Đề Thi Tuyển Sinh 10 Toán Chuyên Sở GD Bình Thuận 2025-2026 Có Đáp Án

GIẢI KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT, NĂM 2023 TỈNH BÌNH THUẬN
MÔN: TOÁN (chuyên Toán)
Bài 1. (2,0 điểm) Giải phương trình 2
9x − 53x = 2x +1 − 71. Lời giải. 1
Điều kiện: x  − . 2 4 2  t − 2t +1 2 x = 
Đặt t = 2x +1(t  0) suy ra 4
t = 2x +1(t  0)  
khi đó phương đã cho trở thành: 2  t −1 x =  2  t = 3 (n) t − 3 = 0   7 4 2 t − t − t +
=  (t − )( t + )( 2 9 124 4 399 0 3 3
7 3t + 2t −19) = 0  3t + 7 = 0 
 t = − (l)  3 2
3t + 2t −19 = 0  2
3t + 2t −19 = 0(4)
+ Với t = 3 suy ra 2x +1 = 3  2x +1 = 9  x = 4(nhan)  −1+ 58 t = (nhan) + 2 3
3t + 2t −19 = 0    −1− 58 t = (loai)  3 1 − + 58 1 − + 58 59 − 2 58 25 − 58 +Với t = suy ra 2x +1 =  2x +1 =  x = 3 3 9 9  25− 58  Vậy S = 4;  .  9  
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số nguyên dương n . Biết a và b là hai số nguyên dương thỏa
S(a) = S(b) = S(a + b) . Chứng minh rằng a và b chia hết cho 9 .
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 4 4
x + (x +1) = y + ( y +1) . Lời giải a) Theo giả thiết ta có: a − S  (a) 9  (1)
(do n, S (n) có cùng số dư khi chia cho 9) b − S  (b) 9  (2)
(a +b)− S (a +b) 9  (3) Từ (3) ta có : * a + 
(b−S(a+b)) 9  a+  
(b−S (b)) 9 a 9  * b + 
(a−S (a+b)) 9  b+  
(a−S (a)) 9 b 9 
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 4 4
x + (x +1) = y + ( y +1) . Ta có: Trang 1 2 2 4 4 2 4 3 2
x + (x +1) = y + ( y +1)  x + x = y + 2y + 3y + 2y 2 4 3 2
 x + x +1 = y + 2y + 3y + 2y +1 2
 x + x +1 = ( y + y + )2 2 1 (*)  x(x + )
1 +1 = ( y + y + )2 2 1 (*) x = 0 2 2  y + y +1 =1 + Nếu  thì từ (*) suy ra ( 2 y + y + ) 1 = 1   → y 0;−  1 . x = 1 − 2  y + y +1 = 1 −
Vậy trong trường hợp này phương trình (*) có 4 nghiệm là (0;0),(0;− ) 1 ,( 1 − ;0),( 1 − ;− ) 1 .
+ Nếu x  −1 thì do (x + )2 2 = x + x + = ( 2 x + x + ) 2 2 1 2 1
1 + x  x + x +1  x nên (*) không có nghiệm nguyên.
+ Nếu x  0 thì do ( x + )2 2 = x + x + = ( 2 x + x + ) 2 2 1 2 1
1 + x  x + x +1  x nên (*) không có nghiệm nguyên.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên là (0;0),(0; − ) 1 ,( 1 − ;0),( 1 − ;− ) 1 .
Bài 3. (2,0 điểm) Cho các số dương a,b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc . a b c 3 Chứng minh rằng + +  . 2 2 2
a + bc b + ca c + ab 2 Lời giải 1 1 1
*Ta có ab + bc + ca = 3abc → + + = 3. a b c a 1 1 1 1 1  1 1  * Theo AM – GM ta có: 2 2
a + bc  2 a bc = 2a bc   = .2 .  + . 2   a + bc 2 bc 4 b c 4  b c  b 1  1 1  c 1  1 1 
Chứng minh tương tự ta được:  + và  + . 2     b + ca 4  c a  2 c + ab 4  a b  a b c 1  1 1 1  3 Suy ra + +  + + = (đpcm) 2 2 2  
a + bc b + ca c + ab 2  a b c  2
Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH . Trên cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý ( M không
trùng B, H ,C) . Gọi .
P Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC .
a) Chứng minh rằng MP + MQ = AH .
b) Gọi K là trung điểm của AM . Chứng minh KH ⊥ PQ .
c) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABM . Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của (O) với các cạnh
BM , AB, AM . Vẽ DN vuông góc với EF tại N . Chứng minh BNE = MNF . Lời giải Trang 2 A K E N P F O Q D H M C B
a) Chứng minh rằng MP + MQ = AH .
*Do ABC đều nên AB = AC = BC . 1 1 1 *Ta có S + S = S  M . P AB + M .
Q AC = AH.BC  MP + MQ = AH A  BM A  CM A  BC 2 2 2 Cách 2:
MQC vuông tại Q  0 MQ = MC.sin 60
MPB vuông tại P  0 MP = M . B sin 60 Suy ra: MP + MQ = 0 0
MQ + MP = MC + MB = (MB + MC) 0 0 .sin 60 .sin 60 sin 60 = BC.sin 60 (1)
AHC vuông tại H  0 0
AH = AC.sin 60 = BC.sin 60 (do AC = BC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:MP+MQ = AH.
b) Gọi K là trung điểm của AM . Chứng minh KH ⊥ PQ . Ta có: 0
AHM = AQM = APM = 90 suy ra năm điểm A, Q, M, H, P cùng thuộc một đường tròn
mà HAQ = HAP ( ABC đều có AH là cao đồng thời là phân giác) suy ra HP = HQ  HP = HQ (3).
+Ta có: MQC và MPB vuông lần lượt tại Q và P có QK và PK lần lượt là đường trung AM
tuyến(KA=KM(gt)). KP = KQ = (4). 2
Từ (3) và (4) suy ra: HK là đường trung trực của PQ suy ra: KH ⊥ PQ .
c) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABM . Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của (O) với các
cạnh BM , AB, AM . Vẽ DN vuông góc với EF tại N . Chứng minh BNE = MNF . Trang 3 J F N E I O D M B
+Kẻ BI vuông góc với EF tại I, Kẻ MJ vuông góc với EF tại J,
Ta có : AEF = AFE (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra: IEB = JFC mà 0 BIE = CJF = 90 IE BE BD IN
Ta có: IBE đồng dạng với JMF suy ra: = = = (ta lét) IF MF MD JN IE BE BD IN IN − IE EN Suy ra: = = = = = IF MF MD JN JN − IF FN BE EN suy ra: =
(do t/c tiếp tuyến nên BD=BE và DM =MF) mà BEN = MFN (cùng kề bù với 2 góc MF FN
bằng nhau AEF = AFE ) suy ra: BEN đồng dạng với MFN suy ra: ENB = MNF .
Cách 2: Theo tính chất tiếp tuyến ta có AEF cân tại A nên suy ra AEF = AFE , do đó BEI = MFJ . BI BE BD IN
Từ đây ta được hai tam giác BIE, MJ 
F đồng dạng với nhau (g.g), suy ra = = = MJ MF MD JN BI MJ  =
 hai tam giác BIN, MJ 
N đồng dạng với nhau. Do đó ta được: BNI = MNJ hay IN JN
BNE = MNF (đpcm) Trang 4
Bài 5. (1,0 điểm) Chia bảng vuông có cạnh bằng 23 cm thành các ô vuông có cạnh bằng 1 cm . Ban đầu,
tất cả các ô vuông được điền bởi dấu "+". Sau đó, người ta thực hiện đổi dấu (mỗi lần đổi dấu là chuyển
"+" thành "-", "-" thành "+") trong các ô vuông ở các dòng và các cột của bảng theo qui tắc sau:
- Tất cả các ô của dòng thứ i được đổi dấu i lần (i  và 1  i  23) .
- Tất cả các ô của cột thứ j được đổi dấu 5 j +1 lần ( j  và 1  j  23) .
Hỏi sau khi thực hiện tất cả thao tác đổi dấu, trên bảng còn bao nhiêu dấu "+"? Lời giải
* Theo cách chia ta có bảng ô vuông 23x23; trong đó có 12 dòng mà i lẻ; 11 dòng mà i chẵn và 12
cột mà j lẻ; 11 cột mà j chẵn.
*Theo quy tắc đổi dấu thì ô vuông ở vị trí i  j (dòng thứ i và cột thứ j ) sẽ phải đổi dấu i + (5j+ ) 1 = i + 5j +1 lần. *Do (i + 5j+ )
1 − (i + j) = 4j+1 luôn là số lẻ nên hai số (i + 5j+ )
1 ; (i + j) không có cùng tính chẵn
lẻ. Do đó những ô vuông ở vị trí mà (i + j) lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần (do i + 5j+1 chẵn), nên
những ô này sau khi đổi dấu vẫn mang dấu (+); còn những ô vuông ở vị trí mà (i + j) chẵn sẽ đổi
dấu một số lẻ lần (do i + 5j +1 lẻ), nên những ô này sau khi đổi dấu sẽ mang dấu (-).
*Ta có 1112 +1211 = 264 ô vuông mà (i + j) lẻ, tức là sau khi đổi dấu theo quy tắc trên thì trên
bảng còn lại 264 dấu (+) ----HẾT--- Trang 5