Đề Thi Môn Toán Vào 10 Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2025-2026 Có Lời Giải

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT THANH HÓA CHUYÊN LAM SƠN Môn thi: TOÁN
(Dùng chung cho tất cả các thí sinh)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề) Câu I.  −   −  Cho biểu thức x 1 1 8 x 3 x 2 P =  − +  : 1−   (với x  0 và 1 x  )
3 x −1 3 x +1 9x 1  3 x +1  −     9 1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm tất cả các giá trị của x để 2 P = . 3 Câu II.
1. Cho hai đường thẳng (d ) : y = x + 5 và (d ) : y = 3x +1. Xác định a, b để đường 1 2
thẳng (d): y = ax + b đi qua điểm A(1; 5) và giao điểm của hai đường thẳng d ,d . 1 2
2 x −18 − 3 y + 4 = −5
2. Giải hệ phương trình 
4 x −18 + 5 y + 4 = 23 
Câu III. Cho phương trình 2 2
x − 5x + 4m = 0 (m là tham số)
1. Giải phương trình khi m = 1.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 3 3 2 2
x + x +16x x − 5m + m −113  13m − m 1 2 1 2
Câu IV. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC (AB < AC). Hai đường
cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H (D  AC, E  AB) . Tia phân giác của
góc BAC cắt đường thẳng BD và đường tròn (O) lần lượt tại M và I (I khác A).
Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại K (K khác B), hai đường thẳng AC và IK cắt nhau tại Q.
1. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
2. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng QH và AB. Chứng minh đường thẳng
MQ song song với đường thẳng BC và AI là đường trung trực của PQ. Trang 1
3. Đặt BC = x, DE = y. Tính độ dài đoạn thẳng MQ theo x, y.
Câu V. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2 2
8a + 2b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của − − − + + − biểu thức
4a b 1 2a 2b 1 6a 3b 6077 T = − − 1+ b 1+ 2a 6a + 3b ĐÁP ÁN Câu 1:
1. Điều kiện: x  0 và 1 x  9  −   −  x 1 1 8 x 3 x 2 P =  − +  : 1−  
3 x −1 3 x +1 9x 1  3 x +1  −    
 ( x −1).(3 x +1) 3 x −1 8 x
  3 x +1 3 x − 2  P =  − +  : −  
(3 x 1).(3 x 1) (3 x 1).(3 x 1) (3 x 1).(3 x 1)   3 x 1 3 x 1  − + + − − + + +    
3x + x − 3 x −1− 3 x +1+ 8 x 3 x +1− 3 x + 2 P = :
(3 x +1).(3 x −1) 3 x +1 3x + 3 x 3 P = :
(3 x +1)(3 x −1) 3 x +1 3 x.( x +1) 3 x +1 x( x +1) P = . =
(3 x +1)(3 x −1) 3 3 x −1 Vậy x.( x +1) P = 3 x −1 2. 3 P = 2 x.( x +1) 3 = 3 x −1 2 x.( x +1) 3 − = 0 3 x −1 2 2(x + x) 3(3 x −1) − = 0
2(3 x −1) 2(3 x −1)
2x + 2 x − 9 x + 3 = 0 2(3 x −1) Trang 2
2x − 7 x + 3 = 0 2(3 x −1)
2x − 7 x + 3 = 0
2x − 6 x + 3 − x = 0
2 x( x − 3) − ( x − 3) = 0
( x − 3)(2 x −1) = 0  x = 3
x = 9(t / m)  x − 3 = 0     1  1 2 x −1= 0  x  =
x = (t / m)  2  4 Vậy với x thuộc tập  1  S = 9;  thì 3 P = .  4 2 Câu 2:
1. Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng (d ),(d ) là nghiệm của phương trình: 1 2 x + 5 = 3x + 1 2x = 4 x = 2 y = 7
Vậy giao điểm của hai đường thẳng (d ),(d ) là B(2; 7). 1 2
Ta có đường thẳng (d): y = ax + b đi qua điểm A(1; 5) và B(2; 7) nên thay tọa độ
hai điểm vào phương trình đường thẳng ta có: 5 = a + b a = 2    7 = 2a + b b = 3
Vậy a = 2; b = 3 thì đường thẳng (d): y = ax + b đi qua điểm A(1; 5) và giao điểm
của hai đường thẳng (d ),(d ) . 1 2 x  18 2. Điều kiện:   y  −4
 x −18 = a Đặt 
, điều kiện a,b  0 khi đó hệ phương trình trở thành  y + 4 = b  Trang 3
2a − 3b = −5 1  1b = 33 x = 22( ) tm      4a + 5b = 23 4a + 5b = 23  y = 5( ) tm
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (22; 5). Câu 3:
1. Thay m = 1 vào phương trình 2 2
x − 5x + 4m = 0 , ta có 2
x − 5x + 4 = 0
Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm là x = 1; x = 4. 2. 3 3 2 2
x + x +16x x − 5m + m −113  13m − m 1 2 1 2 Xét 2 2 2
 = 5 − 4.4m = 25 −16m
Phương trình ban đầu có hai nghiệm khi 5 5 2
  0  25 −16m  0  −  m  4 4 x + x = 5
Theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2  2 x x = 4m  1 2 Ta có: 3 3 2 2
x + x +16x x − 5m + m −113  13m − m 1 2 1 2 2 2 2 2 2
 (x + x )(x − x x + x ) +16.4m − 5m + m −113  13m − m 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2
 5(x + x ) − 5.2x x − 5.4m + 59m + m −113  13m − m 1 2 1 2 2 2 2 2 2
 5.(5 − 2.4m − 4m ) + 59m + m −113  13m − m 2 2 2
 5(25 −12m ) + 59m + m −113  13m − m 2 2 2
 125 − 60m + 59m + m −113  13m − m 2 2
 m − m −12  13m − m Điều kiện 2
13m − m  0  0  m  13 Bất phương trình 2 2 2
 −(13m − m )  m − m −12  13m − m 2 2 2
 −13m + m  m − m −12  13m − m 2 2
2m −14m −12  0
m − 7m − 6  0     1  2  12m m  1 Trang 4 7 − 73 7 + 23   m    2 2 m 1
Kết hợp điều kiện ta thấy 5 1  m  4 Vậy 5
1  m  thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 Câu 4:
1. Do BD và CE là đường cao của tam giác ABC nên
CE ⊥ AB, BD ⊥ AC  CEQ = BDA = 90
Xét tứ giác AEHD có: AEH + ADH = 90 + 90 = 180
Mà hai góc này ở vị trí đối diện suy ra tứ giác AEHD nội tiếp. 2. Ta có: 1
AMK = (sd AK + sd BI) 2 1
AQK = (sd AK + sdCI ) 2
Mà sd BI = sdCI (do AI là phân giác của góc BAC)  AMK = AQK
Mà hai góc này ở vị trí kề nhau, cùng nhìn AK dưới hai góc bằng nhau
Nên A, M, Q, K cùng thuộc một đường tròn.
 KMQ = KAQ (góc nội tiếp cùng chắn cung KQ) Trang 5
Mà KAQ = KAC = KBC (góc nội tiếp cùng chắn cung KC)
 KMQ = KBC(= KAC)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MQ // BC
Tam giác ABC có H là trực tâm nên AH ⊥ BC
Do MQ // BC nên MQ ⊥ AH
Xét tam giác AHQ có HD, MQ là đường cao cắt nhau tại M
 M là trực tâm của tam giác AHQ  AM ⊥ HQ
Tam giác APQ có AM vừa là đường cao vừa là phân giác nên đồng thười là trung trực.
Chứng tỏ AI là trung trực của PQ.
3. Xét tam giác ADE và tam giác ABC có BAC chung
ADE = ABC (góc ngoài đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp)
 ADE ~ ABC(g.g) DE AD y  = = BC AB x Ta có: DM y DM y =  = MB x BD x + y Do MQ // BC MQ DM MQ y xy  =  =  MQ = BC DB x x + y x + y Câu 5: Đặt x = 2a, y = b. Do 2 2 2 2
8a + 2b = 1  2(x + y ) = 1 − − − + + −
4a b 1 2a 2b 1 6a 3b 6077 T = − − 1+ b 1+ 2a 6a + 3b
2x − y −1 x − 2y +1 3x + 3y − 6077 = − − 1+ y 1+ x 3x + 3y 2x 2y 6077 = −1+ −1+ −1 y +1 x +1 3(x + y) Trang 6 2x 2y 6077 = + + − 3
y +1 x +1 3(x + y) 2 2 2 2x 2y 6077 2(x + y) 6077 = + + − 3  + − 3 xy + x
xy + y 3(x + y)
2xy + x + y 3(x + y) Do 1 2 2
x + y  2xy  2xy  2 2 2 2 2 2
(x + y)  2(x + y )  x + y  2(x + y ) = 1 1 3
 2xy + x + y  +1 = 2 2 2 2(x + y) 6077  T  + − 3 3 3(x + y) 2 4 4 4 2023 2 = (x + y) + + + − 3 3
3(x + y) 3(x + y) x + y 4 2023  .3+ − 3 = 2024 3 1  1 a =  Dấu “=” có khi 1  4 x = y =   2 1 b =  2 Trang 7