Hàm số liên tục - đáp án - GIải tích 1 | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP - GIẢI TÍCH I
BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC - LỜI GIẢI Bài 1:
1. αx  x  x và   sinx β x  e
 cosx ( x  0 )
Khi x  0 ta có : + α(x)  x  x (ngắt b V ỏ CB bậc cao). 2 x + sinx sinx β(x)  e cos x  (e 1) (1 cos x) (do ta có sinx e 1 và 1 cos x ngắt bỏ 2 VCB bậc cao).
Vậy β(x) là VCB bậc cao hơn α( x) khi x  0 . 2. 3
α(x)  x  x và β(x)  cos x 1  ( x 0 )
Khi x  0 ta có : + 3 α(x)  x  x (ngắt b V ỏ CB bậc cao). 2 x + β(x)  cos x 1 . 2
Vậy β(x) là VCB bậc cao hơn α( x) khi x  0 . 3. 3 2 α(x)  x  sin x và 2 β( x)  ln 1   2arctan(x )   ( x  0 )
Khi x  0 ta có : + 3 2 α(x)  x  sin x (ngắt bỏ VCB bậc cao). + 2 β( x)  ln 1  2arctan(x )    .
Vậy β(x) và α( x) là 2 VCB cùng bậc khi x  0 . 2  4. 1 1 x 1 α( x)   và β(x)  ln (x  ) 2 x x 2 x 1 1 x 1  2 2 α(x) 1 1
Khi x   ta có x x x lim  lim  lim (ln(1  ) ) x x x β( x) 1  1 2 ln(1  ) x x 2 2 x x Trang 1
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
 lim(x 1)  . x
Vậy α( x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x  . 5. 3 ( x1) πx α(x)  e  1 và β(x)  cot ( x  1 ) 2 3 ( x 1) 3 α(x) e  1 (x  1) 3 
Khi x  1 ta có : lim  lim  lim ( (x 1) e  1 ) x 1 x 1 x 1 β(x) cot(πx / 2) cot(πx / 2) 2 3(x  1) lim 0 (L' Hospital) . x 1  1  π . 2 sin (πx / 2) 2
Vậy α( x) là VCB bậc cao hơn β(x) khi x  1 . 6.  2 α(x) sin ( 2x) và   2
β(x) ln(1 4x ) ( x  0 )
Khi x  0 ta có : +  2 2 α(x) sin (2x) 4x . +   2 β(x) ln(1 4x ) .
Vậy β(x) và α( x) là 2 VCB tương đương khi x  0 . 7.  3 α(x)  1 cos2x và  2 β(x)
x  x ( x  0 )
Khi x  0 ta có : (2x) 1/3 2
+ α(x)  3 1 cos2x  (1 1/3 cos2x)   3 2/3 2.x .  2  +  2 β(x) x x (ngắt bỏ VCB bậc cao).
Vậy α( x) là VCB bậc thấp hơn β(x) khi x  0 . 8.  2 α(x) x  x và  x
β(x) e  1 ( x  )
Các em chú ý đây là VCL chứ không phải VCB nha. 2 α( x) x  x 2x 1
Khi x   ta có lim  lim  lim ( L' Hospital)   x  β(x) e  x x x x 1 e  2 lim
(L' Hospital)  0 .  x x e
Vậy α( x) là VCL bậc thấp hơn β(x) khi x  . Trang 2
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 9.  2  3 α(x) x sin x và   3
β(x) 1 cos x (x  0 )
Khi x  0 ta có : +  2  3 2 α(x) x sin x
~ x (ngắt bỏ VCB bậc cao). 2 x 3 + β(x) 1  3
cos x (1 cos x)(1 cos x  2 cos x) . 2 2
Vậy β(x) và α( x) là 2 VCB cùng bậc khi x  0 .
Bài 2: Khi x  0 ta có  2 β(x) sin(x ) . a  0
Vậy để α(x) ~ β(x) khi x  0 thì 2 α(x) ~ x   . b   1
Vậy a  0 và b  1 là 2 giá trị cần tìm. Bài 3:  1 
1. f (x)  sinarctan   x  + Dễ thấy hàm s l ố iên tục x   0 .
+ Xét tại x  0 ta có :  1  π
lim f ( x) lim sin arctan  sin    1 x 0 x 0    x  2  1  π 
lim f ( x)  lim sin arctan  sin     1 x 0 x 0    x  2  x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 1 c a ủ hàm s . ố 1 sin 3.  x f (x) 1 x e  1 + Dễ thấy hàm s
ố có điểm gián đoạn là x  0 . 1 sin
+ Xét tại x  0 ta có : x
lim f (x)  lim   1 x 0  x 0  x e  1 1 1 sin 1 sin 1 Ta luôn có : x 0   . Mà x lim  0 lim
 0 (theo nguyên lý kẹp) (1). 1 1  1  1 x 0  x 0  x x e  1 e  1 x x e  1 e  1 Trang 3
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 1 sin x lim f (x) lim   1 x 0  x 0  x e  1 1 1 Khi x 0 
ta xét 2 dãy con của x là x  và x 
( k, m là các số nguyên và k π / 2  k2π m π  / 2  m2π
k, m   ). Khi đó ta có: sin(π / 2 k2π) 1
lim f (x )  lim   1. k π/2 k 2π k  k  e 1 0 1  sin( π  / 2 m2π) 1 
lim f (x )  lim   1. m π/  2 m  2π m m e 1 0  1
Do giới hạn (nếu có) là duy nhất nên lim f (x) không tồn tại (2). x 0 
Từ (1) và (2) ta suy ra x  0 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số. 4.  1 f (x) 2
ln x  1 + T nh c ập xác đị a ủ hàm số là D  ; 2. 1 1
+ Xét tại x  1
 ta có : lim f (x)  lim
 0 ; lim f (x)  lim
 0 (tương tự với x  1  )   2 x 1  x 1  ln x 1   2 x 1  x 1  ln x 1  x  1
 là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số. 1 1
+ Xét tại x  0 và x   2 ta có : lim f (x)  lim
  ; lim f (x)  lim     2 x 0  x 0  ln x  1   2 x 2
x 2 ln x  1 1
lim f (x)  lim
  x 0; x   2 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số.   2 x (   2 ) x (   2 ) ln x 1  x 5.   1 x f (x) arctan 2 + Dễ thấy hàm s l
ố iên tục x  1.
+ Xét tại x  1 ta có : x 1 lim f (x)  x lim arctan 2  0   x1 x1 x 1 lim f (x)  x lim arctan 2     x1 x1  x  1 n l
là điểm gián đoạ oại 2 c a ủ hàm s . ố Trang 4
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 6.  1 f (x) arctan x 1 + Dễ thấy hàm s l
ố iên tục x  1.
+ Xét tại x  1 ta có :  1  π lim f (x) lim arctan   x1 x1 x 1 2 1    π lim f (x) lim arctan   x1 x1 x 1 2  x  1 n l
là điểm gián đoạ oại 1 c a ủ hàm s . ố 7.  1
f (x) cot(arctan ) x + Dễ thấy hàm s l
ố iên tục x  0 .
+ Xét tại x  0 ta có :  1  π lim f (x) lim cot(arctan ) cot  0   x0 x0 x 2 1    π lim f (x) lim cot(arctan ) cot  0   x0 x0 x 2  x  0 n b là điểm gián đoạ ỏ được c a ủ hàm s . ố 8.  sinx f (x) x(  x 1) + T nh c ập xác đị a ủ hàm số là D  .
+ Xét tại x  0 ta có :  sin x  x  1 lim f (x) lim lim  1    x0
x0 x(x 1)
x0 x(x1) 0 1  sin x  x  1 lim f (x) lim lim  1    x0 x0 x(x x0 1) x(x1) 0 1
 x  0 là điểm gián đoạn bỏ được của hàm s .
ố Chú ý ở trên, ta sử dụng phép thay tương đương sinx ~ x khi x  0 .
+ Xét tại x  1 ta có :  sin x sin x lim f ( x) lim
  ; lim f (x)  lim     x1 x1 x(  x 1)   x1 x1 x(  x 1)  x  1 n l
là điểm gián đoạ oại 2 c a ủ hàm s . ố Trang 5
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ Bài 4: π 1 1 1 + Xét tại x 
ta có : lim f (x)  lim 
 1 ; lim f (x) lim  0. 2 tanx π tanx  π   π  π x ( ) x ( )   1 2 1 0 x ( ) x ( )   1 2 2 2 2 2 π x  n
là điểm gián đoạ loại 1 của hàm s . ố 2 π 1 1 1 + Xét tại x  
ta có : lim f (x)  lim 
 1 ; lim f (x)  lim  0 . 2 tanx π tanx  π   π  π  x ( ) x ( )     1 2 1 0 x ( ) x ( )     1 2 2 2 2 2 π x   n l
là điểm gián đoạ oại 1 c a ủ hàm s . ố 2 Bài 5: π 1  1. arctan 2 x y  e π 1 π π  π 1 π π arctan  arctan (   ) Ta có : 2 x 2 2 lim y  lim e  e  1 2 x 2 2 π
; lim y  lim e  e  e . x 0  x 0  x 0  x 0   x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 1 của hàm s . ố 2.  sin x y x sin x sin x sin x sin x
Ta có : lim y  lim  lim
 1 lim y  lim  lim  1 .    ; x0 x0 x0 x x    x0 x0 x0 x x  x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 1 của hàm s . ố ax e  bx 3.  e y
(với a  b ) x ax e  bx ax e ae  bx be
Ta có : lim y  lim  lim
(L' Hospital)  a  b    x0 x0 x x0 1 ; ax e  bx ax e ae  bx   be lim y lim lim
(L' Hospital)  a  b .    x0 x0 x x0 1  x  0 n b là điểm gián đoạ ỏ được c a ủ hàm s . ố Bài 6: 1.  tan 5x f (x) x tan 5x tan 5x tan 5x tan 5x
+ Xét tại x  0 ta có : lim f (x)  lim  lim
 5 ; lim f (x)  lim  lim  5 .    x0 x0 x0 x x    x0 x0 x0 x x Trang 6
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/  x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 1 của hàm s . ố π tan 5x tan 5x + Xét tại x  
ta có : lim f ( x)  lim
  ; lim f (x)  lim   . 2 π  π  π  π 
x(  )
x(  ) x
x(  )
x(  ) x 2 2 2 2 π x   n l
là điểm gián đoạ oại 2 c a ủ hàm s . ố 2 2.    2 tan x 1 f (x) (1 e ) 1
+ Xét tại x  0 ta có : lim f (x)  lim   .     1 2 tan x x 0 x 0 e  x  0 n l
là điểm gián đoạ oại 2 của hàm s . ố π 1 1 + Xét tại x  
ta có : lim f ( x)  lim
 0 ; lim f (x)  lim  0 . 2       1  2 tan x π π x ( ) x ( ) e        2 tan x π π x ( ) x ( ) 1 e 2 2 2 2 π x   n b là điểm gián đoạ ỏ được c a ủ hàm s . ố 2 Bài 7:   1 a  rccot , x  0 1.   y    x  a  ,x   0 + Dễ thấy hàm s l ố iên tục x   0 . 1 1
+ Xét tại x  0 ta có : lim y  lim arc cot
 0 ; lim y  lim arc cot  π. x 0 x 0   x x 0 x 0   x
+ Do lim y  lim y nên hàm s ố n t
luôn gián đoạ ại x  0  không có giá trị nào của a để hàm s l ố iên tục x 0 x 0   trên . 2
x 1,x  a
2. y  3x5,x a  + Dễ thấy hàm s l ố iên tục x   a .
+ Xét tại x  a ta có : 2 2
lim y  lim( x  1)  a  1  f (a) ; lim y  lim( 3x  5)  3a  5 .   xa x a  x a x a  
+ Để hàm số liên tục trên thì hàm s l ố iên t c ụ tại 2
x  a  lim y  lim y  f (a)  a  1 3a 5 x a x a    a  4   . a  1  
Vậy a  4 hoặc a  1  thì hàm s
ố đã cho liên tục trên . Trang 7
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 2 2x    2 (e 1).x , x  3.  0 y  a,x   0 + Dễ thấy hàm s l ố iên tục x   0 . 2 2x e  2 1 2x 2
+ Xét tại x  0 ta có : lim y  lim  lim
 2 (khi x  0 thì 2x  2 e 1 ~ 2x ).   2  2 x 0 x 0 x 0 x x
+ Để hàm số liên tục trên thì hàm s l ố iên t c
ụ tại x  0  limy  f (0)  2 a .  x 0
Vậy a  2 thì hàm số đã cho liên tục trên . Bài 8: 2 ln(x  2)
+ Xét tại x  0 ta có : lim y  lim   .   2 x 0 x 0 x
+ Vậy không tồn tại giá trị nào của a để hàm s l ố iên t c
ụ tại x  0 .
Chú ý: đây là câu hỏi lừa. Các em cẩn thận chỗ tính lim y nhé. x0 1
Bài 9: Xét tại x  0 ta có : lim y  2 x lim e
 0  f (0) . Vậy h àm s
ố đã cho liên tục tại x  0 . x0 x0
Bài 10: Để x  0 m
là điể gián đoạn bỏ được của hà
m số f (x) thì lim f (x)  lim f (x) .   x 0 x 0   1 lim f (x) lim   0     x 0  ln x Lại có:  x 0  1
lim f (x)  lim (a  x
e )  a  0   a     x 0  x 0
Vậy để x  0 m
là điể gián đoạn bỏ được của hà m s t
ố hì a  0 . x  0
Bài 11: * Nếu c  0 thì ta có 2a  3b  0. Khi đó 2 
f (x)  0  ax  bx  0    .  b  2 x   (0;1)  a 3
* Nếu c  0 thì ta xét hàm số  2
f (x) ax  bx  c liên t c
ụ trong khoảng (0;1) . Dễ thấy f (0)  c và 2 4 2 2 2            1 f ( ) a b c (2a 3b) c ( 6c) c
c (do 2a  3b  6c  0 nên 2a  3b  6c ). 3 9 3 9 9 3 2 
Khi đó: f (0).f ( )  1 2
c  0 . Lại có hàm s
ố f (x) liên tục t rong khoả 2
ng (0; ) nên phương trình f (x)  0 3 3 3
luôn có nghiệm trong khoả 2
ng (0; ) , suy ra f (x) luôn có nghiệm trong khoảng (0 ;1). 3 Từ đó ta có ĐPCM. Chú ý: 2
cách chọn điểm x  ng s
anh đã trình bày trong video bài giả 3 r ố i ồ nhé. 0 3 Trang 8
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ Bài 12: 3
Các em làm tương tự bài 11 nhé, khi đó điể
m cần tìm sẽ là x  . 0 5 Trang 9