Giáo án điện tử Toán 11 Bài 17 Kết nối tri thức: Hàm số liên tục
Bài giảng PowerPoint Toán 11 Bài 17 Kết nối tri thức: Hàm số liên tục hay nhất, với thiết kế hiện đại, dễ dàng chỉnh sửa giúp Giáo viên có thêm tài liệu tham khảo để soạn Giáo án Toán 11. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Bài giảng điện tử Toán 11
Môn: Toán 11
Sách: Kết nối tri thức
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
17 HÀM SỐ LIÊN TỤC
Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong
thời gian 3 giờ.Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km .
Chứng tỏ rằng có itt nhất một thời điểm trên hành trình,
xe chạy với vận tốc 60 km / h .
1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
HĐ1. Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm x2 1 nÕux 1
Cho hàm số f (x) x 1 2 nÕux . 1
Tính giới hạn lim f (x) và so sánh giá trị này với f (1) . x 1 Lời giải: Ta có: f(1) = 2. 2 x 1 x 1 x 1 lim f (x) l im l im l im(x 1) 1 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
VËylim f (x) f ( ) 1 x 1
1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng ( ;
a b) chứa điểm x f x x 0 . Hàm số
( ) được gọi là liên tục tại điểm 0
nếu lim f (x) f x0 . x 0x x 1
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) tại điểm x 2 . x 0 1 Lời giải:
Rõ ràng hàm số f (x) xác định trên \{1}, do đó x 2
0 thuộc tập xác định của hàm số. x 1
Ta có lim f (x) l im 3
f (2) . Vậy hàm số f (x) liên tục tại x 2 . x 0 2 x 2 x 1
1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 1 nÕux 0
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm dấu s(x) 0 nÕux 0 tại điểm x 0 0 . 1 nÕux 0 Lời giải
Ta thấy lim s(x) 1
, lim s(x) 1. Do đó không tồn tại x 0 x 0
giới hạn lim s(x) . x 0
Vậy hàm số này gián đoạn tại 0 . x nÕu x 0
Luyện tập 1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) 0 nÕux 0 tại điểm x 0 0 . 2 x nÕux 0 Lời giải
Hàm số f(x) xác định trên , do đó x ℝ
= 0 thuộc tập xác định của hàm số. 0 2 2
Ta cã: lim f (x) lim x 0 0
; lim f ( x) lim ( x) 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Do ® ã: lim f (x) lim f (x) 0 , suy ra lim f (x) 0 x 0 x 0 x 0 Mµ: f (x) 0
, nªnlim f (x) f (0).VËy hµm sè f (x) liªn tôc t¹i ® iÓmx 0 x 0
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘTKHOẢNG 1 1 2x nÕu 0 x x nÕu 0 x HĐ2. Cho hai hàm số 2 2 f (x) vµg (x) 1 1 1 nÕu x 1 1 nÕu x 1 2 2
với đồ thị tương ứng như Hình 5.7
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘTKHOẢNG Lời giải 1 2x nÕ u 0 x 2 + Hµm sè f (x) 1 1 nÕu x 1 2 1
Hµm sècã TX§ trªn [0;1] do ® ã x
thuéc TX§ cña hµm sè. 2 1
Ta cã: lim f (x) lim 1 1
; lim f (x) lim (2x) 2 . 1 1 1 1 1 2 x x x x 2 2 2 2
Suy ra: lim f (x) lim f (x) 1 , Do ® ãlim f (x) 1 1 1 1 x x x 2 2 2 1 1 1 1 Mµ: f 2 . 1
, nªnlim f (x) f .VËy hµm sè f (x) liªn tôc t¹i ® iÓmx 1 2 2 x 2 2 2 1 x nÕu 0 x 2 + Hµm sè ( g x) 1 1 nÕu x 1 2 1
Hµm sècã TX§ trªn [0;1] do ® ã x
thuéc TX§ cña hµm sè. 2 1
Ta cã: lim g(x) lim 1 1
; lim g(x) lim x 1 1 1 1 2 x x x x 2 2 2 2
Suy ra: lim g(x) lim g(x) 1. 1 1 x x 2 2 1
VËy kh«ng tån t¹i gií i h¹n cña hµm sè ( g x) liªn tôc t¹i ® iÓmx . 2 1 Do ®ã hµm sè ( g x) gi¸n ® o¹n t¹ x i 2
Hàm số y f (x) được gọi là liên tục trên khoảng ( ;
a b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
Hàm số y f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và .
lim f (x) f (a), lim f (x) f (b) . x a x b x 1 neá u x 0; 1
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số f x
trên nửa khoảng 0; 1 . 0 neáu x 1 Lời giải Ta có f
x x 1 với x 0; 1 . Với x 0;1 bất kì, ta có lim x 1 x 1 f x . 0 0 0 x 0 x
Vậy hàm số f x liên tục trên khoảng 0; 1 .
Hơn nữa, lim f x 0 f
1 nên f x liên tục trên nửa khoảng 0; 1 . x 1
Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có
Hàm số đa thức và các hàm số y s in x, y c
os x liên tục trên .
Các hàm số y tan x, y c
ot x, y x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên
tục trên tập xác định của chúng. x 1
Ví dụ 4. Cho hàm số f x
. Tìm các khoảng trên đó hàm số f x liên tục. x 1 Lời giải
Tập xác định của hàm số f x là
;1 1; . Vậy hàm số f x liên tục trên các khoảng ; 1 và 1; . 2 x 1
Luyện tập 2. Tìm các khoảng trên đó hàm số f x liên tục. x 2 Lời giải
TXĐ hàm số f(x) là (–∞; – 2) (– 2; ∪ +∞).
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 2) và (– 2; +∞).
3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
HĐ3. Cho hai hàm số 2
f x x và g x x 1.
a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x 1 . b) Tính L l
im f x g x và so sánh L với f 1 g 1 . x 1 Lời giải:
a) Hàm số f(x) = x2 và g(x) = – x + 1 là các hàm đa thức nên nó liên tục trên . ℝ
Do đó, hai hàm số f(x) và g(x) đều liên tục tại x = 1.
b) Ta có: f(x) + g(x) = x2 + (– x + 1) = x2 – x + 1. Do ® ã: L l = im f (x) g(x) 2 2 l im(x x 1) 1 1 1 1 x 1 x 1
Lại có, f(1) = 12 = 1; g(1) = – 1 + 1 = 0, do đó f(1) + g(1) = 1 + 0 = 1. Vậy L = f(1) + g(1) = 1.
Ta có khẳng định sau đây về tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục.
Giả sử hai hàm số y f x và y g x liên tục tại điểm x . Khi đó: 0
a) Các hàm số y f x g x , y f x g x và y f x g x liên tục tại x ; 0 f x b) Hàm số y
liên tục tại x nếu g x 0 0 . g x 0 sin x
Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số f x . x 1 Lời giải
Hàm số xác định trên các khoảng ;
1 và 1; . Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và
mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f x liên tục trên \ 1 .
Nhận xét. Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn ;
a b và f a f b 0 thì tồn tại ít nhất một đi
c a;b sao cho f c 0 .
Kết quả này được minh hoạ bằng đồ thị như Hình 5.8 xn
Vận dụng. Giải bài toán ở tình huống mở đầu. Lời giải:
Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là v = 16031603 = 60 (km/h). a
Gọi v(t) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.
Tại thời điểm xuất phát t , vận tốc của xe v(t ) = 0 nên có một thời điểm t xe chạy với vận 0 0 1 tốc v(t ) > v . 1 a
Xét hàm số f(t) = v(t) – v , rõ ràng f(t) là hàm số liên tục trên đoạn [t ; t ]. a 0 1
Hơn nữa, ta có f(t ) = – v < 0, f(t ) = v(t ) – v > 0 (do v(t ) > v ), nên tồn tại thời điểm 0 a 1 1 a 1 a
t* thuộc khoảng (t ; t ) sao cho f(t*) = 0. Khi đó ta có v(t*) – v = 0 hay v(t*) = v = 60. 0 1 a a
Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h. BÀI TẬP
5.14. Cho f x và g x là các hàm số liên tục tại x 1 . Biết f 1 2
và lim 2 f x g x 3 g . x . Tính 1 1 Lời giải:
Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.
Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1. Suy ra: L l = im 2f (x) g(x) 2 f (1) g(x) x 1 V× : L l = im 2f (x) g(x) 3 vµf (1) 2
nªn ta cã 3 = 2.2 - g(1) g(1)=1 x 1 VËy g(1)=1
5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: x 2 1 x neáu x 1 a) f x .
b) f x . 2 x 5x 6 4 x neáu x 1 Lời giải: ) x
a f x 2 x 5x 6 x x 2 BiÓu thøcf x 2 cã nghÜa khi x 5x 6 0 2 x 5x 6 x 3 TXĐ hàm số f(x) là \
ℝ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) (– ∪ 3; – 2) (– 2; ∪ +∞).
Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).
5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: x 2 1 x neáu x 1 a) f x .
b) f x . 2 x 5x 6 4 x neáu x 1 Lời giải: 2 1 x neáu x 1 ) b f x 4 x neáu x 1
Ta cã:lim f (x) lim(4 x) 4 1 3
Tập xác định của hàm số là . ℝ x 1 x 1
+) Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x2. 2 2 lim f (x) lim(1 x ) 1 1 2
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là . ℝ x 1 x 1 Suy ra:lim f (x) lim f (x)
Vậy nó liên tục trên (–∞; 1). x 1 x 1
+) Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.
Do đó không tồn tại giới hạn của f(x)
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là .
ℝ tại x = 1. Khi đó, hàm số f(x) không
Vậy nó liên tục trên (1; +∞). liên tục tại x = 1. sinx neáu x 0
5.16. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f x liên tục trên . x mneáu x 0 Lời giải:
Tập xác định của hàm số là . ℝ
+) Nếu x > 0, thì f(x) = sin x. Do đó nó liên tục trên (0; +∞).
+) Nếu x < 0, thì f(x) = – x + m, đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; 0).
Khi đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 0) và (0; +∞).
Do đó, để hàm số f(x) liên tục trên
ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khilimf(x) f
(x) lim f (x) lim f (x) f (0) (1) x 0 x 0 x 0
Ta l¹i cã lim f (x) lim sin x 0 ; f (0) s in 0 0 ; x 0 x 0 lim f (x) lim ( x m) m ; x 0 x 0 Khi đó, (1) m ⇔
= 0. Vậy m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Document Outline
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18