Đề thi Olympic Toán 8 năm 2016 – 2017 phòng GD&ĐT Thanh Oai – Hà Nội

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o §Ò thi olympic líp 8 Thanh oai N¨m häc 2016 - 2017 M«n thi : To¸n §Ò chÝnh thøc
Thêi gian lµm bµi : 120 phót
(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ) Bài 1: (5 điểm)
1. Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số nguyên tố 12n2 – 5n - 25 2. Giải phương trình: a) x3 + 9x3 + 11x – 21 = 0
b) / 2x - x2 – 1/ = 2x - x2 - 1 Bài 2: (4 điểm)
1. Tìm số nguyên dương x, y sao cho: x3 + y3 + 4(x2 + y2 ) + 4 (x + y ) = 16xy 4 4  x y 1   
2. Cho a, b, x, y thỏa mãn:  a b a  b 2 2  x  y 1 2016 2016 x y 2 Chứng minh rằng:   1008 1008 1008 a b (a  b) Bài 3: (5 điểm) 27 12x
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 x  9
2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P =   2 2 2 2 2 2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 Bài 4: (5 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của
tam giác đó. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP, cắt CA và CB theo thứ
tự tại M và N. Chứng minh: a) Δ AMP ~ Δ APB 2 b) AM  AP     BN  BP 
c) BC.AP2 + AC.BP2 + AB.CP2= AB. AC.BC Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng giữa ba số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tìm được hai số có
tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.
------------------------ Hết --------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HD CHẤM THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung Điểm Câu 1
1, A= 12n2 – 5n - 25 = (4n + 5)(3n-5) 0,5đ.
( 5 điểm) A là số nguyên tố và 4n + 5 > 0 -> 3n – 5 > 0 , 4n + 5 > 3n – 5
-> A là số nguyên tố -> 3n – 5 = 1 -> n = 2
Có A = 12.22 – 5.2 – 25 = 13 là số nguyên tố 0,5đ.
2, a/ x3 + 9x2 + 11x – 21 = 0
<-> ( x3-1) + ( 9x2 – 9) + ( 11x – 11) = 0 1,0đ.
<-> ( x – 1)(x2 + x + 1) + 9(x+1)(x-1)+ 11(x-1)= 0
<-> ( x – 1 )(x + 3 ) ( x + 7 ) = 0
-> x = 1 hoặc -3 hoặc -7 1,0đ.
b/ / 2x - x2 – 1/ = 2x - x2 - 1
Do 2x - x2 – 1 = - (x – 1 ) 2  0 1,0đ.
Pt <-> x2 - 2x + 1 = 2x - x2 – 1 <-> x = 1 1,0đ. Câu 2
1) pt = ( x3 - 4x2+ 4x) + (y3 - 4y2+ 4y) + ( 8x2 + 8y2 -16xy) = 0 1,5đ.
(4 điểm) <-> x( x - 2)2 + y( y - 2)2 + 8(x – y)2 = 0 (1)
Do x( x - 2)2  0 , y( y - 2)2  0, 8(x – y)2  0 (2)
Từ (1), (2) -> x = y = 2 1,5đ. 4 4  x y 1    (1) 2)  a b a  b 2 2  x  y 1(2) x y   2 2 2 4 4 x y Thay (1) = 2 2 2 (x  y ) vào (1) có   0,5đ. a b a  b 2 2 2 2 x y x  y 1 ... <-> bx2 = ay2 ->    a b a  b a  b 2016 2016 x y 1 ->   1008 1008 1008 a b (a  b) 2016 2016 x y 2 ->   0,5đ. 1008 1008 1008 a b (a  b) Câu 3 27 12x  2x 12x 36 2 2  (x  9) ( 5 điểm) (x  6) 1) A =   1  1  2,0đ. 2 2 2 x  9 x  9 x  9
-> Min A = -1 <-> x = 6 0,5đ. 2) Có x  y2 2 2  0  x  y  2xy 0,5đ. Áp dụng ta có: 2 2 a  b  2ab , 2 b 1  2b 1 1 -> 2 2
a  2b  3  2(ab  b 1) ->  2 2 a  2b  3 2(ab  b  1) 1,0đ Tương tự: 1 1 1 1  ,  2 2 b  2c  3 2bc  c   2 2 1 c  2a  3 2(ac  a  1) 1  1 1 1  P     
2  ab  b 1 bc  c 1 ac  a 1 1  1 ab b  =    
2  ab  b 1 b 1 ab 1 ab  b  1 ab  b 1 1  .  2 ab  b  ( Do abc = 1) 1 2 1 -> P  max <-> a = b = c = 1 2 1,0đ. Câu 4 (5 điểm) a) AMP = ˆC = 900 1  ˆ ˆ  APB = 1800 - A B     2 2    ˆ ˆ  = 1800 - A B 0,5đ. 2 0 ˆ  = 1800 - 180 C 2  ˆ C  = 0 0 180  90     2   ˆ C = 0 ˆ ˆ 90  , A  A 1 2 2 -> Δ AMP ~ Δ APB 1,5đ. (g.g)
b) Tương tự Δ APB ~ Δ PNB 0,5đ. 2 2 AM AP PN AM PN  AP  AM  AP  ->    .        MP PB NB MP NB  BP  NB  BP  1,5đ. AM PN c) Δ AMP ~ Δ PNB ->  MP NB
-> AM . NB = PN . MP = MP2
-> AM . NB = CM2 – CP2 = (CA – AM )(CB – BN) – CP2
= CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP2
-> AM.CB + BN.CA + CP2 = CA.CB 0,5đ.
-> AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP2 .AB = AB.BC.CA (1) AM AP Từ Δ AMP ~ Δ APB -> 2   AM .AB  AP (2) AP AB BN BP Tương tự 2   BN.AB  BP (3) BP AB
Từ (1), (2), (3) -> đpcm 0,5đ. Câu 5
Một số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì chỉ có thể có số
(1 điểm) dư là 1; 5; 7; 11 chia tập hợp số nguyên tố thành 2 tập hợp con. A
là tập hợp số nguyên tố chia 12 dư 1 hoặc 11, B là tập hợp số
nguyên tố chia 12 dư 5 hoặc 7. Vì có 3 số nguyên tố mà chỉ thuộc
một trong 2 tập hợp A hoặc B. Nên theo nguyên tắc đirichle phải
có 2 số thuộc cùng một tập hợp, 2 số này có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12 1,0đ.
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì vẫn cho điểm.