Đề Thi Tuyển Sinh 10 Toán Chuyên Sở GD Hải Dương 2025-2026 Có Đáp Án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG HẢI DƯƠNG
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không tính thời gian phát đề Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (2,0 điểm)
1. Cho hai số a,b thoả mãn các điều kiện .
a b = 1, a + b ¹ 0 . Rút gọn biểu thức: 1 æ1 1 ö 3 æ1 1 ö 6 Q = ç ÷ + + ç ÷ ç ÷ + + ç ÷ (a + b)3 3 3 çèa b ÷ø ( ç ÷ a + b + )2 2 2 2 2 2 èa
b ø (a + b)4
2. Cho hai số dương x, y thoả mãn 2 2
x y +1 + y x +1 = 15 . Tính giá trị của biểu thức:
P = ( 2x + − x)( 2 1 y +1 − y) Câu 2 (2,0 điểm) 2 x + 2x - 3 1. Giải phương trình: 2
x + 3x + 2 x - 1 = 2x + x
ìï xy + 2x + y = 2
2. Giải hệ phương trình: ïí 2 2
ï x + y + 2x + 4y = 3 ïî Câu 3 (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên tố p lẻ sao cho 4 2
2 p - p + 16 là số chính phương.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2
6x + 7xy + 2 y + x + y - 2 = 0 . Câu 4 (3,0 điểm)
1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) , điểm E thuộc cung nhỏ AB của
đường tròn (O) (E  ,
A E  B) . Đường thẳng AE cắt các tiếp tuyến tại B,C của đường tròn
(O) lần lượt tại M, N . a) Chứng minh rằng 2 . MB NC = AB .
b) Gọi F là giao điểm của MC và BN , H là trung điểm BC . Chứng minh rằng ba điểm
E, F, H thẳng hàng.
2. Cho đường tròn (O) và hai điểm ,
A B cố định nằm trên đường tròn (O) sao cho · 0
AOB = 120 . Điểm M thay đổi trên cung lớn »
AB của đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp
tam giác MAB tiếp xúc với M ,
A MB lần lượt tại E, F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn
tiếp xúc với một đường tròn cố định. Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a,b,c là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 10 + + ³ 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a
(a + b + c)2 ---------HẾT--------- Họ và tên thí sinh:
………………………………………… Số báo danh:
………………………………
Cán bộ coi thi số 1 …………………………………………Cán bộ coi thi số 2 ………………………. Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn thi: TOÁN (chuyên)
(Hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu Ý Nội dung Điểm
Cho hai số a,b thoả mãn các điều kiện .
a b = 1, a + b ¹ 0 . Rút gọn biểu thức: 1 æ1 1 ö 3 æ1 1 ö 6 Q = ç ÷ + + ç ÷ ç ÷ + + ç ÷ (a + b)3 3 3 çèa b ÷ø ( ç ÷ a + b + )2 2 2 2 2 2 èa
b ø (a + b)4
Ta có: a + b + = (a + b)2 2 2 2 Nên 1 æ1 1 ö 3 æ1 1 ö 6 Q = ç ÷ + + ç ÷ ç ÷ + + ç ÷ (a + b)3 3 3 çèa
b ÷ø (a + b)4 2 2 çèa
b ÷ø (a + b)4 0,25 a + b 3( 2 2 3 3 a + b ) 6 = + + (a + b)3 (a + b)4 (a + b)4 ( 3 3
a + b )(a + b)+ 3( 2 2 a + b )+ 6 = (a + b)4 4 4 2 2 2 2 1
a + b + ab(a + b )+ 3(a + b )+ 6 = (a + b + )2 2 2 2 0,25 4 4 a + b + 4( 2 2 a + b )+ 6 1 = 2 2 2 (2 điểm) (a + b + ) 2 ( 4 4 2 2
a + b + 2a b )+ 4( 2 2 a + b )+ 4 = (a + b + )2 2 2 2 0,25 (a + b )2 2 2 + 4( 2 2 a + b )+ 4 = (a + b + )2 2 2 2 (a + b + )2 2 2 2 = (a + b + )2 2 2 2 0,25 = 1
Cho hai số dương x, y thoả mãn 2 2
x y +1 + y x +1 = 15 . Tính giá trị của biểu thức:
P = ( 2x + − x)( 2 1
y +1 − y) 2 2 2 P = x + y + + xy − ( 2 2 x y + + y x + ) 2 2 1 1 1
1 = x +1 y +1 + xy − 15 0,25 Đặt 0,25 Trang 2 2 2 2
M = x +1 y +1 + xy  M = ( 2 x + ) 1 ( 2 y + ) 2 2 2 2
1 + x y + 2xy x +1. y +1 2 2 2 2 2 2
= 2x y + x + y +1+ 2xy x +1. y +1 2 = x ( 2 y + ) 2 1 + y ( 2 x + ) 2 2
1 + 2x y +1.y x +1 +1 0,25
= (x y +1+ y x +1)2 2 2 +1
= 16  M = 4 . Vậy P = 4 − 15 . 0,25 2 Giải phương trình: x + 2x - 3 2
x + 3x + 2 x - 1 = 2x + x ìïïï 2 ï x + 3x ³ 0 ï
Điều kiện: ïí x- 1³ 0 Û x ³ 1 0,25 ïï 2 ï x + 2x- 3 ïï ³ 0 ïïî x Phương trình trở thành (x- ) 1 (x + ) 3 x(x + )
3 + 2 x - 1- 2x - = 0 x æ ç (x ) 1 (x ) 3 ö - + ÷ Û ç x ç (x + ) 3 ÷ - + ÷ ç
÷ (2 x - 1- 2x)= 0 1 ç x ÷ è ø x + 3 Û (x- x- ) 1 - 2(x- x- ) 1 = 0 0,25 x Û ( æ ö + x - x - ) x 3 1 çç - 2÷÷= 0 ççè x ÷÷ø x é - x- 1 = 0 x é = x- 1 ( ) 1 2 ê ê ê ê Û (2 điểm) ê x + 3 ê x + 3 ê - 2 = 0 ê = 2(2) êë x êë x ( ) 2 2
1 Û x = x- 1 Û x - x + 1= 0 (vô nghiệm) 0,25 ( ) x + 3 2 Û
= 4 Û x + 3 = 4x Û x = 1 (Thoả mãn điều kiện) 0,25 x
ìï xy + 2x + y = 2
Giải hệ phương trình: ïí 2 2
ï x + y + 2x + 4y = 3 ïî ìï (x + ) 1 (y + 2)= 4
Hệ phương trình đã cho trở thành ïí ïï(x+ )2 1 + (y + 2)2 = 8 ïî 0,25 ìï a = x + 1 ìï . a b = 4 Đặt ïí ta được hệ ïí ï b = y + 2 2 2 ï a + b = 8 2 ïî ïî ìï ab = 4 ìï ab = 4 ï ï Û í Û í
ïï(a + b)2 - 2ab = 8 ï î ï (a + b)2 = 16 î éìï ab = 4 ìï ab = 4 ïêí ( ) 1 0,25 ï êï ï a + b = 4 ï Û í a + b = 4 ïîê é Û ê ï ê ì ï ïê ab = 4 ï a ê + b = - 4 ï ïî ë íê (2) ïê a + b = - 4 ïîë Trang 3 ìï a = 2 ìï x = 1 ( ) 1 ï ï Û í Þ í 0,25 ï b = 2 ï y = 0 ïî ïî ìï a = - 2 ìï x = - 3 ( ) 2 ï ï Û í Þ í 0,25 ï b = - 2 ï y = - 4 ïî ïî
Tìm tất cả các số nguyên tố p lẻ sao cho 4 2
2 p - p + 16 là số chính phương. Đặt 4 2
A = 2 p - p + 16 Với p = 3 thì 2
A = 169 = 13 là số chính phương. Vậy p = 3 thoả 0,25 mãn. 1 Với 2 p > 3 thì 2 p º ( 1 mod ) 3 . Suy ra 4 p = ( 2 p ) º ( 1 mod ) 3 0,25 Suy ra 4 2
A = 2 p - p + 16 º 2.1- 1+ 16 º 2(mod ) 3 0,25
Do các số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1 nên A không là 0,25 số chính phương.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2
6x + 7xy + 2 y + x + y - 2 = 0 . Ta có phương trình 3 2 2
6x + 7xy + 2y + x + y - 1= 1 (2 điểm) 2 Û 6x + (7 y + ) 2
1 x + 2y + y - 1= 1 0,25 Û (2x + y + ) 1 (3x + 2y - ) 1 = 1
2x + y +1 =1  ( ) 1 2 3
 x + 2y −1 = 1  0,25
2x + y +1 = −1  (2)  3
 x + 2y −1 = −1 ( ) x = 2 − 1   0,25 y = 4 ( ) x = 4 − 2   0,25 y = 6
1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) , điểm E thuộc cung
nhỏ AB của đường tròn (O) (E  ,
A E  B) . Đường thẳng AE cắt các tiếp
tuyến tại B,C của đường tròn (O) lần lượt tại M , N . a) Chứng minh rằng 2 . MB NC = AB . N A E 4 1 M (3 điểm) O F B I H C Ta có 0
ABM = ACB = BAC = 60  BM / / AC  BMA = CAN ( ) 1 0,25
Tương tự ta có CN / / AB  BAM = CNA (2) 0,25
Từ (1) và (2) ta có AMB đồng dạng NAC (g-g) 0,25 Trang 4 MB AB 2  =  M . B NC = A . B AC  M . B NC = AB 0,25 AC NC
b) Gọi F là giao điểm của MC và BN , H là trung điểm BC . Chứng minh
rằng ba điểm E, F, H thẳng hàng. N A E M O F B I H C
Gọi I là giao điểm của EF và BC . Từ a) suy ra 0,25 MB BC 2 2 M . B NC = BC  = (3) BC NC Mặt khác 0 0 0
MBC = MBA + ABC = 60 + 60 = 120 . Tương tự 0 BCN = 120
Suy ra MBC = BCN (4)
Từ (3) và (4) ta có MBC đồng dạng BCN (c-g-c). Suy ra BMC = NBC Ta có 0 0
BFM = BCF + FBC = BCF + BMC = 180 − MBC = 60 (5)
Do BEAC nội tiếp nên 0
BEM = BCA = 60 (6) 0,25
Từ (5) và (6) ta có BFM = BEM . Suy ra BMEF nội tiếp
BEF = BMF = NBC = FBI . Do đó IBF đồng dạng IEB (g-g). Suy IB IF 0,25 ra 2 =
 IB = IE.IF (7) IE IB
Chứng minh tương tự ta có 2
IC = IE.IF (8) . 0,25
Từ (7) và (8) suy ra IB = IC  I  H . Vậy E, F, H thẳng hàng.
2. Cho đường tròn (O) và hai điểm ,
A B cố định nằm trên đường tròn (O) sao cho · 0
AOB = 120 . Điểm M thay đổi trên cung lớn »
AB của đường tròn (O).
Đường tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với M ,
A MB lần lượt tại E, F .
Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. M 3 K F J E H O A B D I
Gọi I là trung điểm của AB . Vẽ AH , IJ , BK cùng vuông góc EF . 0,25 Trang 5 Ta có 0 0
AOB = 120  AMB = 60 , hơn nữa ME = MF nên tam giác MEF đều. Tam giác vuông 3 3 AHE có 0 AH = AE.sin 60 = .AE = .AD ( ) 1 2 2 0,25 Tam giác vuông 3 3 BKF có 0 BK = BF.sin 60 = BF = BD (2) 2 2
Cộng vế (1) và (2) ta có 3 3 3 0,25 AH + BK = AB  2IJ = AB  IJ = AB không đổi. 2 2 4
Vì điểm I cố định nên EF tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I , 0,25 bán kính 3 AB . 4
Cho a,b,c là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng: 1 1 1 10 + + ³ ( ) * 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a
(a + b + c)2
Giả sử c = mina, , b  c . Khi đó : 2  c 2 2 2 2 
c  a  c  ac  a + c  a + ac  a +    2  2  c 0,25 2 2 2 2 
c  b  c  bc  b + c  b + bc  b +    2  2 2  c   c 2 2 
a + b  a + + b +      2   2  1 1 1 5 VT ( ) * ³ + + 2 2 2 2 æ c ö æ c ö æ c ö æ c ö (1 điểm) a ç ÷ + ç ÷ + b ç ÷ + ç ÷ b ç ÷ + ç ÷ a ç ÷ + ç ÷ çè 2÷ø çè 2÷ ø çè 2÷ ø çè 2÷ ø 0,25 Đặt c c
x = a + ; y = b +
. Khi đó x > 0, y > 0 và x + y = a + b + c . 2 2 Ta có VT ( ) 1 1 1 * ³ + + 2 2 2 2 x + y y x 1 2 1 1 3 4 3 ³ + = + + ³ + 2 2 2 2 2 2 x + y xy x + y 2xy 2xy
x + y + 2xy 2xy 4 3 4 2 10 10 0,25 = + ³ + 3. = = = VP( ) *
(x + y)2 2xy (x + y)2
(x + y)2 (x + y)2 (a + b + c)2 ìï c = 0 ìï c = 0 Dấu bằng xảy ra khi ï ï í Û í
. Do vai trò của a,b,c bình đẳng ï x = y ï a = b ïî ïî 0,25 nên dấu “=” của ( )
* xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a,b,c có một số
bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau.
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Trang 6