48 trang 9 lượt tải

Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

17

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu  thức. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có). Cho hai số không âm avà b thỏa mãn. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 271 tài liệu

Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

4 tuần trước
Danh sách Quiz
/48
Trang 1
DẠNG 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
A. Bài toán
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( )
( )
2
1 2 1 2 3 1 2017A x x x x= − − − − +
Bài 2: a) Tìm GTLN :
22
5 2 4 8 2015x y xy x y+ + − − +
b) Tìm GTLN :
( )
32
31
1
x
x x x
+
+ + +
Bài 3: Cho
1.ab+=
Tìm giá trị nhỏ nhất (
)GTNN
của biểu thức
( ) ( )
22
2A a a b b b a= + + −
Bài 4: Cho
,,abc
là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài 5: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện
0 1.x
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
22
22
1
21
xx
P
xx
−
=+
−+
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( )
22
2012 2013P x x= − + +
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2015
,
3
A
x
=
−
với
x
là số nguyên.
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a)
3 1 2 4 3A x x x= + + + − +
b)
2
2
14 8 9
3 6 9
xx
B
xx
−+
=
++
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2
2
34A x x= + +
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
( )( )( )( )
()
1 3 4 6 10
x
A x x x x= − − − − +
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
13 4 2 16 2015A x y xy y x= + + − − +
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của


Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 3 2
2 3 4 5A a a a a= − + − +
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2 8 1E x x= − +
Bài 15:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
22
2 2 4 5A x xy y y= − + − +
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
32
31
1
x
B
x x x
+
=
+ + +
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
22
2 3 4 8 2 18A x y xy x y= + + − − +
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):
2
4 4 5M x x= + +
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
2 2 8 2028B x y xy x= + + − +
Bài 19: Cho biểu thức
4 2 2
6 4 2 4 2
2 1 3
1 1 4 3
x x x
M
x x x x x
+ − +
= + −
+ − + + +
Trang 2
a) Rút gọn
M
b) Tìm giá trị lớn nhất của
M
Bài 20: Cho
,0xy
thỏa mãn
2 5.xy+
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
1 24
2H x y
xy
= + + +
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( )
22
2 6 12 24 3 18 2045B xy x y x x y y= − + + − + + +
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
22
4 2010P x y x y= + − + −
Bài 23: Cho biểu thức
22
2
1 1 2
:
2 1 1
x x x x
P
x x x x x

+ + −
= + +

− + −

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn
P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
khi
1x
Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2010x 2680
A
x1
+
=
+
Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( )
( )
2
A x 1 2x 1 2x 3x 1 2017= − − − − +
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
2
2
x x 1
A
x x 1
++
=
−+
Bài 27:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
22
A x 2xy 2y 4y 5= − + − +
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
32
3 x 1
B
x x x 1
+
=
+ + +
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P x 2006 x 2007 2006= − + − +
Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2010x 2680
A
x1
+
=
+
Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
,A
biết:
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 2 2
1 3 6 1 . 3A x x x x= − + − + − −
Bài 31.
Cho
,,x y z
là các số dương thỏa mãn
1x y z+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
16 4
P
x y z
= + +
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất :
22
2 6 12 2 45A x xy y x y= − + − + +
Bài 33.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
2
3 6 10
23
xx
B
xx
++
=
++
Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a
2
+ b
2
+ c
2
.
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
3 2 3
1
−+
=
+
xx
C
x
.
Bài 36. Cho
3ab+=
. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
ab+
Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
87
1
xx
P
x
−+
=
+
Trang 3
Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
42C x x= − +
Bài 39. Cho các số thực dương
,,x y z
thỏa mãn
3x y z+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
1 1 1
P
x x y y z z
= + +
+ + +
Bài 40: Cho
,,x y z
là các số thực dương thỏa mãn:
1.x y z+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
16 4
M
x y z
= + +
Bài 41: Cho
a 0; b 0
và
22
a b 10.+=
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
11
Q
ab
=+
Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )( )
( )
2
A x 2 x 5 x 7x 10= − − − −
Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 3 2
P x 2x 3x 2x 1= + + + +
Bài 44: Cho hai số không âm
a
và
b
thỏa mãn:
22
a b a b.+ = +
Tính giá trị
lớn nhất của biểu thức:
ab
S
a 1 b 1
=+
++
Bài 45: Cho
x,y,z
là các số dương thỏa mãn
x y z 1.+ + =
Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
1 1 1
P
16x 4y z
= + +
Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
( ) ( )
22
P x 2012 x 2013= − + +
Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( )
22
B xy x 2 y 6 12x 24x 3y 18y 2045= − + + − + + +
Bài 48: Cho biểu thức
4 2 2
6 4 2 4 2
x 2 x 1 x 3
M
x 1 x x 1 x 4x 3
+ − +
= + −
+ − + + +
a) Rút gọn
M
b) Tìm giá trị lớn nhất của
M
Bài 49: Cho
x,y 0
thỏa mãn
x 2y 5.+
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
1 24
H x 2y
xy
= + + +
Bài 50: Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
22
P x y 4 x y 2010= + − + −
Bài 51: Cho
, , 0;1abc
và
2.abc+ + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
P a b c= + +
Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
22
2 2 4 5A x xy y y= − + − +
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
32
31
1
x
B
x x x
+
=
+ + +
Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2010 2680
1
x
A
x
+
=
+
Bài 54: Tìm các giá trị của
x
để biểu thức:
( )( )( )( )
1 2 3 6P x x x x= − + + +
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
22
4 2010P x y x y= + − + −
Trang 4
Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2 – 8 1.E x x=+
Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 4x
2
+ 4x + 5
Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Bài 59: Tìm giá trị của biến x để:
a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 60: : a) Tìm GTLN của
b) Tìm GTNN của biểu thức , với
Bài 61: Tìm GTNN của:
a) ; b) ;
c)
Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTLN của
Bài 64: a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTNN của
Bài 65: a) Tìm GTNN của biết
b) Tìm GTNN của
c) Tìm GTNN của
d) Tìm GTLN của với
Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của
tương ứng.
Bài 67: Cho
,0xy
thỏa mãn
2 5.xy+
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
1 24
2H x y
xy
= + + +
GTLN
Bài 68: Cho hai số không âm
a
và
b
thỏa mãn:
22
.a b a b+ = +
Tính giá trị lớn
nhất của biểu thức:
11
ab
S
ab
=+
++
Bài 69: Cho hai số dương
,ab
thỏa mãn:
22
2ab+=
Tìm giá trị nhỏ nhất của
33
2016 2017 2017 2016
ab
M
a b a b
=+
++
Bài 70: Cho
,,x y z
là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
4 4 4
x y z++
biết
2x y z+ + =
2
2
23
2
xx
A
x
++
=
+
P
xx
2
1
26
=
++
xx
Q
xx
2
2
1
21
++
=
++
( )
4 2 4A x x= − − −
92
2
x
B
xx
=+
−
02x
16
2007, 3
3
A x x
x
= + +
−
2
2
2 2018
,0
2018
xx
Bx
x
−+
=
3
2000
,0
x
Cx
x
+
=
31xy+=
22
3M x y=+
N xy=
2 3 7xy+=
83
Q
xy
=+
22
A x y xy x y= − − + + +
1xy+=
33
A x y=+
22
5 2 4 2 4 2023B x y xy x y= + + − + +
22
A x y=+
4xy+=
( )
2
4
3B x x= + −
( )( )( )( )
1 3 5 7C x x x x= − − + +
( )
( )
2
2019
x
Dx
x
=
+
0x
( )
2
2 3 4 2 3 7Q x x= − − − +
x
Trang 5
Bài 71: Tìm các giá trị của
x
để biểu thức:
( )( )( )( )
1 2 3 6P x x x x= − + + +
có giá trị
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 3 2
4 7 12 20L x x x x= − + − +
Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2010 2680
1
x
A
x
+
=
+
Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( )
22
2 6 12 24 3 18 2045B xy x y x x y y= − + + − + + +
Bài 75: Cho
, , 0.x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
xyz
P
y z z x x y
= + +
+ + +
Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Bài 77: Tìm giá trị của biến x để:
a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ
nhất
Bài 78: a) Tìm GTLN của
b) Tìm GTNN của biểu thức , với
Bài 79: Tìm GTNN của:
a) ; b) ; c)
Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
b) Tìm GTLN của
Bài 82: a) Tìm GTNN của biết
b) Tìm GTNN của
c) Tìm GTNN của
d) Tìm GTLN của với
Bài 83: : a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTNN của
Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của
tương ứng.
Bài 85: Cho
0; 0ab
và
22
10.ab+=
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
11
Q
ab
=+
Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



2
2
23
2
xx
A
x
++
=
+
P
xx
2
1
26
=
++
xx
Q
xx
2
2
1
21
++
=
++
( )
4 2 4A x x= − − −
92
2
x
B
xx
=+
−
02x
16
2007, 3
3
A x x
x
= + +
−
2
2
2 2018
,0
2018
xx
Bx
x
−+
=
3
2000
,0
x
Cx
x
+
=
31xy+=
22
3M x y=+
N xy=
2 3 7xy+=
83
Q
xy
=+
22
A x y xy x y= − − + + +
22
A x y=+
4xy+=
( )
2
4
3B x x= + −
( )( )( )( )
1 3 5 7C x x x x= − − + +
( )
( )
2
2019
x
Dx
x
=
+
0x
1xy+=
33
A x y=+
22
5 2 4 2 4 2023B x y xy x y= + + − + +
( )
2
2 3 4 2 3 7Q x x= − − − +
x
Trang 6
Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a
2
+ b
2
= a + b. Tính giá trị lớn
nhất của biểu thức:


Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :


Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
󰇛

󰇜
󰇛

󰇜
Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2010 2680
1
x
A
x
+
=
+
Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x +
3z = 51 với x, y, z
0
b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B =
2
43
1
x
x
+
+
Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 2 2
2 3 1 9P x x x= − − − −
.
Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
22
2012
20( ) 2213
P
x y x y
=
+ − + +
Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c =
3
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = a
2
+ b
2
+ c
2
Bài 95: Cho hai số dương
,xy
có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
22
11
(1 )(1 )Q xy
xy
= − − +
Bài 96: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số
thực thoả mãn điều kiện: .
Bài 97:
a) Cho
1 2 2
, ,..., , *
m
a a a m N
thoả mãn
1 2 2
...
m
a a a
.
Tìm GTNN của biểu thức
1 2 2 1 2
...
mm
A x a x a x a x a
−
= − + − + + − + −
.
b) Cho
1 2 2 1
, ,..., , , 2
m
a a a m N m
−

thoả mãn
1 2 2 1
...
m
a a a
−
.
Tìm GTNN của biểu thức
1 2 2 2 2 1
...
mm
B x a x a x a x a
−−
= − + − + + − + −
.
Bài 98:
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho
22
5mn+
. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
1Q m n mn= + + +
.
Bài 99: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
2
34
22
x
K
x
−
=
+
Bài 100: Cho
x,y,z
là các số thực dương thỏa mãn:
x y z 1.+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
M
16x 4y z
= + +
Bài 101: Cho các số thực dương
x,y,z
thỏa mãn
x y z 3+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
1 1 1
P
x x y y z z
= + +
+ + +
Bài 102: Cho hai số
x,y
thỏa mãn điều kiện
( )
2
2 2 2 2 2 2
x y 4x y x 2y 0.− + + − =
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
A x y=+
Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
22
4 2010P x y x y= + − + −
1P xy=−
2013 2013 1006 1006
2x y x y+=
Trang 7
Bài 104: Cho
,,x y z
là các số dương thỏa mãn
1.x y z+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1 1 1
.
16 4
P
x y z
= + +
Bài 105: Cho
,,abc
là 3 số dương thỏa mãn:
1 1 1
2.
1 1 1abc
+ + =
+ + +
Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
.Q abc=
Bài 106: Cho
6 5 1.ab−=
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
4 25ab+
Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
1M x y xy x y= + − − + +
Bài 108: Cho
,0ab
và
1.ab+=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
22
11
11M
ab
= + + +
Bài 109:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
22
2 2 4 5A x xy y y= − + − +
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
32
31
1
x
B
x x x
+
=
+ + +
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
2 2 2 4 2013A x y xy x y= + + + − +
Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( )
( )
2
2 5 7 10A x x x x= − − − −
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )( )
( )
2
1 2 1 2 3 1 2017A x x x x= − − − − +
Lời giải
Trang 8
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
2
22
22
22
) 1 2 1 2 3 1 2017
2 3 1 2 3 1 2017
2 3 1 2017 2 3 2016 2016
a A x x x x
x x x x
x x x x
= − − − − +
= − + − − +
= − − + = − +
Dấu
""=
xảy ra
( )
2
0
2 3 0 2 3 0
3
2
x
x x x x
x
=
− = − =
=
Vậy
min
0
2016
3
2
x
A
x
=
=
=
Bài 2: a) Tìm GTLN :
22
5 2 4 8 2015x y xy x y+ + − − +
b) Tìm GTLN :
( )
32
31
1
x
x x x
+
+ + +
Lời giải
a) P=
22
5 2 4 8 2015x y xy x y+ + − − +
Bài 1.
22
5 2 4 8 2015= + + − − +P x y xy x y
( )
( )
2 2 2
2 4 4 4 4 1 2010= + + − + + + − + +P x xy y x y y y
( ) ( )
( ) ( )
22
22
4( ) 4 2 1 2010
2 2 1 2010 2010
= + − + + + − +
= + − + − +
x y x y y
x y y
Suy ra
31
2010 ;
22
MinP x y= = =
b)
( )
32
31
1
x
Q
x x x
+
=
+ + +
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
22
2
3 1 3 1
3
1 1 1
11
xx
x x x x
xx
++
= = =
+ + + +
++
Q đạt GTLN
2
1x+
đạt GTNN mà
2
11x +
GTLN
của C là
30x=
Bài 3: Cho
1.ab+=
Tìm giá trị nhỏ nhất (
)GTNN
của biểu thức
( ) ( )
22
2A a a b b b a= + + −
Lời giải
Do:
11
1,
22
a b a x b y+ = = + = +
với
0xy+=
Ta có:
( ) ( )
2 2 3 3 2 2
2A a a b b b a a b ab a b= + + − = + + = +
22
22
1 1 1 1
2 2 2 2
x y x y
= + + + = + +
( )
11
0
22
GTNN A x y a b = = = = =
Bài 4: Cho
,,abc
là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Trang 9
Lời giải
1 1 1 3
a a b b c c a b a c b c
P
b c a c a b b a c a c b
= + + + + + + + + = + + + + + +
3 2 2 2 9P + + + =
Vậy
min
9P a b c= = =
Bài 5: Cho số thực
x
thỏa mãn điều kiện
0 1.x
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
22
22
1
21
xx
P
xx
−
=+
−+
Lời giải
Đặt
2
,0 1.x a a=
Biểu thức đã cho trở thành:
1 1 2 2
1 1 2 2
2 1 2 1 2 1
−−
= + = + + + − = + −
− + − + − +
a a a a
P
a a a a a a
( )( ) ( )
33
2 1 2 1
2 1 2 1
= − = −


− + + −
a a a a
*) Vì
0 1.a
3
2 1 1
2
P

− =


Đẳng thức xảy ra khi
00
.
11
ax
ax
==


==

Vậy
0
1
1
x
MinP
x
=
=
=
*)
01a
nên
a
và
1 a−
là hai số không âm
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
( )
( )
1
1 3 2
1 2 1
1
4 4 3
2
4
aa
a a P


+−
− = − =


+

Đẳng thức xảy ra khi
1
1
2
a a a= − =
hay
2
11
22
xx= =
Vậy
21
32
MaxP x= =
Bài 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
( ) ( )
22
2012 2013P x x= − + +
Lời giải
Ta có:
Trang 10
( ) ( )
22
22
2
2
2012 2013 4024 4048144 4026 4052169
1
2 2 8100313 2 8100312,5 8100312,5
2
P x x x x x x
x x x x
= − + + = − + + + +

= + + = + +


Vậy
1
8100312,5
2
MinP x= = −
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2015
,
3
A
x
=
−
với
x
là số nguyên.
Lời giải
- Xét
3 3 0 0x x B −
- Xét
3x
thì do
x
nên
0;1;2x
+ Khi
0 403xB= = −
+ Khi
1 1 503,75x x B= = = −
+ Khi
2 2 2015x x B= = = −
Vậy
min 2015 2Bx= − =
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a)
3 1 2 4 3A x x x= + + + − +
b)
2
2
14 8 9
3 6 9
xx
B
xx
−+
=
++
Lời giải
a) Áp dụng tính chất
,aa
dấu
""=
xảy ra
0,a
ta có:
3 1 2 4 3 3 1 2 4 3 6 6A x x x x x x A= + + + − + + + − − + =
Dấu “=” xảy ra
3 1 0x +
và
1
20
3
xx
−
+
và
2x −
1
3
x −
Vậy
1
min 6
3
Ax
−
=
b) Ta có
2
2
2 14 8 9 2
3 3 6 9 3
xx
B
xx
−+
− = −
++
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
22
2
2
2
2
2
14 8 9 2 2 3
3 2 3
21
12 12 3
3 2 3
12
− + − + +
=
++
−
−+
==
++
++
x x x x
xx
x
xx
xx
x
Với mọi
,x
ta có:
( ) ( )
22
3 2 1 0, 1 2 2 0xx− + +
( )
( )
2
2
21
2 2 1
00
3 3 2
12
x
B B x
x
−
− =
++
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2
2
34A x x= + +
Trang 11
Lời giải
Ta có:
2
2
3 7 7
34
2 4 4
A x x x

= + + = + +


2
7 49
4 16
A

=


. Dấu bằng xảy ra
3
2
x = −
Vậy
49 3
min
16 2
Ax= = −
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
( )( )( )( )
()
1 3 4 6 10
x
A x x x x= − − − − +
Lời giải
( )
( )( )
22
7 6 7 12 10
x
A x x x x= − + − + +
Đặt
( )
( )
2
7 6 6 10
t
x x t A t t− + = = + +
( )
2
2
6 9 1 3 1 1t t t= + + + = + +
Khi đó:
2
7 13
2
3 7 6 3
7 13
2
x
t x x
x
+
=
= − − + = −
−
=
Vậy
( )
7 13
2
1
7 13
2
x
x
MinA
x
+
=
=
−
=
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
13 4 2 16 2015A x y xy y x= + + − − +
Lời giải
22
13 4 2 16 2015A x y xy y x= + + − − +
( ) ( )
( ) ( )
22
2
22
22
4 2 13 16 2015
2 2 1 2 1 9 12 2015
2 1 3 2 2010
y xy y x x
y y x x x x
y x x
= + − + − +
= + − + − + − +
= + − + − +
Chứng tỏ
2010.A
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
21
;
33
xy= = −
Vậy
2
3
min 2010
1
3
x
A
y
=
=
−
=
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của


Lời giải
Ta có:
( )
2
22
2 2 2
6
27 12 9 12 36
11
9 9 9
x
x x x x
B
x x x
−
− − − + − +
= = = − + −
+ + +
Trang 12
16MinB x= − =
Ta có:
( )
2
22
2 2 2
23
27 12 4 36 4 12 9
44
9 9 9
x
x x x x
B
x x x
+
− + − − −
= = = −
+ + +
3
4
2
MaxB x= =
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 3 2
2 3 4 5A a a a a= − + − +
Lời giải
Biến đổi để có:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 3
2 2 1 3 2 1 3
A a a a a a
a a a a a
= + − + + + +
= + − + + = + − +
Vì
2
20aa+
và
( )
2
10aa−
nên
( )
( )
2
2
2 1 0a a a+ −
Do đó:
( )
( )
2
2
2 1 3 3a a a+ − +
Dấu
""=
xảy ra khi và chỉ khi
1 0 1aa− = =
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2 8 1E x x= − +
Lời giải
( ) ( )
2
2
2
2 8 1
2 8 8 7
2 2 7 7
E x x
xx
xx
= − +
= − + −
= − − −
Vậy giá trị nhỏ nhất của
72Ex= − =
Bài 15: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
22
2 2 4 5A x xy y y= − + − +
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
32
31
1
x
B
x x x
+
=
+ + +
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
2 2 2
22
2 4 4 1
21
A x xy y y y
x y y
= − + + − + +
= − + − +
Do
( ) ( )
22
0; 2 0x y y− −
Nên
( ) ( )
22
2 1 1A x y y= − + − +
Dấu
""=
xảy ra
12xy = =
Vậy GTNN của
A
là
12xy = =
b)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 2 2 2
2
3 1 3 1 3 1
3
1 1 1 1
11
x x x
B
x x x x x x x
xx
+ + +
= = = =
+ + + + + + +
++
Do
2
11x +
nên
2
3
3.
1
B
x
=
+
Dấu
""=
xảy ra
0x=
Vậy
GTLN
của
B
là
30x=
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
22
2 3 4 8 2 18A x y xy x y= + + − − +
Lời giải
Trang 13
Ta có:
( )
2 2 2
2 2 8 2 18A x xy y y x y= + + + − − +
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
22
2 4 4 6 9 1
2 2 3 1 1
A x y x y y y
A x y y

= + − + + + + + +

= + − + + +
Vậy
5
min 1
3
x
A
y
=
=
=−
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):
2
4 4 5M x x= + +
Lời giải
Ta có
( )
( )
2
22
4 4 5 4 4 1 4 2 1 4M x x x x x= + + = + + + = + +
Vì
( ) ( )
22
2 1 0 2 1 4 4 4x x M+ + +
Vậy
1
4
2
M
Min x= = −
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
2 2 8 2028B x y xy x= + + − +
Lời giải
( ) ( )
22
2 2 2
22
2 2 8 2028
2 8 16 2012
4 2012 2012
B x y xy x
x xy y x x
x y x
= + + − +
= + + + − + +
= + + − +
Đẳng thức xảy ra
04
4 0 4
x y x
xy
+ = =


− = = −

Giá trị nhỏ nhất của B là
4
2012
4
x
y
=
=−
Bài 19: Cho biểu thức
4 2 2
6 4 2 4 2
2 1 3
1 1 4 3
x x x
M
x x x x x
+ − +
= + −
+ − + + +
a) Rút gọn
M
b) Tìm giá trị lớn nhất của
M
Lời giải
a)
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
4 2 2
42
2 4 2 2 2
42
4 2 2
2 4 2
4 2 2 4 2
4 4 4 2
2 4 2 2 4 2
22
4 2 2
42
2 4 2 2 4 2
2 1 3
1
1 1 1 3
2 1 1
11
11
2 1 1 1
2 1 1
1 1 1 1
.1
1
1 1 1 1
x x x
M
xx
x x x x x
xx
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x x
xx
x x x
xx
x x x x x x
+ − +
= + −
−+
+ − + + +
+−
= + −
− + +
+ − +
+ + − + − − +
+ + − − + −
==
+ − + + − +
+
+
===
−+
+ − + + − +
Vậy
2
42
1
x
M
xx
=
−+
với mọi
x
b) Ta có :
2
42
1
x
M
xx
=
−+
với mọi
x
- Nếu
0x =
ta có
0M =
Trang 14
- Nếu
0x
, chia cả tử và mẫu của
M
cho
2
x
ta có:
2
2
1
1
1
M
x
x
=
+−
Ta có:
2
22
22
1 1 1 1
1 2. . 1 1 1x x x x
x x x x
+ − = − + + = − +
Nên ta có:
2
2
1
1
1
1
M
x
x
=
+
−
. Dấu
""=
xảy ra khi
1.x =
Vậy
M
lớn nhất là
1M =
khi
1x =
Bài 20: Cho
,0xy
thỏa mãn
2 5.xy+
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
1 24
2H x y
xy
= + + +
Lời giải
Ta có:
22
1 24
2H x y
xy
= + + +
( ) ( )
( )
22
1 24
2 1 2 8 8 2 6 24 2 17x x y y x y x y
xy


= − + + − + + + − + + − + + +




( ) ( )
( ) ( )
( )
22
22
1 6 2
1 2 2 2 17
0 0 0 0 5 17 22
xy
x y x y
xy
−−
= − + − + + + + +
+ + + + + =
Dấu
""=
xảy ra
( ) ( )
( ) ( )
22
22
1 6 2
1 2 2 0
xy
xy
xy
−−
− = − = = =
và
25xy+=
1x=
và
2.y =
Vậy
H
nhỏ nhất là
22 1, 2H x y= = =
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( )
22
2 6 12 24 3 18 2045B xy x y x x y y= − + + − + + +
Lời giải
( )( )
22
2 6 12 24 3 18 2045B xy x y x x y y= − + + − + + +
( )
2
22
*) 2 1 1 0 2 3 2x x x x x− + = − − +
với mọi
(1)x
( )
2
22
6 9 3 0 6 12 3y y y y y+ + = + + +
với mọi
(2)y
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
22
2 2 2 2
2 2 2
22
2 6 12 24 3 18 2045
2 6 12 2 3 6 36 2009
2 6 12 3 6 12 2009
2 3 6 12 2009 (3)
B xy x y x x y y
x x y y x x y y
x x y y y y
x x y y
+ = − + + − + + +
= − + + − + + + +
= − + + + + + +
= − + + + +
Từ
( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3 2.3 2009 2015BB +
*) 2015 1& 3
1
*) 2015
3
B x y
x
MinB
y
= = = −
=
=
=−
Trang 15
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
22
4 2010P x y x y= + − + −
Lời giải
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
22
22
4 2010
4 4 4 4 2018
2 2 2018 2018
P x y x y
x x y y
xy
= + − + −
= − + + − + −
= − + − − −
Vậy
min
2018 2P x y= − = =
Bài 23: Cho biểu thức
22
2
1 1 2
:
2 1 1
x x x x
P
x x x x x

+ + −
= + +

− + −

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn
P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
khi
1x
Lời giải
a) ĐKXĐ:
0; 1; 1x x x −
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
22
22
2
2
1 1 1
2
:
1 1 1
1
11
1 2 1
::
11
11
11
.
11
1
x x x x
xx
P
x x x x x x
x
x x x x
x x x x
x x x x
xx
x x x x
x
xx
x

+ + −
−
= + +

− − −
−

++
− + + − +
==
−−
−−
+−
==
+−
−
b)
( )( )
22
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1 1
11
1 1 2
11
xx
xx
Px
x x x x
P x x
xx
+ − +
−+
= = = = + +
− − − −
= + + = − + +
−−
Vì
1x
nên
1 0.x −
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
( )
11
1 2 1 2
11
xx
xx
− + − =
−−
Dấu “=” xảy ra
( )
2
1
1 1 1 1 1 2( )
1
x x x x TM
x
− = − = − = =
−
Vậy
GTNN
của P là
42x=
Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2010x 2680
A
x1
+
=
+
Lời giải
Ta có:
2
2010x 2680
A
x1
+
=
+
Trang 16
( )
2
22
22
335 x 3
335x 335 335x 2010x 3015
335 335
x 1 x 1
+
− − + + +
= = − + −
++
Vậy giá trị nhỏ nhất của
A
là
335−
khi
x3=−
Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )( )
( )
2
A x 1 2x 1 2x 3x 1 2017= − − − − +
Lời giải
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
= − − − − +
= − + − − +
= − − + = − +
2
22
22
22
A x 1 2x 1 2x 3x 1 2017
2x 3x 1 2x 3x 1 2017
2x 3x 1 2017 2x 3x 2016 2016
Dấu
""=
xảy ra
( )
2
x0
2x 3x 0 x 2x 3 0
3
x
2
=
− = − =
=
Vậy
min
x0
A 2016
3
x
2
=
=
=
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
2
2
x x 1
A
x x 1
++
=
−+
Lời giải
( ) ( )
( )
− + + + + − − +
−
+ + − +
= = − = −
− + − + − + − +
2
2 2 2
22
2 2 2 2
3 x x 1 x x 1 3 x x 1
2 x 1
x x 1 2x 4x 2
3 3 3
x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
Vậy
MaxA 3 x 1= =
Bài 27: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
22
A x 2xy 2y 4y 5= − + − +
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
( )
32
3 x 1
B
x x x 1
+
=
+ + +
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
22
2 2 2
A x 2xy y y 4y 4 1 x y y 2 1= − + + − + + = − + − +
Do
( ) ( )
22
x y 0; y 2 0− −
Nên
( ) ( )
22
A x y y 2 1 1= − + − +
Dấu “=” xảy ra
x y 2 = =
Vậy
MinA 1 x y 2= = =
b)
( ) ( )
( )
( )
( )
22
2
3 x 1
3(x 1) 3
B
x x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
+
+
= = =
+ + + +
++
Do
2
2
B
x 1 1 3
x1
+
+
. Đẳng thức xảy ra
x0=
Vậy
MaxB 3 x 0= =
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P x 2006 x 2007 2006= − + − +
Lời giải
Ta có :
Trang 17
( ) ( )
P x 2006 x 2007 2006
x 2006 2007 x 2006 x 2006 2007 x 2006 2007
= − + − +
= − + − + − + − + =
Vậy
min P 2007 2006 x 2007=
Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2010x 2680
A
x1
+
=
+
Lời giải
( )
2
2
22
22
2010x 2680
A
x1
335 x 3
335x 335 335x 2010x 3015
335 335
x 1 x 1
+
=
+
+
− − + + +
= = − + −
++
Vậy giá trị nhỏ nhất của
A
là
335−
khi
x3=−
Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
,A
biết:
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 2 2
1 3 6 1 . 3A x x x x= − + − + − −
Lời giải
Đặt
1, 3a x b x= − = −
ta có:
2ab+=
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
4 4 2 2 2 2
2
22
2 2 2 2
2
22
64
2 4 4 2 4
8 16 16 8 1 8 8
A a b ab a b a b
a b ab a b ab a b
a b ab ab
= + + = + +

= + − + = − +

= − + = − +
Dấu
""=
xảy ra
2ab + =
và
1 1 2ab a b x= = = =
Vậy giá trị nhỏ nhất của
A
bằng 8 tại
2x =
Bài 31.
Cho
,,x y z
là các số dương thỏa mãn
1x y z+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
16 4
P
x y z
= + +
Lời giải
( )
1 1 1 1 1 1
16 4 16 4
21
16 4 16 4 16
P x y z
x y z x y z
y x z x z y
x y x z y z

= + + = + + + +



= + + + + + +


Theo BĐT Cô si ta có:
1
.
16 4 4
yx
xy
+
Dấu
""=
xảy ra
2yx=
Tương tự:
1
16 2
zx
xz
+
, dấu “=” xảy ra
4zx=
1
4
zy
yz
+
, dấu
""=
xảy ra
2zy=
49
.
16
P
Dấu
""=
xảy ra
1 2 4
;;
7 7 7
x y z = = =
Trang 18
Vậy
49
16
MinP =
khi với
1 2 4
;;
7 7 7
x y z= = =
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất :
22
2 6 12 2 45A x xy y x y= − + − + +
Lời giải
( ) ( )
22
2 2 2
22
2 6 12 2 45
36 2 12 12 5 10 5 4
6 5 1 4 4
A x xy y x y
x y xy x y y y
x y y
= − + − + +
= + + − − + + − + +
= − − + − +
Giá trị nhỏ nhất
4A =
khi
1 0 7
6 0 1
yx
x y y
− = =


− − = =

Bài 33. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
2
3 6 10
23
xx
B
xx
++
=
++
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
22
3 6 10 1 1
33
2 3 2 3
12
xx
B
x x x x
x
++
= = + = +
+ + + +
++
Mà
( )
2
1 1 7
33
22
12x
+ + =
++
Vậy giá trị lớn nhất của
B
là
7
1
2
x = −
Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a
2
+ b
2
+ c
2
.
Lời giải
Từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0
8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0
8 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 0 (vì a + b + c = 3)
2ab + 2bc + 2ac ≥ 4
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 + a
2
+ b
2
+ c
2
( a + b + c)
2
≥ 4 + a
2
+ b
2
+ c
2
a
2
+ b
2
+ c
2
≤ 5 (vì a + b + c = 3)
Dấu đẳng thức xảy ra (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này.
Vậy P có GTLN nhất là 5 (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số
này.
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
3 2 3
1
−+
=
+
xx
C
x
.
Lời giải
2
2
3 2 3
1
−+
=
+
xx
C
x
=
22
2
2( 1) (x 2 1)
1
+ + − +
+
xx
x
=
2
2
(x 1)
2
1
−
+
+x
≥ 2
Vậy min C = 2
x = 1
2
2
3 2 3
1
−+
=
+
xx
C
x
=
22
2
4( 1) (x 2 1)
1
+ − + +
+
xx
x
=
2
2
(x 1)
4
1
+
−
+x
≤ 4
Vậy max C = 4
x = -1
Trang 19
Bài 36. Cho
3ab+=
. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
ab+
Lời giải
( )
2
2 2 2 2
0 2 0 2a b a ab b a b ab− − + +
(với mọi
,)ab
( )
2
22
3 9 2 9a b a b a b ab+ = + = + + =
( )
2 2 2 2
2 9 4,5a b a b + +
Vậy giá trị nhỏ nhất của
22
4,5ab+=
Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
87
1
xx
P
x
−+
=
+
Lời giải
( )
2
2 2 2
min
2 2 2
22
8 7 2 8 8 1
1 1 1 2
1 1 1
x
x x x x x
P P x
x x x
−
− + − + − −
= = = − − = − =
+ + +
( )
2
2 2 2
max
2 2 2
2 2 1
8 7 9 9 8 8 2 1
9 9 9
1 1 1 2
x
x x x x x
P P x
x x x
+
− + + − − − −
= = = − = =
+ + +
Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
42C x x= − +
Lời giải
( )
( )
2
22
4 2 5 2 1 5 1 5C x x x x x= − + = − − + = − −
Vậy
max
51Cx= =
Bài 39. Cho các số thực dương
,,x y z
thỏa mãn
3x y z+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
1 1 1
P
x x y y z z
= + +
+ + +
Lời giải
a)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
P
x x y y z z x x y y z z
= + + = + +
+ + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1x x y y z z x y z x y z
= − + − + − = + + − + +
+ + + + + +
Áp dụng BĐT
1 1 1 9
a b c a b c
+ +
++
và
1 1 1 1
.
4a b a b

+

+

với
,,abc
dương, dấu
bằng xảy ra
abc = =
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. 1 ; . 1 ; . 1
1 4 1 4 1 4x x y y z z

+ + +

+ + +

Bởi vậy :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. 1 1 1
1 1 1 4
3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3
..
4 4 4 4 4 4 2
P
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z
= + + − + + + + − + + + + +
+ + +

= + + − − = − =

++

Vậy
3
1
2
MinP x y z= = = =
Bài 40: Cho
,,x y z
là các số thực dương thỏa mãn:
1.x y z+ + =
Trang 20
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
16 4
M
x y z
= + +
Lời giải
Vì
1x y z+ + =
nên:
( )
1 1 1 1 1 1
16 4 16 4
21
16 4 16 16 4
M x y z
x y z x y z
x y x z y z
y x z x z y

= + + = + + + +



= + + + + + +


Ta có:
( ) ( )
( )
22
22
4 2 2.4 .2 4 2
16 4 1 1
,0
4 16 64 64 64 4 4
x y x y x y
x y x y
xy
y x xy xy xy
− + −
+
+ = = = +
Tương tự:
( )
1
; 1 , 0
16 2 4
x z y z
xy
z x z y
+ +
Từ đó
21 1 1 49
1
16 4 2 16
M + + + =
. Dấu
""=
xảy ra
1
7
42
2
1
7
, , 0
4
7
x
x y z
x y z y
x y z
x
=
==

+ + = =


=
Vậy GTNN của
M
là
49 1 2 4
;;
16 7 7 7
x y z = = =
Bài 41: Cho
a 0; b 0
và
22
a b 10.+=
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
11
Q
ab
=+
Lời giải
( )
22
22
22
2 2 2 2
1 1 1
a b 2ab; 2
ab
ab
1 1 2 1 1 4 2
a b 2ab. 4
ab 10 5
a b a b
+ +

+ + + =


Vậy
2
MinQ a b 5
5
= = =
Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )( )
( )
2
A x 2 x 5 x 7x 10= − − − −
Lời giải
( )( )
( )
( )( )
2
22
A x 2 x 5 x 7x 10
x 7x 10 x 7x 10
= − − − −
= − + − −
Đặt
2
x 7x t,−=
ta có biểu thức:
( )( )
2
A t 10 t 10 t 100 100= − + = − −
Dấu
""=
xảy ra
t0=

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

DẠNG 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT A. Bài toán
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( x − )( x − )( 2 1 2
1 2x − 3x − ) 1 + 2017
Bài 2: a) Tìm GTLN : 2 2
x + 5y + 2xy − 4x − 8y + 2015 3(x + ) 1 b) Tìm GTLN : 3 2
x + x + x +1
Bài 3: Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN)của biểu thức A = a( 2
a + b) + b( 2 2 b − a)
Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:   = ( + + ) 1 1 1 P a b c + +    a b c
Bài 5: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0  x 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 2 2 x 1− x
nhỏ nhất của biểu thức P = + 2 2 2 − x 1+ x
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = ( x − )2 + (x + )2 2012 2013 2015
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
, với x là số nguyên. x − 3
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 2 14x − 8x + 9
a) A = 3x +1 + x + 2 − 4x + 3 b) B = 2 3x + 6x + 9
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x + x + )2 2 3 4
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x −1 x − 3 x − 4 x − 6 +10 ( x) ( )( )( )( )
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A =13x + y + 4xy − 2y −16x + 2015
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 27−12𝑥 𝐵 = 𝑥2+9
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 2
A = a − 2a + 3a − 4a + 5
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2
E = 2x − 8x +1 Bài 15:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2
A = x − 2xy + 2y − 4y + 5 3( x + ) 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = 3 2
x + x + x +1
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
A = 2x + 3y + 4xy − 8x − 2y +18
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): 2
M = 4x + 4x + 5
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
B = 2x + y + 2xy − 8x + 2028 4 2 2 x + 2 x −1 x + 3
Bài 19: Cho biểu thức M = + − 6 4 2 4 2 x +1
x − x +1 x + 4x + 3 Trang 1 a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị lớn nhất của M
Bài 20: Cho x, y  0 thỏa mãn x + 2 y  5.Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 24
H = x + 2y + + x y
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B = xy( x − )( y + ) 2 2 2
6 +12x − 24x + 3y +18y + 2045
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P = x + y − 4( x + y) − 2010 2 2 x + xx +1 1 2 − x
Bài 23: Cho biểu thức P = : + + 2  
x − 2x +1  x x −1 x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x  1
Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2010x + 2680 A = 2 x + 1
Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = ( − )( − )( 2 A
x 1 2x 1 2x − 3x − 1) + 2017 2
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : x + x + 1 A = 2 x − x + 1 Bài 27:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 A = x − 2xy + 2y − 4y + 5 3(x + 1)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = 3 2 x + x + x + 1
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x − 2006 + x − 2007 + 2006
Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2010x + 2680 A = 2 x + 1
Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , A biết:
A = ( x − )4 + ( x − )4 + ( x − )2 (x − )2 1 3 6 1 . 3
Bài 31. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + 16x 4y z
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất : 2 2
A = x − 2xy + 6y −12x + 2y + 45 2 3x + 6x +10
Bài 33.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 2 x + 2x + 3
Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2. 2 3x − 2x + 3
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = . 2 x +1
Bài 36. Cho a + b = 3 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
a + b 2x−8x+7
Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 x +1 Trang 2
Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
C = 4 − x + 2x
Bài 39. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + 2 2 2 x + x y + y z + z
Bài 40: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = + + 16x 4y z Bài 41: 1 1 Cho a  0; b  0 và 2 2
a + b = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = + 2 2 a b
Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( − )( − )( 2 A x 2 x 5 x − 7x − 10)
Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 2 P = x + 2x + 3x + 2x + 1
Bài 44: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: 2 2
a + b = a + b. Tính giá trị
lớn nhất của biểu thức: a b S = + a + 1 b + 1
Bài 45: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ 1 1 1 nhất của biểu thức P = + + 16x 4y z
Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : = ( − )2 +( + )2 P x 2012 x 2013
Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = ( − )( + ) 2 2
B xy x 2 y 6 + 12x − 24x + 3y + 18y + 2045 4 2 2 Bài 48: + − + Cho biểu thức x 2 x 1 x 3 M = + − 6 4 2 4 2 x + 1 x − x + 1 x + 4x + 3 a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị lớn nhất của M
Bài 49: Cho x,y  0 thỏa mãn x + 2y  5. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 24 H = x + 2y + + x y Bài 50:
Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P = x + y − 4 (x + y) − 2010
Bài 51: Cho a, , b c 0; 
1 và a + b + c = 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2
P = a + b + c
Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2
A = x − 2xy + 2y − 4y + 5 3( x + )
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 1 B = 3 2
x + x + x +1
Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2010x + 2680 A = 2 x +1
Bài 54: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P = ( x − )
1 ( x + 2)( x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P = x + y − 4( x + y) − 2010 Trang 3
Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2
E = 2x – 8x + 1.
Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 4x2 + 4x + 5 2
Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + 2x + 3 A = . 2 x + 2
Bài 59: Tìm giá trị của biến x để: 2 + + a) 1 x x 1 P =
đạt giá trị lớn nhất b) Q =
đạt giá trị nhỏ nhất x2 + 2x + 6 x2 + 2x +1
Bài 60: : a) Tìm GTLN của A = x − 4 (2 − x − 4 )
b) Tìm GTNN của biểu thức 9x 2 B =
+ , với 0  x  2 2 − x x
Bài 61: Tìm GTNN của: 2 a) 16 x − 2x + 2018 A = x +
+ 2007, x  3 ; b) B = , x  0 ; x − 3 2 2018x 3 c) x + 2000 C = , x  0 x
Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x + y =1
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
M = 3x + y ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = xy
Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x + 3y = 7 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 3 Q = + x y b) Tìm GTLN của 2 2
A = −x − y + xy + x + y
Bài 64: a) Cho x + y = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3
A = x + y b) Tìm GTNN của 2 2
B = 5x + 2y + 4xy − 2x + 4y + 2023
Bài 65: a) Tìm GTNN của 2 2
A = x + y biết x + y = 4
b) Tìm GTNN của B = x + ( − x)2 4 3
c) Tìm GTNN của C = (x − )
1 ( x − 3)( x + 5)( x + 7) d) Tìm GTLN của ( ) x D x = với x  0 (x + )2 2019
Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = ( x − )2 2
3 − 4 2x − 3 + 7 và các giá trị của x tương ứng.
Bài 67: Cho x, y  0 thỏa mãn x + 2y  5. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 24 2 2
H = x + 2y + + GTLN x y
Bài 68: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: 2 2
a + b = a + .
b Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S = + a +1 b +1
Bài 69: Cho hai số dương a,b thỏa mãn: 2 2 a + b = 2 3 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của a b M = +
2016a + 2017b 2017a + 2016b
Bài 70: Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 4 4 4 x + y + z
biết x + y + z = 2 Trang 4
Bài 71: Tìm các giá trị của x để biểu thức: P = (x − )
1 ( x + 2)( x + 3)( x + 6) có giá trị
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 2
L = x − 4x + 7x −12x + 20
Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2010x + 2680 A = 2 x +1
Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B = xy ( x − )( y + ) 2 2 2
6 +12x − 24x + 3y +18y + 2045
Bài 75: Cho x, y, z  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : x y z P = + + y + z
z + x x + y 2
Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + 2x + 3 A = . 2 x + 2
Bài 77: Tìm giá trị của biến x để: 2 a) 1 x + x + 1 P =
đạt giá trị lớn nhất b) Q = đạt giá trị nhỏ x2 + 2x + 6 x2 + 2x +1 nhất
Bài 78: a) Tìm GTLN của A = x − 4 (2 − x − 4 )
b) Tìm GTNN của biểu thức 9x 2 B =
+ , với 0  x  2 2 − x x
Bài 79: Tìm GTNN của: 2 a) 16 x − 2x + 2018 A = x +
+ 2007, x  3 ; b) B = , x  0 ; c) x − 3 2 2018x 3 x + 2000 C = , x  0 x
Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 3x + y =1
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
M = 3x + y ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = xy
Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn 2x + 3y = 7 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 3 Q = + x y b) Tìm GTLN của 2 2
A = −x − y + xy + x + y
Bài 82: a) Tìm GTNN của 2 2
A = x + y biết x + y = 4
b) Tìm GTNN của B = x + ( − x)2 4 3
c) Tìm GTNN của C = (x − )
1 ( x − 3)( x + 5)( x + 7) d) Tìm GTLN của ( ) x D x = với x  0 (x + )2 2019
Bài 83: : a) Cho x + y = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3
A = x + y b) Tìm GTNN của 2 2
B = 5x + 2y + 4xy − 2x + 4y + 2023
Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = ( x − )2 2
3 − 4 2x − 3 + 7 và các giá trị của x tương ứng.
Bài 85: Cho a  0;b  0và 2 2 1 1
a + b = 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = + 2 2 a b
Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 Trang 5
Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 + b2 = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: a b S = + a+1 b+1
Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 P = + + 16x 4y z
Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = (x − 2012)2 + (x + 2013)2
Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2010x + 2680 A = 2 x +1
Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z  0
b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B = 4x + 3 2 x +1
Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 2 2
P = x − 2x − 3 x −1 − 9 .
Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2012 P = 2 2
x + y − 20(x + y) + 2213
Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 thức P = a2 + b2 + c2
Bài 95: Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 Q = (1− )(1− ) + xy 2 2 x y
Bài 96: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =1− xy , trong đó x, y là các số
thực thoả mãn điều kiện: 2013 2013 1006 1006 x + y = 2x y . Bài 97:
a) Cho a , a ,..., a , m N *
a a ...  a 1 2 2m thoả mãn 1 2 2m .
Tìm GTNN của biểu thức A = x − a + x − a + ...+ x − a + x − a 1 2 2m 1 − 2m .
b) Cho a , a ,..., a
, m N, m  2
a a ...  a 1 2 2m 1 − thoả mãn 1 2 2m 1 − .
Tìm GTNN của biểu thức B = x − a + x − a + ...+ x − a + x − a 1 2 2m−2 2m 1 − . Bài 98:
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho 2 2
m + n  5 . Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: Q = m + n + mn +1. Bài 99: 3 − 4x
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = 2 2x + 2
Bài 100: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = + + 16x 4y z
Bài 101: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + 2 2 2 x + x y + y z + z
Bài 102: Cho hai số x,y thỏa mãn điều kiện ( − )2 2 2 2 2 2 2 x y + 4x y + x − 2y = 0.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 A = x + y
Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P = x + y − 4( x + y) − 2010 Trang 6
Bài 104: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1. 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = + + . 16x 4y z 1 1 1
Bài 105: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn: + + = 2.Tìm giá trị
1+ a 1+ b 1+ c
lớn nhất của biểu thức Q = ab . c
Bài 106: Cho 6a − 5b = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 4a + 25b
Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
M = x + y − xy − x + y +1
Bài 108: Cho a,b  0 và a + b = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2  1   1  M = 1+ + 1+      a   b Bài 109:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2
A = x − 2xy + 2y − 4y + 5 3( x + ) 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = 3 2
x + x + x +1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A = x + 2y + 2xy + 2x − 4y + 2013
Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x − )(x − )( 2 2
5 x − 7x −10) B. HƯỚNG DẪN
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = ( x − )( x − )( 2 1 2
1 2x − 3x − ) 1 + 2017 Lời giải Trang 7
a)A = ( x − ) 1 (2x − ) 1 ( 2 2x − 3x − ) 1 + 2017 = ( 2 2x − 3x + ) 1 ( 2 2x − 3x − ) 1 + 2017
= (2x − 3x)2 −1+ 2017 = (2x − 3x)2 2 2 + 2016  2016 x = 0 Dấu " = " xảy ra 2 2x 3x 0 x(2x 3) 0   − =  − =  3 x =  2 x = 0 Vậy A 2016  =  min 3 x =  2
Bài 2: a) Tìm GTLN : 2 2
x + 5y + 2xy − 4x − 8y + 2015 3(x + ) 1 b) Tìm GTLN : 3 2
x + x + x +1 Lời giải a) P= 2 2
x + 5y + 2xy − 4x − 8y + 2015 2 2
P = x + 5y + 2xy − 4x − 8y + 2015 P = ( 2 2
x + xy + y ) − (x + y) 2 2 4
+ 4 + 4y − 4y +1+ 2010 Bài 1.
= (x + y)2 − 4(x + y) + 4 + (2y − )2 1 + 2010
= (x + y − 2)2 + (2y − )2 1 + 2010  2010 3 1
Suy ra MinP = 2010  x = ; y = 2 2 3( x + ) 1 3( x + ) 1 3( x + ) 1 3 b) Q = = = = 3 2
x + x + x +1 2 x ( x + ) 1 + ( x + ) 1
( 2x + )1(x + ) 2 1 x +1 Q đạt GTLN 2
x +1đạt GTNN mà 2 x +11
GTLN của C là 3  x = 0
Bài 3: Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN)của biểu thức A = a( 2
a + b) + b( 2 2
b − a) Lời giải 1 1
Do: a + b =1 a = + x,b = + y với x + y = 0 2 2 Ta có: A = a( 2
a + b) + b( 2 b − a) 3 3 2 2 2
= a + b + ab = a + b 2 2  1   1  1 2 2 1 = + x +
+ y = + x + y       2   2  2 2  GTNN ( A) 1 1
=  x = y = 0  a = b = 2 2
Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: Trang 8   = ( + + ) 1 1 1 P a b c + +    a b c Lời giải a a b b c c
a b   a c   b c
P =1+ + + +1+ + + +1= 3 + + + + + +       b c a c a b
b a   c a   c b
P  3 + 2 + 2 + 2 = 9
Vậy P = 9  a = b = c min
Bài 5: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0  x 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 2 2 x 1− x
nhỏ nhất của biểu thức P = + 2 2 2 − x 1+ x Lời giải Đặt 2
x = a,0  a 1.Biểu thức đã cho trở thành: a 1− a a 1− a 2 2 P = + = +1+ +1− 2 = + − 2 2 − a 1+ a 2 − a 1+ a 2 − a 1+ a  3   3  = 2 (
− a)( + a) −1 = 2 + a( −    a) −1 2 1 2 1    *) Vì 0  a  3 1.  P  2 −1 =1    2  a = 0 x = 0 Đẳng thức xảy ra khi  .  a 1  = x =1 x = 0
Vậy MinP = 1  x =1
*) 0  a 1nên a và 1− a là hai số không âm
Áp dụng BĐT Cô si ta có:   + −  
a( − a) (a 1 a) 1 3 2 1  =  P  2 −1 = 4 4 1 3  2 +   4  1
Đẳng thức xảy ra khi a =1− a a = hay 2 1 1 x =  x = 2 2 2 2 1
Vậy MaxP =  x = 3 2
Bài 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = ( x − )2 + (x + )2 2012 2013 Lời giải Ta có: Trang 9
P = ( x − 2012)2 + ( x + 2013)2 2 2
= x − 4024x + 4048144 + x + 4026x + 4052169 2 2  1 
= 2x + 2x + 8100313 = 2 x + + 8100312,5  8100312,5 x     2  1
Vậy MinP = 8100312,5  x = − 2 2015
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
, với x là số nguyên. x − 3 Lời giải
- Xét x  3  x − 3  0  B  0
- Xét x  3 thì do x  nên x 0;1;  2
+ Khi x = 0  B = 403 −
+ Khi x =1  x = 1   B = 50 − 3,75
+ Khi x = 2  x = 2   B = 20 − 15
Vậy min B = −2015  x = 2 
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 2 14x − 8x + 9
a) A = 3x +1 + x + 2 − 4x + 3 b) B = 2 3x + 6x + 9 Lời giải
a) Áp dụng tính chất a a,dấu " = " xảy ra  a  0,ta có:
A = 3x +1 + x + 2 − 4x + 3  3x +1+ x − 2 − 4x + 3 = 6  A  6 1 −
Dấu “=” xảy ra  3x +1  0 và x + 2  0  x  và x  − 1 2  x  − 3 3 1 −
Vậy min A = 6  x  3 2
2 14x − 8x + 9 2 b) Ta có B − = − 2 3 3x + 6x + 9 3 ( 2
14x − 8x + 9) − 2( 2 x + 2x + 3) = 3( 2 x + 2x + 3) 2 2 12x −12x + 3 (2x − ) 1 = = 3( 2
x + 2x + 3) (x + )2 1 + 2
Với mọi x, ta có: ( x − )2  ( x + )2 3 2 1 0, 1 + 2  2  0 (2x − )2 1 2 2 1    −     = ( x + ) 0 B 0 B x 2 1 + 2 3 3 2
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x + x + )2 2 3 4 Trang 10 Lời giải 2   Ta có: 2 3 7 7
A = x + 3x + 4 = x + +     2  4 4 2  7  49  3 A  =  
. Dấu bằng xảy ra  x = −  4  16 2 49 3 Vậy min A =  x = − 16 2
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x −1 x − 3 x − 4 x − 6 +10 ( x) ( )( )( )( ) Lời giải A = ( 2 x − x + )( 2 7 6 x − 7x +12) ( ) +10 x Đặt 2
x − 7x + 6 = t A = t (t + 6)
= t + 6t + 9 +1 = (t + 3)2 2 ( ) +10 +11 t  7 + 13 x = Khi đó: 2 2 t = 3
−  x − 7x + 6 = −3    7 − 13 x =  2  7 + 13 x = Vậy 2 M =   ( inA x) 1  7 − 13 x =  2
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A =13x + y + 4xy − 2y −16x + 2015 Lời giải 2 2
A =13x + y + 4xy − 2y −16x + 2015 2 2
= y + 4xy − 2y +13x −16x + 2015
= y + 2y(2x − ) 1 + (2x − )2 2 2
1 + 9x −12x + 2015
= ( y + 2x − )2 1 + (3x − 2)2 + 2010 2 1
Chứng tỏ A  2010.dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = ; y = − 3 3  2 x =  Vậy 3 min A = 2010   −1  y =  3
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 27−12𝑥 𝐵 = 𝑥2+9 Lời giải 27 −12x
−x − 9 + x −12x + 36 (x − 6)2 2 2 Ta có: B = = = −1+  −1 2 2 2 x + 9 x + 9 x + 9 Trang 11 MinB = 1 −  x = 6 27 −12x
4x + 36 − 4x −12x − 9 (2x + 3)2 2 2 Ta có: B = = = 4 −  4 2 2 2 x + 9 x + 9 x + 9 3
MaxB = 4  x = 2
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 3 2
A = a − 2a + 3a − 4a + 5 Lời giải Biến đổi để có: 2 A = a ( 2 a + 2) − 2a( 2 a + 2) + ( 2 a + 2) + 3
= (a + 2)(a − 2a + )
1 + 3 = (a + 2)(a − )2 2 2 2 1 + 3 Vì 2 a + 2  0 a  và (a − )2 1  0 a
 nên (a + )(a − )2 2 2 1  0 a
Do đó: (a + )(a − )2 2 2 1 + 3  3 a
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a −1 = 0  a = 1
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2
E = 2x − 8x +1 Lời giải 2
E = 2x − 8x +1 2
= 2x − 8x + 8 − 7
= 2(x − 2)2 − 7  −7 (x)
Vậy giá trị nhỏ nhất của E = −7  x = 2
Bài 15: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2
A = x − 2xy + 2y − 4y + 5 3( x + ) 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = 3 2
x + x + x +1 Lời giải a) Ta có: 2 2 2
A = x − 2xy + y + y − 4y + 4 +1
= (x − y)2 + ( y − 2)2 +1
Do ( x − y)2  ( y − )2 0;
2  0 Nên A = ( x − y)2 + ( y − )2 2 +11
Dấu " = " xảy ra 1  x = y = 2
Vậy GTNN của A là 1  x = y = 2 3( x + ) 1 3( x + ) 1 3( x + ) 1 3 b) B = = = = 3 2 2
x + x + x +1 x ( x + ) 1 + x +1 ( 2 x + ) 1 ( x + ) 2 1 x +1 3 Do 2
x +1 1nên B =
 3.Dấu " = " xảy ra  x = 0 2 x +1
Vậy GTLN của B là 3  x = 0
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
A = 2x + 3y + 4xy − 8x − 2y +18 Lời giải Trang 12 Ta có: A = ( 2 2
x + xy + y ) 2 2 2
+ y − 8x − 2y +18
A = 2 ( x + y)2 − 4( x + y) + 4 + ( 2 y + 6y + 9) +1  
A = 2( x + y − 2)2 + ( y + 3)2 +11 x = 5 Vậy min A = 1    y = 3 −
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): 2
M = 4x + 4x + 5 Lời giải
Ta có M = x + x + = ( x + x + ) + = ( x + )2 2 2 4 4 5 4 4 1 4 2 1 + 4
Vì ( x + )2   ( x + )2 2 1 0 2
1 + 4  4  M  4 1
Vậy Min = 4  x = − M 2
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
B = 2x + y + 2xy − 8x + 2028 Lời giải 2 2
B = 2x + y + 2xy − 8x + 2028 2 2 2
= x + 2xy + y + x − 8x +16 + 2012
= (x + y)2 + (x − 4)2 + 2012  2012 x + y = 0 x = 4 Đẳng thức xảy ra     x − 4 = 0  y = −4 x = 4
Giá trị nhỏ nhất của B là 2012    y = −4 4 2 2 x + 2 x −1 x + 3
Bài 19: Cho biểu thức M = + − 6 4 2 4 2 x +1
x − x +1 x + 4x + 3
a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn nhất của M Lời giải a) 4 2 2 x + 2 x −1 x + 3 M = ( + − 2 x + ) 1 ( 4 2 x − x + ) 4 2 1 x − x + 1
( 2x + )1( 2x + 3) 4 2 x + 2 x −1 1 = ( + − 2 x + ) 1 ( 4 2 x − x + ) 4 2 2 1 x − x + 1 x + 1 4 x + 2 + ( 2 x − ) 1 ( 2 x + ) 1 − ( 4 2 x − x + ) 4 4 4 2 1
x + 2 + x −1 − x + x −1 = ( = 2 x + ) 1 ( 4 2 x − x + ) 1 ( 2x + )1( 4 2 x − x + ) 1 2 x + x x .( 2 4 2 x + ) 2 1 x = ( = = 2 x + ) 1 ( 4 2 x − x + ) 1 ( 2x + )1( 4 2 x − x + ) 4 2 1 x − x + 1 2 x Vậy M = với mọi x 4 2 x − x +1 2 x b) Ta có : M = với mọi x 4 2 x − x +1
- Nếu x = 0 ta có M = 0 Trang 13 1
- Nếu x  0, chia cả tử và mẫu của M cho 2 x ta có: M = 2 1 x + −1 2 x 2 1  1 1   1  Ta có: 2 2 x + −1 = x − 2. . x + +1 = x − +11 2  2    xx x   x  1 Nên ta có: M =
1. Dấu " = " xảy ra khi x =1. 2 1 x + 2 x −1
Vậy M lớn nhất là M = 1khi x = 1
Bài 20: Cho x, y  0 thỏa mãn x + 2 y  5.Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 24
H = x + 2y + + x y Lời giải Ta có: 2 2 1 24
H = x + 2y + + x y = (     2
x − x + ) + ( 2 y − y + ) 1 24 2 1 2 8 8 + + x − 2 + + 6y − 24 +   
 ( x + 2y) +17  x   y  2 2 ( − )2 x − y −
= x 1 + 2( y − 2)2 ( ) 1 6( 2) + + + (x + 2y) +17 x y  0 + 0 + 0 + 0 + 5 +17 = 22 2 2 x −1 6 y − 2
Dấu " = " xảy ra  ( x − )2 1 = 2( y − 2)2 ( ) ( ) = =
= 0 và x + 2y = 5 x y
x = 1và y = 2.Vậy H nhỏ nhất là H = 22  x =1, y = 2
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B = xy( x − )( y + ) 2 2 2
6 +12x − 24x + 3y +18y + 2045 Lời giải
B = xy( x − )( y + ) 2 2 2
6 +12x − 24x + 3y +18y + 2045
x − x + = ( x − )2 2 2 *) 2 1
1  0  x − 2x + 3  2 với mọi x  (1)
y + y + = ( y + )2 2 2 6 9
3  0  y + 6y +12  3 với mọi y  (2)
+B = xy( x − 2)( y + 6) 2 2
+12x − 24x + 3y +18y + 2045 = ( 2 x − 2x)( 2 y + 6 y) +12( 2 x − 2x) + 3( 2
y + 6 y) + 36 + 2009 = ( 2 x − 2x)( 2
y + 6 y +12) + 3( 2
y + 6 y +12) + 2009 = ( 2 x − 2x + 3)( 2
y + 6 y +12) + 2009 (3) Từ ( )
1 ,(2),(3)  B  2.3 + 2009  B  2015
*)B = 2015  x =1& y = 3 − x =1
*)MinB = 2015  y = 3− Trang 14
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P = x + y − 4( x + y) − 2010 Lời giải 2 2
P = x + y − 4( x + y) − 2010 = ( 2
x − 4x + 4) + ( 2
y − 4y + 4) − 2018
= (x − 2)2 + ( y − 2)2 − 2018  −2018 Vậy P = 2018 −  x = y = 2 min 2 2 x + xx +1 1 2 − x
Bài 23: Cho biểu thức P = : + + 2  
x − 2x +1  x x −1 x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x  1 Lời giải
a) ĐKXĐ: x  0; x  1; x  −1 x( x + ) 1 ( x + ) 1 ( x − ) 2 1 x 2 − x P =  + + (  x − ) : 2 1 x  (x − ) 1 x( x − ) 1 x( x − ) 1  x( x + ) 2 2
1 x −1+ x + 2 − x x( x + ) 1 x +1 = = ( x − ) : : 2 1 x( x − ) 1 (x − )2 1 x( x − ) 1 x( x + ) 1 x( x − ) 2 1 x = = (x − ) . 2 1 x +1 x −1 b) 2 2 x x −1+1 ( x + ) 1 ( x − ) 1 +1 1 P = = = = x +1+ x −1 x −1 x −1 x −1 1 1 P = x +1+ = x −1+ + 2 x −1 x −1 1 1
Vì x  1nên x −1  0.Áp dụng BĐT Cosi ta có: x −1+  2 (x − ) 1 = 2 x −1 x −1 1
Dấu “=” xảy ra  x −1 =  (x − )2
1 =1  x −1 =1  x = 2(TM ) x −1
Vậy GTNN của P là 4  x = 2 +
Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2010x 2680 A = 2 x + 1 Lời giải + Ta có: 2010x 2680 A = 2 x + 1 Trang 15 3
− 35x − 335 + 335x + 2010x + 3015 335(x + 3)2 2 2 = = 3 − 35 +  3 − 35 2 2 x + 1 x + 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là −335 khi x = −3
Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = ( − )( − )( 2 A
x 1 2x 1 2x − 3x − 1) + 2017 Lời giải A = (x − 1)(2x − 1)( 2 2x − 3x − 1) + 2017 = ( 2 2x − 3x + 1)( 2 2x − 3x − 1) + 2017
= (2x − 3x)2 −1+ 2017 = (2x − 3x)2 2 2 + 2016  2016 x = 0 Dấu  " = " xảy ra 2
 2x − 3x = 0  x(2x − 3) = 0  3 x =  2 x = 0 Vậy A 2016  =  min 3 x =  2 2
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : x + x + 1 A = 2 x − x + 1 Lời giải x + x + 3 1
(x −x+ )1+x +x+1−3(x −x+1) 2x − 4x + 2 2(x − )2 2 2 2 2 2 1 = = 3 − = 3 −  3 2 x − x + 2 1 x − x + 2 1 x − x + 2 1 x − x + 1 Vậy MaxA = 3  x = 1
Bài 27: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 A = x − 2xy + 2y − 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 3(x + 1) B = 3 2 x + x + x + 1 Lời giải a) Ta có: = − + + − + + = ( − )2 + ( − )2 2 2 2 A x 2xy y y 4y 4 1 x y y 2 + 1 Do ( − )2  ( − )2 2 2 x y 0; y 2
 0 Nên A = (x − y) + (y − 2) +1  1
Dấu “=” xảy ra  x = y = 2 Vậy MinA = 1  x = y = 2 3(x + 1) 3(x + 1) b) 3 B = = = 2 x (x + 1) + (x + 1) (x + 1)( 2 x + 1) 2 x + 1 Do 2 B x + 1  1 
 3 . Đẳng thức xảy ra  x = 0 2 x + 1 Vậy MaxB = 3  x = 0
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x − 2006 + x − 2007 + 2006 Lời giải Ta có : Trang 16
P = x − 2006 + x − 2007 + 2006
= x − 2006 + 2007 − x + 2006  (x − 2006) + (2007 − x) + 2006 = 2007
Vậy min P = 2007  2006  x  2007
Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2010x + 2680 A = 2 x + 1 Lời giải 2010x + 2680 A = 2 x + 1
−335x − 335 + 335x + 2010x + 3015 335 (x + 3)2 2 2 = = −335 +  −335 2 2 x + 1 x + 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là −335 khi x = −3
Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , A biết:
A = ( x − )4 + ( x − )4 + ( x − )2 (x − )2 1 3 6 1 . 3 Lời giải
Đặt a = x −1,b = 3 − x ta có: a + b = 2
A = a + b + 6(ab) = (a + b )2 2 4 4 2 2 2 2 + 4a b = (a + b) 2
2 − 2ab + 4a b = (4 − 2ab)2 2 2 2 2 + 4a b  
= 8a b −16ab +16 = 8(ab − )2 2 2 1 + 8  8
Dấu " = " xảy ra  a + b = 2 và ab =1  a = b = 1 x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8 tại x = 2 Bài 31.
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + 16x 4y z Lời giải 1 1 1   P = +
+ = (x + y + z) 1 1 1 + +   16x 4y z 16x 4y z   y x   z x   z y  21 = + + + + + +      
16x 4y  16x z   4y z  16 y x 1 Theo BĐT Cô si ta có: +
 .Dấu " = " xảy ra  y = 2x 16x 4y 4 z x 1 Tương tự:
+  , dấu “=” xảy ra  z = 4x 16x z 2 z y
+ 1, dấu " = " xảy ra  z = 2y 4y z 49  1 2 4 P
.Dấu " = " xảy ra  x = ; y = ; z = 16 7 7 7 Trang 17 49 1 2 4 Vậy MinP =
khi với x = ; y = ; z = 16 7 7 7
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất : 2 2
A = x − 2xy + 6y −12x + 2y + 45 Lời giải 2 2
A = x − 2xy + 6y −12x + 2y + 45 2 2 2
= x + y + 36 − 2xy −12x +12y + 5y −10y + 5 + 4
= (x − y − 6)2 + 5( y − )2 1 + 4  4  y −1 = 0 x = 7
Giá trị nhỏ nhất A = 4 khi   
x − y − 6 = 0  y =1 2 3x + 6x +10
Bài 33. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 2 x + 2x + 3 Lời giải 2 3x + 6x +10 1 1 Ta có: B = = 3 + = 3 + 2 2 x + 2x + 3 x + 2x + 3 (x + )2 1 + 2 1 1 7 Mà 3 +  + = ( x + ) 3 2 1 + 2 2 2 7
Vậy giá trị lớn nhất của B là  x = 1 − 2
Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2. Lời giải
Từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0
 8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0
 8 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 0 (vì a + b + c = 3)  2ab + 2bc + 2ac ≥ 4
 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 + a2 + b2 + c2
 ( a + b + c)2 ≥ 4 + a2 + b2 + c2
 a2 + b2 + c2 ≤ 5 (vì a + b + c = 3)
Dấu đẳng thức xảy ra  (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này.
Vậy P có GTLN nhất là 5  (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này. 2 3x − 2x + 3
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = . 2 x +1 Lời giải 2 3x − 2x + 3 2 2
2(x +1) + (x − 2x +1) 2 (x−1) C = = = 2 + ≥ 2 2 x +1 2 x +1 2 x +1 Vậy min C = 2  x = 1 2 3x − 2x + 3 2 2
4(x +1) − (x + 2x +1) 2 (x+1) C = = = 4 − ≤ 4 2 x +1 2 x +1 2 x +1 Vậy max C = 4  x = -1 Trang 18
Bài 36. Cho a + b = 3 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 a + b Lời giải (a −b)2 2 2 2 2
 0  a − 2ab + b  0  a + b  2ab (với mọi a,b)
a + b =  (a + b)2 2 2 3
= 9  a + b + 2ab = 9  ( 2 2 a + b ) 2 2 2
 9  a + b  4,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 2 a + b = 4,5 2 x − 8x + 7
Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 x +1 Lời giải x − 8x + 7
2x − 8x + 8 − x −1 2( x − 2)2 2 2 2 P = = =
−1 −1 P = −1  x = 2 2 2 2 min x +1 x +1 x +1 x − 8x + 7
9x + 9 − 8x − 8x − 2 2(2x + )2 2 2 2 1 1 − P = = = 9 −
 9  P = 9  x = 2 2 2 max x +1 x +1 x +1 2
Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
C = 4 − x + 2x Lời giải
C = − x + x = − (x − x + ) = − (x − )2 2 2 4 2 5 2 1 5 1  5 Vậy C = 5  x =1 max
Bài 39. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + 2 2 2 x + x y + y z + z Lời giải 1 1 1 1 1 1 a) P = + + = + + 2 2 2 x + x y + y z + z x(x + ) 1 y( y + ) 1 z (z + ) 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1   1 1 1  = − + − + − = + + − + +     x x + 1 y y + 1 z z + 1  x y z   x +1 y + 1 z + 1  Áp dụng BĐT 1 1 1 9 + +  và 1 1  1 1   . +
với a,b,c dương, dấu a b c a + b + c   a + b 4  a b
bằng xảy ra  a = b = c Ta có: 1 1  1  1 1  1  1 1  1   . + 1 ;  . + 1 ;  . + 1       x + 1 4  xy + 1 4  yz + 1 4  z  Bởi vậy :  1 1 1   1 1 1   1 1 1  1  1 1 1  P = + + − + +  + + − . + 1+ + 1+ + 1          x y z   x +1 y + 1 z + 1   x y z  4  x y z  3  1 1 1  3 3 9 3 9 3 3 = . + + −  . − = − =   4  x y z  4
4 x + y + z 4 4 4 2 3
Vậy MinP =  x = y = z =1 2
Bài 40: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. Trang 19 1 1 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = + + 16x 4y z Lời giải
Vì x + y + z = 1 nên: 1 1 1  1 1 1  M = + + = + + 
( x + y + z) 16x 4y
z 16x 4y z  21  x y   x z   y z  = + + + + + +      
16  4y 16x   z 16x   z 4y  Ta có: x y 16x + 4y
( x − y)2 + x y ( x − y)2 2 2 4 2 2.4 .2 4 2 1 1 + = = = +  ( x  , y  0) 4 y 16x 64xy 64xy 64xy 4 4 x z 1 y z Tương tự: +  ; +  ( 1  , x y  0) z 16x 2 z 4y  1 x =  7
4x = 2y = z  21 1 1 49   2 Từ đó M  + + +1=
. Dấu " = " xảy ra  x + y + z =1 y = 16 4 2 16 7
x, y,z 0     4 x =  7 49 1 2 4 Vậy GTNN của M là
x = ; y = ; z = 16 7 7 7 Bài 41: 1 1 Cho a  0; b  0 và 2 2
a + b = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = + 2 2 a b Lời giải 2 2 1 1 1 a + b  2ab; +  2 2 2 a b ab (   2 2 + ) 1 1 2 1 1 4 2 a b +  2ab.  4  +  =   2 2 2 2  a b  ab a b 10 5 2 Vậy MinQ =  a = b = 5 5
Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( − )( − )( 2 A x 2 x 5 x − 7x − 10) Lời giải A = (x − 2)(x − 5)( 2 x − 7x − 10) = ( 2 x − 7x + 10)( 2 x − 7x − 10) Đặt 2
x − 7x = t, ta có biểu thức: = ( − )( + ) 2 A t 10 t 10 = t − 100  1 − 00
Dấu " = " xảy ra  t = 0 Trang 20

Tài liệu liên quan: