Đề Thi HSG Toán 12 Sở GD-ĐT Thanh Hóa 2021-2022 Có Đáp Án Và Lời Giải
Đề thi HSG Toán 12 sở GD - ĐT Thanh Hóa 2021 - 2022 được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 34 trang. Tài liệu là kiến thức từ cơ bản đến nâng cao khác nhau và kèm sẵn đáp án để các em học sinh dễ dàng so sánh kết quả sao cho chuẩn xác nhất. Mời các em tham khảo thêm nhé!
Chủ đề: Đề HSG Toán 12 285 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ MINH HỌA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn:TOÁN
Thời gian:180 phút (Không kể thời gian phát đề Câu 1.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số y sin x là hàm số chẵn.
B. Hàm số y sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T .
C. Hàm số y sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T 2 .
D. Đồ thị hàm số y sin x nhận trục Ox là trục đối xứng. Câu 2.
Có bao nhiêu cách lấy ra một quả cầu từ một hộp chứa 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 và
5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5. A.11. B. 6 . C. 30 . D. 5 . n Câu 3. Cho dãy số u
n N . Khẳng định nào sau đây đúng? n 2 , *
A.Dãy u bị chặn.
B. Dãy u không bị chặn. n n
C. Dãy u giảm.
D. Dãy u tăng. n n Câu 4.
Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong có dạng như hình vẽ bên. A. 2
y x x 4 . B. 4 2
y x 3x 4 . C. 3 2
y x 2x 4 . D. 4 2
y x 3x 4 . 1 Câu 5.
Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức 4
P a . a ta được biểu thức nào sau đây? 1 3 9 1 A. 2 a . B. 4 a . C. 4 a . D. 4 a . Câu 6.
Hình nào trong các hình sau không phải là hình đa diện?
A. Hình lăng trụ.
B. Hình lập phương. C. Hình trụ. D. Hình chóp. Câu 7.
Tính bán kính R của đường tròn đáy hình nón có độ dài đường sinh bằng 4 , diện tích xung quanh bằng 8 . A. R 8.
B. R 4 .
C. R 2 . D. R 1 . Câu 8.
Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy r 4 và chiều cao h 2 . 32 A. 8 . B. 32 . C. 16 . D. . 3 Trang1 f x 2; 3 f 2 2 f 3 5 Câu 9. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn và , . Tính 3 f
xdx . 2 A. 3 . B. 10 . C. 3 . D. 7 .
Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số ex y cos x là
A. ex sin x 1 .
B. ex sin x 1 .
C. ex sin x .
D. ex sin x . 21 2
Câu 11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton biểu thức x , x 0 . 2 x A. 7 7 2 C . B. 8 8 2 C . C. 8 8 2 C . D. 7 7 2 C . 21 21 21 21 2 2x 6 Câu 12. Biết lim
a b với b là số nguyên tố. Tính giá trị của P a b . x 3 x 3 A. 7 . B. 10 . C. 5 . D. 6 .
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Hỏi trong các mặt bên của hình chóp S.ABCD có mấy mặt bên là tam giác vuông? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Câu 14. Hàm số 2 y
2x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây A. 1 ;1 . B. 0; 2 . C. 0; 1 . D. 1; 2 . 2 3
Câu 15. Cho hàm số f x có f x x x 2 x 2 2 1 4 x 1 , x
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 16. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x bằng A.1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . 2 y 15
Câu 17. Cho x , y là hai số thực dương, x 1và thỏa mãn log y , log x .Tính giá trị x 3 5 5 y của 2 2
P y x .
A. P 17 .
B. P 50.
C. P 51. D. P 40 .
Câu 18. Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình 2
log x 5 log x 6 0 .Tính T . 1 3 3 1
A. T 5 . B. T 3 .
C. T 36 . D. T . 243
Câu 19. Cho a , b , c là các số thực dương và khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số
y log x , y log x , y log x . Khẳng định nào sau đây là đúng? a b c
A. b c a .
B. c a b .
C. a b c .
D. b a c . Trang2
Câu 20. Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được
làm từ các que tre có độ dài 8 cm . Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái
đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể và các que tre được chuẩn bị sẵn)? A. 96 m .
B. 960 m .
C. 192 m . D. 128 m .
Câu 21. Gọi V là thể tích của khối hộp ABC . D A B C D
và V là thể tích của khối đa diện V A .ABC D . Tính tỉ số . V V 2 V 2 V 1 V 1 A. . B. . C. . D. . V 5 V 7 V 3 V 4
Câu 22. Cho tứ diện SABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và
SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt
phẳng ABC bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 2 3 4 8
Câu 23. Cho mặt cầu S và mặt phẳng , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu S đến mặt
phẳng bằng a . Mặt phẳng cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có chu
vi 2 3 a . Diện tích mặt cầu S bằng bao nhiêu? A. 2 12 a . B. 2 16 a . C. 2 4 a . D. 2 8 a . 1 dx e 1 Câu 24. Cho a bln
, với a, b là các số nguyên.Tính 3 3
S a b . ex 1 2 0
A. S 0 . B. S 2 .
C. S 1. D. S 2 .
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f x ln x trên khoảng 0; là 2 ln x 1
A. x ln x x C . B. C . C. C .
D. x ln x x C . 2 x
Câu 26. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0; 2018 của phương trình
3 1 cos 2x sin 2x 4cos x 8 4 3
1 sin x . Tính tổng tất cả các phần tử của S . 310408 312341 A.103255 . B. . C. . D. 102827 . 3 3
Câu 27. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, 3, 4, 120 . o AB AD BAD Cạnh bên
SA 2 3 vuông góc với đáy. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh S , A AD và . BC
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SAC ) và (MNP). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây 3 1 1 2 A. sin ;1 . B. sin 0; . C. sin ; . D. 2 2 2 2 2 3 sin ; . 2 2
Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 4km . Trên bờ biển có
một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC 7km . Người canh hải đăng phải chèo đò
từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6km / h rồi đi xe đạp từ M đến C với
vận tốc 10km / h (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A
đến C là nhanh nhất. Trang3 A x B M C 7km A. 9km . B. 6km . C. 3km . D. 4km . x
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham sốm để hàm số 1 1 y đồng biến trên 1 x m khoảng 3 ;0? A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 30. Gọi S là tập hợp các giá trịm để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
y (x x m) trên đoạn 2
;2 bằng 4. Tổng các phần tử của tập hợp S bằng 23 23 41 23 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 2
Câu 31. Gọi m là số thực sao cho phương trình 3
x 12x m có ba nghiệm dương phân biệt x ; 0 0 1
x ; x thỏa mãn x x x 1 4 3 . Biết rằng m có dạng a 3 b với a ; b là các số 2 3 1 2 3 0 hữu tỷ. Tính 2
4a 8b : A. 106 . B. 115 . C. 113 . D. 101.
Câu 32. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [ 20 ;20] sao cho hàm số 2 y 2
x 2 a x 4x 5 có cực đại. A. 18 . B. 17 . C. 36 . D. 35 . x x
Câu 33. Gọi a là giá trị để phương trình: 2 3 1 a2 3 4 0 có 2 nghiệm phân biệt
x , x thoả mãn: x x log
3 . Giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây? 1 2 1 2 2 3 A. ; 3 . B. 3; .
C. 0; . D. 3; .
Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình x2 x2 2.7 7.2
351. 14x là đoạn S ;
a b với a , b là
các số nguyên. Giá trị b 2a thuộc khoảng nào sau đây? 2 49
A. 3; 10 . B. 4 ;2 .
C. 7;4 10 . D. ; . 9 5
Câu 35. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi
suất 0, 8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền
cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. Biết rằng lãi suất không thay đổi
trong suốt quá trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng? A. 48. B. 49 . C. 47 . D. 50 . Trang4
Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh BC 2a , ABC 60 và tứ giác BCC B
là hình thoi có B BC
nhọn. Biết BCCB vuông góc với
ABC và ABB
A tạo với ABC góc 45 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C bằng 3 a 3 3a 3 6a 3 a A. . B. . C. . D. . 7 7 7 3 7
Câu 37. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h 20( cm) , bán kính đáy r 25( cm) . Một thiết diện
đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là
12( cm) . Tính diện tích của thiết diện đó A. S 2 500 cm . B. S 2 400 cm . C. S 2 300 cm . D. S 2 406 cm .
Câu 38. Lon nước ngọt có dạng hình trụ và cốc uống nước có dạng hình nón cụt. Lon nước có chiều
cao 15 cm , đường kính đáy 6 cm, cốc có chiều cao 15 cm , đường kính đáy và đường kính
miệng cốc lần lượt là 4 cm và 8 cm (như hình vẽ minh họa dưới đây). Khi rót nước ngọt từ
lon ra cốc thì chiều cao h của phần nước ngọt còn lại trong lon và chiều cao của phần nước
ngọt có trong cốc là như nhau. Hỏi khi đó chiều cao h trong lon nước gần nhất số nào sau
đây?. Bỏ qua bề dày của lon nước, cốc nước và giả sử lon đựng đầy nước ngọt, cốc không
chứa nước trước khi rót A. 9,18 cm . B. 14, 2 cm . C. 8, 58 cm . D. 7, 5 cm . 1 4 f
3x 1dx 2
f x dx 2 log x Câu 39. Nếu 0 và f 2 log x 2 dx ln 2 thì 0 bằng 2 x 1 A. 4 . B. 7 . C. 8 . D. 4 . 5
a ln 3 b ln 2 c Câu 40. Giả sử 2
x ln x 1 dx với * a, ,
b c N . Giá trị của biểu thức b c a 3 9 3 bằng A. 2 . B. 24 . C. 4 . D. 4 .
Câu 41. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên
một số. Gọi p là xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Khi đó
p thuộc khoảng nào sau đây ?
A. 0;0, 2 .
B. 0, 2;0, 4.
C. 0, 4;0, 6 . D. 0, 6;0,8 .
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC 60 ,
mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , M , N lần lượt là trung điểm các Trang5 cạnh AB, ,
SA SD và G là trọng tâm tam giác SB .
C Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (HMN ) bằng a 15 a 15 a 15 a 15 A. . B. . C. . D. . 15 30 20 10
Câu 43. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Số nghiệm thực phân 4
biệt của phương trình f x 1
f x 3 0 là A.12 . B. 8 . C. 6 . D. 9 .
Câu 44. Cho hàm số bậc bốn f x có bảng biên thiên như sau
Số điểm cực trịcủa hàm số g x x f x 2 4 1 là A. 7 . B. 5 . C. 9 . D. 11. x 1 x x 1 x 2
Câu 45. Cho hai hàm số y y x
x m ( m là tham số thực) có x x 1 x 2 x và 2 3
đồ thị lần lượt là C và C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C và C cắt nhau 2 1 2 1
tại đúng 4 điểm phân biệt là A. 2; . B. : 2 . C. 2 : . D. ; 2 .
Câu 46. Cho phương trình 2 2log log 1 5x x x
m 0(m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu 3 3
giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt? A. 123 . B. 125 . C. Vô số. D. 124 .
Câu 47. Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x y 1 2x .4 y
3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P x y 4x 2 y bằng 33 9 21 41 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 8
Câu 48. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log 2 x y log
x y ? 3 2 A. 80 . B. 79 . C. 157 . D. 158 Trang6
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA 2 và SA vuông
góc với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD 1 1
sao cho mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng T 2 2 AN AM
khi thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị lớn nhất. 5 2 3 13
A. T 2 . B. T . C. T . D. T . 4 4 9
Câu 50. Cho hình hộp ABC . D A B C D
có cạnh AB a và diện tích tứ giác A B C D là 2 2a . Mặt phẳng A B C
D tạo với mặt phẳng đáy một góc 60, khoảng cách giữa hai đường thẳng 3a 21
AA và CD bằng
. Tính thể tích V của khối hộp ABC . D A B C D
, biết hình chiếu 7
của đỉnh A lên mặt phẳng ABCD thuộc miền giữa hai đường thẳng AB và CD , đồng
thời khoảng cách giữa AB và CD nhỏ hơn 4a . 3 10a 3 3 11a 3 A. 3 V 4a 3 . B. 3 V 3a 3 . C. V . D. V . 3 4
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số y sin x là hàm số chẵn.
B. Hàm số y sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T .
C. Hàm số y sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T 2 .
D. Đồ thị hàm số y sin x nhận trục Ox là trục đối xứng. Lời giải Chọn C Câu 2.
Có bao nhiêu cách lấy ra một quả cầu từ một hộp chứa 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6 và
5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5. A. 11. B. 6 . C. 30 . D. 5 . Lời giải Chọn A
Có tất cả là 11 quả cầu trong hộp. Số cách lấy ra một quả cầu từ một hộp đó là 11 cách. n Câu 3. Cho dãy số u
n N . Khẳng định nào sau đây đúng? n 2 , *
A. Dãy u bị chặn.
B. Dãy u không bị chặn. n n
C. Dãy u giảm.
D. Dãy u tăng. n n Lời giải Trang7 Chọn B
Từ giả thiết ta có: n
+ n chẵn thì limu lim . n 2 n
+ n lẻ thì limu lim
. Vậy dãy u không bị chặn. n n 2 Câu 4.
Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong có dạng như hình vẽ bên. A. 2
y x x 4 . B. 4 2
y x 3x 4 . C. 3 2
y x 2x 4 . D. 4 2
y x 3x 4 . Lời giải Chọn D
Ta có đây là hình dáng đồ thị của hàm 4 2
y ax bx c có a 0. 1 Câu 5.
Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức 4
P a . a ta được biểu thức nào sau đây? 1 3 9 1 A. 2 a . B. 4 a . C. 4 a . D. 4 a . Lời giải Chọn B 1 1 1 3 Ta có 4 4 2 4
P a . a a .a a . Câu 6.
Hình nào trong các hình sau không phải là hình đa diện?
A. Hình lăng trụ.
B. Hình lập phương. C. Hình trụ. D. Hình chóp. Lời giải Chọn C Câu 7.
Tính bán kính R của đường tròn đáy hình nón có độ dài đường sinh bằng 4 , diện tích xung quanh bằng 8 .
A. R 8.
B. R 4 .
C. R 2 . D. R 1 . Lời giải Chọn C
Ta có diện tích xung quanh S
8 Rl 8 4R 8 R 2 xq . Câu 8.
Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy r 4 và chiều cao h 2 . 32 A. 8 . B. 32 . C.16 . D. . 3 Lời giải Trang8 Chọn B Thể tích khối trụ 2 2
V r h . 4 .2 32 . f x 2; 3 f 2 2 f 3 5 Câu 9. Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn và , . Tính 3 f
xdx . 2 A. 3 . B.10 . C. 3 . D. 7 . Lời giải Chọn A 3 3 Ta có: f
xdx f x f 3 f 2 52 3. 2 2
Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số ex y cos x là
A. ex sin x 1 .
B. ex sin x 1 .
C. ex sin x .
D. ex sin x . Lời giải Chọn C
ex cos d ex x x
sin x C 21 2
Câu 11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton biểu thức x , x 0 . 2 x A. 7 7 2 C . B. 8 8 2 C . C. 8 8 2 C . D. 7 7 2 C . 21 21 21 21 Lời giải Chọn D 21
Số hạng tổng quát trong 2
khai triển nhị thức Newton biểu thức x , x 0 . 2 x k 2 21 k 213 k k k T C x . k C x . 2 . k 1 21 2 21 x T x
k k . k 1 không chứa 21 3 0 7 21 Vậy 2
số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton biểu thức x , x 0 là 2 x C 2 7 7 7 7 2 C . 21 21 2 2x 6 Câu 12. Biết lim
a b với b là số nguyên tố. Tính giá trị của P a b . x 3 x 3 A. 7 . B. 10 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A 2 2 x x 3x 3 2 6 lim lim
lim 2x 3 4 3 . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Trang9 a 4
a b 7 b 3
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Hỏi trong các mặt bên của hình chóp S.ABCD có mấy mặt bên là tam giác vuông? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D.1. Lời giải ChọnA. S A D B C
Dễ thấy các hai giác SAB và SAD vuông tại A . BC AB Ta có
BC SAB BC SB S
BC vuông tại B . BC SA
Tương tự, ta cũng có S
DC vuông tại D .
Vậy hình chóp có 4 mặt bên đều là tam giác vuông. Câu 14. Hàm số 2 y
2x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây A. 1 ;1 . B. 0; 2 . C. 0; 1 . D. 1; 2 . Lời giải Chọn D Hàm số xác định 2
2x x 0 0 x 2 tập xác định D 0;2. 1 x Ta có y
y 0 1 x 0 x 1 (nhận). 2 2x x
Bảng xét dấu y :
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1;2 . 2 3
Câu 15. Chop hàm số f x có f x x x 2 x 2 2 1 4 x 1 , x
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 4 . B. 3 . C.1. D. 2 . Lời giải Chọn B 2 3 4 3
Ta có f x x x 2 x 2 2 1 4 x
1 x 2 x 1 x 1 x 2 . Trang10
x 2 nghieäm ñôn
x 1 nghieäm boäi boán
Khi đó f x 0 . x 1 nghieäm ñôn x 2 nghieäm boäi b a Bảng xét dấu
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 16. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x bằng A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B
lim f x 0 và lim f x 1 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y 0; y 1 x x
lim f x đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x 1 x 1 2 y 15
Câu 17. Cho x , y là hai số thực dương, x 1 và thỏa mãn log y , log x . Tính giá trị x 3 5 5 y của 2 2
P y x .
A. P 17 .
B. P 50.
C. P 51. D. P 40 . Lời giải Chọn B
Với x, y là hai số thực dương, x 1ta có: 2 y 2 y y log y 2 log y log y x x 1 x 5 5 5 15 15 5 log x 3 log x log x 2 3 5 5 5 y y y 1 Hay: log y
log y log 5 y 5. x log x x x 5
Thay y 5 vào 2 ta có log x 1 x 5 . 5 Vậy P 50 Trang11
Câu 18. Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình 2
log x 5 log x 6 0 .Tính T . 1 3 3 1
A. T 5 . B. T 3 .
C. T 36 . D. T . 243 Lời giải Chọn C Đk: x 0 2 2
log x 5log x 6 0 log x 5log x 6 0 1 3 3 3 3 log x 2 x 9 3 log x 3 x 27 3 Vậy T 36
Câu 19. Cho a , b , c là các số thực dương và khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số
y log x , y log x , y log x . Khẳng định nào sau đây là đúng? a b c
A. b c a .
B. c a b .
C. a b c .
D. b a c . y y= log x c y= log x a 1 x O y= log x b Lời giải ChọnA.
Dựng đường thẳng y 1 cắt các đồ thịcủa ba hàm số y log x , y log x , y log x tại a b c
các điểm có hoành độ lần lượt là a,b, c
Khi đó ta có b c a .
Câu 20. Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được
làm từ các que tre có độdài 8 cm . Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái
đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể và các que tre được chuẩn bị sẵn)? Trang12
A. 96 m .
B. 960 m .
C. 192 m . D. 128 m . Lời giải ChọnA.
Mỗi bát diện đều có 12 cạnh, nên 100 cái đèn lồng hình bát diện đều cần 1200 cạnh
Mỗi cạnh của bát diện đó được làm từ các que tre có độ dài 8 cm , nên để làm 100 cái đèncần 9600 cm .
Câu 21. Gọi V là thể tích của khối hộp ABC . D A B C D
và V là thể tích của khối đa diện V A .ABC D . Tính tỉ số . V V 2 V 2 V 1 V 1 A. . B. . C. . D. . V 5 V 7 V 3 V 4 Lời giải ChọnC. V 2 2 2 V V Ta có V , mà V V nên V V .
AAD.BB C 2 A ABC D 3 AA D BB C A ABC D 3 AA D BB C 3 3 3 V 1 Vậy . V 3
Câu 22. Cho tứ diện SABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và
SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt
phẳng ABC bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 2 3 4 8 Lời giải Chọn D Trang13 S M P N A C K B
Gọi K là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng ABC . 1
Theo giả thiết thì MNP // ABC và S S . MNP 4 ABC 1 1 Ta có V d K MNP S d B MNP S KMNP , . MNP , . 3 3 MNP 1 1 1 1 V d S MNP S d S ABC S . ABC 1 , . . , . 3 4 3 2 4 ABC 8
Câu 23. Cho mặt cầu S và mặt phẳng , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu S đến mặt
phẳng bằng a . Mặt phẳng cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có chu
vi 2 3 a . Diện tích mặt cầu S bằng bao nhiêu? A. 2 12 a . B. 2 16 a . C. 2 4 a . D. 2 8 a . Lời giải Chọn B
Gọi O , R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu S .
Gọi H , r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn giao tuyến.
Theo giả thiết ta có: OH a và 2 r 2 3 a r a 3 .
Bán kính mặt cầu S là R OH r a a 2 2 2 2 3 2a . Trang14
Diện tích mặt cầu S là R a2 2 2 4 4 2 16a . 1 dx e 1 Câu 24. Cho a bln
, với a, b là các số nguyên. Tính 3 3
S a b . ex 1 2 0
A. S 0 . B. S 2 .
C. S 1. D. S 2 . Lời giải Chọn A 1 1 dx exdx Gọi I . ex 1 ex ex 1 0 0
Đặt ex d ex t t dx .
Đổi cận: x 0 t 1 ; x 1 t e . e e dt 1 1 I dt
ln t ln t 1e t t 1 1 t t 1 1 1
2 e 1 1 ln e 1 ln 2 1 ln 1 ln
, do đó a 1,b 1 . e 1 2 Vậy 3 3
S a b 0 .
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f x ln x trên khoảng 0; là 2 ln x 1
A. x ln x x C . B. C . C. C .
D. x ln x x C . 2 x Lời giải Chọn D
Xét I ln xdx 1 u ln x du dx Đặt x dv dx v x
I x ln x dx x ln x x C
Câu 26. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0; 2018 của phương trình
3 1 cos 2x sin 2x 4cos x 8 4 3
1 sin x . Tính tổng tất cả các phần tử của S . 310408 312341 A.103255 . B. . C. . D.102827 . 3 3 Lời giải Chọn B Ta có
3 1 cos 2x sin 2x 4cos x 8 4 3 1 sin x 2
2 3sin xsin 2x4cos x84 3 1sin x0 2
2 3sin x4 3sin x2sin xcos x4cos x4sin x80
2 3 sin xsin x 2 2cos xsin x 24sin x 20
sin x22 3sin x2cos x40 Trang15
3sin xcos x2 3 1
sin x cos x 1 2 2 sin x
1 x 2k x 2k k 6 6 2 3 2018 1 Do x 0;2018 nên 3 0
2k 2018 k 321,005 3 6 2
Do k nên k 0,321
Do đó tổng các nghiệm là 322. 321.322.2 310408 T 3 2 3
Câu 27. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, 3, 4, 120 . o AB AD BAD Cạnh bên
SA 2 3 vuông góc với đáy. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh S , A AD và . BC
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SAC ) và (MNP). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây 3 1 1 2 A. sin ;1 . B. sin 0; . C. sin ; . D. 2 2 2 2 2 3 sin ; . 2 2 Lời giải Chọn A
Ta có MNP (SCD) nên góc giữa (SAC),(MNP) bằng góc giữa (SAC),(SCD). ,( ) sin d A SCD d A SC . , * d ,
A (SCD). Kẻ AH C . D Tính được S 3 3 AH 2 3. ACD 1 1 1 1 . d ,
A (SCD) 6. 2 d , A (SCD) 2 2 SA AH 6
* Tính được AC 13 . Trang16 1 1 1 25
d A OM 2 39 , . 2 d , A SC 2 2 SA AC 156 5 5 26 Vậy sin . 26 Cách 2. S M K A N D H I B C P
Gọi I MN AC MNPSAC MI .
Dựng NH AI, H AI . Ta có NH AI, NH SA NH SAC
Trong mặt phẳng SAC , dựng HK MI, K MI . Khi đó NH NKH và sin
(do tam giác HNK vuông tại H ) NK 1 Ta có 2 2 2
AC AD CD 2 . AD C .
D cos ADC 16 9 2.4.3. 13 2 13
AC 13 AI 2 1 1 3 3 3 3 +) S
AN.NI.sin ANI .2. . A NI 2 2 2 2 4 2S 3 3 13 3 3 A NI NH : . AI 2 2 13 +) 2 2 9 27 3 13
IH IN NH ; 2 2 13 5
MI MA AI 3 4 13 26 4 2 HK MA M . A HI 3.3 13 3 3 Ta có HK HI MI MI 5 5 13 26. 2 2 2 27 27 3 6
NK HK NH 325 13 5 Từ đó suy ra NH 3 3 5 5 3 sin . ;1 NK 13 3 6 26 2 Trang17
Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 4km . Trên bờ biển có
một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC 7km . Người canh hải đăng phải chèo đò
từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6km / h rồi đi xe đạp từ M đến C với
vận tốc 10km / h (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A
đến C là nhanh nhất. A x B M C 7km A. 9km . B. 6km . C. 3km . D. 4km . Lời giải Chọn D.
Ta có: AM x2 7
16 ; 0 x 7 . x2 7 16
Thời gian chèo từ A đến vị trí M : t (h) . AM 6 Thời gian đạp xe từ x
M đến C : t (h) . M C 10 x2 7 16 Thời gian từ x
A đến C : t ( ) h . 6 10 (7 x) 1 Ta có: t '
0 x 4 . Dựa vào BBT ta thấy t khi x 4.Chọn D min x2 10 6. 7 16 x
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham sốm để hàm số 1 1 y đồng biến trên 1 x m khoảng 3 ;0? A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải ChọnA. Đặ t 1
t t 1 x , x 3
;0 t 1;2 và y . t t m m 1 1
Ta có y y . t . x t x
t m2 2 1 x 1 Vì 0, x 1 2 1 x Trang18 m 1
Nên hàm số y đồng biến trên khoảng 3 ;0 y 0 với t 1;2 x t t m2 m 1 m 1 0 m 1 , t 1;2 m 1 t m 0 m
1;2 m 2
Mà m nguyên dương nên không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu. Chọn A
Câu 30. Gọi S là tập hợp các giá trịm để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
y (x x m) trên đoạn 2
;2 bằng 4. Tổng các phần tử của tập hợp S bằng 23 23 41 23 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 2 Lời giải ChọnA. Ta xét: 2
f x x x m trên đoạn 2; 2 Đặt: ( ) 2
u x = x + x - m trên đoạn [- 2; 2]. Ta có hàm số u(x) liên tục trên đoạn [- 2; 2] 1 có u (
¢ x)= 0 Û 2x + 1= 0 Þ x = - Î [- 2;2]. 2 Khi đó íï æ 1 ü öï í ï ç ï ï 1 ü ÷ ï ï max u = maxì u(- ) 2 ;u( ) 2 ;u - ç ÷ý = maxì 2- m;6- m;- - mý = 6- m ï ç ÷ è ï ø ï ï [- 2;2] 2 ïî ïþ ïî 4 ïþ íï æ 1 ü öï í ï ç ï ï 1 ü ÷ ï ï 1 ï min u = minì u(- ) 2 ;u( ) 2 ;u - ç ÷ý = minì 2- m;6- m;- - mý = - - m ï ç ÷ è ï ø ï ï [- 2; ] 2 2 ïî ïþ ïî 4 ïþ 4 . éíï 1 ïê - - m = 2 ïêïï 4 êì é 9 ê íï ü ï 1 ï ï ï ï 1 m ê = - ê
Theo bài ra Min f (x)= min ì 6- m ; - - m ,0ý = 2 Û ï - - m > 0 Û ê ï 4 ê . [- 2;2] ï 4 ï ïî 4 ê ïî ïþ ê m ê = 8 ê ë íï 6- m < 0 êïìêï 6- m = 2 êïîë Do đó 9 23
S ,8 . Vậy tổng các phần tử của tập S bằng . Chọn A 4 4
Câu 31. Gọi m là số thực sao cho phương trình 3
x 12x m có ba nghiệm dương phân biệt x ; 0 0 1
x ; x thỏa mãn x x x 1 4 3 . Biết rằng m có dạng a 3 b với a ; b là các số 2 3 1 2 3 0 hữu tỷ. Tính 2
4a 8b : A. 106 . B. 115 . C. 113 . D. 101. Lời giải Chọn A Trang19 y 16 1 x
Từ đồ thị của hàm số 3
y x 12x , ta có phương trình 3
x 12x m 1 có ba nghiệm 0
dương phân biệt x ; x ; x khi và chỉ khi m 0;16 . 0 1 2 3 3 Ta có hàm số 3
y x 12x là hàm số chẵn (vì y x x x 3 12.
x 12x y x ).
Từ đó, ta thấy rằng nếu x ; x ; x là ba nghiệm dương của phương trình
1 thì x ; x ; 1 2 3 1 2
x cũng là ba nghiệm của phương trình 1 . 3
Không mất tính tổng quát, giả sử x x x . Khi đó ta có x ; x ; x là nghiệm của 1 2 3 1 2 3 phương trình b 3
x 12x m . Theo định lí Viet, x x x 0 . 0 1 2 3 a 1 4 3
Theo bài ra, x x x 1 4 3 nên x . 1 2 3 3 2 3 Khi đó, 1 4 3 1 4 3 3 97 3 97 m 12. 3 a ,b 2
4a 8b 106. 0 2 2 2 8 2 8
Câu 32. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [ 20 ;20] sao cho hàm số 2 y 2
x 2 a x 4x 5 có cực đại. A. 18 . B. 17 . C. 36 . D. 35 . Lời giải Chọn A a x 2 2 2
x 4x 5 a x 2 y 2 2 2 x 4x 5 x 4x 5 2 y 0 2
x 4x 5 a x 2 0
Điều kiện cần: Hàm số có cực đại nếu y 0 có nghiệm
Nhận xét x 2 không phải là nghiệm của y 0 . Trang20 2 2 x 4x 5
Vậy y 0 có nghiệm khi và chỉ khi a
f x có nghiệm. x 2 2 x 22 2 2 x 4x 4 2 2
2 x 4x 5
2 x 4x 5 2 2 x 4x 5 x 4x 5
Ta có: f x x 22 x 22 2 0, x \ x 2 2 2 2 x 4x 5 x -∞ 2 +∞ f '(x) 2 +∞ f (x) 2 -∞
y 0 có nghiệm khi và chỉ khi a 2 hoặc a 2 . Điều kiện đủ: a x 2 x 2 2
a x 4x 5 2 x 4x 5 a y . 2 x 4x 5
2x 4x53
Với a 2 thì y 0, x
nên hàm số không có điểm cực đại.Vậy a 2 không thoả mãn điều kiện. Với a 2
thì y 0, x
nên hàm số có điểm cực đại. Vậy a 2
thoả mãn điều kiện.
Mà a là số nguyên thuộc đoạn [ 20
;20] nên a 2 0; 1 9; 1 8;...; 3 . Vậy có 18 số
nguyên a thoả mãn yêu cầu bài toán. x x
Câu 33. Gọi a là giá trị để phương trình: 2 3 1 a2 3 4 0 có 2 nghiệm phân biệt
x , x thoả mãn: x x log
3 . Giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây? 1 2 1 2 2 3 A. ; 3 . B. 3; .
C. 0; . D. 3; . Lời giải Chọn B. x x x 1
Ta có: 2 3 1 a2 3 4 0 (1) 2 3 1 a ( đặt 40 x 2 3 (2 3)x t ; t 0 )
t a1 1 4 0 2
t 4t 1 a 0 (2) t Trang21
Để Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt, nghĩa là
3 a 0 a 3 4 0 3 a 1 a 1 1 a 0 x log t 1 1 2 3 Ta có x log t 2 2 2 3
Theo bài ra ta có: x x log 3 log t log t log 3 1 2 2 3 1 2 2 3 2 3 2 3 t1 log log
3 t 3t (*) 2 3 2 3 1 2 t2 t t 4 Theo Viet 1 2 (**) t t 1 a 1 2 t 3 Từ (*) và (**) suy ra 1 và a 2 . t 1 2 So với điều kiện 3
a 1ta nhận a 2 3 ;.
Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình x2 x2 2.7 7.2
351. 14x là đoạn S ;
a b với a , b là
các số nguyên. Giá trị b 2a thuộc khoảng nào sau đây? 2 49
A. 3; 10 . B. 4 ;2 .
C. 7;4 10 . D. ; . 9 5 Lời giải Chọn C. Ta có: x2 x2 2.7 7.2 351. 14x 98.7x 28.2x 351. 14x 0 x x x 7 2 7 98. 28. 351 0
(đặt t , t 0) 2 7 2 x 2
98.t 351.t 28 4 7 0 t 4 7 7 4 x 2 49 2 49 2 2
Vậy b 2a 2 2( 4) 10 .
Câu 35. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi
suất 0, 8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền
cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. Biết rằng lãi suất không thay đổi
trong suốt quá trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợngân hàng? A. 48. B. 49 . C. 47 . D. 50 . Lời giải Trang22 Chọn B.
Sau 1 tháng, anh Ba còn nợ lại số tiền là P 400(1 r%) 10 1
Sau 2 tháng, anh Ba còn nợ lại số tiền là
P (400(1 r%) 10)(1 r%) 10 2 2
400(1 r%) 10(1 (1 r%)) ….
Sau n tháng, anh Ba còn nợ lại số tiền là n n 1 P 400(1 r%)
10(1 (1 r%) ... (1 r%) ) n (1 r%)n n 1 400(1 r%) 10 r%
Giả sử sau n tháng anh Ba trả hết nợ ta có P 0 n
Với r 0,8% , thay vào phương trình P 0 n 49 (tháng) n
Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh BC 2a , ABC 60 và tứ giác BCC B
là hình thoi có B BC
nhọn. Biết BCCB vuông góc với
ABC và ABB
A tạo với ABC góc 45 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C bằng 3 a 3 3a 3 6a 3 a A. . B. . C. . D. . 7 7 7 3 7 Lời giải Chọn B. Ta có .cos60o AB BC . a 1 o 3 2 S BC.B . A sin 60 a ABC 2 2
Từ B ' kẻ B ' H BC B ' H ( ABC) . Trang23 Từ H kẻ (( ' '),( )) ( , ' ) 45o HI AB ABB A ABC HI B I
B'H HI .
BCC ' B' là hình thoi nên BB' BC 2a , 2 2 2 2 B ' H
BB ' BH 4a BH . Mặt khác o 3
HI BH.sin 60 BH . 2 3 4 o 2 3 2 2
B ' H HI 4a BH BH BH
a B ' H HI BH.sin 60 a . 2 7 7
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.AB C bằng: 3 3
V B ' H .S a . ABC 7
Câu 37. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h 20( cm) , bán kính đáy r 25( cm) . Một thiết diện
đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là
12( cm) . Tính diện tích của thiết diện đó A. S 2 500 cm . B. S 2 400 cm . C. S 2 300 cm . D. S 2 406 cm . Lời giải Chọn A
Thiết diện là tam giác SAB Xét S
OI vuông tại O có: 1 1 1 1 1 1 1 OI 15 . 2 2 2 OK OI SO 2 2 2 OI 12 20 225 2 2 2 2
SI SO OI 20 15 25. Xét O
IB vuông tại I có: 2 2 2 2 2
OB OI IB IB 25 15 20 AB 2.20 40 . 1 1
Diện tích thiết diện là: S
SI.AB 25.40 25.20 500 cm SAB 2 2 2
Câu 38. Lon nước ngọt có dạng hình trụ và cốc uống nước có dạng hình nón cụt. Lon nước có chiều
cao 15 cm , đường kính đáy 6 cm, cốc có chiều cao 15 cm , đường kính đáy và đường kính
miệng cốc lần lượt là 4 cm và 8 cm (như hình vẽ minh họa dưới đây). Khi rót nước ngọt
từlon ra cốc thì chiều cao h của phần nước ngọt còn lại trong lon và chiều cao của phần
nước ngọt có trong cốc là như nhau. Hỏi khi đó chiều cao h trong lon nước gần nhất số nào Trang24
sau đây?. Bỏ qua bề dày của lon nước, cốc nước và giả sử lon đựng đầy nước ngọt, cốc
không chứa nước trước khi rót A. 9,18 cm . B.14, 2 cm . C. 8, 58 cm . D. 7, 5 cm . Lời giải Chọn C.
Thể tích lon nước ngọt lúc đầu là: 2
V 3 15 135 .
Gọi V là thể tích nước ngọt còn lại trong lon sau khi rót ra cốc. Ta có 2
V 3 .h 9 h . 1 1
Gọi V là thể tích nước ngọt đã rót ra. 2 h Ta có: V 2 2
r r rr trong đó r 2, r là bán kính mặt trên của phằn nước ngọt 2 3 trong cốc. r 15 2h 30 Ta có: r (do r 2 ). r 15 h 15
Vì V V V nên ta có: 1 2 Trang25 2 h 2h 30 2h 30 4 2
9 h 135 3 15 15 3 2
4h 180h 8775h 91125 0 h 8,58. 1 4 f
3x 1dx 2
f x dx 2 log x Câu 39. Nếu 0 và f 2 log x 2 dx ln 2 thì 0 bằng 2 x 1 A. 4 . B. 7 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Chọn C 2 log x Đặt 2 2
t log x dt dx 2 x ln 2 2 x f log x 1 log ln 2 2 2 dx f (t) dt ln 2 2 x 2 1 0 1
f (t)dt 2 0
Đặt u 3x 1 du 3dx 1 4 du
f (3x 1)dx f (u) 2 3 0 1 4
f (u)du 6 1 4 Vậy f
xdx 2 6 8. 0 5
a ln 3 b ln 2 c Câu 40. Giả sử 2
x ln x 1 dx với * a, ,
b c N . Giá trị của biểu thức b c a 3 9 3 bằng A. 2 . B. 24 . C. 4 . D. 4 . Lời giải Chọn B 1
Đặt u ln(x 1) du dx x 1 3 x 2
dv x dx v 3 5 5 3 3 5 x 1 x Ta có: 2 x ln x 1 dx ln(x 1) dx 3 3 3 x 1 3 3 Trang26 5 3 3 5 x 1 x 1 1 ln(x 1) dx 3 3 3 x 1 3 126ln 3 70ln 2 80 3 9
Vậy a 126, b 70, c 80 b c a 24.
Câu 41. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên
một số. Gọi p là xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Khi đó
p thuộc khoảng nào sau đây ?
A. 0;0, 2 .
B. 0, 2;0, 4.
C. 0, 4;0, 6 . D. 0, 6;0,8 . Lời giải Chọn B
Xét phép thử : T = ‘Cho ̣n ngẫu nhiên mô ̣t số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0". Ta có: 5 9 59049 .
GọiA là biến cố cần tìm xác suất, ta có:
Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là 3 C . Chọn 2 chữ số 9
còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau :
TH1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ sốa, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5!
hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị
của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một sốn, nên trong TH1 này có cả thảy 5! 3 60 số tự nhiên. 3!
TH2. 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ sốa, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác
trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c
tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị
của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một sốn, nên trong TH2 này có cả thảy 5! 3 90 số tự nhiên. 2!2! 9! Vậy: 3
(60 90)C 150
150 7 4 3 12600 . A 9 3!6!
Kết luận: P A A 12600 1400 0,213382106. 59049 6561
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC 60 ,
mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, ,
SA SD và G là trọng tâm tam giác SB .
C Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (HMN ) bằng a 15 a 15 a 15 a 15 A. . B. . C. . D. . 15 30 20 10 Lời giải Trang27 Chọn D
Dựng MK / /SH , KI H ,
O KJ MI KJ HMN .
Chứng minh được SBC / / d ;
G d S; d ;
A 2d K; 2KJ. Tính đượ 1 a 3 a 3 SH a 3 c KI . , MK . 4 2 8 2 4 KI.KM a 15 a a Suy ra KJ
. Vậy d G 15 15 ; 2KJ 2. . 2 2 20 KI KM 20 10
Câu 43. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Số nghiệm thực phân 4
biệt của phương trình f x 1
f x 3 0 là A. 12 . B. 8 . C. 6 . D. 9 . Lời giải Chọn D x 4 1 f x 0 x 4 1 f x a, ( 1 a 0) 4 4
Ta có: f x 1
f x 3 0 f x 1
f x 3 x 4 1
f x , b ( 2 b 1 ) x 4 1
f x c, ( 3 c 2 ) Trang28
x m ,0 m 1 4
+) Phương trình x 1
f x 0 x 1 . x 3
+) Phương trình 4 a x 1
f x a f x , 1 a 0 4 x 1 a a
Vẽ đồ thị hàm số y f x , 1
a 0 có hai 4 . Suy ra phương trình x 4 1 x 1 nghiệm Tương tựphương trình b f (x) , 2 a 1 có hai nghiệm 4 x 1
Tương tựphương trình c f x , 3 c 2 có hai nghiệm. 4 x 1 4
Nhận thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên phương trình f x 1
f x 3 0 có tất cả9 nghiệm.
Câu 44. Cho hàm số bậc bốn f x có bảng biên thiên như sau
Số điểm cực trịcủa hàm số g x x f x 2 4 1 là A. 7 . B. 5 . C. 9 . D. 11. Lời giải Chọn C
Ta có : f x 4 2
x x f x x 2 4 8 3 16 x 1
Ta có g x 3
2x . f x
1 .2 f x 1 .
x f x 1 3 x 0 (1)
g x 0 f x 1 0 (2) 2 f x 1 .
x f x 1 0 (3)
Phương trình (1) có x 0 (nghiệm bội ba).
Phương trình (2) có cùng số nghiệm với phương trình f x 0 nên (2) có 4 nghiệm đơn.
Phương trình (3) có cùng số nghiệm với phương trình :
f x x f x 4 2
x x xx 2 2 1 . 0 2 4 8 3 16 1 x 1 0 4 3 2
24x 16x 32x 16x 6 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt. Trang29
Nhận thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên hàm số g x 0 có tất cả 9 điểm cực trị. x 1 x x 1 x 2
Câu 45. Cho hai hàm số y y x
x m ( m là tham số thực) có x x 1 x 2 x và 2 3
đồ thị lần lượt là C và C . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C và C cắt nhau 2 1 2 1
tại đúng 4 điểm phân biệt là A. 2; . B. : 2 . C. 2 : . D. ; 2 . Lời giải Chọn D x 1 x x 1 x 2
Phương trình hoành độ giao điểm:
x 2 x m x x 1 x 2 x . 3
Tập xác định: D \ 3 ; 2 ; 1 ; 0
Với điều kiện trên, phương trình trở thành 1 1 1 1 4
x 2 x m * x x 1 x 2 x 3 1 1 1 1
4 x 2 x m x x 1 x 2 x . 3
Xét hàm số f x 1 1 1 1
4 x 2 x x x 1 x 2 x
với tập xác định D . Ta có 3 f x 1 1 1 1 x 2 1 0, x D . 2 x x 2 1
x 22 x 32 x 2 Bảng biến thiên
Để C và C cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biệt thì phương trình * có 4 nghiệm phân 2 1
biệt. Từ bảng biến thiên suy ra tất cả các giá trị m cần tìm là m 2 .
Câu 46. Cho phương trình 2 2log log 1 5x x x
m 0(m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu 3 3
giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt? A. 123 . B. 125 . C. Vô số. D. 124 . Lời giải Chọn A x 0 Điều kiện: x log m 5 Trang30 log x 1 x 3 3 Phương trình 1 1 log x x . 3 2 3 x log m 5 x log m 5
TH1: Nếu m 1 thì x log m 0 (loại) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. 5
TH2: Nếu m 1 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 1 3
log m 3 5 m 125 . Do m m3;4;5;...;12 4 5 3
Vậy có tất cả123 giá trị nguyên dương của m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 47. Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x y 1 2x .4 y
3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P x y 4x 2 y bằng 33 9 21 41 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 8 Lời giải Chọn D x y x y y Ta có 1 1 2 3 2 2 .4 3 2 3 .4 .4 0 2 .2 3 2 2 x x y x y y x (1) 3
Th1. Xét 3 2x 0 x . 2 3 x 33
Ta có (1) đúng với mọi giá trị 2 2
2 P x y 4x 2 y (2) 4 y 0 3
Th2. Xét 3 2x 0 0 x . 2 Xét hàm số .2t f t t
với t 0 2t .2t f t t
.ln 2 0 với mọi t 0 3
(1) f 2y f 3 2x 2 y 3 2x y x 2 2 3 21 2 2 2
P x y 4x 2y x
x 4x 3 2x 2 2x x 2 4 2 1 41 41
P 2 x (3) 4 8 8 41 1 5
So sánh (2) và (3) ta thấy GTNN của P là khi x , y 8 4 4
Câu 48. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log 2 x y log
x y ? 3 2 A. 80 . B. 79 . C. 157 . D. 158 Lời giải Chọn D Ta có log 3 : log 2 x y log x 2 log2 y 3 x y x y 2
x y x y 2 1 3 2 Trang31
Đk: x y 1 ( do x, y , x y 0 )
Đặt t x y 1, nên từ 2 log2 3
1 x x t t 2 Để
1 không có quá 255 nghiê ̣m nguyên y khi và chỉ khi bất phương trình 2 có không
quá 255 nghiê ̣m nguyên dương t .
Đặt M f 255 với log2 3 f t t t .
Vì f là hàm đồng biến trên 1, nên 2 1 2 1 t f x x khi 2 x x 0 .
Vâ ̣y 2 có không quá 255 nghiê ̣m nguyên nguyên dương t 1 f
2x x 255 2
x x f 255 7
8 x 79 vìx .
Vâ ̣y có 158 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA 2 và SA vuông
góc với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD 1 1
sao cho mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng T 2 2 AN AM
khi thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị lớn nhất. 5 2 3 13
A. T 2 . B. T . C. T . D. T . 4 4 9 Lời giải Chọn B Trang32
Đặt AM x , AN y . Gọi O AC DB ; E BDCM ; F BDCN .
H là hình chiếu vuông góc của O trên SC , khi đó: 2 HO . 3 SC OH SC HE Ta có:
SC HBD . SC BD SC HF
Do đó góc giữa SCM và SCN bằng góc giữa HE và HF . Suy ra HE HF . 1 2 Mặt khác V S . A S x y . S . AMCN AMCN 3 3 Tính OE , OF :
Ta có: x 0 , y 0 và nếu x 2 , y 2 thì gọi K là trung điểm của AM , khi đó: OE KM x OE EB OB x 2 OE . EB MB 4 2x x 4 2x 4 x 4 x Tương tự y 2 : OF . Mà 2 O .
E OF OH x 2 y 2 12 . 4 y
Nếu x 2 hoặc y 2 thì ta cũng có 2 O .
E OF OH x 2 y 2 12 .
Tóm lại: x 2 y 2 12 . 1 2 2 2 12 Suy ra: V S . A S x y
x 2 y 2 4 x 2 4 . S.AMCN AMCN 3 3 3 3 x 2 x 1 y 2 Do đó 1 1 1 1 5 maxV 2 T . S . AMCN 2 2 2 2 x 2 AM AN x y 4 y 1
Câu 50. Cho hình hộp ABC . D A B C D
có cạnh AB a và diện tích tứ giác A B C D là 2 2a . Mặt phẳng A B C
D tạo với mặt phẳng đáy một góc 60, khoảng cách giữa hai đường thẳng 3a 21
AA và CD bằng
. Tính thể tích V của khối hộp ABC . D A B C D
, biết hình chiếu 7
của đỉnh A lên mặt phẳng ABCD thuộc miền giữa hai đường thẳng AB và CD , đồng
thời khoảng cách giữa AB và CD nhỏ hơn 4a . 3 10a 3 3 11a 3 A. 3 V 4a 3 . B. 3 V 3a 3 . C. V . D. V . 3 4 Lời giải Chọn B Trang33 B' A' M D' C' O P A B H C a I D
Gọi H là chân đường cao của hình hộp xuất phát từ A ; các điểm I , P và O lần lượt là
hình chiếu của H lên CD , AB và AP ; M là hình chiếu của I lên AP ;
Theo giả thiết, ta có CD a ; 2 S A I.CD 2a nên A I 2a . A B CD Mặt khác A B C
D ABCD o ;
A IH 60 nên o
AH A I
.sin 60 a 3 ; IH a . a
Ta lại có d A A CD 3 21 ; IM . 7
3a x a 21 Đặ IM IP
t IP x , với 0 x 4a , ta có . HP IM HO HO . HO HP IP 7x A H .HP
a 3. x a
Trong tam giác vuông A H
P ta có HO . 2 2 A H HP
3a x a2 2
3a x a 21
a 3. x a Do đó:
a x a2 2 3 3 x 7 7x
3a x a2 2
a x a2 2 2 9 3 7x 2 2
36a 18ax 2x 0 x 6a (loại) hoặc x 3a (chọn). Trang34