Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đà Nẵng
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đà Nẵng mã đề 102 gồm 04 trang với 50 câu trắc nghiệm, thời gian làm bài 90 phút, học sinh làm bài bằng cách chọn và tô kín một ô tròn trên phiếu trả lời trắc nghiệm tương ứng với phương án trả lời đúng của mỗi câu.
Chủ đề: Đề thi Toán 12 1.2 K tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG ĐÀ NẴNG-2020
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2019 - 2020 N MÔN THI: TOÁN H Ó ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) M T .
Đề thi có 50 câu - gồm 04 trang O
--------------------------------- Á N
Họ và tên: ……………………………………………………… SBD: ………………… V D Câu 1:
Tính đạo hàm của hàm số 3 5 10 x y – 3x5 3x5 VDC 3.10 10 A. y . B. 3x5 y 3.10
.ln10 . C. y . D. 3x5 y 10 .ln10 . ln10 ln10 Câu 2:
Cho khối trụ và khối nón có cùng chiều cao và bán kính đường tròn đáy. Tỉ số thể tích của khối
trụ và khối nón đã cho bằng. A. 2. B. 1. C. 9. D. 3. Câu 3:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z 2x 2y 2 0 có tâm I ( ; a ; b c). Giá
trị a 2b 3c bằng A. 3. B. 4. C. 0 . D. 2 . Câu 4:
Một khối trụ có thể tích bằng V , diện tích đáy bằng B thì chiều cao h bằng B 3V V A. . B. .
C. V .B . D. . V B B Câu 5:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x ln x trên khoảng 0; bằng A. 1 e . B. e . C. 1 . D. 1 e . N H Câu 6:
Một nguyên hàm của hàm số f x sin 7x o c s7x là Ó M
A. 7 cos 7x 7sin 7x . B. 7
cos7x 7sin7x . T 1 1 1 1 O C. cos 7x sin 7x .
D. cos 7x sin 7x . Á 7 7 7 7 N V Câu 7: Hàm số 3 2
y x 3x 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? D A. ; 2 . B. 0; 2 . C. 1 ;2 . D. 1; . – VDC Câu 8:
Cho khối chóp có chiều cao bằng a , đáy của khối chóp là hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2a
, chiều dài bằng 3a . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 3 18a . B. 3 6a . C. 3 2a . D. 3 3a . Câu 9:
Nghiệm của phương trình 2 log 2
x 8x 2 1 có nghiệm là: 4 3 2 A. x 2 . B. . C. x 2 .
D. x 2 5 . 2 4 4 4 Câu 10: Biết f
tdt 3 và g
udu 5. Tính P f
x2gxdx bằng 1 1 1 A. 8 . B. 7 . C. 2 . D. 1 . x x x
Câu 11: Cho 2x a và 3x b . Hãy biểu diễn P 12 6 9 theo a và b .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 A. 2
P a b a 2b . B. 2
P a b ab 2b . C. 2 2 2
P a b ab b . D. 2 2
P a b ab b .
Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số y x 2020 3 27 . N H
A. D 3; . B. D \ 3 .
C. D ;3 . D. D \ 0 . Ó M T x e
Câu 13: Một nguyên hàm của hàm số f x 2 là x O e 2 Á x x x x x N
A. e 2 ln e 2. B. 2x x e e .
C. e 2 ln e 2 . D. ln e 2 . V D 2
Câu 14: Biết lim a n bn 1 2n 1, với a , b là các số thực cho trước. Khi đó, tổng 2 2
a b bằng – VDC A. 2. B. 5. C. 1. D. 12.
Câu 15: Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x 6 x A. 0 . B. 6 2 . C. 6 2 . D. 6 . 2
Câu 16: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1; 2, thoả x
1 f x dx 5, f 2 3 . Khi đó 1 2
f xdx bằng 1 A. 2 . B. 2 . C. 8 . D. 8 .
Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a và 0
ACB 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng a 3 3a 2 A. . B. . C. a . D. a 3 . 2 4 N H
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : ax by cz 7 0 qua điểm A2;0; 1 , vuông Ó M
góc với mặt phẳng Q : 3x y z 1 0 và tạo với mặt phẳng R : x y 2z 1 0 một góc T o O
60 . Tổng a b c bằng Á A. 10 . B. 0 . C. 14 . D. 12 . N V
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA 4a . Biết đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D –
B với AB BC 3a , AD a . Gọi M trung điểm cạnh AB và là mặt phẳng qua M VDC
vuông góc với AB . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng là đa giác có diện tích bằng: 2 5a 2 7a A. . B. . C. 2 7a . D. 2 5a . 2 2
Câu 20: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 1, biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng 24x y 1 0
A. y 24x 41.
B. y 24x 166 .
C. y 24x 166 .
D. y 24x 41. m
Câu 21: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f x 3 2
x 2mx 3m 7 x 3 đồng biến trên ?
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 .
Câu 22: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực N trị? H Ó M T O Á N V D – VDC A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 6 . 1 1 1
Câu 23: Cho cấp số cộng u gồm 100 số hạng. Biết ...
1 và u u 12. Giá trị của n u u u 15 86 1 2 100 1 1 1 tổng ... bằng u u u u u u 1 100 2 99 100 1 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 2 12 3 1 2 3 2019 1 1 1 1
Câu 24: Giá trị của biểu thức 1 1 1 ... 1 2019 ! bằng 1 2 3 2019 A. 2019 2018 . B. 2020 2019 . C. 2018 2019 . D. 2019 2020 . N H Ó
Câu 25: Đạo hàm của hàm số y x 3 2 1 là M T x 1 3 2 1 O A.
x x 3 1 2 2 3 1 . B. x 3 1 2 3 1 . C. . D.
x x 3 1 2 3 1 . Á 1 3 N V
Câu 26: Khối tròn xoay sinh bởi một tam giác đều cạnh a (kể cả điểm trong) khi quay quanh một D –
đường thẳng chứa một cạnh của tam giác đó có thể tích bằng VDC 3 a 3 a 3 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 6 4 12
Câu 27: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có ( A 2;1; 1 ), ( B 3;0;1), C(2; 1 ;3), ( D 0; ; m 0) .
Tổng tất các các giá trị của tham số m để thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 là 5 1 A. . B. 1. C. . D. 0 . 2 2
Câu 28: Cho hình chóp đều S.ABCD có AB a , cạnh bên hợp với đáy góc 0 45 . Diện tích xung quanh
của hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông bằng 2 a 2 a 3 2 a A. . B. . C. . D. 2 2 a . 2 4 4
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG ĐÀ NẴNG-2020
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 4 ,
a AD 3a , các cạnh bên đều có
độ dài bằng 5a . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng N A. 3 3a . B. 3 10 3a . C. 3 9 3a . D. 3 10a . H Ó
Câu 30: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3
y x mx 2 cắt trục hoành tại M T
một điểm duy nhất là O A. 3; . B. 0; . C. ; . D. ;1 . Á N V
Câu 31: Cho lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , BC 2a và D mặt bên ACC A
là hình vuông. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , CC và H là hình –
chiếu của A lên BC ( Tham khảo hình vẽ bên ). VDC
Thể tích khối chóp A'.HMN bằng 3 3a 3 a 3 9a 3 9a A. . B. . C. . D. . 4 32 16 32
Câu 32: Giả sử phương trình 25x 15x 6.9x
có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng N H a Ó ,
với a là số nguyên dương và , b ,
c d là các số nguyên tố. Tính log c log d M b b 2 T
S a b c d. O Á A. S 11. B. S 14 . C. S 12 . D. S 19. N V
Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Các mặt bên SAB , SAC lần D
lượt tạo với đáy các góc 60 và 30 . Biết chân hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng – VDC
ABC nằm trên đoạn BC . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 a A. . . B. . . C. .. D. . 16 32 32 16
Câu 34: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên ;
1 e . Biết f 1 1 và e f x . . 2 2 x f x f
x x f x với mọi x ; 1 e. Khi đó, dx bằng 2 x 1 2 3 3 1 3 1 A. . B. . C. . D. 3 . 3 3 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020
Câu 35: Trong không gian Oxyz cho hình chóp với các đỉnh A1;0;2, B3;1;4,C 3; 2 ; 1 và S ; a ;
b c . Biết SA vuông góc với mặt phẳng ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp N H
S.ABC bằng 3 11 . Khi đó giá trị 2a b 2c bằng Ó 2 M T A. 0. B. -6. C. 3. D. 6 O Á
Câu 36: Cho hàm số y f x là hàm chẵn xác định trên
sao cho f 0 0 và phương trình N x x V 9 9
f x có đúng năm nghiệm phân biệt. Khi đó, số nghiệm của phương trình D x – x x 2 9 9 f 2 là VDC 2 A. 20 . B. 10 . C. 5 . D. 15 . 4 2020 Câu 37: Biết I . x ln
2x 1 dx aln3 ,btrong đó a,b là các số nguyên dương. Tính S= a+b 0 A. S 37875.
B. S 25755 .
C. S 15655 .
D. S 23715 .
Câu 38: Biết khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để phương trình 3log 2 2
2x x 2m 4m 2 2 log
x mx 2m 0 1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn 27 1 1 2 3 2 2
x x 1. Tính K=5a+2b. 1 2 1 5 A. K . B. K . C. K 3 . D. K 2 . 2 2
Câu 39: Cho hình lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB ,
a AA 2a và A C
3a . Gọi M là trung điểm của A C
và I là giao điểm của AM và N H A C
. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ABC bằng Ó M a 2 a A. . B. a 6 . C. . D. a 2 . T 3 3 O Á 4 2 N
Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 3m 2 x 3m cắt đường V thẳng y 1
tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 là D – 1 1 VDC A. ;0 . B. ;1 \ 0 . C. 1 ; 0 \ . D. ;1 . 3 3 3
Câu 41: Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2 y x 3x 4m 1 x 2m 3
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B ,C sao cho B là trung điểm của AC ? A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. 1. Câu 42: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh là A1;0;
1 , B 4;0;5, C 1; 1 2; 1 , D 5;0; 2
. Tứ diện ABCDcó bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 1. B. 4. C. 2. D. 6.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG ĐÀ NẴNG-2020
Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SBC và mặt phẳng
đáy bằng 60 . Nếu ABC là tam giác đều cạnh a 3 thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp N S.ABC bằng H Ó a 43 a 43 a 43 a 43 M T A. . B. . C. . D. 4 8 12 6 O
Câu 44: Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của 1 cạnh góc vuông và cạnh Á N
huyền luôn bằng hằng số dương s ? V 2 2 2 2 D 2s s s 3 s 3 A. . B. . C. . D. . – 9 9 9 18 VDC
Câu 45: Biết có hai giá trị của tham số m là m , m để đồ thị hàm số 3
y x m 2 2 3
1 x 6mx có hai 1 2 điểm cực trị ,
A B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x 2 .Tính 2 2
k m m . 1 2 A. k 13. B. k 4 . C. k 9 . D. k 3. Câu 46: Cho hàm số
y f x liên tục trên và thỏa mãn f x 2
f x f x 3 3
7 8x 8x 5, x .Tính. 25 11 1 A. 2 . B. . C. . D. . 32 8 2 12 1 3x 1
Câu 47: Biết bất phương trình 2 log
x 3 x 12x 4log có tập nghiệm là 4 2 2 2 x x x S ; a b ; c d với , a , b ,
c d là các số thực. Tính S a b c d . N A. S 6 .
B. S 3 2 2 . C. S 3 2 2 . D. S 3 . H Ó
Câu 48: Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình M 2 x 2 2 T
x e mx 2 ln x e x 0 đúng với mọi x . Khi đó T là tập hợp con của tập O Á hợp: N V A. F 6 ; 3 . B. P 3 ;0.
C. E 3;6 .
D. K 0;3. D –
Câu 49: Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên abcdef có 6 chữ số đôi một VDC
khác nhau mà mỗi số đều thỏa mãn d + e + f – a – b – c = 1? A. 60. B. 84. C. 96. D. 108.
Câu 50: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 3 4 2 3 2 2
m (x 1) m (x x x 1) 6 (
m x 2x 3) đúng ∀x ∈ R. Tổng giá trị của tất cả
các phần tử thuộc S bằng: A. 2. B. 0. C. - 1. D. - 3.
--------------- HẾT ---------------
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.A 4.D 5.D 6.D 7.B 8.C 9.A 10.B N 11.D 12.B 13.A 14.B 15.C 16.C 17.A 18.C 19.B 20.D H 21.D 22.B 23.A 24.D 25.A 26.C 27.B 28.B 29.B 30.A Ó 31.D 32.A 33.B 34.B 35.D 36.B 37.A 38.C 39.A 40.B M T 41.D 42.A 43.A 44.D 45.B 46.D 47.D 48.D 49.B 50.D O Á
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT N V Câu 1:
Tính đạo hàm của hàm số 3 5 10 x y D 3x5 3x5 – 3.10 10 x x A. y . B. 3 5 y 3.10
.ln10 . C. y . D. 3 5 y 10 .ln10 . VDC ln10 ln10 Lời giải Chọn B Ta có: 3 5 10 x y .
Suy ra y x 3x5 3x5 3 5 .10 .ln10 3.10 .ln10 . Câu 2:
Cho khối trụ và khối nón có cùng chiều cao và bán kính đường tròn đáy. Tỉ số thể tích của khối
trụ và khối nón đã cho bằng. A. 2. B. 1. C. 9. D. 3. Lời giải Chọn D
Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao, V , V là lượt là thể tích của khối trụ và khối 1 2 N nón. H Ó Ta có: M T 2 V R h O 1
3. Suy ra tỉ số thể tích của khối trụ và khối nón bằng 3. Á V 1 2 2 N R h 3 V D Câu 3:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z 2x 2y 2 0 có tâm I ( ; a ; b c). Giá – VDC
trị a 2b 3c bằng A. 3. B. 4. C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn A
+) Mặt cầu có tâm I 1;1; 0 a 2b 3c 1 2.1 3 . Câu 4:
Một khối trụ có thể tích bằng V , diện tích đáy bằng B thì chiều cao h bằng B 3V V A. . B. .
C. V .B . D. . V B B Lời giải Chọn D
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 V
+) Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ V . B h h . B N Câu 5:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x ln x trên khoảng 0; bằng H Ó A. 1 e . B. e . C. 1 . D. 1 e . M T Lời giải O Á Chọn D N 1 1 V
Ta có: y ' ln x . x ln x 1; 1
y ' 0 ln x 1
x e 0; . D x e – Bảng biến thiên VDC x e–1 0 + f '(x) 0 + + + f(x) – e–1
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x ln x trên khoảng 0; bằng 1 e . Câu 6:
Một nguyên hàm của hàm số f x sin 7x o c s7x là
A. 7 cos 7x 7sin 7x . B. 7
cos7x 7sin7x . 1 1 1 1 C. cos 7x sin 7x .
D. cos 7x sin 7x . 7 7 7 7 N H Lời giải Ó Chọn D M T 1 1 O
Một nguyên hàm của hàm số f x sin 7x o
c s7x là: cos 7x sin 7x . Á 7 7 N V . D – Câu 7: Hàm số 3 2
y x 3x 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? VDC A. ; 2 . B. 0; 2 . C. 1 ;2 . D. 1; . Lời giải Chọn B x Ta có 2
y 3x 6x ; y 0 0 . x 2
Bảng biến thiên hàm số 3 2
y x 3x 2 :
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ;
0 và 2; , nghịch biến trên khoảng 0;2 . Câu 8:
Cho khối chóp có chiều cao bằng a , đáy của khối chóp là hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2a N
, chiều dài bằng 3a . Thể tích khối chóp đã cho bằng H Ó A. 3 18a . B. 3 6a . C. 3 2a . D. 3 3a . M T Lời giải Chọn C O Á N 1
Thể tích khối chóp đã cho là: 3 V .3 . a 2 . a a 2a . V 3 D – 2 Câu 9:
Nghiệm của phương trình log 2x
8x 2 1 có nghiệm là: VDC 4 3 2 A. x 2 . B. . C. x 2 .
D. x 2 5 . 2 Lời giải Chọn A Điều kiện: 2 2
x 8x 2 0 2 5 x 2 5. Khi đó 2 log 2
x 8x 2 1 2 2
x 8x 2 10 2 2
x 8x 8 0 x 2.(thỏa mãn điều kiện). 4 4 4 Câu 10: Biết f
tdt 3 và g
udu 5. Tính P f
x2gxdx bằng 1 1 1 A. 8 . B. 7 . C. 2 . D. 1 . Lời giải N H Ó Chọn B M 4 4 T O Ta có f
tdt 3 f
xdx 3. Á 1 1 N V 4 4 D g
udu 5 g
xdx 5. – 1 1 VDC 4 4 4
Do đó P f
x2gxdx f
xdx2 g
xdx 32.5 7 . 1 1 1 Vậy P 7. x x x
Câu 11: Cho 2x a và 3x b . Hãy biểu diễn P 12 6 9 theo a và b . A. 2
P a b a 2b . B. 2
P a b ab 2b . C. 2 2 2
P a b ab b . D. 2 2
P a b ab b . Lời giải Chọn D 2 2 Ta có: x x x x x x x x P 2 2 12 6 9 2 .3 2 .3 3
a b ab b .
Câu 12: Tìm tập xác định D của hàm số y x 2020 3 27 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020
A. D 3; . B. D \ 3 .
C. D ;3 . D. D \ 0 . Lời giải N Chọn B H Ó
Hàm số y x
có số mũ nguyên âm nên xác định khi 3
x 27 0 x 3. M T 2020 3 27 O
Vậy tập xác định D \ 3 . Á N V x e D
Câu 13: Một nguyên hàm của hàm số f x 2 là x e 2 – x x x x x VDC
A. e 2 ln e 2. B. 2x x e e .
C. e 2 ln e 2 . D. ln e 2 . Lời giải Chọn A 2 x e f x dx dx . x e 2 Đặt x
t e 2 d x
t e dx . 2 x e t 2 Ta có dx dt 2 1 dt x e 2 t t
t 2ln t C x 2 2ln x e e 2 C x 2ln x e
e 2 2 C . x e Chọn C 2
, suy ra một nguyên hàm của f x 2
là x 2 ln x e e 2. x e 2 Câu 14: Biết 2
lim a n bn 1 2n 1, với a , b là các số thực cho trước. Khi đó, tổng 2 2
a b bằng N H A. 2. B. 5. C. 1. D. 12. Ó M Lời giải T Chọn B O Á N 2
I lim a n bn 1 2n 1 là số hữu hạn nên a 2 . V D Mặt khác: – 2 2 VDC
4n bn 1 4n 4bn 4 I 2
lim 2 n bn 1 2n lim lim 2
2 n bn 1 2n 2
2 n bn 1 2n 4 4b lim n . b 1 2 1 2 2 n n 4b I 1 suy ra 1 b 1. 2 2 Vậy 2 2 a b 5 .
Câu 15: Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x 6 x A. 0 . B. 6 2 . C. 6 2 . D. 6 . Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 Chọn C Điều kiện 2
6 x 0 6 x 6. N 2 H x
6 x x 2 Ó Xét y x 6 x y 1 0 x 3 . 2 M T 6 x 0 x 6 Bảng biến thiên O Á N V D – VDC
Ta có giá trị lớn nhất của hàm số là y 2 3 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là y 6 .
Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6 2 . 2
Câu 16: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1; 2, thoả x
1 f x dx 5, f 2 3 . Khi đó 1 2
f xdx bằng 1 A. 2 . B. 2 . C. 8 . D. 8 . Lời giải Chọn C 2 u x 1 du dx N
Ta xét: x
1 f x dx 5. Đặt H dv f
xdx v f x 1 Ó 2 2 2 M
Khi đó x
1 f x dx 5 x
1 f x 2 f
xdx f
xdx 3 5 8 . T 1 O 1 1 1 Á N V . D –
Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a và VDC 0
ACB 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng a 3 3a 2 A. . B. . C. a . D. a 3 . 2 4 Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 A' C' N B' H Ó M T O Á N A C V D H – B VDC
Ta có BC BCC B
và AA//BCC B
Suy ra d AA , BC d AA ,BCC B
d , A BCC B .
Ta kẻ AH BC tại H .
Ta có AH BC và AH BB nên AH BCC B
Vậy d AA ,BC AH . a 3
Xét tam giác vuông ABH có 0
AH AB sin 60 . 2
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : ax by cz 7 0 qua điểm A2;0; 1 , vuông
góc với mặt phẳng Q : 3x y z 1 0 và tạo với mặt phẳng R : x y 2z 1 0 một góc N o H
60 . Tổng a b c bằng Ó A. 10 . B. 0 . C. 14 . D. 12 . M Lời giải T O Chọn C Á N
Do mặt phẳng P qua điểm A2;0;
1 nên ta có: 2a c 7 c 2 a 7 1 . V D –
Mặt phẳng P, Q, R có vectơ pháp tuyến lần lượt là: VDC n ; a ; b c , n 3; 1 ;1 , n 1; 1 ;2 . 1 2 3
Do mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng Q nên ta có:
n .n 0 3a b c 0 b 3a c b a 7 2 . 1 2
Do mặt phẳng P tạo với mặt phẳng R một góc o 60 nên ta có: n .n 1 3 a b 2c 1 o cos 60 2 2 2 n . n 2 a b c . 6 1 3 2 2 2
2 a b 2c 6 a b c 3.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 Thay
1 , 2 vào 3 ta có: 2 2 2
2 a b 2c 6 a b c N H 2 2 2 Ó
2 a a 7 4a 14 6 a a 7 2 a 7 M T 2 O 2 4
a 7 6 6a 14a 98 Á N V a 2 2
28a 140a 392 0 . D a 7 – VDC
Với a 2 b 5 ,c 1
1 a b c 1 4. Với a 7 b 1
4,c 7 a b c 1 4.
Vậy a b c 14 .
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA 4a . Biết đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B với AB BC 3a , AD a . Gọi M trung điểm cạnh AB và là mặt phẳng qua M
vuông góc với AB . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng là đa giác có diện tích bằng: 2 5a 2 7a A. . B. . C. 2 7a . D. 2 5a . 2 2 Lời giải S F N E H Ó B C M T O M N Á N A D V D Chọn B – VDC MN AB
Gọi N, F lần lượt là trung điểm CD và SB
MNF AB MF AB
MNF là mặt phẳng
Từ F kẻ FE || MN cắt SC tại E thiết diện là hình thang MNEF vuông tại M và F SA AD BC BC 3a Ta có: MF 2a, MN 2a , EF 2 2 2 2 a Từ đây ta suy ra S
MF MN EF . MNEF 2 1 7 . 2 2
Câu 20: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 1, biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng 24x y 1 0
A. y 24x 41.
B. y 24x 166 .
C. y 24x 166 .
D. y 24x 41.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 Lời giải Chọn D N
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ x là y ' x 4x 4x 0 3 0 0 0 H Ó M T
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y 24x 1 nên có hệ số góc bằng nhau O 3
y ' 24 4x 4x 24 x 2 y 7 tiếp điểm M 2;7 0 0 0 0 Á N V
Phương trình tiếp tuyến là: y 24x 2 7 24x 41. D – m 3 2 VDC
Câu 21: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f x
x 2mx 3m 7 x 3 đồng biến trên ? A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Lời giải Chọn D
TXĐ: D . Khi đó: f x 2
mx 4mx 3m 7 .
TH1: m 0 f x 7 0, x
. Suy ra hàm số đồng biến trên m 0 thỏa mãn. TH2: m 0
Để hàm số hàm số đồng biến trên thì f x 2 0, x
mx 4mx 3m 7 0, x N m 0 m 0 H 0 m 7 . Ó 2 0 4m m 3m7 0 M T O
Vậy 0 m 7 mà m
nên m 0,1, 2,...,
7 có 8 giá trị m nguyên thỏa mãn. Á N V
Câu 22: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực D trị? – VDC A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 6 . Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 Chọn B
Từ đồ thị hàm số y f x suy ra được đồ thị hàm số y f x như sau: N H Ó M T O Á N V D – VDC
Dựa vào đồ thị, Hàm số y f x có 5 điểm cực trị. 1 1 1
Câu 23: Cho cấp số cộng u gồm 100 số hạng. Biết ...
1 và u u 12. Giá trị của n u u u 15 86 1 2 100 1 1 1 tổng ... bằng u u u u u u 1 100 2 99 100 1 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 2 12 3 N Lời giải H Ó Chọn A M T O
Ta có u u 12 u 14d u 85d 12 u u 12 i 1,99. 15 86 1 1 i 100 i Á N V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Và ... 1 ... 2 D u u u u u u u u u 1 2 100 1 100 2 99 100 1 – VDC u u u u u u 1 1 1 1 1 100 2 99 100 1 ... 2 ... .. u u u u u u u u u u u u 6 1 100 2 99 100 1 1 100 2 99 100 1 1 2 3 2019 1 1 1 1
Câu 24: Giá trị của biểu thức 1 1 1 ... 1 2019 ! bằng 1 2 3 2019 A. 2019 2018 . B. 2020 2019 . C. 2018 2019 . D. 2019 2020 . Lời giải Chọn D Ta có 1 2 3 2019 1 2 3 2019 1 1 1 1 S 2 3 4 2020 1 1 1 ... 1 2019! ... 201 9! 1 2 3 2019
1 2 3 2019
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 1 2 3 2019
2 3 4 2020
S 2019 2020 ... 2019! .201 2019 9! 2020 . .
1 2 3 2019 1.2.3....2019 N H
Câu 25: Đạo hàm của hàm số y x 3 2 1 là Ó M T x 1 3 2 1 O A. x x 3 1 2 2 3 1 . B. x 3 1 2 3 1 . C. . D. x x 3 1 2 3 1 . Á 1 3 N Lời giải V D Chọn A – VDC 3 3 1 3 1 Ta có: y 2 x
2x 2x x 2 1 3 1 1 2 3 x 1 .
Câu 26: Khối tròn xoay sinh bởi một tam giác đều cạnh a (kể cả điểm trong) khi quay quanh một
đường thẳng chứa một cạnh của tam giác đó có thể tích bằng 3 a 3 a 3 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 6 4 12 Lời giải Chọn C N H Ó M T
Giả sử tam giác ABC đều cạnh a có H là trung điểm AC . O Á N
Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được khối tròn xoay có thể tích bằng 2 lần thể V
tích hình nón tạo thành khi quay tam giác AHB quanh trục AH , do đó thể tích cần tìm bằng D – 2 3 1 2 a 3 a a VDC 2
2 BH . AH . 3 3 2 2 4
Câu 27: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có ( A 2;1; 1 ), ( B 3;0;1), C(2; 1 ;3), ( D 0; ; m 0) .
Tổng tất các các giá trị của tham số m để thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 là 5 1 A. . B. 1. C. . D. 0 . 2 2 Lời giải Chọn B Ta có AB (1; 1 ;2), AC (0; 2 ;4), AD ( 2
;m 1;1) [A , B AC] (0; 4 ; 2 ) 1 V [A ,
B AC].AD 5 4
m 2 30 m 7 , m 8. ABCD 6
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020
Câu 28: Cho hình chóp đều S.ABCD có AB a , cạnh bên hợp với đáy góc 0 45 . Diện tích xung quanh
của hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông bằng 2 2 2 N a a 3 a A. . B. . C. . D. 2 2 a . H 2 4 4 Ó M T Lời giải O Chọn B Á N V D – VDC a a 2 a 3 Ta có 2 2 r
, HD SH h
l r h 2 2 2 2 a 3 S . 4
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 4 ,
a AD 3a , các cạnh bên đều có
độ dài bằng 5a . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng A. 3 3a . B. 3 10 3a . C. 3 9 3a . D. 3 10a . N Lời giải H Ó M Chọn B T S O Á N V D – VDC A D O B C 1 1 2 2 5 Ta có: OA AC
3a 4a a; 2 S A . B AD 4 .
a 3a 12a . 2 2 2 ABCD 2 a a SO ABCD SO SA OA 5a2 5 5 3 2 2 . 2 2 1 1 5 3a 2 3 V S . O S .
.12a 10 3a . S. ABCD 3 ABCD 3 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG ĐÀ NẴNG-2020
Câu 30: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3
y x mx 2 cắt trục hoành tại
một điểm duy nhất là N A. 3; . B. 0; . C. ; . D. ;1 . H Ó Lời giải M T Chọn A O Đồ thị hàm số 3
y x mx 2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi phương trình Á N 3
x mx 2 0 có 1 nghiệm duy nhất. V D Ta có: 3 3
x mx 2 0 mx x 2 * – VDC
Với x 0 thì 0 2
nên x 0 không phải là nghiệm của phương trình. 3 x 2 2 Với x 0 thì 3 2
mx x 2 m x x x Đặ 2 2 2x 2
t h x x h x 3 2 2 x 0 0 x 1 2 2 x x x N H Ó
Dựa vào BBT, ta thấy phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 3 . M T
Câu 31: Cho lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , BC 2a và O Á mặt bên ACC A
là hình vuông. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , CC và H là hình N
chiếu của A lên BC ( Tham khảo hình vẽ bên ). V D – VDC
Thể tích khối chóp A'.HMN bằng 3 3a 3 a 3 9a 3 9a A. . B. . C. . D. . 4 32 16 32 Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG ĐÀ NẴNG-2020 Chọn D N H Ó M T O Á N V D – VDC
Ta có ABC ACC A
và ABC ACC A
AC , gọi E là hình chiếu của H lên AC 1
thì HE ACC A . Vậy V V HE.S . A .HMN H .A MN 3 A MN
Xét tam giác vuông ABC với đường cao AH N H Ó M 2 CH HE CA 3 3 3a T Có HE BA . 2 O CB BA CB 4 4 4 Á N
Diện tích tam giác A' MN là: S S S S S A MN ACC A
AAM MCN ACN V D –
Cạnh hình vuông ACC A
bằng a 3 , vậy VDC 1 S S AA AM CM CN A C CN A MN ACC A . . . 2 2 2 2 1 a 3 3a 15a 9a 2 2 S 3a 2.a 3. 3a . A MN 2 2 4 8 8 2 3 1 3a 9a 9a
Vậy thể tích khối chóp A'.HMN bằng V . . . A .HMN 3 4 8 32
Câu 32: Giả sử phương trình 25x 15x 6.9x
có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng a ,
với a là số nguyên dương và , b ,
c d là các số nguyên tố. Tính log c log d b b 2
S a b c d.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 A. S 11. B. S 14 . C. S 12 .
D. S 19. Lời giải N Chọn A H Ó x x x M T 25 5 5 1 Ta có: 6 2 x 9 3 3 log 5 log 3 2 2 O Á N Khi đó 2
a 1;b 2;c 5; d 3 a b c d 11. V D
Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Các mặt bên SAB , SAC lần – VDC
lượt tạo với đáy các góc 60 và 30 . Biết chân hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
ABC nằm trên đoạn BC . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 a A. . . B. . . C. .. D. . 16 32 32 16 Lời giải Chọn B
Gọi H là hình chiếu của S lên ABC . Vì H nằm trên đoạn BC nên đặt BH xBC với 0 x .
1 Khi đó CH 1 x BC .
Gọi K, L lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh A ,
B AC; M , N lần lượt là trung điểm của A , B A . C N H Ó M T O Á N V D HK BH a 3 – Ta có: HK // CM nên
x HK xCM x . VDC CM BC 2 1 x a 3
Tương tự HL // BN suy ra HL 1 x BN . 2 ax 3 3ax
Lại có, góc giữa SAB và ABC là SKH 60 , suy ra SH HK tan 60 . 3 ; 2 2
góc giữa SAC và ABC chính là SLH 30 , suy ra
1 xa 3 1 1 xa 3ax a 1 x 1
SH HL tan 30 . . Do đó
3x 1 x x . 2 3 2 2 2 4 3ax 3a 2 3 1 1 3a a 3 a 3 Suy ra SH . Vậy thể tích V SH.S . . .. 2 8 S . ABC 3 ABC 3 8 4 32
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020
Câu 34: Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên ;
1 e . Biết f 1 1 và e f x . . 2 2 x f x f
x x f x với mọi x ; 1 e. Khi đó, dx bằng 2 N x 1 H Ó 2 3 3 1 3 1 M T A. . B. . C. . D. 3 . 3 3 3 O Lời giải Á N Chọn B V D Với x ; 1 e : – VDC
x f x f x 2 2
x f x 2
x f x f x 2 x f x 3 . . 2 . . 2 . 2x 2 x . 2
f x 2 x 2 f x 2 2
f x 2 4 2 x x x x 2 f x 2 2 f x dx dx 2ln x C . 2 2 x x x 2 f 1
Thay x 1 và chú ý f 1 1 ta được
2ln 1 C C 1. 2 1 2 f x
Do đó, trên 1; e : 2
2ln x 1 f x 2
x 2ln x 1 f x x 2ln x 1. 2 x e f x e e 1 2ln x 1 N Và I dx dx
2ln x 1d ln x 2t 1dt 2 H x x 1 1 1 0 Ó M 3 3 3 1 2 T Đặt 2
u 2t 1 u 2t 1 2udu 2dt nên I u du . O 3 1 Á N V
Câu 35: Trong không gian Oxyz cho hình chóp với các đỉnh A1;0;2, B3;1;4,C 3; 2 ; 1 và D S ; a ;
b c . Biết SA vuông góc với mặt phẳng ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp – VDC
S.ABC bằng 3 11 . Khi đó giá trị 2a b 2c bằng 2 A. 0. B. -6. C. 3. D. 6 Lời giải Chọn B Ta có: A1;0;2 AB2;1;2 AB 3 B
3;1; 4 BC 0; 3 ; 3
BC 3 2 C CA CA 3 3; 2;1 2; 2; 1
Suy ra, tam giác ABC vuông cân tại A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 A . B BC.CA 3
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC là: R ABC 4.SABC 2 N 2 2 H SA 2 3 11 R SA ABC Ó 9 4 2 M T O
Có SA ABC : u A ; B AC 3;6; 6 31;2; 2 Á N V
qua A , đồng thời S và vuông góc với mặt phẳng ABC D – VDC x 1 t 2 2 2 2
: y 0 2t SA t 4t 4t 9 t 1 . z 2 2 t
S 2;2;0 2a b 2c 6
Câu 36: Cho hàm số y f x là hàm chẵn xác định trên
sao cho f 0 0 và phương trình
9x 9x f x có đúng năm nghiệm phân biệt. Khi đó, số nghiệm của phương trình x x x 2 9 9 f 2 là 2 A. 20 . B. 10 . C. 5 . D. 15 . Lời giải Chọn B 2 x x x x x x x x x 2 x x 2 2 2 2 2 2 N Phương trình: 9 9 f 2 9 2.9 .9 9 f 9 9 f 2 2 2 H Ó M x x x 2 2 T 9 9 f 1 O 2 Á . x x N x 2 2 V 9 9 f 2 2 D – x x VDC
Do f 0 0 nên phương trình 9 9 f x có năm nghiệm phân biệt đều khác 0 . x x Xét phương trình: x 2 2 9 9 f 1 . 2 x Nếu đặt t
thì mỗi giá trị của t sẽ cho ta một giá trị của biến x . Khi đó phương trình trở 2
thành: 9t 9 t f t sẽ cho ta năm nghiệm t phân biệt nên phương trình 1 sẽ cho ta năm
nghiệm x 2t phân biệt.
Xét phương trình 2 ta có: x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 9 9 f 9 9 f 9 9 f
(Do y f x là hàm chẵn). 2 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 x Nếu đặt t
thì mỗi giá trị của t sẽ cho ta một giá trị của biến x . Khi đó phương trình trở 2
thành: 9t 9 t f t sẽ cho ta năm nghiệm t phân biệt nên phương trình 1 sẽ cho ta năm N H nghiệm x 2 t phân biệt. Ó M T
Do phương trình 9t 9t f t có nghiệm t 0 nên 2t 2
t . Vậy nên hai phương trình 1 O Á
và 2 mỗi phương trình đều cho ta năm nghiệm phân biệt không trùng nhau. Suy ra phương N V x trình x x 2 9 9 f
2 cho ta tất cả mười nghiệm thực phân biệt. D 2 – VDC 4 2020 Câu 37: Biết I . x ln
2x 1 dx aln3 ,btrong đó a,b là các số nguyên dương. Tính S= a+b 0 A. S 37875.
B. S 25755 .
C. S 15655 .
D. S 23715 . Lời giải Chọn A 4 4 2020 Ta có: I . x ln
2x 1 dx 2020 .xln
2x 1dx 2020.I 1 0 0 4 4 1 I
x d x 1 ln 2 1 [ln 2x 4 2 2 2 1 .x
- x d ln 2x 1 ] 1 0 2 2 0 0 4 2 4 4 1 x 1 1 1 1 16 .ln 9 2 dx 8ln 9 x dx dx 2 2x 1 2 4 4 2x 1 0 0 0 4
1 d 2x 1 1 63 4 16ln 3 3
16ln 3 3 ln 2x 1 .ln 3 3 0 8 2x 1 8 4 N 0 H 63 Ó Vậy I 2020.
.ln 3 3 31815.ln 3 6060 M 4 T
Từ đây ta suy ra a+b=31815+6060=37875. O Á
Câu 38: Biết khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để phương trình N V 3log 2 2
2x x 2m 4m 2 2 log
x mx 2m 0 1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn 27 1 1 2 D 3 – 2 2
x x 1. Tính K=5a+2b. VDC 1 2 1 5 A. K . B. K . C. K 3 . D. K 2 . 2 2 Lời giải Chọn C Ta có 1 log 2 2
2x x 2m 4m log 2 2
x mx 2m 3 3 2 x 1 m 2
x 2m 2m 0 2 2 2
x mx 2m 0 3
(2) có hai nghiệm là x 2m; x 1 m 1 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 m 0 Từ điều kiện 2 2 2
x x 1 5m 2m 0 2 * 1 2 m 5 N H Ó 2 2 2 m 0 M T
4m 2m 2m 0
x ; x thỏa (3) 1 ** 2 1 2 1 m
m1m 2 2m 0 1 m O 2 Á N V 2 1 Từ (*) và (**) suy ra 1
m 0 hoặc m . D 5 2 – VDC
Vì khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m nên a b 2 1 ; ; 5 2 2 1 2 1 Suy ra a ;b . Vậy K 5. 2. 3 . 5 2 5 2
Câu 39: Cho hình lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB ,
a AA 2a và A C
3a . Gọi M là trung điểm của A C
và I là giao điểm của AM và A C
. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ABC bằng a 2 a A. . B. a 6 . C. . D. a 2 . 3 3 Lời giải Chọn A z M C' M C' A' A' N H B' Ó B' M I I 2a 2a T O 3a 3a Á x N V y D A C C – A VDC a a B B Ta có 2 2 2 2 AC A C
AA a 5 BC AC AB 2a . A M A I IM 1
Vì M là trung điểm đoạn A C nên A M / / AC . AC IC IA 2 1 Suy ra AI AC . 3
Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có
B 0;0;0, A ;
a 0;0,C 0;2 ;
a 0, B0;0;2a, A ;
a 0; 2a,C0;2 ; a 2a . 1 2 2 4 Do A I A C I ; a ; a a . 3 3 3 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020
Mặt khác ta có BA ;
a 0;0, BC 0;2 ;
a 2a B , A BC 0; 2 ; a 2a là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng ABC suy ra phương trình mặt phẳng ABC là y z 0 . N H 2 4 Ó a a 3 3 2 M T
d I, ABC a . 2 3 O Á
Vậy d I ABC 2 , a . N 3 V D 4 2
Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 3m 2 x 3m cắt đường – VDC thẳng y 1
tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 là 1 1 A. ;0 . B. ;1 \ 0 . C. 1 ; 0 \ . D. ;1 . 3 3 3 Lời giải Chọn B
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là 4
x m 2 3 2 x 3m 1 4
x m 2 3
2 x 3m 1 0 (1) Đồ thị hàm số 4
y x m 2 3
2 x 3m cắt đường thẳng y 1
tại bốn điểm phân biệt đều có
hoành độ nhỏ hơn 2 phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt 2
x x x x 2 . 1 2 3 4 Đặt 2
t x t 0 . Ta được phương trình 2
t 3m 2t 3m 1 0 (2)
Điều kiện phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t ,t thoả mãn 0 t t 4 1 2 1 2 N t 1 2 H Có 2 : t
3m 2t 3m 1 0 . t 3m 1 Ó M 1 T 0 3m 1 4 m 1 O Suy ra 3 . Á 3 m 1 1 m 0 N V 1 D Vậy m ;1 \ 0 . 3 – VDC
Câu 41: Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 2 y x 3x 4m 1 x 2m 3
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B ,C sao cho B là trung điểm của AC ? A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn D 3 2 2 y x 3x 4m 1 x 2m 3 Tập xác định D . 2 y 3x 6x 4m 1 ; y 6x 6 ; y 0 x 1.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 m 1 0 1 m 0 y Ycbt m 0 m 0 . y 1 0 2 2m 4m 0 N m 2 H Ó Câu 42: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh là M T A1;0;
1 , B 4;0;5, C 1; 1 2; 1 , D 5;0; 2
. Tứ diện ABCDcó bao nhiêu mặt phẳng đối O Á xứng? N A. 1. B. 4. C. 2. D. 6. V D Lời giải – Chọn A VDC B I A C D
Ta có AB 5 A ,
D BC CD 13, BD 5 2, AC 12
Vậy tam giác ABD cân tại ,
A tam giác CBD cân tại C. Gọi I là trung điểm của BD , ta có tứ N
diện chỉ có một mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng IAC . . H Ó M
Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SBC và mặt phẳng T O
đáy bằng 60 . Nếu ABC là tam giác đều cạnh a 3 thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Á S.ABC bằng N V a 43 a 43 a 43 a 43 D A. . B. . C. . D. 4 8 12 6 – VDC -----Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 Gọi H là trung điểm AB
AH BC tại H N H
SAB, ABC SHA 60 Ó M T 3a 3a 3 O AH SA Á 2 2 N V
Gọi I là tâm của ABC D –
Dựng đi qua I , / /SA VDC
Dựng là trung trực của SA Gọi J Vì J A J JB JC J S J A J A J
JB JC S J
J là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC
Bán kính mặt cầu R A J Gọi M là trung điểm SA Khi đó: 2 2 A J MA MJ 2 N 3a 3 H Ó 2 SA 2 a 43 2 2 M R AI a . 4 4 4 T O Á
Câu 44: Tam giác vuông có diện tích lớn nhất là bao nhiêu nếu tổng của 1 cạnh góc vuông và cạnh N
huyền luôn bằng hằng số dương s ? V D 2 2s 2 s 2 s 3 2 s 3 A. . B. . C. . D. . – 9 9 9 18 VDC Lời giải Chọn D
Gọi tam giác cần tìm là tam giác ABC vuông ở A . Đặ s
t AB x 0 x 2
CB s x AC s x2 2 2 ;
x s 2sx . 1 Ta có 2 S .
x s 2sx f x . ABC 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 x 2 s 3sx f ' 2 2 s 2sx N Bảng biến thiên H Ó M T O Á N V D – VDC 2 s 3
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất là . 18
Câu 45: Biết có hai giá trị của tham số m là m , m để đồ thị hàm số 3
y x m 2 2 3
1 x 6mx có hai 1 2 điểm cực trị ,
A B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x 2 .Tính 2 2
k m m . 1 2 A. k 13. B. k 4 . C. k 9 . D. k 3. Lời giải Chọn B
Tập xác định D . Ta có 2
y 6x 6m 1 x 6m . x 1 N Hơn nữa 2
y 0 6x 6m
1 x 6m 0 . H x m Ó M
Suy ra hàm số có hai điểm cực trị khi m 1. T 3 2 O
Với x 1ta có y 2.1 3m 1 .1 6 .
m 1 3m 1hay A1;3m 1 . Á 3 2 2 3 2 2 3 N
Với x m ta có y 2.m 3m
1 .m 6m m 3m hay B ;3 m m m . V D
Suy ra phương trình đường thẳng AB là y m 2 2
1 x m m . – VDC
Mặt khác đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x 2 nên m 2 1 .1 1 suy ra m 1 1 m 0 . m 1 1 m 2 Do vậy 2 2 m m 4 . 1 2 Câu 46: Cho hàm số
y f x liên tục trên và thỏa mãn f x 2
f x f x 3 3
7 8x 8x 5, x .Tính. 25 11 1 A. 2 . B. . C. . D. . 32 8 2 Lời giải Chọn D Ta có
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 f x 2
f x f x 3 3
7 8x 8x 5 3 f x 2
f x f x 3 3 7
8x 8x 5 3 f x 2
f x f x f x 3 3 3 1 4
1 8x 8x N 2 3 H
f x
1 4 f x
1 8x 8x . Ó M T
Xét hàm số g t 3
t 4t có gt 2
3t 4 0 nên hàm số đồng biến trên . O Á N
Do đó g f x
1 g 2x f x 1 2x f x 2x 1. V D 1 1 1 – 2 2 Suy ra 3x
1 f xdx 3x 12x 1dx . VDC 2 0 0 12 1 3x 1
Câu 47: Biết bất phương trình 2 log
x 3 x 12x 4log có tập nghiệm là 4 2 2 2 x x x S ; a b ; c d với , a , b ,
c d là các số thực. Tính S a b c d . A. S 6 .
B. S 3 2 2 . C. S 3 2 2 . D. S 3 . Chọn D Lời giải 12 1 3x 1 Ta có: 2 log
x 3 x 12x 4log 1 4 2 2 2 x x x x 3 0 1 Bất phương trình
1 xác đinh khi: 3x 1 x 3 ; 0; * 0 3 x N 12 1 1 H
1 4log x 3 2 x 12x 4log 3 2 2 2 2 Ó x x x M f t t t t t T Xét hàm số 2 4log 3 12 3 O Á 1 ' N f t 4 2t 12 t 3 f t đồng biến t 3. V t 3 ln 2 D 2 1 1 x 1 –
Từ 2 f x f x 0 x ; 1 0; 1, VDC x x x
So với điều kiện * ta được tập nghiệm của bất phương trình 1 là: S 3 ; 1 0; 1 .
Khi đó: S a b c d 3 .
Câu 48: Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 x
x e mx 2 2
2 ln x e x 0 đúng với mọi x . Khi đó T là tập hợp con của tập hợp: A. F 6 ; 3 . B. P 3 ;0.
C. E 3;6 .
D. K 0;3. Lời giải Chọn D Đặ x x 1 t f x 2
x e mx 2 ln 2 2 x e x '
f x 2x e m 2 2 e x
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020
Khi đó: f 0 0, lim f x và f x liên tục trên . x
Vậy f x 0 đúng với x
f x đạt cực tiểu tại x 0 N H Ó ' M T f 1 1 0 0 1 m 0 m 1 e e O Á Thử lại ta có: N V f x x 1 x 1 1 2
x e 1 x 2 ln 2 2
x e x '
f x 2x e 1 D 2 2 e e e x – VDC 1 1
Vậy m 1 thỏa ycbt. T 1 . e e
Câu 49: Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên abcdef có 6 chữ số đôi một
khác nhau mà mỗi số đều thỏa mãn d + e + f – a – b – c = 1? A. 60. B. 84. C. 96. D. 108. Lời giải N H Ó Chọn B M Ta có: T
Vì số tự nhiên cần tìm được lập thành từ 6 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 nên: O Á
a + b + c + d + e + f = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. N
Khi đó, ta có hệ phương trình: V D
(a b c) (d e f ) 15 –
(d e f ) (a b c) 1 VDC
a b c 7
d e f 8
Ta xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1: (a;b;c) là hoán vị của bộ số (0;2;5), hoặc (a;b;c) là hoán vị của bộ số (0;3;4)
Có tất cả 2.2.2.3! = 48 số tự nhiên thỏa mãn trường hợp 1.
Trường hợp 2: (a;b;c) là hoán vị của bộ số (1;2;4)
Có tất cả 3!.3! = 36 số tự nhiên thỏa mãn trường hợp 2.
Như vậy, có tất cả 48 + 36 = 84 số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 50: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 3 4 2 3 2 2
m (x 1) m (x x x 1) 6 (
m x 2x 3) đúng ∀x ∈ R. Tổng giá trị của tất cả
các phần tử thuộc S bằng:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG ĐÀ NẴNG-2020 A. 2. B. 0. C. - 1. D. - 3. Lời giải Chọn D N H Theo bài ra ta có : Ó M T 3 4 2 3 2 2
m (x 1) m (x x x 1) 6m(x 2x 3) O 3 2 2 2 2 Á
m (x 1)(x 1) m (x 1) (x 1) 6m(x 1)(x 3) N 2 2 3 2 V
m (x 1) (x 1) 6m(x 1)(x 3) m (x 1)(x 1)(x 1) 0 D 2 2 3 2
(x 1) m (x 1) 6m(x 3) m (x 1)(x 1) 0 – VDC
Bất phương trình đã cho đúng với mọi x thuộc R khi phương trình 2 2 3 2
m (x 1) 6 (
m x 3) m (x 1)(x 1) 0 nhận x 1 là nghiệm. Khi đó ta có: 2 2 3 m ( 1 1) 6m( 1 3) m ( 1 1)(11) 0 2 3
4m 24m 4m 0 3 2
m m 6m 0 2
m(m m 6) 0 m 0 m 2 m 3 N
*) Với m = 0, bài toán đã cho luôn đúng ∀ x ∈ R H Ó
*) Với m = 2 bất phương trình trở thành: M T 2 2
(x 1) 4(x 1) 12(x 3) 8(x 1)(x 1) 0 x R O Á 2 3 2 N
(x 1) 4(x 2x 1) 12x 36 8(x x x 1) x R V 3 2 D (x 1) 8
x 12x 4x 24 0 x R – 2 VDC
4(x 1)(x 1)( 2
x 5x 6) 0 x R 2 2 4(x 1) ( 2
x 5x 6) 0 x R Vô lý vì 2 2
x 5x 6 0 x R
Vậy m = 2 không thỏa mãn bài toán. *) Với m 3
bất phương trình trở thành: 2 2
(x 1) 9(x 1) 18(x 3) 27(x 1)(x 1) 0 x R 2 3 2
(x 1) 9x 18x 9 18x 54 27x 27x 27x 27 0 x R 3 2
(x 1) 27x 18x 9x 36 0 x R 2 2
(x 1) 3x 5x 4 0 x R
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC
HSG ĐÀ NẴNG-2020 Luôn đúng vì 2
3x 5x 4 0 x R
Như vậy, tập S bao gồm 2 phần tử là m = 0 và m = -3. N H
Tổng các phần tử trong tập S bằng -3. Ó M T Chọn đáp án D. O Á
--------------- HẾT --------------- N V D – VDC N H Ó M T O Á N V D – VDC
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32