Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thái Bình

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo cùng các em học sinh lớp 12 đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thái Bình; đề gồm 06 trang với 50 câu trắc nghiệm, thời gian học sinh làm bài thi là 90 phút, đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.

15 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

32 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 1
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH
.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 06 trang & 50 câu trắc nghiệm
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, mặt bên tạo với mặt đáy góc
30
. Thể
tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
3
.
48
a
B.
3
3
.
24
a
C.
3
3
.
36
a
D.
3
3
.
72
a
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để đồ thị hàm số
3 2 2 2
2 1 2 2 4 2 4y x m x m m x m
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục
hoành?
A.
3
. B.
4
. C.
6
. D.
5
.
Câu 3. Cho hàm số
3
3 1y x mx
1
(
m
là tham số thực,
;0m 
). Gọi
d
là đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
1
. Đường thẳng
d
cắt đường tròn tâm
1;0I
bán
kính
3R
tại hai điểm phân biệt
,A B
. Diện tích tam giác
IAB
đạt giá trị lớn nhất là
A.
2 7.
B.
9
.
2
C.
6.
D.
14.
Câu 4. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
và thỏa mãn điều kiện
2 8 2 3f x f x x
.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoành độ
4x
.
A.
3 15y x
. B.
3 15y x
. C.
3 9y x
. D.
3 9y x
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
n
u
có
3 13
80u u
. Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng
A.
600
. B.
630
. C.
800
. D.
570
.
Câu 6. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng
400
triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất
0,8%
/tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là
10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá
trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng?
A.
48
. B.
49
. C.
47
. D.
50
.
Câu 7. Cho các số thực
, ,a b c
thoả mãn
1c b a
và
2 2
6log log log 2log 1
a b a b
c c
b c
b b
. Đặt
log 2log
b a
T c b
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2;5T
. B.
3; 1T
. C.
5;10T
. D.
1;2T
.
Câu 8. Cho hàm số
3 2 2
3 4 2 1y x mx m
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
1
có
hai điểm cực trị
A.
1 1m
. B.
1m
. C.
1m
. D.
0m
.
Câu 9. Cho phương trình
2 1 2 3
8 .2 2 1 .2 0
x x x
m m m m
. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham
số
m
để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt là
;a b
. Tính
.a b
bằng?
A.
2
.
3
a b
. B.
3
.
2
a b
. C.
4
.
3
a b
. D.
3
.
4
a b
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 2
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số
m
để phương trình
3
3 1 0x x m
có 3 nghiệm phân biệt,
trong đó có hai nghiệm dương?
A.
1 1m
. B.
2 1m
. C.
0 1m
. D.
1 1m
.
Câu 11. Gọi
A
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
A
. Tính xác
suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố.
A.
2045
13608
. B.
409
11250
. C.
409
90000
. D.
409
3402
.
Câu 12. Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển
2
3
2
1
1 2
4
n
f x x x x
thành đa thức,
với
n
là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
3 2
14
n
n n
A C n
.
A.
9 10
19
2 C
. B.
5 10
19
2 C
. C.
6 10
19
2 C
. D.
5 10 10
19
2 C x
.
Câu 13. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng
60
và diện tích xung quanh bằng
2
6 a
. Tính thể tích
V
của
khối nón đã cho.
A.
3
V a
. B.
3
2
4
a
V
. C.
3
3V a
. D.
3
3 2
4
a
V
.
Câu 14. Cho hàm số
3 2
2 3
x
y
x
. Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
2;1
. Khi đó
M m
là
A.
1
7
. B.
15
7
. C.
15
7
. D.
1
7
.
Câu 15. Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
có đồ thị
C
. Gọi
;M a b
là điểm trên
C
có khoảng cách đến đường
thẳng
: 3 6d y x
nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2a b
. B.
2a b
. C.
2a b
. D.
2a b
.
Câu 16. Cho lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, độ dài cạnh bên bằng
4a
.
Mặt phẳng
' 'BCC B
vuông góc với mặt đáy và
' 30B BC
. Thể tích khối chóp
. 'A CC B
là:
A.
3
3
12
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
R
, chiều cao bằng
h
. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
2h R
. B.
2
R
h
. C.
2h R
. D.
h R
.
Câu 18. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
đáy và
SA a
. Gọi
E
là trung điểm cạnh
CD
. Mặt cầu đi qua bốn điểm
, , ,S A B E
có bán kính
là:
A.
2
16
a
. B.
41
16
a
. C.
41
8
a
. D.
41
24
a
.
Câu 19. Cho hàm số
3 2
1
, ,
6
f x x ax bx c a b c
thỏa mãn điều kiện
0 1 2 .f f f
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
c
để hàm số
2
2g x f f x
nghịch biến trên
khoảng
0;1
là
A.
1 3
. B.
1
. C.
3
. D.
1 3
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 3
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Câu 20. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
, .B BC a
Biết
SA a
và
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
,E F
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
SB
và
SC
. Thể tích
khối chóp
.S AEF
bằng
A.
3
18
a
. B.
3
24
a
. C.
3
36
a
. D.
3
12
a
.
Câu 21. Số nghiệm của phương trình
2 2
2
2 2 3
x x x x
là
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Câu 22. Cho hàm số
3 2
( ) ( , , , )
y f x ax bx cx d a b c d
có bảng biến thiên như sau:
Phương trình
( ) ( )f x m m
có bốn nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
thỏa mãn điều kiện
1 2 3 4
1
2
x x x x
khi:
A.
1
1
2
m
. B.
0 1m
. C.
0 1m
. D.
1
1
2
m
.
Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
, 50;50m m
sao cho bất phương trình
4
2 0mx x m
nghiệm đúng với mọi
x
.
A.
1274
. B.
1200
. C.
1272
. D.
1224
.
Câu 24. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để giá trị lớn nhất của hàm số
4 2
( ) 4y g x x x m
trên đoạn
2;1
bằng
2020
. Tính tổng các phần tử của
S
.
A.
4
. B.
5
. C.
2020
. D.
0
.
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m
sao cho đường thẳng
y x m
cắt đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
tại hai điểm phân biệt
A
,
B
và
4AB
.
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Câu 26. Tập xác định của hàm số
2
2
3
2
4 3
2 3 1
x x
y
x x
là:
A.
4
1;
3
D
. B.
1 4
1; 0;
2 3
D
.
C.
1 4
1; 0;
2 3
D
. D.
1 4
\ 1; ;0;
2 3
D
.
Câu 27. Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d
có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị
a
,
b
,
c
,
d
có bao nhiêu giá trị dương?
O
x
y
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 4
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 28. Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc
phễu hình nón đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm
trên một đường kính của mặt đáy hình nón), các đỉnh còn lại nằm trên mặt mặt nón, tâm của viên
gạch nằm trên trục hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích nước còn lại trong phễu (làm tròn đến
hai chữ số thập phân)
A.
22,10V
. B.
22, 27V
. C.
20, 64V
. D.
22, 30V
.
Câu 29. Cho khối lăng trụ
.ABCD A B C D
có thể tích bằng
12
, đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
.
Thể tích khối chóp
.A BCO
bằng
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Câu 30. Cho hai số thực
,a b
thỏa mãn điều kiện
3 4 0a b
. Tính tổng
2S a b
khi biểu thức
2
3
3
4
3
log log
4 16
a a
b
a
P a
b
đạt giá trị nhỏ nhất
A.
10S
. B.
11S
. C.
12S
. D.
8S
.
Câu 31. Hàm số
2
0,5
log 2y x x
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
1;
. B.
0;1
. C.
;1
. D.
1;2
.
Câu 32. Cho hình chóp
.S ABC
có
5a, 6a, 7aAB BC CA
. Các mặt bên
,SAB SBC
và
SCA
cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc
0
60
. Hình chiếu vuông góc của
S
lên mặt phẳng
ABC
thuộc miền trong tam giác
ABC
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
8a 3
. B.
3
4a 3
. C.
3
8a 3
3
. D.
3
a 3
2
.
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho hàm số
4 2
2 1 2020y x m x m
đồng
biến trên khoảng
3; 1
.
A.
10m
. B.
10m
. C.
10m
. D.
10m
.
Câu 34. Cho tập
A
có 20 phần tử. Hỏi tập
A
có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn ?
A.
19
2
B.
19
2 1
C.
20
2 1
D.
20
2
Câu 35. Cho lăng trụ tam giác
.ABC A B C
có
2AB AC a
và
2 3BC a
. Tam giác
A BC
vuông
cân tại
A
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy
ABC
. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng
AA
và
BC
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 5
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
A.
3a
. B.
3
2
a
. C.
2
2
a
. D.
5
2
a
.
Câu 36. Cho ba số dương
, ,a b c
khác 1. Đồ thị các hàm số
log , log , log
a b c
y x y x y x
như hình vẽ
dưới đây. Tìm khẳng định đúng:
A.
c b a
. B.
c a b
. C.
a c b
. D.
b a c
.
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để đồ thị hàm số
2
1
4
x
y
x x m
có đúng ba đường
tiệm cận?
A. 9. B. 7. C.
10
. D. 8.
Câu 38. Hàm số
4 3
4 2y x x
đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
3;
. B.
4;
. C.
;4
. D.
;3
.
Câu 39. Cho hình chóp
.S ABC
có
; 2SA SB SC AB AC a BC a
. Góc giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
bằng
A.
90
. B.
30
. C.
60
. D.
45
.
Câu 40. Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
, cạnh
6BC a
. Góc
giữa mặt phẳng
AB C
và mặt phẳng
BCC B
bằng
60
. Tính thể tích khối đa diện
.AA B C C
A.
3
3a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3 3
2
a
.
Câu 41. Cho hệ phương trình
2 2
3
9 4 5
log 3 2 log 3 2 1
m
x y
x y x y
(tham số
m
) có nghiệm
;x y
thỏa
mãn
3 2 5x y
. Khi đó giá trị lớn nhất của
m
là:
A.
5
log 3
. B.
3
log 5
. C.
5
. D.
4
.
Câu 42. Cho khối chóp
.S ABC
có thể tích là
3
3
a
. Tam giác
SAB
có diện tích là
2
2a
. Tính khoảng cách
từ
C
đến mặt phẳng
SAB
.
A.
2
a
d
. B.
2d a
. C.
a
. D.
2
3
a
d
.
Câu 43. Cho hàm số
4 3 2
2 8 16 1f x x x x m
(m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm
cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc#c. Giá trị
a b c
bằng
A. 12. B. 16. C. 15. D. 13.
Câu 44. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp
đôi bình I và trong bình III gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy
1 2 3
, ,r r r
của ba
bình I, II, III.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 6
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
A.
1 2 3
, ,r r r
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội
1
2
.
B.
1 2 3
, ,r r r
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội
2
.
C.
1 2 3
, ,r r r
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội
1
2
.
D.
1 2 3
, ,r r r
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội
2
.
Câu 45. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình
2 2
log 2 3 log 3
m m
x x x x
. Biết rằng bất phương trình có một nghiệm là
1x
.
A.
1
1;0 ;3
3
S
. B.
1;3S
.
C.
1
1;0 ;3
3
S
. D.
1;0 1;3S
.
Câu 46. Cho mặt cầu
S
tâm
O
. Các điểm
, ,A B C
nằm trên mặt cầu
S
sao cho
3, 4, 5AB AC BC
và khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
ABC
bằng
1
. Thể tích của khối
cầu
S
bằng
A.
20 5
3
. B.
29 29
6
. C.
13 3
6
. D.
7 21
2
.
Câu 47. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
1
2
AB BC AD a
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp
.S ACD
bằng
A.
3
2
6
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
4
a
.
Câu 48. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2 1
2 3
x
y
x
là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 49. Cho tứ diện
ABCD
có
0 0
, 5, 90 , 135AB a AC a DAB CBD ABC
. Biết góc giữa hai
mặt phẳng
ABD
và
BCD
bằng
0
30
. Thể tích khối tứ diện
ABCD
bằng.
A.
3
2
a
. B.
3
3 2
a
. C.
3
2 3
a
. D.
3
6
a
.
Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình
9 2 5 3 9 2 1 0
x x
x x
là
; ;S a b c 
. Khi đó
a b c
bằng:
A.
4
. B.
1
. C.
5
. D.
3
.
____________________ HẾT ____________________
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 7
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 06 trang & 50 câu trắc nghiệm
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
D
A
D
A
A
B D
D
A
A
B B C
D
B B D
C
B C
C
A
D
A
D
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
B C
B B D
D
A
D
B B B A
D
C
A
C
D
C
C
A
B C
C
D
D
PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, mặt bên tạo với mặt đáy góc
30
. Thể
tích khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
3
.
48
a
B.
3
3
.
24
a
C.
3
3
.
36
a
D.
3
3
.
72
a
Lời giải
Chọn D
Góc giữa mặt bên (
SBC
) và đáy
ABC
bằng góc
30SMO
.
Ta có
3
6
a
OM
.
Tam giác
SOM
vuông tại
O
nên
.tan30
6
a
SO OM
.
2
3
4
ABC
a
S
2 3
1 3 3
. .
3 4 6 72
SABC
a a a
V
.
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để đồ thị hàm số
3 2 2 2
2 1 2 2 4 2 4y x m x m m x m
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục
hoành?
A.
3
. B.
4
. C.
6
. D.
5
.
O
M
C
B
A
S
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 8
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành
3 2 2 2
2 1 2 2 4 2 4 0x m x m m x m
có
3
nghiệm phân biệt
2 2
1 2 2 4 0x x mx m
có
3
nghiệm phân biệt
2 2
2 2 4 0x mx m
có
2
nghiệm phân biệt đều khác
1
2 2
2
2
2
2 2
2 4 0
4 0
1 7
2 2 3 0
1 2 2 4 0
2
m
m m
m
m
m m
m m
mà
1;0;1m m
Câu 3. Cho hàm số
3
3 1y x mx
1
(
m
là tham số thực,
;0m 
). Gọi
d
là đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
1
. Đường thẳng
d
cắt đường tròn tâm
1;0I
bán
kính
3R
tại hai điểm phân biệt
,A B
. Diện tích tam giác
IAB
đạt giá trị lớn nhất là
A.
2 7.
B.
9
.
2
C.
6.
D.
14.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định:
2
3 2
0 1
3 3 0
3 1
x y
y x m
x m y m m
Với
;0m 
thì đồ thị hàm số
1
luôn có hai điểm cực trị.
+ Gọi
;M x y
là điểm cố định của đường thẳng
d
.
Khi đó phương trình
2
3 1 0m x y
nghiệm đúng với mọi
m
2
3 1 0,m x x y m
0 0
3 1 0 1
x x
d
x y y
luôn luôn đi qua điểm
1;0M
Gọi
H
là trung điểm
AB IH AB
2
1
. . . 9
2
IAB
S IH AB IH AH IH IH
.
Ta thấy
2 14 max 14
IAB IAB
IH IM S S
.
Chọn đáp án D.
H
I
M
y
x
d
B
A
O-1
-4 2
1
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 9
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Câu 4. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
và thỏa mãn điều kiện
2 8 2 3f x f x x
.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoành độ
4x
.
A.
3 15y x
. B.
3 15y x
. C.
3 9y x
. D.
3 9y x
.
Lời giải
Chọn A
Vì
2 8 2 3f x f x x
(1) nên
' 2 2 ' 8 2 3f x f x
(2).
Thay
2x
vào
1 ; 2
ta được
4 4 6 4 3
' 4 2 ' 4 3 ' 4 3
f f f
f f f
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoành độ
4x
là
' 4 . 4 4 3 4 3 3 15y f x f x x
.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y f x
tại điểm có hoành độ
4x
là
3 15y x
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
n
u
có
3 13
80u u
. Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng
A.
600
. B.
630
. C.
800
. D.
570
.
Lời giải
Chọn A
Gọi công sai của cấp số cộng
n
u
là
d
.
Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng
1
15 1
2 14 .15
15 7
2
u d
S u d
.
3 13 1 1 1
80 2 12 80 7 40u u u d u d u d
.
Vậy
15
15.40 600S
.
Câu 6. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng
400
triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất
0,8%
/tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là
10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá
trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng?
A.
48
. B.
49
. C.
47
. D.
50
.
Lời giải
Chọn B
Số tiền còn nợ sau 1 tháng là
1
400. 1 0,8% 10T
.
Số tiền còn nợ sau 2 tháng là
2
2
400. 1 0,8% 10 1 0,8% 10T
.
…
Số tiền còn nợ sau
n
tháng là
1
1
400. 1 0,8% 10 1 0,8% ... 10
400 1 0,8% 10. 1 1 0,8% ... 1 0,8%
1 0,8% 1
400 1 0,8% 10 850 1 0,8% 1250
0,8%
n n
n
n n
n
n n
T
25
0 1 0,8% 48, 4
17
n
n
T n
.
Vậy sau 49 tháng thì anh Ba trả hết nợ.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 10
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Câu 7. Cho các số thực
, ,a b c
thoả mãn
1c b a
và
2 2
6log log log 2log 1
a b a b
c c
b c
b b
. Đặt
log 2log
b a
T c b
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2;5T
. B.
3; 1T
. C.
5;10T
. D.
1;2T
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
log ; log log .
a b a
x b y c xy c
Khi đó
2 2 2 2
6log log log 2log 1 6 2 1 1
a b a b
c c
b c x y xy x y
b b
Và
log 2log 2 .
b a
T c b y x
Ta có
2
2
1 3
1 6 1 1 0 2 1
1 2
y x
x y x y T y x
y x
.
Câu 8. Cho hàm số
3 2 2
3 4 2 1y x mx m
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
1
có
hai điểm cực trị
A.
1 1m
. B.
1m
. C.
1m
. D.
0m
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
' 3 6y x mx
.
Hàm số (1) có hai điểm cực trị
' 0y
có hai nghiệm phân biệt
2
9 0 0m m
.
Câu 9. Cho phương trình
2 1 2 3
8 .2 2 1 .2 0
x x x
m m m m
. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham
số
m
để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt là
;a b
. Tính
.a b
bằng?
A.
2
.
3
a b
. B.
3
.
2
a b
. C.
4
.
3
a b
. D.
3
.
4
a b
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình
2 1 2 3
8 .2 2 1 .2 0
x x x
m m m m
2 2 3
8 2 .2 2 1 .2 0
x x x
m m m m
(1).
Đặt
2
x
t
điều kiện
0t
.
Khi đó phương (1) trở thành
3 2 2 3
2 2 1 0t mt m t m m
.
2 2
2 2
1 0
1 0 *
t m
t m t mt m
t mt m
.
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
0m
và phương trình (*) có hai nghiệm dương
phân biệt khác
m
2 2
2
2
4 4 0
1 0
2 2 2
1 1; .
0
3 3 3
1 0
m m
m
m m a b
m
m
.
Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số
m
để phương trình
3
3 1 0x x m
có 3 nghiệm phân biệt,
trong đó có hai nghiệm dương?
A.
1 1m
. B.
2 1m
. C.
0 1m
. D.
1 1m
.
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 11
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Chọn A
Ta có:
3 3
3 1 0 3 1x x m x x m
.
Số nghiệm phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
3
3 1y x x
và đường
thẳng
y m
.
Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị hàm số
3
3 1y x x
cắt đường thẳng
y m
tại ba điểm
phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương.
Bảng biến thiên của hàm số
3
3 1y x x
.
Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị của tham số
m
thỏa mãn là
1 1m
.
Câu 11. Gọi
A
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
A
. Tính xác
suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố.
A.
2045
13608
. B.
409
11250
. C.
409
90000
. D.
409
3402
.
Lời giải
Chọn B
Gọi số cần tìm có dạng
11 ,abcde k k
.
Số cách chọn số có 5 chữ số từ tập số tự nhiên là :
4
9.10n
.
Gọi
X
là biến cố : ‘‘Chọn được số chia hết cho
11
và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố ’’.
Do chữ số tận cùng là số nguyên tố nên
2;3;5;7e
.
Suy ra
k
có tận cùng là
2;3;5;7
.
Ta có số cần tìm có 5 chữ số nên
10010 11 99990 910 9090k k
.
Xét các bộ số
910;911;...;919 ; 920;921;...;929 ;... 9080;9081;...;9089
.
Số các bộ là
9090 910
818
10
bộ.
Mỗi bộ số sẽ có 4 số
k
thỏa mãn. Do đó,
818.4 3272n X
.
Xác suất của biến cố
X
là
4
3272 409
9.10 11250
P X
.
Câu 12. Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển
2
3
2
1
1 2
4
n
f x x x x
thành đa thức,
với
n
là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
3 2
14
n
n n
A C n
.
A.
9 10
19
2 C
. B.
5 10
19
2 C
. C.
6 10
19
2 C
. D.
5 10 10
19
2 C x
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
3 2 2
5
1
14 1 2 14 2 5 25 0
5
2
.
2
n
n n
n
n n
A C n n n n n n n
n
Mà
5n n
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 12
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Xét khai triển
2 4
15 15 19 19
2
1 1 1
1 2 1 2 . 2 . 2
4 2 16 16
x
f x x x x x x x
.
Ta có số hạng tổng quát của khai triển
19
2 x
là
19
19
2
k k k
C x
.
Từ đó, hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển đã cho bằng
10 9 5 10
19 19
1
. .2 2
16
C C
.
Câu 13. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng
60
và diện tích xung quanh bằng
2
6 a
. Tính thể tích
V
của
khối nón đã cho.
A.
3
V a
. B.
3
2
4
a
V
. C.
3
3V a
. D.
3
3 2
4
a
V
.
Lời giải
Chọn C
Giả sử hình nón đã cho có đỉnh
S
, đường tròn đáy tâm
O
và thiết diện qua trục là tam giác
SAB
cân tại
S
như hình vẽ.
Từ giả thiết, suy ra
60ASB
, do đó
SAB
là tam giác đều.
Mặt khác
2 2
. . 6 .2 6 3 3OB SB a OB OB a OB a SO a
.
Thể tích khối nón
2
2 3
1 1
. . . 3 .3 3
3 3
V OB SO a a a
.
Câu 14. Cho hàm số
3 2
2 3
x
y
x
. Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
2;1
. Khi đó
M m
là
A.
1
7
. B.
15
7
. C.
15
7
. D.
1
7
.
Lời giải
Chọn D
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn
2;1
.
Ta có
2
5
0, 2;1
2 3
y x
x
nên hàm số nghịch biến trên
2;1
.
8
2 , 1 1
7
M y m y
.
Suy ra
1
7
M m
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 13
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Câu 15. Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
có đồ thị
C
. Gọi
;M a b
là điểm trên
C
có khoảng cách đến đường
thẳng
: 3 6d y x
nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2a b
. B.
2a b
. C.
2a b
. D.
2a b
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 2 3
2 1 3
2
2 2 2
x
x
y
x x x
.
Gọi
3
;2 , 2
2
M C M a a
a
.
Ta có
3 6 3 6 0y x x y d
.
Ta có khoảng cách từ
M
đến
d
là
2
2
3
3 2 6
2 1 3 1 3 2 10
, 3 4 3 2 2
2 2 5
10 10
3 1
a
a
d M d a a
a a
.
Dấu bằng xảy ra khi
1
1 1;1 2
1
a
a M a b
b
.
Câu 16. Cho lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, độ dài cạnh bên bằng
4a
.
Mặt phẳng
' 'BCC B
vuông góc với mặt đáy và
' 30B BC
. Thể tích khối chóp
. 'A CC B
là:
A.
3
3
12
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
3
3
a
.
Lời giải
Chọn B
Kẻ
'B H BC
'
'
' 2
2
B H ABC
BB
B H a
.
Gọi
I
là trung điểm
BC
.
'
'
AI BC
AI CC B
AI B H
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 14
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
2
'
1 1
. ' .2
2 2
CC B
S BC B H a a a
.
3
2
. ' '
1 1 3 3
. .
3 3 2 6
A CC B CC B
a a
V AI S a
.
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
R
, chiều cao bằng
h
. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
2h R
. B.
2
R
h
. C.
2h R
. D.
h R
.
Lời giải
Chọn D
2 2 2
tp xq xq xq
S S S S S
ñaùy
.
2
2 2 2
xq
S S Rh R h R
ñaùy
.
Câu 18. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
đáy và
SA a
. Gọi
E
là trung điểm cạnh
CD
. Mặt cầu đi qua bốn điểm
, , ,S A B E
có bán kính
là:
A.
2
16
a
. B.
41
16
a
. C.
41
8
a
. D.
41
24
a
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
EAB
.
Gọi
là đường thẳng qua
O
và vuông góc với mặt phẳng
EAB
.
Gọi
E
là trung điểm cạnh
SA
.
Trong
,SA
gọi
W
là giao điểm của
với đường trung trực cạnh
SA
.
W
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABE
, bán kính
R WA
.
2
1 1
.
2 2
ABE
S AB EI a
.
5
2
a
EA EB
.
2
5 5
. .
. . . . 5
2 2
4 4 8
4.
2
ABE
EAB
ABE
EAB
a a
a
EA EB AB EA EB AB a
S R
R S
a
.
5
8
a
AO
.
Tứ giác
AEWO
là hình chữ nhật
2 2
2 2
25 41
64 4 8
a a a
WA AO AE
.
41
8
a
R
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 15
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Câu 19. Cho hàm số
3 2
1
, ,
6
f x x ax bx c a b c
thỏa mãn điều kiện
0 1 2 .f f f
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
c
để hàm số
2
2g x f f x
nghịch biến trên
khoảng
0;1
là
A.
1 3
. B.
1
. C.
3
. D.
1 3
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
0
1
1
6
4
2 4 2
3
f c
f a b c
f a b c
.
Vì
3 2
1
1
1 1 1
6 2
0 1 2
1
4
6 2 3
4 2
3
3
a b
a
f f f f x x x x c
b
a b
.
2
1 1
2 3
f x x x
.
Ta có
2 2
2 . 2 . 2g x x f x f f x
Hàm số
g x
nghịch biến trên khoảng
0;1 0, 0;1g x x
.
Nhận xét:
0f x
thì
3 3
1 ;1 0;1
3 3
x
nên
0;1x
thì
2
2 0 1
2 0
x
f x
.
0, 0;1g x x
khi
2
2 0, 0;1f f x x
.
Lại có
2 2
0;1 2 2;3 2 2 3 .x x f f x f
Suy ra
3 3
2 1 1
3 3 3 3
3 3
1 2 3 1 1 ;
3 3 3 3
3 3
3 1
3 3
f c
f f c
f c
min max 1.c c
Câu 20. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
, .B BC a
Biết
SA a
và
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
,E F
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
SB
và
SC
. Thể tích
khối chóp
.S AEF
bằng
A.
3
18
a
. B.
3
24
a
. C.
3
36
a
. D.
3
12
a
.
Lời giải
Chọn C
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 16
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Ta có
3
.
1
. . .
6 6
S ABC
a
V SA AB BC
Tam giác
ABC
vuông cân tại
2.B AC a
Tam giác
SAC
vuông tại
A
, có
2
2
1
3
SF SA
AF SC
SC SC
,
1
.
2
SE
SB
Lại có
3
.
. .
.
1 1
. .
6 6 36
S AEF
S AEF S ABC
S ABC
V
SE SF a
V V
V SB SC
Câu 21. Số nghiệm của phương trình
2 2
2
2 2 3
x x x x
là
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
2
2 , 0
x x
t t
.
Phương trình đã cho trở thành
2
1
4
3 3 4 0
4
t l
t t t
t
t tm
.
Với
2
2
1
4 2 4 2 0
2
x x
x
t x x
x
.
Vậy phương trình có 2 nghiệm
1x
và
2x
.
Câu 22. Cho hàm số
3 2
( ) ( , , , )
y f x ax bx cx d a b c d
có bảng biến thiên như sau:
Phương trình
( ) ( )f x m m
có bốn nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
thỏa mãn điều kiện
1 2 3 4
1
2
x x x x
khi:
A.
1
1
2
m
. B.
0 1m
. C.
0 1m
. D.
1
1
2
m
.
Lời giải
Chọn A
Để ý rằng, do tính đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba ta suy ra được tâm đối xứng (hay điểm uốn)
của đồ thị hàm số
( )y f x
là
1 1
;
2 2
I
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 17
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
bảng biến thiên của hàm số
( )y f x
ta suy ra bảng biến thiên của hàm số
( )y f x
như sau:
Vậy, dựa vào bảng biến thiên của hàm số
( )y f x
ta có:
1
1
2
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
, 50;50m m
sao cho bất phương trình
4
2 0mx x m
nghiệm đúng với mọi
x
.
A.
1274
. B.
1200
. C.
1272
. D.
1224
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
4
2 0,mx x m x
4
1 2 ,m x x x
4
2
( ),
1
x
m f x x
x
.
Xét hàm số
4
2
( )
1
x
f x
x
trên
. Ta có:
4
2
4
6 2
( )
1
x
f x
x
;
4
1
( ) 0
3
f x x
.
Bảng biến thiên của
( )f x
:
Dựa vào bảng biến thiên của
( )f x
ta suy ra:
4
2
( ),
1
x
m f x x
x
4
27
1,13975
2
m
.
Vì
, 50;50m m
nên
2;3;4;...;49m
.
Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số
m
là:
48.51
2 3 4 ... 49 1224
2
S
.
Câu 24. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để giá trị lớn nhất của hàm số
4 2
( ) 4y g x x x m
trên đoạn
2;1
bằng
2020
. Tính tổng các phần tử của
S
.
A.
4
. B.
5
. C.
2020
. D.
0
.
Lời giải
Chọn A
Xét
4 2
( ) 4f x x x m
liên tục trên
2;1
ta có:
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 18
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
2;1
min ( ) 2 4f x f m
;
2;1
max ( ) 2 0f x f f m
.
Suy ra:
2;1 2;1
max ( ) max ( ) max ; 4g x f x m m
.
Trường hợp 1:
4m m
, (*).
Khi đó:
2;1
max ( ) 2020g x m
2020
2020
m
m
. Kiểm tra điều kiện (*) ta được
2020m
.
Trường hợp 2:
4m m
, (**).
Khi đó:
2;1
max ( ) 4 2020g x m
2024
2016
m
m
. Kiểm tra điều kiện (**) ta được
2016m
.
Vậy tổng các phần tử của
S
là:
2020 ( 2016) 4
.
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m
sao cho đường thẳng
y x m
cắt đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
tại hai điểm phân biệt
A
,
B
và
4AB
.
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm là
2 1
1
x
x m
x
,
1x
.
2
1 1 0f x x m x m
.
1
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt thì phương trình
*
có hai
nghiệm phân biệt khác
1
.
2
0
3 2 3
6 3 0
2
1 0
3 0
3 2 3
m
m m
f
m
.
Gọi hai điểm phân biệt là
1 1
;A x x m
,
2 2
;B x x m
, với
1 2
,x x
là hai nghiệm phân biệt
của phương trình
*
.
Ta có
2 2 2
2 1 2 1 2 1
2AB x x x x x x
2
2
1 1 1 2
2 2 2 6 3x x x x m m
.
Mà
2 2 2
4 16 6 3 8 6 11 0AB AB m m m m
.
3 2 5 3 2 5 3m
.
Từ
2
và
3
, kết hợp
m
là số nguyên dương ta suy ra
7m
.
Vậy có
1
giá trị nguyên dương của
m
thỏa điều kiện bài toán.
Câu 26. Tập xác định của hàm số
2
2
3
2
4 3
2 3 1
x x
y
x x
là:
A.
4
1;
3
D
. B.
1 4
1; 0;
2 3
D
.
C.
1 4
1; 0;
2 3
D
. D.
1 4
\ 1; ;0;
2 3
D
.
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 19
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Chọn B
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2
2
4 3
0
2 3 1
x x
x x
.
Bảng xét dấu
Vậy tập xác định là
1 4
1; 0;
2 3
D
.
Câu 27. Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d
có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị
a
,
b
,
c
,
d
có bao nhiêu giá trị dương?
A.
4
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn C
Theo hình dạng đồ thị ta suy ra
0a
.
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu nên
a
và
c
trái dấu, suy ra
0c
.
Đồ thị hàm số có giao điểm với trục tung tại điểm có tung độ âm nên
0d
.
Hoành độ tâm đối xứng của đồ thị là nghiệm của phương trình
0 6 2 0
3
b
y ax b x
a
.
Từ đồ thị ta thấy tâm đồ thị hàm số là số dương nên
0 0
3
b b
a a
, suy ra
,a b
trái dấu,
do đó ta có
0b
.
Vậy
0a
,
0b
,
0c
,
0d
.
Câu 28. Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc
phễu hình nón đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm
trên một đường kính của mặt đáy hình nón), các đỉnh còn lại nằm trên mặt mặt nón, tâm của viên
gạch nằm trên trục hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích nước còn lại trong phễu (làm tròn đến
hai chữ số thập phân)
O
x
y
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 20
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
A.
22,10V
. B.
22, 27V
. C.
20, 64V
. D.
22, 30V
.
Lời giải
Chọn B
Đặt các đỉnh như hình vẽ dưới đây
Xét mặt phẳng qua trục của khối nón chứa cạnh AB, ta có hình phẳng
Với
HK
là đường kính đường tròn ngoại tiếp
A B CD
Ta có
2 2BC
và
2 3A C
N
M
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
N
M
B
O
A
F
E
K
H
C'
D'
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 21
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Khi đó
2 2 3 1 2
tan . 2. cot
2
2 3 2 2 3 1
D E D A
D A E D A E
A E A C EF
Suy ra
2 4
2 . tan 2 .cot 2 2.
2
3 1 3 1
3 1 5 3
. tan .
2
2 2
MA EA D A E EA D A E
AB
h MA AO D MA MA
Như vậy thể tích cần tìm là
2
2
3 3
1 1 4 5 3
1 1 . 2 22,27
3 3
3 1 2
MA h AB
.
Câu 29. Cho khối lăng trụ
.ABCD A B C D
có thể tích bằng
12
, đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
.
Thể tích khối chóp
.A BCO
bằng
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
. . '
1 1 1 1
, . . , . 1
3 3 4 12
A BCO BCO ABCD ABCD A B C D
V d A ABCD S d A ABCD S V
.
Câu 30. Cho hai số thực
,a b
thỏa mãn điều kiện
3 4 0a b
. Tính tổng
2S a b
khi biểu thức
2
3
3
4
3
log log
4 16
a a
b
a
P a
b
đạt giá trị nhỏ nhất
A.
10S
. B.
11S
. C.
12S
. D.
8S
.
Lời giải
Chọn D
3 4 0
4
3 4 0 1
4
3
3
a
a b a a
b
a
Ta có
2
2
3 3
3
4
3 3 3
log log log log
4 16 4 16 4
a a a a
b
a a a
P a
b b b
2
3
3 3
log log
4 16 2 2
a a
a a
b b
D'
C'
B'
A'
O
D
C
B
A
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 22
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Lại có
3
3 3
3
2 2 3 4 3 4 3 4 1 1
4
4
Cauchy
a a
b b a b b
b
b
nên
2
2
3 3
3
3
3 1 3 3
log log
4 16 4 16
log
log
4
4
a a
a
a
a a
P
b b
a
a
b
b
2
2
3 3 3
2
3
3
3
1 1 3 3 3 9 9
log log 3 . log .
2 4 2 4 16 64 4 4
log
log
4
4
Cauchy
a a a
a
a
a a a
P
b b b
a
a
b
b
Do đó
9
min
4
P
,
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
4
2
2
2
a
a
b
b
Vậy
2 4 2.2 8S a b
.
Câu 31. Hàm số
2
0,5
log 2y x x
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
1;
. B.
0;1
. C.
;1
. D.
1;2
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định
0;2D
.
Ta có
2
2 2
2 ln 0,5
x
y
x x
.
Với
0;2x
ta có
2
2 2
0 0 2 2 0 1
2 ln 0,5
x
y x x
x x
.
Kết hợp với điều kiện,
0 1;2y x
.
Vậy hàm số
2
0,5
log 2y x x
đồng biến trên khoảng
1;2
.
Câu 32. Cho hình chóp
.S ABC
có
5a, 6a, 7aAB BC CA
. Các mặt bên
,SAB SBC
và
SCA
cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc
0
60
. Hình chiếu vuông góc của
S
lên mặt phẳng
ABC
thuộc miền trong tam giác
ABC
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
8a 3
. B.
3
4a 3
. C.
3
8a 3
3
. D.
3
a 3
2
.
Lời giải
Chọn A
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 23
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Gọi
O
là chân đường vuông góc từ
S
xuống mặt phẳng
ABC
SO ABC
.
Các mặt bên
,SAB SBC
và
SCA
cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc
0
60
.
O
là tâm đường tròn nội tiếp
ABC
.
Gọi
, ,H K I
lần lượt là hình chiếu của
O
lên các cạnh
, ,AB BC CA
.
60SHO
.
Ta có
5 6 7
9
2
a a a
p a
;
2
9 9 5 9 6 9 7 6 6
ABC
S a a a a a a a a
(đvdt)
Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp
2 6
3
ABC
S
r OH a
p
.
Xét
SHO
vuông tại
O
,
2 6
.tan 60 . 3 2 2
3
a
SO OH a
.
2 3
.
1 1
. .6 6 .2 2 8 3
3 3
S ABC ABC
V S SO a a a
(Đvtt).
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho hàm số
4 2
2 1 2020y x m x m
đồng
biến trên khoảng
3; 1
.
A.
10m
. B.
10m
. C.
10m
. D.
10m
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
3
4 4 1y x m x
.
Hàm số
4 2
2 1 2020y x m x m
đồng biến trên khoảng
3; 1
0, 3; 1y x
3
4 4 1 0, 3; 1x m x x
3
1 , 3; 1m x x x
2 2
3; 1
1 , 3; 1 1 max 1 9 10m x x m x m m
.
Câu 34. Cho tập
A
có 20 phần tử. Hỏi tập
A
có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn ?
A.
19
2
B.
19
2 1
C.
20
2 1
D.
20
2
Lời giải
Chọn B
Số tập con khác rỗng của tập
A
có 20 phần tử mà số phần tử chẵn là
2 4 6 18 20
20 20 20 20 20
...n C C C C C
hay ta có
0 2 4 6 18 20
20 20 20 20 20 20
1 ...n C C C C C C
.
Xét khai triển
20
0 1 2 2 18 18 19 19 20 20
20 20 20 20 20 20
1 ...x C C x C x C x C x C x
.
Cho
1x
trong khai triển trên, ta được:
20 0 1 2 18 19 20
20 20 20 20 20 20
2 ... 1C C C C C C
Cho
1x
trong khai triển trên, ta được:
0 1 2 3 18 19 20
20 20 20 20 20 20 20
0 ... 2C C C C C C C
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 24
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Cộng vế với vế của các đẳng thức (1) và (2) ta được:
20 0 2 4 6 18 20
20 20 20 20 20 20
20
19
2 2 ...
2 2 1
2 1
C C C C C C
n
n
Câu 35. Cho lăng trụ tam giác
.ABC A B C
có
2AB AC a
và
2 3BC a
. Tam giác
A BC
vuông
cân tại
A
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy
ABC
. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng
AA
và
BC
.
A.
3a
. B.
3
2
a
. C.
2
2
a
. D.
5
2
a
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
H
là trung điểm của
BC
, ta có
A H ABC
và
A H BC
, mặt khác tam giác
ABC
cân
tại
A
nên
AH BC
. Vậy nên
BC A AH A A BC
. Gọi
I
là hình chiếu của
H
lên
A A
thì
IH
là đoạn vuông góc chung của
AA
và
BC
, do đó
,d AA BC HI
.
Trong tam giác vuông cân
A BC
:
1
3
2
A H BC a
Trong tam giác vuông
ABH
:
2 2 2 2
4 3AH AB BH a a a
Xét tam giác vuông
A AH
có
2 2 2 2
. . 3 3
2
3
AH A H a a a
IH
AH A H a a
Vậy
3
,
2
a
d AA BC HI
Câu 36. Cho ba số dương
, ,a b c
khác 1. Đồ thị các hàm số
log , log , log
a b c
y x y x y x
như hình vẽ
dưới đây. Tìm khẳng định đúng:
A.
c b a
. B.
c a b
. C.
a c b
. D.
b a c
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 25
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Lời giải
Chọn B
Vẽ đường thẳng
1y
lần lượt cắt đồ thị các hàm số
log , log , log
a b c
y x y x y x
tại các điểm
có hoành độ lần lượt là
, ,a b c
, ta thấy
0 1c a b
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để đồ thị hàm số
2
1
4
x
y
x x m
có đúng ba đường
tiệm cận?
A. 9. B. 7. C.
10
. D. 8.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
2
1
.
4 0
x
x x m
Ta có
lim 0
x
y

nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang
0y
.
Vậy để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì phương trình
2
4 0x x m
phải có hai nghiệm
phân biệt nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Xét phương trình
2 2
4 0 4x x m x x m
Hàm số
2
4y x x
có bảng biến thiên:
Từ BBT ta có điều kiện của
m
là
4 5 5 4, 5; 4;...;3m m m m
.
Vậy có 9 giá trị
m
nguyên thỏa mãn.
Câu 38. Hàm số
4 3
4 2y x x
đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
3;
. B.
4;
. C.
;4
. D.
;3
.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định:
.D
Ta có:
3 2 2
4 12 4 3 ; 0, ;3 .y x x x x y x

Nên hàm số đồng biến trên khoảng
;3 .
Câu 39. Cho hình chóp
.S ABC
có
; 2SA SB SC AB AC a BC a
. Góc giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
bằng
A.
90
. B.
30
. C.
60
. D.
45
.
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 26
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Chọn C
Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung điểm
,BC AC
và
.SA
Vì
; 2SA SB SC AB AC a BC a
nên
SM ABC
Ta có
// , // , , .MN AB NP SC AB SC MN NP
Tam giác
MNP
có
2
a
MN NP MP MNP
đều
, 60 .MN NP MNP
Vậy
, 60 .AB SC
Câu 40. Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
, cạnh
6BC a
. Góc
giữa mặt phẳng
AB C
và mặt phẳng
BCC B
bằng
60
. Tính thể tích khối đa diện
.AA B C C
A.
3
3a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
3
a
. D.
3
3 3
2
a
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
H
là trung điểm
BC
; trong
BB C
kẻ
HK B C
. Dễ dàng chứng minh được
AK B C
. Như vậy góc giữa mặt phẳng
AB C
và mặt phẳng
BCC B
là góc
60AKH
Ta có
6 2
.cot60
2 2 2
BC a a
AH KH AH
Ta có
2 2
2 2
3
2 2
a a
CK CH KH a
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 27
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
2
. 6
.
2
3
a
a
CK KH KH CB
BB a
CB BB CK a
Vậy
2
3 3 3
. ' ' '
1 3 2 3
. 6 .a 3 3 . 3 3
4 2 3 2
ABC A B C ABC AA B C C
V S BB a a V a a
Câu 41. Cho hệ phương trình
2 2
3
9 4 5
log 3 2 log 3 2 1
m
x y
x y x y
(tham số
m
) có nghiệm
;x y
thỏa
mãn
3 2 5x y
. Khi đó giá trị lớn nhất của
m
là:
A.
5
log 3
. B.
3
log 5
. C.
5
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
3 2
3 2
a x y
b x y
Ta có hệ pt
3
. 5
log log 1, 2
m
ab
a b
Thay
5
b
a
vào pt
2
, ta được pt
3 3
3 3
1
log 15 1
3
5 15
log log 1 log log
15 15
log 3.log log log 3 log
log 3 log 15 1
1
log 3
log 15 1
a
m m
m m a
m a
a
a a
a a
a
a a
m m
Vậy
m
lớn nhất khi và chỉ khi
a
lớn nhất,
Suy ra
5a
thì
m
lớn nhất bằng
5
.
Câu 42. Cho khối chóp
.S ABC
có thể tích là
3
3
a
. Tam giác
SAB
có diện tích là
2
2a
. Tính khoảng cách
từ
C
đến mặt phẳng
SAB
.
A.
2
a
d
. B.
2d a
. C.
a
. D.
2
3
a
d
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
3
.
2
3.
3
3
, .
2 2
S ABC
SAB
a
V
a
d C SAB
S a
Câu 43. Cho hàm số
4 3 2
2 8 16 1f x x x x m
(m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm
cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc#c. Giá trị
a b c
bằng
A. 12. B. 16. C. 15. D. 13.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
4 3 2
2 8 16 1g x x x x m
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 28
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Ta có:
3 2
' 8 24 32g x x x x
.
0
' 0 1
4
x
g x x
x
. Bảng biến thiên của hàm số
y g x
:
Trường hợp 1:
1 0 1m m f x g x
có 5 cực trị.
Trường hợp 2:
5 0 1 5 1m m m f x g x
có 7 cực trị.
Trường hợp 3:
255 0 5 255 5m m m f x g x
có 5 cực trị.
Trường hợp 4:
0 255 255m m f x g x
có 3 cực trị.
Vậy
15a b c
.
Câu 44. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp
đôi bình I và trong bình III gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy
1 2 3
, ,r r r
của ba
bình I, II, III.
A.
1 2 3
, ,r r r
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội
1
2
.
B.
1 2 3
, ,r r r
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội
2
.
C.
1 2 3
, ,r r r
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội
1
2
.
D.
1 2 3
, ,r r r
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội
2
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
1 2 3
, ,V V V
lần lượt là lượng nước;
1 2 3
, ,h h h
lần lượt là độ cao mực nước trong các bình I, II,
III.
Ta có:
2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, ,V r h V r h V r h
Theo giả thiết:
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 3
2 2 2 2
2 3
2 2 3 3 2 2 3 3
*
V V
r h r h r h r h
V V V
V V
r h r h r h r h
Mặt khác:
3 2 1
2 4h h h
nên
2 2 2 2
1 2
1 1 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 3 2 2 3
2 3
2
2 2
*
2 2
2
r r
r h r h r r
r h r h r r
r r
Do đó
1 2 3
, ,r r r
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội
1
2
.
Câu 45. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình
2 2
log 2 3 log 3
m m
x x x x
. Biết rằng bất phương trình có một nghiệm là
1x
.
A.
1
1;0 ;3
3
S
. B.
1;3S
.
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 29
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
C.
1
1;0 ;3
3
S
. D.
1;0 1;3S
.
Lời giải
Chọn A
Trường hợp 1:
1m
2 2
2
2
2 2
log 2 3 log 3
2 3 0
2 3 0 ; 1 3;
2 3 3
m m
x x x x
x x
x x x
x x x x

Trường hợp 2:
0 1m
2 2
2 2
2 2 2
log 2 3 log 3
3 0 3 0
1
1;0 ;3
3
2 3 3 2 3 0
m m
x x x x
x x x x
x
x x x x x x
Vì
1x
là một nghiệm của bất phương trình nên
1
1;0 ;3
3
S
.
Câu 46. Cho mặt cầu
S
tâm
O
. Các điểm
, ,A B C
nằm trên mặt cầu
S
sao cho
3, 4, 5AB AC BC
và khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
ABC
bằng
1
. Thể tích của khối
cầu
S
bằng
A.
20 5
3
. B.
29 29
6
. C.
13 3
6
. D.
7 21
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 2 2
BC AB AC
nên tam giác
ABC
vuông tại
A
. Mặt phẳng
ABC
cắt mặt cầu
S
theo giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp
ABC
có bán kính
5
2 2
BC
r
. Mà khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
ABC
là
1d
nên mặt cầu
S
có bán kính
2 2
29
2
R d r
.
Vậy thể tích của khối cầu là
3
3
4 4 29 29 29
3 3 2 6
V R
.
Câu 47. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
1
2
AB BC AD a
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp
.S ACD
bằng
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 30
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
A.
3
2
6
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
4
a
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Do
SAB
là tam giác đều cạnh bằng
a
nên
SH AB
và
3
2
a
SH
. Mà
SAB ABCD
theo giao tuyến
AB
nên
SH ABCD
.
Vì
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
nên diện tích tam giác
ACD
được tính theo công
thức
2
1
. .
2
ACD
S AD AB a a a
.
Vậy thể tích khối chóp
.S ACD
là
3
2
.
1 1 3 3
. .
3 3 2 6
S ACD ACD
a a
V S SH a
.
Câu 48. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2 1
2 3
x
y
x
là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định:
3
\
2
.
+)
2 1
3 1
lim lim
2 3 2 3 2
x x
x
x
x x
 
nên đường thẳng
1
2
y
là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số.
+)
2 1
1 1
lim lim
2 3 2 3 2
x x
x
x
x x
 
nên đường thẳng
1
2
y
là một tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số.
+)
3
2
2 1
lim
2 3
x
x
x

nên đường thẳng
3
2
x
là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng
3
đường tiệm cận.
Câu 49. Cho tứ diện
ABCD
có
0 0
, 5, 90 , 135AB a AC a DAB CBD ABC
. Biết góc giữa hai
mặt phẳng
ABD
và
BCD
bằng
0
30
. Thể tích khối tứ diện
ABCD
bằng.
A.
3
2
a
. B.
3
3 2
a
. C.
3
2 3
a
. D.
3
6
a
.
Lời giải
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 31
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Chọn D
Ta có
2 2 2 0 2 2 2
2 . cos135 5 2 . 2AC AB BC AB BC a a BC a BC BC a
.
Gọi
, ,H I K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
lên
,BCD BD
và
BC
. Khi đó góc giữa
hai mặt phẳng
ABD
và
BCD
bằng
0
30AIH
và
BIHK
là hình chữ nhật.
Do
0 0
135 45ABC ABK
nên
AKB
vuông cân tại
K
. Do
2
a
AB a AK BK
nên
0
1
tan 30 .
2 2 3 6
a a a
HI AH HI
.
Trong tam giác vuông
AHB
ta có
2 2
2 2 2 2
5
6 6
a a
HB AB AH a
. Khi đó
2 2
2 2
5 3
6 2 3
a a a
BI BH HI
.
Trong tam giác vuông
ABD
ta có
2 2
2
. 3
3
3
AB a
AB BI BD BD a
BI
a
.
Vậy
3
1 1
. . . . 2. 3
6 6 6
6
ABCD
a a
V AH BC BD a a
.
Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình
9 2 5 3 9 2 1 0
x x
x x
là
; ;S a b c 
. Khi đó
a b c
bằng:
A.
4
. B.
1
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
9 2 5 3 9 2 1 0 3 2 1 3 9 0
x x x x
x x x
3 2 1
3 2 1
3 9 2
3 2 1 3 2 1
2
3 9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
(*)
Xét phương trình
3 2 1 3 2 1 0
x x
x x
Xét hàm số
2
3 2 1 3 ln3 2, 3 ln 3 0
x x x
f x x f x f x
Vậy
0f x
có nhiều nhất một nghiệm. Vậy
0f x
có nhiều hất hai nghiệm. Hay
3 2 1 0
x
x
có nhiều hất hai nghiệm
NHÓM TOÁN VD – VDC
Trang 32
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
NHÓM TOÁN VD
–
VDC
Nhận xét:
3 2 1 0
x
x
có hai nghiệm
0; 1x x
Khi đó (*)
1
0
2
2
0 1
0 1
2
x
x
x
x
x
x
x
. Vậy
0;1 2;S 
.
Khi đó
0; 1; 2 3a b c a b c
.
____________________ HẾT ____________________
| 1/32
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

NHÓM TOÁN VD – VDC SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN N
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) H Ó
Đề thi gồm 06 trang & 50 câu trắc nghiệm M . TO Á N
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với mặt đáy góc 30 . Thể VD
tích khối chóp S.ABC bằng – 3 3 3 3 V a 3 a 3 a 3 a 3 . . . . D A. B. C. D. 48 24 36 72 C
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 3 y  x   m   2 x   2 m  m   2 2 1 2 2
4 x  2m  4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Câu 3. Cho hàm số 3 y  x  3mx 1  
1 ( m là tham số thực, m ;0 ). Gọi d là đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  
1 . Đường thẳng d cắt đường tròn tâm I  1  ;0 bán
kính R  3 tại hai điểm phân biệt ,
A B . Diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất là 9 A. 2 7. B. . C. 6. D. 14. 2
Câu 4. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  và thỏa mãn điều kiện f 2  x  f 8  2x  3x .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm có hoành độ x  4 . A. y  3  x 15. B. y  3x 15. C. y  3  x  9 . D. y  3x  9 . N H
Câu 5. Cho cấp số cộng u có u  u  80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng n  3 13 Ó M A. 600 . B. 630 . C. 800 . D. 570 . T
Câu 6. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất O
0,8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là ÁN
10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá VD
trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng? – A. 48 . B. 49 . C. 47 . D. 50 . VD c c C
Câu 7. Cho các số thực a,b, c thoả mãn c  b  a 1và 2 2 6log b  log c  log  2log 1. Đặt a b a b b b
T  log c  2log b . Mệnh đề nào sau đây đúng? b a A. T 2;5 . B. T  3  ;  1 . C. T 5;10 . D. T  1  ;2 . Câu 8. Cho hàm số 3 2 2
y  x  3mx  4m  2 
1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   1 có hai điểm cực trị A. 1   m 1. B. m  1  . C. m  1. D. m  0 . Câu 9. Cho phương trình x 2 x 1 m     2 m   x 3 8 .2 2
1 .2  m  m  0 . Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham
số m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt là  ; a b . Tính . a b bằng? 2 3 4 3 A. a.b  . B. . a b  . C. . a b  . D. . a b  . 3 2 3 4 Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình 3
x  3x  m 1  0 có 3 nghiệm phân biệt,
trong đó có hai nghiệm dương? A. 1  m  1 . B. 2  m  1. C. 0  m  1. D. 1   m 1. N H
Câu 11. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác Ó
suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố. M 2045 409 409 409 T A. . B. . C. . D. . O 13608 11250 90000 3402 Á 2 N  1  3 2 n
Câu 12. Tìm hệ số của số hạng chứa 10 x trong khai triển f x  x  x 1 x  2 thành đa thức, V       D  4  –
với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 3 n2 A  C 14n . n n VD A. 9 10 2 C . B. 5 10 2 C . C. 6 10 2 C . D. 5 10 10 2 C x . C 19 19 19 19
Câu 13. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 2
6 a . Tính thể tích V của khối nón đã cho. 3  a 2 3 3 a 2 A. 3 V   a . B. V  . C. 3 V  3 a . D. V  . 4 4 3x  2 Câu 14. Cho hàm số y 
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x  3 trên đoạn  2  ;  1 . Khi đó M  m là 1 15 15 1 A.  . B. . C.  . D. . 7 7 7 7 2x 1 Câu 15. Cho hàm số y 
có đồ thị C . Gọi M a;b là điểm trên C có khoảng cách đến đường x  2
thẳng d : y  3x  6 nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a  b  2 . B. a  b  2 . C. a  b  2 . D. a  b  2 . N
Câu 16. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , độ dài cạnh bên bằng 4a . H Ó
Mặt phẳng BCC ' B ' vuông góc với mặt đáy và 
B ' BC  30 . Thể tích khối chóp . A CC ' B là: M 3 3 3 3 T a 3 a 3 a 3 a 3 O A. . B. . C. . D. . Á 12 6 2 3 N
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R , chiều cao bằng h . Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn VD
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ? – R V A. h  R 2 . B. h  . C. h  2R . D. h  R . D 2 C
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy và SA  a . Gọi E là trung điểm cạnh CD . Mặt cầu đi qua bốn điểm S, , A B, E có bán kính là: a 2 a 41 a 41 a 41 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 24 1
Câu 19. Cho hàm số f x 3 2
 x  ax  bx  ca, ,
b c   thỏa mãn điều kiện f 0  f   1  f 2. 6
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số g  x  f  f  2
x  2 nghịch biến trên khoảng 0;  1 là A. 1 3 . B. 1. C. 3 . D. 1 3 . Trang 2 NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC  . a Biết SA  a và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC . Thể tích khối chóp S.AEF bằng N 3 3 3 3 H a a a a Ó A. . B. . C. . D. . M 18 24 36 12 x x xx T
Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2 2 2 2  2  3 là O Á A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . N Câu 22. Cho hàm số 3 2
y  f (x)  ax  bx  cx  d (a, , b ,
c d ) có bảng biến thiên như sau: VD – VDC
Phương trình f (x)  m (m  ) có bốn nghiệm phân biệt x , x , x , x thỏa mãn điều kiện 1 2 3 4 1 x  x  x   x khi: 1 2 3 4 2 1 1 A.  m  1. B. 0  m  1. C. 0  m  1. D.  m  1. 2 2
Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số ,
m m 50;50 sao cho bất phương trình 4
mx  2x  m  0 nghiệm đúng với mọi x   . A. 1274 . B. 1200 . C. 1272 . D. 1224 . N
Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số H 4 2
y  g(x)  x  4x  m trên đoạn 2; 
1 bằng 2020 . Tính tổng các phần tử của S . Ó M A. 4 . B. 5 . C. 2020 . D. 0 . TO
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m sao cho đường thẳng y  x  m cắt đồ thị hàm số ÁN 2x 1 y 
tại hai điểm phân biệt A, B và AB  4 . V x 1 D – A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. V 2 D 2  3  4x  3x  C
Câu 26. Tập xác định của hàm số y  là:  2   2x  3x 1  4   1   4  A. D  1;   . B. D  1  ;  0;     .  3   2   3   1   4  1 4  C. D  1;  0;  .
D. D   \ 1; ;0; . 2   3      2 3  Câu 27. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d
có bao nhiêu giá trị dương? y O x Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 28. Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc
phễu hình nón đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm N
trên một đường kính của mặt đáy hình nón), các đỉnh còn lại nằm trên mặt mặt nón, tâm của viên H Ó
gạch nằm trên trục hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích nước còn lại trong phễu (làm tròn đến M hai chữ số thập phân) TOÁN VD – VDC A. V  22,10 . B. V  22,27 . C. V  20,64 . D. V  22,30 .
Câu 29. Cho khối lăng trụ ABCD.AB C  D
  có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O .
Thể tích khối chóp A .BCO bằng A. 3 . B. 1. C. 2. D. 4 .
Câu 30. Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện 3a  4  b  0 . Tính tổng S  a  2b khi biểu thức 2 3 a  3   P  log   
   log a đạt giá trị nhỏ nhất a  3 4b 16 a     N 4 b   H A. . B. . C. . D. . Ó S  10 S  11 S  12 S  8 M
Câu 31. Hàm số y  log  2
x  2x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 0,5  TO A. 1; . B. 0;  1 . C.  ;   1 . D. 1;2 . ÁN
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có AB  5a, BC  6a,CA  7a . Các mặt bên SAB,SBC và SCA VD
cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC – V
thuộc miền trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC . D C 3 8a 3 3 a 3 A. 3 8a 3 . B. 3 4a 3 . C. . D. . 3 2
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4 y  x  m   2 2 1 x  m  2020 đồng biến trên khoảng  3  ;  1 . A. m  10 . B. m  10 . C. m  10 . D. m  10 .
Câu 34. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn ? A. 19 2 B. 19 2 1 C. 20 2 1 D. 20 2
Câu 35. Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C
  có AB  AC  2a và BC  2a 3 . Tam giác A B  C vuông
cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy  ABC . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA và BC . Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC a 3 a 2 a 5 A. a 3 . B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 36. Cho ba số dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y  log , x y  log , x y  log x như hình vẽ N a b c H
dưới đây. Tìm khẳng định đúng: Ó M TOÁN VD – VDC A. c  b  a . B. c  a  b . C. a  c  b . D. b  a  c . 1 x
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  có đúng ba đường 2 x  4x  m tiệm cận? A. 9. B. 7. C. 10 . D. 8. Câu 38. Hàm số 4 3
y  x  4x  2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. 3; . B. 4; . C.  ;  4 . D.  ;  3 .
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a; BC  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Câu 40. Cho lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC  a 6 . Góc N giữa mặt phẳng  AB C
  và mặt phẳng BCC B
  bằng 60 . Tính thể tích khối đa diện AAB C  C  . H Ó 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 M A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 2 3 2 TO 2 2 9  x  4y  5 Á ; x y N
Câu 41. Cho hệ phương trình 
(tham số m ) có nghiệm   thỏa l
 og 3x  2y  log 3x  2y 1  m   3   VD
mãn 3x  2y  5. Khi đó giá trị lớn nhất của m là: – V A. log 3 . B. log 5 . C. 5. D. 4 . D 5 3 C 3 a
Câu 42. Cho khối chóp S.ABC có thể tích là
. Tam giác SAB có diện tích là 2 2a . Tính khoảng cách 3
từ C đến mặt phẳng SAB . a 2a A. d  . B. d  2a . C. a . D. d  . 2 3
Câu 43. Cho hàm số f x 4 3 2
 2x  8x 16x 1 m (m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm
cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc#c. Giá trị a  b  c bằng A. 12. B. 16. C. 15. D. 13.
Câu 44. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp
đôi bình I và trong bình III gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r , r , r của ba 1 2 3 bình I, II, III. Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC 1
A. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 2
B. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . N 1 2 3 H 1 Ó
C. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 M 2 T
D. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . 1 2 3 O Á
Câu 45. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình N 2 2 V
log 2x  x  3  log 3x  x . Biết rằng bất phương trình có một nghiệm là x 1. m m  D –   A. S    1 1;0  ;3 . B. S   1  ;  3 . V   D  3  C   C. S    1 1; 0  ;3  . D. S   1  ;0 1;  3 . 3   
Câu 46. Cho mặt cầu S  tâm O . Các điểm ,
A B,C nằm trên mặt cầu S  sao cho
AB  3, AC  4, BC  5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC bằng 1. Thể tích của khối cầu S  bằng 20 5 29 29 13 3 7 21 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 2 1
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB  BC  AD  a 2
. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ACD bằng 3 a 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 4 N H x  2 1 Ó
Câu 48. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là M 2x  3 T A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . O 0 0 Á
Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB  a, AC  a 5,  DAB   CBD  90 , 
ABC  135 . Biết góc giữa hai N
mặt phẳng  ABD và BCD bằng 0
30 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng. VD 3 3 3 3 – a a a a A. . B. . C. . D. . V 2 3 2 2 3 6 D C
Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình 9x  2  53x x  92x   1  0 là S   ; a b ; c  . Khi đó a  b  c bằng: A. 4 . B. 1. C. 5 . D. 3 .
____________________ HẾT ____________________ Trang 6 NHÓM TOÁN VD – VDC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 N Môn thi: TOÁN H
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Ó M
Đề thi gồm 06 trang & 50 câu trắc nghiệm T O Á N BẢNG ĐÁP ÁN VD
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 –
D A D A A B D D A A B B C D B B D C B C C A D A D VD
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C
B C B B D D A D B B B A D C A C D C C A B C C D D
PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với mặt đáy góc 30 . Thể
tích khối chóp S.ABC bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 48 24 36 72 Lời giải Chọn D S N H Ó A C M T O O M ÁN V B D –
Góc giữa mặt bên ( SBC ) và đáy ABC bằng góc  SMO  30 .   VDC a 3 Ta có OM  . 6 a
Tam giác SOM vuông tại O nên SO  OM .tan 30  . 6 2 a 3 S  ABC 4 2 3 1 a 3 a a 3 V  . .  SABC . 3 4 6 72
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 3 y  x   m   2 x   2 m  m   2 2 1 2 2
4 x  2m  4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC Lời giải Chọn A
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành N 3 2 2 2 H  x  2m  
1 x  2m  2m  4x  2m  4  0 có 3 nghiệm phân biệt Ó M  x   2 2
1 x  2mx  2m  4  0 có 3 nghiệm phân biệt TO 2 2
 x  2mx  2m  4  0 có 2 nghiệm phân biệt đều khác 1 ÁN 2 2  2 2  m  2    m  2m  4  0  V    4  m  0  D       
mà m   m1;0;  1 2 1 7 2   m  m    m  m   m  – 1 2 2 4 0 2 2 3 0  2 VD Câu 3. Cho hàm số 3 y  x  3mx 1  
1 ( m là tham số thực, m ;0 ). Gọi d là đường thẳng đi C
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  
1 . Đường thẳng d cắt đường tròn tâm I  1  ;0 bán
kính R  3 tại hai điểm phân biệt ,
A B . Diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất là 9 A. 2 7. B. . C. 6. D. 14. 2 Lời giải Chọn D y d A H 1 M B -4 -1 I O 2 x N H Ó M T Tập xác định:  O Á x  0  y 1 2 N
y  3x  3m  0   3 2 V
x  m  y  m  3m 1 D –
Với m ;0 thì đồ thị hàm số  
1 luôn có hai điểm cực trị. VD + Gọi M  ;
x y là điểm cố định của đường thẳng d . C Khi đó phương trình  2
m  3 x  y 1 0 nghiệm đúng với mọi m 2
 m x  3x  y 1  0, m  x  0 x  0    
 d luôn luôn đi qua điểm M 1;0 3  x  y 1  0 y 1
Gọi H là trung điểm AB  IH  AB 1 2 S .IH.AB IH.AH IH 9 IAB IH      . 2
Ta thấy IH  IM  2  S  14  max S  14 I  AB I  AB . Chọn đáp án D. Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 4. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  và thỏa mãn điều kiện f 2  x  f 8  2x  3x .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm có hoành độ x  4 . N A. y  3  x 15. B. y  3x 15. C. y  3  x  9 . D. y  3x  9 . H Ó Lời giải M Chọn A TO
Vì f 2  x  f 8  2x  3x (1) nên f '2  x  2 f '8  2x  3 (2). ÁN Thay x  2 vào   1 ;2 ta được VD  f
 4  f 4  6  f  4  3 –    V  f '
 4  2 f '4  3  f '  4  3 D C
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm có hoành độ x  4 là
y  f '4.x  4  f 4  3  x  4  3  3  x 15 .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm có hoành độ x  4 là y  3  x 15.
Câu 5. Cho cấp số cộng u có u  u  80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng n  3 13 A. 600 . B. 630 . C. 800 . D. 570 . Lời giải Chọn A
Gọi công sai của cấp số cộng u là d . n  2u 14d .15 1 
Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng S   15 u  7d . 15  1  2
u  u  80  u  2d  u 12d  80  u  7d  40. 3 13 1 1 1 N Vậy S 15.40  600 . 15 H
Câu 6. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất Ó M
0,8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là T
10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá O Á
trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng? N A. 48 . B. 49 . C. 47 . D. 50 . VD Lời giải – Chọn B VD
Số tiền còn nợ sau 1 tháng là T  400. 1 0,8% 10 . 1   C
Số tiền còn nợ sau 2 tháng là T  400.1 0,8%2 10 1 0,8% 10 . 2   …
Số tiền còn nợ sau n tháng là T  400.       n
1 0,8%n 101 0,8%n 1 ... 10
 4001 0,8%n 10. 1
  1 0,8% ... 1 0,8%n 1   n    n 1 0,8% 1 400 1 0,8% 10  8  501 0,8%n 1250 0,8% T      n  . n  n 25 0 1 0,8% 48, 4 17
Vậy sau 49 tháng thì anh Ba trả hết nợ. Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC c c
Câu 7. Cho các số thực a,b, c thoả mãn c  b  a 1và 2 2 6log b  log c  log  2log 1. Đặt a b a b b b
T  log c  2log b . Mệnh đề nào sau đây đúng? b a N H A. T 2;5 . B.T  3  ;  1 . C. T 5;10 . D.T  1  ;2 . Ó M Lời giải T Chọn D O Á Đặt x  log ; b y  log c  xy  log . c Khi đó a b a N V 2 2 c c 2 2 D 6log b  log c  log  2log
1 6x  y  xy  x  2y 1   1 a b a b b b – V
Và T  log c  2log b  y  2 . x b a D C 1   y  3x Ta có  
1  6x  1 y x  1 y2 2  0   T  y  2x 1. 1    y  2  x Câu 8. Cho hàm số 3 2 2
y  x  3mx  4m  2 
1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   1 có hai điểm cực trị A. 1   m 1. B. m  1  . C. m  1. D. m  0 . Lời giải Chọn D Ta có 2 y '  3x  6mx .
Hàm số (1) có hai điểm cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt 2  9m  0  m  0 . Câu 9. Cho phương trình x 2 x 1 m     2 m   x 3 8 .2 2
1 .2  m  m  0 . Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham
số m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt là  ; a b . Tính . a b bằng? 2 3 4 3 A. . a b  . B. . a b  . C. . a b  . D. . a b  . 3 2 3 4 N H Lời giải Ó Chọn A M x 2 x 1  2 x 3 T Phương trình 8  . m 2  2m   1 .2  m  m  0 O x 2 x 2 x 3 Á  8  2 . m 2  2m   1 .2  m  m  0 (1). N V Đặt 2x t  điều kiện t  0 . D 3 2 2 3 –
Khi đó phương (1) trở thành t  2mt  2m   1 t  m  m  0 . VD t  m C  t  m 2 2 t  mt  m   1  0   . 2 2 t  mt  m 1  0  *
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt  m  0 và phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khác m 2 2 m  4m  4  0  2 m 1  0 2  2  2    1  m   m 1;  . a b    . m  0 3   3  3  2 m 1  0
Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình 3
x  3x  m 1  0 có 3 nghiệm phân biệt,
trong đó có hai nghiệm dương? A. 1  m  1 . B. 2  m  1. C. 0  m  1. D. 1   m 1. Lời giải Trang 10 NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn A Ta có: 3 3
x  3x  m 1  0  x  3x 1  m .
Số nghiệm phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số 3
y  x  3x 1 và đường N H thẳng y  m . Ó M
Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị hàm số 3
y  x  3x 1 cắt đường thẳng y  m tại ba điểm T
phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương. O Á
Bảng biến thiên của hàm số 3 y  x  3x 1. N VD – VDC
Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị của tham số m thỏa mãn là 1  m  1 .
Câu 11. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác
suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố. 2045 409 409 409 A. . B. . C. . D. . 13608 11250 90000 3402 Lời giải Chọn B
Gọi số cần tìm có dạng abcde  11k, k   .
Số cách chọn số có 5 chữ số từ tập số tự nhiên là : n  4  9.10 .
Gọi X là biến cố : ‘‘Chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố ’’.
Do chữ số tận cùng là số nguyên tố nên e 2;3;5;  7 . N
Suy ra k có tận cùng là 2;3;5;7 . H Ó
Ta có số cần tìm có 5 chữ số nên 10010  11k  99990  910  k  9090 . M
Xét các bộ số 910;911;...;919;920;921;...;929;...9080;9081;...;9089 . TO 9090  910 Á Số các bộ là  818 bộ. N 10 V
Mỗi bộ số sẽ có 4 số k thỏa mãn. Do đó, n  X   818.4  3272 . D – 3272 409 V
Xác suất của biến cố X là P  X    . 4 D 9.10 11250 C 2  1 
Câu 12. Tìm hệ số của số hạng chứa 10
x trong khai triển     1     23 2 n f x x x x thành đa thức,  4 
với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 3 n2 A  C 14n . n n A. 9 10 2 C . B. 5 10 2 C . C. 6 10 2 C . D. 5 10 10 2 C x . 19 19 19 19 Lời giải Chọn B n  5 n n 1 Ta có 3 n2 A C 14n n n n n n n              n n  1 2   2 14 2 5 25 0 5 2 n   .  2 Mà n    n  5. Trang 11 NHÓM TOÁN VD – VDC 2 4  1   x  1 1
Xét khai triển f  x  x  x 1    x  215  1    x  215  . x  219  .2  x19 2 .  4   2  16 16 k k k N
Ta có số hạng tổng quát của khai triển   19 2 x là 19 C 2 x . 19 H Ó 1 M
Từ đó, hệ số của số hạng chứa 10
x trong khai triển đã cho bằng 10 9 5 10 .C .2  2 C . 19 19 16 TO
Câu 13. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 2
6 a . Tính thể tích V của ÁN khối nón đã cho. V 3  a 2 3 3 a 2 D A. 3 V   a . B. V  . C. 3 V  3 a . D. V  . – 4 4 V Lời giải D C Chọn C
Giả sử hình nón đã cho có đỉnh S , đường tròn đáy tâm O và thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S như hình vẽ. N H Từ giả thiết, suy ra 
ASB  60 , do đó SAB là tam giác đều. Ó M Mặt khác 2 2 .O . B SB  6a  O .
B 2OB  6a  OB  a 3  SO  3a . T 1 1 O
Thể tích khối nón V  .OB .SO  .a 32 2 3 .3a  3 a . Á 3 3 N 3x  2 V Câu 14. Cho hàm số y 
. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số D 2x  3 – 2  ;1  V trên đoạn  . Khi đó M m là D C 1 15 15 1 A.  . B. . C.  . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  2  ;  1 . 5  Ta có y   0, x
  2;1 nên hàm số nghịch biến trên  2  ;  1 . 2   2x 3  M  y   8 2  , m  y   1  1 . 7 1 Suy ra M  m  . 7 Trang 12 NHÓM TOÁN VD – VDC 2x 1 Câu 15. Cho hàm số y 
có đồ thị C . Gọi M a;b là điểm trên C có khoảng cách đến đường x  2
thẳng d : y  3x  6 nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? N H A. a  b  2 . B. a  b  2 . C. a  b  2 . D. a  b  2 . Ó Lời giải M Chọn B TO 2x 1 2 x  2  3 3 Á Ta có y    2  . N x  2 x  2 x  2 VD  3  Gọi M C  M ; a 2  ,   a  2 . –  a  2  VD
Ta có y  3x  6  3x  y  6  0d  . C
Ta có khoảng cách từ M đến d  là  3  3a  2   6      d M d  a 2 1 3 1   a    a   3 2 10 , 3 4 3 2   2  . 3   2 2 10 a  2 10 a  2 5 1 a 
Dấu bằng xảy ra khi a   M   1 1 1;1    a  b  2 . b  1
Câu 16. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , độ dài cạnh bên bằng 4a .
Mặt phẳng BCC ' B ' vuông góc với mặt đáy và 
B ' BC  30 . Thể tích khối chóp . A CC ' B là: 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 2 3 Lời giải Chọn B N H Ó M TOÁN VD – VDC B ' H   ABC  Kẻ B ' H  BC   BB ' . B ' H   2a  2
Gọi I là trung điểm BC . AI  BC   AI  CC 'B . AI  B ' H Trang 13 NHÓM TOÁN VD – VDC 1 1 2 S CC' BC.B ' H . a 2 B a a     . 2 2 3 1 1 a 3 2 a 3 N V .ACC'  AI. B S CC'  . B a   . H 3 3 2 6 Ó
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R , chiều cao bằng h . Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn M
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ? TO R Á A. h  R 2 . B. h  . C. h  2R . D. h  R . N 2 VD Lời giải – Chọn D V S  2S  S  2S  2S . D tp xq xq ñaùy xq C 2  S  2S  2 Rh  2 xq R  h  R ñaùy .
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy và SA  a . Gọi E là trung điểm cạnh CD . Mặt cầu đi qua bốn điểm S, , A B, E có bán kính là: a 2 a 41 a 41 a 41 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 24 Lời giải Chọn C N H Ó M T
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp EAB . O Á
Gọi  là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng EAB . N   V
Gọi E là trung điểm cạnh SA . D – Trong S ,
A  gọi W là giao điểm của  với đường trung trực cạnh SA . VD
 W là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE , bán kính R  WA . C 1 1 2 S A . ABE B EI a    . 2 2 a 5 EA  EB  . 2 a 5 a 5 . . . . . . a EA EB AB EA EB AB 5 2 2 a S A  BE    R    EAB . 4  R EAB 2 4S a 8 ABE 4. 2 5a  AO  . 8 2 2 a a a a 41
Tứ giác AEWO là hình chữ nhật 2 2 25 41  WA  AO  AE    .  R  . 64 4 8 8 Trang 14 NHÓM TOÁN VD – VDC 1
Câu 19. Cho hàm số f x 3 2
 x  ax  bx  ca, ,
b c   thỏa mãn điều kiện f 0  f   1  f 2. 6
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số g  x  f  f  2
x  2 nghịch biến trên N  H Ó khoảng 0;  1 là M A. 1 3 . B. 1. C. 3 . D. 1 3 . TO Lời giải ÁN Chọn B V  D  f 0  c –  V  1 D Ta có  f   1  a  b  c  . C 6   f   4 2  4a  2b  c   3  1  1 a  b   a    6    2 1 1 1 Vì f 0  f   1  f 2      f  x 3 2  x  x  x  c . 4 1 6 2 3 4a  2b   b    3  3  f x 1 1 2  x  x  . 2 3
Ta có g x  x f  2 x   f  f  2 2 . 2 . x  2
Hàm số g  x nghịch biến trên khoảng 0;  1  gx  0, x  0;  1 .  3 3  2x  0   1
Nhận xét: f  x  0 thì x  1   ;1   0;  1 nên x  0;  1 thì  . 3 3   f    2 x  2  0 N H  gx  0, x  0;  1 khi f  f  2 x  2  0, x  0;  1 . Ó M 2 2 Lại có x  0; 
1  x  2 2;3  f 2  f x  2  f 3. TOÁ  3  3 N  f 2  1 c  1     3 3 3 3 3 3 V Suy ra 1
 f 2  f 3 1      c  1   ;  D 3 3  3  3 3 3   – f 3 1 c    V  3  3 D  min c  max c  1. C
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC  . a Biết SA  a và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC . Thể tích khối chóp S.AEF bằng 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 18 24 36 12 Lời giải Chọn C Trang 15 NHÓM TOÁN VD – VDC N H Ó M TOÁN V 3 D 1 a Ta có V  S . A A . B BC  . – S.ABC 6 6 VD
Tam giác ABC vuông cân tại B  AC  a 2. C 2 SF SA 1 SE 1
Tam giác SAC vuông tại A , có AF  SC    ,  . 2 SC SC 3 SB 2 3 V SE SF 1 1 a Lại có S.AEF  .   V  V  . S.AEF S. V SB SC 6 6 ABC 36 S.ABC
Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2 2 x x 2 2  2 xx  3 là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Đặt 2 2x x  t,t  0 . 4 t  1l
Phương trình đã cho trở thành 2
t   3  t  3t  4  0   . t t  4  tm x  1  Với 2 x x 2 t  4  2
 4  x  x  2  0   . N x   2 H Ó
Vậy phương trình có 2 nghiệm x  1 và x  2 . M Câu 22. Cho hàm số 3 2
y  f (x)  ax  bx  cx  d (a, , b ,
c d ) có bảng biến thiên như sau: TOÁN VD – VDC
Phương trình f (x)  m (m  ) có bốn nghiệm phân biệt x , x , x , x thỏa mãn điều kiện 1 2 3 4 1 x  x  x   x khi: 1 2 3 4 2 1 1 A.  m  1. B. 0  m  1 . C. 0  m  1. D.  m  1. 2 2 Lời giải Chọn A
Để ý rằng, do tính đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba ta suy ra được tâm đối xứng (hay điểm uốn) của đồ thị hàm số   y  f (x) là 1 1 I ;   .  2 2  Trang 16 NHÓM TOÁN VD – VDC
bảng biến thiên của hàm số y  f (x) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f (x) như sau: N H Ó M TOÁN VD – VDC
Vậy, dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f (x) ta có: 1  m  1 thỏa yêu cầu bài toán. 2
Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số ,
m m 50;50 sao cho bất phương trình 4
mx  2x  m  0 nghiệm đúng với mọi x   . A. 1274 . B. 1200 . C. 1272 . D. 1224 . Lời giải Chọn D 2x Ta có: 4 mx  2x  m  0, x     m 4 x  
1  2x,x    m   f (x), x    . 4 x 1 2x 4 6  x  2 1 Xét hàm số f (x) 
trên  . Ta có: f (x)  ; f (  x)  0  x   . 4 x 1 x  2 4 1 4 3
Bảng biến thiên của f (x) : N H Ó M TOÁN VD – VD C 2x 4 27
Dựa vào bảng biến thiên của f (x) ta suy ra: m   f (x), x     m   1,13975 . 4 x 1 2 Vì m  ,
 m50;50 nên m2;3;4;...;4  9 . 48.51
Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số m là: S  2  3  4  ...  49  1224 . 2
Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y  g(x)  x  4x  m trên đoạn 2; 
1 bằng 2020 . Tính tổng các phần tử của S . A. 4 . B. 5 . C. 2020 . D. 0 . Lời giải Chọn A Xét 4 2
f (x)  x  4x  m liên tục trên  2  ;  1 ta có: Trang 17 NHÓM TOÁN VD – VDC
min f (x)  f  2  m  4 ; max f (x)  f  2    f 0  m . 2  ;1     2; 1
Suy ra: max g(x)  max f (x)  max m ; m  4. N 2; 1 2; 1 H
 Trường hợp 1: m  m  4 , (*). Ó M m  2020 T
Khi đó: max g(x)  m  2020  
. Kiểm tra điều kiện (*) ta được m  2020 . O 2; 1 m  2  020 ÁN
 Trường hợp 2: m  m  4 , (**). VD m  2024 –
Khi đó: max g(x)  m  4  2020  
. Kiểm tra điều kiện (**) ta được m  2016 . 2; 1 m  2016 VDC
Vậy tổng các phần tử của S là: 2020  ( 2  016)  4 .
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m sao cho đường thẳng y  x  m cắt đồ thị hàm số 2x 1 y 
tại hai điểm phân biệt A, B và AB  4 . x 1 A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn D 2x 1
Phương trình hoành độ giao điểm là  x  m , x  1. x 1  f x 2  x  m   1 x  m 1  0 .   1
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt thì phương trình   * có hai
nghiệm phân biệt khác 1. 2   0  m  6m  3  0 m  3 2 3       2 . N  f      1  0 3   0 m  3  2 3 H Ó
Gọi hai điểm phân biệt là A x ; x  m , B x ; x  m , với x , x là hai nghiệm phân biệt 2 2  1 1  M 1 2 T của phương trình   * . O Á 2 2 2 N Ta có AB   x  x  x  x  2 x  x 2 1   2 1  2 1 VD 2 2         – 2  x x 2x x 2 m 6m 3 1 1  1 2     . VD Mà 2 2 2
AB  4  AB  16  m  6m  3  8  m  6m 11  0. C
 3  2 5  m  3  2 5 3.
Từ 2 và 3 , kết hợp m là số nguyên dương ta suy ra m  7 .
Vậy có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa điều kiện bài toán. 2 2  3  4x  3x 
Câu 26. Tập xác định của hàm số y   là: 2  2x  3x 1    4   1   4  A. D  1;   . B. D  1  ;  0;     .  3   2   3   1   4  1 4  C. D  1;  0;  .
D. D   \ 1; ;0; . 2   3      2 3  Lời giải Trang 18 NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn B 2 4x  3x
Hàm số xác định khi và chỉ khi  0 . 2 2x  3x 1 N H Bảng xét dấu Ó M TOÁN VD – V D C  1   4 
Vậy tập xác định là D  1  ;  0;     .  2   3  Câu 27. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d
có bao nhiêu giá trị dương? y O x A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Theo hình dạng đồ thị ta suy ra a  0 .
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu nên a và c trái dấu, suy ra c  0 .
Đồ thị hàm số có giao điểm với trục tung tại điểm có tung độ âm nên d  0 . N Hoành độ tâm đối xứng của đồ thị là nghiệm của phương trình H Ó b M
y  0  6ax  2b  0  x   . 3a TO b b Á
Từ đồ thị ta thấy tâm đồ thị hàm số là số dương nên 
 0   0 , suy ra a, b trái dấu, N 3a a VD do đó ta có b  0. –
Vậy a  0 , b  0, c  0 , d  0 . VD
Câu 28. Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc C
phễu hình nón đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm
trên một đường kính của mặt đáy hình nón), các đỉnh còn lại nằm trên mặt mặt nón, tâm của viên
gạch nằm trên trục hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích nước còn lại trong phễu (làm tròn đến hai chữ số thập phân) Trang 19 NHÓM TOÁN VD – VDC N H Ó M TOÁN VD – VDC A. V  22,10 . B. V  22,27 . C. V  20,64 . D. V  22,30 . Lời giải Chọn B
Đặt các đỉnh như hình vẽ dưới đây N B A M B' A' C D C' D' N H Ó M TOÁN V D
Xét mặt phẳng qua trục của khối nón chứa cạnh AB, ta có hình phẳng – VDC D' C' H E F K N M A O B
Với HK là đường kính đường tròn ngoại tiếp AB C  D
Ta có BC   2 2 và AC  2 3 Trang 20 NHÓM TOÁN VD – VDC Khi đó  D E  D A  2 2 3  1  2 tanD A  E   .  2.   cotD A  E     N A E 2 A C  EF 2 3  2 2 3  1 H Ó         2 4 M MA  2E . A tan    D A  E  2E . A cotD A  E  2 2.         2  3  1 3  1 T Suy ra  O    AB        3  1 5  3 Á h  MA AO  .tanD MA  M  A  .  N    2   2 2 VD
Như vậy thể tích cần tìm là – 2 V 2 1   3 1  4  5  3 3 D
MA  1 h AB    1   .  2  22,27 . C 3 3  3  1  2
Câu 29. Cho khối lăng trụ ABCD.AB C  D
  có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O .
Thể tích khối chóp A .BCO bằng A. 3 . B. 1. C. 2. D. 4 . Lời giải Chọn B D' C' A' B' D C O N A B H Ó M 1 1 1 1 Ta có V            d A , ABCD .S .d A , ABCD . S V        1 A .BCO   BCO   ABCD ABCD.A B 'C D T 3 3  . 4 12 O
Câu 30. Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện 3a  4  b  0 . Tính tổng S  a  2b khi biểu thức ÁN 2 3     V a  3   D P  log  
   log a đạt giá trị nhỏ nhất a  3a        – 4b 16   4 b   VD A. S  10 . B. S  11. C. S  12. D. S  8 . C Lời giải Chọn D 3  a  4  0  4 3a  4  b  0   4 b  a   a  1 a   3  3 2 2 3     3 a  3           a  3   3a    Ta có P log log a    log            log     a 3 4b 16 a a     4b 16  a  b   4 4 b    2 3 a  3   3   log      log a     a 4b 16 a  b   2  2   Trang 21 NHÓM TOÁN VD – VDC Cauchy 3 a a Lại có 3 3
b  2  2  3 4b  3a  b  4  3 4b   1   1 nên 3 4b 4b 2 N   2 H       Ó 3     3 a  3     1   a  3  3  M P log    log                a a 3        T 4b 16   a  4b 16 log       log a  O a   3    4 a b    4b  Á  N 2 V   D   2 3 3       Cauchy  3   – 1 a 1     a 3  3  3       a     9 9            V P log log 3 . log          .  a a 3 a  2 D 2 4b 2 4b 16  a    3 64  4b       3    4    a C log  a    log        4b a     4b    9 Do đó min P  , 4 a a   4
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi b 2     2 b   2 
Vậy S  a  2b  4  2.2  8 .
Câu 31. Hàm số y  log  2
x  2x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 0,5  A. 1; . B. 0;  1 . C.  ;   1 . D. 1;2 . Lời giải Chọn D
Tập xác định D  0;2. 2  x  2 N Ta có y  . 2 H x 2xln0,5 Ó M 2  x  2
Với x 0;2 ta có y  0 
 0  2x  2  0  x  1. 2 T x 2xln0,5 O ÁN
Kết hợp với điều kiện, y  0  x 1;2 . V 2 D Vậy hàm số y  log
x  2x đồng biến trên khoảng 1;2 . 0,5   – V
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có AB  5a, BC  6a,CA  7a . Các mặt bên SAB,SBC và SCA D C
cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 0
60 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC
thuộc miền trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC . 3 8a 3 3 a 3 A. 3 8a 3 . B. 3 4a 3 . C. . D. . 3 2 Lời giải Chọn A Trang 22 NHÓM TOÁN VD – VDC N H Ó M TOÁN VD –
Gọi O là chân đường vuông góc từ S xuống mặt phẳng  ABC  SO   ABC . VDC
Các mặt bên SAB,SBC và SCA cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 60 .
 O là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
Gọi H , K, I lần lượt là hình chiếu của O lên các cạnh AB, BC,CA .   SHO  60 . 5a  6a  7a Ta có p   9a ; S  a a  a a  a a  a  a (đvdt) A  BC     2 9 9 5 9 6 9 7 6 6 2 S 2 6
Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp A  BC r  OH   a . p 3 2a 6
Xét SHO vuông tại O , SO  OH.tan 60  . 3  2a 2 . 3 1 1 2 3 V  S
.SO  .6 6a .2a 2  8a 3 (Đvtt). S.ABC 3 A  BC 3
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 4 y  x  m   2 2 1 x  m  2020 đồng N biến trên khoảng  3  ;  1 . H Ó A. m  10 . B. m  10 . C. m  10 . D. m  10 . M Lời giải TO Chọn D Á 3 N
Ta có y  4x  4m   1 x . V 4 2 D
Hàm số y  x  2m  
1 x  m  2020 đồng biến trên khoảng  3  ;  1 – 3 3  y  0, x  3;  1  4x  4m   1 x  0, x  3;  1  m   1 x  x , x  3;  1 VD 2 2 C  m 1  x , x   3  ; 
1  m 1  max x   m 1 9  m 10 . 3; 1
Câu 34. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn ? A. 19 2 B. 19 2 1 C. 20 2 1 D. 20 2 Lời giải Chọn B
Số tập con khác rỗng của tập A có 20 phần tử mà số phần tử chẵn là 2 4 6 18 20
n  C  C  C  ...  C  C hay ta có 0 2 4 6 18 20
n 1  C  C  C  C  ... C  C . 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
Xét khai triển 1 x20 0 1 2 2 18 18 19 19 20 20
 C  C x  C x  ...  C x  C x  C x . 20 20 20 20 20 20
Cho x  1 trong khai triển trên, ta được: 20 0 1 2 18 19 20
2  C  C  C  ... C  C  C 1 20 20 20 20 20 20   Cho x  1
 trong khai triển trên, ta được: 0 1 2 3 18 19 20
0  C  C  C  C ... C  C  C 2 20 20 20 20 20 20 20   Trang 23 NHÓM TOÁN VD – VDC Cộng vế với vế của các đẳng thức (1) và (2) ta được: 20 2  2 0 2 4 6 18 20
C  C  C  C  ... C  C 20 20 20 20 20 20  20 N  2  2n   1 H 19 Ó  n  2 1 M
Câu 35. Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C
  có AB  AC  2a và BC  2a 3 . Tam giác A B  C vuông TO
cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy  ABC . Tính khoảng cách giữa hai ÁN
đường thẳng AA và BC . VD a 3 a 2 a 5 A. a 3 . B. . C. . D. . – 2 2 2 VD Lời giải C Chọn B
Gọi H là trung điểm của BC , ta có AH   ABC và A H
  BC , mặt khác tam giác ABC cân
tại A nên AH  BC . Vậy nên BC   AAH   AA  BC . Gọi I là hình chiếu của H lên AA N
thì IH là đoạn vuông góc chung của AA và BC , do đó d  AA , BC  HI . H Ó 1 M
Trong tam giác vuông cân A B  C : AH  BC  a 3 2 TO Trong tam giác vuông ABH : 2 2 2 2
AH  AB  BH  4a  3a  a ÁN AH.AH . a a 3 a 3 V
Xét tam giác vuông AAH có IH    D 2 2 2 2 AH  AH a  3a 2 – V a D Vậy d  AA BC 3 ,  HI  C 2
Câu 36. Cho ba số dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y  log , x y  log , x y  log x như hình vẽ a b c
dưới đây. Tìm khẳng định đúng: A. c  b  a . B. c  a  b . C. a  c  b . D. b  a  c . Trang 24 NHÓM TOÁN VD – VDC Lời giải Chọn B N H Ó M TOÁN VD – V D C
Vẽ đường thẳng y  1 lần lượt cắt đồ thị các hàm số y  log ,
x y  log x, y  log x tại các điểm a b c
có hoành độ lần lượt là a,b,c , ta thấy 0  c 1 a  b 1 x
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  có đúng ba đường 2 x  4x  m tiệm cận? A. 9. B. 7. C. 10 . D. 8. Lời giải Chọn A x  1 Điều kiện:  . 2 x  4x  m  0
Ta có lim y  0 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y  0 . x
Vậy để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì phương trình 2
x  4x  m  0 phải có hai nghiệm
phân biệt nhỏ hơn hoặc bằng 1. N Xét phương trình 2 2
x  4x  m  0  x  4x  m H Hàm số 2
y  x  4x có bảng biến thiên: Ó M TOÁN VD – V
Từ BBT ta có điều kiện của m là 4  m  5  5  m  4, m   m5; 4  ;...;  3 . D C
Vậy có 9 giá trị m nguyên thỏa mãn. Câu 38. Hàm số 4 3
y  x  4x  2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. 3; . B. 4; . C.  ;  4 . D.  ;  3 . Lời giải Chọn D Tập xác định: D  .  Ta có: 3 2 2 y  4  x 12x  4
 x x  3; y  0, x   ;  3.
Nên hàm số đồng biến trên khoảng  ;  3.
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a; BC  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Trang 25 NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn C N H Ó M TOÁN VD – VD
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm BC, AC và S . A C
Vì SA  SB  SC  AB  AC  a; BC  a 2 nên SM   ABC
Ta có MN // AB, NP // SC   AB, SC  MN, NP. a
Tam giác MNP có MN  NP  MP   MNP đều  MN, NP   MNP  60. 2 Vậy  AB, SC  60 . 
Câu 40. Cho lăng trụ đứng ABC.A B  C
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC  a 6 . Góc giữa mặt phẳng  AB C
  và mặt phẳng BCC B
  bằng 60 . Tính thể tích khối đa diện AAB C  C  . 3 a 3 3 a 3 3 3a 3 A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 2 3 2 Lời giải Chọn A N H Ó M TOÁN VD – VDC
Gọi H là trung điểm BC ; trong B  B C  kẻ HK  B C
 . Dễ dàng chứng minh được AK  B C 
. Như vậy góc giữa mặt phẳng  AB C
  và mặt phẳng BCC B   là góc A  KH  60 BC a 6 a 2 Ta có AH    KH  AH.cot 60  2 2 2 2 2 3a a Ta có 2 2 CK  CH  KH    a 2 2 Trang 26 NHÓM TOÁN VD – VDC a 2 .a 6 CK KH KH.CB 2   BB    a 3 CB BB CK a N H 1 3 2 3   Ó Vậy V         S .BB a a V a a ABC A B C A  BC  62 3 3 3 .a 3 3 . 3 3 . AA'B'C ' 4 2 C 3 2 M 2 2 T 9  x  4y  5 O
Câu 41. Cho hệ phương trình 
(tham số m ) có nghiệm  ; x y thỏa Á l  og 
3x  2ylog 3x 2y 1 m 3   N V
mãn 3x  2y  5. Khi đó giá trị lớn nhất của m là: D – A. log 3 . B. log 5 . C. 5. D. 4 . 5 3 VD Lời giải C Chọn C a  3x  2y Đặt  b   3x  2y  . a b  5  Ta có hệ pt  l  og a log b 1, 2  m 3   5
Thay b  vào pt 2 , ta được pt a 5 15 log a  log  1  log a  log m 3 m 3 a a 15 15  log 3.log a  log  log 3  log m 3 3 m a a a  log 3  log 15 1 m a 1 1 log 15 1  N  log m   m  3 a 3 H log 15 1 a Ó M
Vậy m lớn nhất khi và chỉ khi a lớn nhất, T
Suy ra a  5 thì m lớn nhất bằng 5 . O 3 Á a N
Câu 42. Cho khối chóp S.ABC có thể tích là
. Tam giác SAB có diện tích là 2 2a . Tính khoảng cách 3 VD
từ C đến mặt phẳng SAB . – V a 2a D A. d  . B. d  2a . C. a . D. d  . C 2 3 Lời giải Chọn A 3 a 3. 3V a Ta có d C SAB S.ABC 3 ,    . 2 S 2a 2 S  AB
Câu 43. Cho hàm số f x 4 3 2
 2x  8x 16x 1 m (m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm
cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc#c. Giá trị a  b  c bằng A. 12. B. 16. C. 15. D. 13. Lời giải Chọn C Xét hàm số g  x 4 3 2  2x 8x 16x 1 m Trang 27 NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có: g  x 3 2 '  8x  24x  32x .  x  0  N g ' x  0  x  1  
. Bảng biến thiên của hàm số y  g  x : H Ó  x  4  M TOÁN VD – VDC
Trường hợp 1: 1 m  0  m  1  f  x  g  x có 5 cực trị.
Trường hợp 2: 5  m  0  1 m  5  m  1  f  x  g  x có 7 cực trị.
Trường hợp 3: 255  m  0  5  m  255  m  5  f  x  g  x có 5 cực trị.
Trường hợp 4: 0  255  m  m  255  f  x  g  x có 3 cực trị. Vậy a  b  c  15 .
Câu 44. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp
đôi bình I và trong bình III gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r , r , r của ba 1 2 3 bình I, II, III. 1
A. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 2 N
B. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . 1 2 3 H 1 Ó
C. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 M 2 T
D. r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . O 1 2 3 ÁN Lời giải V Chọn C D
Gọi V ,V ,V lần lượt là lượng nước; h , h , h lần lượt là độ cao mực nước trong các bình I, II, – 1 2 3 1 2 3 V III. D C Ta có: 2 2 2
V   r h , V   r h , V   r h 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 V   V  r h   r h r h  r h Theo giả thiết: 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 V  V  V       * 1 2 3   2 2 2 2 V  V   r h   r h r h  r h 2 3  2 2 3 3  2 2 3 3 2 2 2 2  r h  r 2h r  2r r  2r
Mặt khác: h  2h  4h nên * 1 1 2 1 1 2 1 2      3 2 1  2 2 2 2 r h  r 2h r  2r  2 2 3 2  2 3 r  2r  2 3 1
Do đó r , r , r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 1 2 3 2
Câu 45. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình  2x  x     2 log 2 3 log
3x  x . Biết rằng bất phương trình có một nghiệm là x  1 . m m    A. S    1 1;0  ;3  . B. S   1  ;  3 . 3    Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC   C. S    1 1; 0  ;3  . D. S   1  ;0 1;  3 . 3    Lời giải N H Chọn A Ó Trường hợp 1: m 1 M 2 2 T log x  x   x  x m  2 3 logm 3  O 2 Á  2x  x  3  0 N 2  
 x  2x  3  0  x  ;  1   3; 2 2    V 2x  x  3  3x  x D –
Trường hợp 2: 0  m 1 V 2 2 D log x  x   x  x m  2 3 logm 3  C 2 2  3x  x  0  3x  x  0  1       x  1  ;0  ;3 2 2 2    2x x 3 3x x x 2x 3 0 3            
Vì x  1 là một nghiệm của bất phương trình nên S    1 1;0  ;3  . 3   
Câu 46. Cho mặt cầu S  tâm O . Các điểm ,
A B,C nằm trên mặt cầu S  sao cho
AB  3, AC  4, BC  5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC bằng 1. Thể tích của khối cầu S  bằng 20 5 29 29 13 3 7 21 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 2 Lời giải Chọn B N H Ó M TOÁN VD – V D C Ta có 2 2 2
BC  AB  AC nên tam giác ABC vuông tại A . Mặt phẳng  ABC cắt mặt cầu S  BC 5
theo giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp ABC có bán kính r 
 . Mà khoảng cách từ O 2 2 29
đến mặt phẳng  ABC là d  1 nên mặt cầu S  có bán kính 2 2 R  d  r  . 2 3 4 4  29  29 29
Vậy thể tích của khối cầu là 3 V   R      . 3 3  2  6   1
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB  BC  AD  a 2
. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ACD bằng Trang 29 NHÓM TOÁN VD – VDC 3 a 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 4 Lời giải N H Chọn C Ó M TOÁN VD – VDC
Gọi H là trung điểm của AB . Do SAB là tam giác đều cạnh bằng a nên SH  AB và a 3 SH 
. Mà SAB   ABCD theo giao tuyến AB nên SH   ABCD . 2
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên diện tích tam giác ACD được tính theo công 1 thức 2 S  A . D AB  . a a  a . ACD 2 3 1 1 a 3 a 3
Vậy thể tích khối chóp S.ACD là 2 V  S .SH  a .  . S.ACD 3 ACD 3 2 6 x  2 1
Câu 48. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là 2x  3 N H A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Ó Lời giải M Chọn C TO  3 Á
Tập xác định:  \  . N  2 VD x  2 1 x  3 1 1 +) lim  lim
 nên đường thẳng y  là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm – x 2x  3 x 2x  3 2 2 VD số. C x  2 1 x 1 1 1 +) lim  lim
  nên đường thẳng y   là một tiệm cận ngang của đồ thị x 2x  3 x 2x  3 2 2 hàm số. x  2 1 3 +) lim
  nên đường thẳng x   là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 3    2x  3 2 x     2 
Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 3 đường tiệm cận.
Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB  a AC  a  DAB   0 CBD   0 , 5,
90 , ABC  135 . Biết góc giữa hai
mặt phẳng  ABD và BCD bằng 0
30 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng. 3 a 3 a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 3 6 Lời giải Trang 30 NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn D N H Ó M TOÁN VD – VD C Ta có 2 2 2 0 2 2 2 AC  AB  BC  2A .
B BC cos135  5a  a  BC  2 . a BC  BC  a 2 .
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BCD, BD và BC . Khi đó góc giữa
hai mặt phẳng  ABD và BCD bằng  0
AIH  30 và BIHK là hình chữ nhật. a Do  0 ABC    0 135
ABK  45 nên AKB vuông cân tại K . Do AB  a  AK  BK  nên 2 a a 1 a 0 HI   AH  HI tan 30  .  . 2 2 3 6 2 2 a 5a
Trong tam giác vuông AHB ta có 2 2 2 2 HB  AB  AH  a   . Khi đó 6 6 2 2 5a a a 3 2 2 BI  BH  HI    . 6 2 3 2 2 AB a
Trong tam giác vuông ABD ta có 2 AB  BI.BD  BD    a 3 . N BI a 3 H 3 Ó M 3 1 1 a a Vậy V  AH.BC.BD  . .a 2.a 3  . T ABCD 6 6 6 6 O Á x x N
Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình 9  2 x  53  92x   1  0 là S   ; a b ; c  . Khi đó V a  b  c bằng: D – A. 4 . B. 1. C. 5 . D. 3 . V Lời giải D C Chọn D
Ta có 9x  2  53x  92  
1  0  3x  2   1 3x x x x  9  0  3x   2x 1  3x   2x 1    3x   9 x  2    (*) 3x    2x 1 3x   2x 1     3x   9 x  2
Xét phương trình 3x  2 1  3x x  2x 1  0 Xét hàm số f  x x   x   f x x   f  x x 2 3 2 1 3 ln 3 2,  3 ln 3  0
Vậy f  x  0 có nhiều nhất một nghiệm. Vậy f  x  0 có nhiều hất hai nghiệm. Hay
3x  2x 1  0 có nhiều hất hai nghiệm Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC
Nhận xét: 3x  2x 1  0 có hai nghiệm x  0; x 1 x 1  N x  0 H  x  2 Ó Khi đó (*)  x  2   . Vậy S  0;  1 2; .  M 0  x 1 0  x 1 T  O x  2 ÁN
Khi đó a  0;b 1;c  2  a  b  c  3 . VD –
____________________ HẾT ____________________ VDC N H Ó M TOÁN VD – VDC Trang 32