Đề thi toán cao cấp

lOMoARcPSD| 36207943
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT
ĐỀ THI CUỐI KỲ KHOA TOÁN KINH TẾ
Học kỳ I Năm học 2019 – 2020 _____________________ (Được sử dụng tài liệu) ______________________
Môn: TOÁN CAO CẤP - Thời lượng: 75 phút
Mã ề: ĐỀ GỐC CA 1
Tên SV : …………………………...................... MSSV: ………….……....… Mã lớp: ……….......................
Đề thi gồm có: … trang
Chữ ký Giám t hị 1
Chữ ký Giám thị 2 Điểm (số) Điểm (chữ) Cán bộ c hấm thi 1 Cán bộ chấm thi 2
HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI Chọn B Bỏ B - Chọn C
Bỏ C - Chọn lại B 1 1 1
A  A  A 
B  B  B C 
D  C  C  D  D 
Phần trả lời trắc nghiệm (12 câu) 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12
A            
B            
C            
D             Lưu ý
Trong giờ làm bài, sinh viên ược phép sử dụng các tài liệu bản quyền dưới ây lOMoARcPSD| 36207943
• Giáo trình Toán Cao cấp của UEL: bản in, không photocopy.
• Hai tờ giấy khổ A4 ghi rõ Họ tên và Mã số SV với những ghi chú liên quan: chữ viết tay, không photocopy.
PHẦN I (Trắc nghiệm – 12 câu, 6 iểm)
Câu 1 (Dễ - cấp ộ 1) Giả sử hệ phương trình trong mô hình I/O ở một quốc gia có 3 ngành sản xuất như sau. 0,8 −0,3 −0,4 x 1 160 −0,20,9 −0,3 400 = b2 −0,2 −0,31−a33 300 50 Tìm a33, x1 và b1.
A. a33 = 0,1; x1 = 500, b2 = 170
B. a33 = 0,9; x1 = 500; b2 = 170
C. a33 = 0,9; x1 = 500, b2 = 550 D. Một áp án khác
0 8, 0 3, 0 4, x1 160 08, x1 120 120 160 x1 500 Đáp án 02 09, , 0 3, 400 b2 02, x1 360 90 b2 b2 170 . 02, 0 3 1, a33 300 50 02, x1 120 1( a33)300 50 a33 01,
Suy ra x1 = 500; b2 = 170; a33 = 0,1. Chọn A.
Câu 2 (TB - cấp ộ 2) Giả sử tại một quốc gia trong năm nay, mức ầu tư cố ịnh của chính phủ là I0 = 2000
(triệu USD), mức chi tiêu công cố ịnh của chính phủ là G0 = 1000 (triệu USD); còn tổng thu nhập quốc dân Y,
tổng mức tiêu dùng dân cư C và tổng thuế T thỏa mãn các iều kiện C = 3200 + 0,2(Y – T); T = 2300 + 0,1Y. Tìm Y, C, và T.
A. Y = 7000; C = 4000; T = 3000
B. Y = 7000; C = 3000; T = 4000
C. Y = 7000; C = 4000; T = 2000 D. Một áp án khác
Đáp án Ta có Y = C + I0 + G0. Thay các giá trị ã cho của I0, G0 và các hệ thức ã cho ta ược hệ cân bằng kinh tế vĩ mô
Y = C+ 2000 + 1000;
C = 3200 + 0,2(Y T− );
T = 2300 + 0,1 .Y
Biến ổi ể ược hệ 3 phương trình 3 ẩn Y, C, T rồi giải hệ ta ược
Y −C = 3000 Y = 7000;
−0,2Y C+ + 0,2T = 3200 C = 4000;
−0,1 Y +T = 2300 T = 3000.
Vậy tổng thu nhập, chi tiêu và thuế ở mức cân bằng lần lượt là Y = 7000; C = 4000; T = 3000. Chọn A. lOMoARcPSD| 36207943
Câu 3 (TB - cấp ộ 2) Xét một thị trường gồm ba loại hàng hóa. Hàm cung, hàm cầu và giá của chúng thỏa mãn các iều kiện sau
Qs1 = – 23 + 9p1 – 3p2 + 3p3; Qs2 = 10 + 2p1 + 4p2 – 3p3; Qs3 = – 48 – 3p1 + 2p2 + 6p3.
Qd1 = – 3 – p1 + 5p2 – 2p3; Qd2 = 88 + 5p1 – 6p2 + p3;
Qd3 = – 19 – p1 + 7p2 – 4p3.
Xác ịnh lượng cung cầu cân bằng của từng loại hàng hóa.
A. Qs1 = Qd1 = 40; Qs2 = Qd2 = 50; Qs3 = Qd3 = 30 B.
Qs1 = Qd1 = 40; Qs2 = Qd2 = 30; Qs3 = Qd3 = 50
C. Qs1 = Qd1 = 30; Qs2 = Qd2 = 40; Qs3 = Qd3 = 50 D. Một áp án khác Q Q p 8 p 5 p p 8 s 1 d 1 1 2 3 1 Q 3 p p 4 p p . s 2 d 2 1 2 3 2 Đáp án Q Q 2 p 5 p p p
Hệ cân bằng thị trường ở ây là s 3 d 3 1 2 3 3 Q
Điểm cân bằng thị trường là (p1, p2, p3) = (8, 15, 12). Suy ra Qs1 = Qd1 = 40; Qs2 = Qd2 = 50; Qs3 = Qd3 = 30. Chọn A. 0,2 0,2 0,3
Câu 4 (TB - cấp ộ 2) Giả sử một quốc gia có ba ngành sản xuất với ma trận hệ số ầu vào 0,3 0,1 0,3 . 0,2 0,3 0,2
Biết nhu cầu cuối cùng của các ngành lần lượt là 70, 180, 60. Tìm tổng ầu ra x1, x2, x3 của mỗi ngành.
A. x1 = 300, x2 = 400, x3 = 300
B. x1 = 300, x2 = 300, x3 = 400
C. x1 = 400, x2 = 300, x3 = 300 D. Một áp án khác
Đáp án Mô hình I/O cho ta hệ phương trình
08, 02, 03, x1 70 08, x1 02, x2 03, x3 70 x1 300 03 09, , 03, x2 180 03, x1 09, x2 03, x3 180 x2 400 . 02, 03 08, , x3 60
02, x1 03, x2 08, x3 60 x3 300 Chọn A.
Câu 5 (TB – cấp ộ 2) Xét các khẳng ịnh dưới ây.
(1) Trong mô hình I/O ối với nền kinh tế của một quốc gia n ngành sản xuất (n nguyên dương), ma trận hệ
số ầu vào A = (aij)n vuông cấp n với 0 aij 1; i, j = 1, 2, ..., n.
(2) Hệ phương trình xác ịnh iểm cân bằng trong mô hình thị trường n hàng hóa (n nguyên dương) luôn
gồm n phương trình n ẩn.
(3) Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số thực (m, n là hai số nguyên dương) với dạng ma
trận AX = B chắc chắn có nghiệm khi Hạng(A) = m. Đếm số khẳng ịnh sai. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 lOMoARcPSD| 36207943
Đáp án Đây là câu hỏi lý thuyết ở mức ộ HIỂU (TB - cấp ộ 2). Rõ ràng (1), (2), (3) ều úng. Chọn A. Câu 6 (TB
- cấp ộ 2) Cho m, n là hai số nguyên dương bất kỳ. Xét các khẳng ịnh dưới ây. n
(1) Trong, mỗi hệ gồm nhiều hơn n vectơ ều phụ thuộc tuyến tính. n
(2) Trong, nếu vectơ v biểu thị tuyến tính ược qua hệ {v1, v2, ..., vm} thì hệ {v1, v2, ..., vm,
v} phụ thuộc tuyến tính. n (3) Trong
, mỗi hệ ộc lập tuyến tính ều có không quá n vectơ. Đếm số khẳng ịnh úng. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Đáp án Đây là câu hỏi lý thuyết ở mức ộ HIỂU (TB - cấp ộ 2). Rõ ràng (1), (2), (3) ều úng. Chọn A.
Câu 7 (Dễ - cấp ộ 1) Một công ty ộc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường. Giả sử hàm
cầu là P = 100 – 5Q (P là giá bán 1 ơn vị sản phẩm); hàm chi phí là C = Q3 – 3Q2 + 30Q + 200 (Q > 0). Tính
chi phí biên và hệ số co giãn của giá theo lượng cầu tại mức sản lượng Q = 10.
A. MC(10) = 270; PQ(10) = – 1
B. MC(10) = 270; PQ(10) = – 5
C. MC(10) = 1200; PQ(300) = – 1
D. Một cặp giá trị khác Đán án Ta có
- Chi phí biên: MC = 3Q2 – 6Q + 30; MC(10) = 270.
- Hệ số co giãn của giá theo cầu: PQ = MP.(Q/P) = – 5.Q/(100 – 5Q); PQ(10) = – 1. Chọn A.
Câu 8* (Khó - Cấp ộ 3) Một công ty ộc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường có hàm
cầu P = 1550 – 2Q biểu thị quan hệ giữa giá bán một ơn vị sản phẩm P ( ơn vị tính: USD) với sản lượng cầu
Q (lượng sản phẩm bán ược). Giả sử chi phí cố ịnh là FC = 2500 (USD) và tổng chi phí TC là hàm bậc hai ối
với Q. Biết rằng ở mức Q = 1, chi phí biên là 56 (USD). Nếu tăng Q từ mức này thêm 4 ơn vị sản phẩm thì chi
phí biên tăng thêm 24 (USD). Tìm mức sản lượng cầu Q (> 0) ể tối ưu hóa lợi nhuận và tính mức giá tối ưu P tương ứng.
A. Q = 150; P = 1250 USD; max = 110.000 USD
B. Q = 150; P = 1250 USD; max = 112.500 USD
C. Q = 387,5; P = 775 USD; max = 297.7325 USD D. Một áp án khác Đáp án
Theo giả thiết, tổng chi phí là hàm bậc hai ối với Q và FC = 2500 nên TC = aQ2 + bQ +
2500 với a, b là hai hằng số thích hợp cần tìm, a 0. Lúc ó MC = 2aQ + b. Vẫn theo giả thiết, ta lại có 2 1a. b 56 2a b 56 a 3; 2 1 4a( ) b 56 24 10a b 80 b 50. Suy ra lOMoARcPSD| 36207943
- Tổng chi phí TC = 3Q2 + 50Q + 2500; Doanh thu: TR = PQ = (1550 – 2Q)Q = – 2Q2 + 1550Q.
- Lợi nhuận = (Q) = TR – TC = – 5Q2 + 1500Q – 2500.
Ta cần tìm Q > 0 ể ạt cực ại rồi tính P tương ứng. Ta có
M = ’ = – 10Q + 1500; ” = – 10 < 0, Q > 0. Do ó Q chỉ có thể ạt cực ại.
M = 0 Q = 150 (150) = 110.000; P = P(150) = 1250.
Đương nhiên lúc ó ạt cực ại với max = 110.000 vì ” (150) = – 10 < 0.
Kết luận: Với mức sản lượng Q = 150 ( ơn vị sản phảm) thì lợi nhuận tối a là max = 110.000 (USD). M U
ức giá tối ưu tương ứng là P = 1250 (USD). Chọn A.
Câu 9 (TB - Cấp ộ 2) Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là Q = K(2L + 80) (lượng ơn
vị sản phẩm). Biết rằng giá thuê một ơn vị vốn là wK = 100 USD, giá thuê nhân công giá wL = 50 USD và
doanh nghiệp sản xuất trong iều kiện ngân sách cố ịnh B = 380.000 USD. Xác ịnh lượng cầu Marshall của vốn
và nhân công mà doanh nghiệp cần sử dụng ể tối a hóa sản lượng. Sản lượng tối a ó là bao nhiêu?
A. K = 1910, L = 3780, Qmax = 14.592.400 B.
K= 2845, L = 1910, Qmax = 11.095.500
C. K = 3780, L = 40, Qmax = 604.800 D. Một áp án khác
Đáp án Gọi K (> 0) là lượng vốn ầu tư vào sản xuất và L (> 0) là lượng nhân công mà doanh nghiệp cần sử
dụng. Khi ó iều kiện ngân sách cố ịnh B = 380.000 trở thành
100K + 50L = 380.000 2K + L – 7600 = 0 L = 7600 – 2K.
Vấn ề kinh tế ược ưa về bài toán: chọn K, L (K > 0, L > 0) ể hàm Q(K,L) = K(2L + 80) cực ại trong iều kiện
L = 7600 – 2K. Điều kiện K > 0, L > 0 trở thành 0 < K < 3800.
Thay L = 7600 – 2K vào Q ta ược hàm 1 biến Q = Q(K) = – 4K2 + 15280K; 0 < K < 3800.
MQ = Q’(K) = – 8K + 15280; Q”(K) = – 8; 0 < K < 3800
MQ = 0 K = 1910 (nhận); L = 3780; Q”(1910) = – 8 < 0 nên Q ạt cực ại tại K = 1910.
Cũng có thể Q là hàm bạc hai ( ồ thị Parabol úp bề lõm xuống dưới) nên ạt cực ại duy nhất tại K =
1910, L = 3780 với Qmax = Q(1910, 3780) = 14.592.400.
Kết luận vấn ề kinh tế: Trong iều kiện ngân sách cố ịnh B = 380.000$, doanh nghiệp ó cần sử dụng lượng
cầu Marshall với vốn K = 1910 và nhân công L = 3780 ể tối a hóa sản lượng Qmax = 14.592.400 (ơn vị sản phẩm). Chọn A.
Câu 10* (Khó - cấp ộ 3) Một doanh nghiệp sản xuất ộc quyền hai loại hàng hóa. Giả sử ứng với các mức
sản lượng Q1, Q2 ( ơn vị sản phẩm) của từng loại hàng hóa, doanh nghiệp có hàm chi phí ( ơn vị tính là triệu ồng) như sau: ) ( ) ( )( ) C C Q Q= ( − + − − 3 − − + 1, 2)=(3 Q1 1 Q2 3 3 Q1 1 Q2 3 50;Q1 0,Q2 0. 432
Xét các khẳng ịnh dưới ây.
(1) C ạt cực ại tại iểm M1(64, 81) và ạt cực tiểu tại M2(1, 9).
(2) Mức sản lượng Q1 = 64, Q2 = 81 làm tối ưu hóa chi phí C.
(3) Mức sản lượng Q1 = 64, Q2 = 81 không tối ưu hóa chi phí C. Đếm số khẳng ịnh sai. A. 2 B. 3 lOMoARcPSD| 36207943 C. 0 D. 1
Đáp án Để tiện, ta ặt x = 3 Q − − 1
1, y = Q2 3. Tức là Q1 = (x + 1)3, Q2 = (y + 3)2. Điều kiện dương của Q1, Q2
suy ra x > – 1, y > – 3. Khi ó, ta có
C = C(x,y) = x4 + y3 – 3xy2 + 50; x > – 1, y > – 3. C’x
= 4x3 – 3y2; C’y = 3y2 – 6xy = 3y(y – 2x).
C”xx = 12x2; C”xy = – 6y; C”yy = 6y – 6x = 6(y – x). (nhận)
Ta ược hai iểm dừng O(0, 0) và M(3, 6)
• Kiểm tra iểm M(3, 6) thấy A = 108, B = – 36 và C = 18. Do ó
= AC – B2 = 108.18 – (– 36)2 = 648 > 0, A = 108 > 0 và M (3, 6) là iểm cực tiểu với
Cmin = C(3, 6) = 34 + 63 – 3.3.62 + 50 = 23.
• Kiểm tra iểm O(0, 0) thấy A = B = C = 0 nên = 0 và ta chưa thể kết luận ược gì. Tuy nhiên, nhiễu i một chút ta thấy:
C( , 0) = 50 + 4 > C(0, 0) = 50 > 50 – 3 = C(0, – ); 0 < ủ nhỏ.
Do ó C không ạt cực trị tại O(0, 0).
Trở lại bài toán gốc, iểm M(3, 6) ứng với M1(64, 81) và O(0, 0) ứng với M2(1, 9). Như vậy C không ạt cực trị
tại M2(1, 9) và chỉ ạt cực tiểu duy nhất tại M1(64, 81). Nghĩa là (1) và (3) sai; còn (2) úng. Chọn A.
Câu 11 (Dễ - cấp ộ 1) Giả sử một doanh nghiệp có lượng ầu tư ( ơn vị tính: triệu ồng) theo thời gian t cho bởi I(t) = 500e2t; t ≥ 0.
Hãy xác ịnh quỹ vốn tại thời iểm t = ln4 của doanh nghiệp ó biết rằng quỹ vốn ban ầu là K0 = 300. A. 4050 B. 1050 C. 7800 D. Một áp số khác
Đáp án Quỹ vốn theo t là K(t) = I(t)dt = 500 e dt2t = 250e2t + C; t ≥ 0.
Ở ây, C là hằng số thích hợp. Vì quỹ vốn ban ầu là K0 = 300 (theo giả thiết) nên ta có K(0) = K0 250 e0 + C = 300 C = 50.
Do ó quỹ vốn theo thời gian của doanh nghiệp ó là K(t) = 250e2t + 50; t ≥ 0. Suy ra
tại thời iểm t = ln4 ta ược K(ln4) = 250e2ln4 + 50 = 4050. Chọn A.
Câu 12 (TB - cấp ộ 2) Cho biết lượng cầu Qd và lượng cung Qs ối với một loại hàng hóa nào ó là P P 2 Qd = 313 ; Qs = 2
1 (P là giá của loại hàng hóa ó).
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất (PS) và thặng dư của người tiêu dùng (CS) ối với loại hàng hóa ó. A. PS = 2592; CS = 2304 B. PS = 2304; CS = 2592 lOMoARcPSD| 36207943 C. PS = 1464; CS = 6360 D. Một áp số khác
Đáp án Tìm P theo Qs và Qd ta ược các hàm cung, cầu như sau P2
P = S(Qs) = 2(Qs + 1)2 = 2(Q + 1)2; Q = Qs 0. Qs = 1 P P = D(Q 2
d) = 2(313 – Qd ) = 2(313 – Q2); 0 ≤ Q = Qd ≤ 313 . Qd = 313 2
Trước hết, ta tìm iểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Qs = Qd. Ta ược P P Qs = Qd 1 = 313
( iều kiện 18 ≤ P ≤ 538) 2 2
P = P0 = 338 Qs = Qd = Q0 = 12 (nhận).
Thặng dư của người tiêu dùng là Q0 1212 CS = D(Q)dQ PQ − 0 0 2 (313 Q )2 dQ 338 12= 2 313Q Q− 133 0 4056 =2304. 0 0
Thặng dư của nhà sản xuất là Q 0 12 12 2 2 3 S(Q)dQ 33812 2( Q 1) dQ 4056 ( Q 1) PS = PQ s s s s s 0 0 0= 2592. 3 0 0 Chọn A.
PHẦN II (Tự luận – 02 câu, 4 iểm)
Câu 13 (TB - cấp ộ 2) Một xí nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa. Trong cùng một khoảng thời gian sản xuất
như nhau, sản lượng từng loại hàng hóa (tính bằng ơn vị sản phẩm) trước và sau cải tiến kỹ thuật lần lượt là
Q1 (> 0), Q2 (> 0) và Q1’ (> 0), Q2’ (> 0). Biết rằng (Q1, Q2), (Q1’, Q2’) ược liên hệ với nhau bởi hệ thức Q1 ' 6 8 Q1 . Q2 ' 2 6 Q2 6 8
1) Lập a thức ặc trưng của ma trận M = và tìm tất cả các giá trị riêng (nếu có) của M. 2 6
2) Tìm tất cả các véc tơ riêng tương ứng với từng giá trị riêng (nếu có) của M. Từ ó suy ra các mức sản
lượng Q1 (> 0), Q2 (> 0) ể sau cải tiến kỹ thuật sẽ cho sản lượng gấp 10 lần (nếu có) trong cùng một
khoảng thời gian sản xuất như nhau. lOMoARcPSD| 36207943 Đáp án
1) Đa thức ặc trưng của M là ( ) = det(M – I) = (6 – )2 – 16 = (2 – )(10 – ). Phương trình
ặc trưng ( ) = (2 – )(10 – ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt 1 = 2 và 2 = 10. Do ó M có úng
hai giá trị riêng (GTR) phân biệt 1 = 2 và 2 = 10.
2) Trước hết, ta i tìm các họ véctơ riêng (VTR) tương ứng với từng GTR. x x a • Xét GTR ( a
1 = 2. Hệ phương trình riêng tương ứng là ) . x x a a } . Vậy họ VTR tứng với a 1 = 2 là {u = / 0 a
• Xét GTR 2 = 10. Hệ phương trình riêng tương ứng là ) . 2b
Vậy họ VTR tứng với 2 = 10 là {v = / 0 b b
Từ ó ta thấy, trong cùng một khoảng thời gian sản xuất như nhau, nếu xí nghiệp sản xuất Q1 = 2b, Q2
= b (b > 0) ơn vị sản phẩm của từng loại hàng hóa thì sản lượng sau cải tiến kỹ thuật sẽ gấp 10 lần,
tức là Q1’ = 10Q1 = 20b, Q2’ = 10Q2 = 10b.
Câu 14 (TB - cấp ộ 2) Một doanh nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa với hàm chi phí kết hợp C ứng với mỗi
mức sản lượng Q1( 0) ,Q2( 0) của từng loại hàng hóa thứ nhất, thứ hai ược cho như sau: C CQ Q= ( + − 2 − 2 1, 2) = 9795+2Q Q Q Q1 8 2 1 4 2 .
Giả sử giá bán mỗi ơn vị hàng hóa thứ nhất, thứ hai lần lượt là 60 và 320 ( ơn vị tính là triệu VNĐ).
1) Xác ịnh hàm doanh thu của doanh nghiệp ở mỗi mức sản lượng Q1( 0) ,Q2( 0) của từng loại hàng hóa.
2) Giả sử doanh nghiệp ó sản xuất trong iều kiện ngân sách không ổi B = 2,5 tỷ ồng. Hãy xác ịnh các
lượng hàng hóa Q1( 0) ,Q2( 0) mà doanh nghiệp cần sản xuất ể tối a hóa doanh thu và tính mức doanh thu tối a ó. Đáp án
1) Vì mỗi ơn vị hàng hóa thứ nhất bán ược 60 (triệu VNĐ), mỗi ơn vị hàng hóa thứ hai bán ược 320
(triệu VNĐ) nên tổng doanh thu là R RQ Q= ( + 1, 2) = 60Q1 320Q Q2; 1 0, Q2 0 (triệu VND)
2) Để tiện trong tính toán, ta ặt x = Q1(> 0), y = Q2(> 0). Khi ó ta có
C = C(x, y) = 9795 + 2x + 8y – x2 – 4y2; R = R(x, y) = 60x + 320y; x > 0, y > 0.
Chú ý rằng 2,5 tỷ = 2500 (triệu VNĐ). Vấn ề kinh tế tương ứng với bài toán toán học như sau: Tìm x
(> 0), y (> 0) ể R = 60x + 320y ạt cực ại với iều kiện 9795 + 2x + 8y –x2 – 4y2 = 2500.
Ta sẽ giải bài toán tương ứng bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Trước hết ta cần ưa iều kiện về dạng vế phải triệt tiêu:
9795 + 2x + 8y – x2 – 4y2 = 2500 (x – 1)2 + 4(y – 1)2 – 7300 = 0.
Ta ược hàm iều kiện = (x, y) = (x – 1)2 + 4(y – 1)2 – 7300. Hàm Lagrange như sau L = R +
L = L(x, y) = 60x + 320y + [(x – 1)2 + 4(y – 1)2 – 7300]; x > 0, y > 0. lOMoARcPSD| 36207943
Ta tính các ạo hàm riêng cấp 1, 2 của L và các ạo hàm riêng cấp 1 của hàm iều kiện . Cụ thể ta có
L'x= 60 + 2 (x – 1) = 2[ (x – 1) + 30]; L 'y = 320 + 8 (y – 1) = 8[ (y – 1) + 40];
L''x2 = 2 , L''y2 = 8 ; L''xy = 0; ’x = 2(x – 1), ’y = 8(y – 1); x > 0, y > 0.
Ta tìm các iểm dừng và nhân tử Lagrange tương ứng LL''yx ==00
((yx− + =− + =1)1) 4030 00 (1)(2) (x y, ) = 0
(x− +1)24(y− =1)2 7300 (3)
Rút x, y theo từ (1), (2) ta ược (1) x− =−1 30 (Hiển nhiên là 0) (4) (2) y− =−1 40
Thay x – 1 và y trong (4) vào (3) ta ược − 30 2 + 4 − 40 2 = 7300 2 = 1
==−1 1 x=−x=2931,,yy=−= 4139.;
Vì x > 0, y > 0 nên ta chỉ nhận iểm dừng duy nhất M(31; 41) ứng với nhân tử = – 1.
Ta dùng Hessian ể kiểm tra iểm dừng M với nhân tử Lagrange này. Ta có '' '' ' LL 20 60 2 xy x x H = '' '' ' LL = 0 83202336000 . 2 xy y y ' ' 0 603200 x y x , 31 y , 41 1
Do ó M(31; 41) là iểm cực ại iều kiện của doanh thu R = R(x, y) và doanh thu tối a là
Rmax = R(31; 41) = 60 31 + 320 41 = 14980.
Kết luận: Trong iều kiện ngân sách sản xuất không ổi B = 2,5 tỷ ồng, doanh nghiệp cần sản xuất lượng
hàng hóa Q1 = 31, Q2 = 41 ( ơn vị hàng hóa tương ứng) ể doanh thu tối a Rmax = 14980 (triệu VNĐ) = 14,98 (tỷ VNĐ).