PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TRIỆU SƠN Năm học 2015 - 2016 Đề chính thức Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Số báo danh Ngày 13 tháng 4 năm 2016
(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
..................................... Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức:  x 1 1 2x  1 x P    1 : .  3 2 x  3x 6 2 x  3x  2x
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm x  Z để P có giá trị nguyên. c. Tìm x để P  1. Câu 2: (5,0 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 3 3 a  b  c  3abc. 2. Giải phương trình: 6 4 x 11 3 x  3 2 x  11x  6 2 x  3  0. 4x  5 2 2 x  x x1 3x
3. Giải bất phương trình:    . 4 3 2 3 Câu 3: (4,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn 2 2
5x  2xy  y  4x  40  0 .
2. Với mỗi số tự nhiên n, đặt an = 3n2 + 6n + 13.
a. Chứng minh rằng nếu hai số ai, aj không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau khi
chia cho 5 thì ai + aj chia hết cho 5.
b. Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ sao cho an là số chính phương. Câu 4: (6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD
= CE. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE.
a. Tứ giác MINK là hình gì? Vì sao?
b. Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A.
2. Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M trên cạnh AB vẽ hai đường thẳng song
song với hai cạnh AC, BC, chúng lần lượt cắt BC, AC tại D và E. Tìm vị trí của M trên
cạnh AB để độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (1,0 điểm)
Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi, thỏa mãn điều kiện xy2z2 + x2z + y = 3z2. Hãy 4
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z P  4  z  4 x  y . 1 4
---------------- Hết ---------------
Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TRIỆU SƠN Năm học 2015 - 2016 Hướng dẫn chấm Môn thi: Toán Ngày 13 tháng 4 năm 2016
(Hướng dẫn chấm có 04 trang, gồm 05 câu) Câu Nội dung Điểm a. ĐKXĐ: 1 x  , 0 x  , x  1. 2 0,5 Ta có:  x 1 1  2x  1 x P    1 :  3x2  3x 6x2  3x  2x  x 1 2x 1   x   1   1 :   3xx   1 3x2x   1   2x 0,5  1 1   2x 2  x   1 .   3x 3x  x 1 x 1 0,5 Vậy với 1 x x  , 0 x  , x  1  ta có 2 P  . 1 2 x 1 (4,0đ) b. Ta có: 2 P  2   Z x 1 0,5
 x 1 Ư(2) mà Ư(2) =  1  ;  2 .
Từ đó suy ra x   ; 1 ; 0  3 ; 2 . 0,5
Kết hợp với ĐKXĐ được x2;  3 . 0,25 c. 2x 2x x 1 P  1   1  1  0   0 x 1 x 1 x 1 0,5
Mà x – 1 < x + 1 nên x – 1 < 0 và x + 1  0  x 1 và x  1  0,5
Kết hợp với ĐKXĐ được 1 1   x 1 và x  , 0 x  . 2 0,25
1. Ta có: a3  b3  c3  a 3 bc  a  b3  a 3 2b  a 3 b2  c3  a 3 bc   0,5 a  b3  c3  a 3 ba  b  c 0,5
 a  b  c a  b2  ca  b c2  a 3 ba  b  c 0,5
 a  b  ca2  2ab  b2  ac  bc  c2  a 3 b 0,5 2  a  b  c 2 2 2
a  b  c  ab  bc  ca. (5,0đ) 4 3 2 2
2. Ta có: 6x 11x  3x 11x  6x  3  0  6 2 x  2 x   1 11x 2 x   1   3 2 x   1  0 0,5   2 x   1 6 2 x 11x  3  0 0,25  x   1 x   1 3x   1 2x   3  0 0,25
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  1 3  ; 1 ;  . 0,5  3 2 2 4x  5 2 2 x  x x1 3x 3. Ta có:    4 3 2 3 24x  5   3 2 2 x  x 2x1 3x 0,5  24   6 6 2 2 8x 10  6x  3x 2x  6x  24    8x 10  6 2 x  3x  2x  6 2 x  24 0,5 6 6 14  3x  1  4  x  . 0,25 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  14 x / x  .  0,25  3  1. Ta có: 2 2
5x  2xy  y  4x  40  0  4 2 x  4x   1   2 x  2 2 xy  y   41
  x  2  x  y2 2 1  41 0,75   2x   2 1  25
Vì x,y  Z , 2x 1 là số nguyên lẻ và 2 2 41  5  4 nên    x  y 0,5  2 16 2x 1  5  0,75  x  y   4
Từ đó suy ra các cặp  ;
x y cần tìm là 3;  1 ;3; 7  ; 2  ;6; 2  ; 2   . 3
(4,0đ) 2. Ta có: an = 3n2 + 6n + 13 = 3(n + 1)2 + 10. 0,5 a. Ta thấy: Nếu a
n không chia hết cho 5 thì n + 1 không chia hết cho 5 và an    3 ; 2 0,5 (mod 5).
Do đó, nếu ai, aj đều không chia hết cho 5 và ai  aj (mod 5) thì 0,5 a
i + aj  2 + 3  0 (mod 5).
b. Vì n lẻ nên n + 1 chẵn. 0,5
Do đó, an  2 (mod 4). Suy ra an không thể là số chính phương.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để an là số chính phương. 1. Hướng dẫn: 2,0
a. Tứ giác MINK là hình thoi.
b. Gọi G, H theo thứ tự là giao điểm của MN với AC, AB. 4 Ta chứng minh: 2,0 (6,0đ) MG //At Từ đó suy ra IK  At. 3 2. Hướng dẫn:
M là trung điểm cạnh AB thì độ dài đoạn 2,0
DE đạt giá trị nhỏ nhất. 2
Do z > 0 nên từ xy2z2 + x2z + y = 3z2, suy ra 2  x xy  y  3. 2 z z
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương, ta có:   x   y   x y  2 2 2 x y  y  2 2 2 1 2  x     2 2 xy    . 6  0,25 2   2 2   2   z   z z   z z  4 Theo đề ra, ta có: z 1 P   4 1 z  4 4 x  y  1 4 4  x  y 4 z Đặt 1 1 a  , 2 b  x , 2
c  y (a, b, c > 0), khi đó: P  0,25 2 2 2 2 5 z a  b  c
(1,0đ) Do a2  2a – 1, b2  2b – 1, c2  2c – 1,
a2 + b2 2ab, b2 + c2  2bc, c2 + a2 2ca.
Suy ra: 3(a2 + b2 + c2)  2(ab + bc + ca + a + b + c) – 3 2 2
Mà ab + bc + ca + a + b + c = 2 2 2 2 x y 1 x y  y  x     6 . 2 2 2 z z z
Do đó: 3(a2 + b2 + c2)  9  a2 + b2 + c2  3 0,25 Suy ra 1 P  3
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1  1 x  y   1  x  y  z  1 z 0,25
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức 1
P  khi x  y  z  1 . 3 Chú ý:
1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 4 5