PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022 – 2023 ĐỀ CHÍ NH THỨC
Môn: Toán – Lớp 8 (Đề có 03 trang) Ngày thi: 12/04/2023
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm)
Câu 1: Phân tích đa thức 3
x − 9x thành nhân tử ta được
A. x(x −9). B. x( 2 x − 9).
C. x(x −3)(x + 3).
D. x(x −9)(x + 9).
Câu 2: Số dư của phép chia 2023 x + 2 cho x +1 là A. 1. − B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 3: Điều kiện có nghĩa của biểu thức xy 2 B = + là: 3 2 x − x x +1 A. x ≠ 0. B. x ≠ 1. ±
C. x ≠ 0; x ≠ 1 ± .
D. x ≠ 0; x ≠ 1 − .
Câu 4: Cho a, b, c là các số thực sao cho 1 ax + b c ( = +
. Khi đó a + b + c bằng : 2 x + ) 1 (x − ) 2 1 x +1 x −1 A. 3 − . B. 1 − . C. 1 . D. 3 . 2 2 2 2 Câu 5: Cho 2a + 3 C =
. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của a để C nhận giá trị nguyên. Khi đó S có mấy a −1 phần tử ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 6: Cho A
∆ BC có: AB =16c , m AC = 36c ,
m BC = 26cm , trung tuyến AM , phân giác AD . Độ dài đoạn thẳng DM bằng: A. 5c . m B. 8c . m C. 9c . m D. 13c . m
Câu 7: Hình thoi ABCD có góc A bằng 0
60 và AB = 6 3cm thì diện tích hình thoi đó là: A. 2 54 3cm . B. 2 50cm . C. 2 60cm . D. 2 27 3cm .
x + 43 x + 46 x + 49 x + 52
Câu 8: Gọi x là nghiệm của phương trình + = +
. Giá trị của biểu thức 0 57 54 51 48 1 2
P = − x + 7 là: 0 2 A. 100. − B. 4993. − C. 5007. D. 4993. Câu 9: Cho đa thức 4 3 2
f (x) = x − 3x + 3x + ax + b và đa thức 2
g(x) = x − 3x + 2 . Biết f (x)g(x) . Khi đó a + b bằng A. 5. − B. 1. − C. 1. D. 6. −
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
A = x +5x +10 là A. 15. B. 5 − . C. 15 − . D. 25. 4 2 4 4
Câu 11: Cho hình thang ABCD (AB / /CD) . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết 2 2 S = cm S
= cm . Diện tích A ∆ OD bằng: OAB 4 ; OCD 9 A. 2 6cm . B. 2 4cm . C. 2 8cm . D. 2 18cm . Câu 12: Cho A
∆ BC đồng dạng MN ∆
P . Khẳng định nào sau đây đúng? A. A .
B AC = MN.N . P
B. AC.NP = BC.MN. C. A .
B MP = MN.AC. D. A .
B MP = MN.BC.
Câu 13: Cho số nguyên x thỏa mãn phương trình 2
2x − 3x − 2 = 0. Chữ số tận cùng của ( − )2023 4 x là chữ số: A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Câu 14: Năm nay, tuổi bố gấp 4 lần tuổi Hoàng. Nếu 5 năm nữa thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi Hoàng. Hỏi năm
nay Hoàng bao nhiêu tuổi ? A. 10. B. 15. C. 5. D. 12.
Câu 15: Các giá trị của x + x thỏa mãn 2 1 <1 là x −1 A. 1 x 1; x − ≠ < . B. x < 2. − C. 2 − < x <1. D. 2 − ≤ x ≤1. 2
Câu 16: Tổng các nghiệm của phương trình ( x − x + )2 2 = ( 2 2 3 11
4x − 9x +15)(3x + 7) là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 17: Cho a < b . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2a > 2 . b B. 2 − a < 2 − .b C. 2 − a + 2023 < 2 − b + 2023. D. 2 − a + 2023 > 2 − b + 2023. Câu 18:
Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc
vuông để đo chiều cao của một cây dừa, với các kích
thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc
cây đến vị trí chân của người thợ là 4,8m và từ vị trí
chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm
là 1,6m. Hỏi với các kích thước trên thì người thợ đo
được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm tròn đến mét). A. 12 . m B. 14 . m C. 16 . m D. 18 . m
Câu 19: Cho x + y = 3 . Giá trị của biểu thức 2 2
A = x + 2xy + y − 4x − 4y +1 bằng: A. 2. − B. 2. C. 3. D. 1. −
Câu 20: Tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường cao AD (D∈ BC). Tỉ số diện tích của
tam giác ACD và tam giác ABD là: A. 4 . B. 16 . C. 3. D. 9 . 3 9 4 16
II. PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm) Bài 1: (4,0 điểm) 2 2 +  + −  1) Cho biểu thức x x x 1 1 2 = : x P  + +
với x ≠ 0; x ≠1; x ≠ 1 − 2 2
x − 2x +1  x
x 1 x − x  − 
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên.
2) Tìm số tự nhiên n để 2
n + 2n + 21 là số chính phương. Bài 2: (5,0 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử : 3 2 2
x − 2x + x − xy
2) Giải phương trình x(x + )( 2
2 x + 2x + 2) +1= 0
3) Đa thức f (x) khi chia cho x +1 dư 5, khi chia cho 2
x +1 dư 2x + 3. Tìm phần dư khi chia f (x) cho 2 (x +1)(x +1) . Bài 3: (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a , một đường thẳng d bất kỳ đi qua C cắt AB tại E và AD tại F .
1) Chứng minh: BE.DF = BC.CD 2 2) Chứng minh: BE AE = 2 BF AF
3) Xác định vị trí của đường thẳng d để DF = 4.BE .
Bài 4: (1,0 điểm) Cho x, y > 0 thỏa mãn x + 2y ≥ 5.Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 24
H = x + 2y + + x y
----------------Hết----------------
Cán bộ coi kiểm tra không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ..................................................... Số báo danh:............................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022 – 2023
Môn: Toán – Lớp 8
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm) Mỗi câu đúng được 0,3 điểm. Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án C B C B D A A B B A Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án A C D A C D D C A B
PHẦN II. TỰ LUẬN (14,0 điểm) Bài Hướng dẫn Điểm Bài 1: (4,0 điểm)
Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ 1 − ta có: 2 2 x + x  x +1 1 2 − x  P = :  + + 2 2 
x − 2x +1  x
x −1 x − x  2 2
x(x +1)  x −1 x 2 −  = : x P + +   0,25 1.a 2
(x −1)  x(x −1) x(x −1) x(x −1) 2,0 điểm x(x +1) x +1 P = : 0,5 2 (x −1) x(x −1)
x(x +1) x(x −1) P = . 2 (x −1) x +1 0,5 2 x P = 0,5 x −1 2 Vậy x P = ( với x
≠ 0; x ≠ 1; x ≠ 1 − ) x −1 0,25 2 x 1 0,25
Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ 1 − ta có: P = = x +1+ x −1 x −1 1.b 0,25
1,0 điểm Để P nhận giá trị nguyên thì 1x −1 hay x −1 là Ư(1) = { 1; − } 1
Giải được: x = 0 (loại); x = 2 (thỏa mãn). 0,25 Vậy x = 2 0,25 Đặt 2 2
n + 2n + 21 = k (k ∈ Z) 2 2 2 2 2 0,25
1,0 điểm ⇔ (n + )
1 + 20 = k ⇔ k − (n + )
1 = 20 ⇔ (k − n − ) 1 (k + n + ) 1 = 20
Ta thấy k − n −1+ k + n +1 = 2k nên k − n −1 và k + n +1 cùng tính chẵn lẻ. Với 0,25
n∈ N;k ∈ Z thì k − n −1< k + n +1
k − n −1 = 2 k − n = 3 k = 6 Mà 20 = 2.10 nên 0,25  ⇔  ⇔ k n 1 10 k n 9  + + = + = n = 3
Vậy n = 3thỏa mãn bài 0,25 Bài 2. ( 5,0 điểm) 3 2 2
x − 2x + x − xy 1 0,25
1,0 điểm = x( 2 2
x − 2x +1− y ) 0,5 = x (x − )2 2 1 − y   
= x(x −1− y)(x −1+ y) 0,25 x(x + )( 2
x + x + ) + = ⇔ ( 2 x + x)( 2 2 2 2 1 0 2 x + 2x + 2) + = 1 0 0,25 Đặt 2
x + 2x = t phương trình trở thành t (t + ) 2
2 +1 = 0 ⇔ t + 2t +1 = 0 2
2,0 điểm ⇔ (t + )2
1 = 0 ⇔ t +1 = 0 ⇔ t = 1 − 0,75
Trả lại ẩn cũ ta được: 2 2 x + 2x = 1
− ⇔ x + 2x +1 = 0 ⇔ (x + )2
1 = 0 ⇔ x +1 = 0 ⇔ x = 1 − 0,75
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {− } 1 0,25 2 2 = + + + +
Giả sử f (x) (x ) 1 (x
)1.g(x)+ ax bx c
+ Vì f (x) chia cho x +1 dư 5 nên f (− )
1 = 5 ⇔ a − b + c = 5 (1) 0, 5 3 Mà 2,0 điểm
f (x) = (x + ) 1 ( 2 x + ) 1 .g(x)+ a( 2 x + )
1 + bx + c − a 0,75 = ( 2 x + ) 1 (x + )
1 .g (x) + a + bx + c − a  b  = 2 b  = 2
+ Vì f (x) chia cho 2
x +1 được dư là 2x + 3 nên:  ⇔ (2) 0,5 c a 3  − = c = a + 3
Thay (2) vào (1) ta được: a − 2 + a + 3 = 5 ⇔ a = 2 ⇒ b = 2, c = 5 0,25 Vậy đa thức dư là: 2 2x + 2x + 5
Bài 3. ( 4,0 điểm) F C D E A B d Ta có:  = 
BCE DFC (cùng phụ góc  DCE ) 1 0,25
1,5 điểm Chứng minh được: E ∆ BC  C
∆ DF (g.g) 0,75 BE BC ⇒ =
=> BE.DF = BC.CD 0,5 CD DF EB BC AE BE Chứng minh được E ∆ BC  E
∆ AF ( g.g) => = => = (1) EA FA FA BC 0,5 2 FD DC AE DC 1,5 điểm F ∆ CD  F
∆ EA(g.g) => = => = (2) FA AE FA FD 0,5 2
Nhân (1) và (2) theo vế ta được: AE BE = . DC BE = (Vì BC = DC ) 2 FA BC DF DF 0,5 ⇒ đpcm 2 BE 1 AE AE 1 BE 1 a 3
Để DF = 4BE => = = => = => = => BE = 2 DF 4 FA FA 2 BC 2 2 1,0 điểm 1,0
Vậy d đi qua C cắt AB tại E sao cho 1 BE = .a 2
Bài 4. (0,5 điểm) Ta có: 2 2 1 24
M = x + 2y + + x y     = ( 2
x − x + ) + ( 2 y − y + ) 1 24 2 1 2 8 8 + +  x − 2 + +  6y − 24 + 
 (x + 2y) +17 0,25  x   y  2 2 ( − )2 x − y −
= x 1 + 2( y − 2)2 ( )1 6( 2) + + + (x + 2y) +17 x y 0,25
≥ 0 + 0 + 0 + 0 + 5 + 17 = 22 2 2 x −1 6 y − 2
Dấu " = "xảy ra ⇔ (x − )2 1 = 2( y − 2)2 ( ) ( ) = = = 0 và x 0,25 + 2y = 5 x y ⇔ x = 1và y 0,25
= 2.Vậy M nhỏ nhất là M = 22 ⇔ x = 1, y = 2
Lưu ý khi chấm bài:
+ Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học
sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
+ Với bài 3 nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm..