Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2021 – 2022 cụm trường THPT – Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11 CỤM TRƯỜNG THPT
NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I (5,0 điểm)
1) Giải các phương trình sau :
a) sin 2x  4 cos x  sin x  2  0;
b) sin x cot 2x  cos 3x.
 5x  2y  2x  y  5
2) Giải hệ phương trình  .
 2x  y  x  y   1
Bài II (3,0 điểm) 1 6
1) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn 2 A  2 A  3 C  10 . 2x 2 x x x  2 5 2) Tìm hệ số của 5
x trong khai triển  3 x  . 2   x 
3) Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó có ít nhất một chữ số 1.
Bài III (4,0 điểm) Cho dãy số u thoả mãn u  1, u
 3u  2 , n  1. n  1 n 1 n
1) Chứng minh dãy số u  1 là một cấp số nhân, tính u . n  50 1 1 1 3 2) Chứng minh   ...   . u  1 u  1 u  1 4 1 2 100 v
3) Tìm công thức tổng quát của dãy số v  1;v  n , n  1 . 1 n 1 2v  3 n
 2x 1 3 3x 2
Bài IV (2,0 điểm) Tính giới hạn lim . x 1 x  1
Bài V (6,0 điểm) Cho hình hộp ABC .
D A ' B 'C ' D ' có các góc BA D  DA A  BA A  0 ' ' 60 và tất
cả các cạnh bằng a.
1) Chứng minh BA '  B 'C ' và tính độ dài cạnh AC ' theo a.
2) Lấy các điểm M , N , P thỏa mãn MA  MB  0, NB  2NC  0, 2PC  PC '  0.
Dựng thiết diện của hình hộp ABC .
D A ' B 'C ' D ' cắt bởi mặt phẳng (MNP ). D ' I
3) Mặt phẳng (MNP ) cắt đường thẳng D ' B tại I . Tính tỷ số . B I
- - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - -
Họ và tên thí sinh:.................................................... Số báo danh:..................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 11 CỤM TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung Điểm 1 1a sin x  2 (5,0đ) 
sin 2x  4 cos x  sin x  2  0  (sin x  2)(2 cos x  1)  0   cos x  1 1,0  2
+) sin x  2(l) 1  +) cos x 
 x    k  2 . 1,0 2 3 1b k
ĐK: sin 2x  0  x  . 0,25 2
sin x cot 2x  cos 3x  sin x. cos 2x  cos 3x.sin2x  1 x  x  1 (sin 3 sin )
(sin 5x  sin x ) 1,0 2 2 x  k
5x  3x  k  2 
 sin 3x  sin 5x     k 0,5
5x    3x  k  2   x     8 4 k  k
Kết hợp điều kiện x  suy ra x   . 2 8 4  0,5 k
Vậy nghiệm của phương trình là x   . 8 4 2 
 5x  2y  a
5x  2y  2 a x  2 a  2 2b Đặt 
(a  0,b  0)    2    
2x  y  b y  2 5b   2    2 2 a x y b 0,25
Khi đó hệ phương trình trở thành
a b  5
a  5 b   2 2 2 2 
b  a  2b  (5b  2a )  1 3(5  2 ) b  2
7b  b  1    0 0,5  b  2,a  a  5 b 3     2 37
4b  29b  74     0 b    (l)  4
5x  2y  9 x  1
Với  b  2,a  3     2x  y  4 y    2
Vậy hệ có nghiệm là  0,25 1; 2 2 1
Điều kiện: x  , x  3. 0,25 (3,0đ) ta có 1 6 1 6 x(x 1)(x 2) 2 2 3   A
 A  C  10  .2x(2x  1)  x(x  1)   10 0,25 2 2 x x x x 2 x 3 !
 x(2x  1)  x(x  1)  (x  1)(x  2)  10  0,25
3x  12  x  4.
Kết hợp điều kiện suy ra x  3 hoặc x  4 0,25 2 5 5  k 2  5  k k 2  5 5 k  3 x  k C x C 2 k x 2    3   2 
     5 10 5 5 x 0,5 k 0 x k      0 Hệ số của 5
x trong khai triển thỏa mãn: 5k  10  5  k  3. 2 0,5 Vậy hệ số của 5
x trong khai triển là: 3 C 2 40 5     3
Gọi số cần tìm là abcde 0,5
Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: 4 9.10
Số các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó không có chữ số 1 là: 4 8.9 0,25
Số các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó có ít nhất 1 chữ số 1 là: 0,25 4 4 9.10  8.9  37512 số 3 1 Ta có: u
 1  3(u  1) , n  1 (4,0đ) n  1 n
Suy ra u  1 là cấp số nhân với công bội 2 0,5 n  Ta có: u   1  49 3 . u  1  49 2.3 50 1 49 Suy ra u  2.3  1 50 0,5 2  1  Ta có   
 là cấp số nhân với công bội bằng 1 . u   1 3 n  0,5  1 100    1 1 1 1 1  3  100 1 3  0,5      1  3 ... u  1 u  1 u  1 u  99 1 1 2 2.3 4 1 2 100 1  1 3 3 2v  3 3 1  n  2  , n  1 v v v 0,25 n 1 n n 1 Đặt w   w  1;w
 2  3w , n  1 0,25 n 1 n 1 n vn n 
Theo câu a suy ra w  1 2.3  1 n 0,25 1 Vậy v  , n  1 0,25 n n 1 2.3  1 4 1  3 2x 1 3x 2   3
  2x 1 1  3x 2 1         (2,0đ)  lim  lim  . 0,5 x 1 x 1   x  1 x  1 x   1     2x 1      1  2x  1  1   2  lim  lim  lim    1. 0,5 x 1 x 1  x  1  x   x 1 1 2x 1 1 2x 1 1             3 3x 2 1     3x  2   1  lim  lim x 1 x  x  1 1  2
 x  1  3 3x  2 3  
 3x  2  1      0,5    3   lim    1.
x 1  3x  22  3 3 3x  2  1   
 2x 1 3 3x 2 lim  0. x 1 x  1 5 1
Ta có : BA'  AA'  AB (6,0đ)
B 'C '  AD Suy ra 0,25
B C   AA  AB 2 2 a a BA'. ' ' ' AD    0 0,25 2 2
Suy ra BA '  B 'C ' 0,5
AC '  AA'  AB  AD 0,25 2 2
AC '  AC '   AA'  AB  AD2 2 2 2 2
 AA'  AB  AD  2AA'.AB  2AA'AD  2ABAD  6a 0,5
 AC '  6a 0,5 2
Gọi giao của MN với CD và AD là E và F 0,5
Gọi giao của MN với CD và AD là E và F 0,5
Gọi giao của EP với C’D’ và DD’ là Q và G 0,5
Gọi giao của FG với AA’ và A’D’ là S và R
Suy ra thiết diện là lục giác MNPQRS 0,5 3
Gọi H,K là giao của MN với BD và QR với B’D’ 0,25
Chứng minh tứ giác BKD’H là hình bình hành 0,5
Suy ra I là trung điểm của BD’ D ' I Vậy  1. BI