Đề thi thử tn thpt 2021 môn toán trường chuyên khtn lần 1 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề thi thử tn thpt 2021 môn toán trường chuyên khtn lần 1 có đáp án và lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file PDF. Đề thi bao có 34 trang, bao gồm 50 câu trắc nghiệm. Đề thi có đáp án chi tiết phía dưới giúp các bạn so sánh đối chiếu kết quả một cách chính xác. Mờicác bạn cùng đón xemở dưới.
Preview text:
TRƯỜNG ĐH KHTN
ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2020 – 2021 KHTN MÔN:TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề x y 1 z 1
Câu 1 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 2 x 1 y 2 z 3 d :
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng 2 1 2 2 17 17 16 A. B. C. D.16 16 4 17
Câu 2 (TH): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y x 3 và parabol 2
y 2x x 1 bằng 13 13 9 A.9 B. C. D. 6 3 2
Câu 3 (TH): Phương trình 4
z 16 có bao nhiêu nghiệm phức? A. 0 B. 4 C. 2 D. 1
Câu 4 (VD): Cho hàm số 3 2 2
y x mx m x 8. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực
tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành? A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 mx 4
Câu 5 (TH): Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 1 ; 1 ? x m A. 4 B. 2 C. 5 D. 0
Câu 6 (NB): Hàm số y x 13
1 có tập xác định là
A. 1;
B. 1; C. ; D. ;1 1; x y 1 z 1
Câu 7 (TH): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt 2 2 1
phẳng Q : x y 2z 0. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm A0; 1 ;2, song song với
đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Q.
A. x y 1 0
B. 5x 3y 3 0
C. x y 1 0 D. 5
x 3y 2 0
Câu 8 (TH): Tập nghiệm của bất phương trình log x log 2x 1 là 1 1 2 2 1 1 1 1 A. ;1 B. ;1 C. ;1 D. ;1 2 4 4 2
Câu 9 (VD): Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 4 2
x 2x 3 2m 1 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. Trang1 www.thuvienhoclieu.com 3 5 A.1 m
B. 4 m 5
C. 3 m 4 D. 2 m 2 2
Câu 10 (TH): Số nghiệm thực của phương trình 2 log x log 2 x 2 là: 4 2 A. 0 B. 2 C. 4 D. 1
Câu 11 (TH): Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số 3
y x 12x 1 m cắt trục hoành tại
3 điểm phân biệt? A. 3 B. 33 C. 32 D. 31
Câu 12 (VD): Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 3 log a b 3. Tính b a ab 3 log . ab 1 1 A. B. C. 3 D. 3 3 3 16
Câu 13 (TH): Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y x
trên 0; bằng: x A. 6 B. 4 C. 24 D. 12
Câu 14 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2. Cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 0
45 . Gọi E là trung điểm của .
BC Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng DE và . SC 2a 19 a 10 a 10 2a 19 A. B. C. D. 19 19 5 5
Câu 15 (TH): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m không vượt quá 2021 để phương trình x 1 x2 4 .2 m
1 0 có nghiệm? A. 2019 B. 2018 C. 2021 D. 2017 2 3 x 1
Câu 16 (TH): Biết rằng
dx a b ln 3 c ln 2
với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính 2a 3b 4 . c 2 x x 1 A. 5 B. 19 C. 5 D.19
Câu 17 (TH): Biết rằng log 3 a, log 5 .
b Tính log 4 theo a, . b 2 2 45 2a b 2b a 2 A. B. C. D. 2ab 2 2 2a b
Câu 18 (TH): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số
đều không vượt quá 5. A. 38 B. 48 C. 44 D. 24
Câu 19 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;3; 2 và mặt phẳng
P:2x y 2z 3 0.Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P bằng: 2 A. B. 2 C. 3 D. 1 3 www.thuvienhoclieu.com Trang2 www.thuvienhoclieu.com
Câu 20 (TH): Một lớp học có 30 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban
cán sự lớp gồm 3 học sinh. Tính xác suất để ban cán sự lớp có cả nam và nữ. 435 135 285 5750 A. B. C. D. 988 988 494 9880
Câu 21 (TH): Tính nguyên hàm 2 tan 2xd . x 1 1 A.
tan 2x x C
B. tan 2x x C C.
tan 2x x C
D. tan 2x x C 2 2 4 x 3 x
Câu 22 (TH): Số nghiệm nguyên thuộc đoạn 9
9;100 của bất phương trình sin cos là: 5 10 A. 5 B. 101 C. 100 D. 4 x 1 y 2 z
Câu 23 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt 1 2 2
phẳng P :2x y 2z 3 0. Gọi α là góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng? 4 4 4 4 A. cos B. sin C. cos D. sin 9 9 9 9
Câu 24 (TH): Cho cấp số cộng u thỏa mãn u u 2, u u
1. Tính u u .... u . n 1 2020 1001 1221 1 2 2021 2021 A. B. 2021 C. 2020 D. 1010 2 x 1 y 2 z 3
Câu 25 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và điểm 2 2 1 A 1 ;2;
0 .Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ bằng: 17 17 2 17 2 17 A. B. C. D. 9 3 9 3 8
Câu 26 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số 3 y
x 2 ln x mx đồng biến trên 3 0 ;1 ? A. 5 B. 10 C. 6 D. vô số x 1 y 1 z
Câu 27 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và hai mặt 1 1 2
phẳng P : x 2y 3z 0,Q : x 2y 3z 4 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng
và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng P và Q. 2 2 1 2 2 1 A. 2
x y 2 z 2 B. 2
x y 2 z 2 7 7 2 2 2 2 2 2 C. 2
x y 2 z 2 D. 2
x y 2 z 2 7 7 www.thuvienhoclieu.com Trang3 www.thuvienhoclieu.com
Câu 28 (TH): Tìm nguyên hàm 2x 1 ln xdx . x x
A. x x 2 2 ln x
x C
B. x x 2 2 ln x x C 2 2 x x
C. x x 2 2 ln x
x C
D. x x 2 2 ln x x C 2 2 1 ab
Câu 29 (VDC): Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2 3 2a b ab
. Giá trị nhỏ nhất của biểu a b thức 2 2
a b là: 5 1 A. 3 5 B. 2 5 1 C. D.2 2
Câu 30 (VD): Cho hàm số 3 2
y mx mx m
1 x 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R? 3 3 3 A. m 0
B. m 0 C. m 0 D. m 4 4 4
Câu 31 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số 2
y x 8ln 2x mx đồng biến trên 0;? A. 6 B. 7 C. 5 D. 8
Câu 32 (TH): Cho số phức z thỏa mãn 3z i z 8 0 . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng: A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
Câu 33 (VDC): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1;0; 2 , B 1
;1;3 , C 3;2;0 và
mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0 . Biết rằng điểm M ; a ;
b c thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức 2 2 2
MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a b c bằng: A. 1 B. 1 C. 3 D. 5
Câu 34 (TH): Tính đạo hàm của hàm số y ln x 1 . x 1 1 1 A. B. C. D. x 1 x 1 x x 2x 2 x
Câu 35 (TH): Tính nguyên hàm x x 2 2 3 2 1 dx . x 3 3 2 1 x 3 3 2 1 x 3 3 2 1 x 3 3 2 1 A. C B. C C. C D. C 18 3 6 9
Câu 36 (TH): Phương trình 2 2x 3x
có bao nhiêu nghiệm thực? A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
Câu 37 (VD): Cho hàm số 3 2
y x 3x 2 . Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm A1;0 ? www.thuvienhoclieu.com Trang4 www.thuvienhoclieu.com A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
Câu 38 (TH): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3 , SA ABCD và SA a 2 .
Tính góc giữa SC và ABCD . A. 0 90 B. 0 45 C. 0 30 D. 0 60
Câu 39 (TH): Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số 3
y x 3x 2 là: A. 0;0 B. 0; 2 C. 1;0 D. 1 ;4
Câu 40 (VD): Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn 1 x xf x x f x e với mọi x .
Tính f 0 . 1 A.1 B. 1 C. D. e e
Câu 41 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 1 ; 2 và mặt phẳng
P:x 2y 3z 4 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 A. B. 1 2 3 1 2 3 x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 C. D. 1 2 3 1 2 3 Câu 42 (VDC): Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số 9
y mx 2
m m 6 x 3 2
m m m 4 3 2 2
x m đồng biến trên . A. Vô số B. 1 C. 3 D. 2
Câu 43 (VD): Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thỏa mãn 1 2 f x xf x với mọi x 0 . x 2 Tính
f x dx . 1 2 7 7 9 3 A. B. C. D. 12 4 4 4 x 2
Câu 44 (TH): Biết rằng đường thẳng y 1 2x cắt đồ thị hàm số y
tại hai điểm phân biệt A và x 1
B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng: A.20 B. 20 C.15 D. 15
Câu 45 (VD): Cho hình chóp S.ABC có AB 3a, BC 4a,CA 5a , các mặt bên tạo với đáy góc 0 60 ,
hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích hình chóp S.ABC . A. 3 2a 3 B. 3 6a 3 C. 3 12a 3 D. 3 2a 2 www.thuvienhoclieu.com Trang5 www.thuvienhoclieu.com
Câu 46 (VD): Cho khối lăng trụ tam giác đều AB . C AB C
có cạnh đáy là 2a và khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng A B
C bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ AB . C A B C . 3 2a 3 a 2 3 3a 2 A. B. C. 3 2 2a D. 3 2 2
Câu 47 (TH): Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 3x 2 và đồ thị hàm số 2
y x quanh quanh trục Ox . 1 4 A. B. C. D. 6 6 5
u u u
Câu 48 (TH): Cho cấp số nhân u thỏa mãn 2u u u u u u .Tính 8 9 10 . 3 4 5 n 6 7 8
u u u 2 3 4 A. 4 B. 1 C. 8 D. 2
Câu 49 (VD): Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 3i z 1 i .
A. x 2 y 2 0
B. x y 2 0
C. x y 2 0
D. x y 2 0
Câu 50 (VDC): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC 3a , góc 0
SAB SCB 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 6 . Tính diện tích mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABC . A. 2 36 a B. 2 6 a C. 2 18 a D. 2 48 a Đáp án 1-C 2-A 3-B 4-C 5-B 6-B 7-C 8-A 9-D 10-B 11-D 12-B 13-D 14-A 15-B 16-D 17-C 18-A 19-B 20-C 21-A 22-C 23-B 24-A 25-D 26-C 27-B 28-A 29-C 30-D 31-D 32-D 33-C 34-D 35-A 36-A 37-C 38-C 39-B 40-B 41-A 42-B 43-D 44-D 45-A 46-D 47-D 48-A 49-D 50-A
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:Đáp án C
Phương pháp giải:
Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có VTCP u ; đường thẳng d đi qua điểm M và có VTCP u . 1 1 1 2 2 2
u ,u .M M
Khi đó ta có khoảng cách giữa d , d được tính bởi công thức: d d ;d . 1 2 1 2 1 2 1 2 u ,u 1 2 Giải chi tiết: Ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang6 www.thuvienhoclieu.com x y 1 z 1 d :
d đi qua M 0;1;1 và có 1 VTCP là: u 2;1; 2 . 1 1 1 2 1 2 1 x 1 y 2 z 3 d :
d đi qua M 1;2;3 và có 1 VTCP là: u 1;2; 2 . 2 2 2 1 2 2 2 M M 1;1;4 1 2 u ,u 2;2;3 1 2
u u M M 2 2 12 16 d d ; d , . 1 2 1 2 . 1 2 u ,u 2 2 2 2 2 3 17 1 2 Câu 2:Đáp án A
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ tìm 2 đường giới hạn x a, x b .
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x, y g x , đường thẳng x a,x b là b S f
x gx dx. a Giải chi tiết: x 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2
x 3 2x x 1 . x 1 2
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là 2 S
x 3 2x x 1 dx 9 . 1 Câu 3:Đáp án B
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức 2 2
a b a ba b . Giải chi tiết: Ta có 4 z 16 4
z 16 0 2 z 2 4 z 4 0 2 z 4 z 2 2 z 4 z 2 i
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức. Câu 4:Đáp án C
Phương pháp giải:
- Giải phương trình y 0 xác định các giá trị cực trị theo m.
- Chia các TH, tìm các giá trị cực tiểu tương ứng và giải bất phương trình y 0 . CT Giải chi tiết: www.thuvienhoclieu.com Trang7 www.thuvienhoclieu.com Ta có 2 2
y 3x 2mx m ; y 0 có 2 2 2
m 3m 4m 0 m .
Để hàm số có cực tiểu, tức là có 2 điểm cực trị thì phương trình y 0 phải có 2 nghiệm phân biệt m 0 m 2m 3 x
m y m 8 Khi đó ta có 3 y 0 3 m 2m m 5m x y 8 3 3 27 m 0 3 y
m 8 0 m 2 CT 0 m 2 Khi đó yêu cầ
u bài toán m 0 6 m 0 3 3 5m 6 5 y
8 0 m CT 3 27 5
Lại có m m 3 ; 2 ; 1 ;
1 . Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5:Đáp án B
Phương pháp giải: y 0 ax b Hàm số y
nghịch biến trên ; khi và chỉ khi d cx d ; c Giải chi tiết:
TXĐ: D \ m . 2 mx 4 m 4 Ta có y y . x m x m2
Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ;1 thì 2 m 4 0 2 m 2 y 0 1 m 2
. m m m 1 ; 1 1 1 2 m 1 m 1 m 1
Lại có m m 1 .
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6:Đáp án B
Phương pháp giải: Hàm số n
y x với n xác định khi và chỉ khi x 0 . Giải chi tiết:
Hàm số y x 13
1 xác định khi và chỉ khi x 1 0 x 1.
Vậy TXĐ của hàm số là 1; . www.thuvienhoclieu.com Trang8 www.thuvienhoclieu.com Câu 7:Đáp án C
Phương pháp giải:
- Xác định u là 1 VTCP của và n là 1 VTPT của Q . Q P / / n u P - Vì n n ;u . P Q P Q n n P Q
- Phương trình mặt phẳng đi qua M x ; y ; z và có 1 VTPT → n ; A ; B C là 0 0 0
A x x B y y C z z 0 . 0 0 0 Giải chi tiết:
Đường thẳng có 1 VTCP là u 2; 2; 1 .
Mặt phẳng Q có 1 VTPT là n 1; 1; 2 . Q P / / n u P
Gọi n là 1 VTPT của mặt phẳng P . Vì . P P Q n n P Q
n n ;u
n 1;1;0cũng là 1 VTPT củ 3;3;0 a P . P Q
Vậy phương trình mặt phẳng P là 1. x 0 1. y
1 0. z 2 0 x y 1 0 . Câu 8:Đáp án A
Phương pháp giải:
- Tìm ĐKXĐ của bất phương trình.
- Giải bất phương trình logarit: log f x log g x f x g x khi 0 a 1. a a Giải chi tiết: x 0 ĐKXĐ: 1 x . 2x 1 0 2 Ta có: log x log 2x 1 1 1 2 2
log x log 2x 2 1
x x 2 2 1 1 1 2 2 2 2
x 4x 4x 1 2
3x 4x 1 1 0 x 1 3
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là 1 S ;1 . 2 Câu 9:Đáp án D
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x . www.thuvienhoclieu.com Trang9 www.thuvienhoclieu.com
- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y 2m 1phải cắt đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 3 tại 3 điểm phân biệt. - Lập BBT hàm số 4 2
y x 2x 3 , từ đó lập BBT hàm số 4 2
y x 2x 3 , 4 2
y x 2x 3 và tìm m thỏa mãn. Giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình 4 2
x 2x 3 2m 1là số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 3 và
đường thẳng y 2m 1. x 0 Xét hàm số 4 2
y x 2x 3 ta có 3
y 4x 4x 0 x 1 BBT:
Từ đó ta suy ra BBT của đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 3 . - Từ đồ thị 4 2
y x 2x 3 lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục Ox qua trục Ox .
- Xóa đi phần đồ thị bên dưới trục Ox .
Ta có BBT của đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 3 như sau:
Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y 2m 1 cắt đồ thị hàm số 4 2
y x 2x 3 tại 6 điểm phân biệt khi 5
và chỉ khi 3 2m 1 4 4 2m 5 2 m . 2 5 Vậy 2 m . 2 Câu 10:Đáp án B
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x . www.thuvienhoclieu.com Trang10 www.thuvienhoclieu.com
- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm
số y f x tại 3 điểm phân biệt.
- Lập BBT hàm số y f x và tìm m thỏa mãn. Giải chi tiết: x 0 2 x 0 x 2 ĐKXĐ: x 2 2 x 2 0 x 2 x 2 Ta có: 2 log x log 2 x 2 4 2 1
.2.log x log 2 x 2 2 2 2 log x log 2 x 2 2
x 2 x 2 2 2
x x 2 0 x 2 x 2 tm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Câu 11:Đáp án D
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x .
- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm
số y f x tại 3 điểm phân biệt.
- Lập BBT hàm số y f x và tìm m thỏa mãn. Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm 3 3
x 12x 1 m 0 m x 12x 1 f x .
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số
y f x tại 3 điểm phân biệt.
Ta có f x 2
3x 12 0 x 2 . BBT: www.thuvienhoclieu.com Trang11 www.thuvienhoclieu.com
Dựa vào BBT ta thấy để đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt thì 1 5 m 17.
Mà m m 1 4; 1 3; 1 2;...;15;1
6 . Vậy có 31 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 12:Đáp án B
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức: log xy log x log y 0 a 1,x, y 0 a a a m log m b b a b n loga 0 1, 0 a n
Từ giả thiết tính log b . a
- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay log b vừa tính được để tính giá a trị biểu thức. Giải chi tiết: Theo bài ra ta có:
log√ab(a3√b)=log√ab(3√ab.3√a2)=log√ab3√ab+log√ab3√a2=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132.logab
(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37logab(ab3)=logab(ab3.a23)=lo
gabab3+logaba23=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132.logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒2
3+134(1+logab)=3⇒logab=−37 log
3a b log 3 3 2 ab. a ab ab 3 3 2 log ab log a ab ab 1 1 3 log ab 1 ab 1 2 2 log ab 2 3 a 1 ab ab 1 2.log 3 1 3 . log ab a 2 2 2 1 3 3 1log b 4 a 2 1 3 3 3 1log b 4 a 3 log b a 7 Khi đó ta có: log 3b a log ab b ab ab 3 3 2 www.thuvienhoclieu.com Trang12 www.thuvienhoclieu.com 3 3 2 log ab log b ab ab 1 1 3 log ab 1 ab 1 2 2 log ab 2 3 b 1 ab ab 1 .2.log 3 1 3 . log ab b 2 2 2 1 3 3 log a 1 4 b 2 4 1 1 . 3 3 7 3 1 3 Câu 13:Đáp án D
Phương pháp giải:
Lập BBT của hàm số trên 0; và tìm GTNN của hàm số. Giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định trên 0; . 3 16 2x 16
Ta có y 2x
; y 0 x 2 . 2 2 x x BBT:
Dựa vào BBT ta thấy min y 12 . 0; Câu 14:Đáp án A
Phương pháp giải:
- Xác định mặt phẳng P chứa DE và song song với SC , khi đó d DE; SC d SC;P . - Đổi sang d ;
A P . Dựng khoảng cách.
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách. Giải chi tiết: www.thuvienhoclieu.com Trang13 www.thuvienhoclieu.com
Trong ABCD gọi I AC DE , trong SAC kẻ IG / /SC G SA , khi đó ta có DE GDE / /SC .
d SC;DE d SC;GDE d C;GDE . IC EC 1
d C;GDE IC 1
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
, do AC GDE I nên IA AD 2 d ; A GDE IA 2
d C GDE 1 ; d ;
A GDE . 2
Trong ABCD kẻ AH DE H DE , trong GAH kẻ AK GH K GH ta có: DE AH
DE AGH DE AK DE AG AK GH
AK GDE d ;
A GDE AK AK DE
Vì SA ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD
SC ABCD SC AC 0 ; ; S CA 45 . S
AC vuông cân tại A.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a 2 nên AC a 2. 2 2a SA . AG AI 2 4a
Áp dụng định lí Ta-lét ta có AG . AS AC 3 3 1 1 1 Ta có: S
d E AD AD AB AD a a a . AED ; 2 . . 2. 2 2 2 2 2 a a 10
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CDE ta có 2 2 2
DE CD CE 2a . 2 2 2 2S 2a 2a 10 AED AH . ED a 10 5 2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông GAH ta có
AK=AG.AH√AG2+AH2=4a3.2a√105 www.thuvienhoclieu.com Trang14 www.thuvienhoclieu.com 4a 2a 10 . A . G AH 4a 19 3 5 AK . 2 2 2 2 19 AG AH 4a 2a 10 3 5 a
Vậy d DE SC 1 2 19 ; . 2 19 Câu 15:Đáp án B
Phương pháp giải: - Đặt ẩn phụ x2 t 2 0 .
- Cô lập m, đưa phương trình về dạng m g t t 0 .
- Lập BBT của hàm số g t khi t 0.
- Dựa vào BBT tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm. Giải chi tiết: Ta có x x
m x 2 1 2 2 x2 4 .2 1 0 4. 2 . m 2 1 0. 2 Đặ 4t 1 t x2 t 2
0 , phương trình đã cho trở thành 2
4t mt 1 0 m
g tt 0 . t t 1 1
Xét hàm số g t 2 4 1 1
4t có gt 4 0 t . t t 2 t 2 BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm t 0 m 4 . m Kết hợp điều kiện
m4;5;6;...;2020;202 1 . m 2021
Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 16:Đáp án D
Phương pháp giải:
- Chia tử cho mẫu để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng đa thức + phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu. 2 k
- Phân tích mẫu thành nhân tử, biến đổi để xuất hiện các tích phân dạng dx . ax b 1 www.thuvienhoclieu.com Trang15 www.thuvienhoclieu.com
- Tính tích phân và tìm a, b, c Giải chi tiết: 2 3 2 x 1 x 1 Ta có: dx x 1 dx 2 2 x x x x 1 1 2 2 x x 1 1 dx dx 1 I x x 1 2 1 1 x 1 B C x 1 B x 1 Cx Giả sử x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1
B C x B B C 1 B 1 x x 1 x x 1 B 1 C 2 Khi đó ta có 2 2 2 x 1 1 2 I dx dx dx x x 1 x x 1 1 1 1 2 2
ln x 2ln x 1 ln 2 2ln32ln 2 2ln 3 3ln 2 1 1 1 a 2 2 3 x 1 1 dx 2ln33ln 2 b 2 2 x x 2 1 c 3 1
Vậy 2a 3b 4c 2. 3.2 4. 3 19 . 2 Câu 17:Đáp án C
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: log m
b mlog b a b a a 0 1, 0 1 log b a b a 0 , 1 log a b Giải chi tiết: Ta có: 2 log 4 2 log 2 2 45 3 .5 2 log 3 log 5 2 2 2 2 2 log 3 log 5 2a b 2 2 Câu 18:Đáp án A
Phương pháp giải:
- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là abcd a; ; b ;
c d 0;1; 2;3; 4;
5 , a b c d . www.thuvienhoclieu.com Trang16 www.thuvienhoclieu.com
abcd5 d 0; 5 - Vì abcd 15 nên . abcd3
- Ứng với mõi trường hợp của d, tìm các cặp số a, b, c tương ứng. Giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là abcd a; ; b ;
c d 0;1; 2;3; 4;
5 , a b c d .
abcd5 d 0; 5 Vì abcd 15 nên . abcd3
+ TH1: d 0 , số cần tìm có dạng abc0 a b c3.
Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là 1;2; 3 ;1;3; 5 ;2;3; 4 ;3;4; 5 .
⇒ có 4.3! 24 cách chọn a,b, c . ⇒ Có 24 số thỏa mãn.
TH2: d 5, số cần tìm có dạng abc5 a b c 53 a b c chia 3 dư 1.
Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là 0;1; 3 ;1;2; 4 ;0;3; 4 .
⇒ có 2.2.2! 3!14 cách chọn a,b, c . ⇒ Có 14 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả 14 14 38 số thỏa mãn. Câu 19:Đáp án B
Phương pháp giải: - Khoảng cách từ điểm
M x ; y ; z đến mặt phẳng
P:Ax By Cz D 0 là 0 0 0
Ax By Cz D d M ;P 0 0 0 . 2 2 2
A B C Giải chi tiết:
d A P 2.1 3 2. 2 3 ; 2 . 2 1 2 2 2 2 Câu 20:Đáp án C
Phương pháp giải:
- Tính số phần tử của không gian mẫu là n là số cách chọn 3 học sinh bất kì.
- Gọi A là biến cố: “Ban sự lớp gồm 3 bạn có cả nam và nữ”. Xét 2 TH để tính số phần tử của biến cố A
là n A .
+ TH1: Chọn 1 nam và 2 nữ
+ TH2: Chọn 2 nam và 1 nữ www.thuvienhoclieu.com Trang17 www.thuvienhoclieu.com n A
- Tính xác suất của biến cố A: P A . n Giải chi tiết:
Số cách chọn 3 bạn bất kì là 3
C nên số phần tử của không gian mẫu là n 3 C . 40 40
Gọi A là biến cố: “Ban sự lớp gồm 3 bạn có cả nam và nữ”.
TH1: Chọn 1 nam và 2 nữ có 1 2 C .C cách. 30 10
TH2: Chọn 2 nam và 1 nữ có 2 1 C .C cách. 30 10 n A 1 2 2 1
C .C C .C . 40 10 40 10 1 2 2 1 n A
C .C C .C 15 285
Vậy xác suất của biến cố A là P A 30 10 30 10 . n 3 C 26 494 40 Câu 21:Đáp án A
Phương pháp giải: 1 - Sử dụng công thức 2 tan 1. 2 cos 1 1
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: 2 dx tan ax b . 2
cos ax b a Giải chi tiết: Ta có: 1 1 2 tan 2xdx 1 dx dx dx 1
tan 2x x C 2 cos 2x 2 cos 2x 2 Câu 22:Đáp án C
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất sin cos . 2
- Giải bất phương trình mũ: f x g x a a
f x g xkhi 0 a 1.
- Giải bất phương trình đại số tìm x, sau đó kết hợp điều kiện đề bài. Giải chi tiết: 3 5 3 Vì nên sin cos . 5 10 10 2 5 10 Khi đó ta có 4 4 x x 3 x x 4 sin cos sin sin x do 0 sin 1 5 10 5 5 x 5 2 x 4 x 2 0 x 0 x 2 www.thuvienhoclieu.com Trang18 www.thuvienhoclieu.com
Kết hợp điều kiện x 9
9;100 ta có x 9 9; 2 0;2.
Vậy phương trình đã cho có 100 nghiệm nguyên thỏa mãn. Câu 23:Đáp án B
Phương pháp giải: n .u P d
Gọi là góc giữa P và , khi đó ta có sin , với n và u lần lượt là 1 vtpt của P và p d n . u P d vtcp của Δ. Giải chi tiết: x 1 y 2 z
Mặt phẳng P :2x y 2z 3 0 có 1 vtpt là n 2; 1; 2 , đường thẳng : có 1 P 1 2 2
vtcp là u 1; 2; 2 . d n .u P d 2.1 1.2 2. 2 4
Ta có: sin . 2 2 2 2 2 2 n . u 9 2 1 2 . 1 2 2 P d 65 2
cos 1 sin . 9 Câu 24:Đáp án A
Phương pháp giải:
- Gọi d là công sai của CSC trên. Sử dụng công thức SHTQ của CSC: u u n 1 d , giải hệ phương n 1
trình tìm u , d . 1
2u n 1 d n 1
- Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSC: u u u ... u 1 2 3 n 2 Giải chi tiết:
Gọi d là công sai của CSC trên. Theo bài ra ta có: 2021 u u 2
2u 2019d 2 u 1 2020 1 1 2 . u u 1
2u 2020d 1 1001 1021 1 d 1
2u 2020d .2021 2021 1
Vậy u u ... u . 1 2 2021 2 2 Câu 25:Đáp án D
Phương pháp giải: AM u d
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d là d A d ; ; , trong đó M là ud
điểm bất kì thuộc d và u là 1 vtcp của đường thẳng d. d Giải chi tiết: www.thuvienhoclieu.com Trang19 www.thuvienhoclieu.com
Lấy M 1;2;3 d . Đường thẳng d có 1 VTCP là u 2; 2; 1 . d
Ta có: AM 2;0;3 AM;u 6;4; 4 . d 2 2 2 AM ;u d 6 4 4 2 17 Vậy d ; A d . u d 2 2 2 3 2 2 1 Câu 26:Đáp án C
Phương pháp giải:
- Để hàm số đồng biến trên 0;
1 thì y 0 x 0; 1 .
- Cô lập m , đưa bất phương trình về dạng m g x x 0
;1 m min g x . 0; 1
- Lập BBT hàm số g x trên 0; 1 và kết luận. Giải chi tiết:
TXĐ: D 0; nên hàm số xác định trên 0; 1 . 2 Ta có 2 y 8x m . x Để 2
hàm số đồng biến trên 0;
1 thì y 0 x 0; 1 2 m 8x x 0; 1 . x Đặ 2 t g x 2
8x , x 0;
1 , khi đó ta có m g x x 0
;1 m min g x . x 0; 1 2 16x 2 1
Ta có g x 3 16x
; g x 0 x tm . 2 2 x x 2 BBT:
Dựa vào BBT m 6. Kết hợp điều kiện m m 1; 2;3; 4;5; 6 .
Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 27:Đáp án B
Phương pháp giải:
- Gọi tâm mặt cầu là I, tham số hóa tọa độ điểm I theo biến t.
- Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng P và Q nên R d I;P d I;Q . Giải phương
trình tìm t và suy ra tâm, bán kính mặt cầu. www.thuvienhoclieu.com Trang20 www.thuvienhoclieu.com 2 2 2
- Mặt cầu tâm I x ; y ; z , bán kính R có phương trình là x x y y z z R . 0 0 0 2 0 0 0 Giải chi tiết:
Gọi tâm mặt cầu là I 1 t; 1
t;2t .
Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng P và Q nên R d I;P d I;Q . 1 t 2 1
t 3.2t
1 t 2 1 t 3.2t 4 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3
5t 3 5t 7 5t 3 5
t 7 t 1 5 3 Khi đó mặ 2
t cầu có tâm I 0; 2 ; 2
, bán kính R . 14 14 2 2 2
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là 2
x y 2 z 2 7 Câu 28:Đáp án A
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: udv uv vdu . Giải chi tiết: dx u ln x du Đặt x dv 2x 1 dx 2
v x x xx 1 Khi đó ta có x 2x
1 ln xdx x x x x dx x x 2 2 2 ln 1 ln x x C 2 Câu 29:Đáp án C
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả hai vế của phương trình, sau đó xét hàm đặc trưng.
- Rút a theo b, từ điều kiện của a suy ra điều kiện chặt chẽ hơn của b.
- Biến đổi P a b a b2 2 2
2ab , đặt ẩn phụ t 2ab , lập BBT tìm miền giá trị của t.
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của biểu thức P. Giải chi tiết: Theo bài ra ta có: 1 ab 2 3 2a b ab a b
a b 2ab 3 log 1 ab log a b 2 2
a b 2ab 2 log 1 ab 1 log a b 2 2
a b 2ab 2 log 2 2ab log a b 2 2 www.thuvienhoclieu.com Trang21 www.thuvienhoclieu.com
log a b a b log 2 2ab 2 2ab * 2 2 1
Xét hàm số y log t t t 0 ta có y 1 0 t
0 , do đó hàm số đồng biến trên 0; . 2 t ln 2 Khi đó b
a b ab a b 2 * 2 2 1 2
2 b a . 1 2b 2 b
Vì a, b 0
0 2 b 0 b 2 . 1 2b
Khi đó ta có P a b a b2 ab ab2 2 2 2 2 2 2ab . 2 Đặ 2 b 2b b
t t 2ab 2
.b 0 b 2 ta có t 2. 1 2b 1 2b
22b1 2b 2 2b b .2 t 2. 1 2b2 2 2
2 4b 2b 4b 4b 2b 2 4 4b 4b 2. 2 1 2b2 1 2b 1 5
t 0 b 2 BBT:
t 0;3 5 .
Khi đó ta có P t2 2 2
t t 5t 4,t 0;3 5 . 5
Ta có P 2t 5 0 t
ktm , do đó P P 3 5 3 5 . min 2 Câu 30:Đáp án D
Phương pháp giải:
- Để hàm số nghịch biến trên thì y 0 x m 0
- Xét 2 TH: m 0 và . 0 Giải chi tiết: TXĐ: D . www.thuvienhoclieu.com Trang22 www.thuvienhoclieu.com Ta có: 2
y 3mx 2mx m 1 .
Để hàm số nghịch biến trên thì y 0 x . 2
3mx 2mx m 1 0 x m 0 m 0 m 0 1 0 x luon dung m 0 m 0 m 0 3 2
4m 3m 0 m 0 2 m 3m m 1 0 4 m 0 3 3 m 0 m 0 4 4 Câu 31:Đáp án D
Phương pháp giải:
- Để hàm số đồng biến trên 0; thì y 0 x 0;.
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng m g x x
0; m min g x. 0;
- Sử dụng BĐT Cô-si tìm min g x . 0; Giải chi tiết:
TXĐ: D 0; . 2 8
Ta có: y 2x 8.
m 2x m 2x x
Để hàm số đồng biến trên 0; thì y 0 x 0;. 8
2x m 0 x 0; x 8 m 2x x
0;* . x
Đặt g x 8
2x , khi đó
* m min g x . x 0; 8 8
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 2x 2 2 . x
2.4 8 min g x 8 , dấu “=” xảy ra x x 0; 8
2x x 2 . x
Từ đó ta suy ra được m 8 , kết hợp điều kiện m m 1; 2;3; 4;5;6;7; 8 .
Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 32:Đáp án D
Phương pháp giải: www.thuvienhoclieu.com Trang23 www.thuvienhoclieu.com
- Đặt z a bi ;
a b z a bi .
- Thay vào giả thiết 3z i z 8 0 , đưa phương trình về dạng A Bi 0 A B 0 . Giải chi tiết:
Đặt z a bi ;
a b z a bi . Theo bài ra ta có:
3z i z 8 0
3a bi ia bi 8 0 3a 3bi ai b8i 0 a b a
3a b a 3b 8i 3 0 1 0
a 3b 8 0 b 3
Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là a b 1 3 2 . Câu 33:Đáp án C
Phương pháp giải:
- Gọi I là điểm thỏa mãn IA 2IB IC 0 . Phân tích 2 2 2
MA 2MB MC theo MI. - Chứng minh đó 2 2 2
MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.
- Với I cố định, tìm vị trí của M P để IM . min
- Tìm tọa độ điểm I, từ đó dựa vào mối quan hệ giữa IM và P để tìm tọa độ điểm M. Giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn IA 2IB IC 0 . Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2
MA 2MB MC MA 2MB MC
MI IA2 MI IB2 MI IC2 2
MI MI IA IB IC 2 2 2 2 2 2 2
IA 2IB IC 2 MI 2 2 2 2
IA 2IB IC Vì I , ,
A B, C cố định nên 2 2 2
IA 2IB IC không đổi, do đó 2 2 2
MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất khi
và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà M P nên IM đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên P hay
IM P IM và n 1; 2; 2 cùng phương, với n là 1 vtpt của P . P P
Tìm tọa độ điểm I ta gọi I ;
x y; z . Ta có:
IA 2IB IC 0
x 1; y; z 2 2x 1; y 1; z 3 x 3; y 2; z 0 www.thuvienhoclieu.com Trang24 www.thuvienhoclieu.com
x 1 2x
1 x 3 0 2x 4 0 x 2
y 2 y
1 y 2 0 2y 0
y 0 I 2;0;4 z 2 2
z 3 z 0 2z 8 0 z 4
Khi đó ta có IM a 2; ; b c 4
Vì IM và n 1; 2; 2 cùng phương, lại có M P nên ta có hệ phương trình: P
a 2 b c 4
2a b 4 0 a 1 1 2 2 b c 4 0 b 2
a 2b2c 1 0
a 2b 2c 1 0 c 2
Vậy a b c 1 2 2 3 Câu 34:Đáp án D
Phương pháp giải: u
Sử dụng công thức tính đạo hàm ln u . u Giải chi tiết: x 1 1 1 y . x 1
2 x x 1 2x 2 x Câu 35:Đáp án A
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt 3 t 2x 1 . Giải chi tiết: Đặ dt t 3 2 2
t 2x 1 dt 6x dx x dx . 6 2x 1 Khi đó ta có t dt t x 2x 1 3 3 2 3 2 2 3 1 dx . C C . 6 6 3 18 Câu 36:Đáp án A
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp logarit hai vế. Giải chi tiết:
Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình ta có: 2 2 2x 3x log 2x log 3x 2
xlog 2 x x x log 2 0 3 3 3 3 x 0 x 0 x log 2 0 x log 2 3 3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thực. Câu 37:Đáp án C www.thuvienhoclieu.com Trang25 www.thuvienhoclieu.com
Phương pháp giải:
- Gọi M x ; y thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M . 0 0
- Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y f x tại M x ; y là y f x
x x f x . 0 0 0 0 0
- Cho A1;0 d , giải phương trình tìm số nghiệm x . Số nghiệm x chính là số tiếp tuyến với đồ thị 0 0
hàm số đi qua điểm A1;0 cần tìm. Giải chi tiết: Ta có 2
y 3x 6x .
Gọi M x ; y thuộc đồ thị hàm số. 0 0 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
M x ; y là 0 0 y 2
3x 6x x x 3 2
x 3x 2 d . 0 0 0 0 0
Cho A1;0 d ta có: 0 2
3x 6x 1 x 3 2
x 3x 2 0 0 0 0 0 2 3 2 3 2
0 3x 6x 3x 6x x 3x 2 3 0 2
x 6x 2 x 0,32 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Vậy có duy nhất 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A1;0 . Câu 38:Đáp án C
Phương pháp giải:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
- Sử dụng công thức tính nhanh: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2 . Giải chi tiết:
Vì SA ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD .
SC; ABCD SC; AC S CA.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a 3 nên AC a 3. 2 a 6 . SA 1
Xét tam giác vuông SAC ta có: tan S CA 0 SCA 30 . SC 3
Vậy SC ABCD 0 ; 30 . www.thuvienhoclieu.com Trang26 www.thuvienhoclieu.com Câu 39:Đáp án B
Phương pháp giải:
- Hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
- Giải phương trình y 0 tìm hoành độ điểm uốn, từ đó suy ra tọa độ điểm uốn. Giải chi tiết: Ta có: 3 2
y x 3x 2 y 3x 3; y 6x .
Cho y 0 6x 0 x 0 y 2
⇒ Hàm số đã cho có điểm uốn là 0; 2 .
Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Vậy hàm số đã cho có tâm đối xứng là 0; 2 . Câu 40:Đáp án B Phương pháp giải: - Nhận thấy 1 x x x e
xe . Sử dụng công thức uv u v uv .
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế để tìm f x .
- Tính f x và tính f 0 . Giải chi tiết: Theo bài ra ta có 1 x xf x x f x e x 1 x xe f x x
e f x 1 Ta có x x x 1 x xe e xe x e x x xe f x
xe f x 1 x 1 x x xe f x
xe f x dx dx xe f
x x C x 0
Thay x 0 ta có 0 0 C C 0 , do đó x xe f x x
x x e f x 1 0 f x 1 x e x e x f x e f 0 0 e 1 Câu 41:Đáp án A
Phương pháp giải:
- Vì d P nên u n . d P x x y y z z
- Phương trình đường thẳng đi qua A x ; y ; z và có 1 vtcp u ; a ; b c là 0 0 0 . 0 0 0 a b c Giải chi tiết: www.thuvienhoclieu.com Trang27 www.thuvienhoclieu.com
Mặt phẳng P :x 2y 3z 4 0 có 1 vtpt là n 1; 2; 3 . P
Gọi d là đường thẳng đi qua A1; 1 ; 2
và vuông góc với P và u là 1 vtcp của đường thẳng d. d
Vì d P nên u n 1; 2; 3 . d P x 1 y 1 z 2
Vậy phương trình đường thẳng d là . 1 2 3 Câu 42:Đáp án B
Phương pháp giải: Giải chi tiết: TXĐ: D . Ta có: 8
y mx 2
m m 5 x 3 2
m m m 3 9 6 3 2 4 2 x 3 5
y x mx 2
m m 2 x 3 2 9 6 3 2
4 2m m m
x 0nghiemboi3 Cho y 0 5 9mx 6 2
m 3m 2 2 x 4 3 2
2m m m 0 *
Để hàm số đồng biến trên thì x 0 phải là nghiệm bội chẵn của phương trình y 0 , do đó phương
trình (*) phải nhận x 0 là nghiệm bội lẻ.
Vì x 0 là nghiệm của (*) nên thay x=0x=0 vào phương trình (*) ta có: m 1 1 3 2
2m m m 0 m 2 m 0 Thử lại: + Với m 0 ta có 5
y 12x không thỏa mãn y 0 x . + Với m 1 ta có 8
y 9x 0 x (thỏa mãn). 1 x 0 9 45 9 + Với m ta có 8 5 5 y x x x 3
x 5 0 , do đó không thỏa mãn 2 3 2 2 2 x 5 y 0 x
Vậy có duy nhất 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m 1. Câu 43:Đáp án D
Phương pháp giải: 1
- Thay x , sau đó rút 1
f theo f x và thế vào giả thiết. t x www.thuvienhoclieu.com Trang28 www.thuvienhoclieu.com 2
- Tìm f x theo x và tính f x dx
bằng phương pháp tích phân 2 vế. 1 2 Giải chi tiết: 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: 1 2 f x xf x , với x ta có 2 f
f t f f t x t t t t
t 2 t t 1 1 1 1 f f x
x 2 x x Khi đó ta có f x 1 1 1 x f
x x f x 1 1 2 2
f x x 2 x x 2 2 2 2 3 f x 1 3 x f x 1 dx x dx 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 f x 9 dx f x 3 dx 2 8 4 1 1 2 2 Câu 44:Đáp án D
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai. 2 2
- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng AB x x y y . B A B A Giải chi tiết:
TXĐ: D \ 1
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x 2 1 2x x 2 x 11 2x x 1 2 2
x 2 x 1 2x 2x 2x 2x 1 0 *
Khi đó hoành độ của điểm A và B lần lượt là x , x là nghiệm của phương trình (*). A B x x 1 1 2
Áp dụng định lí Vi-ét ta có 1 . x x 1 2 2
Ta có: A x ;1 2x ; B x ;1 2x nên: A A B B
AB x x 2 x x 2 2 1 2 1 2 B A B A
AB x x 2 x x 2 2 4 B A B A www.thuvienhoclieu.com Trang29 www.thuvienhoclieu.com
AB x x 2 2 5 B A
AB x x 2 2 5 4x x A B A B 1 2 2 AB 5 1 4. 15 2 Vậy AB 15 . Câu 45:Đáp án A
Phương pháp giải:
- Gọi H là hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác ABC , chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng
vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. S
- Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r
, với S, p lần lượt là diện tích và p nửa chu vi tam giác.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp. 1
- Tính thể tích khối chóp V SH.S . S . ABC 3 ABC Giải chi tiết:
Vì chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của S thuộc miền trong tam
giác ABC nên hình chiếu của S là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp ABC
SH ABC Xét ABC có 2 2 2 2
AB BC CA 25a nên ABC
vuông tại B (định lí Pytago đảo). AB SH
Trong ABC kẻ HK / /BC K AB ta có
AB SHK AB SK . AB HK
SAB ABC AB
SK SAB; SK AB HK
ABC;HK AB www.thuvienhoclieu.com Trang30 www.thuvienhoclieu.com
SAB ABC SK HK 0 ; ; S KH 60 . 1 .3 .4 a a S
Vì HK là bán kính đường tròn nội tiếp ABC nên ABC 2 HK a p 3a 4a . 5a ABC 2
Xét tam giác vuông SHK ta có 0
SH HK.tan 60 a 3 . 1 1 1 Vậy 3 V SH .S a 3. .3 .4 a a 2 3a . S .ABC 3 ABC 3 2 Câu 46:Đáp án D
Phương pháp giải:
- Xác định góc từ điểm A đến A B C .
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính AA . - Tính thể tích V A . A S . ABC. A B C A BC Giải chi tiết: BC AM
Gọi M là trung điểm của BC ta có
BC A B C . BC AA AH BC Trong A B
C kẻ AH A M H A M ta có:
AH A B C AH A M d ; A A B
C AH a . 3 3
Vì tam giác ABC đều cạnh 2a nên AM 2 . a a 3 và S a a . ABC 2 2 2 3 2 4 1 1 1 1 1 1
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AAM ta có 2 2 2 2 2 2 AH AA AM a A A 3a 1 2 a 6 A A 2 2 A A 3a 2 3 a 6 3a 2 Vậy 2 V A . A S .a 3 ABC.A B C A BC 2 2 www.thuvienhoclieu.com Trang31 www.thuvienhoclieu.com Câu 47:Đáp án D
Phương pháp giải:
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y f x ; đồ thị hàm số b
y g x ; đường thẳng x a; x b quanh quanh trục Ox là 2 V f x 2
g x dx . a Giải chi tiết: x 1
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2
3x 2 x . x 2
Vậy thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 3x 2 và đồ thị hàm số v 2 2 4
quanh quanh trục Ox là V 3x 2 4 x dx . 5 1 Câu 48:Đáp án A
Phương pháp giải: Sử dụng công thức n k u u q n k Giải chi tiết:
Giả sử cấp số nhân có công bội là q, khi đó theo bài ra ta có:
2u u u u u u 3 4 5 6 7 8 2 2
u u q u q 2
u u q u q 2u 2
1 q q u 2 1 q q 3 6 3 3 3 6 6 6 2u u 2
do1 q q 0 q 3 6 u 0 3
2u u q u 3 2 q 3 0 3 3 3 3 q 2 Ta có:
u 1 q q u u q u q 8 2 2
u u u 6 u q 8 9 10 8 8 8 2 6 q 4
u u u 2
u u q u q
u 1 q q u 2 2 2 2 2 2 3 4 2 Câu 49:Đáp án D
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức z z z z ; z z . 1 2 1 2
- Đặt z a bi , sử dụng công thức 2 2
z a b , biến đổi rút ra mối quan hệ giữa a, b và kết luận. Giải chi tiết: Theo bài ra ta có
z 1 3i z 1 i www.thuvienhoclieu.com Trang32 www.thuvienhoclieu.com
z 1 3i z 1 i z 1 3i z 1 i z 1 3i z 1 i
Đặt z a bi ta có:
a bi 1 3i a bi 1 i 2 2 2 2 a
1 b 3i a 1 b
1 i a
1 b 3 a 1 b 1 2
a 16b9 2a 1 2b1 4a 4b8 0
a b2 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x y 2 0 . Câu 50:Đáp án A
Phương pháp giải: Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của SB . Vì 0
SAB SCB 90 nên IS IA IB IC , do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC , bán kính 1 R IS SB . 2
Xét SAB và SCB có AB CB gt , SB chung SAB SCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông) v v v v
SA S S AC cân tại S. SM AC
Gọi M là trung điểm của AC ta có
AC SBM . BM AC SH BM
Trong SBM kẻ SH BM ta có: . SH AC AC
SBM SH ABC
Đặt SA SC x. 3a 2 Vì ABC
vuông cân tại B nên AC AB 2 3a 2 BM AM MC . 2
Áp dụng định lí Pytago ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang33 www.thuvienhoclieu.com 2 9a 2 2 2
SM SC MC x 2 2 2 2 2 SB
BC SC 9a x . 2 2 9a 9a 2 2 2 x 9a x 2 2
Gọi p là nửa chu vi tam giác SBM ta có p . 2
Diện tích tam giác SBM là: S
p p SM p SB p BM SBM Khi đó ta có 2SSBM SH . BM Ta có: 1 1 V SH.S d ; A SBC .S S . ABC ABC 3 3 SBC SH.S d
;ASBC.S ABC S BC 2S 1 1 SBM . .3 .3
a a a 6. .3 .
a x x 3 3a BM 2 2
Áp dụng định lí Pytago ta có: 2 2 2 2
SB SC BC 27a 9a 6a R IS 3a .
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là 2 2 2
S 4 R 4 .9a 36 a . www.thuvienhoclieu.com Trang34