hoặc tính định thức ma trận hệ số det(A) = 2 6= 0 nên hệ có nghiệm duy
nhất c1 = c2 = c3 = 0)
Do đó hệ véc tơ là ĐLTT.
Số chiều của R3 bằng 3, và V gồm 3 véc tơ ĐLTT nên V là một cơ sở của R3. (0.25 đ) (b) (1,0 điểm) Giả sử
u = c1v1 + c2v2 + c3v3. (0,25 điểm) c2 + c3 = 1
c1 + c2 = 1 c1 (0,25 điểm)
= 1, c2 = 0, c3 = 1
Tọa độ của u trong cơ sở S là (1,0,1) Hoặc (0.25 đ)
tọa độ cột của u là: c1 + c3 = 2 (0,25 điểm) . Câu 4. (a) (1,0 điểm):
+ Phương trình đặc trưng |C λI3| = 0:
λ3 − 6λ2 + λ + 6 = 0 (0,75 điểm)
+ Giá trị riêng λ1 = −6; λ2 = 1 và λ3 = 1 (0,25 điểm) b) (1,0 điểm):
+ Với λ1 = −6, véc tơ riêng u1 = k(1,−1,3) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Với λ2 = 4, véc tơ riêng u2 = k(0,1,1) với k 6= 0. (0,25 điểm) lOMoARcPSD| 27790909
+ Với λ3 = 6, véc tơ riêng u3 = k(−1,1,4) với k 6= 0. + Ma (0,25 điểm)
trận P và ma trận chéo cần tìm là . (0,25 điểm)
Câu 5. Từ điều kiện A2021 = 0 ta suy ra det(A2021) = [det(A)]2021 = 0, (0,5 điểm) từ đó det(A) = 0. (0,5 điểm)
Mặt khác, từ điều kiện A + B = AB ta suy ra B = A(B I) (0,5 điểm)
Do đó, det(B) = det(A(B I)) = det(A)det(B I) = 0 (Đpcm). (0,5 điểm) Trưởng bộ môn/khoa Giảng viên ra đề TS. Phan Quang Sáng GV Bộ môn Toán
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 4
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trận .
(a) Tính 2A + AT, trong đó AT là ma trận chuyển vị của A. (b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
x − 2y − 3z = 0
3x + 2y + z = 2
3x + y3− 2z = 0.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian véc tơ R cho hệ véc tơ
S = {u1 = (1,−2,3);u2 = (2,3,5);u3 = (−7,−9,2)}.
(a) Chứng minh rằng hệ S độc lập tuyến tính. Từ đó chỉ ra rằng S là một cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ v = (2,1,4) trong cơ cở S. Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận sau: 0 1 1 lOMoARcPSD| 27790909 C = 1 0 1 . 1 1 0
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P−1CP là ma trận chéo và đưa ra ma trận chéo đó? Câu 5 (2,0 điểm).
(a) Cho A là ma trận phản đối xứng cấp n (tức A là ma trận thực vuông cấp n thỏa
mãn AT = −A). Chứng minh rằng nếu n lẻ thì det(A) = 0. (b) Cho ma trận cấp 2: .
❼ Chứng minh rằng nếu A2020 = 0 thì A2 = 0.
❼ Tìm a,b,c sao cho tồn tại n để An = I, với I là ma trận đơn vị cấp 2.
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. lOMoARcPSD| 27790909 Đáp án Đề số 4
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. Câu 1. Ta có (a) 1 điểm 2 (0,5 2A + AT = −4 −6 điểm) 3 = −2 (0,5 −9 (b) Ta có điểm) 2 2 (0,25 −2 điểm) (0,75 điểm) Câu 2.
Cách 1: Giải theo công thức Cramer:
- Sinh viên xác định được ma trận hệ số: (0.25 đ) .
- Sinh viên xác định được định thức của A: (0.25 pt) det(A) = −14 6= 0.
- Sinh viên viết và tính định thức của A1: (0.25 đ) .
- Sinh viên tính được nghiệm x: (0.25 đ) .
- Sinh viên viết và tính định thức của A2: (0.25 đ) . lOMoARcPSD| 27790909
- Sinh viên tính được nghiệm : (0.25 đ) .
- Sinh viên viết và tính định thức của A3: (0.25 đ) .
- Sinh viên tính được nghiệm z: (0.25 đ) .
Cách 2: Giải theo phương pháp khử Gauss:
- Viết được mở trận mở rộng (bổ sung) A¯: (0.25 đ) . - Bước 1: H1 - H2: (0.25 đ) . - Bước 2: 3*H1 - H3: (0.25 đ) . - Bước 3: 7*H2 - H3: (0.25 đ) .
- Viết lại được hệ phương trình mới: (0.25 đ)
- Tính được z từ hàng cuối: (0.25 đ)
−14z = −14 → z = 1.
- Tính được y từ hàng hai: (0.25 đ)
y − 3z = −2 → y = −3z + 2 = −1.
- Tính được x từ hàng đầu: (0.25 đ)
x − 2y − 3z = 0 → x = 2y + 3z = 1.
Cách 3: Giải theo phương pháp Gauss-Jordan: Từ phương pháp khử Gauss thêm 3 bước biến đổi nữa
để đưa A về ma trận đơn vị, mỗi bước 0,25 điểm. Câu 3. a) (1,0 điểm):
+ Định thức của ma trận có các cột là các véc tơ u1,u2,u3 4 lOMoARcPSD| 27790909 . (0,5 điểm)
+ Suy ra r(A) = 3 = r(S) nên hệ S độc lập tuyến tính. (0,25 điểm)
+ Vì dim(R3) = 3 = "Số phần tử của S" nên S là một cơ sở của R3. (0,25 điểm)
(b) (1,0 điểm): Biểu diễn v = αu (0,25 điểm) 1 + βu2 + γu3
α + 2β − 7γ = 2 (0,25 điểm) ⇔
−2α + 3β − 9γ = 1
3α + 5β + 2γ = 4 + Giải hệ ta được . (0,25 điểm)
+ Vậy tọa độ của v trong cơ sở . (0,25 điểm) Câu 4 (a) (1,0 điểm)
+ Phương trình đặc trưng |C λI3| = 0: (0,25 điểm) (0,5 điểm)
+ Giá trị riêng λ1 = −1 (bội 2) và λ2 = 2 (bội 1) b) (1,0 (0,25 điểm) điểm):
+ Với λ1 = −1, các véc tơ riêng là nghiệm khác không của hpt
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
x3 = −x1 − x2 (0,25 điểm)
x1 + x2 + x3 = 0
Cho x1 = 1, x2 = 0 thì x3 = −1 hoặc x1 = 0, x2 = 1 thì x3 = −1 nên ta chọn được 2 véc tơ riêng ĐLTT là
p1 = (1,0,−1), p2 = (0,1,−1). (0,25 điểm)
+ Với λ2 = 2, chọn 1 véc tơ riêng p3 = (1,1,1) từ là nghiệm khác không của hpt: (0,25 điểm)
−2x1 + x2 + x3 = 0
x1 − 2x2 + x3 = 0
x1 = x2 = x3
x1 + x2 − 2x3 = 0 lOMoARcPSD| 27790909
+ Ma trận P và ma trận chéo cần tìm là . (0,25 điểm) 6 lOMoARcPSD| 27790909 Câu 5.
a. (1 điểm) Giả thiết AT = −A suy ra
det(AT) = det(−A) (0,25 điểm)
Từ các tính chất của định thức chúng ta luôn có
det(AT) = det(A) và det(−A) = (−1)n · det(A), (0,25 điểm)
nên đẳng thức ban đầu suy ra
det(A) = (−1)n · det(A). (0,25 điểm)
Mặt khác do n lẻ nên đẳng thức trên trở thành
det(A) = −det(A) ⇒ det(A) = 0 (0,25 điểm)
b. (1 điểm) Biến đổi A thành tổng của hai ma trận giao hoán: (0,25 điểm) Từ đó: (0,25 điểm)
Với chú ý rằng Dk = 0, với mọi k ≥ 2, nên (0,25 điểm) Từ đó suy ra: (0,25 điểm)
❼ Nếu A2020 = 0 thì a = c = 0 suy ra A2 = 0.
❼ Nếu An = I thì an = cn = 1 và an−1.b = 0. Suy ra a = c = 1,b = 0 hoặc a = c = −1,b = 0 (n chẵn). Trưởng bộ môn/khoa Giảng viên ra đề TS. Phan Quang Sáng GV Bộ môn Toán
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 5
Câu 1 (2,0 điểm). Cho ma trận lOMoARcPSD| 27790909 . Tính (a) 2A + AT; (b) ATA,
ở đó AT là ma trận chuyển vị của A.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:
x + 5y + 9z = −1
−4x + 5y + 13z = 4
5x + 6y + 6z = 9. 3
Câu 3 (2,0 điểm). Cho họ véc tơ S = {v1,v2,v3} trong không gian véc tơ R với v1 = (0,1,1), v2 = (1,0,1) và
v3 = (1,1,0).
(a) Chứng minh rằng hệ S độc lập tuyến tính. Từ đó chỉ ra rằng S là một cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ v = (1,1,1) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận sau 0 −5 −2 C = 2 7 2 . −2 −3 2
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P−1CP là ma trận chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho các ma trận .
(a) Đặt E = D M. Chứng minh rằng: EM = ME D2 = E2 + 2ME + M2. (b) Tính D2021.
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Đáp án Đề số 5
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. Câu 1. (a) Ta có lOMoARcPSD| 27790909 1 1 2 1 −1 0 0 −1 1 2 0 1 (0,5 điểm) (b) Ta có (1 điểm) Câu 2. Ma trận hệ số
2A + AT = 2 −1 −1 0 + 1 −1 −1 (0,5 điểm) −1 5 9 −1
A = −4 5 13 , b = 4 . 5 6 6 9
nên hệ đã cho là hệ Crammer. (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) +
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất
(0,5 điểm) Câu 3 (2,0 điểm)
(a) + Xét định thưc ma trận gồm các cột là các véc tơ v1,v2,v3: .
Vậy hệ S độc lập tuyến tính.(0,75 điểm)
+ Vì dimR3 = 3 = ”Số phần tử của hệ S” nên S là một cơ sở của R3 (0,25 điểm) lOMoARcPSD| 27790909
(b) + Để tính ma trận toạ độ của vector u = (1,1,1) ∈R3 đối với cơ sở (họ) S, ta xét phương trình vector sau:
v = c1v1 + c2v2 + c3v3. (0,25 điểm) 3
Phương trình vector này cho ta hệ phương trình tuyến tính sau: c2 + c3 = 1
c1 + c2 = 1 +) Giải hệ
phương trình này cho ta nghiệm c1 = c2 = c3 = 1/2.
+) Như vậy, ma trận toạ độ của vector v đối với cơ sở S là (0,25 điểm) c1 + c3 = 1 (0,25 điểm) . (0,25 điểm) Câu 4. (a) :
+ Đa thức đặc trưng: D(t) = −t3 + 9t2 − 26t + 24. (0,75 điểm) + D(t) = 0 khi và chỉ khi t ∈{2,3,4}. (0,25 điểm) (b) :
+ Xét t1 = 2: giải hệ phương trình
Chọn một véc tơ riêng tương ứng với t1 là v1 = (3,−2,2). (0,25 điểm)
+ Xét t2 = 3: giải hệ phương trình
Chọn một véc tơ riêng tương ứng với t2 là v2 = (1,−1,1). (0,25 điểm)
+ Xét t3 = 4: giải hệ phương trình lOMoARcPSD| 27790909
Chọn một véc tơ riêng tương ứng với t3 là v3 = (2,−2,1). (0,25 điểm)
+ Hệ véc tơ {v1,v2,v3} độc lập tuyến tính. Kết luận: (0,25 điểm) Câu 5. (a) + Ta có 1 0 0 E = 0 −1 0 0 0 1 =⇒
ME = M = EM (0,5 điểm) 4 + Chứng minh
D2 = (E + M)2
= (E + M)(E + M)
= E2 + EM + ME + M2
= E2 + 2ME + M2 (0,5 điểm)
(b) + Ta có M2 = O. (0,25 điểm)
+ Vì M E giao hoán (ME = EM) nên ta có (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Trưởng bộ môn/khoa Giảng viên ra đề TS. Phan Quang Sáng GV Bộ môn Toán lOMoARcPSD| 27790909
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 6
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trận sau: . Tính
(a) A + 2BT, ở đó BT là ma trận chuyển vị của B; (b) AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:
x1 − 2x2 + x3 = −2
2x1 + 3x2 − x3 = 6
x1 + x2 + 2x3 = −2. Câu 3
(2,0 điểm). Trong R3 cho hệ véc tơ
S = {u1 = (1,2,3);u2 = (2,−3,5);u3 = (7,9,2)}.
(a) Chứng minh rằng hệ S độc lập tuyến tính. Từ đó chỉ ra rằng S là một cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ v = (2,−4,8) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận sau .
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P−1CP là ma trận chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho các ma trận .
(a) Đặt E = D M. Chứng minh rằng: EM = ME D2 = E2 + 2ME + M2. (b) Tính D2021. lOMoARcPSD| 27790909
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Đáp án Đề số 6
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa.
Câu 1 (2,0 điểm). (a) Ta có (0,5 điểm) (0,5 điểm) (b) Ta có (1,0 điểm) Câu 2.
+ Ma trận hệ số mở rộng −2 1 (0.5 3 −1 điểm) 1 2 + Khử Gauss −2 (0.5 1 điểm) 0 1 −3 + Thế ngược 1 (0.5 0 điểm) 1 0 0 0 1 −1
+ Nghiệm x1 = 1, x2 = 1 và x3 = −1. (0.5 điểm)
Chú ý, nếu dùng định thức hay ma trận nghịch đảo hay biến đổi thông thường, các bước tính và điểm
tương ứng cho như trên. Câu 3.
(a) + Định thức của ma trận có các cột là các véc tơ u1,u2,u3 . (0,5 điểm)
+ Do đó hệ S độc lập tuyến tính. (0,25 điểm)
+ Vì dim(R3) = 3 = "Số phần tử của S" nên S là một cơ sở của R3. (b) Ta có (0,25 điểm) lOMoARcPSD| 27790909 (0,25 điểm) (0,25 điểm) + Giải hệ ta được .
(0,25 điểm) + Vậy tọa độ của v trong cơ sở . (0,25 điểm) Câu 4 (2,0 điểm). 3 (a) :
+ Đa thức đặc trưng: D(t) = −t3 + 10t2 − 27t + 18. (0.75 điểm) + D(t) = 0 khi và chỉ khi t
∈{1,3,6}. (0,25 điểm) (b) :
+ Xét t1 = 1: giải hệ phương trình
Chọn một véc tơ riêng tương ứng với t1 là v1 = (−1,1,0). + Xét (0,25 điểm)
t2 = 3: giải hệ phương trình
Chọn một véc tơ riêng tương ứng với t2 là v2 = (−1,−1,2). + Xét (0,25 điểm)
t3 = 6: giải hệ phương trình
Chọn một véc tơ riêng tương ứng với t3 là v3 = (1,1,1). (0,25 điểm)
+ Hệ véc tơ {v1,v2,v3} độc lập tuyến tính. + Kết luận: (0,25 điểm) Câu 5. (a) + Ta có =⇒ 1 0 0 (0,5 điểm) + Chứng minh E = 0 −1 0 0 0 1
ME = M = EM
D2 = (E + M)2
= (E + M)(E + M)
= E2 + EM + ME + M2
= E2 + 2ME + M2 (0,5 điểm) lOMoARcPSD| 27790909
(b) + Ta có M2 = O. (0,25 điểm)
+ Vì M E giao hoán (ME = EM) nên ta có (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 7
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hai ma trận A B xác định như sau: .
(a) Tìm ma trận D sao cho A D = B. (b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau: −3x1 + 5x2 + 7x3 = 2 2x1 + 4x2 + 9x3 = 4x1 +
3x2 − 5x3 = −9. 5
S = {u1 = (1,−2,3);u2 =
Câu 3 (2,0 điểm). Trong R3 cho hệ véc tơ
(2,3,5);u3 = (−7,−9,2)}.
(a) Chứng minh rằng hệ S độc lập tuyến tính. Từ đó chỉ ra rằng S là một cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ v = (2,1,4) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận lOMoARcPSD| 27790909 .
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P−1CP là ma trận chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Gọi A là ma trận vuông, thực cấp n thoả mãn tính chất sau A−1 = 3A. Hãy tính
det(A2021 − A).
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Đáp án Đề số 7
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. Câu 1 (a) Ta có
D = A B (0,5 điểm) 1 −1 1 (0,5 2 1 −1 điểm) 1 1 1 (b) Ta có (1,0 điểm) Câu 2 (2,0 điểm). Câu 3.
(a) + Định thức của ma trận có các cột là các véc tơ u1,u2,u3 . (0,5 điểm) lOMoARcPSD| 27790909
+ Do đó hệ S độc lập tuyến tính. (0,25 điểm)
+ Vì dim(R3) = 3 = "Số phần tử của S" nên S là một cơ sở của R3. (b) Ta có (0,25 điểm) v = αu (0,25 điểm) 1 + βu2 + γu3
α + 2β − 7γ = 2 (0,25 điểm) ⇔
−2α + 3β − 9γ = 1
3α + 5β + 2γ = 4 + Giải hệ ta được . (0,25 điểm)
+ Vậy tọa độ của v trong cơ sở . (0,25 điểm)
Câu 4. (a) + Đa thức đặc trưng
|C λI3| = −λ3 − 6λ2 + λ + 6. (0,5 điểm)
+ Giá trị riêng λ1 = 1; λ2 = −6 và λ3 = −1 (0,5 điểm)
(b) + Với λ1 = 1, véc tơ riêng u1 = k(−1,1,4) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Với λ2 = −6, véc tơ riêng u2 = k(1,−1,3) với k 6= 0. (0,25 điểm) 3
+ Với λ3 = −1, véc tơ riêng u3 = k(0,1,1) với k 6= 0. + Ma (0,25 điểm)
trận P cần tìm là . (0,25 điểm)
Câu 5. Nhân hai vế của phương trình 3A = A−1 với A ta có , (0,5 điểm)
với I là ma trận đơn vị cấp n. Từ đây ta suy ra (0,5 điểm) và . (0,5 điểm) Do đó, ta tính được (0,5 điểm) Trưởng bộ môn/khoa Giảng viên ra đề TS. Phan Quang Sáng GV Bộ môn Toán lOMoARcPSD| 27790909
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 8
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trận . Tính (a) 2A + AT ;
(b) AB, ở đó AT là ma trận chuyển vị của A.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau: + 5x2 + 7x3 = 2 + 4x + 9x = 5 2 3
4x1 + 3x2 − 5x3 = −9.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian R3 cho hệ véc tơ:
V = {v1 = (3,4,2); v2 = (−2,0,7); v3 = (4,−5,0)}.
(a) Kiểm tra xem hệ véc tơ trên là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
(b) Biểu diễn tuyến tính véc tơ x = (10,6,−3) qua các véc tơ của hệ V .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận sau: .
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P−1CP là ma trận chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho A B là các ma trận vuông cấp n thoả mãn AB = BA B2021 = 0.
(a) Chứng minh rằng nếu A2020 = 0 thì tồn tại số tự nhiên k để (A + B)k = 0.
(b) Chứng minh rằng r(I + A + B) = r(I A B) = n (trong đó r(M) là hạng của ma trận M).
(c) Chứng minh rằng nếu A là khả nghịch thì A + B là khả nghịch.
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. lOMoARcPSD| 27790909 Đáp án Đề số 8
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. Câu 1. Ta có (a) −11 + 32 2 −3 (0,5 1 điểm) −1 −1 (0,5 điểm) . (b) Ta có (1,0 điểm) Câu 2 (2,0 điểm). Câu 3 (2,0 điểm). a. + Xét ma trận: (0,5 điểm)
(Có thể tính det(A) = 237 6= 0)
+ Suy ra r(A) = 3 ⇒ hệ véc tơ V là độc lập tuyến tính. (0,25 điểm)
+ Vì dim(R3) = 3 = "Số phần tử của V " nên V là một cơ sở của R3. b. (1,0 (0,25 điểm) điểm):
Giả sử tồn tại k1,k2,k3 ∈ R sao cho x = k1.v1 + k2.v2 + k3.v3. Suy ra Câu 4. (2,0 điểm) (a) 3
+ Viết được phương trình đặc trưng và tìm được trị riêng: lOMoARcPSD| 27790909 (0,75 điểm) (0,25 điểm) (b)
+ Tìm vector riêng ứng với
trị riêng λ = −1: Gọi x = (x1,x2,x3) là vector
riêng cần tìm. Nó thoả mãn phương trình sau
(A λI)x = 0. Phương
trình này tương ứng với hệ phương trình sau: 2x11 + x22 = 03
x + x + x = 0
x2 + 2x3 = 0 Nghiệm của hệ phương trình này có dạng x1 = t,
x2 = −2t, và x3 = t, với t là số thực khác không tuỳ ý. Do đó, vector riêng có dạng tổng quát
x = (t,−2t,t) = t(1,−2,1). Cho t = 1 ta có vector riêng đơn giản nhất
(và là một cơ sở) của không gian riêng ứng với trị riêng λ = −1:
p1 = (1,−2,1). (0,25 điểm)
+ Tìm vector riêng ứng với trị riêng λ = 1:
Hệ phương trình tương ứng có dạng sau: x12 = 02 3
x x + x = 0 x2 = 0
Nghiệm của hệ phương trình này có dạng x1 = s, x2 = 0, và x3 = −s với s là số thực khác không tuỳ ý. Do
đó, vector riêng có dạng tổng quát
x = (s,0,s) = s(1,0,−1).
Cho s = 1 ta có vector riêng đơn giản nhất (và là một cơ sở) của không gian riêng ứng với trị riêng λ = 1:
p2 = (1,0,−1). (0,25 điểm)
+ Tìm vector riêng ứng với trị riêng λ = 2:
Hệ phương trình tương ứng có dạng sau:
−1x1 + x22 = 03
x − 2x + x = 0 x2 − x3 = 0 lOMoARcPSD| 27790909 4
Nghiệm của hệ phương trình này có dạng x3 = x2 = x1 = k với k là số thực khác không tuỳ ý.
Do đó, vector riêng có dạng tổng quát
x = (k,k,k) = k(1,1,1).
Cho k = 1 ta có vector riêng đơn giản nhất (và là một cơ sở) của không gian riêng ứng với trị riêng λ = 2:
p3 = (1,1,1). (0,25 điểm)
+ Viết được ma trận P làm chéo hoá ma trận C có dạng: . (0,25 điểm) Câu 5 (2,0 điểm). a. Có: .
Do đó chọn k = 2021 + 2020 = 4041 suy ra đpcm. (0,5 điểm)
b. Có I = I − (A + B)k = (I A B)(I + (A + B) + ··· + (A + B)k−1).
Suy ra det(I AB).det(I +(A+B)+···+(A+B)k−1) = det(I) = 1. Suy ra det(I AB) 6=
0 ⇒ r(I A B) = n. Tương tự r(I + A + B) = n. (0,75 điểm) c. Có A2021 = A2021 + B2021 = (A + B)(A2020 −
A2019.B + ··· + B2020). Vì A khả nghịch nên det(A) 6= 0, suy ra det(A + B) 6= 0. (0,75 điểm) Trưởng bộ môn/khoa Giảng viên ra đề TS. Phan Quang Sáng GV Bộ môn Toán