Đề Thi Tuyển Sinh 10 Toán Chuyên Sở GD Quảng Ninh 2025-2026 Có Đáp Án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH QUẢNG NINH
Môn thi: Toán (chuyên)
(Dành cho thí sinh thi vào Trường THPT Chuyên Hạ Long) ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
(Đề thi này có 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm)  5 + 4 x 2 3   5 − 6 x  Cho biểu thức P =  − +  :  x +  với
 2x + 5 x −12 2 x − 3 x + 4   x + 4  9
x  0, x  . 4
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2
x + x − 6 = 3(x − 2) x +1. 2
x − 2x − xy + y +1 = 0 
b) Giải hệ phương trình  . 2 2
x + 3x − y + 5x −1 − 2 = 0 
Câu 3. (1,75 điểm)
a) Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn 2 x − y và 2
x + y đều là các số chính
phương. Chứng minh y là số chẵn.
b) Tìm các số nguyên dương a,b thỏa mãn 3 2 3
a − 2(a + b) = b +19 .
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn tâm O . Hai đường cao
BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H . Tia phân giác của góc BAC cắt đường thẳng
BD và đường tròn (O) theo thứ tự tại M và I ( I khác A ). Đường thẳng BD cắt đường tròn
(O) tại K ( K khác B ), hai đường thẳng AC và IK cắt nhau tại Q , hai đường thẳng QH và
AB cắt nhau tại P . Chứng minh:
a) Tứ giác AMQK nội tiếp;
b) Tam giác APQ cân tại A; 1 1 1 c) + = . BC DE MQ
Câu 5. (0,75 điểm)
Trên bảng cho 2023 số nguyên phân biệt, mỗi số đều có dạng 2 2
a + b trong đó a, b là các
số nguyên. Mỗi lần ta thực hiện một phép biến đổi như sau: Xóa hai số tùy ý rồi viết thêm một
số bằng tích của hai số vừa xóa. Hỏi sau một số lần biến đổi, trên bảng có số bằng 2023 26.3 hay
không? Giải thích tại sao?
............................. Hết ...........................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: ............................................
Chữ kí của cán bộ coi thi 1:..................................... Chữ kí của cán bộ coi thi 2:..................................... Trang 0
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH TỈNH QUẢNG NINH VÀO LỚP 10 THPT
Môn thi: Toán (chuyên) ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Dành cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên Hạ Long)
(Hướng dẫn này có 02 trang) Câu
Sơ lược lời giải Điểm
 5 + 4 x − 2( x + 4) + 3(2 x − 3)   x + 4 x + 5 − 6 x  a) P =   :   0,25 
(2 x − 3)( x + 4)   x + 4   8 x −12
  x − 2 x + 5  P =   :   0,5
 (2 x − 3)( x + 4)   x + 4  1 4 x + 4 4 P = . = . 0,25 (2,0 đ)
x + 4 x − 2 x + 5 x − 2 x + 5 9 b) Ta có x − x + = ( x − )2 2 5
1 + 4  x − 2 x + 5  4 với x   0, x  . 0,5 4 9
Khi đó P  1 với x
  0, x  . Dấu “ = ” xảy ra khi x = 1. 0,25 4
Giá trị lớn nhất của P là 1 khi x = 1 0,25
a) Điều kiện: x  −1 0,25 Ta có 2
x + x − 6 = 3(x − 2) x +1  (x − 2)(x + 3) − 3(x − 2) x +1 = 0
 (x − 2)(x + 3 − 3 x +1) = 0  x = 2 (thỏa mãn đk) hoặc x + 3 − 3 x +1 = 0 0,25 2
x + 3 − 3 x +1 = 0  x + 3 = 3 x +1  x − 3x = 0  x = 0; x = 3 (thỏa mãn đk) 1 2 0,5
Tập nghiệm của phương trình là S = 0;2;  3 . 2 b) 2
x − 2x − xy + y +1 = 0  (x −1)(x −1− y) = 0  x = 1 hoặc y = x −1 0,25
(2,0đ) Với x =1 ta có phương trình 2y + 4 = 2  y = 0 0,25
Với y = x −1 ta có phương trình 2 2
x + 3x − x + 3x − 2 = 0 0,25 Đặt 2
t = x + 3x, t  0, pt trở thành 2
t − t − 2 = 0  t = 1
− (loại), t = 2 (thỏa mãn) 1
Với t = 2 ta được 2
x + 3x − 4 = 0  x = 1; x = 4 − . 1 2 0,25
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (1;0);( 4 − ; 5 − ) . a) 2 2 2 2
x − y = a ; x + y = b với a,b là các số tự nhiên 2 2
 2y = b − a 0,25 Ta có 2 2
b − a là số chẵn suy ra a,b là hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ 0,5
 (b − a)(b + a) 4  y 2. 3 b) 3 2 3 2 2
a − 2(a + b) = b +19  (a − b − 2)(a + ab + b ) = 2ab +19 0,25 (1,75đ) Vì 2 2
2ab +19  0, a + ab + b  0  a − b − 2  1  a − b  3 0,25 Từ 2 2
a − b − 2  1  a + ab + b  2ab +19  (a − b)2  19  a − b  4
Vì 2ab +19 lẻ  a − b − 2 lẻ  a − b lẻ  a − b = 3 0,25 Từ 2
a − b = 3  b + 3b −10 = 0  b = 5
− (loại) hoặc b = 2 . Vậy b = 2;a = 5. 0,25 4
a) BKI = BAI (nội tiếp (O) cùng chắn BI ) 0,5 Trang 1
(3,5đ) mà BAI = IAC  MAQ = MKQ  tứ giác AMQK nội tiếp 0,5
b) Tứ giác AMQK nội tiếp  MQA = MKA , lại có BKA = BCA(nội tiếp (O) cùng 0,5
chắn AB )  MQA = BCA  MQ // BC
H là trực tâm của  ABC nên AH ⊥ BC  MQ ⊥ AH 0,25
 AHQ có HD ⊥ AQ, MQ ⊥ AH nên M là trực tâm  AM ⊥ HQ 0,25
 APQ có AM là phân giác, AM là đường cao nên  APQ cân tại A. 0,25
c) Gọi N là giao điểm của AI và CE. AIK = ABK (nội tiếp (O) cùng chắn AK ),
ABD = ACE (cùng phụ với BAC )  NIQ = NCQ  tứ giác NICQ nội tiếp  0,25 QNC = QIC Có 0
BEC = BDC = 90 nên tứ giác BEDC nội tiếp  DEC = DBC , KBC = KIC 0,25
(nội tiếp (O) cùng chắn KC )  QNC = DEC  NQ // ED
Tứ giác NICQ nội tiếp nên MNQ = QCI , tứ giác AMQK nội tiếp nên QMN = AKQ
mà AKI = ACI (nội tiếp (O) cùng chắn AI )  QMN = QNM   QMN cân 0,25  QM = QN. MQ DQ NQ CQ MQ // BC  = , NQ // ED  =
, lại có MQ = NQ nên BC DC ED CD 0,5 MQ MQ DQ CQ + = + = 1 1 1 1  + = . BC DE DC CD BC DE MQ
Do đẳng thức ( + )( + ) = ( + )2 + ( − )2 2 2 2 2 x y z t xz yt
xt yz nên sau mỗi lần biến đổi, 0,25 5
các số trên bảng luôn có dạng 2 2 a + b (0,75đ) Do 2
a  0,1,4 (mod8) nên 2 2
a + b  0,1,2,4,5 (mod8) 0,25 Vì 2023 1011 26.3  26.3.9  6 (mod8) nên số 2023 26.3 không có trên bảng. 0,25
Những chú ý khi chấm thi: A
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược cách K
giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt
chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ D
chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết.
3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không Q M
dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm. E
Điểm thống nhất toàn bài là tổng số điểm các bài đã P H N
chấm, không làm tròn. B
.............. Hết .............. C I Trang 2