Giá trị lượng giác và công thức lượng giác Toán 11 KNTTvCS

Tài liệu gồm 73 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Bá Bảo, bao gồm lý thuyết và bài tập chủ đề giá trị lượng giác và công thức lượng giác môn Toán 11 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống, có đáp án và lời giải chi tiết.

35 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

73 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
TOÁN 11
LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chủ đề 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. GÓC LƯỢNG GIÁC
a. Góc lượng giác
Trong mặt phẳng, cho hai tia
,.Ou Ov
Xét tia
Om
cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia
quay quanh điểm
,O
theo một chiều nhất định từ
Ou
đến
,Ov
thì ta nói nó quét một góc
lượng giác với tia đầu
,Ou
tia cuối
Ov
và kí hiệu
,Ou Ov
Quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay
cùngvới chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm.
b. Số đo góc lượng giác
Khi tia
Om
quay góc
thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo
. Số đo của
góc lượng giác giác có tia đầu
,Ou
tia cuối
Ov
được kí hiệu là
s® ,Ou Ov
Nhận xét:
Mỗi góc lượng giác gốc
O
được xác định bởi tia đầu
,Ou
tia cuối
Ov
và số đo của nó
Chú ý:
+) Cho hai tia
,Ou Ov
thì có vô số góc lượng giác tia đầu
,Ou
tia cuối
Mỗi góc lượng giác
như thế đều kí hiệu là
,.Ou Ov
+) Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu
,Ou
tia cuối
,Ov
sai khác nhau một bội
nguyên của
360 .
c. Hệ thức Chasles
Với ba tia
,,Ou Ov Ow
bất kì, ta có:
s® s® s®, , , 360 ,Ou Ov Ov Ow Ou Ow k k
Chú ý:
Mỗi góc lượng giác
*
2
,,
k
kn
n
thì có
n
điểm phân biệt biểu diễn trên đường tròn lượng
giác.
2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
a. Đơn vị đô góc và cung tròn
Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc
1
bằng
1
180
góc bẹt.
Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn:
1 60';1 60".
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Đơn vị rađian: Cho đường tròn
O
tâm
,O
bán kính
R
và một cung
AB
trên
.O
Ta nói cung tròn
AB
có số đo bằng
1
rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính
.R
Khi
đó, ta cũng nói rằng góc
AOB
có số đo bằng
1
rađian và viết
rad1AOB
Quan hệ giữa độ và rađian:
rad1
180

và
o
rad
180
1



Chú ý:
Độ
0
30
45
60
90
120
135
150
180
Rađian
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
b. Độ dài cung tròn
Một cung của đường tròn bán kính
R
và có số đo
rad
thì có độ dài
lR
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
a. Đường tròn lượng giác
+) Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định
hướng và lấy điểm
1;0A
làm điểm gốc của đường tròn.
+) Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo
(độ hoặc rađian) là
điểm
M
trên đường tròn lượng giác sao cho
s® ,OA OM
b. Các giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giả sử
;M x y
là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo
,
ta có:
+) Hoành độ
x
của điểm
M
được gọi là côsin của
,
kí hiệu là
cos cos .x


+) Tung độ
y
của điểm
M
được gọi là sin của
,
kí hiệu là
sin sin .y


Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
+) Nếu
cos 0,
tỉ số
sin
cos
được gọi là tang của
,
kí hiệu là
tan
.
sin
tan , 0 .
cos
y
x
x

+) Nếu
sin 0,
tỉ số
cos
sin
được gọi là côtang của
,
kí hiệu là
cot
.
cos
cot , 0 .
sin
x
y
y

Chú ý:
+) Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
+)
sin ,cos

xác định với mọi giá trị của
và ta có:
1 sin 1; 1 cos 1

sin 2 sin ;cos 2 cos ,k k k
+)
tan
xác định khi
;
2
k


cot
xác định khi
;.kk


+) Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác:
Góc phần
tư
Giá trị
lượng giác
I
II
III
IV
sin
cos
tan
cot
c. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Góc
0
6
4
3
2
0
30
45
60
90
sin
0
1
2
3
2
1
cos
1
3
2
1
2
0
tan
0
3
3
1
3
Không xác định
cot
Không xác định
3
1
3
3
0
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
d. Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc
Kỹ thuật 1: Đổi số đo góc
Ví dụ 1:
a) Đổi
35 30'
sang đơn vị rad;
Bước 1: Hiển thị chế độ rad
qw22
Bước 2: Nhập
35 30'
35x30xT21=
b) Đổi
5
9
sang đơn vị độ.
Bước 1: Hiển thị chế độ độ
qw21
Bước 2: Nhập
5
9
(a5R9$)T22=
x
Kỹ thuật 2: Tính các giá trị lượng giác của góc
Ví dụ 2:
a) Tính
2
sin ;
7
Bước 1: Hiển thị chế độ rad
qw22
Bước 2: Nhập
2
sin .
7
ja2qKR7$)=
b) Tính
cot200 .
Bước 1: Hiển thị chế độ độ
qw21
Bước 2: Nhập
1
cot200 .
tan200

a1Rl200x)=
4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
a. Các công thức lượng giác cơ bản
2 2 2
2
2
2
1
sin cos 1 1 tan ,
2
cos
1
1 cot , tan .cot 1 ,
2
sin
kk
k
k k k





Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
b. Gía trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
1.
Hai góc đối nhau:
và
(cos đối)
sin sin ; ;
tan tan ; cot cot .
cos cos

2. Hai góc bù nhau:
và

(sin bù)
; cos cos ;
tan tan ; cot cot .
sin sin


3. Hai góc phụ nhau:
và
2
(chéo)
sin cos ; cos sin ;
22
tan cot ; cot tan .
22


4. Hai góc hơn kém nhau
:
và

(tan và
côtang)
sin sin ; ;
tan tan ; .
cos cos
cot cot


Lưu ý: Góc hơn kém
2
( và
2
)
sin cos cos sin
22
tan cot cot tan
22


II. BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 1: Cho sđ
,Ou Ov
và sđ
', 'Ou Ov
. Chứng minh rằng hai góc hình học
, ' 'uOv u Ov
bằng
nhau khi và chỉ khi hoặc
2k

hoặc
2k

với
k
.
Câu 2: Cho góc lượng giác
,Ou Ov
có số đo
7
. Trong các số
29 22 6 41
; ; ;
7 7 7 7

, những số nào
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
Câu 3: Tìm số đo
của góc lượng giác
,Ou Ov
với
02


, biết một góc lượng giác cùng tia đầu,
tia cuối với góc đó có số đo là:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
a)
33
.
4
b)
291983
.
3
c)
30.
Câu 4: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian:
72 ,600 , 37 45'30''
.
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ:
53
, , 4
18 5

.
Câu 5: Một đường tròn có bán kính
36m
. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
a)
3
.
4
b)
51 .
c)
1
.
3
Câu 6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:
a)
.
4
b)
11
.
2
c)
120 .
d)
765 .
Câu 7: Trên đường tròn lượng giác gốc
A
. Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với
k
là số
nguyên tùy ý).
1
xk
;
2
3
xk

;
3
3
xk
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Câu 8: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
7 5 7
sin cos9 tan cot ;
6 4 2
A



b)
1 2sin2550 cos( 188 )
;
tan368 2cos638 cos98
B

c)
2 2 2 2
sin 25 sin 45 sin 60 sin 65 ;C
d)
2
35
tan .tan .tan .
8 8 8
D

Câu 9: Cho
2


. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a)
sin ;
2



b)
3
tan ;
2



c)
cos .tan ;
2



d)
14
sin .cot .
9

Câu 10: Chứng minh các đẳng thức sau: (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a)
4 2 4
cos 2sin 1 sin ;x x x
b)
32
3
sin cos
cot cot cot 1;
sin
xx
x x x
x
c)
2 2 2 2
2 2 2 2
cot cot cos cos
;
cot .cot cos .cos
x y x y
x y x y

d)
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sin 3tan tan ;
36
x x x x x x

Câu 11: Cho tam giác
ABC
. Chứng minh rằng:
a)
sin cos ;
22
A B C



b)
33
sin cos
22
tan .cot .
22
cos sin
22
BB
A B C
A B C A B C
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 12: Rút gọn biểu thức:
5
sin cos 13 3sin 5
2
A a a a




.
Câu 13: Rút gọn biểu thức
5 9 7
sin 7 cos cot 3 tan 2tan .
2 2 2
M
Câu 14: Đơn giản các biểu thức sau: (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a)
33
cos(5 ) sin tan cot(3 );
22
A x x x x


b)
sin(900 ) cos(450 ) cot(1080 ) tan(630 )
;
cos(450 ) sin( 630 ) tan(810 ) tan(810 )
x x x x
B
x x x x
c)
1 1 1
2.
1 cos 1 cos
sin 2013
C
xx
x

với
2.x


Câu 15: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào
x
.
a)
66
44
sin cos 2
;
sin cos 1
xx
A
xx


b)
2
2
1 cot 2 2cot
;
1 cot
tan 1 tan 1
xx
B
x
xx



c)
4 2 4 4 2 4
sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin .C x x x x x x
Câu 16: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc
biết:
a)
1
sin
3
và
90 180 ;
. b)
2
cos
3

và
3
;
2


c)
tan 2 2

và
0;


d)
cot 2

và
3
.
22


Câu 17: a) Tính giá trị lượng giác còn lại của góc
biết
1
sin
5
và
tan cot 0.


b) Cho
44
1
3sin cos
2


. Tính
44
2sin cosA


.
Câu 18: a) Cho
2
cos
3
. Tính
tan 3cot
tan cot
A


.
b) Cho
tan 3
. Tính
33
sin cos
.
sin 3cos 2sin
B


c) Cho
cot 5
. Tính
22
sin sin cos cos .C
Câu 19: Cho
3
tan 4cot 3,
2
. Tính giá trị biểu thức
2sin tan
.
cos cot
M


Câu 20: Cho
cottan .m


Tính giá trị biểu thức
3 3
tan cotA

theo tham số thực
.m
Câu 21: Cho
sin cos , 2; 2mm



. Tính các giá trị của
22
tan cot

theo
.m
Câu 22: Biết
sin cos .x x m
a) Tính theo
m
giá trị
sin cosxx
và
44
sin cos .xx
b) Chứng minh rằng
2.m
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 23: Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm
O
có bán kính bằng
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 24: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.
B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường
tròn định hướng.
D. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại
được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Câu 25: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Chỉ một cung lượng giác cố điểm đầu là
A
, điểm cuối là
B
.
B. Đúng hai cung lượng giác cố điểm đầu là
A
, điểm cuối là
B
.
C. Đúng bốn cung lượng giác cố điểm đầu là
A
, điểm cuối là
B
.
D. Vô số cung lượng giác cố điểm đầu là
A
, điểm cuối là
B
.
Câu 26: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mỗi cung lượng giác
AB
xác định một góc lượng giác tia đầu
OA
tia cuối
OB
.
B. Mỗi cung lượng giác
AB
xác định hai góc lượng giác tia đầu
OA
tia cuối
OB
.
C. Mỗi cung lượng giác
AB
xác định bốn góc lượng giác tia đầu
OA
tia cuối
OB
.
D. Mỗi cung lượng giác
AB
xác định vô số góc lượng giác tia đầu
OA
tia cuối
OB
.
Câu 27: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là
A
, cung
AN
, có điểm đầu là
A
, điểm cuối là
N
.
A. chỉ có một số đo. B. có đúng hai số đo.
C. có đúng
4
số đo. D. có vô số số đo.
Câu 28: Góc lượng giác tạo bởi cung lượng giác. Trên đường tròn cung có số đo
1rad
là
A. cung có độ dài bằng
1
. B. cung tương ứng với góc ở tâm
0
60
.
C. cung có độ dài bằng đường kính. D. cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Câu 29: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc
A
, cung lượng giác có số đo
0
55
có điểm đầu
A
xác
định
A. chỉ có một điểm cuối
M
. B. đúng hai điểm cuối
M
.
C. đúng 4 điểm cuối
M
. D. vô số điểm cuối
M
.
Câu 30: Có bao nhiêu điểm
M
trên đường tròn định hướng gốc
A
thoả mãn sđ
,
33
k
AM k

?
A.
3
. B.
12
. B.
4
. D.
6
.
Câu 31: Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đo rađian của cung tròn đó bằng
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 32: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1 1rad
. B.
1 60rad
.
C.
1 180rad
. D.
o
180
1 rad



.
Câu 33: Cho lục giác
ABCDEF
nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là
A
, các đỉnh lấy theo thứ tự
đó và các điểm
,BC
có tung độ dương. Khi đó, góc lượng giác có tia đầu
OA
, tia cuối
OC
bằng:
A.
120
. B.
240
.
C.
120
hoặc
240
. D.
120 360 ,kk
.
Câu 34: Góc có số đo
108
đổi ra rađian là
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
A.
3
5
. B.
10
. C.
3
2
. D.
4
.
Câu 35: Đổi số đo góc
105
sang rađian.
A.
5
12
. B.
7
12
. C.
9
12
. D.
5
8
.
Câu 36: Góc có số đo
2
5
đổi sang độ là:
A.
240 .
B.
135 .
C.
72 .
D.
270 .
Câu 37: Góc có số đo
9
đổi sang độ là:
A.
15 .
B.
18 .
C.
20 .
D.
25 .
Câu 38: Góc
63 48'
gần bằng
A.
1,108rad
. B.
1,107rad
. C.
1,114rad
. D.
1,113rad
.
Câu 39: Cho
2 , .
2
a k k
Tìm
k
để
10 11 .a


A.
4k
. B.
6k
. C.
7k
. D.
5k
.
Câu 40: Cho hình vuông
ABCD
có tâm
O
và một trục
đi qua
O
. Xác định số đo của các góc giữa
tia
OA
với trục
, biết trục
đi qua đỉnh
A
của hình vuông.
A.
00
180 36 ,0 k k
. B.
00
90 36 ,0k k
.
C.
00
–90 36 ,0 k k
. D.
0
360 , k k
.
Câu 41: Biết
OMB
và
ONB
là các tam giác đều. Cung
có điểm đầu là
A
và điểm cuối trùng với
B
hoặc
M
hoặc
N
. Tính số đo của
.
A.
,
22

kk
. B.
,
63

kk
.
C.
2
,.
23

kk
. D.
2
,
63

kk
.
Câu 42: Trong mặt phẳng định hướng cho tia
Ox
và hình vuông
OABC
vẽ theo chiều ngược với
chiều quay của kim đồng hồ, biết
0
, 30 360 , sd Ox OA k k
,
,sd Ox BC
bằng:
A.
210 360 ,hh
. B.
135 360 ,hh
.
C.
210 360 ,hh
. D.
175 360 ,hh
.
Câu 43: Trên đường tròn với điểm gốc là
A
. Điểm
M
thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác
AM
có số đo
60
. Gọi
N
là điểm đối xứng với điểm
M
qua trục
Oy
, số đo cung
AN
là
A.
120
. B.
240
.
C.
120
hoặc
240
. D.
120 360 ,kk
.
Câu 44: Cho
22 30' 360 ., Ox Oy k
Tính
k
để
1822 30'., Ox Oy
A.
k 
. B.
3.k
C.
–5.k
D.
5.k
Câu 45: Cho số đo cung
, 25 360 ,Ou Ov k k
. Với giá trị nào của
k
thì
, 1055 ?Ou Ov
A.
1k 
. B.
2k
. C.
3k 
. D.
4k
.
Câu 46: Một bánh xe có
72
răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển
10
răng là
A.
30
. B.
. C.
50
. D.
60
.
Câu 47: Trên đường tròn bán kính
5r
, độ dài của cung đo
8
là
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
A.
8
l
. B.
3
8
l
. C.
5
.
8
l
D.
.
4
l
Câu 48: Trên đường tròn bán kính
15r
, độ dài của cung có số đo
là
A.
750l
. B.
180
15.l
. C.
15
.
180
l
D.
25
.
6
l
Câu 49: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):
5 25 19
, , , .
6 3 3 6
Các
cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A.
và
;
và
. B.
và
;
và
. C.
,,
. D.
,,
.
Câu 50: Cho góc lượng giác
,OA OB
có số đo bằng
5
. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối?
A.
6
5
. B.
11
5
. C.
9
5
. D.
31
5
.
Câu 51: Trên đường tròn lượng giác gốc
A
cho các cung có số đo:
I.
4
. II.
7
4
. III.
13
4
IV.
71
4
.
Hỏi cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A. Chỉ I và II. B. Chỉ I, II và III. C. Chỉ I, II và IV. D. Chỉ II,III và IV
Câu 52: Cho góc
thoả mãn
90 180
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
sin 0
. B.
cos 0
. C.
tan 0
. D.
cot 0
.
Câu 53: Cho góc
thỏa mãn
5
2
2


. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
tan 0;cot 0


. B.
tan 0;cot 0


. C.
tan 0;cot 0


. D.
tan 0;cot 0


.
Câu 54: Cho
5
2
2


. Kết quả đúng là
A.
tan 0;cot 0


. B.
tan 0;cot 0


. C.
tan 0;cot 0


. D.
tan 0;cot 0


.
Câu 55: Cho
2


. Kết quả nào sau đây sai?
A.
cos 0.

B.
sin 0.
2




C.
3
cot 0.
2




D.
tan 0.


Câu 56: Cho
là một góc bất kì. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
1 cos 1
. B.
sin
tan
cos 2
k




.
C.
22
sin cos 1


. D.
cos
tan
sin
k

.
Câu 57: Cho góc lượng giác
bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
22
sin cos 1


. B.
33
sin cos 1


.
C.
22
1
sin cos .
2 2 2


D.
22
sin 2 cos 2 2.


Câu 58: Kết quả nào cho ta tìm được góc
?
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
A.
1
sin
4
.
3
cos
4
B.
3
sin
3
.
2
cos
3
C.
5
sin
13
.
12
cos
13
D.
sin 0.3
.
cos 0.7
Câu 59:
cos
không thể bằng giá trị nào dưới đây?
A.
1
. B.
2
. C.
0,2
. D.
0,9
.
Câu 60: Cho góc
thỏa mãn
0
2
và
1
cos
2
. Giá trị của biểu thức
1
sin
cos
P
bằng
A.
43
2
. B.
43
2
. C.
13
2
. D.
13
2
.
Câu 61: Cho
1
sin
4
biết
0 90
. Tnh
cos ;tan

A.
15 15
cos ;tan
4 15

. B.
15 15
cos ;tan
4 15

.
C.
15 15
cos ;tan
4 15

. D.
15 15
cos ;tan
4 15


.
Câu 62: Cho
2
cos
5

oo
90 180 .

Khi đó,
tan
bằng
A.
21
5
. B.
21
2
. C.
21
5
. D.
21
3
.
Câu 63: Tính giá trị biểu thức
sin30 cos90 sin90 cos30P
.
A.
1.P
B.
0.P
C.
3
.
2
P
D.
3
.
2
P
Câu 64:
oo
cos18 cos342
bằng
A.
1.
B.
0.
C.
o
2cos18 .
D.
o
2cos18 .
Câu 65:
o o o o
in32sin27 sin153 sin 270 s 33
bằng
A.
1.
B.
o
2sin 27 1.
C.
0.
D.
o
sin 27 .
Câu 66: Giá trị biểu thức
tan1 .tan2 .tan3 ...tan89M
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
1
.
2
Câu 67: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A.
sin cos .
2
xx




B.
sin cos .
2
xx




C
tan cot .
2
xx




D.
tan cot .
2
xx




Câu 68: Cho
là một góc bất kì. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
cos( ) cos
. B.
sin( ) sin
.
C.
tan( ) tan
. D.
cot( ) cot

.
Câu 69: Cho hai góc nhọn
và
phụ nhau. Hệ thức nào sau đây sai?
A.
sin cos


. B.
cos sin

. C.
cos sin

. D.
cot tan

.
Câu 70: Cho tam giác ABC bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
sin cos
22
A C B
. B.
cos sin
22
A C B
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
C.
sin ins A B C
. D.
cos cosA B C
.
Câu 71: Biểu thức
7 11 15 19
tan cot tan cot
2 2 2 2
M
bằng
A.
tan cot

B.
2 tan cot .

C.
2 tan cot .

D.
tan cot

Câu 72: Cho
tan 3x
. Tính
2sin cos
sin cos
xx
P
xx
.
A.
3
2
P
. B.
5
4
P
. C.
3P
. D.
2
5
P
.
Câu 73: Cho góc
x
thỏa mãn
cot
1
2
x
. Giá trị biểu thức
22
2
sin sin .cos cos
A
x x x x

bằng
A.
6
. B.
8
. C.
10
. D.
12
.
Câu 74: Biết
tan 2
và
180 270
. Giá trị
sin cos

bằng
A.
35
5
. B.
15
. C.
35
2
. D.
35
2
.
Câu 75: Cho biểu thức
tan10 .tan20 .tan30 .tan 40 .tan50 .tan60 .tan70 .tan80M
. Giá trị của
M
bằng
A.
0M
. B.
1M
. C.
4M
. D.
8M
.
Câu 76: Cho
1
sin
3
a
. Giá trị của biểu thức
cot tan
tan 2cot
aa
A
aa
bằng
A.
1
9
. B.
7
9
. C.
17
81
. D.
7
17
.
Câu 77: Biểu thức
2 2 2 2 2
sin .tan 4sin tan 3cosx x x x x
không phụ thuộc vào
x
và có giá trị bằng
A.
6
. B.
5
. C.
3
. D.
4
.
Câu 78: Giá trị biểu thức
2
2
2 2 2
1 tan
1
4tan 4sin cos
x
A
x x x

không phụ thuộc vào
x
và bằng
A.
1
. B.
1
. C.
1
4
. D.
1
4
.
Câu 79: Giá trị biểu thức
6 6 2 2
sin cos 3sin cosA x x x x
bằng
A.
–1A
. B.
1A
. C.
4A
. D.
4A
.
Câu 80: Biểu thức
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sinA x x x x
có giá trị là
A.
3
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 81: Biểu thức
4 2 2
4 2 2
cos sin cos
sin cos sin
B


bằng
A.
tan
. B.
2
tan
. C.
3
tan
. D.
4
tan
.
Câu 82: Biểu thức
2
cos cos
44
sin
4
xx
M
x





bằng
A.
2
. B.
1
. C.
1
. D.
2
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
IV. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho sđ
,Ou Ov
và sđ
', 'Ou Ov
. Chứng minh rằng hai góc hình học
, ' 'uOv u Ov
bằng
nhau khi và chỉ khi hoặc
2k

hoặc
2k

với
k
.
Lời giải:
Ta có sđ
,Ou Ov
và sđ
', 'Ou Ov
suy ra tồn tại
00
,

,
00
,

và số
nguyên
00
,kl
sao cho
0 0 0 0
2 , 2a k l
.
Khi đó
0
là số đo của
uOv
và
0
là số đo của
''u Ov
.
Hai góc hình học
, ' 'uOv u Ov
bằng nhau khi và chỉ khi
00
00
00





2k

hoặc
2k

với
k
.
Câu 2: Cho góc lượng giác
,Ou Ov
có số đo
7
. Trong các số
29 22 6 41
; ; ;
7 7 7 7

, những số nào
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
Lời giải:
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của
2
do đó
Vì
29
2 .2
77




,
22
3
77




,
6
77




và
41
3.2
77




nên các số
29 41
;
77

là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã
cho.
Câu 3: Tìm số đo
của góc lượng giác
,Ou Ov
với
02


, biết một góc lượng giác cùng tia đầu,
tia cuối với góc đó có số đo là:
a)
33
.
4
b)
291983
.
3
c)
30.
Lời giải:
a) Mọi góc lượng giác
,Ou Ov
có số đo là
33
2,
4
k k Z

Vì
02


nên
33 33
0 2 2 , 0 2 2,
44
k k k k

33 25
, 4.
88
k k k
Suy ra
33
4 .2
44


b) Mọi góc lượng giác
,Ou Ov
có số đo là
291983
2,
3
kk
Vì
02


nên
291983 291983
0 2 2 , 0 2 2,
33
k k k k

291983 291989
, 48664.
66
k k k
Suy ra
291983
48664.2 .
33


c) Mọi góc lượng giác
,Ou Ov
có số đo là
30 2 ,kk

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Vì
02


nên
15
0 30 2 2 , 0 1,k k k k

15 15
, 4.k k k

Suy ra
30 4 .2 30 8 4,867
.
Câu 4: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian:
72 ,600 , 37 45'30''
.
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ:
53
, , 4
18 5

.
Lời giải:
a) Vì
0
1
180
rad
nên
00
2 10
72 72. ,600 600. ,
180 5 180 3
0 0 0
00
45 30 4531 4531
37 45'30'' 37 . 0,659
60 60.60 120 120 180
b) Vì
0
180
1rad



nên
00
5 5 180 3 3 180
. 50 , . 108 ,
18 18 5 5
oo

00
0
180 720
4 4. 2260 48'

.
Câu 5: Một đường tròn có bán kính
36m
. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
a)
3
.
4
b)
51 .
c)
1
.
3
Lời giải:
Theo công thức tnh độ dài cung tròn ta có
.
180
a
l R R

nên
a) Ta có
3
36. 27 84,8
4
l R m

b) Ta có
51 51
. .36 32,04
180 180 5
a
l R m
c) Ta có
1
36. 12
3
l R m
.
Câu 6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:
a)
.
4
b)
11
.
2
c)
120 .
d)
765 .
Lời giải:
x
y
B'
A'
B
A
O
M
1
M
2
M
3
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
a) Ta có
1
4
28
. Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.
Khi đó điểm
1
M
là điểm biểu diễn bởi góc có số đo
4
.
b) Ta có
13
3 .2
22

do đó điểm biểu diễn bởi góc
11
2
trùng với góc
2
và là
điểm
'B
.
c) Ta có
120 1
360 3
. Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.
Khi đó điểm
2
M
là điểm biểu diễn bởi góc có số đo
0
120
.
d) Ta có
0 0 0
765 45 2 .360
do đó điểm biểu diễn bởi góc
0
765
trùng với góc
0
45
.
45 1
360 8
. Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )
Khi đó điểm
3
M
(điểm chính giữa cung nhỏ
'AB
) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo
0
765
.
Câu 7: Trên đường tròn lượng giác gốc
A
. Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với
k
là số
nguyên tùy ý).
1
xk
;
2
3
xk

;
3
3
xk
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải:
x
y
B'
A'
A
B
O
M
1
M
4
M
2
M
3
Ta có:
1
2
2
k
x
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng
1
xk
+) Với
1
00kx
được biểu diễn bởi điểm
A
+)
1
1kx
được biểu diễn bởi
'A
Ta có:
2
2
32
k
x


do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng
2
3
xk

+)
2
0
3
kx
được biểu diễn bởi
1
M
+)
4
1
3
kx
được biểu diễn bởi
2
M
Ta có:
3
2
32
k
x

do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng
3
3
xk
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
+)
3
0
3
kx
được biểu diễn bởi
3
M
+)
6
2
1
3
kx
được biểu diễn bởi
4
M
.
Do các góc lượng giác
1 2 3
,,x x x
được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều
1 4 2 3
'AM M A M M
nên
các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là
,.
3
k
xk

Câu 8: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
7 5 7
sin cos9 tan cot ;
6 4 2
A



b)
1 2sin2550 cos( 188 )
;
tan368 2cos638 cos98
B

c)
2 2 2 2
sin 25 sin 45 sin 60 sin 65 ;C
d)
2
35
tan .tan .tan .
8 8 8
D

Lời giải:
a) Ta có
sin cos 4.2 tan cot 3
6 4 2
A
15
sin cos tan cot 1 1 0 .
6 4 2 2 2
A
b) Ta có
00
0 0 0 0
2sin 30 7.360 cos(8 180 )
1
tan 8 360 2cos 90 8 2.360 cos 90 8
B

0
00
00
0 0 0 0 0 0
00
0 0 0 0 0
1
2. cos8
2sin30 cos8
11
2
tan8 tan8
2cos 8 90 sin8 2cos 90 8 sin8
1 cos8 1 cos8
0.
tan8 2sin8 sin8 tan8 sin8
B
c) Vì
0 0 0 0 0
25 65 90 sin65 cos25
do đó
2
2
0
2 2 2 2
21
sin 25 cos 25 sin 45 sin 60 1
22
C







Suy ra
7
4
C
.
d)
35
tan .tan . tan tan
8 8 8 8
D



Mà
3 5 3 5
, tan cot ,tan cot
8 8 2 8 8 2 8 8 8 8



Nên
tan .cot . tan cot 1
8 8 8 8
D



.
Câu 9: Cho
2


. Xác định dấu của các biểu thức sau:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
a)
sin ;
2



b)
3
tan ;
2



c)
cos .tan ;
2



d)
14
sin .cot .
9

Lời giải:
a) Ta có
3
2 2 2
suy ra
sin 0.
2




Cách khác:
sin sin cos cos 0.
22

b) Ta có
3
0
2 2 2
suy ra
3
tan 0
2




.
Cách khác:
3
tan tan tan cot 0.
2 2 2
c) Ta có
0
2 2 2
suy ra
cos 0.
2



Và
0
2

suy ra
tan 0


Vậy
cos .tan 0
2



.
d) Ta có
3 14 14
2 sin 0
2 9 9
.
3
2
22

suy ra
cot 0


.
Vậy
14
sin .cot 0
9


.
Câu 10: Chứng minh các đẳng thức sau: (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a)
4 2 4
cos 2sin 1 sin ;x x x
b)
32
3
sin cos
cot cot cot 1;
sin
xx
x x x
x
c)
2 2 2 2
2 2 2 2
cot cot cos cos
;
cot .cot cos .cos
x y x y
x y x y

d)
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sin 3tan tan ;
36
x x x x x x

Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với
2
4 2 2
cos 1 2sin sinx x x
2
42
cos 1 sinxx
(*)
Mà
2 2 2 2
sin cos 1 cos 1 sinx x x x
Do đó (*)
2
42
cos cosxx
(đúng) (đ.p.c.m)
Cách khác:
4 2 4 4 4 2
cos 2sin 1 sin cos sin 2sin 1x x x x x x
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
2 2 2 2 2
cos sin cos sin 2sin 1x x x x x
2 2 2 2 2
cos sin 2sin 1 cos sin 1x x x x x
(đúng)
b) Ta có
3 2 3
sin cos 1 cos
sin sin sin
x x x
VT
x x x
Mà
2
2
1
cot 1
sin
x
x

và
sin
tan
cos
x
x
x
nên
22
cot 1 cot cot 1VT x x x
32
cot cot cot 1x x x VP
(đ.p.c.m)
c) Ta có
22
22
2 2 2 2
cot cot
11
tan tan
cot .cot cot cot
xy
VT y x
x y y x
22
2 2 2 2 2 2
cos cos
1 1 1 1
11
cos cos cos cos cos .cos
xy
VP
y x y x x y







(đ.p.c.m)
d)
4 2 4 2
sin 4 1 sin cos 4 1 cosVT x x x x
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
sin 4sin 4 cos 4cos 4 sin 2 cos 2x x x x x x
2 2 2 2 2 2
sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 4 sin cos 3.x x x x x x
Mặt khác vì
tan cot
3 6 2 6 3
x x x x
nên
3tan cot 3
33
VP x x VT VP

(đ.p.c.m)
Câu 11: Cho tam giác
ABC
. Chứng minh rằng:
a)
sin cos ;
22
A B C



b)
33
sin cos
22
tan .cot .
22
cos sin
22
BB
A B C
A B C A B C
Lời giải:
a) Ta có:
sin sin sin cos .
2 2 2 2 2
A B C C C


(đ.p.c.m)
b) Vì
A B C
nên
3 3 3 3
22
sin cos sin cos
2 2 2 2
sin cos 1
22
sin cos
cos sin
22
2 2 2 2
B B B B
BB
VT
BB
BB





tan .cot tan . cot 1VP A A A A
Suy ra
VT VP
. (đ.p.c.m)
Câu 12: Rút gọn biểu thức:
5
sin cos 13 3sin 5
2
A a a a




.
Lời giải:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Ta có
5
sin cos 13 3sin 5
2
A a a a




cos cos 3sina a a
3sin a
.
Câu 13: Rút gọn biểu thức
5 9 7
sin 7 cos cot 3 tan 2tan .
2 2 2
M
Lời giải:
Ta có:
sin cos 2 cot tan 4 2tan 3
2 2 2
M
sin cos cot tan 2tan
2 2 2
sin cos cot cot 2tan
22

sin sin cot cot 2cot 0.
Câu 14: Đơn giản các biểu thức sau: (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a)
33
cos(5 ) sin tan cot(3 );
22
A x x x x


b)
sin(900 ) cos(450 ) cot(1080 ) tan(630 )
;
cos(450 ) sin( 630 ) tan(810 ) tan(810 )
x x x x
B
x x x x
c)
1 1 1
2.
1 cos 1 cos
sin 2013
C
xx
x

với
2.x


Lời giải:
a) Ta có
cos(5 ) cos 2.2 cos cos ;x x x x
3
sin sin sin cos ;
2 2 2
x x x x
3
tan tan tan cot ;
2 2 2
x x x x
và
cot(3 ) cot cot ;x x x
Suy ra
cos cos cot cot 0.A x x x x
b) Ta có
0 0 0
sin(900 ) sin 180 2.360 sin 180 sin ;x x x x
0 0 0 0
cos 450 cos 90 360 cos 90 sin ;x x x x
cot(1080 ) cot(3.360 ) cot cot ;x x x x
00
tan(630 ) tan(3.180 90 ) tan(90 ) cot ;x x x x
0 0 0
sin( 630 ) sin 2.360 90 sin 90 cos ;x x x x
00
tan(810 ) tan(4.180 90 ) tan(90 ) cot ;x x x x
và
0
tan(810 ) tan(4.180 90 ) tan(90 ) cot ;x x x x
Vậy
sin sin cot cot 2sin
.
sin cos
sin cos cot cot
x x x x x
B
xx
x x x x

c) Ta có
sin 2013 sin 1006.2 sin sinx x x x
nên
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
1 1 cos 1 cos
2.
sin
1 cos 1 cos
xx
C
x
xx


22
1 2 1 2 1
2 . 2 . 2 1 .
sin sin
sin sin
1 cos sin
xx
xx
xx




Vì
2 sin 0xx

nên
2
2
1
2 1 2 cot
sin
Cx
x



Câu 15: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào
x
.
a)
66
44
sin cos 2
;
sin cos 1
xx
A
xx


b)
2
2
1 cot 2 2cot
;
1 cot
tan 1 tan 1
xx
B
x
xx



c)
4 2 4 4 2 4
sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin .C x x x x x x
Lời giải:
a) Ta có
2
4 4 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 2sin cos 1 2sin cos ;
và
33
6 6 2 2 2 2 4 4 2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 1 2sin cos sin cos 1 3sin cos .
Do đó
22
22
22
22
3 1 sin cos
1 3sin cos 2 3
.
2
1 2sin cos 1
2 1 sin cos
A






Vậy
A
không phụ thuộc vào
x
. (đ.p.c.m)
b) Ta có
2
2
2
2cos
1
2
1
tan sin
11
1 tan 1
tan
sin
x
xx
B
x
x
x


22
2 sin cos
tan 1 tan 1 2
1.
tan 1 tan 1 tan 1
xx
xx
x x x
Vậy
B
không phụ thuộc vào
x
. (đ.p.c.m)
c)
22
2 2 4 2 2 4
1 cos 6cos 3cos 1 sin 6sin 3sinC x x x x x x
4 2 4 2
22
2 2 2 2
4cos 4cos 1 4sin 4sin 1
2cos 1 2sin 1 2cos 1 2sin 1 3.
x x x x
x x x x
Vậy
C
không phụ thuộc vào
x
. (đ.p.c.m)
Câu 16: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc
biết:
a)
1
sin
3
và
90 180 ;
. b)
2
cos
3

và
3
;
2


c)
tan 2 2

và
0;


d)
cot 2

và
3
.
22


Lời giải:
a) Vì
00
90 180

nên
cos 0
mặt khác
22
sin cos 1


suy ra
2
1 2 2
cos 1 sin 1
93

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Do đó
1
sin 1
3
tan
cos
2 2 2 2
3
b) Vì
22
sin cos 1


nên
2
45
sin 1 cos 1
93

Mà
3
sin 0
2
suy ra
5
sin
3

Ta có
5
sin 5
3
tan
2
cos 2
3
và
2
cos 2
3
cot
sin
55
3
c) Vì
tan 2 2

11
cot
tan
22
Ta có
22
2 2 2
1 1 1 1 1
tan 1 cos cos
93
cos tan 1
2 2 1


.
Vì
0 sin 0
và
tan 2 2 0
nên
cos 0.
Vì vậy
1
cos
3

Ta có
sin 1 2 2
tan sin tan .cos 2 2.
cos 3 3



.
d) Vì
cot 2

nên
11
tan
cot
2
.
Ta có
22
2 2 2
1 1 1 1 1
cot 1 sin sin
3
sin cot 1
3
21


Do
3
cos 0
22


và
cot 2 0
nên
sin 0
Do đó
3
sin
3
.
Ta có
cos 3 6
cot cos cot .sin 2.
sin 3 3
Câu 17: a) Tính giá trị lượng giác còn lại của góc
biết
1
sin
5
và
tan cot 0.


b) Cho
44
1
3sin cos
2


. Tính
44
2sin cosA


.
Lời giải:
a) Ta có
22
22
11
cot 1 25 cot 24
sin
1
5




hay
cot 2 6

Vì
tan
,
cot
cùng dấu và
tan cot 0


nên
tan 0, cot 0


Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Do đó
cot 2 6

. Ta lại có
11
tan
cot
26
.
cos 1 2 6
cot cos cot sin 2 6.
sin 5 5
b) Ta có
2
4 4 4 2
11
3sin cos 3sin 1 sin
22
2
4 2 4 4 2
2
3
sin 0
2
6sin 2 1 2sin sin 1 4sin 4sin 3 0 .
1
sin
2
Suy ra
2
1
sin
2
.
Ta lại có:
22
11
cos 1 sin 1 .
22

Suy ra
22
1 1 1
2.
2 2 4
A
Câu 18: a) Cho
2
cos
3
. Tính
tan 3cot
tan cot
A


.
b) Cho
tan 3
. Tính
33
sin cos
.
sin 3cos 2sin
B


c) Cho
cot 5
. Tính
22
sin sin cos cos .C
Lời giải:
a) Ta có
2
2
2
2
2
1
1
2
tan 3
tan 3
tan cos
1 2cos .
11
tan 1
tan
tan
cos
A

Suy ra
4 17
1 2. .
99
A
b) Do
tan 3
nên
cos 0.
Chia cả tử và mẫu của
B
cho
3
cos ,
ta được:
22
33
33
32
3 3 3
sin cos
tan tan 1 tan 1
cos cos
;
sin 3cos 2sin
tan 3 2tan tan 1
cos cos cos
B




Suy ra
3 9 1 9 1
2
9
27 3 2.3 9 1
B

c) Do
cot 5
nên
sin 0.
Ta có
2 2 2
22
22
sin sin cos cos cos cos
sin . sin 1
sin
sin sin
C






2
22
1 1 6 5
1 cot cot 1 5 5 .
6
1 cot
15

Câu 19: Cho
3
tan 4cot 3,
2
. Tính giá trị biểu thức
2sin tan
.
cos cot
M


Lời giải:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Ta có:
2
4
tan 4cot 3 tan 3 tan 3tan 4 0
tan
(lo¹i)
(nhËn do
tan 1
3
tan 4 )
2

Ta có:
11
tan 4 cot .
tan 4

và
22
22
1 1 16
1 tan cos .
17
cos 1 tan


(lo¹i)
(nhËn do
4 17
cos
17
4 17 3
cos )
17 2
Với
2 2 2
16 1
cos sin 1 cos
17 17
(lo¹i)
(nhËn do
17
sin
17
17 3
sin )
17 2
Vậy ta có:
tan 4
,
1
cot
4
,
4 17
cos
17

và
17
sin
17

.
Lúc đó
17
24
17
2sin tan 272 8 17
cos cot
4 17 1 17 16 17
17 4
M








.
Câu 20: Cho
cottan .m


Tính giá trị biểu thức
3 3
tan cotA

theo tham số thực
.m
Lời giải:
Ta có:
3
333
cot tan cot 3tan .cot tan cot 3tan .mm
Câu 21: Cho
sin cos , 2; 2mm



. Tính các giá trị của
22
tan cot

theo
.m
Lời giải:
Ta có:
2
22
sin cos sin cos 1 2sin cosm m m
2
1
sin cos
2
m


.
Ta có:
22
2 2 2 2
1 1 1 1
tan cot 1 1 2
cos sin cos sin

42
2 2 2 4 2 4 2
2
1 1 4 2 4 2
2 2 2
cos sin 2 1 2 1
1
2
mm
m m m m
m




.
Câu 22: Biết
sin cos .x x m
a) Tính theo
m
giá trị
sin cosxx
và
44
sin cos .xx
b) Chứng minh rằng
2.m
Lời giải:
a) Ta có
2
22
sin cos sin 2sin cos cos 1 2sin cosx x x x x x x x
(*)
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Mặt khác
sin cosx x m
nên
2
1 2sin cosm


hay
2
1
sin cos
2
m

Đặt
44
sin cosA x x
.
Ta có:
2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos sin cosA x x x x x x x x
22
2
sin cos sin cos 1 2sin cos 1 2sin cosA x x x x x x x x
2 2 2 4
2
1 1 3 2
1 1 .
2 2 4
m m m m
A
Vậy
24
32
.
2
mm
A

b) Ta có
22
2sin cos sin cos 1.x x x x
Kết hợp với (*) suy ra:
2
sin cos 2 sin cos 2.x x x x
Vậy
2.m
(đ.p.c.m)
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 23: Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm
O
có bán kính bằng
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 24: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.
B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường
tròn định hướng.
D. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại
được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Lời giải:
Nhắc lại định nghĩa SGK (T134): Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã
chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước
chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
Từ định nghĩa ta chọn đáp án D.
Câu 25: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Chỉ một cung lượng giác cố điểm đầu là
A
, điểm cuối là
B
.
B. Đúng hai cung lượng giác cố điểm đầu là
A
, điểm cuối là
B
.
C. Đúng bốn cung lượng giác cố điểm đầu là
A
, điểm cuối là
B
.
D. Vô số cung lượng giác cố điểm đầu là
A
, điểm cuối là
B
.
Lời giải:
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm
,AB
. Một điểm
M
di động trên đường tròn luôn
theo một chiều ( âm hoặc dương) từ
A
đến
B
tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu là
A
,
điểm cuối là
B
. Do đó có vô số cung lượng giác có điểm đầu là
A
, điểm cuối là
B
.
Câu 26: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mỗi cung lượng giác
AB
xác định một góc lượng giác tia đầu
OA
tia cuối
OB
.
B. Mỗi cung lượng giác
AB
xác định hai góc lượng giác tia đầu
OA
tia cuối
OB
.
C. Mỗi cung lượng giác
AB
xác định bốn góc lượng giác tia đầu
OA
tia cuối
OB
.
D. Mỗi cung lượng giác
AB
xác định vô số góc lượng giác tia đầu
OA
tia cuối
OB
.
Lời giải:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác
AB
þ
. Một điểm
M
chuyển động trên
đường tròn từ
A
tới
B
tạo nên cung lượng giác
AB
þ
nói trên. Khi đó tia
OM
quay xung
quanh gốc
O
từ vị trí
OA
tới vị trí
OB
. Ta nói tia
OM
tạo ra một góc lượng giác có tia đầu
là
OA
, tai cuối là
OB
. Do đó có vô số góc lượng giác tia đầu
OA
tia cuối
OB
.
Câu 27: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là
A
, cung
AN
, có điểm đầu là
A
, điểm cuối là
N
.
A. chỉ có một số đo. B. có đúng hai số đo.
C. có đúng
4
số đo. D. có vô số số đo.
Lời giải:
Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là
A
, cung
AN
, có điểm đầu là
A
, điểm cuối là
N
có vô số số đo, các số đo này sai khác nhau
2
.
Câu 28: Góc lượng giác tạo bởi cung lượng giác. Trên đường tròn cung có số đo
1rad
là
A. cung có độ dài bằng
1
. B. cung tương ứng với góc ở tâm
0
60
.
C. cung có độ dài bằng đường kính. D. cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Câu 29: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc
A
, cung lượng giác có số đo
0
55
có điểm đầu
A
xác
định
A. chỉ có một điểm cuối
M
. B. đúng hai điểm cuối
M
.
C. đúng 4 điểm cuối
M
. D. vô số điểm cuối
M
.
Lời giải:
Vì cung lượng giác có số đo xác định, điểm đầu
A
xác định nên chỉ có một điểm cuối
M
.
Câu 30: Có bao nhiêu điểm
M
trên đường tròn định hướng gốc
A
thoả mãn sđ
,
33
k
AM k

?
A.
3
. B.
12
. B.
4
. D.
6
.
Lời giải:
*
2
,
k
xn
n
thì được biểu diễn bởi n điểm trên đtlg vì vậy ta có
2
6.
3
n
n

Câu 31: Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đo rađian của cung tròn đó bằng
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải:
Ta có, cung tròn có độ dài bằng bán kính thì có số đo 1 radian. Vậy cung tròn đó có số đo là 2
radian.
Câu 32: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1 1rad
. B.
1 60rad
.
C.
1 180rad
. D.
o
180
1 rad



.
Câu 33: Cho lục giác
ABCDEF
nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là
A
, các đỉnh lấy theo thứ tự
đó và các điểm
,BC
có tung độ dương. Khi đó, góc lượng giác có tia đầu
OA
, tia cuối
OC
bằng:
A.
120
. B.
240
.
C.
120
hoặc
240
. D.
120 360 ,kk
.
Lời giải:
Theo bài ra ta có
120
o
AOC
nên góc lượng giác có tia đầu
OA
, tia cuối
OC
có số đo bằng
00
120 360 ,kk
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 34: Góc có số đo
108
đổi ra rađian là
A.
3
5
. B.
10
. C.
3
2
. D.
4
.
Lời giải:
Ta có:
0
0
0
108 . 3
108 .
180 5


Câu 35: Đổi số đo góc
105
sang rađian.
A.
5
12
. B.
7
12
. C.
9
12
. D.
5
8
.
Lời giải:
0
0
0
105 . 7
105
180 12


.
Câu 36: Góc có số đo
2
5
đổi sang độ là:
A.
240 .
B.
135 .
C.
72 .
D.
270 .
Lời giải:
Ta có:
0
0
2 2.180
72 .
55

Câu 37: Góc có số đo
9
đổi sang độ là:
A.
15 .
B.
18 .
C.
20 .
D.
25 .
Lời giải:
Ta có:
0
0
180
20 .
99

Câu 38: Góc
63 48'
gần bằng
A.
1,108rad
. B.
1,107rad
. C.
1,114rad
. D.
1,113rad
.
Lời giải:
Ta có
0
00
0
63,8 3,1416
63 48' 63,8 1,114 .
180
rad
Câu 39: Cho
2 , .
2
a k k
Tìm
k
để
10 11 .a


A.
4k
. B.
6k
. C.
7k
. D.
5k
.
Lời giải:
+ Để
10 11a


thì
19 21
25
22
kk

.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 40: Cho hình vuông
ABCD
có tâm
O
và một trục
đi qua
O
. Xác định số đo của các góc giữa
tia
OA
với trục
, biết trục
đi qua đỉnh
A
của hình vuông.
A.
00
180 36 ,0 k k
. B.
00
90 36 ,0k k
.
C.
00
–90 36 ,0 k k
. D.
0
360 , k k
.
Lời giải:
Tia
OA
và trục
cùng đi qua
O
và
A
góc giữa tia
OA
với trục
là
0 360
oo
k
.
Câu 41: Biết
OMB
và
ONB
là các tam giác đều. Cung
có điểm đầu là
A
và điểm cuối trùng với
B
hoặc
M
hoặc
N
. Tính số đo của
.
A.
,
22

kk
. B.
,
63

kk
.
C.
2
,.
23

kk
. D.
2
,
63

kk
.
Lời giải:
+ Cung
có điểm đầu là
A
và điểm cuối trùng với
B
nên
2
.
+
2
3
AM AB

,
2
3
AN AM

nên chu kì của cung
là
2
3
.
Câu 42: Trong mặt phẳng định hướng cho tia
Ox
và hình vuông
OABC
vẽ theo chiều ngược với
chiều quay của kim đồng hồ, biết
0
, 30 360 , sd Ox OA k k
,
,sd Ox BC
bằng:
A.
210 360 ,hh
. B.
135 360 ,hh
.
C.
210 360 ,hh
. D.
175 360 ,hh
.
Lời giải:
Gọi
A
là điểm đối xứng của
A
qua
O
. Ta có:
, , ,sd Ox BC sd Ox OA sd OA OA

210 360 ,hh
.
Câu 43: Trên đường tròn với điểm gốc là
A
. Điểm
M
thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác
AM
có số đo
60
. Gọi
N
là điểm đối xứng với điểm
M
qua trục
Oy
, số đo cung
AN
là
A.
120
. B.
240
.
C.
120
hoặc
240
. D.
120 360 ,kk
.
Lời giải:
Ta có:
60AON 
,
60MON 
nên
120AOM 
. Khi đó số đo cung
AN
bằng
120
.
Câu 44: Cho
22 30' 3, 60 . kOx Oy
Tính
k
để
1822 30'., Ox Oy
A.
k 
. B.
3.k
C.
–5.k
D.
5.k
Lời giải:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Theo đề:
0
1822 30', Ox Oy
0 0 0
22 30' 360 1822 30'k
5k
.
Câu 45: Cho số đo cung
, 25 360 ,Ou Ov k k
. Với giá trị nào của
k
thì
, 1055 ?Ou Ov
A.
1k 
. B.
2k
. C.
3k 
. D.
4k
.
Lời giải:
Ta có:
, 25 360 1055 3.Ou Ov k k
Câu 46: Một bánh xe có
72
răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển
10
răng là
A.
30
. B.
. C.
50
. D.
60
.
Lời giải:
+ 1 bánh răng tương ứng với
0
0
360
5
72
10
bánh răng là
0
50
.
Câu 47: Trên đường tròn bán kính
5r
, độ dài của cung đo
8
là
A.
8
l
. B.
3
8
l
. C.
5
8
l
. D.
.
4
l
Lời giải:
Độ dài cung AB có số đo cung AB bằng n độ:
. 5.
8
l r n

.
Câu 48: Trên đường tròn bán kính
15r
, độ dài của cung có số đo
là
A.
750l
. B.
180
15.l
. C.
15
.
180
l
D.
25
.
6
l
Lời giải:
Ta có:
0
5
50 .
18
0
0
. .n 25
.
180 6

r
l
.
Câu 49: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):
5 25 19
, , , .
6 3 3 6
Các
cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A.
và
;
và
. B.
và
;
và
. C.
,,
. D.
,,
.
Lời giải:
Ta có:
4
2
cung
và
có điểm cuối trùng nhau.
8
hai cung
và
có điểm cuối trùng nhau.
Câu 50: Cho góc lượng giác
,OA OB
có số đo bằng
5
. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối?
A.
6
5
. B.
11
5
. C.
9
5
. D.
31
5
.
Lời giải:
31
6 3.2
55


.
Câu 51: Trên đường tròn lượng giác gốc
A
cho các cung có số đo:
I.
4
. II.
7
4
. III.
13
4
IV.
71
4
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Hỏi cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A. Chỉ I và II. B. Chỉ I, II và III. C. Chỉ I, II và IV. D. Chỉ II,III và IV
Lời giải:
7
2
44

;
13 5
2
44


;
71
18
44

Dùng giả thiết sau cho các câu 1,2: Trên đường tròn lượng giác gốc
A
cho cung AM có
sđ
2 , ,
2
AM k k
.
Câu 52: Cho góc
thoả mãn
90 180
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
sin 0
. B.
cos 0
. C.
tan 0
. D.
cot 0
.
Lời giải:
Khẳng định đúng là
tan 0
.
Câu 53: Cho góc
thỏa mãn
5
2
2


. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
tan 0;cot 0


. B.
tan 0;cot 0


. C.
tan 0;cot 0


. D.
tan 0;cot 0


.
Lời giải:
Vì
5
2
2


nên điểm cuối của cung
thuộc góc phần tư thứ I, do đó
tan 0;cot 0.


Câu 54: Cho
5
2
2


. Kết quả đúng là
A.
tan 0;cot 0


. B.
tan 0;cot 0


. C.
tan 0;cot 0


. D.
tan 0;cot 0


.
Câu 55: Cho
2


. Kết quả nào sau đây sai?
A.
cos 0.

B.
sin 0.
2




C.
3
cot 0.
2




D.
tan 0.


Lời giải:
3
cot cot cot tan 0
2 2 2
(do
tan 0
2
).
Câu 56: Cho
là một góc bất kì. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
1 cos 1
. B.
sin
tan
cos 2
k




.
C.
22
sin cos 1


. D.
cos
tan
sin
k

.
Câu 57: Cho góc lượng giác
bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
22
sin cos 1


. B.
33
sin cos 1


.
C.
22
1
sin cos .
2 2 2


D.
22
sin 2 cos 2 2.


Câu 58: Kết quả nào cho ta tìm được góc
?
A.
1
sin
4
.
3
cos
4
B.
3
sin
3
.
2
cos
3
C.
5
sin
13
.
12
cos
13
D.
sin 0.3
.
cos 0.7
Lời giải:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Vì
22
25 144
sin cos 1
169 169

.
Câu 59:
cos
không thể bằng giá trị nào dưới đây?
A.
1
. B.
2
. C.
0,2
. D.
0,9
.
Câu 60: Cho góc
thỏa mãn
0
2
và
1
cos
2
. Giá trị của biểu thức
1
sin
cos
P
bằng
A.
43
2
. B.
43
2
. C.
13
2
. D.
13
2
.
Lời giải:
Cách 1: Ta có:
2 2 2 2
sin cos 1 sin 1 cos
Với
1
cos
2
2
2
13
sin 1 sin
22
3
4



Vì
0
2
nên
3
sin 0 sin .
2

Vậy:
1 3 1 3 4 3
sin 2 .
1
cos 2 2 2
2
P
Cách 2: Theo giả thiết:
1
cos
2
.
3
0
2
Vậy
1 1 3 4 3
sin sin 2 .
cos 3 2 2
cos
3
P






Câu 61: Cho
1
sin
4
biết
0 90
. Tnh
cos ;tan

A.
15 15
cos ;tan
4 15

. B.
15 15
cos ;tan
4 15

.
C.
15 15
cos ;tan
4 15

. D.
15 15
cos ;tan
4 15


.
Lời giải:
Ta có
22
1
sin
15
4
cos
15
4
cos 1 sin
16

; với
00
0 90

nên
15
cos
4
.
Và
1
sin
4
nên
sin 1 15
tan
cos 15
15
.
Câu 62: Cho
2
cos
5

oo
90 180 .

Khi đó,
tan
bằng
A.
21
5
. B.
21
2
. C.
21
5
. D.
21
3
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Lời giải:
Ta có:
22
4 21
sin 1 cos 1
25 25

21
sin
5

(vì
oo
90 180
).
Vậy,
sin 21
tan
cos 2
.
Câu 63: Tính giá trị biểu thức
sin30 cos90 sin90 cos30P
.
A.
1.P
B.
0.P
C.
3
.
2
P
D.
3
.
2
P
Lời giải:
Ta có:
sin30 cos90 sin90 cos30P
1 3 3
.0 1.
2 2 2
.
Câu 64:
oo
cos18 cos342
bằng
A.
1.
B.
0.
C.
o
2cos18 .
D.
o
2cos18 .
Lời giải:
o o o
342 18 360
nên
o o o
cos342 cos 18 cos18
.
Câu 65:
o o o o
in32sin27 sin153 sin 270 s 33
bằng
A.
1.
B.
o
2sin 27 1.
C.
0.
D.
o
sin 27 .
Lời giải:
o o o
153 180 27
nên
oo
sin153 sin27 ;
o o o
270 90 360
nên
oo
sin 270 sin90 1
o o o
333 27 360
nên
o o o
sin333 sin 27 sin27
.
Câu 66: Giá trị biểu thức
tan1 .tan2 .tan3 ...tan89M
bằng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
1
.
2
Lời giải:
tan1 .tan2 .tan3 ...tan89
tan1 .tan89 tan2 .tan88 ... tan44 .tan 46 .tan 45
tan1 .cot1 tan2 .cot 2 ... tan44 .cot44 .tan45 1.
M
Câu 67: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A.
sin cos .
2
xx




B.
sin cos .
2
xx




C
tan cot .
2
xx




D.
tan cot .
2
xx




Câu 68: Cho
là một góc bất kì. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
cos( ) cos
. B.
sin( ) sin
.
C.
tan( ) tan
. D.
cot( ) cot

.
Câu 69: Cho hai góc nhọn
và
phụ nhau. Hệ thức nào sau đây sai?
A.
sin cos


. B.
cos sin

. C.
cos sin

. D.
cot tan

.
Câu 70: Cho tam giác ABC bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
sin cos
22
A C B
. B.
cos sin
22
A C B
.
C.
sin ins A B C
. D.
cos cosA B C
.
Lời giải:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Ta có:
cos cos cosA B C C

, do đó mệnh đề D sai.
Câu 71: Biểu thức
7 11 15 19
tan cot tan cot
2 2 2 2
M
bằng
A.
tan cot

B.
2 tan cot .

C.
2 tan cot .

D.
tan cot

Lời giải:
7
3
22

nên
7
tan tan cot ;
22

11
5
22

nên
11
cot cot tan
22

Tương tự:
15
tan cot cot ;
2



19
cot tan tan .
2



Vậy
2 tan cot .M


Câu 72: Cho
tan 3x
. Tính
2sin cos
sin cos
xx
P
xx
.
A.
3
2
P
. B.
5
4
P
. C.
3P
. D.
2
5
P
.
Lời giải:
Do
tan 3x
nên
cos 0.x
Chia cả tử và mẫu của
P
cho
cos ,x
ta được :
Khi đó
2tan 1 5
tan 1 4

x
P
x
.
Câu 73: Cho góc
x
thỏa mãn
cot
1
2
x
. Giá trị biểu thức
22
2
sin sin .cos cos
A
x x x x

bằng
A.
6
. B.
8
. C.
10
. D.
12
.
Lời giải:
Do
1
cot
2
x
nên
sin 0.x
Chia cả tử và mẫu của
A
cho
2
sin ,x
ta được :
Ta có:
2
2
22
2 2 2
2
2
2 2(1 cot )
sin
sin sin .cos cos
sin sin .cos cos 1 cot cot
sin
x
x
A
x x x x
x x x x x x
x

Vì
1
cot
2
x
nên
10A
.
Câu 74: Biết
tan 2
và
180 270
. Giá trị
sin cos

bằng
A.
35
5
. B.
15
. C.
35
2
. D.
35
2
.
Lời giải:
2
2
1 1 1
cos cos .
1 tan 5
5

Do
180 270
nên
cos 0
suy ra
1
cos .
5

2
sin tan .cos
5
. Do đó
3 3 5
sin cos .
5
5

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 75: Cho biểu thức
tan10 .tan20 .tan30 .tan40 .tan50 .tan60 .tan70 .tan80M
. Giá trị của
M
bằng
A.
0M
. B.
1M
. C.
4M
. D.
8M
.
Lời giải:
tan10 .tan80 tan20 .tan70 tan30 .tan60 tan40 .tan50
tan10 .cot10 tan20 .cot20 tan30 .cot30 tan40 .cot40 1
M
Câu 76: Cho
1
sin
3
a
. Giá trị của biểu thức
cot tan
tan 2cot
aa
A
aa
bằng
A.
1
9
. B.
7
9
. C.
17
81
. D.
7
17
.
Lời giải:
Ta có
22
22
cos sin
cot tan cos sin
sin cos
tan 2 cot sin cos
sin 2cos
2
cos sin
aa
a a a a
aa
A
a a a a
aa
aa

22
2
2
22
1 sin sin
1 2sin 7
17
2 sin
sin 2 1 sin
aa
a
a
aa


Câu 77: Biểu thức
2 2 2 2 2
sin .tan 4sin tan 3cosx x x x x
không phụ thuộc vào
x
và có giá trị bằng
A.
6
. B.
5
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin .tan 4sin tan 3cos sin 1 tan 3sin 3cos sinx x x x x x x x x x
2
2 2 2 2 2 2 2
2
sin
cos x tan 3 sin cos . 3 sin sin 3 sin 3
cos
x
x x x x x x
x
.
Câu 78: Giá trị biểu thức
2
2
2 2 2
1 tan
1
4tan 4sin cos
x
A
x x x

không phụ thuộc vào
x
và bằng
A.
1
. B.
1
. C.
1
4
. D.
1
4
.
Lời giải:
2
2
2
22
2
2 2 2 2 2 2 2
sin
1
cos sin
cos
11
4tan 4sin cos 4sin cos 4sin cos
x
xx
x
A
x x x x x x x



2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
cos sin 1 cos sin 1 2cos . 2sin
1.
4sin cos 4sin cos
x x x x x x
A
x x x x
Câu 79: Giá trị biểu thức
6 6 2 2
sin cos 3sin cosA x x x x
bằng
A.
–1A
. B.
1A
. C.
4A
. D.
4A
.
Lời giải:
Ta có:
3
6 6 2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cosx x x x x x x x x x
.
Suy ra:
2 2 2 2
1 3sin cos 3sin cos 1.A x x x x
Câu 80: Biểu thức
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sinA x x x x
có giá trị là
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
A.
3
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải:
4 2 4 2 2 2
sin 4 4sin cos 4 4cos sin 2 cos 2A x x x x x x
22
2 sin 2 cos 3xx
.
Câu 81: Biểu thức
4 2 2
4 2 2
cos sin cos
sin cos sin
B


bằng
A.
tan
. B.
2
tan
. C.
3
tan
. D.
4
tan
.
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2 2
4 2 2
4
4 2 2
2 2 2 2 2
sin 1 cos cos sin 1 cos
cos sin cos
tan .
sin cos sin
cos 1 sin sin cos 1 sin
B


Câu 82: Biểu thức
2
cos cos
44
sin
4
xx
M
x





bằng
A.
2
. B.
1
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải:
Ta có:
22
22
cos sin
44
1.
sin sin
44
xx
M
xx




4
x
phụ với
cos cos sin .
4 4 2 4 4
x x x x



____________________HẾT____________________
Huế, 08h20’ Ngày 14 tháng 3 năm 2023
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chủ đề 2: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. CÔNG THỨC CỘNG
sin sin cos cos sin a b a b a b
sin sin cos cos sina b a b a b
cos cos cos sin sin a b a b a b
cos cos cos sin sina b a b a b
tan tan
tan
tan tan1.
ab
ab
ab

tan tan
tan
tan tan1.
ab
ab
ab

(giả sử các biểu thức đều có nghĩa)
2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin sin cos2 2 .a a a
cos cos sin
cos
sin
22
2
2
2
21
12
a a a
a
a



tan
tan
tan
2
2
2
1
a
a
a
(giả sử các biểu thức đều có nghĩa)
3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
sin cos sin sin
1
.
2
a b a b a b


sin cos cos
1
sin .
2
a b a b a b


cos cos cos cos
1
.
2
a b a b a b


4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
sin sin sin cos2
22
a b a b
ab


sin sin cos sin2
22
a b a b
ab


cos cos cos cos2
22
a b a b
ab


cos cos sin sin2
22
a b a b
ab

5. MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
1)
sin sin sin
3
3 3 4a a a
cos cos cos
3
3 4 3a a a
2) Đặt
tan
2
a
t
. Lúc đó:
sin ; cos ; tan
2
2 2 2
2 1 2
1 1 1
t t t
a a a
t t t
3)
sin cos sin2
4
a a a



cos sin cos2
4
a a a



sin sin cos sin sin cos
22
1 2 1 2a a a a a a
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
tan cot cot tan cot
sin
2
22
2
a a a a a
a
(giả sử các biểu thức đều có nghĩa)
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 1: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác sau:
00
75
cos795 , sin18 , tan ,cot
12 8

.
Câu 2: Không sử dụng máy tính, tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a)
0
0
11
cos290
3 sin250
A 
b)
00
1 tan20 1 tan25B
c)
0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81C
d)
22
22
sin sin sin sin
9 9 9 9
D
Câu 3: Không sử dụng máy tính, tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a)
sin cos .cos .cos ;
32 32 16 8
A
b)
sin10 .sin 30 .sin50 .sin70 ;B
c)
3
cos cos ;
55
C


d)
2 2 2
23
cos cos cos .
7 7 7
D
Câu 4: Cho
,

thoả mãn
2
sin sin
2


và
6
cos cos
2


. Tính
cos

và
sin

.
Câu 5: Cho
4
cos2
5
x 
, với
42
x


. Tính
sin , cos , sin , cos 2
34
x x x x


.
Câu 6: Cho
2
cos4 2 6sin


với
2


. Tính
tan 2
.
Câu 7: Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
7
tan cot sin cos
. Tính
cos4
.
Câu 8: Cho
sin cos cot
2


với
0


. Tính
2013
tan
2




.
Câu 9: Cho
1
sin , tan 2tan
3
. Tính
35
sin cos sin sin
8 8 12 12
A
.
Câu 10: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác
làm cho biểu thức xác định thì
a)
44
3 cos4
sin cos ;
44

b)
66
53
sin cos cos4 ;
88
c)
2
1 sin2
cot .
1 sin2 4





Câu 11: Cho
0,
2
. Chứng minh rằng:
a)
1 cos 1 cos 2sin ;
24





b)
1 cos 1 cos
tan .
24
1 cos 1 cos





Câu 12: Chứng minh rằng:
a)
22
sin( ).sin( ) sin sin ;
b)
cot cot 2
22

với
sin sin 3sin , 2 , ;b k k
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
c)
sin sin cos
tan .
cos sin sin




Câu 13: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
x
:
a)
2 2 2
22
cos cos cos ;
33
A

b)
3
cos .cos cos .cos .
3 4 6 4
B
Câu 14: Đơn giản biểu thức sau: (giả sử các biểu thức có nghĩa)
a)
cos 2cos2 cos3
;
sin sin2 sin3
a a a
A
a a a


b)
cos cos
33
;
cot cot
2
aa
B
a
a

c)
cos cos( ) cos( 2 ) ... cos( ) .C a a b a b a nb n
Câu 15: Cho
sin 2cosa b a b
. Chứng minh rằng biểu thức
11
2 sin2 2 sin2
M
ab


không phụ
thuộc vào
,ab
.
Câu 16: Chứng minh rằng với
0
2

thì
a)
2
2cot 1 cos2 ;


b)
cot 1 cot2 .


Câu 17: Cho
0
2

. Chứng minh rằng:
11
sin cos 2.
2cos 2sin


Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a)
sin cos ;A x x
b)
44
sin cos .B x x
Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
2 2sin cos2A x x
Câu 20: Chứng minh trong mọi tam giác
ABC
ta đều có:
a)
sin sin sin 4cos cos cos ;
2 2 2
A B C
A B C
b)
2 2 2
sin sin sin 2(1 cos cos cos );A B C A B C
c)
sin2 sin2 sin2 4sin sin sin .A B C A B C
Câu 21: Chứng minh trong mọi tam giác
ABC
không vuông, ta đều có:
a)
tan tan tan tan .tan .tan ;A B C A B C
b)
cot .cot cot .cot cot .cot 1.A B B C C A
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 22: Với
,ab
là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
sin sin 2cos sin .
22


a b a b
ab
B.
cos cos cos sin sin . a b a b a b
C.
sin sin cos cos sin . a b a b a b
D.
2cos cos cos cos . a b a b a b
Câu 23: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
sin 2 2si n cosx x x
. B.
sin 2 sin cosx x x
. C.
sin 2 2cosxx
. D.
sin 2 2sinxx
.
Câu 24: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
2
cos2 1 2sinaa
. B.
22
sin 3 cos 3 3aa
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
C.
sin 4 2sin2 cos2a a a
. D.
cos cos cos sin sina b a b a b
.
Câu 25: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
2
cos2 1 2si naa
. B.
22
cos2 cos sina a a
.
C.
2
cos2 1 2cosaa
. D.
2
cos2 2cos 1aa
.
Câu 26: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
cos2 2cos 1aa
. B.
2
2sin 1 cos2aa
.
C.
sin sin cos sin cosa b a b b a
. D.
sin 2 2sin cosa a a
.
Câu 27: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
2
cos2 1 2si naa
. B.
cos2 2sin cosa a a
C.
22
cos2 cos sina a a
. D.
2
cos2 2cos 1aa
.
Câu 28: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
22
cos2 cos sina a a
. B.
2
cos2 2cos 1aa
.
C.
22
cos2 cos sina a a
. D.
2
cos2 2sin 1aa
.
Câu 29: Với
,ab
là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? (giả sử các biểu thức lượng giác đều có
nghĩa)
A.
tan( ) tana


. B.
sin sin 2sin sin
22
a b a b
b


.
C.
sin tan cos
. D.
cos( ) sin sin cos cosa b a b a b
.
Câu 30: Với
,ab
là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
1
sin sin cos cos
2
a b a b a b


. B.
–cc
1
s
2
o cos cos osa b a bab



.
C.
cos cos cos
1
2
cosaa b a bb


.
D.
1
sin cos sin – sin
2
a b a b a b


.
Câu 31: Với
,ab
là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
sin sin sin cos cosa b a b a b
. B.
sin sin cos cos sina b a b a b
.
C.
sin sin cos cos sina b a b a b
. D.
sin sin sin cos cosa b a b a b
.
Câu 32: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
13
cos sin cos
3 2 2
a a a



. B.
13
cos cos sin
3 2 2
a a a



.
C.
1
cos cos
32
aa



. D.
31
cos sin cos
3 2 2
a a a



.
Câu 33: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
44
3 cos4
sin cos .
44

B.
44
3 cos4
sin cos .
44

C.
44
3 cos4
sin cos
42

D.
44
3 cos4
sin cos
24

Câu 34: Cho góc
x
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
44
31
sin cos cos4
44
x x x
. B.
66
53
sin cos cos4
84
x x x
.
C.
44
sin cos cos2 x x x
. D.
44
31
sin cos cos4
44
x x x
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 35: Tính giá trị của biểu thức
44
sin ,

P cos
biết
2
sin2
3
.
A.
1
3
. B.
1
. C.
9
7
. D.
7
9
.
Câu 36: Biểu thức
sin
6
a



được viết lại thành
A.
1
sin
2
a
. B.
31
sin cos
22
aa
. C.
31
sin cos
22
aa
. D.
13
sin cos
22
aa
.
Câu 37: Biểu thức
sin
sin
ab
ab
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
sin sin
.
sin sin
ab
ab
B.
sin sin
.
sin sin
ab
ab
C.
tan tan
.
tan tan
ab
ab
D.
cot cot
.
cot cot
ab
ab
Câu 38: Giá trị biểu thức
sin .cos sin .cos
15 10 10 15
22
cos .cos sin .sin
15 5 15 5
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
3
2
. D.
3
2
.
Câu 39: Cho
3
sin
4
. Tính
cos2
.
A.
1
8
. B.
7
4
. C.
7
4
. D.
1
8
.
Câu 40: Cho góc lượng giác
thỏa mãn
1
sin
3

, và
3
2


. Tính
sin 2
.
A.
7
9
. B.
42
9
. C.
42
9
. D.
2
3
.
Câu 41: Cho
3
cos
5
x 
. Tính
cos2x
.
A.
7
25
. B.
3
10
. C.
8
9
. D.
7
25
.
Câu 42: Tính giá trị biểu thức
1 3cos2 2 3cos2 ,

P
biết
2
sin .
3
A.
49
.
27
B.
50
27
. C.
48
.
27
D.
42
27
.
Câu 43: Cho biết
1
sin cos
2
xx
. Tính
sin 2x
.
A.
3
4
. B.
3
4
. C.
1
2
. D.
1
.
Câu 44: Cho góc
thỏa mãn
2
và
sin 2cos 1

. Tính giá trị
sin 2α.
A.
26
5
. B.
24
25
. C.
26
5
. D.
24
25
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 45: Cho góc
thỏa mãn
0
2

và
2
sin
3
. Tính
1 sin 2 cos2
sin cos
P



.
A.
25
3
P 
. B.
3
2
P
. C.
25
3
P
. D.
3
2
P 
.
Câu 46: Cho
tan 2
. Giá trị
tan
4



bằng
A.
1
3
. B.
2
3
. C.
1
. D.
1
3
.
Câu 47: Cho
và
là hai góc nhọn mà
1
tan
7
và
3
tan
4
. Góc

có giá trị bằng
A.
6
. B.
4
. C.
3
. D.
.
2
Câu 48: Nếu
tan cot 2


,
0
2




thì
sin 2
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
1
3
. D.
2
2
.
Câu 49: Biết
4
sin
5
a 
,
3
cos
5
b
3
,0 ,
22
ab




tính
cos .ab
A.
7
.
25
B.
0.
C.
1.
D.
33
.
65
Câu 50: Cho hai góc
,

thỏa mãn
5
sin ,
13 2



và
3
cos , 0
52




. Tính giá trị
đúng của
cos

.
A.
16
65
. B.
18
65
. C.
18
65
. D.
16
65
.
Câu 51: Giá trị của
tan
3



bằng bao nhiêu khi
3
sin
52



?
A.
48 25 3
11
. B.
8 5 3
11
. C.
83
11
. D.
48 25 3
11
.
Câu 52: Rút gọn biểu thức
sin sin
33
M x x

ta được
A.
3 sinMx
. B.
cos3Mx
. C.
3 sinMx
. D.
cos3Mx
.
Câu 53: Cho
tan 2
. Tính
π
tan
4



.
A.
1
3
. B.
1
3
. C. 1. D.
2
3
.
Câu 54: Cho
4
sin
5
a
với
2
a

. Tính
tan
6
a



.
A.
48 25 3
11

. B.
48 25 3
39

. C.
48 25 3
11
. D.
48 25 3
39
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 55: Cho biết
5
tan
7
x
. Tính giá trị của biểu thức
5sin 2 7cos2P x x
.
A.
13P
. B.
7P
. C.
2P
. D.
9P
.
Câu 56: Biết
sin cos m


. Tính
cos
4
P




theo
m
.
A.
2
m
. B.
2
m
. C.
2m
. D.
2m
.
Câu 57: Biết
53
sin ,cos
13 5
ab
với
0,
22
ab

. Tính
cos ab
.
A.
63
.
65
B.
C.
16
.
65
D.
56
.
65
Câu 58: Cho các góc
,

thỏa
12
, ,sin ,cos
2 3 3
. Tính
sin

.
A.
5 4 2
.
9
B.
5 4 2
.
9
C.
2 10 2
.
9
D.
2 2 10
.
9
Câu 59: Cho
tan 2 1 2ab
;
tan 3 2024 10 ba
. Giá trị của
tan 2023 5 a
bằng:
A.
8
21
. B.
7
15
. C.
8
21
. D.
7
15
.
Câu 60: Cho
ABC
nếu có quan hệ
sin cos cos sin sinA B C B C
thì đó là tam giác gì?
A. Tam giác đều. B. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông cân. D. Tam giác vuông.
Câu 61: Rút gọn biểu thức
cos 115 .cos –365 sin 115 .sin –365 M
.
A.
cos 245M 
. B.
sin 480M
. C.
sin 245M 
. D.
cos 480M
.
Câu 62: Rút gọn biểu thức
sin cos cos sinA x y y x y y
.
A.
cosAx
. B.
sinAx
. C.
sin .cos2A x y
. D.
cos .cos2A x y
.
Câu 63: Nếu
1
sin cos
2
xx
thì
sin 2x
bằng
A.
3
4
. B.
3
8
. C.
2
2
. D.
3
4
.
Câu 64: Chọn đẳng thức đúng.
A.
2
1 sin
cos
4 2 2
aa




. B.
2
1 sin
cos
4 2 2
aa




.
C.
2
1 cos
cos
4 2 2
aa




. D.
2
1 cos
cos
4 2 2
aa




.
Câu 65: Biểu thức
2sin sin
44



bằng
A.
sin 2
. B.
cos2
. C.
sin
. D.
cos
.
Câu 66: Biểu thức
4cos .sin
63



bằng
A.
2
3 4sin

. B.
2
4 3sin
. C.
2
3 4sin
. D.
2
sin
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 67: Cho
cos2 m
. Tính theo
m
giá trị của biểu thức
22
2sin 4cosA


.
A.
3Am
. B.
42Am
. C.
4Am
. D.
3Am
.
Câu 68: Cho tam giác
ABC
thỏa mãn
2sin .sin 1 cos ,A B C
khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác
ABC
vuông tại
.C
B. Tam giác
ABC
vuông tại
.A
C. Tam giác
ABC
cân tại
.C
D. Tam giác
ABC
cân tại
.A
Câu 69: Cho tam giác
ABC
thỏa mãn
sin 2sin cosA B C
và
50 ,A 
khẳng định nào sau đây đúng?
A.
60 .B 
B.
75 .C 
C.
65 .B 
D.
55 .C 
Câu 70: Cho góc
thỏa mãn
tan 2,
tính giá trị biểu thức
2tan tan2 .P


A.
8
.
3
P
B.
2
.
3
P
C.
4
.
3
P
D.
2.P
Câu 71: Cho
1
sin cos ,
2


khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
sin2 .
8
B.
3
sin2 .
4

C.
3
sin2 .
4
D.
3
sin2 .
8

Câu 72: Tính giá trị
5
cos .cos .
12 12
A

A.
3
.
4
A
B.
1
.
2
A
C.
1
.
4
A
D.
3.A
Câu 73: Cho biết
4
sin .cos2 cos4x a b x x
với
, , .abc
Tính tổng
. S a b c
A.
1S
. B.
1S 
. C.
4S
. D.
0S
.
Câu 74: Cho góc
thỏa mãn
;
2




mà
1
sin .
5
Tính
sin
6



A.
15 5
.
10
B.
15 5
.
5
C.
15 2 5
.
5
D.
15 2 5
.
10
Câu 75: Biết
1
cos
3
,
1
cos
4
. Tính
cos .cos

.
A.
25
144
. B.
19
144
. C.
5
144
. D.
119
144
.
Câu 76: Đơn giản biểu thức
inx
2
2cos 1
s cos
x
A
x
ta được kết quả nào sau đây ?
A.
sin cos .A x x
B.
cos sin .A x x
C.
sin cos .A x x
D.
cos sin .A x x
Câu 77: Rút gọn biểu thức
sin sin3
2cos
xx
A
x
.
A.
sin 4 .Ax
B.
sin .Ax
C.
sin 2 .Ax
D.
cos2 .Ax
Câu 78: Rút gọn biểu thức
4sin 2 .cos2
cos3 cos
xx
xx
(với điều kiện biểu thức có nghĩa), ta được biểu thức có
dạng
sin 2
cos
ax
bx
với
,,
a
ab
b
tối giản. Giá trị của
2
ab
bằng
A.
2
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Câu 79: Rút gọn biểu thức
cos cos5
sin4 sin2
aa
P
aa
(với
sin 4 sin 2 0aa
) ta được:
A.
2cotPa
. B.
2cosPa
. C.
2tanPa
. D.
2sinPa
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 80: Rút gọn biểu thức:
2sin2 sin4
2sin2 sin 4


bằng:
A.
2
tan
. B.
2
tan
. C.
2
tan 2
. D.
2
cot
.
Câu 81: Rút gọn biểu thức
sin sin3
2cos
xx
A
x
.
A.
sin4Ax
. B.
sinAx
. C.
sin2Ax
. D.
cos2Ax
.
Câu 82: Biến đổi thành tích biểu thức
sin7 sin5
sin7 sin5


ta được
A.
tan5 .tan

. B.
cos .sin

. C.
cos2 .sin3

. D.
cot6 .tan

.
Câu 83: Biết
1
tan .
3
x
Tính giá trị của biểu thức
cos5 cos3
.
sin5 sin3
xx
I
xx
A.
1
3
I
. B.
1
3
I 
. C.
3I
. D.
3I 
.
Câu 84: Giả sử biểu thức
sin sin2 sin3
cos cos2 cos3
M


có nghĩa, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
tan2 .M
B.
cot2 .M
C.
tan2 .M

D.
cot2 .M

Câu 85: Biểu thức
1 sin 4 cos4
1 sin 4 cos4




có kết quả rút gọn bằng
A.
2
cos
. B.
2
cot
. C.
2
tan
. D.
2
sin
.
Câu 86: Rút gọn biểu thức
sin2 sin
1 cos cos2
xx
P
xx

(với điều kiện biểu thức có nghĩa) ta được kết quả
A.
cotPx
. B.
tanPx
. C.
cosPx
. D.
sinPx
.
Câu 87: Biểu thức thu gọn của biểu thức
1
1 .tan
cos2
Bx
x




là
A.
tan 2x
. B.
cot 2x
. C.
cos2x
. D.
sin x
.
Câu 88: Rút gọn biểu thức
2
1 cos cos2 cos3
2cos cos 1


bằng
A.
2cos
. B.
cos
. C.
2cos
. D.
2sin
.
Câu 89: Rút gọn biểu thức
2
sin2 sin5 sin3
1 cos 2sin 2
a a a
A
aa


.
A.
cosa
. B.
sin a
. C.
2cos a
. D.
2sin a
.
Câu 90: Với điều kiện xác định, hãy rút gọn biểu thức
22
tan cot tan cot
cot tan
x x x x
A
xx
.
A.
2
cot2
A
x
. B.
4A
. C.
4
cot2
A
x
. D.
8
cot2
A
x
.
Câu 91: Cho góc nhọn
thỏa mãn
cos 2sin ,

khẳng định nào sau đây sai?
A.
1
tan .
2
B.
1
sin .
5
C.
cot 2.
D.
45
sin2 .
5
Câu 92: Nếu
,,
là ba góc nhọn và thỏa mãn
tan .sin cos

thì
A.
45
. B.
60
.
C.
90
. D.
120
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
sin sin .
3
M




A.
2.
B.
3
.
2
C.
D.
1.
Câu 94: Giá trị lớn nhất của biểu thức
47
sin cosxx
là
A.
2
. B.
2
. C.
1
2
. D.
1
.
Câu 95: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
sin 3cos

.
A.
2
. B.
13
. C.
2
. D.
0
.
Câu 96: Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
66
sin cosP


.
A.
40Mm
. B.
42Mm
. C.
44Mm
. D.
41Mm
.
Câu 97: Cho
0
2
x

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
44
sin cosP x x
.
A.
1
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
0
.
Câu 98: Cho tam giác
ABC
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2cos 2cos 2 3cos P A B C
.
A.
23
. B.
73
3
. C.
53
3
. D.
23
3
.
IV. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác sau:
00
75
cos795 , sin18 , tan ,cot
12 8

.
Lời giải:
Vì
0 0 0 0 0 0
795 75 2.360 30 45 2.360
nên
0 0 0 0 0 0
3 2 1 2 6 2
cos795 cos75 cos30 cos45 sin30 sin45 . .
2 2 2 2 4
Vì
0 0 0
54 36 90
nên
00
sin54 cos36
Mà
0 0 2 0
cos36 cos 2.18 1 2sin 18
0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0
sin18 . 1 2sin 18 2sin18 cos 18 sin18 . 1 2sin 18 2sin18 1 sin 18
0 3 0
3sin18 4sin 18 .
Do đó
0 3 0 2 0 0 2 0 0
3sin18 4sin 18 1 2sin 18 sin18 1 4sin 18 2sin18 1 0
0
sin18 1
hoặc
0
51
sin18
2
hoặc
0
51
sin18
2
Vì
0
0 sin18 1
nên
0
51
sin18
2
.
tan tan
7 3 1
34
tan tan 2 3
12 3 4
13
1 tan tan
34





;
5
cot cot tan .
8 2 8 8



Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Ta lại có
2
2tan
8
1 tan tan 2.
48
1 tan
8




Suy ra
22
1 tan 2tan tan 2tan 1 0
8 8 8 8
tan 1 2
8
hoặc
tan 1 2
8
Do
tan 0
8
nên
tan 1 2.
8
Vậy
5
cot 1 2.
8

Câu 2: Không sử dụng máy tính, tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a)
0
0
11
cos290
3 sin250
A 
b)
00
1 tan20 1 tan25B
c)
0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81C
d)
22
22
sin sin sin sin
9 9 9 9
D
Lời giải:
a) Ta có
0 0 0 0 0 0 0
cos290 cos 180 90 20 cos 90 20 sin20
0 0 0 0 0 0 0
sin250 sin 180 90 20 sin 90 20 cos20
00
00
0
0 0 0 0 0
31
cos20 sin20
1 1 3 sin 20 sin20
22
4
sin20
3 cos20 3 sin 20 .cos20 3.2.sin 20 .cos20
C
0 0 0 0 0
00
sin60 cos20 cos60 sin20 4sin40 4 3
4.
3
3 sin40 3 sin40
b) Cách 1: Ta có
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
sin20 sin25 sin20 cos20 sin25 cos25
1 1 .
cos20 cos25 cos20 cos25
B

0 0 0 0 0 0 0 0
00
sin20 cos45 cos20 sin45 sin25 cos45 cos25 sin45
2. . 2.
cos20 cos25

00
00
sin65 sin70
2 2.
cos20 cos25

Cách 2: Ta có
00
0 0 0
00
tan20 tan25
tan45 tan 20 50
1 tan20 tan25
Suy ra
00
0 0 0 0
00
tan20 tan25
1 tan20 tan25 tan20 tan25 1
1 tan20 tan25
00
1 tan20 1 tan25 2
.
Vậy
2.B
c)
0 0 0 0
tan9 tan81 tan27 tan63C
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
sin9 cos81 sin81 cos9 sin27 cos63 sin63 cos27
cos9 cos81 cos27 cos63


00
0 0 0 0 0 0 0 0
2 sin54 sin18
1 1 2 2
cos9 sin9 cos27 sin27 sin18 sin54 sin18 sin54
00
00
4cos36 .sin18
4
sin18 .sin54

d)
2
22
2 2 2 2
sin sin sin sin sin sin sin sin
9 9 9 9 9 9 9 9
D



Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
2
2
1 1 1
2sin cos cos cos cos cos
6 18 2 3 9 18 2 2 9
1 cos
1 1 3
9
cos .
2 2 2 9 4



Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng:
13
sin 3 cos 2 sin cos 2sin( )
2 2 3
x x x x x




31
3 sin cos 2 sin cos 2sin( )
2 2 6
x x x x x




11
sin cos 2 sin cos 2 sin( )
4
22
x x x x x



.
Câu 3: Không sử dụng máy tính, tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a)
sin cos .cos .cos ;
32 32 16 8
A
b)
sin10 .sin 30 .sin50 .sin70 ;B
c)
3
cos cos ;
55
C


d)
2 2 2
23
cos cos cos .
7 7 7
D
Lời giải:
a)
11
2sin cos .cos .cos sin .cos .cos
2 32 32 16 8 2 16 16 8
A




1 1 2
sin .cos sin
4 8 8 8 4 16
b) Ta có
00
1
cos20 cos40 cos80
2
o
B
Do đó:
0 0 0 0
16sin20 . 8sin20 cos20 cos40 cos80
o
B
0 0 0 0 0
4sin40 cos40 cos80 2sin80 cos80 sin160 .
o
Suy ra
0
0
sin160 1
16
16sin20
B 
.
c) Ta có
2
2cos cos
55
C

.
Vì
sin 0
5
nên
2 2 2 4
2sin . 4sin cos cos 2sin cos sin .
5 5 5 5 5 5 5
C
Suy ra
1
.
2
C
c)
2 4 6
1 cos 1 cos 1 cos
3 1 2 4 6
7 7 7
cos cos cos
2 2 2 2 2 7 7 7
D




Xét
2 4 6
cos cos cos .
7 7 7
T
Vì
sin 0
7
nên
2 4 6
2sin 2sin cos 2sin cos 2sin cos
7 7 7 7 7 7 7
T
3 5 3 5
sin sin sin sin sin sin sin .
7 7 7 7 7 7
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Suy ra
1
2
T 
.
Vậy
3 1 1 5
.
2 2 2 4
D



.
Câu 4: Cho
,

thoả mãn
2
sin sin
2


và
6
cos cos
2


. Tính
cos

và
sin

.
Lời giải:
Ta có
22
21
sin sin sin sin 2sin sin
22
(1)
22
63
cos cos cos cos 2cos cos
22
(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
2 2 2 2
sin sin cos cos 2sin sin 2cos cos 2
2 2 sin sin cos cos 2 2cos 0
Vậy
cos 0.


(*)
Từ giả thiết ta có
26
sin sin cos cos .
22
3
sin cos sin cos sin cos sin cos
2
13
sin2 sin2 sin
22
Mặt khác:
sin2 sin2 2sin cos 0
(Do
cos 0


từ (*))
Suy ra
3
sin .
2


Câu 5: Cho
4
cos2
5
x 
, với
42
x


. Tính
sin , cos , sin , cos 2
34
x x x x


.
Lời giải:
Vì
42
x


nên
sin 0, cos 0xx
.
Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:
2
1 cos2 9 3
sin sin ;
2 10
10
x
xx
2
1 cos2 1 1
cos cos .
2 10
10
x
xx
Ta có:
3
sin2 2sin cos .
5
x x x
Theo công thức cộng, ta có:
3 1 1 3 3 3
sin sin cos cos sin . . ;
3 3 3 2 2
10 10 2 10
x x x



4 2 2 3 2
cos 2 cos2 sin cos sin2 . . .
4 4 4 5 2 2 5 10
x x x



Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 6: Cho
2
cos4 2 6sin


với
2


. Tính
tan 2
.
Lời giải:
Ta có
22
cos4 2 6sin 2cos 2 1 2 3 1 cos2
2
1
cos2
2cos 2 3cos2 2 0
2
cos2 2


1
cos2
2

(Vì
cos2 2 0

)
Ta có:
22
22
11
1 tan 2 tan 2 1 3.
cos 2 cos 2


Vì
22
2
nên
sin2 0.
Mặt khác
cos2 0
do đó
tan2 0.
Vậy
tan2 3.

Câu 7: Cho
2 2 2 2
1 1 1 1
7
tan cot sin cos
. Tính
cos4
.
Lời giải:
Ta có
22
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 sin 1 cos 1
77
tan cot sin cos cos sin


2 2 2 2
22
4 4 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
22
2
sin sin 1 cos cos 1
7
sin cos
sin cos 1 7 sin cos
sin cos 2sin cos 1 7 sin cos
2 9sin cos 8 9 2sin cos
7
8 9sin 2 16 9 1 cos4 cos4 .
9


Vậy
7
cos4 .
9

Câu 8: Cho
sin cos cot
2


với
0


. Tính
2013
tan
2




.
Lời giải:
Ta có
2
2
sin 2tan
22
sin 2sin cos 2cos .
2 2 2
cos tan 1
22


22
2 2 2
22
sin 1 tan
22
cos cos sin cos 1
2 2 2
cos tan 1
22








Do đó:
2
22
2tan 1 tan
1
22
sin cos cot
2
tan 1 tan 1 tan
2 2 2



Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
2 2 3 2
2
tan 1 2tan tan 1 tan tan tan tan 1 0
2 2 2 2 2 2 2
tan 1 tan 1 0 tan 1
2 2 2



Vì
00
22


do đó
tan 0
2
nên
tan 1 cot 1
22

Ta có
2013
tan tan 2006 cot 1
2 2 2 2
Vậy
2013
tan 1.
2





Lưu ý: Ta có thể biểu diễn
sin ,cos ,tan ,cot
qua
tan
2
t
như sau:
22
2 2 2
2 1 2 1
sin ,cos ,tan ,cot
2
1 1 1
t t t t
t
t t t

(với
làm các biểu thức có nghĩa)
Câu 9: Cho
1
sin , tan 2tan
3
. Tính
35
sin cos sin sin
8 8 12 12
A
.
Lời giải:
Ta có
11
sin sin cos cos sin
33
(1)
và
tan 2tan sin cos 2sin cos
(2)
Từ (1) và (2) ta được
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
cos sin cos sin 1 sin sin
3 9 9
2 4 4
sin cos sin cos sin 1 sin
3 9 9

22
22
22
2
4 2 2 2
1
1 sin sin
11
9
1 sin sin
1
39
sin sin
3
2 1 1 1
sin sin 0 sin 0 sin .
3 9 3 3











Do đó
22
12
sin sin .
33

Ta có
3 1 1 2
sin cos sin 2 sin cos2
8 8 2 2 4 2 2







2
1 2 1 2 2 2 3 2
1 2sin 1 2.
2 2 2 3 2 12
5 1 1 3
sin cos sin 2 sin cos2
12 12 2 2 3 2 2







Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
2
1 3 1 1 3 2 3 2
1 2sin 1 2.
2 2 2 3 2 12

Do đó
2 3 2 2 3 2 1
12 12 3
A
.
Câu 10: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác
làm cho biểu thức xác định thì
a)
44
3 cos4
sin cos ;
44

b)
66
53
sin cos cos4 ;
88
c)
2
1 sin2
cot .
1 sin2 4





Lời giải:
a) Ta có
2
4 4 2 2 2 2 2
1
sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2
2
1 cos4 3 cos4
1
4 4 4

b) Ta có:
33
6 6 2 2 2 2 4 2 2 4
sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos
4 2 2 4 2 2 2
33
sin sin cos cos 1 3sin cos 1 sin 2 1 1 cos4
48
53
cos4 .
88

c) Ta có
2
22
2 2 2
sin cos
1 sin 2 sin cos 2sin cos
1 sin2
sin cos 2sin cos
sin cos




2
2
2
2
2
2 cos
2cos
4
4
cot .
4
2sin
2 sin
4
4



















Cách khác:
2
2
2
2
1 tan tan
1 cos sin 1 sin2
4
cot .
4 cos sin 1 sin2
tan tan
tan
4
4

















Câu 11: Cho
0,
2
. Chứng minh rằng:
a)
1 cos 1 cos 2sin ;
24





b)
1 cos 1 cos
tan .
24
1 cos 1 cos





Lời giải:
a) Do
3
0
4 2 4 4


nên
sin 0,sin 0
24




Đẳng thức tương đương với
2
2
1 cos 1 cos 4sin
24





Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
2
2 2 1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos sin
2






2 2 2 2
1 cos sin sin cos 1
(luôn đúng)
đ.p.c.m.
b)
2
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
VT

2
1 sin
2 2 1 cos . 1 cos 1 1 cos
.
2cos cos cos
Vì
0


nên
sin 0
do đó
2
22
22
sin cos
sin cos 2sin cos
22
1 sin
2 2 2 2
cos
cos sin
sin cos cos sin
22
2 2 2 2
VT







2 sin
sin cos
24
22
tan
24
cos sin
2 cos
22
24
VP














đ.p.c.m.
Câu 12: Chứng minh rằng:
a)
22
sin( ).sin( ) sin sin ;
b)
cot cot 2
22

với
sin sin 3sin , 2 , ;b k k
c)
sin sin cos
tan .
cos sin sin




Lời giải:
a) Ta có
1
sin( ).sin( ) cos2 cos2
2


2 2 2 2
1
1 2sin 1 2sin sin sin
2


b) Từ giả thiết ta có
2sin cos 6sin cos
2 2 2 2
Do
2 sin 0
2
k

suy ra
cos 3cos
22

cos cos sin sin 3 cos cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2



2sin sin cos cos
2 2 2 2

cot cot 2
22

đ.p.c.m.
c) Ta có
1
sin sin 2 sin
sin sin 2
2
1 cos cos 2
cos cos 2 cos
2
VT










Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
2sin cos
tan
2cos cos
VP



đ.p.c.m.
Câu 13: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
x
:
a)
2 2 2
22
cos cos cos ;
33
A

b)
3
cos .cos cos .cos .
3 4 6 4
B
Lời giải:
a) Ta có:
2 2 2
22
cos cos cos
33
A

1 4 4
3 cos2 cos 2 cos 2
2 3 3




1 4 3
3 cos2 2cos cos2 .
2 3 2




b) Vì
cos sin
6 3 2 6 3
và
3
cos sin
44


nên
cos .cos sin .sin
3 4 3 4
B
cos cos cos
3 4 3 4 3 4
1 2 3 2 2 6
cos cos sin sin . . .
3 4 3 4 2 2 2 2 4








Câu 14: Đơn giản biểu thức sau: (giả sử các biểu thức có nghĩa)
a)
cos 2cos2 cos3
;
sin sin2 sin3
a a a
A
a a a


b)
cos cos
33
;
cot cot
2
aa
B
a
a

c)
cos cos( ) cos( 2 ) ... cos( ) .C a a b a b a nb n
Lời giải:
a)
cos cos3 2cos2 2cos2 cos 1
2cos2 cos 2cos2
cot2
2sin2 cos 2sin2
sin sin3 2sin2 2sin2 cos 1
a a a a a
a a a
Aa
a a a
a a a a a
b) Ta có
cos cos 2cos cos cos
3 3 3
a a a a
và
sin
cos sin cos cos sin sin
2
cos 1
2 2 2 2
cot cot .
2 sin sin
sin sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2
a
a a a a
a
aa
aa
a
a a a a
aa
a a a




Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Suy ra
cos sin2
sin cos
1
2
sin
aa
B a a
a
.
c) Ta có
.2sin 2sin cos 2sin cos( ) 2sin cos( 2 ) ... 2sin cos( )
2 2 2 2 2
b b b b b
C a a b a b a nb
3 5 3
sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
... sin sin
22
b b b b b b
a a a a a a
n b n b
aa

21
sin sin 2sin 1 cos
2 2 2
nb
b nb
a a n b a




Suy ra
sin 1 cos
2
.
sin
2
nb
n b a
C
b




Câu 15: Cho
sin 2cosa b a b
. Chứng minh rằng biểu thức
11
2 sin2 2 sin2
M
ab


không phụ
thuộc vào
,ab
.
Lời giải:
Ta có
4 sin2 sin2 4 sin2 sin2
2 sin2 2 sin2 4 2 sin2 sin2 sin2 sin2
a b a b
M
a b a b a b

Ta có
sin2 sin2 2sin cosa b a b a b
Mà
22
sin 2cos sin 4cosa b a b a b a b
nên
22
cos2 cos2 1 2sin 2cos 1a b a b a b a b


2 2 2
2 2 sin cos 2 10cosa b a b a b


Suy ra
22
2
22
4 4cos 4 4cos
4
.
1
3
3 3cos
4 8cos . 2 10cos
2
a b a b
M
ab
a b a b



(đ.p.c.m).
Câu 16: Chứng minh rằng với
0
2

thì
a)
2
2cot 1 cos2 ;


b)
cot 1 cot 2 .


Lời giải:
a) Bất đẳng thức tương đương với
22
22
2 4 2
2
11
2 1 2cos 1 1 sin
sin sin
1
sin 2 sin 2sin 1 0
sin





2
2
sin 1 0
(đúng) (đ.p.c.m).
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Cách khác: Áp dụng BĐT Cauchy:
22
22
11
sin 2 .sin 2.
sin sin


b) Bất đẳng thức tương đương với
cos sin2 cos2 cos sin2 cos2
sin sin2 sin 2sin cos

(*)
Vì
cos
sin 0
0
0
2
nên
2 2 2
(*) 2cos sin2 cos sin
1 sin 2

(đúng) (đ.p.c.m)
Câu 17: Cho
0
2

. Chứng minh rằng:
11
sin cos 2.
2cos 2sin


Lời giải:
Ta có
1 1 1
sin cos sin cos 1
2cos 2sin 4sin cos
Vì
0
2

nên
sin cos 0

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
11
sin cos 2 sin cos . 1
4sin cos 4sin cos
Suy ra
11
sin cos 2
2cos 2sin


(đ.p.c.m)
Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a)
sin cos ;A x x
b)
44
sin cos .B x x
Lời giải:
a) Ta có
2
2 2 2
sin cos sin cos 2sin cos 1 sin2A x x x x x x x
Vì
sin2 1x
nên
2
1 sin 2 1 1 2Ax
suy ra
22A
.
Khi
4
x
thì
2A
,
3
4
x

thì
2A 
Do đó
max 2A
và
min 2A 
.
b) Ta có
22
22
1 cos2 1 cos2 1 2cos2 cos 2 1 2cos2 cos 2
2 2 4 4
x x x x x x
B
2
2 2cos 2 2 1 cos4 3 1
.cos4
4 4 4 4
xx
x
Vì
1 cos4 1x
nên
1 3 1
.cos4 1
2 4 4
x
suy ra
1
1
2
B
.
Vậy
max 1B
khi
cos4 1x
và
1
min
2
B
khi
cos4 1x 
.
Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
2 2sin cos2A x x
Lời giải:
Ta có
22
2 2sin 1 2sin 2sin 2sin 1A x x x x
Đặt
sin , 1t x x t
Khi đó biểu thức trở thành:
2
2 2 1A t t
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Xét hàm số
2
2 2 1y t t
với
1t
.
Bảng biến thiên:
t
1
1
2
1
y
5
1
1
2
Từ bảng biến thiên suy ra
max 5A
khi
1t 
hay
sin 1x
.
1
min
2
A
khi
1
2
t
hay
1
sin
2
x
.
Câu 20: Chứng minh trong mọi tam giác
ABC
ta đều có:
a)
sin sin sin 4cos cos cos ;
2 2 2
A B C
A B C
b)
2 2 2
sin sin sin 2(1 cos cos cos );A B C A B C
c)
sin2 sin2 sin2 4sin sin sin .A B C A B C
Lời giải:
a)
2sin cos 2sin cos
2 2 2 2
A B A B C C
VT


Mặt khác trong tam giác
ABC
ta có
A B C
2 2 2
A B C

Suy ra
sin cos , sin cos
2 2 2 2
A B C C A B

Vậy
2cos cos 2cos cos 2cos cos cos
2 2 2 2 2 2 2
C A B A B C C A B A B
VT



4cos cos cos
2 2 2
C A B
VP
ĐPCM.
b)
22
1 cos2 1 cos2 cos2 cos2
1 cos 2 cos
2 2 2
A B A B
VT C C
2
2 cos cos cosA B A B C
Vì
cos cosA B C A B C
nên
2 cos cos cos cosVT C A B C A B
2 cos cos cosC A B A B


2 cos .2cos cos 2(1 cos cos cos )C A B A B C VP
đ.p.c.m.
c)
2sin cos 2sin cosVT A B A B C C
Vì
cos cos , sin sinA B C C A B A B C
nên
2sin cos 2sin cos 2sin cos cosVT C A B C A B C A B A B


2sin . 2sin sin 4sin sin sinC A B A B C VP


đ.p.c.m.
Câu 21: Chứng minh trong mọi tam giác
ABC
không vuông, ta đều có:
a)
tan tan tan tan .tan .tan ;A B C A B C
b)
cot .cot cot .cot cot .cot 1.A B B C C A
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với
tan tan tan .tan .tan tanA B A B C C
tan tan tan tan tan 1 *A B C A B
Do tam giác
ABC
không vuông nên
2
AB

cos
sin sin sin sin cos cos
tan tan 1 1 0
cos cos cos cos cos cos
AB
A B A B A B
AB
A B A B A B
Suy ra
tan tan tan tan
* tan tan
tan tan 1 1 tan tan
A B A B
CC
A B A B


tan tan .A B C
Đẳng thức cuối đúng vì
A B C
đ.p.c.m.
b) Vì
cot cotA B C A B C
Theo công thức cộng ta có:
1
1
1 1 tan tan cot cot 1
cot cot
cot
11
tan tan cot cot
tan
cot cot
A B A B
AB
AB
A B A B
AB
AB


Suy ra
cot cot 1
cot cot cot 1 cot cot cot
cot cot
AB
C A B C A B
AB
Hay
cot .cot cot .cot cot .cot 1.A B B C C A
đ.p.c.m.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 22: Với
,ab
là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
sin sin 2cos sin .
22


a b a b
ab
B.
cos cos cos sin sin . a b a b a b
C.
sin sin cos cos sin . a b a b a b
D.
2cos cos cos cos . a b a b a b
Câu 23: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
sin 2 2sin cosx x x
. B.
sin 2 sin cosx x x
. C.
sin 2 2cosxx
. D.
sin 2 2sinxx
.
Câu 24: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
2
cos2 1 2sinaa
. B.
22
sin 3 cos 3 3aa
.
C.
sin 4 2sin 2 cos2a a a
. D.
cos cos cos sin sina b a b a b
.
Lời giải:
Đáp án A, C là công thức nhân đôi
đúng.
Đáp án D là công thức cộng
đúng.
Đáp án B sai vì
22
sin cos 1


,
22
sin 3 cos 3 1aa
.
Câu 25: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
2
cos2 1 2si naa
. B.
22
cos2 cos sina a a
.
C.
2
cos2 1 2cosaa
. D.
2
cos2 2cos 1aa
.
Câu 26: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
cos2 2cos 1aa
. B.
2
2sin 1 cos2aa
.
C.
sin sin cos sin cosa b a b b a
. D.
sin 2 2sin cosa a a
.
Lời giải:
Ta có:
2
cos2 2cos 1aa
nên
A
sai.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Và:
2
cos2 1 2sin 2sin 1 cos2a a a a
nên
B
đúng.
Câu 27: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
2
cos2 1 2si naa
. B.
cos2 2sin cosa a a
C.
22
cos2 cos sina a a
. D.
2
cos2 2cos 1aa
.
Câu 28: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
22
cos2 cos sina a a
. B.
2
cos2 2cos 1aa
.
C.
22
cos2 cos sina a a
. D.
2
cos2 2sin 1aa
.
Câu 29: Với
,ab
là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? (giả sử các biểu thức lượng giác đều có
nghĩa)
A.
tan( ) tana


. B.
sin sin 2sin sin
22
a b a b
b


.
C.
sin tan cos
. D.
cos( ) sin sin cos cosa b a b a b
.
Lời giải:
sin sin 2sin cos
22
a b a b
b


Vậy chọn B.
Câu 30: Với
,ab
là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
1
sin sin cos cos
2
a b a b a b


. B.
–cc
1
s
2
o cos cos osa b a bab



.
C.
cos cos cos
1
2
cosaa b a bb


.
D.
1
sin cos sin – sin
2
a b a b a b


.
Lời giải:
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng thì
cos cos cos cos .
1
2
a b a bab


Câu 31: Với
,ab
là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
sin sin sin cos cosa b a b a b
. B.
sin sin cos cos sina b a b a b
.
C.
sin sin cos cos sina b a b a b
. D.
sin sin sin cos cosa b a b a b
.
Lời giải:
Theo công thức cộng ta có
sin sin cos cos sina b a b a b
.
Câu 32: Cho góc
a
bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
13
cos sin cos
3 2 2
a a a



. B.
13
cos cos sin
3 2 2
a a a



.
C.
1
cos cos
32
aa



. D.
31
cos sin cos
3 2 2
a a a



.
Lời giải:
Ta có:
13
cos cos .cos sin .sin cos . sin .
3 3 3 2 2
a a a a a



Câu 33: Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
44
3 cos4
sin cos .
44

B.
44
3 cos4
sin cos .
44

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
C.
44
3 cos4
sin cos
42

D.
44
3 cos4
sin cos
24

Lời giải:
Ta có:
4 4 2
1 1 1 cos4 3 cos4
sin cos 1 sin 2 1 . .
2 2 2 4 4

Câu 34: Cho góc
x
bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A.
44
31
sin cos cos4
44
x x x
. B.
66
53
sin cos cos4
84
x x x
.
C.
44
sin cos cos2 x x x
. D.
44
31
sin cos cos4
44
x x x
.
Lời giải:
Ta có:
2
4 4 2 2 2 2 2
sin 2 1 cos4 3 1
sin cos (sin cos ) 2sin cos 1 1 cos4
2 4 4 4
xx
x x x x x x x
.
Câu 35: Tính giá trị của biểu thức
44
sin ,

P cos
biết
2
sin2
3
.
A.
1
3
. B.
1
. C.
9
7
. D.
7
9
.
Lời giải:
Ta có:
2
2 2 2 2
sin 2sin .P cos cos
2
1
1 sin 2
2

2
1
9

7
9
.
Câu 36: Biểu thức
sin
6
a



được viết lại thành
A.
1
sin
2
a
. B.
31
sin cos
22
aa
. C.
31
sin cos
22
aa
. D.
13
sin cos
22
aa
.
Lời giải:
Ta có
31
sin sin cos cos sin sin cos
6 6 6 2 2
a a a a a



.
Câu 37: Biểu thức
sin
sin
ab
ab
bằng biểu thức nào sau đây?
A.
sin sin
.
sin sin
ab
ab
B.
sin sin
.
sin sin
ab
ab
C.
tan tan
.
tan tan
ab
ab
D.
cot cot
.
cot cot
ab
ab
Lời giải:
Ta có:
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
ab
a b a b
a b a b a b

(*)
tan tan
tan tan

ab
ab
Lưu ý: Bước (*), chia cả tử và mẫu cho
cos cosab
Câu 38: Giá trị biểu thức
sin .cos sin .cos
15 10 10 15
22
cos .cos sin .sin
15 5 15 5
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
3
2
. D.
3
2
.
Lời giải:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
sin sin
sin .cos sin .cos
15 10 6
15 10 10 15
1
22
2
cos .cos sin .sin
cos cos
15 5 15 5
15 5 3
.
Câu 39: Cho
3
sin
4
. Tính
cos2
.
A.
1
8
. B.
7
4
. C.
7
4
. D.
1
8
.
Lời giải:
Ta có
2
cos2 1 2sin


91
12
16 8
.
Câu 40: Cho góc lượng giác
thỏa mãn
1
sin
3

, và
3
2


. Tính
sin 2
.
A.
7
9
. B.
42
9
. C.
42
9
. D.
2
3
.
Lời giải:
Ta có:
2
1 2 2
sin cos 1 sin
33
Theo giả thiết:
3 2 2
cos
23
Vậy
1 2 2 4 2
sin2 2sin .cos 2.
3 3 9







.
Câu 41: Cho
3
cos
5
x 
. Tính
cos2x
.
A.
7
25
. B.
3
10
. C.
8
9
. D.
7
25
.
Lời giải:
Ta có
2
2
37
cos2 2cos 1 2. 1
5 25
xx



.
Câu 42: Tính giá trị biểu thức
1 3cos2 2 3cos2 ,

P
biết
2
sin .
3
A.
49
.
27
B.
50
27
. C.
48
.
27
D.
42
27
.
Lời giải:
Ta có:
2
2
21
cos2 1 2sin 1 2.
39




.
Khi đó:
1 1 14 14.3 42
1 3cos2 2 3cos2 1 3. 2 3.
9 9 9 9.3 27
P

.
Câu 43: Cho biết
1
sin cos
2
xx
. Tính
sin 2x
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
A.
3
4
. B.
3
4
. C.
1
2
. D.
1
.
Lời giải:
2
11
sin cos sin cos
24
x x x x
22
1
sin 2sin cos cos
4
x x x x
13
1 sin 2 sin2
44
xx
.
Câu 44: Cho góc
thỏa mãn
2
và
sin 2cos 1

. Tính giá trị
sin 2α.
A.
26
5
. B.
24
25
. C.
26
5
. D.
24
25
.
Lời giải:
Vì
2


nên
cos 0
.
Từ giả thiết ta có:
sin 2cos 1 sin 2cos 1 1 .
Mặt khác:
22
sin cos 1, 2
.
Thế
1
vào
2
, ta được:
2
2
2cos 1 cos 1

lo¹i
2
cos 0
5cos 4cos 0
4
cos
5


.
Với
4
cos
5

ta có
43
sin 2. 1 .
55



Vậy
3 4 24
sin2 2sin .cos 2. . .
5 5 25



Câu 45: Cho góc
thỏa mãn
0
2

và
2
sin
3
. Tính
1 sin 2 cos2
sin cos
P



.
A.
25
3
P 
. B.
3
2
P
. C.
25
3
P
. D.
3
2
P 
.
Lời giải:
Ta có
2
2cos sin cos
2sin cos 2cos
2cos
sin cos sin cos
P

.
Từ hệ thức
22
sin cos 1


, suy ra
2
5
cos 1 sin
3

.
Do
0
2

nên ta chọn
5 2 5
cos .
33
P

Câu 46: Cho
tan 2
. Giá trị
tan
4



bằng
A.
1
3
. B.
2
3
. C.
1
. D.
1
3
.
Lời giải:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Ta có
tan tan
1
4
tan
43
1 tan tan
4



.
Câu 47: Cho
và
là hai góc nhọn mà
1
tan
7
và
3
tan
4
. Góc

có giá trị bằng
A.
6
. B.
4
. C.
3
. D.
.
2
Lời giải:
tan tan
tan 1 .
1 tan tan 4

Câu 48: Nếu
tan cot 2


,
0
2




thì
sin 2
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
1
3
. D.
2
2
.
Lời giải:
Ta có
sin
tan cot 2 2
sin
cos
cos



22
sin 1
2 2 2sin . 1 sin2 1
sin . sin .
cos
cos
cos cos

.
Câu 49: Biết
4
sin
5
a 
,
3
cos
5
b
3
,0 ,
22
ab




tính
cos .ab
A.
7
.
25
B.
0.
C.
1.
D.
33
.
65
Lời giải:
Ta có:
2
2
43
cos 1 sin 1
55
a



do
3
2
a

và
2
2
34
sin 1 cos 1
55
bb



do
0.
2
b

3 3 4 4
cos cos .cos sin .sin . . 1.
5 5 5 5
a b a b a b



Câu 50: Cho hai góc
,

thỏa mãn
5
sin ,
13 2



và
3
cos , 0
52




. Tính giá trị
đúng của
cos

.
A.
16
65
. B.
18
65
. C.
18
65
. D.
16
65
.
Lời giải:
Ta có:
2
2 2 2
5 144 12
sin cos 1 cos 1 cos
13 169 13

 


(Do
2


)
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
2
2 2 2
3 16 4
sin cos 1 sin 1 sin
5 25 5

 


(Do
0
2

)
Suy ra:
3 12 4 5 16
cos cos .cos sin .sin . .
5 13 5 13 65



.
Câu 51: Giá trị của
tan
3



bằng bao nhiêu khi
3
sin
52



?
A.
48 25 3
11
. B.
8 5 3
11
. C.
83
11
. D.
48 25 3
11
.
Lời giải:
Mà
2
3 9 4
sin cos 1 sin 1
5 25 5
Vì
2


nên
4
cos
5

3
tan
4
Suy ra:
3
3
tan 3 3 4 3 48 25 3
4
tan
3
3 11
1 3 tan 4 3 3
13
4






.
Câu 52: Rút gọn biểu thức
sin sin
33
M x x

ta được
A.
3 sinMx
. B.
cos3Mx
. C.
3 sinMx
. D.
cos3Mx
.
Lời giải:
Ta có:
sin sin 2sin cos 3 cos
3 3 3
M x x x x
.
Câu 53: Cho
tan 2
. Tính
π
tan
4



.
A.
1
3
. B.
1
3
. C. 1. D.
2
3
.
Lời giải:
Ta có:
π
tan tan
π tan 1 1
4
tan
π
4 1 tan 3
1 tan .tan
4



.
Câu 54: Cho
4
sin
5
a
với
2
a

. Tính
tan
6
a



.
A.
48 25 3
11

. B.
48 25 3
39

. C.
48 25 3
11
. D.
48 25 3
39
.
Lời giải:
Vì
2
a

nên
cos 0a
.
Kết hợp từ
22
sin cos 1aa
suy ra
2
3
cos 1 sin
5
aa
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Ta có
sin 4
tan .
cos 3
a
a
a
Vậy
tan tan
48 25 3
6
tan
6 11
1 tan tan
6
a
a
a



.
Câu 55: Cho biết
5
tan
7
x
. Tính giá trị của biểu thức
5sin 2 7cos2P x x
.
A.
13P
. B.
7P
. C.
2P
. D.
9P
.
Lời giải:
22
2
sin
5sin 2 7cos2 10sin cos 14cos 7 cos 10. 14 7
cos
1 1 5
10tan 14 7 10. 14 7 7
25
7
1 tan
1
49
x
P x x x x x x
x
x
x













.
Câu 56: Biết
sin cos m


. Tính
cos
4
P




theo
m
.
A.
2
m
. B.
2
m
. C.
2m
. D.
2m
.
Lời giải:
Ta có
cos
4
P




cos cos sin sin
44



1
sin cos
2


2
m
.
Câu 57: Biết
53
sin ,cos
13 5
ab
với
0,
22
ab

. Tính
cos ab
.
A.
63
.
65
B.
C.
16
.
65
D.
56
.
65
Lời giải:
Ta có:
2
22
5 144 12
cos 1 sin 1 cos
13 169 13




a a a
.
Vì
0
2
a

nên suy ra
cos 0a
, ta chọn
12
cos
13
a
.
Ta có:
2
22
3 16 4
sin 1 cos 1 sin .
5 25 5




b b b
Vì
2
b

nên suy ra
sin 0b
, ta chọn
4
sin
5
b
.
12 3 5 4 56
cos cos .cos sin .sin . .
13 5 13 5 65
a b a b a b



.
Câu 58: Cho các góc
,

thỏa
12
, ,sin ,cos
2 3 3
. Tính
sin

.
A.
5 4 2
.
9
B.
5 4 2
.
9
C.
2 10 2
.
9
D.
2 2 10
.
9
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Lời giải:
Do
,
2

nên suy ra
cos 0
sin 0
Ta có:
22
1 2 2 4 5
cos 1 sin 1 ;sin 1 cos 1 .
9 3 9 3
Suy ra
1 2 2 2 5 2 2 10
sin sin .cos sin .cos . .
3 3 3 3 9







.
Câu 59: Cho
tan 2 1 2ab
;
tan 3 2024 10 ba
. Giá trị của
tan 2023 5 a
bằng:
A.
8
21
. B.
7
15
. C.
8
21
. D.
7
15
.
Lời giải:
Ta có:
tan 2023 5 tan 3 2024 2 1


a b a a b
tan 3 2024 tan 2 1
8
.
1 tan 3 2024 2 1 21

b a a b
b a a b
Câu 60: Cho
ABC
nếu có quan hệ
sin cos cos sin sinA B C B C
thì đó là tam giác gì?
A. Tam giác đều. B. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông cân. D. Tam giác vuông.
Lời giải:
Ta có:
sin sin
sin cos cos sin sin sin
cos cos
BC
A B C B C A
BC
cos 0
2sin cos
2
22
sin ;
2cos cos
cos 0
22
2
BC
B C B C
A
B C B C
BC
















2
cos
1
2
2sin cos sin ; cos 0
2 2 2 2 2
sin
2
A
A A A A
A



2
sin 0
2 2 2
A
A
.
Câu 61: Rút gọn biểu thức
cos 115 .cos –365 sin 115 .sin –365 M
.
A.
cos 245M 
. B.
sin 480M
. C.
sin 245M 
. D.
cos 480M
.
Lời giải:
Ta có công thức:
cos cos .cos sin .sin a b a b a b
.
cos 115 .cos –365 sin 115 .sin –365M
cos 115 365 cos 480


.
Câu 62: Rút gọn biểu thức
sin cos cos sinA x y y x y y
.
A.
cosAx
. B.
sinAx
. C.
sin .cos2A x y
. D.
cos .cos2A x y
.
Lời giải:
Ta có
sin .cos cos .sin cos cos .cos sin .sin sinA x y x y y x y x y y
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
22
sin .cos cos .sin .cos cos .cos .sin sin .sinx y x y y x y y x y
22
sin . cos sin sinx y y x
Vậy
sinAx
.
Câu 63: Nếu
1
sin cos
2
xx
thì
sin 2x
bằng
A.
3
4
. B.
3
8
. C.
2
2
. D.
3
4
.
Lời giải:
Ta có:
1
sin cos
2
xx
2
1
sin cos
4
xx
1
1 2sin cos
4
xx
1
1 sin 2
4
x
3
sin 2
4
x
.
Câu 64: Chọn đẳng thức đúng.
A.
2
1 sin
cos
4 2 2
aa




. B.
2
1 sin
cos
4 2 2
aa




.
C.
2
1 cos
cos
4 2 2
aa




. D.
2
1 cos
cos
4 2 2
aa




.
Lời giải:
Ta có :
2
1 cos
1 sin
1 sin
2
cos
4 2 2 2 2
a
a
aa








.
Câu 65: Biểu thức
2sin sin
44



bằng
A.
sin 2
. B.
cos2
. C.
sin
. D.
cos
.
Lời giải:
1
2sin sin 2. cos2 cos cos2
4 4 2 2

.
Câu 66: Biểu thức
4cos .sin
63



bằng
A.
2
3 4sin

. B.
2
4 3sin
. C.
2
3 4sin
. D.
2
sin
.
Lời giải:
Ta có
4cos .sin
63



4.sin .cos
36


1
4. sin sin
2 3 6 3 6



2 sin 2 sin
26







1
2 cos2
2




2
3 4sin

.
Câu 67: Cho
cos2 m
. Tính theo
m
giá trị của biểu thức
22
2sin 4cosA


.
A.
3Am
. B.
42Am
. C.
4Am
. D.
3Am
.
Lời giải:
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Ta có:
2
2
1 cos2 1
cos
22
1 cos2 1
sin
22




m
m
.
Do đó
22
2sin 4cosA


11
2. 4.
22
mm

3 m
.
Câu 68: Cho tam giác
ABC
thỏa mãn
2sin .sin 1 cos ,A B C
khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác
ABC
vuông tại
.C
B. Tam giác
ABC
vuông tại
.A
C. Tam giác
ABC
cân tại
.C
D. Tam giác
ABC
cân tại
.A
Lời giải:
Ta có:
2sin .sin 1 cos cos cos 1 cosA B C A B A B C
cos cos 1 cos cos 1A B C C A B
(1)
Do
,,A B C
là các góc của tam giác nên từ (1) suy ra:
0.A B A B
Câu 69: Cho tam giác
ABC
thỏa mãn
sin 2sin cosA B C
và
50 ,A 
khẳng định nào sau đây đúng?
A.
60 .B 
B.
75 .C 
C.
65 .B 
D.
55 .C 
Lời giải:
Ta có:
sin 2sin cos sin sin sinA B C A B C B C
sin sin sin sin 0 0A B C A B C B C B C
Do
00
180 50
50 65 .
2
A B C
Câu 70: Cho góc
thỏa mãn
tan 2,
tính giá trị biểu thức
2tan tan2 .P


A.
8
.
3
P
B.
2
.
3
P
C.
4
.
3
P
D.
2.P
Lời giải:
Ta có:
2
2tan 8
2tan tan2 2tan .
3
1 tan
P
Câu 71: Cho
1
sin cos ,
2


khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
sin2 .
8
B.
3
sin2 .
4

C.
3
sin2 .
4
D.
3
sin2 .
8

Lời giải:
Ta có:
2
1 1 3
sin cos 1 sin2 sin2 .
4 4 4
Câu 72: Tính giá trị
5
cos .cos .
12 12
A

A.
3
.
4
A
B.
1
.
2
A
C.
1
.
4
A
D.
3.A
Lời giải:
5 1 1
cos .cos cos .cos cos .sin sin .
12 12 12 2 12 12 12 2 6 4
A



Câu 73: Cho biết
4
sin .cos2 cos4x a b x x
với
, , .abc
Tính tổng
. S a b c
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
A.
1S
. B.
1S 
. C.
4S
. D.
0S
.
Lời giải:
2
2
4 2 2
1 cos2 1
sin sin 1 2cos2 cos 2
24
1 1 1 1 cos4 3 1 1
cos2 . cos2 cos4
4 2 4 2 8 2 8
x
x x x x
x
x x x



Suy ra
3 1 1
,,
8 2 8
a b c
. Vậy
3 1 1
0
8 2 8
S a b c
.
Câu 74: Cho góc
thỏa mãn
;
2




mà
1
sin .
5
Tính
sin
6



A.
15 5
.
10
B.
15 5
.
5
C.
15 2 5
.
5
D.
15 2 5
.
10
Lời giải:
Biến đổi:
31
sin sin .cos cos .sin sin cos
6 6 6 2 2



(1)
Ta có:
2
22
14
cos 1 sin 1
5
5




(lo¹i)
(nhËn do
25
cos
5
25
cos )
52
x
xx
Thay vào (1) ta được:
3 1 1 2 5 15 2 5
sin . . .
6 2 2 5 10
5







Câu 75: Biết
1
cos
3
,
1
cos
4
. Tính
cos .cos

.
A.
25
144
. B.
19
144
. C.
5
144
. D.
119
144
.
Lời giải:
Ta có:
22
11
cos .cos cos2 cos2 2cos 1 2cos 1
22
22
119
cos cos 1
144

.
Câu 76: Đơn giản biểu thức
inx
2
2cos 1
s cos
x
A
x
ta được kết quả nào sau đây ?
A.
sin cos .A x x
B.
cos sin .A x x
C.
sin cos .A x x
D.
cos sin .A x x
Lời giải:
2 2 2
cos sin cos sin
2cos 1 cos2 cos sin
cos sin
sin cos sin cos sin cos sin cos
x x x x
x x x x
A x x
x x x x x x x x


.
Câu 77: Rút gọn biểu thức
sin sin3
2cos
xx
A
x
.
A.
sin 4 .Ax
B.
sin .Ax
C.
sin 2 .Ax
D.
cos2 .Ax
Lời giải:
sin sin3 sin3 sin 2sin2 cos
sin2
2cos 2cos 2cos
x x x x x x
Ax
x x x

.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Câu 78: Rút gọn biểu thức
4sin 2 .cos2
cos3 cos
xx
xx
(với điều kiện biểu thức có nghĩa), ta được biểu thức có
dạng
sin 2
cos
ax
bx
với
,,
a
ab
b
tối giản. Giá trị của
2
ab
bằng
A.
2
. B.
5
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải:
Ta có
4sin2 cos2 4sin2 cos2 2sin2
cos3 cos 2cos2 cos cos
x x x x x
x x x x x

(với điều kiện biểu thức có nghĩa).
Do đó
2a
,
1b
2
5ab
.
Câu 79: Rút gọn biểu thức
cos cos5
sin4 sin2
aa
P
aa
(với
sin 4 sin 2 0aa
) ta được:
A.
2cotPa
. B.
2cosPa
. C.
2tanPa
. D.
2sinPa
.
Lời giải:
Ta có:
cos cos5 2sin3 .sin2
sin4 sin2 2sin3 .cos
a a a a
P
a a a a

sin 2
cos
a
a
2sin .cos
cos
aa
a
2sin a
.
Câu 80: Rút gọn biểu thức:
2sin2 sin4
2sin2 sin 4


bằng:
A.
2
tan
. B.
2
tan
. C.
2
tan 2
. D.
2
cot
.
Lời giải:
2sin2 sin4
2sin2 sin 4


2sin2 2sin 2 cos2
2sin2 2sin2 cos2
2sin2 1 cos2
2sin2 1 cos2


2
2
sin
cos
2
tan
Câu 81: Rút gọn biểu thức
sin sin3
2cos
xx
A
x
.
A.
sin4Ax
. B.
sinAx
. C.
sin2Ax
. D.
cos2Ax
.
Lời giải:
Ta có:
sin3 sin 2sin2 .cos
sin2
2cos 2cos
x x x x
Ax
xx
.
Câu 82: Biến đổi thành tích biểu thức
sin7 sin5
sin7 sin5


ta được
A.
tan5 .tan

. B.
cos .sin

. C.
cos2 .sin3

. D.
cot6 .tan

.
Lời giải:
Ta có
sin7 sin5
sin7 sin5


2cos6 .sin
2sin6 .cos


cot6 .tan

.
Câu 83: Biết
1
tan .
3
x
Tính giá trị của biểu thức
cos5 cos3
.
sin5 sin3
xx
I
xx
A.
1
3
I
. B.
1
3
I 
. C.
3I
. D.
3I 
.
Lời giải:
Ta có
2cos4 cos 1
cot 3
2cos4 sin tan
xx
Ix
x x x
.
Câu 84: Giả sử biểu thức
sin sin2 sin3
cos cos2 cos3
M


có nghĩa, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
tan2 .M
B.
cot2 .M
C.
tan2 .M

D.
cot2 .M

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Lời giải:
Ta có:
sin sin3 sin 2
sin sin2 sin3
cos cos2 cos3
cos cos3 cos2
M





sin2 2cos 1
2sin2 cos sin2 sin2
tan2 .
2cos2 cos cos2 cos2
cos2 2cos 1


Câu 85: Biểu thức
1 sin 4 cos4
1 sin 4 cos4




có kết quả rút gọn bằng
A.
2
cos
. B.
2
cot
. C.
2
tan
. D.
2
sin
.
Lời giải:
Ta có:
2
2
1 sin4 cos4 1 2sin2 cos2 1 2sin 2
1 sin4 cos4
1 2sin2 cos2 2cos 2 1


2sin2 cos2 sin2
tan2
2cos2 sin2 cos2

.
Câu 86: Rút gọn biểu thức
sin2 sin
1 cos cos2
xx
P
xx

(với điều kiện biểu thức có nghĩa) ta được kết quả
A.
cotPx
. B.
tanPx
. C.
cosPx
. D.
sinPx
.
Lời giải:
Ta có
2
sin 2cos 1
2sin cos sin sin
tan
cos 2cos 1 cos
2cos cos
xx
x x x x
Px
x x x
xx
.
Câu 87: Biểu thức thu gọn của biểu thức
1
1 .tan
cos2
Bx
x




là
A.
tan 2x
. B.
cot 2x
. C.
cos2x
. D.
sin x
.
Lời giải:
1
1 .tan
cos2
Bx
x




1 cos2 sin
.
cos2 cos
xx
xx
2
2cos sin
.
cos2 cos
xx
xx
2cos .sin
cos2
xx
x
sin 2
cos2
x
x
tan 2x
.
Câu 88: Rút gọn biểu thức
2
1 cos cos2 cos3
2cos cos 1


bằng
A.
2cos
. B.
cos
. C.
2cos
. D.
2sin
.
Lời giải:
Ta có
2
1 cos cos2 cos3
2cos cos 1


2
2cos 2.cos2 .cos
cos2 cos

2cos cos cos2
cos2 cos

2cos
.
Câu 89: Rút gọn biểu thức
2
sin2 sin5 sin3
1 cos 2sin 2
a a a
A
aa


.
A.
cosa
. B.
sin a
. C.
2cos a
. D.
2sin a
.
Lời giải:
Ta có
2
sin2 sin5 sin3
cos 1 2sin 2
a a a
A
aa


2sin cos cos4
2sin cos 2cos4 sin
cos cos4 cos cos4
a a a
a a a a
a a a a


2sin a
.
Câu 90: Với điều kiện xác định, hãy rút gọn biểu thức
22
tan cot tan cot
cot tan
x x x x
A
xx
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
A.
2
cot2
A
x
. B.
4A
. C.
4
cot2
A
x
. D.
8
cot2
A
x
.
Lời giải:
Ta có:
22
tan cot tan cot
cot tan
x x x x
A
xx
2 2 2 2
tan 2tan cot cot tan 2tan cot cot
cos sin
sin cos
x x x x x x x x
xx
xx
22
4 4 2
2cot 2 cot 2
cos sin
sin cos
xx
xx
xx
.
Câu 91: Cho góc nhọn
thỏa mãn
cos 2sin ,

khẳng định nào sau đây sai?
A.
1
tan .
2
B.
1
sin .
5
C.
cot 2.
D.
45
sin2 .
5
Lời giải:
Với
sin 0
0.
cos 0
2
Ta có:
2
2 2 2
sin cos 1 2sin sin 1
2
2
2
45
cos sin
4
55
5sin 1 sin2 2sin cos .
1
5
25
sin
cos
5
5





Vậy D sai.
Câu 92: Nếu
,,
là ba góc nhọn và thỏa mãn
tan .sin cos

thì
A.
45
. B.
60
.
C.
90
. D.
120
.
Lời giải:
tan .sin cos sin .sin cos .cos
.
cos .cos sin .sin 0 cos 0
.
90
(do
,,
nhọn).
Câu 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
sin sin .
3
M




A.
2.
B.
3
.
2
C.
D.
1.
Lời giải:
Ta có:
2
sin sin 2sin cos sin
3 3 3 3
M
1 1,M
vậy
max
1.M
Câu 94: Giá trị lớn nhất của biểu thức
47
sin cosxx
là
A.
2
. B.
2
. C.
1
2
. D.
1
.
Lời giải:
Ta có
42
4 7 2 2
72
sin sin
sin cos sin cos 1
cos cos
xx
x x x x
xx
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Dấu bằng xảy ra khi:
sin 1
cos 0
2
x
xk
x

hoặc
sin 0
cos 1
x
x k k
x
.
Câu 95: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
sin 3cos

.
A.
2
. B.
13
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải:
Ta có:
13
sin 3cos 2 sin cos 2sin
2 2 3







.
Do
2 2sin 2
4



nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức
sin 3cos

bằng
2
.
Câu 96: Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
66
sin cosP


.
A.
40Mm
. B.
42Mm
. C.
44Mm
. D.
41Mm
.
Lời giải:
Ta có
66
sin cosP


2 2 4 4 2 2
sin cos sin cos sin cos
2
2 2 2 2
sin cos 3sin cos
2
3
1 sin 2
4

.
Do
2
0 sin 2 1

2
33
sin 2 0
44
1
1
4
P
. Do đó
1
1,
4
Mm
42Mm
.
Câu 97: Cho
0
2
x

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
44
sin cosP x x
.
A.
1
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
0
.
Lời giải:
Ta có:
4 4 2 2 2
1
sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2
2
P x x x x x
.
Do
0
2
x

2
0 2 0 sin 2 1 0 sin 2 1x x x
22
1 1 1 1
sin 2 0 1 sin 2 1
2 2 2 2
xx
1
1
2
P
.
Vậy
min
1
2
P
.
Câu 98: Cho tam giác
ABC
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2cos 2cos 2 3cos P A B C
.
A.
23
. B.
73
3
. C.
53
3
. D.
23
3
.
Lời giải:
2cos 2cos 2 3cos P A B C
2
4cos cos 2 3. 1 2sin
2 2 2




A B A B C
2
4 3sin 4sin 2 3
22
CC
.
Đặt
sin
2
C
t
;
0;1t
, ta có hàm số
2
4 3 4 2 3 f t t t
.
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
0;1
73
max
3
ft
3
6
t
.
Vậy
ma x
73
3
P
, dấu bằng xảy ra khi:
cos 1
2
3
sin
26
AB
C
3
sin
26
AB
C
.
| 1/73
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ TOÁN 11
KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG GIÁ TRỊ LƯỢ NG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chủ đề 1:
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. GÓC LƯỢNG GIÁC a. Góc lượng giác
Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou,O .
v Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om
quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc
lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu Ou,Ov
Quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay
cùngvới chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm.
b. Số đo góc lượng giác
Khi tia Om quay góc  thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo  . Số đo của
góc lượng giác giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là s® Ou,OvNhận xét:
Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của nó Chú ý:
+) Cho hai tia Ou,Ov thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối .
Ov Mỗi góc lượng giác
như thế đều kí hiệu là Ou,Ov.
+) Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Ou, tia cuối Ov, sai khác nhau một bội nguyên của 360 .  c. Hệ thức Chasles
Với ba tia Ou,Ov,Ow bất kì, ta có: s®Ou,Ov  s®Ov,Ow  s®Ou,Ow  k360,k   Chú ý: k2
Mỗi góc lượng giác *   , k  ,n
thì có n điểm phân biệt biểu diễn trên đường tròn lượng n giác.
2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
a. Đơn vị đô góc và cung tròn 1
Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc 1 bằng góc bẹt. 180
Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: 1  60';1  60".
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Đơn vị rađian: Cho đường tròn O tâm O, bán kính R và một cung AB trên O.
Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Khi
đó, ta cũng nói rằng góc AOB có số đo bằng 1 rađian và viết AOB  1rad  o  180 
Quan hệ giữa độ và rađian: 1  rad và 1rad    180    Chú ý: Độ 0 30 45 60 90 120 135 150 180 Rađian 0     2 3 5  6 4 3 2 3 4 6
b. Độ dài cung tròn
Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo  rad thì có độ dài l R
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
a. Đường tròn lượng giác
+) Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định
hướng và lấy điểm A1;0 làm điểm gốc của đường tròn.
+) Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo  (độ hoặc rađian) là
điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho s®OA,OM  
b. Các giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giả sử M x; y là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo  , ta có:
+) Hoành độ x của điểm M được gọi là côsin của  , kí hiệu là cos  cos  . x
+) Tung độ y của điểm M được gọi là sin của  , kí hiệu là sin  sin  . y
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT sin
+) Nếu cos  0, tỉ số  kí hiệu là tan .
cos được gọi là tang của , sin y  tan   ,x  0. cos x cos
+) Nếu sin  0, tỉ số  kí hiệu là cot .
sin được gọi là côtang của , cos x  cot   ,y  0. sin y Chú ý:
+) Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
+) sin ,cos xác định với mọi giá trị của  và ta có:
 1  sin  1;  1  cos  1 sin  k2   sin;cos  k2   cos,k 
+) tan xác định khi  
k ; cot xác định khi   k ; k  . 2
+) Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác: Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác sin     cos     tan     cot    
c. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0     Góc  6 4 3 2 0 30 45 60 90 sin 0 1 1 2 3 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 2 2 2 tan 0 3 1 3 Không xác định 3 cot Không xác định 3 1 3 0 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
d. Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc
Kỹ thuật 1: Đổi số đo góc Ví dụ 1: a) Đổi 35 3  0' sang đơn vị rad; 5
b) Đổi sang đơn vị độ.
Bước 1: Hiển thị chế độ rad 9 qw22
Bước 1: Hiển thị chế độ độ qw21 Bước 2: Nhập 35 3  0' 35x30xT21= 5 Bước 2: Nhập 9 (a5R9$)T22= x
Kỹ thuật 2: Tính các giá trị lượng giác của góc Ví dụ 2: 2 b) Tính cot 200 .  a) Tính sin ; 7
Bước 1: Hiển thị chế độ độ
Bước 1: Hiển thị chế độ rad qw21 qw22 1
Bước 2: Nhập cot 200  . 2 tan 200 Bước 2: Nhập sin . 7 a1Rl200x)= ja2qKR7$)=
4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
a. Các công thức lượng giác cơ bản    2 2 2 1 sin   cos   1 1  tan  
   k ,k   2 cos   2     2 1 k 1  cot  
  k ,k tan.cot  1   , k    2   sin   2 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
b. Gía trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
1. Hai góc đối nhau:  và   (cos đối)
2. Hai góc bù nhau:  và   (sin bù)
sin      sin ;
cos    cos ; sin      sin; cos     cos ;
tan      tan ;
cot      cot. tan      tan; cot      cot. 
4. Hai góc hơn kém nhau  :  và    (tan và
3. Hai góc phụ nhau: và  (chéo) 2 côtang)       sin   cos; cos       sin;
sin      sin ;
cos     cos ;  2   2       
tan      tan ;
cot      cot . tan   cot; cot       tan.  2   2 
Lưu ý: Góc hơn kém ( và ) 2 2       sin   cos cos        sin  2   2        tan    cot cot        tan  2   2  II. BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 1: Cho sđ Ou, Ov   và sđ Ou', Ov'   . Chứng minh rằng hai góc hình học uOv, u'Ov' bằng
nhau khi và chỉ khi hoặc     k2 hoặc     k2 với k  .  29 22 6 41
Câu 2: Cho góc lượng giác Ou,Ov có số đo  . Trong các số  ;  ; ; , những số nào 7 7 7 7 7
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
Câu 3: Tìm số đo  của góc lượng giác Ou,Ov với 0    2 , biết một góc lượng giác cùng tia đầu,
tia cuối với góc đó có số đo là:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 33 291983 a) . b)  . c) 30. 4 3
Câu 4: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 72,600, 37 45  '30'' . 5 3
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: , , 4 . 18 5
Câu 5: Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là 3 1 a) . b) 51 .  c) . 4 3
Câu 6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:  11 a) . b)  . c) 120 .  d) 765 .  4 2
Câu 7: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy ý).   x k ; x   k ; x    k 1 2 3 3 3
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Câu 8: Tính giá trị các biểu thức sau: 7 5 7 1 2sin 2550cos( 1  88 )  a) A sin cos9      tan     cot ; b) B   ; 6  4  2 tan 368 2cos638  cos98    c) 2 2 2 2
C  sin 25  sin 45  sin 60  sin 65 ;  d) 2 3 5 D  tan .tan .tan . 8 8 8  Câu 9: Cho
    . Xác định dấu của các biểu thức sau: 2     3  a) sin   ; b) tan   ;  2   2     14 c) cos    .tan  ; d) sin .cot    .  2  9
Câu 10: Chứng minh các đẳng thức sau: (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) 4 2 4
cos x  2 sin x  1  sin x; sin x  cos x b) 3 2
 cot x  cot x  cot x  1; 3 sin x 2 2 2 2 cot x  cot y cos x  cos y c)  ; 2 2 2 2 cot . x cot y cos . x cos y       d) 4 2 4 2
sin x  4cos x  cos x  4sin x  3tan x  tan     x ;  3   6 
Câu 11: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:  A B C a) sin    cos ;  2  2 3 B 3 B sin cos b) 2 2   tan .
A cot B C.
A  2B C
A  2B C  cos  sin   2   2 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  5 
Câu 12: Rút gọn biểu thức: A  sin
a  cos13  a  3sina    5  .  2   5   9   7 
Câu 13: Rút gọn biểu thức M  sin7    cos  
 cot3    tan   2tan        .  2   2   2 
Câu 14: Đơn giản các biểu thức sau: (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)  3   3 
a) A  cos(5  x)  sin  x  tan
x  cot(3  x);  2   2 
sin(900  x)  cos(450  x)  cot(1080  x)  tan(630  ) x b) B  ;
cos(450  x)  sin(x  630 )
  tan(810  x)  tan(810  ) x 1 1 1 c) C  2  
với   x  2 .
sinx  2013  . 1  cos x 1  cos x
Câu 15: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x . 6 6
sin x  cos x  2 a) A  ; 4 4
sin x  cos x  1 2 1  cot x 2  2cot x b) B   1  cot x tanx  1 ; 2 tan x   1 c) 4 2 4 4 2 4
C  sin x  6 cos x  3cos x  cos x  6 sin x  3sin x .
Câu 16: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc  biết: 1 2 3
a) sin  và 90    180 ;  .
b) cos   và     ; 3 3 2  3 c) tan  2  2 và 0     ; d) cot   2 và    . 2 2 1
Câu 17: a) Tính giá trị lượng giác còn lại của góc  biết sin  và tan  cot  0. 5 b) Cho 4 4 1 3sin   cos   . Tính 4 4
A  2 sin   cos  . 2 2 tan  3cot
Câu 18: a) Cho cos  . Tính A  . 3 tan  cot sin  cos
b) Cho tan  3 . Tính B  . 3 3
sin   3cos   2sin c) Cho cot  5 . Tính 2 2
C  sin   sin cos  cos . 3 2 sin  tan
Câu 19: Cho tan  4cot  3,    
. Tính giá trị biểu thức M  . 2 cos  cot
Câu 20: Cho tan  cot  .
m Tính giá trị biểu thức 3 3
A  tan   cot  theo tham số thực . m
Câu 21: Cho sin  cos  m, m  2; 2  
 . Tính các giá trị của 2 2 tan   cot  theo . m
Câu 22: Biết sin x  cos x m.
a) Tính theo m giá trị sin x cos x và 4 4
sin x  cos x .
b) Chứng minh rằng m  2.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 23: Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O có bán kính bằng A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Câu 24: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.
B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
D. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại
được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Câu 25: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Chỉ một cung lượng giác cố điểm đầu là A , điểm cuối là B .
B. Đúng hai cung lượng giác cố điểm đầu là A , điểm cuối là B .
C. Đúng bốn cung lượng giác cố điểm đầu là A , điểm cuối là B .
D. Vô số cung lượng giác cố điểm đầu là A , điểm cuối là B .
Câu 26: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mỗi cung lượng giác AB xác định một góc lượng giác tia đầu OA tia cuối OB .
B. Mỗi cung lượng giác AB xác định hai góc lượng giác tia đầu OA tia cuối OB .
C. Mỗi cung lượng giác AB xác định bốn góc lượng giác tia đầu OA tia cuối OB .
D. Mỗi cung lượng giác AB xác định vô số góc lượng giác tia đầu OA tia cuối OB .
Câu 27: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A , cung AN , có điểm đầu là A , điểm cuối là N .
A. chỉ có một số đo.
B. có đúng hai số đo.
C. có đúng 4 số đo.
D. có vô số số đo.
Câu 28: Góc lượng giác tạo bởi cung lượng giác. Trên đường tròn cung có số đo 1rad là
A. cung có độ dài bằng 1.
B. cung tương ứng với góc ở tâm 0 60 .
C. cung có độ dài bằng đường kính.
D. cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Câu 29: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A , cung lượng giác có số đo 0
55 có điểm đầu A xác định
A. chỉ có một điểm cuối M .
B. đúng hai điểm cuối M .
C. đúng 4 điểm cuối M .
D. vô số điểm cuối M .  k
Câu 30: Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ AM   , k  ? 3 3 A. 3 . B. 12 . B. 4 . D. 6 .
Câu 31: Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đo rađian của cung tròn đó bằng A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 32: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 1 rad  1 .
B. 1 rad  60 . o  180 
C. 1 rad  180 . D.
1 rad     .  
Câu 33: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A , các đỉnh lấy theo thứ tự
đó và các điểm B,C có tung độ dương. Khi đó, góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OC bằng: A. 120 . B. 240 . C. 120 hoặc 240 . D. 120 k360 , k .
Câu 34: Góc có số đo 108 đổi ra rađian là
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 3  3  A. . B. . C. . D. . 5 10 2 4
Câu 35: Đổi số đo góc 105 sang rađian. 5 7 9 5 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 8 2
Câu 36: Góc có số đo đổi sang độ là: 5 A. 240 .  B. 135 .  C. 72 .  D. 270 . 
Câu 37: Góc có số đo đổi sang độ là: 9 A. 15 .  B. 18 .  C. 20 .  D. 25 .  Câu 38: Góc 63 4  8' gần bằng
A. 1,108 rad .
B. 1,107 rad .
C. 1,114 rad .
D. 1,113rad .
Câu 39: Cho a
k2 ,k  . Tìm k để 10  a  11 . 2
A. k  4 .
B. k  6 .
C. k  7 .
D. k  5 .
Câu 40: Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục   đi qua O . Xác định số đo của các góc giữa
tia OA với trục   , biết trục   đi qua đỉnh A của hình vuông. A. 0 0
180  k360 , k . B. 0 0
90  k360 , k . C. 0 0
–90  k360 , k . D. 0 k360 , k .
Câu 41: Biết OMB và ONB là các tam giác đều. Cung  có điểm đầu là A và điểm cuối trùng với
B hoặc M hoặc N . Tính số đo của .     A.  
k , k . B.   
k ,k . 2 2 6 3  2  2 C.    k , k  . . D.    k , k . 2 3 6 3
Câu 42: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với
chiều quay của kim đồng hồ, biết sd Ox O  0
, A  30  k360, k
, sd Ox, BC  bằng: A. 210  360 h ,  h. B. 135  360 h ,  h.
C. 210  h360 ,  h. D. 175  360 h ,  h.
Câu 43: Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác
AM có số đo 60 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là A. 120 . B. 240 .
C. 120 hoặc 240 .
D. 120  k360 ,  k .
Câu 44: Cho Ox, Oy  22 30  ' k360 .
 Tính k để Ox, Oy 1822 30  '.
A. k  .
B. k  3.
C. k  –5.
D. k  5.
Câu 45: Cho số đo cung Ou,Ov  25  k360,k   . Với giá trị nào của k thì Ou,Ov  1  055?
A. k  1 .
B. k  2 .
C. k  3 .
D. k  4 .
Câu 46: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là A. 30 . B. 40 . C. 50 . D. 60 .
Câu 47: Trên đường tròn bán kính r  5 , độ dài của cung đo là 8
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  3 5  A. l . B. l . C. l  . D. l  . 8 8 8 4
Câu 48: Trên đường tròn bán kính r  15 , độ dài của cung có số đo 50 là 180 15 25
A. l  750 . B. l  15.  l   . C. l . D. . 180 6 5  25 19
Câu 49: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):   ,   ,  ,  . Các 6 3 3 6
cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A.  và  ;  và  . B.  và  ;  và  . C. ,  , .
D.  , , .
Câu 50: Cho góc lượng giác O ,
A OB có số đo bằng
. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một 5
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối? 6 11 9 31 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5
Câu 51: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:  7 13 71 I. . II.  . III. IV.  . 4 4 4 4
Hỏi cung nào có điểm cuối trùng nhau? A. Chỉ I và II.
B. Chỉ I, II và III. C. Chỉ I, II và IV. D. Chỉ II,III và IV
Câu 52: Cho góc  thoả mãn 90    180 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. sin   0 .
B. cos  0 .
C. tan  0 . D. cot  0 . 5
Câu 53: Cho góc  thỏa mãn 2   
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2
A. tan  0; cot  0 .
B. tan  0; cot  0 . C. tan  0; cot  0 . D. tan  0; cot  0 . 5
Câu 54: Cho 2    . Kết quả đúng là 2
A. tan  0; cot  0 .
B. tan  0;cot  0 . C. tan  0;cot  0 . D. tan  0; cot  0 . Câu 55: Cho
    . Kết quả nào sau đây sai? 2     3  A. cos     0. B. sin      0. C. cot     0.
D. tan      0.  2   2 
Câu 56: Cho  là một góc bất kì. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? sin   
A. 1  cos  1 . B. tan      k  . cos  2  cos C. 2 2
sin   cos   1 . D. tan 
  k . sin
Câu 57: Cho góc lượng giác  bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 2
sin   cos   1 . B. 3 3
sin   cos   1 .   C. 2 2 1 sin  cos  . D. 2 2
sin 2  cos 2  2. 2 2 2
Câu 58: Kết quả nào cho ta tìm được góc  ?
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  1  3  5 sin         sin  sin  sin  0.3 A. 4  . B. 3  . C. 13  . D.  . 3  12 cos   0.7 cos   2     cos  cos  4   3  13
Câu 59: cos không thể bằng giá trị nào dưới đây? A. 1. B. 2 . C. 0, 2 . D. 0,9 .  1 1
Câu 60: Cho góc  thỏa mãn 
   0 và cos  . Giá trị của biểu thức P sin  bằng 2 2 cos 4  3 4  3 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 1 Câu 61: Cho sin 
biết 0    90 . Tính cos; tan  4 15 15 15 15 A. cos   ; tan  . B. cos   ; tan   . 4 15 4 15 15 15 15 15 C. cos  ; tan   . D. cos  ; tan  . 4 15 4 15 2
Câu 62: Cho cos    o o
90    180 . Khi đó, tan bằng 5 21 21 21 21 A. . B.  . C.  . D. . 5 2 5 3
Câu 63: Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos 90  sin 90 cos 30 . 3  3
A. P  1.
B. P  0. C. P  . D. P  . 2 2 Câu 64: o o cos18  cos 342 bằng A. 1. B. 0. C. o 2 cos18 . D. o 2  cos18 . Câu 65: o o
2 sin 27  sin153  sin  o 2  70  o  sin333 bằng A. 1. B. o 2 sin 27  1. C. 0. D. o sin 27 .
Câu 66: Giá trị biểu thức M  tan1 .  tan 2 .  tan 3 ..  .tan89 bằng 1 A. 1 . B. 2 . C. 1  . D. . 2
Câu 67: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?             A. sin  x    cos . x B. sin  x    cos . x C tan  x    cot . x D. tan  x    cot . x  2   2   2   2 
Câu 68: Cho  là một góc bất kì. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. cos(   )  cos .
B. sin(   )  sin .
C. tan(   )   tan .
D. cot(   )  cot .
Câu 69: Cho hai góc nhọn  và  phụ nhau. Hệ thức nào sau đây sai?
A. sin   cos  .
B. cos  sin  .
C. cos   sin .
D. cot  tan  .
Câu 70: Cho tam giác ABC bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A C B A C B A. sin  cos . B. cos  sin . 2 2 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT C. in
s  A B  sinC .
D. cos A B  cosC .  7   11   15   19 
Câu 71: Biểu thức M  tan     cot     tan     cot    bằng  2   2   2   2  A. tan  cot
B. 2tan  cot .
C. 2tan  cot .
D. tan  cot 2sin x  cos x
Câu 72: Cho tan x  3 . Tính P  sin x  . cos x 3 5 2 A. P  . B. P  .
C. P  3 . D. P  . 2 4 5 1 2
Câu 73: Cho góc x thỏa mãn cot x
. Giá trị biểu thức A  bằng 2 2 2 sin x  sin .
x cos x  cos x A. 6 . B. 8 . C. 10 . D. 12 .
Câu 74: Biết tan  2 và 180    270 . Giá trị sin  cos bằng 3 5 3 5 3 5 A. . B. 1 5 . C. . D. . 5 2 2
Câu 75: Cho biểu thức M  tan10 .  tan 20 .
 tan 30 .tan 40 .tan 50 .tan60 .tan70 .
 tan80 . Giá trị của M bằng
A. M  0 .
B. M  1.
C. M  4 .
D. M  8 . 1 cot a  tana
Câu 76: Cho sin a A
3 . Giá trị của biểu thức
tan a  2cot a bằng 1 7 17 7 A. 9 . B. 9 . C. 81 . D. 17 . Câu 77: Biểu thức 2 2 2 2 2 sin .
x tan x  4 sin x  tan x  3cos x không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . 1tan x2 2 1
Câu 78: Giá trị biểu thức A  
không phụ thuộc vào x và bằng 2 2 2 4 tan x 4sin x cos x 1 1 A. 1. B. 1  . C. . D. . 4 4
Câu 79: Giá trị biểu thức 6 6 2 2
A  sin x  cos x  3sin x cos x bằng
A. A  –1.
B. A  1 .
C. A  4 .
D. A  4 . Câu 80: Biểu thức 4 2 4 2
A  sin x  4 cos x  cos x  4 sin x có giá trị là A. 3  . B. 2 . C. 3 . D. 4 . 4 2 2
cos   sin   cos 
Câu 81: Biểu thức B  bằng 4 2 2
sin   cos   sin  A. tan . B. 2 tan  . C. 3 tan  . D. 4 tan  .       cos x  cos     x   4   4 
Câu 82: Biểu thức M  bằng    2 sin x     4  A. 2  . B. 1  . C. 1 . D. 2 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
IV. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho sđ Ou, Ov   và sđ Ou', Ov'   . Chứng minh rằng hai góc hình học uOv, u'Ov' bằng
nhau khi và chỉ khi hoặc     k2 hoặc     k2 với k  . Lời giải:
Ta có sđ Ou, Ov   và sđ Ou', Ov'   suy ra tồn tại  ,      ,  ,      và số 0 0 0 0
nguyên k ,l sao cho   a k 2 ,     l 2 . 0 0 0 0 0 0
Khi đó  là số đo của uOv và  là số đo của u'Ov' . 0 0    
Hai góc hình học uOv, u'Ov' bằng nhau khi và chỉ khi 0 0      0 0     0 0
    k2 hoặc     k2 với k  .  29 22 6 41
Câu 2: Cho góc lượng giác Ou,Ov có số đo  . Trong các số  ;  ; ; , những số nào 7 7 7 7 7
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho? Lời giải:
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2 do đó 29    22    6    41    Vì      2    .2 ,       3   ,       và      3.2 7  7  7  7  7  7  7  7  29 41 nên các số  ;
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã 7 7 cho.
Câu 3: Tìm số đo  của góc lượng giác Ou,Ov với 0    2 , biết một góc lượng giác cùng tia đầu,
tia cuối với góc đó có số đo là: 33 291983 a) . b)  . c) 30. 4 3 Lời giải: 33
a) Mọi góc lượng giác Ou,Ov có số đo là
k2 , k Z 4 33 33
Vì 0    2 nên 0 
k2  2 , k   0 
k2  2, k  4 4 33 25    k  
, k   k  4  . 8 8 33  Suy ra     4  .2  4 4 291983
b) Mọi góc lượng giác Ou,Ov có số đo là 
k2 , k  3 291983 291983
Vì 0    2 nên 0  
k2  2 , k  0  
k2  2, k 3 3 291983 291989   k
, k   k  48664. 6 6 291983  Suy ra     48664.2  . 3 3
c) Mọi góc lượng giác Ou,Ov có số đo là 30  k2 , k
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 15
Vì 0    2 nên 0  30  k2  2 , k   0 
k  1, k  15   15    k
, k   k  4.   Suy ra   30   4
 .2  30  8  4,867 .
Câu 4: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 72,600, 37 45  '30'' . 5 3
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ: , , 4 . 18 5 Lời giải:   2  10 a) Vì 0 1  rad nên 0 0 72  72.  ,600  600.  , 180 180 5 180 3 0 0 0        0 0 45 30 4531 4531 3  7 45'30'  3  7     .        0,659  60   60.60   120  120 180 0  0 0 180  5  5 180      o 3 3 180 b) Vì 1rad   o       nên  .  50 ,  .  108 ,   18  18   5  5   0 0  180   720  0 4    4.    2      260 48' .      
Câu 5: Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là 3 1 a) . b) 51 .  c) . 4 3 Lời giải:a
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l R  .R nên 180 3
a) Ta có l R  36.  27  84,8m 4  a  51 51 b) Ta có l  .R  .36   32,04m 180 180 5 1
c) Ta có l R  36.  12m . 3
Câu 6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:  11 a) . b)  . c) 120 .  d) 765 .  4 2 Lời giải: y B M2 M1 A' A O x M3 B'
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  1 a) Ta có 4 
. Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau. 2 8 
Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo . 1 4 13  11  b) Ta có      3
 .2 do đó điểm biểu diễn bởi góc  trùng với góc  và là 2 2 2 2 điểm B' . 120 1 c) Ta có
 . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau. 360 3
Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 0 120 . 2 d) Ta có 0 0       0 765 45
2 .360 do đó điểm biểu diễn bởi góc 0 765 trùng với góc 0 45 . 45 1
 . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm ) 360 8
Khi đó điểm M (điểm chính giữa cung nhỏ AB' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 0 765 . 3
Câu 7: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy ý).   x k ; x   k ; x    k 1 2 3 3 3
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào? Lời giải: y B M4 M1 A' A O x M2 M B' 3 k2 Ta có: x
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x k 1 2 1
+) Với k  0  x  0 được biểu diễn bởi điểm A 1
+) k  1  x   được biểu diễn bởi A' 1  2k  Ta có: x  
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x   k 2 3 2 2 3 
+) k  0  x
được biểu diễn bởi M 2 3 1 4
+) k  1  x
được biểu diễn bởi M 3 2  k2  Ta có: x   
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x    k 3 3 2 3 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
+) k  0  x  
được biểu diễn bởi M 3 3 3 2
+) k  1  x
được biểu diễn bởi M . 6 3 4
Do các góc lượng giác x , x , x được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều AM M A' M M nên 1 2 3 1 4 2 3 k
các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là x  , k  . 3
Câu 8: Tính giá trị các biểu thức sau: 7 5 7 a) A sin cos9      tan     cot ; 6  4  2 1 2sin 2550cos( 1  88 )  b) B   ; tan 368 2cos638  cos98 c) 2 2 2 2
C  sin 25  sin 45  sin 60  sin 65 ;     d) 2 3 5 D  tan .tan .tan . 8 8 8 Lời giải:         
a) Ta có A  sin  
 cos  4.2   tan    cot       3   6   4   2     1 5
A  sin  cos  tan  cot    1 1 0   . 6 4 2 2 2 2 sin  0 30  7.360 0 cos(8  180 ) 1  b) Ta có B   tan  0 8  360 2cos 0 0 90 
 8  2.360  cos 0 90  8   1   1 2.  0 0 0 cos 8 2 sin 30 cos 8  1 2 B      0 tan 8 2 cos 0 0 8  90  0 0  sin8 tan 8 2 cos 0 0 90  8  0  sin8 0 0 1 cos 8 1 cos 8      0. 0 0 0 0 0 tan 8 2 sin 8  sin 8 tan 8 sin 8 c) Vì 0 0 0 0 0
25  65  90  sin 65  cos 25 do đó 2     C      2 0 2 2 2 2 2 1 sin 25
cos 25  sin 45  sin 60  1        2     2  7 Suy ra C  . 4   3      5 
d) D   tan .tan .tan   tan   8 8    8  8   3   5  3  5    Mà   ,    tan  cot ,tan  cot    8 8 2 8 8 2 8 8 8  8            
Nên D   tan .cot .tan   cot     1  .  8 8    8   8   Câu 9: Cho
    . Xác định dấu của các biểu thức sau: 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT     3  a) sin   ; b) tan   ;  2   2     14 c) cos    .tan  ; d) sin .cot    .  2  9 Lời giải:   3    a) Ta có
         suy ra sin      0. 2 2 2  2        Cách khác: sin   sin       cos     cos      0.  2   2   3   3  b) Ta có         0     suy ra tan     0 . 2 2 2  2   3        Cách khác: tan
  tan     tan   cot        0.  2   2   2        c) Ta có
     0     suy ra cos      0. 2 2 2  2   Và 0    
suy ra tan      0 2    Vậy cos 
 .tan      0 .  2  3 14 14 d) Ta có   2  sin  0 . 2 9 9  3     
    2 suy ra cot    0 . 2 2 14 Vậy sin
.cot      0 . 9
Câu 10: Chứng minh các đẳng thức sau: (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) 4 2 4
cos x  2 sin x  1  sin x; sin x  cos x b) 3 2
 cot x  cot x  cot x  1; 3 sin x 2 2 2 2 cot x  cot y cos x  cos y c)  ; 2 2 2 2 cot . x cot y cos . x cos y       d) 4 2 4 2
sin x  4cos x  cos x  4sin x  3tan x  tan     x ;  3   6  Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với x   x   x2 4 2 2 cos 1 2 sin sin  x    x2 4 2 cos 1 sin (*) Mà 2 2 2 2
sin x  cos x  1  cos x  1  sin x Do đó (*)  x   x2 4 2 cos cos (đúng) (đ.p.c.m) Cách khác: 4 2 4 4 4 2
cos x  2 sin x  1  sin x  cos x  sin x  2 sin x  1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT   2 2 x x 2 2 x x 2 cos sin cos sin  2sin x  1 2 2 2 2 2
 cos x  sin x  2sin x  1  cos x  sin x  1 (đúng) sin x  cos x 1 cos x b) Ta có VT    3 2 3 sin x sin x sin x 1 sin x Mà 2 cot x  1  và tan x  nên 2 sin x cos x 2 VT x   x 2 cot 1 cot cot x  1 3 2
 cot x  cot x  cot x  1  VP (đ.p.c.m) 2 2 cot x  cot y 1 1 c) Ta có 2 2 VT   
 tan y  tan x 2 2 2 2 cot . x cot y cot y cot x 2 2  1   1  1 1 cos x  cos y    1      1      VP (đ.p.c.m) 2 2 2 2 2 2  cos y   cos x  cos y cos x cos . x cos y d) 4 VT x   2  x 4  x   2 sin 4 1 sin cos 4 1  cos x   x2  x    x2  x    x  2   x  2 2 2 2 2 2 2 sin 4sin 4 cos 4cos 4 sin 2 cos 2 2 2  x   x    2  x   2  x    2 2 sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 4
sin x  cos x  3.              Mặt khác vì x    x   tan
x  cot x          nên  3   6  2  6   3       
VP  3tan x  cot x   3  VT      VP (đ.p.c.m)  3   3 
Câu 11: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:  A B C a) sin    cos ;  2  2 3 B 3 B sin cos b) 2 2   tan .
A cot B C.
A  2B C
A  2B C  cos  sin   2   2  Lời giải:A B     C    C C a) Ta có: sin  sin  sin         cos . (đ.p.c.m)  2   2   2 2  2
b) Vì A B C   nên 3 B 3 B 3 B 3 B sin cos sin cos 2 2 2 2   2 B 2 B VT       sin  cos     1   B    B B B  2 2  cos    sin  sin cos    2 2   2 2  2 2 VP  tan .
A cot   A  tan .
A cot A  1 
Suy ra VT VP . (đ.p.c.m)  5 
Câu 12: Rút gọn biểu thức: A  sin
a  cos13  a  3sina    5  .  2  Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  5  Ta có A  sin
a  cos13  a  3sina   
5   cos a  cos a  3sin a  3sin a .  2   5   9   7 
Câu 13: Rút gọn biểu thức M  sin7    cos  
 cot3    tan   2tan        .  2   2   2  Lời giải:         
Ta có: M  sin  cos    2  cot 
   tan 4    2tan         3   2   2   2            sin  cos    cot  tan   2tan          2   2   2         sin  cos     cot  cot  2tan     2   2 
 sin  sin  cot  cot  2cot  0.
Câu 14: Đơn giản các biểu thức sau: (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)  3   3 
a) A  cos(5  x)  sin  x  tan
x  cot(3  x);  2   2 
sin(900  x)  cos(450  x)  cot(1080  x)  tan(630  ) x b) B  ;
cos(450  x)  sin(x  630 )
  tan(810  x)  tan(810  ) x 1 1 1 c) C  2  
với   x  2 .
sinx  2013  . 1  cos x 1  cos x Lời giải:
a) Ta có cos(5  x)  cos  x  2.2   cos  x  cos x;  3        sin
x  sin   x  sin  x  cosx;  2   2   2   3        tan
x  tan   x  tan  x  cot x;  2   2   2 
và cot(3  x)  cot x  cot x;
Suy ra A  cos x  cos x  cot x  cot x  0. b) Ta có   x   0 0   x   0 sin(900 ) sin 180 2.360
sin 180  x  sin x;  0 x   0 0   x   0 cos 450 cos 90 360
cos 90  x  sin x;
cot(1080  x)  cot(3.360  x)  cot x  cot ; x 0 0
tan(630  x)  tan(3.180  90  x)  tan(90  x)  cot x; x     0 0 x     0 sin( 630 ) sin 2.360 90
sin x  90   cos x; 0 0
tan(810  x)  tan(4.180  90  x)  tan(90  x)   cot x; và 0
tan(810  x)  tan(4.180  90  x)  tan(90  x)  cot x;
sin x  sin x  cot x  cot x 2  sin x Vậy B  
sin x  cos x  cot x .
 cot x sin x  cos x
c) Ta có sinx  2013   sinx    1006.2   sinx     sin x nên
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 1
1  cos x  1  cos x C  2  . sin x
1cosx1cosx 1 2 1 2  1   2  .  2  .  2 1 . 2 2 sin x 1  cos x sin x sin x  sin x sin x     1 
Vì   x  2  sin x  0 nên 2 C  2 1      2 cot x 2  sin x
Câu 15: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x . 6 6
sin x  cos x  2 a) A  ; 4 4
sin x  cos x  1 2 1  cot x 2  2cot x b) B   1  cot x tanx  1 ; 2 tan x   1 c) 4 2 4 4 2 4
C  sin x  6 cos x  3cos x  cos x  6 sin x  3sin x . Lời giải: a) Ta có         2 4 4 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos
 2sin  cos   1 2sin  cos ; 3 3 và 6 6  
   2    2    2 2     4 4 2 2 sin cos sin cos sin cos
sin   cos   sin  cos   4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
 sin   cos   sin  cos   1  2sin  cos   sin  cos   1  3sin  cos . 3 2 2 2 2 1    sin  cos 1 3sin cos 2     3 Do đó A    . 2 2 1  2 sin  cos   1 2 2 2 1  sin  cos   2
Vậy A không phụ thuộc vào x . (đ.p.c.m) 2 1 2 cos x 1  2   2 2 2 sin x   cos tan 1 x x  2 tan x  1  2 b) Ta có tan x sin x B       1. 1   tan x  1 tan x  1 tan x  1 x   1 1 tan 1 2 tan x sin x
Vậy B không phụ thuộc vào x . (đ.p.c.m) 2 2 c) C   2  x 2 4  x x   2  x 2 4 1 cos 6cos 3cos 1 sin
 6sin x  3sin x 4 2 4 2
 4cos x  4cos x  1  4sin x  4sin x  1
 2cos x  12  2sin x  12 2 2 2 2
 2cos x  1  2sin x  1  3.
Vậy C không phụ thuộc vào x . (đ.p.c.m)
Câu 16: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc  biết: 1 2 3
a) sin  và 90    180 ;  .
b) cos   và     ; 3 3 2  3 c) tan  2  2 và 0     ; d) cot   2 và    . 2 2 Lời giải: a) Vì 0 0
90    180 nên cos  0 mặt khác 2 2 sin   cos   1 suy ra 2 1 2 2
cos   1  sin    1    9 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 1 sin 1 Do đó 3 tan     cos 2 2 2 2  3 b) Vì 2 2
sin   cos   1 nên 2 4 5
sin   1  cos    1    9 3 3 5 Mà    
 sin  0 suy ra sin   2 3 5  2  sin 5 cos 2 Ta có 3 tan    và 3 cot    cos 2 2  sin 5 5  3 3 c) Vì tan  2  1 1 2  cot    tan 2 2 1 1 1 1 1 Ta có 2 2 tan   1   cos      cos   . 2 2 cos  tan   1  2 22 9 3  1
Vì 0      sin  0 và tan  2
 2  0 nên cos  0. 1 Vì vậy cos   3 sin  1  2 2 Ta có tan 
 sin  tan.cos  2  2.     . cos  3  3 1 1
d) Vì cot   2 nên tan    . cot 2 1 1 1 1 1 Ta có 2 2 cot   1   sin      sin   2 2 sin  cot   1  2 3 3 2  1  3 Do   
 cos  0 và cot   2  0 nên sin  0 2 2 3 Do đó sin  . 3 cos 3 6 Ta có cot 
 cos  cot.sin   2.   sin 3 3 1
Câu 17: a) Tính giá trị lượng giác còn lại của góc  biết sin  và tan  cot  0. 5 b) Cho 4 4 1 3sin   cos   . Tính 4 4
A  2 sin   cos  . 2 Lời giải: 1 1 a) Ta có 2 2 cot   1  
 25  cot   24 hay cot  2  6 2 2 sin   1     5 
Vì tan , cot cùng dấu và tan  cot  0 nên tan  0, cot  0
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 1 1 Do đó cot  2
 6 . Ta lại có tan    . cot 2 6 cos 1 2  6 cot 
 cos  cot sin  2  6.  sin 5 5 1 1
b) Ta có 3sin   cos  
 3sin   1 sin  2 4 4 4 2  2 2  2 3 sin     0  4     2 4      4 2 2 6 sin 2 1 2 sin sin
 1  4sin   4sin   3  0   .  2 1 sin    2 Suy ra 2 1 sin   . 2 2 2  1   1  1 Ta lại có: 2 2 1 1
cos   1  sin   1   . Suy ra A  2       . 2 2  2   2  4 2 tan  3cot
Câu 18: a) Cho cos  . Tính A  . 3 tan  cot sin  cos
b) Cho tan  3 . Tính B  . 3 3
sin   3cos   2sin c) Cho cot  5 . Tính 2 2
C  sin   sin cos  cos . Lời giải: 1 1 tan  3  2 2 2  tan   3  a) Ta có tan cos 2 A     1 2cos . 2 1 tan   1 1 tan  2 tan cos  4 17
Suy ra A  1  2.  . 9 9
b) Do tan  3 nên cos  0. Chia cả tử và mẫu của B cho 3 cos  , ta được: sin cos  tan    2 tan   1   2   3 3 tan 1 cos cos B   ; 3 3 3 sin  3cos  2 sin tan   3  2 tan    2 tan   1 3 3 3 cos  cos  cos  39   1  9   1 2 Suy ra B   27  3  2.39   1 9
c) Do cot  5 nên sin  0. 2 2 2
sin   sin cos  cos   cos cos   Ta có 2 2 C  sin .  sin  1   2 2 sin   sin sin   1    2 1 6 5 1  cot  cot   1  5  5  . 2  2   1  cot  1   5 6 3 2 sin  tan
Câu 19: Cho tan  4cot  3,    
. Tính giá trị biểu thức M  . 2 cos  cot Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 4 Ta có: 2
tan  4cot  3  tan 
 3  tan   3tan  4  0 tan tan   ( 1 lo¹i)   3 
tan  4 (nhËn do     )  2 1 1
Ta có: tan  4  cot   . tan 4  4 17 cos  (lo¹i) 1 1 16 và 2 2 1  tan    cos    .   17 2 2 cos  1  tan  17  4 17 3 cos   (nhËn do     )  17 2  17 sin  (lo¹i) 16 1 Với 2 2 2 cos  
 sin   1 cos     17 17 17  17 3 sin   (nhËn do     )  17 2 1 4 17 17
Vậy ta có: tan  4 , cot  , cos   và sin   . 4 17 17  17  2    4     17  2 sin tan   27  2  8 17 Lúc đó M    . cos  cot 4 17 1 17  16 17   17 4
Câu 20: Cho tan  cot  .
m Tính giá trị biểu thức 3 3
A  tan   cot  theo tham số thực . m Lời giải: 3 Ta có: 3 3
tan   cot   tan  cot   3tan.cot tan  cot  3  m  3 . m
Câu 21: Cho sin  cos  m, m  2; 2  
 . Tính các giá trị của 2 2 tan   cot  theo . m Lời giải: Ta có:  
  m      2 2 2 sin cos sin cos
m  1 2sin cos  m 2 m 1 sin cos    . 2  1   1  1 1 Ta có: 2 2 tan   cot    1   1        2 2 2 2 2  cos    sin   cos  sin  4 2 1 1 4 2
m  4m  2   2   2   2  . 2 2 2 4 2 4 2   2 cos sin    m  2m  1 m  2m  1 m 1    2 
Câu 22: Biết sin x  cos x m.
a) Tính theo m giá trị sin x cos x và 4 4
sin x  cos x .
b) Chứng minh rằng m  2. Lời giải: a) Ta có  x x2 2 2 sin cos
 sin x  2sin xcos x  cos x  1  2sin xcos x (*)
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 2 m 1
Mặt khác sin x  cos x m nên 2
m  1  2 sin cos hay sin cos   2 Đặt 4 4
A  sin x  cos x . Ta có: A   2 2 x x 2 2 sin cos
sin x  cos x  sin x  cos xsin x  cos x  A   x x2  x x2 2 sin cos sin cos
 1 2sin xcosx1 2sin xcosx 2 2 2 4        2 4   2 m 1 m 1 3 2m m  3 2m m A  1  1   . Vậy A  .  2  2  4 2 b) Ta có 2 2
2 sin x cos x  sin x  cos x  1.
Kết hợp với (*) suy ra:  x x2 sin cos
 2  sin x  cos x  2. Vậy m  2. (đ.p.c.m)
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 23: Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O có bán kính bằng A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 24: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.
B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
D. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại
được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng. Lời giải:
Nhắc lại định nghĩa SGK (T134): Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã
chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước
chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
Từ định nghĩa ta chọn đáp án D.
Câu 25: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Chỉ một cung lượng giác cố điểm đầu là A , điểm cuối là B .
B. Đúng hai cung lượng giác cố điểm đầu là A , điểm cuối là B .
C. Đúng bốn cung lượng giác cố điểm đầu là A , điểm cuối là B .
D. Vô số cung lượng giác cố điểm đầu là A , điểm cuối là B . Lời giải:
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm ,
A B . Một điểm M di động trên đường tròn luôn
theo một chiều ( âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu là A ,
điểm cuối là B . Do đó có vô số cung lượng giác có điểm đầu là A , điểm cuối là B .
Câu 26: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Mỗi cung lượng giác AB xác định một góc lượng giác tia đầu OA tia cuối OB .
B. Mỗi cung lượng giác AB xác định hai góc lượng giác tia đầu OA tia cuối OB .
C. Mỗi cung lượng giác AB xác định bốn góc lượng giác tia đầu OA tia cuối OB .
D. Mỗi cung lượng giác AB xác định vô số góc lượng giác tia đầu OA tia cuối OB . Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT þ
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác AB . Một điểm M chuyển động trên þ
đường tròn từ A tới B tạo nên cung lượng giác AB nói trên. Khi đó tia OM quay xung
quanh gốc O từ vị trí OA tới vị trí OB . Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu
là OA , tai cuối là OB . Do đó có vô số góc lượng giác tia đầu OA tia cuối OB .
Câu 27: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A , cung AN , có điểm đầu là A , điểm cuối là N .
A. chỉ có một số đo.
B. có đúng hai số đo.
C. có đúng 4 số đo.
D. có vô số số đo. Lời giải:
Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A , cung AN , có điểm đầu là A , điểm cuối là N
có vô số số đo, các số đo này sai khác nhau 2 .
Câu 28: Góc lượng giác tạo bởi cung lượng giác. Trên đường tròn cung có số đo 1rad là
A. cung có độ dài bằng 1.
B. cung tương ứng với góc ở tâm 0 60 .
C. cung có độ dài bằng đường kính.
D. cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Câu 29: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A , cung lượng giác có số đo 0
55 có điểm đầu A xác định
A. chỉ có một điểm cuối M .
B. đúng hai điểm cuối M .
C. đúng 4 điểm cuối M .
D. vô số điểm cuối M . Lời giải:
Vì cung lượng giác có số đo xác định, điểm đầu A xác định nên chỉ có một điểm cuối M .  k
Câu 30: Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ AM   , k  ? 3 3 A. 3 . B. 12 . B. 4 . D. 6 . Lời giải: k 2   * 2 x    , n
thì được biểu diễn bởi n điểm trên đtlg vì vậy ta có   n  6. n n 3
Câu 31: Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đo rađian của cung tròn đó bằng A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải:
Ta có, cung tròn có độ dài bằng bán kính thì có số đo 1 radian. Vậy cung tròn đó có số đo là 2 radian.
Câu 32: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 1 rad  1 .
B. 1 rad  60 . o  180 
C. 1 rad  180 . D.
1 rad     .  
Câu 33: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là A , các đỉnh lấy theo thứ tự
đó và các điểm B,C có tung độ dương. Khi đó, góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OC bằng: A. 120 . B. 240 . C. 120 hoặc 240 . D. 120 k360 , k . Lời giải: Theo bài ra ta có 120o AOC
nên góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OC có số đo bằng 0 0 120 k360 , k .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Câu 34: Góc có số đo 108 đổi ra rađian là 3  3  A. . B. . C. . D. . 5 10 2 4 Lời giải: 0 108 . 3 Ta có: 0 108   . 0 180 5
Câu 35: Đổi số đo góc 105 sang rađian. 5 7 9 5 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 8 Lời giải: 0 105 . 7 0 105   . 0 180 12 2
Câu 36: Góc có số đo đổi sang độ là: 5 A. 240 .  B. 135 .  C. 72 .  D. 270 .  Lời giải: 0 2 2.180 Ta có: 0   72 . 5 5 
Câu 37: Góc có số đo đổi sang độ là: 9 A. 15 .  B. 18 .  C. 20 .  D. 25 .  Lời giải: 0  180 Ta có: 0   20 . 9 9 Câu 38: Góc 63 4  8' gần bằng
A. 1,108 rad .
B. 1,107 rad .
C. 1,114 rad .
D. 1,113rad . Lời giải: 0 63,8  3,1416 Ta có 0 0 63 48'  63,8   1,114ra . d 0 180 
Câu 39: Cho a
k2 ,k  . Tìm k để 10  a  11. 2
A. k  4 .
B. k  6 .
C. k  7 .
D. k  5 . Lời giải: 19 21
+ Để 10  a  11 thì  k2   k  5 . 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Câu 40: Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục   đi qua O . Xác định số đo của các góc giữa
tia OA với trục   , biết trục   đi qua đỉnh A của hình vuông. A. 0 0
180  k360 , k . B. 0 0
90  k360 , k . C. 0 0
–90  k360 , k . D. 0 k360 , k . Lời giải:
Tia OA và trục   cùng đi qua O và A  góc giữa tia OA với trục   là 0o  360o k .
Câu 41: Biết OMB và ONB là các tam giác đều. Cung  có điểm đầu là A và điểm cuối trùng với
B hoặc M hoặc N . Tính số đo của .     A.  
k , k . B.   
k ,k . 2 2 6 3  2  2 C.    k , k  . . D.    k , k . 2 3 6 3 Lời giải:
+ Cung  có điểm đầu là A và điểm cuối trùng với B nên   . 2 2 2 2 + AM AB  , AN AM
nên chu kì của cung  là . 3 3 3
Câu 42: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với
chiều quay của kim đồng hồ, biết sd Ox O  0
, A  30  k360, k
, sd Ox, BC  bằng: A. 210  360 h ,  h. B. 135  360 h ,  h.
C. 210  h360 ,  h. D. 175  360 h ,  h. Lời giải:
Gọi A là điểm đối xứng của A qua O . Ta có:
sd Ox, BC   sd Ox,OA  sd O ,
A OA  210  36 h 0 ,  h .
Câu 43: Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác
AM có số đo 60 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là A. 120 . B. 240 .
C. 120 hoặc 240 .
D. 120  k360 ,  k . Lời giải:
Ta có: AON  60 , MON  60 nên AOM  120 . Khi đó số đo cung AN bằng 120 .
Câu 44: Cho Ox, Oy  22 3  0' k360 .
 Tính k để Ox, Oy 1822 30  '.
A. k  .
B. k  3.
C. k  –5.
D. k  5. Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Theo đề: Ox, Oy 0 1822 30'  0 0 0
22 30 ' k360  1822 30 '  k  5 .
Câu 45: Cho số đo cung Ou,Ov  25  k360,k   . Với giá trị nào của k thì Ou,Ov  1  055?
A. k  1 .
B. k  2 .
C. k  3 .
D. k  4 . Lời giải:
Ta có: Ou,Ov  25  k360  1  055  k  3  .
Câu 46: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là A. 30 . B. 40 . C. 50 . D. 60 . Lời giải: 0 360
+ 1 bánh răng tương ứng với 0  5  10 bánh răng là 0 50 . 72 
Câu 47: Trên đường tròn bán kính r  5 , độ dài của cung đo là 8  3 5  A. l . B. l . C. l . D. l  . 8 8 8 4 Lời giải:
Độ dài cung AB có số đo cung AB bằng n độ: l r.n  5. . 8
Câu 48: Trên đường tròn bán kính r  15 , độ dài của cung có số đo 50 là 180 15 25
A. l  750 . B. l  15.  l   . C. l . D. . 180 6 Lời giải: 5 Ta có: 0 50  . 18 0 .r.n 25  l   .. 0 180 6 5  25 19
Câu 49: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):   ,   ,  ,  . Các 6 3 3 6
cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A.  và  ;  và  . B.  và  ;  và  . C. ,  , .
D.  , , . Lời giải:
Ta có:    4  2 cung  và  có điểm cuối trùng nhau.
    8  hai cung  và  có điểm cuối trùng nhau. 
Câu 50: Cho góc lượng giác O ,
A OB có số đo bằng
. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một 5
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối? 6 11 9 31 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải: 31    6  3.2 . 5 5
Câu 51: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:  7 13 71 I. . II.  . III. IV.  . 4 4 4 4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Hỏi cung nào có điểm cuối trùng nhau? A. Chỉ I và II.
B. Chỉ I, II và III. C. Chỉ I, II và IV. D. Chỉ II,III và IV Lời giải: 7        13 5 71 2    ;  2  ;   18    4 4 4 4 4 4
Dùng giả thiết sau cho các câu 1,2: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho cung AM có 
sđ AM    k2 , k  ,     . 2
Câu 52: Cho góc  thoả mãn 90    180 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. sin   0 .
B. cos  0 .
C. tan  0 . D. cot  0 . Lời giải:
Khẳng định đúng là tan  0 . 5
Câu 53: Cho góc  thỏa mãn 2   
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2
A. tan  0; cot  0 .
B. tan  0; cot  0 . C. tan  0; cot  0 . D. tan  0; cot  0 . Lời giải: 5 Vì 2   
nên điểm cuối của cung  thuộc góc phần tư thứ I, do đó tan  0; cot  0. 2 5
Câu 54: Cho 2    . Kết quả đúng là 2
A. tan  0; cot  0 .
B. tan  0;cot  0 . C. tan  0;cot  0 . D. tan  0; cot  0 . Câu 55: Cho
    . Kết quả nào sau đây sai? 2     3  A. cos     0. B. sin      0. C. cot     0.
D. tan      0.  2   2  Lời giải:  3         cot
  cot     cot   tan        0 (do
     tan  0 ).  2   2   2  2
Câu 56: Cho  là một góc bất kì. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? sin   
A. 1  cos  1 . B. tan      k  . cos  2  cos C. 2 2
sin   cos   1 . D. tan 
  k . sin
Câu 57: Cho góc lượng giác  bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 2
sin   cos   1 . B. 3 3
sin   cos   1 .   C. 2 2 1 sin  cos  . D. 2 2
sin 2  cos 2  2. 2 2 2
Câu 58: Kết quả nào cho ta tìm được góc  ?  1  3  5 sin         sin  sin  sin  0.3 A. 4  . B. 3  . C. 13  . D.  . 3  12 cos   0.7 cos   2     cos  cos  4   3  13 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT Vì 2 2 25 144 sin   cos     1. 169 169
Câu 59: cos không thể bằng giá trị nào dưới đây? A. 1. B. 2 . C. 0, 2 . D. 0,9 .  1 1
Câu 60: Cho góc  thỏa mãn 
   0 và cos  . Giá trị của biểu thức P sin  bằng 2 2 cos 4  3 4  3 1 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải:
Cách 1: Ta có: 2 2 2 2 sin  cos  1  sin  1  cos  2 1  1  3 3 Với cos  2  sin  1     sin     2  2  4 2  3 Vì 
   0 nên sin0 s  in  . 2 2 1 3 1 3 4  3 Vậy: Psin      2 . cos 2 1 2 2 2  1 cos   2 
Cách 2: Theo giả thiết:     .  3    0  2 1    1 3 4  3 Vậy Psin   sin    2 .   cos  3     2 2 cos     3  1 Câu 61: Cho sin 
biết 0    90 . Tính cos; tan  4 15 15 15 15 A. cos   ; tan  . B. cos   ; tan   . 4 15 4 15 15 15 15 15 C. cos  ; tan   . D. cos  ; tan  . 4 15 4 15 Lời giải:  1 sin   4 15 15 Ta có   cos   ; với 0 0
0    90 nên cos  . 15 4 2 2 4 cos  1sin    16 1 sin 1 15 Và sin  nên tan    . 4 cos 15 15 2
Câu 62: Cho cos    o o
90    180 . Khi đó, tan bằng 5 21 21 21 21 A. . B.  . C.  . D. . 5 2 5 3
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT Lời giải: 4 21 21 Ta có: 2 2
sin   1 cos   1   sin  (vì o o 90    180 ). 25 25 5 sin 21 Vậy, tan    cos . 2
Câu 63: Tính giá trị biểu thức P  sin 30 cos 90  sin 90 cos 30 . 3  3
A. P  1.
B. P  0. C. P  . D. P  . 2 2 Lời giải:
Ta có: P  sin 30cos 90  sin 90cos 30 1 3 3  .0 1.  . 2 2 2 Câu 64: o o cos18  cos 342 bằng A. 1. B. 0. C. o 2 cos18 . D. o 2  cos18 . Lời giải: o o o 342  18   360 nên o   o   o cos 342 cos 18  cos18 . Câu 65: o o
2 sin 27  sin153  sin  o 2  70  o  sin333 bằng A. 1. B. o 2 sin 27  1. C. 0. D. o sin 27 . Lời giải: o o o 153  180  27 nên o o sin153  sin 27 ; o o o 270   90  360 nên  o   o sin 270  sin90  1 o o o 333  27   360 nên o   o   o sin 333 sin 27  sin 27 .
Câu 66: Giá trị biểu thức M  tan1 .  tan 2 .  tan 3 ..  .tan89 bằng 1 A. 1 . B. 2 . C. 1  . D. . 2 Lời giải: M  tan1 .  tan 2 .tan 3 ...  tan89
 tan1 .tan89tan2 .tan88...tan44 .tan46.tan45
 tan1 .cot1tan2 .cot2...tan44 .cot44.tan45  1.
Câu 67: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?             A. sin  x    cos . x B. sin  x    cos . x C tan  x    cot . x D. tan  x    cot . x  2   2   2   2 
Câu 68: Cho  là một góc bất kì. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. cos(   )  cos .
B. sin(   )  sin .
C. tan(   )   tan .
D. cot(   )  cot .
Câu 69: Cho hai góc nhọn  và  phụ nhau. Hệ thức nào sau đây sai?
A. sin   cos  .
B. cos  sin  .
C. cos   sin .
D. cot  tan  .
Câu 70: Cho tam giác ABC bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A C B A C B A. sin  cos . B. cos  sin . 2 2 2 2 C. in
s  A B  sinC .
D. cos A B  cosC . Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Ta có: cos A B  cos  C  cosC , do đó mệnh đề D sai.  7   11   15   19 
Câu 71: Biểu thức M  tan     cot     tan     cot    bằng  2   2   2   2  A. tan  cot
B. 2tan  cot .
C. 2tan  cot .
D. tan  cot Lời giải: 7            7 3 nên tan   tan       cot; 2 2  2   2  11            11 5 nên cot   cot       tan 2 2  2   2   15   19  Tương tự: tan   cot        cot ; cot   tan        tan.  2   2 
Vậy M  2tan  cot . 2sin x  cos x
Câu 72: Cho tan x  3 . Tính P  sin x  . cos x 3 5 2 A. P  . B. P  .
C. P  3 . D. P  . 2 4 5 Lời giải:
Do tan x  3 nên cos x  0. Chia cả tử và mẫu của P cho cosx, ta được : 2 tan x 1 5 Khi đó P   . tan x 1 4 1 2
Câu 73: Cho góc x thỏa mãn cot x
. Giá trị biểu thức A  bằng 2 2 2 sin x  sin .
x cos x  cos x A. 6 . B. 8 . C. 10 . D. 12 . Lời giải: 1 Do cot x
nên sin x  0. Chia cả tử và mẫu của A cho 2 sin x, ta được : 2 2 2 2 2 2(1 cot x) Ta có: sin x A    2 2 2 2 2 sin x  sin .
x cos x  cos x sin x  sin .
x cos x  cos x
1 cot x  cot x 2 sin x 1 Vì cot x  nên A  10 . 2
Câu 74: Biết tan  2 và 180    270 . Giá trị sin  cos bằng 3 5 3 5 3 5 A. . B. 1 5 . C. . D. . 5 2 2 Lời giải: 1 1 1 2 cos     cos   . 2 1 tan  5 5 1
Do 180    270 nên cos  0 suy ra cos   . 5 2 3 3 5
sin  tan.cos  
. Do đó sin  cos     . 5 5 5
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Câu 75: Cho biểu thức M  tan10 .
 tan 20 .tan 30 .tan 40 .tan 50 .tan60 .tan70 .
 tan80 . Giá trị của M bằng
A. M  0 .
B. M  1.
C. M  4 .
D. M  8 . Lời giải: M  tan10 .
 tan80tan20 .tan70tan30 .tan60tan40 .tan50
 tan10 .cot10tan20 .cot20tan30 .cot30tan40 .cot40  1 1 cot a  tana
Câu 76: Cho sin a A
3 . Giá trị của biểu thức tan a bằng  2 cot a 1 7 17 7 A. 9 . B. 9 . C. 81 . D. 17 . Lời giải: cosa sin a  2 2 cot a  tan a sin a cosa cos a  sin a Ta có A    2 2
tan a  2 cot a sin a cosa sin a  2 cos  2 a cosa sin a  2 1 sin a 2  sin a 2 1 2sin a 7    2 sin a  2 2 1 sin a 2 2  sin a 17 Câu 77: Biểu thức 2 2 2 2 2 sin .
x tan x  4 sin x  tan x  3cos x không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: 2 2 2 2 2 x x x x x   2 x   2 2 2 2 sin .tan 4sin tan 3cos sin
1 tan x  3sin x  3cos x  sin x 2 sin x 2 2 2 2 2 2 2
 cos x tan x  3 sin x  cos . x
 3 sin x  sin x  3 sin x  3. 2 cos x 1tan x2 2 1
Câu 78: Giá trị biểu thức A  
không phụ thuộc vào x và bằng 2 2 2 4 tan x 4sin x cos x 1 1 A. 1. B. 1  . C. . D. . 4 4 Lời giải: 2 2  sin x  1    cos x  1
cos xsin x2 2 2 2 1 A     2 2 2 2 2 2 2 4 tan x 4 sin x cos x 4 sin x cos x 4 sin x cos x  2 2
cos x  sin x   1  2 2
cos x  sin x   2 1 2 cos . x  2 2  sin xA    1.  2 2 2 2 4sin x cos x 4sin x cos x
Câu 79: Giá trị biểu thức 6 6 2 2
A  sin x  cos x  3sin x cos x bằng
A. A  –1.
B. A  1 .
C. A  4 .
D. A  4 . Lời giải: 3 Ta có: 6 6 x x   2 2 x x 2 2  x x  2 2 x x 2 2 sin cos sin cos 3sin cos sin cos
1 3sin x cos x . Suy ra: 2 2 2 2
A  1  3sin x cos x  3sin x cos x  1. Câu 80: Biểu thức 4 2 4 2
A  sin x  4 cos x  cos x  4 sin x có giá trị là
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT A. 3  . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: 4 2 4 2 2 2
A  sin x  4  4 sin x  cos x  4  4 cos x  sin x  2  cos x  2   2  x   2 2 sin 2  cos x  3 . 4 2 2
cos   sin   cos 
Câu 81: Biểu thức B  bằng 4 2 2
sin   cos   sin  A. tan . B. 2 tan  . C. 3 tan  . D. 4 tan  . Lời giải: 2 sin    2 1  cos   2 2 cos  sin   2 4 2 2 1    cos cos sin cos      Ta có: B     
sin   cos   sin 
cos   1  sin  sin  cos  1  sin   4 tan . 4 2 2 2 2 2 2 2       cos x  cos     x   4   4 
Câu 82: Biểu thức M  bằng    2 sin x     4  A. 2  . B. 1  . C. 1 . D. 2 . Lời giải:       2 2 cos  x sin x       4   4  Ta có: M    1.       2 2 sin x  sin x       4   4                   x phụ với  x  cos   x   cos    x  sin   x .  4 4 4  2 4  4        
____________________HẾT____________________
Huế, 08h20’ Ngày 14 tháng 3 năm 2023
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chủ đề 2:
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. CÔNG THỨC CỘNG
sin a b  sin c a osb  cos s a inb
sin a b  sin c
a osb  cos sin a b
cosa b  cos c a osb  sin s a inb
cosa b  cos c a osb  sin s a inb a b a b
ab tan tan tan 
ab tan tan tan  1  tana ta . nb 1  tana ta . nb
(giả sử các biểu thức đều có nghĩa)
2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin2a  2sina c . osa
cos2a  cos2a  sin2a  2cos2a  1  1  2sin2a 2tana tan2a 1  tan2a
(giả sử các biểu thức đều có nghĩa)
3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1 sina c . osb  sin 
a bsinab 2 1 sin a s . inb  cos 
a bcosa b 2 1 cosa c . osb  cos 
a b cosa b 2
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH a b a b a b a b
sina  sinb  s 2 in cos
sina  sinb  2cos sin 2 2 2 2 a b a b a b a b
cosa  cosb  2cos cos
cosa  cosb   s 2 in sin 2 2 2 2
5. MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
1) sin a  sina  sin3 3 3 4 a cos a  cos3 3 4 a  3cosa a 2 2t 1  t 2t
2) Đặt t  tan . Lúc đó: sina  ; cosa  ; tana  2 2 2 2 1  t 1  t 1  t       3)
sina  cosa  s 2 in a   
cosa  sina  2cos a     4   4  2 2
1  sin2a  sina  cosa
1  sin2a  sina  cosa
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 2
tana  cota
cota  tana  2cot2a sin2a
(giả sử các biểu thức đều có nghĩa)
II. BÀI TẬP MINH HỌA  
Câu 1: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác sau: 0 0 7 5 cos795 , sin18 , tan ,cot . 12 8
Câu 2: Không sử dụng máy tính, tính giá trị biểu thức lượng giác sau: 1 1 a) A   b) B   0   0 1 tan 20 1  tan 25  0 0 cos 290 3 sin 250     c) 0 0 0 0
C  tan 9  tan 27  tan 63  tan 81 d) 2 2 2 2 D  sin  sin  sin sin 9 9 9 9
Câu 3: Không sử dụng máy tính, tính giá trị biểu thức lượng giác sau:     a) A  sin cos .cos .cos ; b) B  sin10 .  sin 30 .  sin 50 .sin70 ;  32 32 16 8  3  2 3 c) C  cos  cos ; d) 2 2 2 D  cos  cos  cos . 5 5 7 7 7 2 6
Câu 4: Cho  ,  thoả mãn sin  sin   và cos  cos  
. Tính cos    và sin    . 2 2 4        
Câu 5: Cho cos 2x   , với
x  . Tính sin x, cos x, sin x  , cos 2x      . 5 4 2  3   4   Câu 6: Cho 2
cos 4  2  6 sin  với
    . Tính tan 2 . 2 1 1 1 1 Câu 7: Cho     7 . Tính cos 4 . 2 2 2 2 tan  cot  sin  cos      2013 
Câu 8: Cho sin  cos  cot
với 0     . Tính tan  . 2  2   3      5     Câu 9: Cho     1 sin  , tan  2
 tan  . Tính A  sin   cos    sin   sin           . 3  8   8   12   12 
Câu 10: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác  làm cho biểu thức xác định thì  a) 4 4 3 cos 4 sin   cos    ; b) 6 6 5 3 sin   cos    cos4; 4 4 8 8 1  sin 2    c) 2  cot   . 1  sin 2  4  
Câu 11: Cho 0     ,  . Chứng minh rằng: 2   1  cos  1  cos     a) 1 cos 1 cos       2sin   ; b)  tan   .  2 4  1  cos  1  cos  2 4 
Câu 12: Chứng minh rằng: a) 2 2
sin(   ).sin(   )  sin   sin  ;   b) cot cot
 2 với sin  sin   3sin   ,  b k2 ,k ; 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
sin  sin  cos    c)     
   tan . cos sin sin
Câu 13: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x :  2   2  a) 2 2 2 A  cos   cos     cos   ;  3   3            3 
b) B  cos  .cos    cos  .cos  .  3   4   6   4 
Câu 14: Đơn giản biểu thức sau: (giả sử các biểu thức có nghĩa)       cos a   cos a     
cos a  2cos 2a  cos 3a  3   3  a) A  ; b) B  ;
sin a  sin 2a  sin 3a a cot a  cot 2
c) C  cos a  cos(a b)  cos(a  2 )
b  ...  cos(a  )
nb n . 1 1
Câu 15: Cho sina b  2cosa b . Chứng minh rằng biểu thức M   không phụ 2  sin 2a 2  sin 2b
thuộc vào a,b . 
Câu 16: Chứng minh rằng với 0    thì 2 a) 2
2 cot   1  cos 2 ; b) cot  1  cot 2.   1  1 
Câu 17: Cho 0   
. Chứng minh rằng: sin  cos      2. 2  2cos  2sin 
Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a) A  sin x  cos x; b) 4 4
B  sin x  cos . x
Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A  2  2 sin x  cos 2x
Câu 20: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: A B C
a) sin A  sin B  sinC  4cos cos cos ; 2 2 2 b) 2 2 2
sin A  sin B  sin C  2(1  cos Acos BcosC);
c) sin 2A  sin 2B  sin 2C  4 sin Asin BsinC.
Câu 21: Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông, ta đều có:
a) tan A  tan B  tanC  tan . A tan . B tanC; b) cot .
A cot B  cot .
B cot C  cot C.cot A  1.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 22: Với a,b là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?   A. sin  sin  a b a b a b 2 cos sin .
B. cos a b  cos a cos b  sin a sin . b 2 2
C. sin a b  sin a cos b  cos a sin . b
D. 2 cos a cos b  cos a b  cos a b.
Câu 23: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A. sin 2x  2sin x cos x . B. sin 2x  sin x cos x . C. sin 2x  2 cos x .
D. sin 2x  2 sin x .
Câu 24: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? A. 2
cos 2a  1 2 sin a . B. 2 2
sin 3a  cos 3a  3 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
C. sin 4a  2 sin 2a cos 2a .
D. cos a b  cos a cosb  sin a sin b .
Câu 25: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? A. 2
cos 2a  1 2 sin a . B. 2 2
cos 2a  cos a  sin a . C. 2
cos 2a  1 2 cos a . D. 2
cos 2a  2 cos a 1.
Câu 26: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A. cos 2a  2 cos a 1. B. 2
2 sin a  1 cos 2a .
C. sin a b  sin a cos b  sin b cos a .
D. sin 2a  2sin a cos a .
Câu 27: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? A. 2
cos 2a  1 2 sin a .
B. cos 2a  2sin a cos a C. 2 2
cos 2a  cos a  sin a . D. 2
cos 2a  2 cos a 1.
Câu 28: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng? A. 2 2
cos 2a  cos a  sin a . B. 2
cos 2a  2 cos a 1 . C. 2 2
cos 2a  cos a  sin a . D. 2
cos 2a  2 sin a 1 .
Câu 29: Với a,b là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? (giả sử các biểu thức lượng giác đều có nghĩa) a b a b
A. tan(a   )  tan . B. sin    sin b  2sin sin . 2 2
C. sin  tan cos .
D. cos(a b)  sin a sin b  cos a cos b .
Câu 30: Với a,b là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? 1 1
A. sin a sin b
cosa b  cosa b   . B. c s o a cos b
cosa – b  cosa b   . 2 2 1 1
C. cos a cos b
cosa b  cosa b   .
D. sin a cos b
sin a – b  sina b   . 2 2
Câu 31: Với a,b là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A. sin a b  sin a sin b  cos a cos b .
B. sin a b  sin a cos b  cos asin b .
C. sin a b  sin a cos b  cos a sin b .
D. sin a b  sin a sin b  cos a cos b .
Câu 32: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?    1 3    1 3 A. cos a   sin a  cos a   . B. cos a   cos a  sin a   .  3  2 2  3  2 2    1    3 1 C. cos a   cos a    . D. cos a   sin a  cos a   .  3  2  3  2 2
Câu 33: Khẳng định nào sau đây đúng?   A. 4 4 3 cos 4 sin   cos    . B. 4 4 3 cos 4 sin   cos    . 4 4 4 4   C. 4 4 3 cos 4 sin   cos    D. 4 4 3 cos 4 sin   cos    4 2 2 4
Câu 34: Cho góc x bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? 3 1 5 3 A. 4 4
sin x  cos x   cos 4x . B. 6 6
sin x  cos x   cos 4x . 4 4 8 4 3 1 C. 4 4
sin x  cos x   cos 2x . D. 4 4
sin x  cos x   cos 4x . 4 4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 2
Câu 35: Tính giá trị của biểu thức 4 4
P  sin   cos  , biết sin 2  . 3 1 9 7 A. . B. 1. C. . D. . 3 7 9   
Câu 36: Biểu thức sin a  
 được viết lại thành  6  1 3 1 3 1 1 3 A. sin a  . B. sin a  cos a . C. sin a
cos a . D. sin a  cos a . 2 2 2 2 2 2 2
sin a b
Câu 37: Biểu thức sina bằng biểu thức nào sau đây? b sin a  sin b sin a  sin b tan a  tan b cot a  cot b A. . B. . C. . D. . sin a  sin b sin a  sin b tan a  tan b cot a  cot b     sin .cos  sin .cos
Câu 38: Giá trị biểu thức 15 10 10 15 bằng 2  2  cos .cos  sin .sin 15 5 15 5 3 3 A. 1. B. 1  . C.  . D. . 2 2 3 Câu 39: Cho sin  . Tính cos 2 . 4 1 7 7 1 A. . B. . C.  . D.  . 8 4 4 8 1 3
Câu 40: Cho góc lượng giác  thỏa mãn sin   , và     . Tính sin 2 . 3 2 7 4 2 4 2 2 A. . B. . C.  . D.  . 9 9 9 3 3
Câu 41: Cho cos x   . Tính cos 2x . 5 7 3 8 7 A.  . B.  . C.  . D. . 25 10 9 25 2
Câu 42: Tính giá trị biểu thức P  1 3cos 2 2  3cos 2  , biết sin  . 3 49 50 48 42 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27 1
Câu 43: Cho biết sin x  cos x   . Tính sin 2x . 2 3 3 1 A.  . B. . C. . D. 1  . 4 4 2 
Câu 44: Cho góc  thỏa mãn
    và sin  2cos  1
 . Tính giá trị sin 2α. 2 2 6 24 2 6 24 A. . B. . C.  . D.  . 5 25 5 25
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  2 1 sin 2  cos 2
Câu 45: Cho góc  thỏa mãn 0    và sin  . Tính P  2 3 sin  . cos 2 5 3 2 5 3 A. P   . B. P  . C. P  . D. P   . 3 2 3 2   
Câu 46: Cho tan  2 . Giá trị tan     bằng  4  1 2 1 A. . B. . C. 1 . D. . 3 3 3 1 3
Câu 47: Cho  và  là hai góc nhọn mà tan  và tan  
. Góc    có giá trị bằng 7 4     A. . B. . C. . D. . 6 4 3 2   
Câu 48: Nếu tan  cot  2 , 0      thì sin 2 bằng  2   1 2 A. . B. 1. C.  . D. . 2 3 2 4 3    
Câu 49: Biết sin a   , cos b  3   a  ,0  b  
, tính cosa b. 5 5  2 2  7 33 A. . B. 0. C. 1. D.  . 25 65 5    3   
Câu 50: Cho hai góc  ,  thỏa mãn sin  ,     
 và cos   , 0      . Tính giá trị 13  2  5  2 
đúng của cos     . 16 18 18 16 A. . B.  . C. . D.  . 65 65 65 65    3   
Câu 51: Giá trị của tan   
 bằng bao nhiêu khi sin        ?  3  5  2  48  25 3 8  5 3 8  3 48  25 3 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11      
Câu 52: Rút gọn biểu thức M  sin  x  sin     x  ta được  3   3 
A. M  3 sin x .
B. M   3 cosx .
C. M   3 sin x .
D. M  3 cosx .  π 
Câu 53: Cho tan  2 . Tính tan     .  4  1 1 2 A. . B.  . C. 1. D. . 3 3 3 4    
Câu 54: Cho sin a  với
a   . Tính tan  a   . 5 2  6  4  8  25 3 4  8  25 3 48  25 3 48  25 3 A. . B. . C. . D. . 11 39 11 39
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 5
Câu 55: Cho biết tan x
. Tính giá trị của biểu thức P  5sin 2x  7 cos 2x . 7 A. P  13 . B. P  7 . C. P  2 . D. P  9 .   
Câu 56: Biết sin  cos  m . Tính P  cos     theo m .  4  m m A. . B. . C. 2m . D. m 2 . 2 2 5 3  
Câu 57: Biết sin a
, cos b   với 0  a  ,
b   . Tính cosa b . 13 5 2 2 63 21 16 56 A.  . B. . C.  . D.  . 65 65 65 65  1 2
Câu 58: Cho các góc  ,  thỏa
 ,    ,sin  ,cos    . Tính sin     . 2 3 3 5  4 2 5  4 2 2 10  2 2  2 10 A. . B. . C. . D.  . 9 9 9 9
Câu 59: Cho tan 2a b  
1  2 ; tan b  3a  2024  10 . Giá trị của tan 2023  5a bằng: 8 7 8 7 A.  . B. . C. . D.  . 21 15 21 15
Câu 60: Cho ABC nếu có quan hệ sin Acos B  cosC  sin B  sinC thì đó là tam giác gì? A. Tam giác đều. B. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông cân. D. Tam giác vuông.
Câu 61: Rút gọn biểu thức M  cos 115.cos –365  sin115 .sin –365 .
A. M  cos  24
 5 . B. M  sin 480 .
C. M  sin  2
 45 . D. M  cos480.
Câu 62: Rút gọn biểu thức A  sin  x y cos y  cos x y sin y .
A. A  cos x .
B. A  sin x . C. A  sin .
x cos 2 y . D. A  cos . x cos 2 y . 1
Câu 63: Nếu sin x  cos x  thì sin 2x bằng 2 3 3 2 3 A. . B. . C. . D.  . 4 8 2 4
Câu 64: Chọn đẳng thức đúng.
  a  1sin a
  a  1 sin a A. 2 cos     . B. 2 cos     .  4 2  2  4 2  2
  a  1 cos a
  a  1 cos a C. 2 cos     . D. 2 cos     .  4 2  2  4 2  2      
Câu 65: Biểu thức 2sin  sin      bằng  4   4  A. sin 2 . B. cos 2 . C. sin  . D. cos .      
Câu 66: Biểu thức 4 cos  .sin      bằng  6   3  A. 2 3   4sin  . B. 2 4  3sin  . C. 2 3  4 sin  . D. 2 sin  .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
Câu 67: Cho cos 2  m . Tính theo m giá trị của biểu thức 2 2
A  2 sin   4 cos  .
A. A  3  m .
B. A  4  2m .
C. A  4  m .
D. A  3  m .
Câu 68: Cho tam giác ABC thỏa mãn 2 sin .
A sin B  1  cosC, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác ABC vuông tại C.
B. Tam giác ABC vuông tại A.
C. Tam giác ABC cân tại C.
D. Tam giác ABC cân tại A.
Câu 69: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A  2 sin BcosC và A  50, khẳng định nào sau đây đúng? A. B  60 .  B. C  75 .  C. B  65 .  D. C  55 . 
Câu 70: Cho góc  thỏa mãn tan  2, tính giá trị biểu thức P  2 tan  tan 2 . 8 2 4
A. P  .
B. P  .
C. P  .
D. P  2. 3 3 3 1
Câu 71: Cho sin  cos  , khẳng định nào sau đây đúng? 2 3 3 3 3
A. sin 2  .
B. sin 2   .
C. sin 2  .
D. sin 2   . 8 4 4 8  5
Câu 72: Tính giá trị A  cos .cos . 12 12 3 1 1 A. A  .
B. A  .
C. A  .
D. A  3. 4 2 4 Câu 73: Cho biết 4
sin x a  .
b cos 2x  cos 4x với a, ,
b c  . Tính tổng S a b  . c A. S  1 . B. S  1 . C. S  4 . D. S  0 .    1   
Câu 74: Cho góc  thỏa mãn   ;  mà sin  . Tính sin      2  5  6  15  5 15  5 15  2 5 15  2 5 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 10 1 1
Câu 75: Biết cos  , cos  
. Tính cos    .cos     . 3 4 25 19  5 119  A. . B. . C. . D. . 144 144 144 144 2 2cos x  1
Câu 76: Đơn giản biểu thức A
ta được kết quả nào sau đây ? sinx  cos x
A. A  sin x  cos . x
B. A  cos x  sin . x
C. A   sin x  cos .
x D. A  cos x  sin . x sin x  sin 3x
Câu 77: Rút gọn biểu thức A  . 2cosx A. A  sin 4 . x B. A  sin . x C. A  sin 2 . x D. A  cos2 . x 4sin 2 . x cos 2 x
Câu 78: Rút gọn biểu thức
(với điều kiện biểu thức có nghĩa), ta được biểu thức có cos 3x  cos x a sin 2x a dạng
với a,b  , tối giản. Giá trị của 2
a b bằng b cos x b A. 2 . B. 5  . C. 5 . D. 3 . cos a  cos 5a
Câu 79: Rút gọn biểu thức P a a  ) ta được: sin 4a  (với sin 4 sin 2 0 sin 2a
A. P  2 cot a .
B. P  2 cos a .
C. P  2 tan a .
D. P  2sin a .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 2sin 2  sin 4
Câu 80: Rút gọn biểu thức: bằng: 2sin 2  sin 4 A. 2 tan  . B. 2  tan  . C. 2 tan 2 . D. 2 cot  . sin  sin3
Câu 81: Rút gọn biểu thức  x x A . 2cosx
A. A  sin4x .
B. A  sinx .
C. A  sin2x .
D. A  cos2x . sin 7  sin 5
Câu 82: Biến đổi thành tích biểu thức ta được sin 7  sin 5 A. tan 5.tan  . B. cos.sin  . C. cos 2.sin 3 . D. cot 6.tan  . 1
cos 5x  cos 3x
Câu 83: Biết tan x  . Tính giá trị của biểu thức I  . 3
sin 5x  sin 3x 1 1 A. I  . B. I   . C. I  3 . D. I  3 . 3 3
sin  sin 2  sin 3
Câu 84: Giả sử biểu thức M
có nghĩa, khẳng định nào sau đây đúng?
cos  cos 2  cos 3
A. M  tan 2.
B. M  cot 2.
C. M  tan 2.
D. M  cot 2. 1 sin 4  cos 4 Câu 85: Biểu thức
có kết quả rút gọn bằng 1 sin 4  cos 4 A. cos2 . B. cot2 . C. tan2 . D. sin2 . sin 2x  sin x
Câu 86: Rút gọn biểu thức P
(với điều kiện biểu thức có nghĩa) ta được kết quả
1  cos x  cos 2x
A. P  cot x .
B. P  tan x .
C. P  cos x .
D. P  sin x .  1 
Câu 87: Biểu thức thu gọn của biểu thức B  1 .tan x   là  cos 2x
A. tan 2x .
B. cot 2x .
C. cos 2x . D. sin x .
1 cos  cos 2  cos 3
Câu 88: Rút gọn biểu thức bằng 2 2 cos   cos 1
A. 2 cos . B. cos . C. 2 cos . D. 2 sin  .
sin 2a  sin 5a  sin 3a
Câu 89: Rút gọn biểu thức A  2 1 cos a  . 2 sin 2a A. cos a . B. sin a . C. 2 cos a . D. 2 sin a .
x x2  x x2 tan cot tan cot
Câu 90: Với điều kiện xác định, hãy rút gọn biểu thức A  cot x  . tan x 2 4 8 A. A  .
B. A  4 . C. A  . D. A  . cot 2x cot 2x cot 2x
Câu 91: Cho góc nhọn  thỏa mãn cos  2 sin , khẳng định nào sau đây sai? 1 1 4 5
A. tan  . B. sin  .
C. cot  2. D. sin 2  . 2 5 5
Câu 92: Nếu  ,  , là ba góc nhọn và thỏa mãn tan    .sin   cos thì
A.       45 .
B.       60 .
C.       90 .
D.       120 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  2 
Câu 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  sin  sin    .  3  3 A. 2. B. . C. 3. D. 1. 2
Câu 94: Giá trị lớn nhất của biểu thức 4 7
sin x  cos x là 1 A. 2 . B. 2 . C. . D. 1. 2
Câu 95: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sin   3cos . A. 2 . B. 1 3 . C. 2  . D. 0 .
Câu 96: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 6
P  sin   cos  .
A. M  4m  0 .
B. M  4m  2 .
C. M  4m  4 .
D. M  4m  1. 
Câu 97: Cho 0  x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4
P  sin x  cos x . 2 1 1 A. 1. B. . C. . D. 0 . 2 4
Câu 98: Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2 cos A  2 cos B  2 3 cosC . 7 3 5 3 2 3 A. 2 3 . B. . C. . D. . 3 3 3
IV. LỜI GIẢI CHI TIẾT  
Câu 1: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác sau: 0 0 7 5 cos795 , sin18 , tan ,cot . 12 8 Lời giải: Vì 0 0 0 0 0 0
795  75  2.360  30  45  2.360 nên  0 0 0 0 0 0 3 2 1 2 6 2
cos795  cos75  cos 30 cos 45  sin 30 sin 45  .  .  2 2 2 2 4 Vì 0 0 0 54  36  90 nên 0 0 sin 54  cos 36 Mà 0   0 2 0 cos 36 cos 2.18  1  2sin 18 0   2 0   0 2 0 0    2 0   0   2 0 sin18 . 1 2 sin 18 2 sin18 cos 18 sin18 . 1 2 sin 18 2 sin18 1  sin 18  0 3 0  3sin18  4sin 18 . Do đó 0 3 0 2 0      0   2 0 0 3sin18 4 sin 18 1 2 sin 18 sin18
1 4 sin 18  2 sin18  1  0   0  sin18  1 hoặc 0 5 1 sin18  hoặc 0 5 1 sin18  2 2  Vì 0 0  sin18  1 nên 0 5 1 sin18  . 2   tan  tan 7     3  1 3 4 5      tan  tan     2     3 ; cot  cot      tan . 12  3 4    1  3 8  2 8  8 1  tan tan 3 4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  2 tan     Ta lại có 8 1  tan  tan 2.    4  8   2 1  tan 8       Suy ra 2 2 1  tan  2tan  tan
 2tan  1  0  tan  1   2 hoặc tan  1   2 8 8 8 8 8 8   5 Do tan  0 nên tan  1   2. Vậy cot  1  2. 8 8 8
Câu 2: Không sử dụng máy tính, tính giá trị biểu thức lượng giác sau: 1 1 a) A   b) B   0   0 1 tan 20 1  tan 25  0 0 cos 290 3 sin 250     c) 0 0 0 0
C  tan 9  tan 27  tan 63  tan 81 d) 2 2 2 2 D  sin  sin  sin sin 9 9 9 9 Lời giải: a) Ta có 0   0 0 0      0 0   0 cos 290 cos 180 90 20 cos 90 20  sin 20 0   0 0 0      0 0   0 sin 250 sin 180 90 20 sin 90 20  cos20 3 0 1 0  0 0 cos 20 sin 20 1 1 3 sin 20  sin 20 2 2 C     4 0 0 0 0 0 0 sin 20 3 cos 20 3 sin 20 .cos 20 3.2.sin 20 .cos 20 0 0 0 0 0 sin 60 cos 20  cos60 sin 20 4sin 40 4 3  4   . 0 0 3 sin 40 3 sin 40 3 0 0 0 0 0 0  sin 20  sin 25 
sin 20  cos 20 sin 25  cos 25
b) Cách 1: Ta có B  1  1   . 0 0 0 0  cos 20  cos 25  cos 20 cos 25 0 0 0 0 0 0 0 0
sin 20 cos 45  cos 20 sin 45
sin 25 cos 45  cos 25 sin 45 0 0  sin 65 sin70 2. . 2.  2  2. 0 0 cos 20 cos 25 0 0 cos 20 cos 25 tan 20  tan 25
Cách 2: Ta có tan 45  tan20  50  0 0 0 0 0  0 0 1  tan 20 tan 25 0 0 tan 20  tan 25 Suy ra 0 0 0 0 1 
 tan20  tan25  tan20 tan25  1   0   0 1 tan 20 1  tan 25   2 . 0 0 1  tan 20 tan 25 Vậy B  2. c) 0 0 C     0 0 tan 9 tan 81 tan 27  tan 63  0 0 0 0 0 0 0 0 sin 9 cos81  sin 81 cos9 sin 27 cos63  sin 63 cos 27   0 0 0 0 cos9 cos81 cos 27 cos63 2 0 0 sin 54  sin18 1 1 2 2  0 0      4cos 36 .sin18   4 0 0 0 0 0 0 0 0 cos9 sin 9 cos 27 sin 27 sin18 sin 54 sin18 sin 54 0 0 sin18 .sin 54 2           d) 2 2 2 2 2 2 D  sin  sin  sin sin  sin  sin    sin sin 9 9 9 9  9 9  9 9
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 2     1         2 1 1  2sin cos  cos  cos  cos        cos   6 18  2  3 9  18 2  2 9   1  cos 1  1   3 9    cos    . 2 2  2 9  4
Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng:  1 3  
sin x  3 cos x  2  sin x
cos x  2sin(x  ) 2 2   3   3 1  
3 sin x  cos x  2 
sin x  cos x  2sin(x  )  2 2   6   1 1  
sin x  cos x  2 sin x
cos x  2 sin(x    ) .  2 2  4
Câu 3: Không sử dụng máy tính, tính giá trị biểu thức lượng giác sau:     a) A  sin cos .cos .cos ; b) B  sin10 .  sin 30 .  sin 50 .sin70 ;  32 32 16 8  3  2 3 c) C  cos  cos ; d) 2 2 2 D  cos  cos  cos . 5 5 7 7 7 Lời giải: 1       1    1   1  2 a) A  2sin cos .cos .cos    sin .cos .cos  sin .cos  sin  2  32 32  16 8 2 16 16 8 4 8 8 8 4 16 1 b) Ta có 0 0 cos 20 cos 40 cos80o B  2 Do đó: 0 0 0 0 16 sin 20 .
8 sin 20 cos 20 cos 40 cos 80o B  0 0 o 0 0 0
 4sin 40 cos40 cos80  2sin80 cos80  sin160 . 0 sin160 1 Suy ra B   . 0 16sin 20 16  2
c) Ta có C  2cos cos . 5 5     2 2 2 4 Vì sin
 0 nên 2sin .C  4sin cos cos  2sin cos  sin . 5 5 5 5 5 5 5 5 1 Suy ra C  . 2 2 4 6 1  cos 1  cos 1  cos 3 1  2 4 6  c) 7 7 7 D      cos  cos   cos  2 2 2 2 2  7 7 7  2 4 6 Xét T  cos  cos  cos . 7 7 7    2  4  6 Vì sin
 0 nên 2sin T  2sin cos  2sin cos  2sin cos 7 7 7 7 7 7 7 7  3    5 3   5    sin  sin  sin  sin  sin  sin         sin .  7 7   7 7   7  7
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 1 Suy ra T   . 2 3 1  1  5 Vậy D   .     . 2 2  2  4 2 6
Câu 4: Cho  ,  thoả mãn sin  sin   và cos  cos  
. Tính cos    và sin    . 2 2 Lời giải: 2 1 Ta có 2 2 sin  sin  
 sin   sin   2sin sin  (1) 2 2 6 2 2 3 cos  cos  
 cos   cos   2cos cos  (2) 2 2
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 2 2 2 2
sin   sin   cos   cos   2sin sin   2cos cos   2
 2  2sin sin  cos cos   2  2cos     0
Vậy cos     0. (*) Từ giả thiết ta có          2 6 sin sin cos cos  . 2 2 3
 sin cos  sin cos   sin  cos  sin  cos   2 1            3 sin 2 sin 2 sin  2 2
Mặt khác: sin 2  sin 2  2sin    cos     0 (Do cos     0 từ (*)) Suy ra    3 sin  . 2 4        
Câu 5: Cho cos 2x   , với
x  . Tính sin x, cos x, sin x  , cos 2x      . 5 4 2  3   4  Lời giải:   Vì
x  nên sin x  0, cos x  0 . 4 2  x
Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: 2 1 cos 2 9 3 sin x    sin x  ; 2 10 10  2 1 cos 2x 1 1 cos x    cosx  . 2 10 10 3
Ta có: sin 2x  2sin xcos x  . 5
Theo công thức cộng, ta có:      3 1 1 3 3  3 sin x
 sin xcos  cos xsin  .  .    ;  3  3 3 10 2 10 2 2 10      4 2 2 3 2 cos 2x
 cos2xsin  cos sin2x   .  .     .  4  4 4 5 2 2 5 10
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT Câu 6: Cho 2
cos 4  2  6 sin  với
    . Tính tan 2 . 2 Lời giải: Ta có 2 2
cos 4  2  6 sin   2 cos 2  1  2  31  cos 2   1 cos 2  2   1
2 cos 2  3cos 2  2  0  2       cos 2  (Vì cos 2 2 0 )  2 cos2  2  1 1 Ta có: 2 2 1  tan 2   tan 2   1  3. 2 2 cos 2 cos 2  Vì
       2  2 nên sin 2  0. Mặt khác cos2  0 do đó tan 2  0. 2 Vậy tan 2   3. 1 1 1 1 Câu 7: Cho     7 . Tính cos 4 . 2 2 2 2 tan  cot  sin  cos  Lời giải: 2 2 1 1 1 1 sin   1 cos   1 Ta có     7    7 2 2 2 2 2 2 tan  cot  sin  cos  cos  sin  2 sin   2 sin   1 2  cos   2 cos   1   7 2 2 sin  cos  4 4 2 2
 sin   cos   1  7 sin  cos 
 sin   cos  2 2 2 2 2 2 2
 2sin  cos   1  7 sin  cos 
 2  9sin  cos   8  92sin cos 2 2 2 2          7 8 9 sin 2 16 9 1 cos 4  cos4   . 9 7 Vậy cos 4   . 9     2013 
Câu 8: Cho sin  cos  cot
với 0     . Tính tan  . 2  2  Lời giải:   sin 2 tan    Ta có 2 2 2 sin  2 sin cos  2cos .  2 2 2   2 cos tan  1 2 2     2 2 sin 1    tan    2 2 2 2 2 cos  cos  sin  cos 1    2 2 2    2  2  cos  tan  1  2  2   2 2 tan 1  tan  1 Do đó: 2 2 sin  cos  cot    2    2 2 tan  1 tan  1 tan 2 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT          2 2 3 2  tan 1  2 tan  tan  1 tan  tan  tan  tan  1    0 2  2 2  2 2 2 2 2         tan  1 tan  1  0  tan  1       2   2  2     
Vì 0      0 
 do đó tan  0 nên tan  1 cot  1 2 2 2 2 2    2013       Ta có tan  tan  2006   cot  1       2   2 2  2    2013  Vậy tan  1    .  2  
Lưu ý: Ta có thể biểu diễn sin ,cos ,tan ,cot qua t  tan như sau: 2 2 2 2t 1  t 2t 1  t sin  ,cos  ,tan  ,cot  2 2 2 1  t 1  t 1  t 2t
(với  làm các biểu thức có nghĩa)  3      5     Câu 9: Cho     1 sin  , tan  2
 tan  . Tính A  sin   cos    sin   sin           . 3  8   8   12   12  Lời giải: Ta có    1 1 sin
  sin cos  cos sin   (1) 3 3 và tan  2
 tan   sin cos   2  sin  cos (2)  1   2 2 1         2    2 1 cos sin cos sin 1 sin sin         Từ (1) và (2) ta được 3 9 9      2   2 2 4  2          2    4 sin cos sin cos sin 1 sin   3  9  9  2    2 1 1 sin sin    9   2 1 2 1  
 1 sin   sin    2 2 1  3  9 sin   sin    3 2   4 2 2 1 2 1 2 1
 sin   sin    0  sin    0  sin     . 3 9  3  3 Do đó 2 2 1 2 sin   sin    . 3 3  3     1       1  2  Ta có sin    cos      sin 2    sin   cos2   8 8 2  2 4  2  2          1      2 2 1 2 2 2 3 2  1 2sin     1 2.     2  2  2  3 2  12         5  1       1  3  sin    cos      sin 2  
 sin   cos2    12   12  2   2  3  2  2  
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 1       2 3 1 1 3 2 3 2   1   2sin      1   2.    2  2  2  3 2  12     2  3 2 2   3 2 1 Do đó A      . 12 12 3
Câu 10: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác  làm cho biểu thức xác định thì  a) 4 4 3 cos 4 sin   cos    ; b) 6 6 5 3 sin   cos    cos4; 4 4 8 8 1  sin 2    c) 2  cot   . 1  sin 2  4  Lời giải: 1
a) Ta có sin   cos   sin   cos  2 4 4 2 2 2 2 2
 2sin  cos   1 sin 2 2 1  cos 4 3 cos 4  1   4 4 4 3 3 b) Ta có: 6 6  
   2    2    2 2     4 2 2 4 sin cos sin cos sin cos
sin   sin  cos   cos   4 2 2 4 2 2 3 2 3
 sin   sin  cos   cos   1 3sin  cos   1 sin 2  1 1 cos4  4 8 5 3   cos4. 8 8 1  sin 2
sin   cos   2 sin cos sin cos2 2 2 c) Ta có   2 2 1  sin 2
sin   cos   2 sin cos sin  cos2 2        2  2 cos     2 cos       4   4     2    cot    . 2        2  4  2 sin   2 sin         4  4    2 2          2    1 tan tan  1   cos  sin  1  sin 2 Cách khác: 2   4 cot            .  4           cos  sin  1  sin 2  tan      tan  tan   4  4     
Câu 11: Cho 0     ,  . Chứng minh rằng: 2   1  cos  1  cos     a) 1 cos 1 cos       2sin   ; b)  tan   .  2 4  1  cos  1  cos  2 4  Lời giải:    3     a) Do 0          nên sin   0,sin    0 4 2 4 4  2 4     
Đẳng thức tương đương với       2 2 1 cos 1 cos  4sin     2 4 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT     2
 2  2 1 cos 1 cos  2 1   cos   
  1 cos   sin   2  2 2 2 2
 1  cos   sin   sin   cos   1(luôn đúng) đ.p.c.m.       2 1 cos 1 cos b) VT  
1  cos  1  cos  1 cos  1 cos  2
2  2 1  cos . 1  cos 1  1  cos  1  sin    . 2cos cos cos
Vì 0     nên sin  0 do đó 2         2 2 sin     cos sin cos 2 sin cos  1  sin  2 2 2 2 2 2  VT    cos          2 2 cos  sin sin  cos cos    sin  2 2  2 2  2 2        2 sin sin cos      2 4 2 2         tan     VP    đ.p.c.m.      2 4  cos  sin 2 cos    2 2  2 4 
Câu 12: Chứng minh rằng: a) 2 2
sin(   ).sin(   )  sin   sin  ;   b) cot cot
 2 với sin  sin   3sin   ,  b k2 ,k ; 2 2
sin  sin  cos    c)     
   tan . cos sin sin Lời giải: 1
a) Ta có sin(   ).sin(   )   cos 2  cos 2    2 1    2 1  2sin     2 1  2sin   2 2   sin   sin  2             
b) Từ giả thiết ta có 2sin cos  6sin cos 2 2 2 2         Do   k2     sin  0 suy ra cos  3cos 2 2 2          
 cos cos  sin sin  3 cos cos   sin sin  2 2 2 2  2 2 2 2       
 2sin sin  cos cos  cot cot  2  đ.p.c.m. 2 2 2 2 2 2 1 sin  sin 
  2 sin   
sin  sin   2  c) Ta có 2 VT    1       cos  
cos  2   cos       cos cos 2    2 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT
2sin   cos   
    VP  đ.p.c.m.
2cos   cos  tan 
Câu 13: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x :  2   2  a) 2 2 2 A  cos   cos     cos   ;  3   3            3 
b) B  cos  .cos    cos  .cos  .  3   4   6   4  Lời giải:  2   2  a) Ta có: 2 2 2 A  cos   cos     cos     3   3  1   4   4   3  cos2  cos   2   cos   2  2   3   3  1  4  3  3  cos 2  2cos cos 2  .   2  3  2            b) Vì        cos    sin         6  3  2  6   3   3     và cos    sin       nên  4   4             
B  cos  .cos    sin  .sin    3   4   3   4               
 cos        cos      cos      3   4   3 4   3 4      1 2 3 2 2  6  cos cos  sin sin  .  .  . 3 4 3 4 2 2 2 2 4
Câu 14: Đơn giản biểu thức sau: (giả sử các biểu thức có nghĩa)       cos a   cos a     
cos a  2cos 2a  cos 3a  3   3  a) A  ; b) B  ;
sin a  sin 2a  sin 3a a cot a  cot 2
c) C  cos a  cos(a b)  cos(a  2 )
b  ...  cos(a  )
nb n . Lời giải:
cosacos3a 2cos2a 2cos2acosa 2cos2a 2cos2acosa1 a) A      a
sin a  sin 3a  2sin 2a a a a
2sin 2acos a  1 cot 2 2sin 2 cos 2sin 2        b) Ta có cos a   cos a   2cosacos      cos a  3   3  3  a a a a  sin a cos sin cos cos sin    a a a  sin a cos a  2  1 và 2 2 2 2 cot a  cot        . 2 sin a a a a a sin a sin sin asin sin asin sin asin 2 2 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT cos a sin 2a Suy ra B
 sin acosa   . 1 2  sina b b b b b
c) Ta có C.2sin  2sin cos a  2sin cos(a b)  2sin cos(a  2b)  ...  2sin cos(a nb) 2 2 2 2 2  b   b   3b   b   5b   3b   sin  a  sin  a  sin
a  sin   a  sin  a  sin              a  2   2   2   2   2   2    2n  1b
 2n 1b  ...   sin  a  sin   a  2   2       b  
2n 1b   nb  sin   a   sin
a  2sinn   1 bcos   a 2  2     2     nb
sin n  1bcos   a   2  Suy ra C  . b sin 2 1 1
Câu 15: Cho sina b  2cosa b . Chứng minh rằng biểu thức M   không phụ 2  sin 2a 2  sin 2b
thuộc vào a,b . Lời giải:
4  sin 2a  sin 2b
4  sin 2a  sin 2b Ta có M   
2  sin 2a2  sin 2b 4  2sin 2a  sin 2b  sin 2asin 2b
Ta có sin 2a  sin 2b  2sin a bcosa b Mà
a b  a b 2  a b 2 sin 2 cos sin
 4cos a b nên a b a b 2   a b 2 cos 2 cos 2 1 2 sin  2cos 
a b1 2    ab 2  a b 2 2 2 sin cos   2 10cos  a b 2
4  4 cos a b 2
4  4 cos a b 4 Suy ra M    . (đ.p.c.m).  a b
4  8 cos a b 1  .2  10cos  ab 2 2 2 3 3cos    3 2  
Câu 16: Chứng minh rằng với 0    thì 2 a) 2
2 cot   1  cos 2 ; b) cot  1  cot 2. Lời giải:
a) Bất đẳng thức tương đương với  1  2 1 2 2  1  2cos    1  1   sin  2 2  sin   sin  1 2 4 2 
 sin   2  sin   2sin   1  0 2 sin      2 2 sin 1  0 (đúng) (đ.p.c.m).
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 1 1
Cách khác: Áp dụng BĐT Cauchy: 2 2  sin   2 .sin   2. 2 2 sin  sin 
b) Bất đẳng thức tương đương với cos sin 2  cos 2 cos sin 2  cos 2    (*) sin sin 2 sin 2sin cos  sin  0 Vì 0      nên 2 2 2
(*)  2 cos   sin 2  cos   sin  2 cos   0
 1  sin 2 (đúng) (đ.p.c.m)   1  1 
Câu 17: Cho 0   
. Chứng minh rằng: sin  cos      2. 2  2cos  2sin  Lời giải:  1  1  1 Ta có sin  cos   sin cos      1  2cos  2sin  4sin cos  Vì 0    nên sin cos  0 . 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 1 sin cos   2 sin cos.  1 4sin cos 4sin cos  1  1  Suy ra sin  cos      2 (đ.p.c.m)  2cos  2sin 
Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a) A  sin x  cos x; b) 4 4
B  sin x  cos . x Lời giải: a) Ta có A   x x2 2 2 2 sin cos
 sin x  cos x  2sin xcos x  1  sin 2x Vì sin 2x  1 nên 2
A  1  sin 2x  1  1  2 suy ra  2  A  2 .  3 Khi x
thì A  2 , x   thì A   2 4 4
Do đó max A  2 và min A   2 . 2 2 2 2  1 cos2x   1 cos2x
1  2cos 2x  cos 2x
1  2cos 2x  cos 2x b) Ta có B          2   2  4 4 2 2  2cos 2x 2  1  cos 4x 3 1     .cos4x 4 4 4 4 1 3 1 1
Vì 1  cos 4x  1 nên 
 .cos4x  1 suy ra  B  1 . 2 4 4 2 1
Vậy max B  1 khi cos 4x  1 và min B  khi cos 4x  1  . 2
Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A  2  2 sin x  cos 2x Lời giải: Ta có A   x   2  x 2 2 2 sin 1 2 sin
 2sin x  2sin x  1
Đặt t  sin x, x     t  1
Khi đó biểu thức trở thành: 2
A  2t  2t  1
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT Xét hàm số 2
y  2t  2t  1 với t  1 . Bảng biến thiên: t 1 1  1 2 y 5 1 1 2
Từ bảng biến thiên suy ra max A  5 khi t  1 hay sin x  1 . 1 1 1 min A  khi t  hay sin x  . 2 2 2
Câu 20: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: A B C
a) sin A  sin B  sinC  4cos cos cos ; 2 2 2 b) 2 2 2
sin A  sin B  sin C  2(1  cos Acos BcosC);
c) sin 2A  sin 2B  sin 2C  4 sin Asin BsinC. Lời giải: A B A B C C a) VT  2sin cos  2sin cos 2 2 2 2 A BC
Mặt khác trong tam giác ABC ta có A B C      2 2 2 A B C C A B Suy ra sin  cos , sin  cos 2 2 2 2 C A B A B C C A B A B  Vậy VT  2cos cos  2cos cos  2cos cos   cos  2 2 2 2 2  2 2  C A B
 4cos cos cos  VP  ĐPCM. 2 2 2 1  cos 2A 1  cos 2B
cos 2A  cos 2B b) 2 2 VT  
 1 cos C  2   cos C 2 2 2  
A B A B 2 2 cos cos  cos C
Vì A B C    cos A B  cosC
nên VT  2  cosC cos A B  cosC cos A B  2  cosC cos 
A B cosA B
 2  cosC.2cos Acos B  2(1  cos Acos BcosC)  VP  đ.p.c.m.
c) VT  2sin A Bcos A B  2sinC cosC
Vì A B C    cosC  cos A B, sin A B  sinC nên
VT  2 sinC cos A B  2sinC cos A B  2sinC cos 
A BcosA B  2sinC. 2
 sin AsinB  4sin Asin BsinC VP    đ.p.c.m.
Câu 21: Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông, ta đều có:
a) tan A  tan B  tanC  tan . A tan . B tanC; b) cot .
A cot B  cot .
B cot C  cot C.cot A  1.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với tan A  tan B  tan . A tan .
B tanC  tanC
 tan A  tan B  tanCtan Atan B 1 * 
Do tam giác ABC không vuông nên A B  2 sin Asin B
sin Asin B  cos Acos B
cos A B
 tan Atan B  1   1     0 cos Acos B cos Acos B cos Acos B A B A B Suy ra   tan tan tan tan *   tanC   tanC
tan A tan B  1
1  tan A tan B
 tanA B  tanC.
Đẳng thức cuối đúng vì A B C    đ.p.c.m.
b) Vì A B C    cot  A B  cotC
Theo công thức cộng ta có: 1 1     1
1  tan A tan B cot Acot B  1 cot Acot cot B A B    
tan A B tan A  tan B 1 1 cot A  cot B  cot A cot B cot Acot B  1 Suy ra
 cotC  cot Acot B  1  cotCcot A  cot B cot A  cot B Hay cot .
A cot B  cot .
B cot C  cot C.cot A  1. đ.p.c.m.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 22: Với a,b là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?   A. sin  sin  a b a b a b 2 cos sin .
B. cos a b  cos a cos b  sin a sin . b 2 2
C. sin a b  sin a cos b  cos a sin . b
D. 2 cos a cos b  cos a b  cos a b.
Câu 23: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A. sin 2x  2sin x cos x . B. sin 2x  sin x cos x . C. sin 2x  2 cos x .
D. sin 2x  2 sin x .
Câu 24: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? A. 2
cos 2a  1 2 sin a . B. 2 2
sin 3a  cos 3a  3 .
C. sin 4a  2 sin 2a cos 2a .
D. cos a b  cos a cos b  sin a sin b . Lời giải:
Đáp án A, C là công thức nhân đôi  đúng.
Đáp án D là công thức cộng  đúng. Đáp án B sai vì 2 2
sin   cos   1 ,    2 2
sin 3a  cos 3a  1.
Câu 25: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? A. 2
cos 2a  1 2 sin a . B. 2 2
cos 2a  cos a  sin a . C. 2
cos 2a  1 2 cos a . D. 2
cos 2a  2 cos a 1.
Câu 26: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A. cos 2a  2 cos a 1. B. 2
2 sin a  1 cos 2a .
C. sin a b  sin a cos b  sin b cos a .
D. sin 2a  2sin a cos a . Lời giải: Ta có: 2
cos 2a  2 cos a 1nên A sai.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT Và:  2
cos 2a  1 2 sin a  2 sin a  1 cos 2a nên B đúng.
Câu 27: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? A. 2
cos 2a  1 2 sin a .
B. cos 2a  2sin a cos a C. 2 2
cos 2a  cos a  sin a . D. 2
cos 2a  2 cos a 1.
Câu 28: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng? A. 2 2
cos 2a  cos a  sin a . B. 2
cos 2a  2 cos a 1 . C. 2 2
cos 2a  cos a  sin a . D. 2
cos 2a  2 sin a 1 .
Câu 29: Với a,b là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? (giả sử các biểu thức lượng giác đều có nghĩa) a b a b
A. tan(a   )  tan . B. sin    sin b  2sin sin . 2 2
C. sin  tan cos .
D. cos(a b)  sin a sin b  cos a cos b . Lời giải: a b a b sin    sin b  2sin cos 2 2 Vậy chọn B.
Câu 30: Với a,b là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? 1 1
A. sin a sin b
cosa b  cosa b   . B. c s o a cos b
cosa – b  cosa b   . 2 2 1 1
C. cos a cos b
cosa b  cosa b   .
D. sin a cos b
sin a – b  sina b   . 2 2 Lời giải: 1
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng thì cos a cos b  cos 
a b cosa b. 2
Câu 31: Với a,b là các góc bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?
A. sin a b  sin a sin b  cos a cos b .
B. sin a b  sin a cos b  cos asin b .
C. sin a b  sin a cos b  cos a sin b .
D. sin a b  sin a sin b  cos a cos b . Lời giải:
Theo công thức cộng ta có sin a b  sin a cos b  cos a sin b .
Câu 32: Cho góc a bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?    1 3    1 3 A. cos a   sin a  cos a   . B. cos a   cos a  sin a   .  3  2 2  3  2 2    1    3 1 C. cos a   cos a    . D. cos a   sin a  cos a   .  3  2  3  2 2 Lời giải:      1 3 Ta có: cos a   cos . a cos sin . a sin  cos . a  sin . a    3  3 3 2 2
Câu 33: Khẳng định nào sau đây đúng?   A. 4 4 3 cos 4 sin   cos    . B. 4 4 3 cos 4 sin   cos    . 4 4 4 4
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT   C. 4 4 3 cos 4 sin   cos    D. 4 4 3 cos 4 sin   cos    4 2 2 4 Lời giải: 1 1 1 cos 4 3 cos 4 Ta có: 4 4 2 sin  cos  1 sin 2      1 .   . 2 2 2 4 4
Câu 34: Cho góc x bất kì, đẳng thức nào sau đây sai? 3 1 5 3 A. 4 4
sin x  cos x   cos 4x . B. 6 6
sin x  cos x   cos 4x . 4 4 8 4 3 1 C. 4 4
sin x  cos x   cos 2x . D. 4 4
sin x  cos x   cos 4x . 4 4 Lời giải: 2 xx Ta có: 4 4 2 2 2 2 2 sin 2 1 cos 4 3 1
sin x  cos x  (sin x  cos x)  2sin x cos x  1   1   cos4x . 2 4 4 4 2
Câu 35: Tính giá trị của biểu thức 4 4
P  sin   cos  , biết sin 2  . 3 1 9 7 A. . B. 1. C. . D. . 3 7 9 Lời giải: 1 Ta có: P     cos  2 2 2 2 2 sin  2sin .cos  2 1 2 sin 2  1 7  . 2 9 9   
Câu 36: Biểu thức sin a  
 được viết lại thành  6  1 3 1 3 1 1 3 A. sin a  . B. sin a  cos a . C. sin a
cos a . D. sin a  cos a . 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải:      3 1 Ta có sin a
 sin a cos  cos asin  sin a  cos a   .  6  6 6 2 2
sin a b
Câu 37: Biểu thức sina bằng biểu thức nào sau đây? b sin a  sin b sin a  sin b tan a  tan b cot a  cot b A. . B. . C. . D. . sin a  sin b sin a  sin b tan a  tan b cot a  cot b Lời giải:
sin a b
sin a cos b  cos a sin b tan a  tan b Ta có:  (*) 
sin a b
sin a cos b  cos a sin b tan a  tan b
Lưu ý: Bước (*), chia cả tử và mẫu cho cos acos b     sin .cos  sin .cos
Câu 38: Giá trị biểu thức 15 10 10 15 bằng 2  2  cos .cos  sin .sin 15 5 15 5 3 3 A. 1. B. 1  . C.  . D. . 2 2 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT            sin .cos  sin .cos sin  sin     15 10 10 15 15 10   6    1. 2  2   2      cos .cos  sin .sin cos  cos     15 5 15 5  15 5   3  3 Câu 39: Cho sin  . Tính cos 2 . 4 1 7 7 1 A. . B. . C.  . D.  . 8 4 4 8 Lời giải: Ta có 2 cos 2  1 9 1 2 sin   1 2    . 16 8 1 3
Câu 40: Cho góc lượng giác  thỏa mãn sin   , và     . Tính sin 2 . 3 2 7 4 2 4 2 2 A. . B. . C.  . D.  . 9 9 9 3 Lời giải: 1 2 2 Ta có: 2
sin    cos   1 sin    3 3 3 2 2
Theo giả thiết:      cos   2 3  1  2 2  4 2
Vậy sin 2  2sin .cos  2.         .  3  3 9   3
Câu 41: Cho cos x   . Tính cos 2x . 5 7 3 8 7 A.  . B.  . C.  . D. . 25 10 9 25 Lời giải: 2  3  7 Ta có 2
cos 2x  2 cos x 1  2.  1     .  5  25 2
Câu 42: Tính giá trị biểu thức P  1 3cos 2 2  3cos 2  , biết sin  . 3 49 50 48 42 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27 Lời giải: 2  2  1 Ta có: 2
cos 2  1 2sin    1 2.    .  3  9    Khi đó: P         1 1 14 14.3 42 1 3cos 2 2 3cos 2  1 3. 2  3.       .  9  9  9 9.3 27 1
Câu 43: Cho biết sin x  cos x   . Tính sin 2x . 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 3 3 1 A.  . B. . C. . D. 1  . 4 4 2 Lời giải: 1 1 x x     x x2 1 sin cos sin cos  2 2
 sin x  2sin x cos x  cos x  2 4 4 1 3
 1 sin 2x   sin 2x   . 4 4 
Câu 44: Cho góc  thỏa mãn
    và sin  2cos  1
 . Tính giá trị sin 2α. 2 2 6 24 2 6 24 A. . B. . C.  . D.  . 5 25 5 25 Lời giải:  Vì
    nên cos  0 . 2
Từ giả thiết ta có: sin  2cos  1   sin  2  cos  1 1. Mặt khác: 2 2 sin   cos   1,   2 .
Thế 1 vào 2 , ta được:    2 2 2 cos 1  cos   1 cos  0lo¹i 2 
 5cos   4cos  0   4 . cos    5 4 4 3
Với cos   ta có sin    2  .   1    . 5  5  5 3 4 24 Vậy sin 2 2sin.cos     2. .      . 5  5  25  2 1 sin 2  cos 2
Câu 45: Cho góc  thỏa mãn 0    và sin  . Tính P  2 3 sin  . cos 2 5 3 2 5 3 A. P   . B. P  . C. P  . D. P   . 3 2 3 2 Lời giải: 2 2sin  cos  2 cos 
2 cos sin  cos  Ta có P    2cos . sin  cos sin  cos 5 Từ hệ thức 2 2
sin   cos   1 , suy ra 2
cos   1 sin    . 3  5 2 5 Do 0    nên ta chọn cos    P  . 2 3 3   
Câu 46: Cho tan  2 . Giá trị tan     bằng  4  1 2 1 A. . B. . C. 1 . D. . 3 3 3 Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  tan  tan    1 Ta có 4 tan       .  4   3 1  tan tan 4 1 3
Câu 47: Cho  và  là hai góc nhọn mà tan  và tan  
. Góc    có giá trị bằng 7 4     A. . B. . C. . D. . 6 4 3 2 Lời giải:
   tan  tan  tan   1    . 1  tan tan  4   
Câu 48: Nếu tan  cot  2 , 0      thì sin 2 bằng  2   1 2 A. . B. 1. C.  . D. . 2 3 2 Lời giải: sin cos
Ta có tan  cot  2    2 cos sin 2 2 sin   cos  1   2 
 2  2sin.cos 1  sin 2 1. sin.cos sin.cos 4 3    
Câu 49: Biết sin a   , cos b  3   a  ,0  b  
, tính cosa b. 5 5  2 2  7 33 A. . B. 0. C. 1. D.  . 25 65 Lời giải: 2 3 Ta có: 2 4 3 cos a 1 sin         1      do   a   5  5 2 2    và 2 3 4
sin b  1  cos b  1     do 0  b  .  5  5 2     a b 3 3 4 4 cos  cos . a cosb  sin .
a sin b   .   .  1    . 5 5  5  5 5    3   
Câu 50: Cho hai góc  ,  thỏa mãn sin  ,     
 và cos   , 0      . Tính giá trị 13  2  5  2 
đúng của cos     . 16 18 18 16 A. . B.  . C. . D.  . 65 65 65 65 Lời giải: 2  5  144 12  Ta có: 2 2 2
sin   cos   1  cos   1   cos     (Do     ) 13  169 13 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 2  3  16 4  2 2 2
sin   cos   1  sin   1   sin    (Do 0    )  5  25 5 2 Suy ra:    3 12 4 5 16 cos cos.cos  sin.sin        .   .     . 5  13  5 13 65    3   
Câu 51: Giá trị của tan   
 bằng bao nhiêu khi sin        ?  3  5  2  48  25 3 8  5 3 8  3 48  25 3 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11 Lời giải: 3 9 4 Mà 2 sin 
 cos   1 sin    1   5 25 5  4 Vì
    nên cos   3  tan   2 5 4 3   3    tan  3 3   4 3 48  25 3 Suy ra: 4 tan         .  3    3 1 3 tan 4  3 3 11 1 3 4      
Câu 52: Rút gọn biểu thức M  sin  x  sin     x  ta được  3   3 
A. M  3 sin x .
B. M   3 cosx .
C. M   3 sin x .
D. M  3 cosx . Lời giải:        Ta có: M  sin  x  sin
x  2sin cosx     3 cos x .  3   3  3  π 
Câu 53: Cho tan  2 . Tính tan     .  4  1 1 2 A. . B.  . C. 1. D. . 3 3 3 Lời giải: π tan  tan  π  tan 1 1 Ta có: 4 tan        .  4 π  1 tan  3 1 tan .tan 4 4    
Câu 54: Cho sin a  với
a   . Tính tan  a   . 5 2  6  4  8  25 3 4  8  25 3 48  25 3 48  25 3 A. . B. . C. . D. . 11 39 11 39 Lời giải:  Vì
a   nên cos a  0 . 2 3 Kết hợp từ 2 2
sin a  cos a  1suy ra 2
cos a   1 sin a   . 5
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT sin a 4 Ta có tan a    . cos a 3  tan  tan a    48  25 3 Vậy 6 tan  a     .  6   11 1 tan tan a 6 5
Câu 55: Cho biết tan x
. Tính giá trị của biểu thức P  5sin 2x  7 cos 2x . 7 A. P  13 . B. P  7 . C. P  2 . D. P  9 . Lời giải: 2 2  sin x
P  5sin 2x  7 cos 2x  10sin x cos x 14 cos x  7  cos x 10. 14  7    cos x     . 1        x   1 5 10 tan 14  7    10. 14  7  7   2 25 1 tan x   7  1   49    
Câu 56: Biết sin  cos  m . Tính P  cos     theo m .  4  m m A. . B. . C. 2m . D. m 2 . 2 2 Lời giải:      1 m
Ta có P  cos   
  cos cos  sin sin  sin  cos   .  4  4 4 2 2 5 3  
Câu 57: Biết sin a
, cos b   với 0  a  ,
b   . Tính cosa b . 13 5 2 2 63 21 16 56 A.  . B. . C.  . D.  . 65 65 65 65 Lời giải: 2   Ta có: 2 2 5 144 12
cos a  1 sin a  1   cos a     . 13  169 13  12 Vì 0  a
nên suy ra cos a  0 , ta chọn cos a  . 2 13 2   Ta có: 2 2 3 16 4
sin b  1 cos b  1    sin b   .    5  25 5  4 Vì
b   nên suy ra sin b  0 , ta chọn sin b  . 2 5    a b 12 3 5 4 56 cos  cos .
a cos b  sin . a sin b  .   .     . 13  5  13 5 65  1 2
Câu 58: Cho các góc  ,  thỏa
 ,    ,sin  ,cos    . Tính sin     . 2 3 3 5  4 2 5  4 2 2 10  2 2  2 10 A. . B. . C. . D.  . 9 9 9 9
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT Lời giải:    Do
 ,    nên suy ra cos 0 2 sin   0 1 2 2 4 5 Ta có: 2 2
cos   1 sin    1  
;sin    1 cos   1  . 9 3 9 3      Suy ra     1 2 2 2 5 2 2 10 sin
 sin.cos   sin .cos  .       .     . 3  3  3 3 9  
Câu 59: Cho tan 2a b  
1  2 ; tan b  3a  2024  10 . Giá trị của tan 2023  5a bằng: 8 7 8 7 A.  . B. . C. . D.  . 21 15 21 15 Lời giải:
Ta có: tan 2023  5a  tan b  3a  2024  2a b   1   
tan b  3a  2024  tan 2a b   1 8   b a
 a b    . 1 tan 3 2024 2 1 21
Câu 60: Cho ABC nếu có quan hệ sin Acos B  cosC  sin B  sinC thì đó là tam giác gì? A. Tam giác đều. B. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông cân. D. Tam giác vuông. Lời giải: B C Ta có: AB C sin sin sin cos cos
 sin B  sinC  sin A cos B  cosCB C   B C    B C   2 sin  cos   cos    0  2   2    2    sin A  ; B C   B C    B C   2 cos cos   cos     0  2 2        2   A cos A A   2 A 1 2 A  2sin cos   sin  ; cos   0  2 2 A 2 2  2  sin 2 A 2   sin 
 0  A  . 2 2 2
Câu 61: Rút gọn biểu thức M  cos 115.cos –365  sin115 .sin –365 .
A. M  cos  24
 5 . B. M  sin 480 .
C. M  sin  2
 45 . D. M  cos480. Lời giải:
Ta có công thức: cos a b  cos .
a cos b  sin . a sin b .
M  cos115.cos–365  sin 115.sin –365  cos 1  15    3  65  cos  480.
Câu 62: Rút gọn biểu thức A  sin  x y cos y  cos x y sin y .
A. A  cos x .
B. A  sin x . C. A  sin .
x cos 2 y . D. A  cos . x cos 2 y . Lời giải: Ta có A  sin .
x cos y  cos .
x sin y cos y  cos .
x cos y  sin .
x sin y sin y
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 2 2  sin .
x cos y  cos . x sin .
y cos y  cos . x cos .
y sin y  sin . x sin y x  2 2
sin . cos y  sin y   sin x
Vậy A  sin x . 1
Câu 63: Nếu sin x  cos x  thì sin 2x bằng 2 3 3 2 3 A. . B. . C. . D.  . 4 8 2 4 Lời giải: 1
Ta có: sin x  cos x    x x2 1 sin cos  2 4 1  1 3
1 2sin x cos x   1 sin 2x   sin 2x   . 4 4 4
Câu 64: Chọn đẳng thức đúng.
  a  1sin a
  a  1 sin a A. 2 cos     . B. 2 cos     .  4 2  2  4 2  2
  a  1 cos a
  a  1 cos a C. 2 cos     . D. 2 cos     .  4 2  2  4 2  2 Lời giải:    1 cos  a     a   2 1 sin a  1 sin a 2   Ta có : cos       .  4 2  2 2 2      
Câu 65: Biểu thức 2sin  sin      bằng  4   4  A. sin 2 . B. cos 2 . C. sin  . D. cos . Lời giải:       1    2sin  sin   2. cos 2  cos  cos 2       .  4   4  2  2       
Câu 66: Biểu thức 4 cos  .sin      bằng  6   3  A. 2 3   4sin  . B. 2 4  3sin  . C. 2 3  4 sin  . D. 2 sin  . Lời giải:             Ta có 4 cos  .sin       4.sin  .cos       6   3   3   6  1           4. sin     sin         2   3 6   3 6          1  2 sin  2  sin      2 cos 2  2  3  4sin  .     2  6   2 
Câu 67: Cho cos 2  m . Tính theo m giá trị của biểu thức 2 2
A  2 sin   4 cos  .
A. A  3  m .
B. A  4  2m .
C. A  4  m .
D. A  3  m . Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT  1 cos 2 1 m 2 cos     2 2 Ta có:  . 1 cos 2 1 m 2 sin      2 2  m m  Do đó 2 2 A  2 sin   1 1 4 cos   2.  4.  3  m . 2 2
Câu 68: Cho tam giác ABC thỏa mãn 2 sin .
A sin B  1  cosC, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác ABC vuông tại C.
B. Tam giác ABC vuông tại A.
C. Tam giác ABC cân tại C.
D. Tam giác ABC cân tại A. Lời giải: Ta có: 2sin .
A sin B  1  cosC  cos A B  cos A B  1  cosC
 cosA B  cosC  1 cosC  cosA B  1 (1)
Do A, B,C là các góc của tam giác nên từ (1) suy ra: A B  0  A  . B
Câu 69: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A  2 sin BcosC và A  50, khẳng định nào sau đây đúng? A. B  60 .  B. C  75 .  C. B  65 .  D. C  55 .  Lời giải:
Ta có: sin A  2sin BcosC  sin A  sin B C  sinB C
 sin A  sinB C  sin A  sinB C  0  B C  0  B C 0 0 180  50
Do A  50  B C   65 .  2
Câu 70: Cho góc  thỏa mãn tan  2, tính giá trị biểu thức P  2 tan  tan 2 . 8 2 4
A. P  .
B. P  .
C. P  .
D. P  2. 3 3 3 Lời giải: 2 tan 8
Ta có: P  2 tan  tan 2  2 tan   . 2 1  tan  3 1
Câu 71: Cho sin  cos  , khẳng định nào sau đây đúng? 2 3 3 3 3
A. sin 2  .
B. sin 2   .
C. sin 2  .
D. sin 2   . 8 4 4 8 Lời giải: Ta có:     2 1 1 3 sin cos
  1 sin2   sin2   . 4 4 4  5
Câu 72: Tính giá trị A  cos .cos . 12 12 3 1 1 A. A  .
B. A  .
C. A  .
D. A  3. 4 2 4 Lời giải:  5        1  1 A  cos .cos  cos .cos   cos .sin  sin    . 12 12 12  2 12  12 12 2 6 4 Câu 73: Cho biết 4
sin x a  .
b cos 2x  cos 4x với a, ,
b c  . Tính tổng S a b  . c
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT A. S  1 . B. S  1 . C. S  4 . D. S  0 . Lời giải:    x   x 2 2 4 2 1 cos 2x 1 sin sin      2
1 2 cos 2x  cos 2x  2  4 1 1 1 1 cos 4x 3 1 1   cos 2x  .
  cos 2x  cos 4x 4 2 4 2 8 2 8 3 1 1 3 1 1
Suy ra a  ,b   , c  . Vậy S a b c     0 . 8 2 8 8 2 8    1   
Câu 74: Cho góc  thỏa mãn   ;  mà sin  . Tính sin      2  5  6  15  5 15  5 15  2 5 15  2 5 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 10 Lời giải:      3 1 Biến đổi: sin  
 sin.cos  cos.sin  sin    cos (1)  6  6 6 2 2  2 5 2   cos x  (lo¹i) Ta có: 2 2 1 4
cos   1  sin   1       5  5  5  2 5  cos x   (nhËn do  x   )  5 2    3 1 1  2 5  15  2 5
Thay vào (1) ta được: sin      .  .   . 6 2     5 2 5 10   1 1
Câu 75: Biết cos  , cos  
. Tính cos    .cos     . 3 4 25 19  5 119  A. . B. . C. . D. . 144 144 144 144 Lời giải: 1 1
Ta có: cos    .cos      cos 2  cos 2    2 2
2 cos  1 2 cos    1 2 2 119 2 2 cos  cos     1  . 144 2 2cos x  1
Câu 76: Đơn giản biểu thức A
ta được kết quả nào sau đây ? sinx  cos x
A. A  sin x  cos . x
B. A  cos x  sin . x
C. A   sin x  cos .
x D. A  cos x  sin . x Lời giải: 2 2 2 2cos x  1 cos 2x cos x  sin x
cosx sinxcosx  sinxA    
 cosx  sin x . sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x sin x  sin 3x
Câu 77: Rút gọn biểu thức A  . 2cosx A. A  sin 4 . x B. A  sin . x C. A  sin 2 . x D. A  cos2 . x Lời giải: sin x  sin 3x sin 3x  sin x 2sin 2x cos x A     sin 2x . 2cosx 2cosx 2cosx
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 4sin 2 . x cos 2 x
Câu 78: Rút gọn biểu thức
(với điều kiện biểu thức có nghĩa), ta được biểu thức có cos 3x  cos x a sin 2x a dạng
với a,b  , tối giản. Giá trị của 2
a b bằng b cos x b A. 2 . B. 5  . C. 5 . D. 3 . Lời giải: 4sin 2x cos 2x 4sin 2x cos 2x 2sin 2x Ta có  
(với điều kiện biểu thức có nghĩa). cos 3x  cos x 2 cos 2x cos x cos x
Do đó a  2 , b  1 2
a b  5. cos a  cos 5a
Câu 79: Rút gọn biểu thức P a a  ) ta được: sin 4a  (với sin 4 sin 2 0 sin 2a
A. P  2 cot a .
B. P  2 cos a .
C. P  2 tan a .
D. P  2sin a . Lời giải: cos a  cos 5a 2sin 3 . a sin 2a sin 2a a a Ta có: P    2sin .cos   2 sin a .
sin 4a  sin 2a 2sin 3 . a cos a cos a cos a 2sin 2  sin 4
Câu 80: Rút gọn biểu thức: bằng: 2sin 2  sin 4 A. 2 tan  . B. 2  tan  . C. 2 tan 2 . D. 2 cot  . Lời giải: 2sin 2  sin 4 2sin 2  2sin 2cos2 2sin 2 1 cos2  2    sin  2  tan  2sin 2  sin 4 2sin 2  2sin 2cos2 2sin 2 1 cos2  2 cos  sin  sin3
Câu 81: Rút gọn biểu thức  x x A . 2cosx
A. A  sin4x .
B. A  sinx .
C. A  sin2x .
D. A  cos2x . Lời giải: sin3x  sinx 2sin2 . x cosx Ta có: A    sin2x . 2cosx 2cosx sin 7  sin 5
Câu 82: Biến đổi thành tích biểu thức ta được sin 7  sin 5 A. tan 5.tan  . B. cos.sin  . C. cos 2.sin 3 . D. cot 6.tan  . Lời giải: sin 7  sin 5 2 cos 6.sin Ta có   cot 6.tan . sin 7  sin 5 2sin 6.cos 1
cos 5x  cos 3x
Câu 83: Biết tan x  . Tính giá trị của biểu thức I  . 3
sin 5x  sin 3x 1 1 A. I  . B. I   . C. I  3 . D. I  3 . 3 3 Lời giải: 2 cos 4x cos x 1 Ta có I   cot x   3 . 2 cos 4x sin x tan x
sin  sin 2  sin 3
Câu 84: Giả sử biểu thức M
có nghĩa, khẳng định nào sau đây đúng?
cos  cos 2  cos 3
A. M  tan 2.
B. M  cot 2.
C. M  tan 2.
D. M  cot 2.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT Lời giải:
sin  sin 2  sin 3
sin sin3sin2 Ta có: M  
cos  cos 2  cos 3
cos cos3cos2 2 sin 2 cos  sin 2 sin 2 2cos   1 sin 2          cos2 2cos 1 tan 2 . 2 cos 2 cos cos 2 cos 2 1 sin 4  cos 4 Câu 85: Biểu thức
có kết quả rút gọn bằng 1 sin 4  cos 4 A. cos2 . B. cot2 . C. tan2 . D. sin2 . Lời giải: 2 1  sin 4  cos 4
1  2sin 2 cos 2  1  2sin 2
2sin 2 cos2  sin 2  Ta có:    tan2 . 2 1  sin 4  cos 4
1  2sin 2 cos 2  2cos 2  1
2cos 2 sin 2  cos2  sin 2x  sin x
Câu 86: Rút gọn biểu thức P
(với điều kiện biểu thức có nghĩa) ta được kết quả
1  cos x  cos 2x
A. P  cot x .
B. P  tan x .
C. P  cos x .
D. P  sin x . Lời giải:
2sin x cos x  sin x
sin x 2cos x   1 sin x Ta có P     tan x . 2
2 cos x  cos x
cos x 2cos x   1 cos x  1 
Câu 87: Biểu thức thu gọn của biểu thức B  1 .tan x   là  cos 2x
A. tan 2x .
B. cot 2x .
C. cos 2x . D. sin x . Lời giải:  1 
1 cos 2x sin x 2 2 cos x sin x x x x B  1 .tan x    .  2 cos .sin .  sin 2   tan 2x .  cos 2x  cos 2x cos x cos 2x cos x cos 2x cos 2x
1 cos  cos 2  cos 3
Câu 88: Rút gọn biểu thức bằng 2 2 cos   cos 1
A. 2 cos . B. cos . C. 2 cos . D. 2 sin  . Lời giải:
1 cos  cos 2  cos 3 2
2 cos   2.cos 2.cos
2 cos cos  cos 2  Ta có   2 2 cos   cos 1 cos 2  cos cos 2  cos  2cos .
sin 2a  sin 5a  sin 3a
Câu 89: Rút gọn biểu thức A  2 1 cos a  . 2 sin 2a A. cos a . B. sin a . C. 2 cos a . D. 2 sin a . Lời giải:
sin 2a  sin 5a  sin 3a
2sin a cos a  2 cos 4a sin a
2sin a cos a  cos 4a Ta có A    cos a   2 1 2sin 2a cos a  cos 4a cos a  cos 4a  2sin a .
x x2  x x2 tan cot tan cot
Câu 90: Với điều kiện xác định, hãy rút gọn biểu thức A  cot x  . tan x
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 2 4 8 A. A  .
B. A  4 . C. A  . D. A  . cot 2x cot 2x cot 2x Lời giải:
x x2  x x2 tan cot tan cot Ta có: A  cot x  tan x 2 2 2 2
tan x  2 tan x cot x  cot x  tan x  2 tan x cot x  cot x  4 4 2    . cos x sin x 2 2  cos x  sin x 2 cot 2x cot 2x sin x cos x sin x cos x
Câu 91: Cho góc nhọn  thỏa mãn cos  2 sin , khẳng định nào sau đây sai? 1 1 4 5
A. tan  . B. sin  .
C. cot  2. D. sin 2  . 2 5 5 Lời giải:  sin  0 Với 0      . Ta có:        2 2 2 2 sin cos 1 2 sin  sin   1 2 cos   0   2 4 5 cos   sin    2 5 5 4  5sin   1    
 sin 2  2sin cos  . Vậy D sai.  2 1 5  2 5 sin   cos   5  5
Câu 92: Nếu  ,  , là ba góc nhọn và thỏa mãn tan    .sin   cos thì
A.       45 .
B.       60 .
C.       90 .
D.       120 . Lời giải:
tan    .sin   cos  sin    .sin   cos    .cos .
 cos   .cos sin    .sin  0  cos      0 .
       90 (do ,  , nhọn).  2 
Câu 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  sin  sin    .  3  3 A. 2. B. . C. 3. D. 1. 2 Lời giải:  2        
Ta có: M  sin  sin    2sin   cos  sin          3   3  3  3 
 1  M  1, vậy M  1. max
Câu 94: Giá trị lớn nhất của biểu thức 4 7
sin x  cos x là 1 A. 2 . B. 2 . C. . D. 1. 2 Lời giải: 4 2 s
 in x  sin x Ta có 4 7 2 2 
 sin x  cos x  sin x  cos x 1. 7 2
cos x  cos x
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT s  in x  1   s  in x  0 Dấu bằng xảy ra khi: 
x   k hoặc 
x k k  . cos x  0 2 cos x  1
Câu 95: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sin   3cos . A. 2 . B. 1 3 . C. 2  . D. 0 . Lời giải:  1 3    
Ta có: sin  3cos  2 sin  cos   2sin      . 2 2    3     Do 2   2sin    2  
nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức sin  3cos bằng 2  .  4 
Câu 96: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 6
P  sin   cos  .
A. M  4m  0 .
B. M  4m  2 .
C. M  4m  4 .
D. M  4m  1. Lời giải: Ta có 6 6
P  sin   cos    2 2     4 4 2 2 sin cos
sin   cos   sin  cos        2 3 2 2 2 2 sin cos  3sin  cos  2 1 sin 2 . 4 3 3 1 Do 2 0  sin 2  1 2     sin 2  1 0 
P 1. Do đó M 1,m   M  4m  2 . 4 4 4 4 
Câu 97: Cho 0  x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4
P  sin x  cos x . 2 1 1 A. 1. B. . C. . D. 0 . 2 4 Lời giải: 1 Ta có: 4 4 2 2 2
P  sin x  cos x  1 2sin .
x cos x  1 sin 2x . 2  Do 0  x  2
 0  2x    0  sin 2x 1  0  sin 2x 1 2 1 1 1 1 1 2 2
    sin 2x  0  1 sin 2x 1   P 1. 2 2 2 2 2 1 Vậy P  . min 2
Câu 98: Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2 cos A  2 cos B  2 3 cosC . 7 3 5 3 2 3 A. 2 3 . B. . C. . D. . 3 3 3 Lời giải: A B A BC
P  2 cos A  2 cos B  2 3 cos C 2  4cos cos  2 3. 1 2sin   2 2  2  C C 2  4  3 sin  4sin  2 3 . 2 2 C Đặt t  sin ; t  0; 
1 , ta có hàm số f t  2  4
 3t  4t  2 3 . 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Toán 11 KNTT 3 f t  7 3 max   t  . 0;  1 3 6  A B cos  1  A B 7 3  2  Vậy P
, dấu bằng xảy ra khi:    . max C 3 3 C 3  sin   sin    2 6 2 6
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115