UBND QUẬN BẮC TỪ LIÊM
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút 4 x 1 x 2
Bài I: (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A  ; B    với x  0; x  1 x 1 x 1 x 1 x 1
1. Tính giá trị biểu thức A khi x  49; x 1 2. Chứng minh B  ; x 1 3. Cho P  A : .
B Tìm giá trị của x để P  x   1  x  4  x  4. Bài II: (2,0 điểm)
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 124m. Nếu tăng chiều dài thêm 5m và chiều rộng thêm
3m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 2
255m . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu?
2) Tính diện tích mặt bàn hình tròn có đường kính 1,2m. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Bài III: (2,5 điểm) 2
  x  2  y 1  6
1) Giải hệ phương trình  . 5
 x  2  2 y 1 16
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P 2
: y  x và đường thẳng d  : y  mx  3 (m là tham số)
a) Tìm tọa độ giao điểm của d  và P khi m  2 .
b) Tìm m để đường thẳng d  cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x thỏa mãn 1 2 1 1 3   . x x 2 1 2 Bài IV: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn  ;
O R , đường kính AB . Trên tia tiếp tuyến kẻ từ A của nửa đường tròn này
lấy điểm C sao cho AC  R . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của nửa đường tròn  ; O R , với D là
tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của AD và OC .
1) Chứng minh: ACDO là tứ giác nội tiếp.
2) Đường thẳng BC cắt đường tròn  ;
O R tại điểm thứ hai là M . Chứng minh: 2 CD  CM .CB . CM KM
3) Gọi K là giao điểm của AD và BC . Chứng minh:  MHC   CBO và  . CB KB Bài V: (0,5 điểm)
Cho a,b  0 thỏa mãn : a  b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 1 2 M    4ab . 2 2 a  b ab ---HẾT---
NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ HƯỚNG DẪN 4 x 1 x 2
Bài I: (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A  ; B    với x  0; x  1 x 1 x 1 x 1 x 1
1. Tính giá trị biểu thức A khi x  49; x 1 2. Chứng minh B  ; x 1 3. Cho P  A : .
B Tìm giá trị của x để P  x   1  x  4  x  4. Hướng dẫn 4 49 4.7 1. Với x  49  A   14. 49 1 6 x 1 x  x x   1  2 1 2 x 1 x  x  2 Xét B      x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x x x x      2 1 1 2 x 1  B    x   x  1 x   . 1 1 x 1 4 x x 1 4 x 3. Ta có P  A : B  :  x 1 x 1 x 1 Khi đó P  x   1  x  4  x  4 Điều kiện: x  4 4 x Nên
 x  1 x4 x4  4 x  x4 x4 x 1 
x  x   x   x   x   x    x  2 4 4 4 4 4 4 0 2  x  4  0 .  x 22  0 2 Do 
 4 x  x  4  x  4   x  2  x  4  0  x  4  0
 x  2  0  x  2
Dầu “” xảy ra      x  4(tm)  x  4  0 x  4  0
Vậy x  4 thì P  x   1  x  4  x  4. Bài II: (2,0 điểm)
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 124m. Nếu tăng chiều dài thêm 5m và chiều rộng thêm
3m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 2
255m . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu?
2) Tính diện tích mặt bàn hình tròn có đường kính 1,2m. ( Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Hướng dẫn
1) Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là x (m), chiều rộng ban đầu là y (m). ( x > y > 0)
Vì chu vi ban đầu của mảnh vườn là 124m nên ta có phương trình: 2( x + y ) = 124  x  y  62 (1)
Sau khi thay đổi kích thước thì chiều dài mảnh vườn là:( x + 5) (m) và chiều rộng là:( y + 3) (m).
Diện tích mảnh vườn tăng thêm 2
255m nên ta có phương trình: ( x + 5)(y + 3) = xy + 255.  3x  5y  240 (2) x  y  62 3  x  3y  186 y  27
Từ (1), (2) ta có hệ :     
( thỏa mãn điều kiện) 3  x  5y  240 3  x  5y  240 x  35
Vậy chiều dài ban đầu của mảnh vườn là 35m, chiều rộng là 27m.
NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 1, 2
2) Bán kính mặt bàn là : R   0,6(m) 2
Diện tích mặt bàn là : 2 2 2
S   R  3,14.(0,6)  1,13(m ) . Bài III: (2,5 điểm) 2
  x  2  y 1  6
1) Giải hệ phương trình  5
 x  2  2 y 1 16
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P 2
: y  x và đường thẳng d  : y  mx  3 (m là tham số)
a) Tìm tọa độ giao điểm của d  và P khi m  2 .
b) Tìm m để đường thẳng d  cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x thỏa mãn 1 2 1 1 3   . x x 2 1 2 Hướng dẫn 2
  x  2  y 1  6 1)  (ĐKXĐ: y  1) 5
 x  2  2 y 1 16 x  2  a  Đặt 
khi đó hệ phương trình trở thành  y 1  b  b  0 2a  b  6 5  a  2b  16 4a  2b  12  5a2b 16 a  4  2ab 6 a  4  2.4b 6 a  4   (tmđk b  0 ) b   2 x  2  4    y1  2  x  2  y1 4 x  2   (tmĐKXĐ)  y  5
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (2;5) 2)
a) Thay m = 2 vào phương trình đường thẳng (d) ta có y = 2x + 3
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số (P) và (d) là 2 x  2x  3 2  x  2x  3  0 2   b  4ac   2  2  4.1. 3   16
NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/    0
 phương trình có hai nghiệm phân biệt b    2  16 x    3 1 2a 2.1 b    2  16 x    1  2 2a 2.1
Thay x  3 vào phương trình (P) ta có y  9 1 1
Thay x  1 vào phương trình (P) ta có y  1 2 2
Vậy tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số (P) và (d) là (3; 9) và (-1; 1)
b) Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số (P) và (d) là 2 x  mx  3 2
 x  mx  3  0 * 2   b  4ac 2  m  4.1.3 2  m 12 Có 2 m 12  12  0    0
 phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m
 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi et ta có b  S  x  x   m 1 2 a c P  x .x   3 1 2 a Vì x .x  3
  x .x  0 nên x  0 và x  0 1 2 1 2 1 2 1 1 3 Ta có   x x 2 1 2 x  x 3 1 2   x .x 2 1 2  2x  x  3x .x 1 2  1 2  2m  3 3   9   m  2 1 1 3 9 
Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x thỏa mãn    m  1 2 x x 2 2 1 2 Bài IV: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn  ;
O R , đường kính AB . Trên tia tiếp tuyến kẻ từ A của nửa đường tròn này
lấy điểm C sao cho AC  R . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của nửa đường tròn  ; O R , với D là
tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của AD và OC .
1) Chứng minh: ACDO là tứ giác nội tiếp.
2) Đường thẳng BC cắt đường tròn  ;
O R tại điểm thứ hai là M . Chứng minh: 2 CD  CM .CB . CM KM
3) Gọi K là giao điểm của AD và BC . Chứng minh:  MHC   CBO và  . CB KB Hướng dẫn
NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ C M D K H A B O
1) Chứng minh: ACDO là tứ giác nội tiếp. Tứ giác ACDO có  CAO  
CDO  90 (tính chất của tiếp tuyến ) nên tứ giác ACDO nội tiếp đường tròn đường kính AO .
2) Đường thẳng BC cắt đường tròn  ;
O R tại điểm thứ hai là M . Chứng minh: 2 CD  CM .CB . Xét C  DM và C  BD có:  MCD chung;  CDM  
CBD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn  MD ) CD CB 2  C  DM ” CBD    CD  CM .CB . CM CD CM KM
3) Gọi K là giao điểm của AD và BC . Chứng minh:  MHC   CBO và  . CB KB
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có CA  CD mà OA  OD R nên OC là trung trực
của AD  OC  AD tại trung điểm H của AD . Lại có 
AMB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  
AMC  90 (kề bù với  AMB ). Tứ giác ACMH có  AMC  
AHC  90 nên nội tiếp đường tròn đường kính AC   MHC  
MAC (hai góc nội tiếp cùng chắn  MC ), mà  MAC  
MBA (góc nội tiếp và góc tạo bởi
tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn  AM )   MHC   MBA    MAC hay  MHC   CBO . Vì  MHC  
CBO nên tứ giác OHMB nội tiếp (có góc ngoài đỉnh H bằng góc trong đỉnh B )   OHB  
OMB (hai góc nội tiếp cùng chắn  OB ) và  OMB   MBO ( O  MB cân tại O ). Vậy  MHC   MBO   OMB   OHB  90   MHC  90   OHB   MHK   BHK  HK là tia phân
giác trong tại đỉnh H của MHB .
Lại có HC  HK  HC là phân giác ngoài tại đỉnh H của MHB . CM HM KM
Theo tính chất đường phân giác, ta có:   . CB HB KB CM KM Vậy  . CB KB
NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Bài V: (0,5 điểm)
Cho a,b  0 thỏa mãn : a  b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 1 2 M    4ab . 2 2 a  b ab Hướng dẫn 1 1 4
Áp dụng bất đẳng thức  
, x, y  0 . Dấu “=” xảy ra  x  . y ( Chứng minh bằng x y x  y
phương pháp biến đổi tương đương) 1 2 Ta có : M    4ab 2 2 a  b ab 1 1 3     4ab 2 2 a  b 2ab 2ab  1 1   1  5    4ab    2 2     a  b 2ab   4ab  4ab  1 1 4    4 2 2 a  b 2ab a  b2  1 1 4ab   2 4a . b  2 4ab 4ab  1 1 5
2 ab  a  b  1  ab    4   5 4 ab 4ab 1
Suy ra: M  4  2  5  11. Dấu “=” xảy ra khi a  b  . 2 1
Vậy GTNN của M  11 khi a  b  . 2 ---HẾT--- NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI
https://www.facebook.com/groups/650500558651229/
Document Outline

• de-thi-hk2-toan-9-nam-2020-2021-phong-gddt-bac-tu-liem-ha-noi
• 07.ĐỀ HK2 LỚP 9 PGD BẮC TỪ LIÊM - GV TOÁN HÀ NỘI 2021