Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu gồm 107 trang do thầy Trần Quốc Nghĩa biên soạn, nội dung tài liệu gồm 4 phần:

+ Phần 1. Tóm tắt lý thuyết cần thiết cho nội dung cơ bản
+ Phần 2. Các ví dụ mẫu

GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
R
N QU
N QUN QU
N QU
C NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu t
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên t
p)
p)p)
p)
1
11
1
Ll20202020v ,.
LƯỢNG GIÁC
Phn 1 - HÀM S LƯỢNG GIÁC
1. Hàm s
sin
y x
=
==
=
cos
y x
=
==
=
sin
y x
=
==
=
cos
y x
=
==
=
Tp xác định
D
=
D
=
Chu k
2
T
π
=
2
T
π
=
Tính chn l
L
Ch
n
S biến thiên
HSĐB trên:
+ +
k2 ; k2
2 2
π π
π π
HSNB trên:
+ +
3
k2 ; k2
2 2
π π
π π
HSĐB trên:
(
)
+
k 2 ; k 2
π π π
HSĐB trên:
(
)
+
k 2 ; k 2
π π π
Bng biến
thiên
x
π
2
π
0
2
π
π
sin
y x
=
0
–1
0
1
0
x
π
0
π
cos
y x
=
–1
1
–1
Đồ th
2. Hàm s
tan
y x
=
==
=
cot
y x
=
==
=
tan
y x
=
==
=
cot
y x
=
==
=
Tp xác định
\ ,
2
D k k
π
π
= +
{
}
\ ,D k k
π
=
Tp giá tr
Chu k
T
π
=
T
π
=
Tính chn l
L
L
S biến thiên
Đồng biến trên ;
2 2
k k
π π
π π
+ +
Ngh
ch bi
ế
n trên m
i kho
ng:
(
)
;
k k
π π π
+
Bng biến
thiên
x
2
π
2
π
tan
y x
=
+∞
x
0
π
cot
y x
=
+∞
Đồ th
1
Chuyênđề
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
2
22
2
Dng 1. Tìm tp xác đnh ca hàm s
A. PHƯƠNG PHÁP GII
Tp xác định ca hàm s
(
)
y f x
= là tp hp tt c các giá tr ca biến s x sao cho f(x) có nghĩa.
( )
( )
f x
y
g x
= có nghĩa
( ) 0
g x
2
( )
n
y f x
= có nghĩa
( ) 0, ( )
f x n
2 1
( )
n
y f x
+
= có nghĩa
(
)
f x
có nghĩa
( )
n
tan ( )
y f x
=
có nghĩa
(
)
cos 0
f x
( ) ,( )
2
f x k k
π
π
+
cot ( )
y f x
=
có nghĩa
(
)
sin 0
f x
( ) ,( )
π
f x k k
B. BÀI TP MU
Ví d 1. Tìm tp xác đnh ca mi hàm s sau:
a)
1 cos
sin
=
x
y
x
b)
1 sin
1 cos
=
+
x
y
x
c) tan
3
π
=
y x d) cot
6
π
= +
y x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
3
33
3
C. BÀI TP CƠ BN
Bài 1. Tìm tp xác đnh ca mi hàm s sau:
a)
sin 3
=
y x
b)
cos
2
=
x
y c)
3
2cos
=y
x
d)
2
cos
1
=
x
y
x
e)
3 sin
=
y x
f) tan 2
3
π
= +
y x g)
cos
=
y x
h) cot 2
4
π
=
y x
D. BÀI TP NÂNG CAO
Bài 2. Tìm tp xác đnh ca mi hàm s sau:
a)
1
sin
1
+
=
x
y
x
b)
sin 2
cos 1
+
=
+
x
y
x
c)
cot
cos 1
=
x
y
x
d)
tan
3
=
x
y
e)
2
1
sin
1
=
y
x
f)
2
cos cos3
=
y
x x
g)
tan cot
= +
y x x
h)
2 2
3
sin cos
=
y
x x
Bài 3. Tìm
m
để hàm s sau xác đnh
x
:
4 4
sin os 2 sin cos
= +
y x c x m x x
Bài 4. Tìm tp xác định ca các hàm s:
a)
2
2 tan cos
= +
y x x
b)
sin 2 sin 3
= +
y x x
Dng 2. Tìm giá tr ln nht. Giá tr nh nht ca hàm s lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GII
S dng phương pháp min giá tr ca hàm s lượng giác.
x
:
1 sin 1
x
,
1 cos 1
x
2
0 sin 1
x
,
2
0 cos 1
x
0 sin 1
x
,
0 cos 1
x
0 sin 1
x
,
0 cos 1
x
(khi
sin 0
x
,
cos 0
x
)
S dng các tính cht ca bt đẳng thc:
a b b a
a b
a c
b c
a b a c b c
+ +
(cng 2 vế vi c)
a b
a c b d
c d
+ +
. .
a b a c b c
(nếu c > 0: gi nguyên chiu)
. .
a b a c b c
(nếu c < 0: đổi chiu)
0
. .
0
a b
a c b d
c d
> >
>
> >
1 1
0a b
a b
> > <
2 2 *
0 ( )
n n
a b a b n> > >
2 1 2 1 *
( )
n n
a b a b n
+ +
> >
S dng các bt đẳng thc quen thuc: Cô-si, BCS, …
B. BÀI TP MU
Ví d 2. Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mi hàm s sau:
a)
2 cos 1
= +
y x
b)
3 2sin
=
y x
c)
2cos 3
3
π
= + +
y x d)
2
1 sin( ) 1
=
y x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
4
44
4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP CƠ BN
Bài 5. Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca mi hàm s sau:
a)
2
1 4 cos
3
+
=
x
y b) 4sin=
y x
c)
2(1 cos ) 1
= + +
y x
d)
2
cos 2cos 2
= +
y x x
e)
2 3cos
= +
y x
f)
2 2
3 4sin cos
=
y x x
g)
2
2sin cos2
=
y x x
h)
3 2 sin
=
y x
i)
3 4sin
=
y x
j)
3sin 2
6
π
=
y x k)
2 2
5 2cos sin
=
y x x
l) cos cos
3
π
= +
y x x
D. BÀI TP NÂNG CAO
Bài 6. Tìm giá tr nh nht và giá tr ln nht ca hàm s
a)
sin cos
= +
y x x
b)
(
)
sin 1 2cos 2
y x x
=
Bài 7. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
4 4 2 2
cot cot 2 tan tan 2
= + + +
y x y x y .
Bài 8. Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca các hàm s sau
a)
sin
y x
=
trên đon
2
;
3 3
π π
.
b) cos 2 cos 2
4 4
y x x
π π
= +
trên đon
;
3 6
π π
.
Dng 3. Xét tính chn – l ca hàm s
A. PHƯƠNG PHÁP GII
Cho hàm s
(
)
y f x
= xác định trên
D
:
a) Hàm s chn trên
D
nếu
( ) ( )
x D x D
f x f x
=
b) Hàm s l trên
D
nếu
( ) ( )
x D x D
f x f x
=
c) Hàm s không chn, không l trên
D
nếu:
0 0
0 0 0 0
: ( ) ( ) ( )
x D x D
x D f x f x f x
Nhn xét:
Hàm s chn đồ th đối xng qua trc tung
Hàm s lđồ th đối xng qua gc ta độ.
Chú ý:
x x
=
2 2
( ) ( ) ,
n n
a b b a n
=
2 1 2 1
( ) ( ) ,
n n
a b b a n
+ +
=
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
5
55
5
B. BÀI TP MU
Ví d 3. Xét tính chn l ca mi hàm s sau:
a)
sin
=
y x x
b)
3sin 2
=
y x c)
sin cos
=
y x x
d)
sin cos tan
= +
y x x x
e)
cos
=
x
y
x
f)
1 cos
=
y x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
6
66
6
C. BÀI TP CƠ BN VÀ NG CAO
Bài 9. Xét tính chn l ca mi hàm s sau:
a)
tan cot
1 sin 2
+
=
x x
y
x
b)
1 cos
1 cos
+
=
x
y
x
c)
3
sin 2
=
y x x
d)
cos3
=
y x
e) tan
5
π
= +
y x f)
3
sin
cos 2
=
x x
y
x
g)
sin tan
=
+
x
y
x x
h)
62 24
sin 1 cos 1
1
=
x x
y
x
Dng 4. Tính tun hoàn ca hàm s
A. PHƯƠNG PHÁP GII
Để xét tính tun hoàn ca các hàm s ta da vào khái nim sau:
Hàm s
(
)
y f x
= xác định trên tp
D
được gi là hàm s tun hoàn nếu
0
T
sao cho
( ) ( )
,
x D x T D
f x T f x x D
±
+ =
.
Nếu tn ti s
0
T
>
nh nht tha mãn các điu kin trên thì
T
được gi là chu k ca
hàm s tun hoàn
(
)
y f x
= .
Chú ý:
(
)
sin
y ax b
= +
có chu k
0
2
T
a
π
= .
(
)
cos
y ax b
= +
có chu k
0
2
T
a
π
= .
(
)
tan
y ax b
= +
có chu k
0
T
a
π
= .
(
)
cot
y ax b
= +
có chu k
0
T
a
π
= .
(
)
1
y f x
= có chu k
1
T
(
)
2
y f x
= có chu k
2
T
thì hàm s
(
)
(
)
1 2
y f x f x
= ±
chu k
T
là bi chung nh nht ca
1
T
2
T
.
C. BÀI TP MU
Ví d 4. Xétnh tun hoàn và tìm chu k ca các hàm s sau
a)
2
1 sin 2
y x
= + . b)
1
sin 2
y
x
= .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
7
77
7
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví d 5. Xétnh tun hoàn và tìm chu k ca các hàm s sau
a)
sin
y x x
= +
. b)
2 2
sin 2 cos 2
y x x
= + .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP CƠ BN VÀ NG CAO
Bài 10. Xét tính tun hoàn và tìm chu k ca các hàm s sau (
0
a
):
a)
(
)
sin
= +
y ax b
b)
(
)
cos
= +
y ax b
c)
(
)
tan
= +
y ax b
d)
(
)
cot
= +
y ax b
Bài 11. Xét tính tun hoàn và tìm chu k ca các hàm s:
a)
(
)
cos3 . 1 cos
= +
y x x
b)
6 6
sin os
= +
y x c x
c)
2
sin( )
=
y x
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
8
88
8
Dng 5. S dng đồ th
A. PHƯƠNG PHÁP GII
V đồ th hàm s trên min đã ch ra.
Da vào đồ th xác định giá t cn tìm.
B. BÀI TP MU
Ví d 6. Hãy c đnh giá tr ca
x
trên đon
3
;
2
π
π
để hàm s
tan
y x
=
nhn giá tr:
a) bng
0
. b) bng
1
. c) dương. d) âm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví d 7. Da vào đồ thm s
sin
y x
=
, tìm nhng giá tr ca
x
trên đon
3
; 2
2
π
π
để hàm s đó:
a) Nhn giá tr bng
–1
. b) Nhn giá tr âm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
9
99
9
B. BÀI TP CƠ BN NÂNG CAO
Bài 12. Da vào đồ thm s
cos
y x
=
, tìmc giá tr ca
x
để
1
cos
2
x
=
.
Bài 13. Cho các hàm s
(
)
sin
f x x
= ,
(
)
cos
g x x
= ,
(
)
tan
h x x
= và các khong:
1
3
;
2
J
π
π
=
,
2
;
4 4
J
π π
=
,
3
31 33
;
4 4
J
π π
=
,
4
452 610
;
3 4
J
π π
=
Hi hàm nào trong ba hàm trên đồng biến trên khong
1
J
? Trên khong
2
J
? Trên khong
J
?
Trên khong
4
J
? (Tr li bng cách lp bng biến thiên)
Bài 14. Trong mi khng đnh sau, khng định nào đúng? Khng đnh nào sai? Gii thích sao?
a) Trên mi khong mà hàm s
sin
y x
=
đồng biến t hàm s
cos
y x
=
nghch biến.
b) Trên mi khong mà hàm s
2
sin
y x
= đng biến thì hàm s
2
cos
y x
= nghch biến.
Bài 15. Da vào đồ thm s
sin
y x
=
hãy v đồ thm s
sin
y x
= .
Bài 16. Cho hàm s
(
)
2sin 2
y f x x
= =
a) Chng minh rng vi s nguyên dương
k
tùy ý, luôn có
(
)
( )
f x k f x
π
+ = vi mi
x
.
b) Lp bng biến thiên ca hàm s
2sin 2
y x
=
trên đon
;
2 2
π π
.
c) V đồ th ca hàm s
2sin 2
y x
=
Bài 17. CMR:
sin 2 sin
(
2
)
x k x
π
+ =
vi mi s nguyên
k
. T đó v đồ th hàm s
sin 2
y x
=
.
Bài 18. CMR:
1
cos 4( )
cos
2 2
x
x k
π
+ = vi mi s nguyên
k
. T đó v đồ th hàm s
cos
2
x
y = ri suy
ra đồ th hàm s
cos
2
x
y = .
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
10
1010
10
Phn 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dng 1. Phương trình cơ bn
A. PHƯƠNG PHÁP GII
Chú ý:
Khi gp du tr trước thì:
(
)
sin sin
=
x x
(
)
cos cos
π
=
x x
(
)
tan tan
=
x x
(
)
cot cot
=
x x
Khi gii phi dùng đơn vrad nếu đề bài không cho độ (
0
).
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
11
1111
11
B. BÀI TP MU
Ví d 8. Gii các phương trình sau:
a)
3
sin
2
= x b)
2
cos 3
6 2
π
=
x c)
(
)
tan 3 30 –1
x
° =
d)
3
cot
3 3
π
+ =
x e)
1
sin
4
=
x f)
( )
1
cos 3
3
+ =
x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
12
1212
12
C. BÀI TP CƠ BN
Bài 19. Gii các phương trình sau:
a)
( )
1
sin 60
2
x
° =
b)
sin 2 –1
=
x
c)
( )
2
cos 2
5
=
x
d)
1
cos 2
3 2
π
+ =
x
e)
( )
1
cos 2 50
2
x
+ ° =
f)
cot 4 3
6
π
=
x
g)
tan tan
2 4 8
π π
=
x
h)
3
cot 20
3 3
x
+ ° =
i)
2
tan 2 tan
7
π
=x
j)
2
sin 4
3
=
x k)
( )
3
cos 3 45
2
x ° = l)
3
sin 3
2
=x
m)
( )
3
sin 2 15
2
x ° =
n)
1
sin 10
2 2
x
+ ° =
o)
3
sin 2
2
=x
Dng 2. Phương trình bc nht theo mt hàm s lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GII
Phương trình bc nht theo mt hàm s lượng giác là các phương trình có dng:
0
+ =
asinx b
;
0
+ =
acosx b
;
0
+ =
atanx b
;
0
+ =
acotx b
Phương pháp gii: Chuyn v phương trình lượng giác cơ bn.
B. BÀI TP MU
Ví d 9. Gii các phương trình sau:
a)
3sin 4 2
=
x
b)
2sin 2 1 0
=
x
c)
3 cot 1 0
3
π
+ =
x
d)
(
)
2cos 50 3
x
+ ° =
e)
2cos 3 0
=
x
f)
3 tan 3 3 0
=
x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
13
1313
13
Ví d 10. Gii các phương trình sau:
a)
cos2 .cot 0
4
π
=
x x b)
cot 1 cot 1 0
3 2
+ =
x x
c)
(
)
(
)
1 2cos 3 cos 0
+ =
x x d)
(
)
cot 1 .sin 3 0
+ =
x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví d 11. Gii các phương trình sau:
a)
cos3 sin 2 0
x x
=
b)
tan . tan 2 –1
x x
=
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
14
1414
14
C. BÀI TP CƠ BN
Bài 20. Gii các phương trình sau:
a)
sin 2 .cot 0
x x
=
b)
(
)
(
)
tan 30 .cos 2 150 0
x x
° ° =
c)
(
)
2cos 2 1 2sin 2
)
0
( 3x x
=
d)
(
)
( )
3tan 3 2sin 1 0
x x
+ =
e)
(
)
(
)
tan 2 60 cos 75 0
x x
+ ° + ° =
f)
(
)
(
)
2 cos 3cos 2 1 0
x x
+ =
g)
( )
(
)
sin 1 2cos 2 2 0
x x
+ =
h)
(
)
(
)
sin 2 1 cos 1 0
x x
+ =
C. BÀI TP NÂNG CAO
Bài 21. Gii các phương trình sau:
a)
sin 3 cos 2
x x
=
b)
cos sin 2
x x
=
c)
sin 3 sin 5 0
x x
+ =
d)
cot 2 .cot 3 1
x x
=
e)
(
)
sin cos 60 0
x x + °
=
f)
(
)
cos 10 sin 0
x x°
+ =
g) sin sin 2
3 4
x x
π π
+ =
h)
cos 2 cos
4
x x
π
=
i)
tan 3 tan 0
x x
+ =
f)
(
)
tan 3 tan 2 45 0
x x
+ ° =
k)
sin 2 cos 3 0
x x
+ =
l)
tan .tan 3 1
x x
=
m)
(
)
cot 2 cot 45 1
+ =
°x x n)
(
)
tan 3 2 cot 2 0
x x
+ + =
o)
cos 2 sin 0
4 3
π π
=
x x p) cos 2 cos
3 6
x x
π π
+ +
q)
( )
(
)
sin 1 2cos 2 2 0
x x
+ =
r)
(
)
(
)
sin 2 1 cos 1 0
x x
+ =
Bài 22. Gii các phương trình sau:
a)
2
1
sin
4
=
x b)
2
4cos 3 0
=
x c)
2 2
sin 3 cos 0
=
x x
d)
(
)
2 2
sin 45 cos
x x
° =
e)
3
8cos 1 0
=
x f)
(
)
2
tan 1 3
+ =
x
Dng 3. Tìm nghim phương trình lượng giác trên
khong, đon cho trước
A. PHƯƠNG PHÁP GII
Bước 1. Gii phương trình lượng giác đã cho và tìm các h nghim (nếu có)
Bước 2. Vi mi h nghim tìm được, cho thuc khong, đon đề cho và tìm
k
(
)
k
Bước 3. ng vi mi giá tr k va tìm được, thế o h nghim tìm nghim tương ng.
B. BÀI TP MU
Ví d 12. Gii các phương trình sau:
a)
( )
2
sin 2 15
2
x ° = vi
–120 90
x
< <
° °
b) tan
3
2
4 3
π
+ =
x vi
0
π
< <
x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
15
1515
15
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP CƠ BN
Bài 23. Gii các phương trình sau:
a)
( )
1
cos 2 10
2
x
+ =
vi
x
π π
< <
b)
1
sin 2
3 2
x
π
=
vi
0 2
x
π
< <
c)
1
sin
2
x = vi
0
x
π
< <
d)
( )
2
cos 2
2
x = vi
;
[ ]
0
x
π
e)
(
)
tan 10 1
x
° =
vi
–15 15
x
° < < °
f)
sin 1
4
x
π
+ =
vi
;
[ ]
2
x
π
π
C. BÀI TP NÂNG CAO
Bài 24. Tìm nghim thuc đon
[
]
0;14
ca phương trình:
cos3 4 cos 2 3cos 4 0
x x x
+ =
Bài 25. Tính giá tr ca
; 0
2
x
π
tha mãn phương trình:
sin 2 cos 2
cot
2 sin 2
x x
x
x
=
+
Bài 26. Tìm nghim thuc
(
)
0; 2
π
ca phương trình:
cos3 sin 3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
+ = +
+
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
16
1616
16
Dng 4. Phương trình bc hai, bc 3 đối vi mt hàm s lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GII
Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được mt trong các dng sau
(
)
0
a :
(
((
(
)
))
)
2
0 1
asin u bsinu c+ + =
+ + =+ + =
+ + =
(
((
(
)
))
)
2
0 1
acos u bcosu c+ + =
+ + =+ + =
+ + =
Đặt
=
t sinu
Đặt
=
t cosu
Điu kin:
–1 1
t
Điu kin:
–1 1
t
(
)
2
1 0
+ + =
at bt c
(
)
2
1 0
+ + =
at bt c
(
((
(
)
))
)
2
tan tan 0 1
a u b u c+ + =
+ + =+ + =
+ + =
(
((
(
)
))
)
2
0 1
acot u bcotu c+ + =
+ + =+ + =
+ + =
Điu kin:
cos 0
u
. Điu kin:
0
sinu
Đặt
,
=
t tanu
Đặt
,
=
t cotu
(
)
2
1 0
+ + =
at bt c
(
)
2
1 0
+ + =
at bt c
B. BÀI TP MU
Ví d 13. Gii các phương trình sau:
a)
2
2sin 3sin 2 0
+ =
x x b)
2
3cot 3cot 2 0
+ =
x x
c)
2
3cos 5cos 2 0
+ =
x x
d)
2
3tan 2 3 tan 1 0
+ =
x x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
17
1717
17
Ví d 14. Gii các phương trình sau:
a)
3 2
tan 3tan 2tan 4 0
+ =
x x x b)
3 2
4sin 4sin 3sin 3
+ =
x x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP CƠ BN
Bài 27. Gii các phương trình sau:
a)
2
2cos 2 cos 2 0
+ =
x x
b)
2
2cos 3cos 1 0
+ =
x x
c)
2
6sin 5sin 4 0
=
x x d)
(
)
2
3 tan 1 3 tan 1 0
+ + =
x x
e)
(
)
2
tan 3 1 3 tan 3 3 0
+ =
x x
f)
(
)
2
4cot 2 3 1 cot 3 0
3 3
=
x x
g)
(
)
2
4cos 2 2 1 cos 2 0
2 2
+ + =
x x
h)
2
2sin 2 sin 2 0
2 2
+ =
x x
i)
2
2sin 3sin 5 0
=
x x j)
2
2 tan 3tan 1 0
+ + =
x x
Bài 28. Gii các phương trình sau:
a)
2
sin 2cos 2 0
+ =
x x b)
2
cos sin 1 0
+ + =
x x
c)
2cos 2 4sin 1 0
+ + =
x x
d)
(
)
2cos 2 2 13
cos 3 2 0
+ + + =
x x
e)
cos2 9cos 5 0
+ + =
x x
f)
2
cos5 .cos cos 4 .cos 2 3cos 1
= + +
x x x x x
g)
4 2
cot 4cot 3 0
+ =
x x h)
5
cos2 4co
2
6
s
3
ππ
+
+ =
xx
i)
2
4
tan 5 0
cos
+ =
x
x
j)
( )
2
1
1 tan 3 tan 1 0
cos
+ + =
x x
x
k)
tan 2cot 1 0
+ =
x x
l)
2
2
1 tan
cos 4 3 2 0
1 tan
+ =
+
x
x
x
C. BÀI TP NÂNG CAO
Bài 29. Gii các phương trình sau:
a)
4 4 4
9
sin sin cos
4 4 8
π π
+ + + + =
x x x
b)
( )
cos 2 cos 2 4sin 2 2 1 sin
4 4
π π
+ + + = +
x x x x
Bài 30. Gii các phương trình sau:
a)
3
2
1
tan 1 2cot 3
cos 3
π
+ + =
x x
x
b)
2
2sin 1 sin 3
x x
= +
c)
1 sin 3 sin cos 2
x x x
+ = +
d)
(
)
2 2
tan cot 2 tan cot 6
x x x x
+ + + =
e)
2
2
1 1 7
cos cos 0
cos cos 4
+ + =
x x
x x
f)
( )
2
2
1 5
cot tan cot 2 0
cos 2
+ + + + =
x x x
x
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
18
1818
18
Dng 5. Phương trình bc nht đối vi
sin
x
cos
x
(Phương trình c đin)
A. PHƯƠNG PHÁP GII
sin cos
a x b x c
+ =
+ =+ =
+ =
(
)
1
vi , ,
a b c ,
2 2
0
+a b
Điu kin để phương trình có nghim là:
2 2 2
+
a b c
Chia 2 vế phương trình cho
2 2
+
a b
, ta được:
2 2 2 2 2 2
.s inx .cos+ =
+ + +
a b c
x
a b a b a b
2 2
2 2 2 2
1
+ =
+ +
a b
a b a b
nên đặt
2 2
cos
α
=
+
a
a b
,
2 2
sin
α
=
+
b
a b
Khi đó ta được:
( )
2 2
sin
α
+ =
+
c
x
a b
ri gii như phương trình cơ bn.
Chú ý: Nếu
=
a b
có th dùng công thc sau để gii:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
± = ± = ±
x x x x
B. BÀI TP MU
Ví d 15. Gii các phương trình sau:
a)
sin 3 cos 1
+ =
x x
b)
cos 3 sin 2
=x x
c)
3sin 3 4cos3 5
=
x x
d)
2sin 2 cos 2 0
+ =
x x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
19
1919
19
Ví d 16. Gii các phương trình sau:
a)
cos 3 sin 2cos3
=
x x x
b)
sin 9 3 cos 7 sin 7 3 cos9
+ = +
x x x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP CƠ BN
Bài 31. Gii các phương trình sau:
a)
6
sin cos
2
x x = b)
3 cos sin 2
x x+ =
c)
sin 4 cos 4 3
x x+ = d)
2sin 9 cos 85
x x =
e)
3sin 3 cos 1
x x
+ =
f)
2cos 3sin 2 0
x x
+ =
g)
cos 4sin 1 0
x x
+ + =
h)
2 sin 2 3cos 2 4
x x
+ =
i)
(
)
(
)
cos 2 15 sin 2 15 –1
x x
° + ° =
j)
sin 2 3 cos 2 1
x x
=
k)
5cos 2 12sin 2 13
x x
+ =
l)
2sin 2cos 2
x x+ =
C. BÀI TP NÂNG CAO
Bài 32. Gii các phương trình sau:
a)
2
2sin 2 3 sin 4 –3
+ =
x x b) cos 3 sin 2 cos
3
π
+ =
x x x
c)
3 2
2sin sin
4 4 2
π π
+ + =
x x d)
5 2
2cos 3cos
6 3 2
π π
+ + =
x x
e)
2
1
sin 2 sin
2
+ =
x x f)
2
2sin 3 sin 2 3
+ =
x x
g)
2 2
3cos sin sin 2 0
=
x x x h)
4sin cos 13 sin 4 3cos 2
= +
x x x x
i)
(
)
2cos 2 sin 2 2 sin cos
= +
x x x x
j)
2sin17 3 cos5 sin 5 0
+ + =
x x x
k)
sin 5 cos5 2 cos13
+ =
x x x
l)
2
8sin 3sin 4 0
2
=
x
x
m)
1 sin 1
1 cos 2
+
=
+
x
x
n)
1 cos 4 sin 4
2sin 2 1 cos 4
=
+
x x
x x
Bài 33. Tìm giá tr nh nht, ln nht ca các hàm s sau:
a)
2sin 3 cos 1
= + +
y x x
c)
2
2sin 4sin cos 3
= + +
y x x x
b)
2
sin cos 2 2
= +
y x x
d)
sin cos 1
sin cos 3
+
=
+
x x
y
x x
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
20
2020
20
Dng 6. Phương trình thun nht bc hai, bc ba đối vi
sin
x
cos
x
(Phương trình đng cp)
A. PHƯƠNG PHÁP GII
2 2
sin sin cos cos 0
a x b x x c x
+ + =
+ + =+ + =
+ + =
(
)
1
Hoc
2 2
sin sin cos cos
a x b x x c x d
+ + =
+ + =+ + =
+ + =
(
)
2
(
)
2
(
)
2 2 2 2
sin sin cos cos sin cos
+ + = +
a x b x x c x d x x
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
2 2
sin sin cos cos 0
a d x b x x c d x
+ + =
+ + =+ + =
+ + =
(
)
2
Phương trình
(
)
2
cũng dng
(
)
1
, nên ta ch xét dng
(
)
1
. Nếu gp dng
(
)
2
thì ta đưa
v dng
(
)
1
như trên.
Sau đây là cách gii dng
(
)
1
:
Nếu
0
=
a
, 0
b c thì
(
)
1
(
)
cos . sin cos 0
+ =
x b x c x
cos 0
sin cos 0
=
+ =
x
b x c x
Nếu
0
=
c
, 0
b a thì
(
)
1
(
)
sin . sin cos 0
+ =
x a x b x
sin 0
sin cos 0
=
+ =
x
a x b x
Nếu
, , 0
a b c :
Kim tra xem vi
cos 0
=
x
thì
(
)
1
có tha hay không? (
cos 0
=
x
thì
sin 1
= ±
x
). Nếu
tha thì kết lun rng phương trình có 1 h nghim
( )
2
π
π
= +
x k k .
Vi
cos 0
x
, chia 2 vế ca
(
)
1
cho
2
cos
x
, ta được phương trình:
2
tan tan 0
a x b x c
+ + =
+ + =+ + =
+ + =
( )
1
(
)
1
là phương trình bc 2 theo
tanx
, ta đã biết cách gii (Xem phn 2).
Nghim ca
(
)
1
là nghim ca
(
)
1
2
π
π
= +
x k
(nếu có).
Chú ý: Ngoài ra ta th dùng công thc h bc để đưa
(
)
1
v dng phương trình
bc nht theo
sin 2
x
cos 2
x
(Phn 3). Vi:
2
1 cos 2
sin
2
=
x
x ,
2
1 cos 2
cos
2
+
=
x
x ,
1
sin .cos sin 2
2
=
x x x
Phương trình đẳng cp bc 3:
3 2 2 3
sin sin cos .sin cos cos 0
+ + + =
a x b x x c x x d x
Gii tương t như đẳng cp bc 2.
B. BÀI TP MU
Ví d 17. Gii các phương trình sau:
a)
2 2
2sin 5sin cos cos 2
x x x x
=
b)
2 2
4sin 3 3 sin 2 2 cos 4
=
x x x
c)
2
3 sin 2 2cos 1 0
+ =
x x d)
2 2
2 cos 3sin 2 8sin 0
+ =
x x x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
21
2121
21
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
22
2222
22
C. BÀI TP CƠ BN
Bài 34. Gii các phương trình sau:
a)
2 2
2sin sin cos 3cos 0
x x x x
+ =
b)
2 2
3sin 4 sin cos 5cos 2
x x x x
+ =
c)
2 2
1
sin sin 2 2 cos
2
x x x
+ =
d)
2 2
2cos sin 2 4 sin 4
x x x
+ =
e)
2 2
sin 10sin cos 21cos 0
x x x x
+ =
f)
2
cos 3sin cos 1 0
x x x
+ =
g)
2 2
cos 3 sin 2 sin 1
x x x
=
h)
2 2
2cos 3sin cos sin 0
x x x x
+ =
i)
2 2
3sin 2 3 sin cos cos 1 0
x x x x
+ =
j)
2 2
3cos sin cos 2sin 2
x x x x
+ + =
k)
2 2
3cos 3sin cos 2sin 1
x x x x
+ + =
l)
2 2
3 cos sin 2 3 sin 1
x x x
=
m)
2
3 sin 2 2 cos 1 0
x x
+ =
n)
2 2
2cos 3sin 2 8sin 0
x x x
+ =
C. BÀI TP NÂNG CAO
Bài 35. Gii các phương trình sau:
a)
3 3
sin cos sin cos
+ = +
x x x x
b)
3 2 3
sin 2sin cos 3cos 0
+ =
x x x x
c)
4 2 2 4
3cos 4cos sin sin 0
=
x x x x d)
3
sin 4sin cos 0
+ =
x x x
e)
3
2 2 cos 3cos sin 0
4
π
=
x x x
Dng 7. [NC] Phương trình đối xngPhn đối xng
A. PHƯƠNG PHÁP GII
Dng 1:
(
((
(
)
))
)
sin cos sin cos
a x x b x x c+ + =
+ + =+ + =
+ + =
(
1
)
Đặt sin cos 2 sin
4
π
= + = +
t x x x , Điu kin:
2 2
t
2
1 2sin cos
= +
t x x
2
1
sin cos
2
=
t
x x
( )
2
1
1 .
2
+ =
t
at b c
2
2 2 0
+ =
bt at b c
(
)
2
Gii phương trình
(
)
2
, chn nghim tha điu kin:
2 2
t
Gii phương trình sin
4
π
+ =
x t
để tìm
x
.
Dng 2:
(
((
(
)
))
)
sin cos sin cos
a x x b x x c
+ =
+ =+ =
+ =
(
)
1
Đặt sin cos 2 sin
4
π
= =
t x x x , Điu kin:
2 2
t
2
1 2sin cos
=
t x x
2
1
sin cos
2
=
t
x x
( )
2
1
1 .
2
+ =
t
at b c
2
2 2 0
+ =
bt at b c
(
)
2
Gii phương trình (2), chn nghim tha điu kin:
2 2
t
Gii phương trình sin
4
π
=
x t
để tìm
x
.
Dng 3:
sin cos sin cos
a x x b x x c
± + =
± + =± + =
± + =
(
)
1
Đặt
sin cos 2 sin
4
π
= ± = ±
t x x x
Điu kin:
0 2
t
Gii tương t như trên.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
23
2323
23
B. BÀI TP MU
Ví d 18. Gii các phương trình sau:
a)
(
)
5sin 2 12 sin cos 12 0
x x x
+ =
b)
(
)
3 sin cos sin 2 3 0
x x x
+ =
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TP NÂNG CAO
Bài 36. Gii các phương trình sau:
a)
(
)
cos sin 2 sin 2 1 0
x x x
+ =
b)
2 sin cos 3sin 2 2
x x x
+ + =
c)
sin cos 4sin 2 1
x x x
+ =
d)
(
)
tan cot 2 sin cos
x x x x
+ = +
e)
(
)
(
)
1 sin 2 cos sin cos 2
x x x x
+ = f)
(
)
2sin 4 3 sin 2 cos 2 3 0
x x x
+ + + =
g)
1 1 10
cos sin
cos s
in
3
x
x x
x
+ + + =
h)
sin 2 2 sin 1 0
4
x x
π
+ + =
Dng 8. [NC] Phương trình lưng giác kng mu mc
A. PHƯƠNG PHÁP GII
a. Trường hp 1: Tng hai s không âm:
0 0 0
0 0
A B A
A B B
=
+ = =
b. Trường hp 2: Phương pháp đối lp:
A M B A M
A B B M
=
= =
c. Trường hp 3: S dng tính cht:
A M va B N A M
A B M N B N
=
+ = + =
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
24
2424
24
sin sin 2
u v
+ =
sin 1
sin 1
u
v
=
=
sin sin 2
u v
=
sin 1
sin 1
u
v
=
=
sin sin –2
u v
+ =
sin 1
sin 1
u
v
=
=
sin sin –2
u v
=
sin 1
sin 1
u
v
=
=
Tương t cho các trường hp:
cos cos 2
u v
± = ±
cos sin 2
u v
± = ±
d. Trường hp 4: S dng tính cht:
. .
A M va B N A M A M
A B M N B N B N
= =
= = =
. 1
sinu sinv
=
sin 1 sin 1
sin 1 sin 1
u u
v v
= =
= =
. –1
sinu sinv
=
sin 1 sin 1
sin 1 sin 1
u u
v v
= =
= =
Tương t cho các trường hp:
cos .cos 1
u v
= ±
,
sin .cos 1
u v
= ±
,
cos .sin 1
u v
= ±
.
B. BÀI TP
Bài 37. Gii các phương trình sau:
a)
2 2
sin 5 1 cos 3
x x
+ = b)
2 2
sin 2sin 2 sin 3
x x x
+ =
c)
(
)
sin cos 2 2 sin 3
x x x
+ = d)
2 2
2cos 3sin 5 2
x x
= +
e)
( )
2
2
cos 4 cos 2 4 cos 3
x x x
= + f)
sin cos tan cot
x x x x
+ = +
g)
cos5 .sin 3 1
x x
=
h)
sin 2 sin 3 sin 4 3
x x x
+ + =
Dng 9. Phương trình lượng giác có tham s
A. BÀI TP
Bài 38. Tìm
m
để các phương tnh sau:
a)
sin 2 1 0
+ =
m x m
nghim
b)
(
)
cos 2 1 2 1 cos
+ =
m x m m x
có nghim
c)
(
)
sin 1 2 sin+ = +
m x x m
vô nghim
d)
2 2
cos sin .cos 2sin
=
x x x x m
có nghim
e)
(
)
(
)
2 sin 2 cos 2 1
+ = +
m x m x m có nghim
f)
(
)
cos 2 1 sin 2 2
+ + = +
m x m x m nghim
g)
sin cos 1
+ =
x m x
vô nghim
h)
(
)
2 sin cos 2
+ + =
m x m x vô nghim
i)
(
)
2 2
2 cos 2 sin 2 1 0
+ + =
m x m x nghim
j)
(
)
sin 2 4 cos sin
=
x x x m
nghim
Bài 39. Xác định
m
để phương trình:
4 4
2(sin cos ) cos 4 2sin 2 0
+ + + =
x x x x m ít nht mt
nghim thuc đon
0 ;
2
π
.
Bài 40. Cho phương trình:
2sin cos 1
sin 2cos 3
+ +
=
+
x x
a
x x
(
)
1
a) Gii phương trình (1) khi
1
3
=
a b) Tìm
a
để phương trình
(
)
1
có nghim.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
25
2525
25
Bài 41. Cho phương trình:
6 6
2 2
cos sin
tan 2
cos sin
+
=
x x
m x
x x
(
)
1
a) Gii phương trình
(
)
1
khi
13
8
=
m b) Tìm
m
để phương trình
(
)
1
vô nghim.
Dng 10. MT S PHƯƠNG PHÁP GII
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp biến đổi đưa v dng cơ bn
Ví d 19. Gii phương trình
a)
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
+ + =
. b)
(
)
(
)
2cos 1 sin cos 1
x x x
+ =
.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
26
2626
26
2. Phương pháp biến đổi v dng tích
. 0 0
A B A
= =
= == =
= =
hoc
0
B
=
==
=
.
Ví d 20. Gii phương trình
a)
sin 3 3 2 sin 2 cos 2 3sin 2
4
x x x x
π
+ + = + +
. b)
sin 2 cos 2 2sin 1
x x x
=
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
3. Phương pháp biến đổi đưa v tng hai bình phương
2 2
0
0
0
A
A B
B
=
==
=
+ =
+ = + =
+ =
=
==
=
.
Ví d 21. Gii phương trình
a)
2 2
3 tan 4sin 2 3 tan 4sin 2 0
x x x x
+ + =
.
b)
2 2
4cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0
+ + + =
x x x x .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
27
2727
27
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
4. Phương pháp đánh giá hai vế
Phương pp đối lp
A B
A M
B M
=
suy ra
A M
B M
=
=
.
Phương pp phn chng
A B M N
A M
B N
+ = +
suy ra
A M
B N
=
=
.
Ví d 22. Gii phương trình
a)
(
)
(
)
sin 3 cos 2sin 3 cos3 1 sin 2 cos 3 0
x x x x x x
+ + =
.
b)
( )
2
os 2 cos 4 2sc
6 in 3
x x x
= + .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
28
2828
28
Ví d 23. Gii phương trình
a)
2010 2010
sin cos 1
x x
+ =
. b)
8 11
sin cos 1
x x
+ =
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví d 24. Gii phương trình
a)
cos 3 3 sin cos 7
x x x
= . b)
2 2 5
tan cot 2sin
4
x x x
π
+ = +
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
29
2929
29
Ví d 25. Gii phương trình
a)
(
)
2 2
cos3 2 cos 3 2 1 sin 2
x x x
+ = + . b)
2 2
sin 2 sin sin 2 sin 3
x x x x
+ + =
.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
5. Phương pháp đặt n ph
Ví d 26. Gii phương trình
a)
( )
3
6sin 2sin 3 1 162sin 27
x x x
+ =
b)
2 3 2 3
an an an cot cot
6
t t t cotx x x x x x
+ + + + + =
.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
30
3030
30
Ví d 27. Gii phương trình
a)
(
)
2 2
3cot 2 2 sin 2 3 2 c
os
x x
x
+ = +
. b)
sin 2 cos 2 tan 2
x x x
+ + =
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
6. Phương pháp đổi biến s
Ví d 28. Gii phương trình
a)
3
2 2 cos 3cos sin 0
4
x x x
π
=
. b)
3
8cos cos 3
3
x x
π
+ =
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
31
3131
31
Ví d 29. Gii phương trình
a)
(
)
3 sin 2 cos sin cos 2 2
x x x x
+ =
. b)
sin 3 4 cos 3 0
6
x x
π
=
.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
7. Phương pháp nhân – chia thêm bt
Ví d 30. Gii phương trình
a)
1
cos cos 2 cos3 cos 4 cos 5
2
x x x x x
+ + + + =
. b)
( )
2
1
sin 3 1 4sin
2
x x
=
.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
32
3232
32
Ví d 31. Gii phương trình
a)
3
5
sin 5 cos sin
2 2
x x
x= . b)
(
)
2cos3 2 cos 2 1 1
x x
+ =
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
B. BÀI TP
Bài 42. Gii các phương trình sau:
a)
2 2 2
sin sin 2 sin 3
+ =
x x x
b)
2 2 2 2
sin 4 sin 3 sin 2 sin 2
+ + + =
x x x x
c)
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2
+ + + =
x x x x
d)
2 2 2 2
sin sin 2 cos 3 cos 4
+ = +
x x x x
e)
(
)
2 2 2
2cos 2 cos 2 2 cos 3 3 cos 4 2sin 2 1
x x x x x
+ + = +
Bài 43. Gii các phương trình sau:
a)
4sin 3 sin 5 2sin cos 2 0
+ =
x x x x
b)
cos 2 cos8 cos 6 1
+ =
x x x
c)
sin sin 2 sin3 sin 4 0
+ + + =
x x x x
d)
sin 2 cos 2 sin 3 cos3
+ + =
x x x x
e)
sin 6 .sin 2 sin 5 .sin
=
x x x x
f)
cos8 .cos5 cos 7 .cos 4
=
x x x x
g)
sin 7 .cos sin 5 .cos3
=
x x x x
h)
sin 3 sin 5 sin 7 0
+ + =
x x x
i)
1 cos cos 2 cos3 0
+ + + =
x x x
j)
3 2sin .sin 3 3cos 2
+ =
x x x
k)
sin sin 2 sin3 1 cos cos 2 cos3
+ + = + + +
x x x x x x
l)
sin sin 2 sin3 cos cos 2 cos3
+ + = + +
x x x x x x
Bài 44. Gii các phương trình sau:
a)
4 6
cos2 4sin 8cos
+ =
x x x
b)
sin 2 sin 5 cos
=
x x x
c)
tan cot 2 2 cot 4
+ =
x x x
d)
2
2cos sin10 1
+ =
x x
e)
tan tan 2 sin 3 .cos
+ =
x x x x
f)
5tan 2cot 3
=
x x
g)
(
)
(
)
1 tan 1 sin 2 1 tan
+ = +
x x x
h)
3
4sin sin cos
= +
x x x
i)
1 cos 2 sin 2
cos 1 cos2
+
=
x x
x x
j)
cos 2
sin cos
1 sin 2
+ =
x
x x
x
k)
1 1 2
cos2 sin 2 sin 4
+ =
x x x
l)
4 4
3 cos 6
sin cos
4
+ =
x
x x
m)
2 2
2 tan 3tan 2cot 3cot 3 0
+ + =
x x x x
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
33
3333
33
Phn 3 - BÀI TP TNG HP CHUYÊN Đ 1
Bài 45. Gii phương trình
a)
2sin 3 3 0
x
=
. ĐS:
2
9 3
x k
π π
= + ;
2 2
9 3
x k
π π
= + ,
(
)
k
b)
(
)
2
cos 30 2 cos 15 1
x
+ ° + ° =
. ĐS:
180 360
x k
= ° + °
;
240 360
x k
= ° + °
,
(
)
k
c)
tan 2 0
2
x
+ =
. ĐS:
(
)
2 arctan 2 2
x k
π
= + ,
(
)
k
d)
2sin 2 3 0
3
x
π
+ =
. ĐS: vn
Bài 46. Gii phương trình
a)
3 sin cos 2
x x+ = . ĐS:
2
12
x k
π
π
= + ;
7
2
12
x k
π
π
= + ,
(
)
k
b)
3 cos sin 1
x x
=
. ĐS:
2
6
x k
π
π
= + ;
2
2
x k
π
π
= + ,
(
)
k
c)
3sin 4 cos 5
x x
+ =
. ĐS:
2
2
x k
π
α π
= + ,
(
)
k
d)
3sin 4 cos 6
x x
+ =
. ĐS: vn
Bài 47. Gii phương trình
a)
3 sin 3 cos 3 2 cos 2
x x x
+ = . ĐS:
2
15 5
π π
= x k ;
2
3
π
π
=
x k
,
(
)
k
b)
3 cos sin 2sin 2
2 2
π π
+ =
x x x
. ĐS:
2
18 3
π π
= +x k ;
5
2
6
π
π
=
x k
,
(
)
k
Bài 48. Gii phương trình
a)
cos 2 3 sin 2 3 cos sin
x x x x
+ = . ĐS:
2
2
x k
π
π
= + ;
2
18 3
x k
π π
= + ,
(
)
k
b)
cos 2 3 sin 2 3 sin cos 0
+ =
x x x x . ĐS:
2
x k
π
=
;
2 2
9 3
x k
π π
= + ,
(
)
k
c)
cos 2 3 sin 2 3 sin cos 4
x x x x
+ + =
. ĐS: vn
d)
cos 2 3 sin 2 3 sin cos 2
x x x x
+ + =
ĐS:
6
x k
π
π
= + ;
2
3
x k
π
π
= + ;
2
x k
π π
= +
Bài 49. Gii phương trình
a)
2
2sin 2 7sin 2 3 0
6 6
x x
π π
+ =
. ĐS:
6
x k
π
π
= + ;
2
x k
π
π
= + ,
(
)
k
b)
2
2cos 3 2 cos 2 0
3 3
x x
π π
+ =
. ĐS:
2
12
k
x
π
π
= ;
7
2
12
k
x
π
π
= ,
(
)
k
c)
(
)
2
tan 1 3 tan 3 0
x x
+ + =
. ĐS:
4
x k
π
π
= + ;
3
x k
π
π
= + ,
(
)
k
d)
( )
6 6
4 sin cos cos 2 0
2
x x x
π
+ =
. ĐS:
4
x k
π
π
= + ,
(
)
k
Bài 50. Gii phương trình
a)
(
)
2 2
sin 3 1 sin cos 3 cos 0
x x x x
+ + =
. ĐS:
4
x k
π
π
= + ;
3
x k
π
π
= + ,
(
)
k
b)
2 2
3sin 5cos 2 cos 2 4sin 2 0
x x x x
+ =
. ĐS:
4
x k
π
π
= + ;
3
arctan
5
x k
π
= + ,
(
)
k
Bài 51. Gii phương trình
a)
(
)
2 2
sin 3 1 sin cos 3 cos 1
x x x x
+ + =
. ĐS:
2
x k
π
π
= + ;
(
)
arctan 2 3
x k
π
= +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
34
3434
34
b)
(
)
2 2
sin 3 1 sin cos 3 cos 3
x x x x + + =
. ĐS:
x k
π
=
;
(
)
arctan 2 3
x k
π
= +
c)
(
)
(
)
2 2
2sin 1 3 sin cos 1 3 cos 1
x x x x
+ + =
. ĐS:
4
x k
π
π
= + ;
3
x k
π
π
= +
d)
2 2
3 cos 2sin cos 3 sin 1
x x x x
+ =
. ĐS:
4
x k
π
π
= + ;
(
)
arctan 2 3
x k
π
= + +
Bài 52. Gii phương trình
a)
(
)
( )
2 2 sin cos 2sin cos 2 2 1 0
x x x x
+ + =
. ĐS:
2
4
x k
π
π
= + ,
(
)
k
b)
3 3
3
1 sin cos sin 2
2
x x x
+ + = . ĐS:
2
2
x k
π
π
= + ;
2
x k
π π
= +
,
(
)
k
c)
(
)
ossin 2 4 c s n
4
ix xx
+ =
. ĐS:
2
x k
π
=
;
2
2
x k
π
π
= + ,
(
)
k
d) in cos
s 4sin 2 1
x
x x
+ =
. ĐS:
2
x k
π
= ,
(
)
k
Bài 53. Gii phương trình:
a)
cos 2 3 cos 5sin 3 sin 2 3
x x x x
+ + = +
. ĐS:
2
6
x k
π
π
= + ;
5
2
6
x k
π
π
= + ,
(
)
k
b)
3 3 2
sin cos 2 cos 1
x x x
+ + =
. ĐS:
4
x k
π
π
= + ;
2
2
π
π
= +
x k
;
2
π
=
x k
,
(
)
k
c)
2 2 2
4sin 1 8sin cos 4cos 2
x x x x
+ = + . ĐS:
2
3
x k
π
π
= ± + ;
2 2
9 3
x k
π π
= ± + ,
(
)
k
e) sin 3 sin 2 sin
4 4
x x x
π π
= +
. ĐS:
4 2
x k
π π
= + ,
(
)
k
f)
sin 3 sin 2 sin 1 cos 3 cos 2 cos
x x x x x x
+ + + = +
. ĐS:
4
x k
π
π
= + ;
2
x k
π π
= +
;
2
3
x k
π
=
g)
2 2
sin 7 sin 9 2 cos cos 2
4 4
x x x x
π π
+ = +
. ĐS:
2
x k
π
π
= + ;
2
5
x k
π
= ;
2
11 11
x k
π π
= +
h)
cos3 2 sin 2 cos sin 1 0
x x x x
=
. ĐS:
2
2
x k
π
π
= + ;
12
x k
π
π
= + ;
7
12
x k
π
π
= +
i) 1 sin cos 2cos
2 4
x
x x
π
+ + =
. ĐS:
3
2
2
x k
π
π
= + ;
4
2
x k
π
π
= ± + ,
(
)
k
j)
2 2 2 2
3
3sin cos sin cos sin cos 3sin cos
2 2
x x x x x x x x
π π
+ + =
.
ĐS:
4
x k
π
π
= + ;
6
x k
π
π
= ± +
k)
2 4
4sin sin sin 4 3 cos cos cos 2.
3 3 3 3
x x x x x x
π π π π
+ + + + =
ĐS:
2
18 3
x k
π π
= +
l)
3
6sin 2 cos 5sin 2 cos
x x x x
= . ĐS:
4
x k
π
π
= + ,
(
)
k
m)
5
5cos 2 4 sin 9
3 6
x x
π π
+ =
. ĐS:
2
3
x k
π
π
= ,
(
)
k
n)
2
cos 3 cos 4 cos 1
3 3
x x x
π π
+ + + =
. ĐS:
2
x k
π
=
;
2
6
x k
π π
= + ;
2
9 3
x k
π π
= +
o)
sin 4 cos 3 cos 4sin 2
x x x x
+ + = +
ĐS:
2
6
x k
π
π
= + ;
7
2
6
x k
π
π
= + ;
2
x k
π
=
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
35
3535
35
p)
2cos 6 2cos 4 3 cos 2 sin 2 3
x x x x+ = + . ĐS:
2
x k
π
π
= + ;
18 3
x k
π π
= ;
6 2
x k
π π
= +
q)
1 3cos cos 2 2 cos3 4 sin sin 2
x x x x x
+ + =
. ĐS:
2
x k
π
π
= + ;
2
2
3
x k
π
π
= ± +
r)
2
2cos 2 3 sin cos 1 3sin 3 3 cos
x x x x x
+ + = + . ĐS:
3
π
π
= +
x k
,
(
)
k
s)
4sin 3 sin 5 2 sin cos 2 0
x x x x
+ =
ĐS:
3
x k
π
= ,
(
)
k
t)
( )
cot 3 cos sin 1 0
4
x x
π
+ =
. ĐS:
2
2
x l
π
π
= + ;
2
6
x l
π
π
= + ,
(
)
l
u)
( )
( )
2 2
1
sin 2 cos 2 1 3cos 2 sin 2
4
x x x x
+ + = +
. ĐS:
2
x k
π
=
,
(
)
k
v)
(
)
2
2sin 2 3 sin cos 1 3 cos 3 sin
x x x x x
+ =
. ĐS:
6
x k
π
π
= + ,
(
)
k
w)
( ) ( )
2 2sin 1 4 sin 1 cos 2 sin 2
4 4
x x x x
π π
= + +
ĐS:
2
2
x k
π
π
= + ,
(
)
k
x)
2
2 cos3 2sin 1 sin 2
x x x
+ = +
. ĐS:
2
4
x k
π
π
= + ;
2
20 5
x k
π π
= + ,
(
)
k
y)
2
2sin sin 2 2 2 sin sin 3
4
x x x x
π
+ = +
. ĐS:
x k
π
=
;
8 2
x k
π π
= + ,
(
)
k
z)
5
2 2 cos sin 1
12
x x
π
=
. ĐS:
6
x k
π
π
= + ;
3
4
x k
π
π
= + ,
(
)
k
Bài 54. Gii phương trình:
a)
2 2
sin 2 3 cos 2
1
sin 3cos
x x
x x
+
=
. ĐS:
4
x k
π
π
= + ,
(
)
k
b)
2 cos 2 sin 2 1
1 2sin 2 sin cos
sin cos 6
x x
x x x
x x
π
= + +
+
. ĐS:
x k
π
=
;
5
2
6
x k
π
π
= + ,
(
)
k
c)
1 cos 3
cot 2sin 3
2 sin 2 sin 3
x x
x
x x
π
+
= +
. ĐS:
6
x k
π
π
= ;
6 2
x k
π π
= + ,
(
)
k
d)
1
7 tan cot 2 3 3
sin 2
x x
x
+ = +
. ĐS:
3
x k
π
π
= + ,
(
)
k
e)
( )
( )
4 4
1
tan cot 2 1 sin 4 sin cos
2 2
x x x x x
π
+ = +
ĐS:
(
)
1
arccos 3 14
2
x k
π
= ± + ,
(
)
k
f)
( )
tan cos3 2cos 2 1
3 sin 2 cos
1 2sin
x x x
x x
x
+
= +
. ĐS:
2
6
x k
π
π
= + ;
7
2
6
x k
π
π
= + ,
(
)
k
g)
( )
sin 3
sin 2 cos 2 tan sin cos
cos
x
x x x x x
x
+ = + .
ĐS:
4
x k
π
π
= + ;
2
6
x k
π
π
= + ;
5
2
6
x k
π
π
= +
h)
2
tan 3 tan 5 2 tan 3 tan 5 0
x x x x
+ =
. ĐS:
x k
π
=
,
(
)
k
i)
( )
sin 2 cot 3 sin 2 2 cos5 0
2
x x x x
π
π
+ + + =
.
ĐS:
10 5
x k
π π
= + ;
2
12 3
x k
π π
= + ;
2
4 3
x k
π π
= +
j)
sin cos
2 tan 2 cos 2 0
sin cos
x x
x x
x x
+
+ + =
. ĐS:
2
x k
π
= ,
(
)
k
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
36
3636
36
k)
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
=
. ĐS:
4 2
x k
π π
= + ,
(
)
k
l)
1 2 2
cos3 1 4cos cos
cos 3 3
x x x
x
π π
+ = + +
ĐS:
2
x k
π
=
;
2
3
x k
π
= ,
(
)
k
m)
(
)
( )
6 6
16 sin cos 3sin 4 2 2 1 tan tan 2 10
x x x x x
+ + + =
.
ĐS:
24 3
x k
π π
= ;
8
3
x k
π
π
=
n)
( )
( )
4 4
1
tan cot 2 1 sin 4 sin cos
2 2
x x x x x
π
+ = +
. ĐS:
(
)
1
arccos 3 14
2
x k
π
= ± +
o)
( )
2
2
3 2 cos 2sin
2 4
1
4sin 1
2
x
x
x
π
=
. ĐS:
2
6
x k
π
π
= + ,
(
)
k
p)
sin 3 cos 3
7 cos 4 cos 2
2sin 2 1
x x
x x
x
=
. ĐS:
2
6
x k
π
π
= + ;
5
2
6
x k
π
π
= + ,
(
)
k
q)
sin 2 1
2 cos
sin cos
2 tan
x
x
x x
x
+ =
+
. ĐS:
2
4
x k
π
π
= + ;
5
2
12
x k
π
π
= + ;
11
2
12
x k
π
π
= +
r)
(
)
( )
2
3 tan sin
2cos 1 cos 2sin
tan sin
x x
x x x
x x
+
+ =
. ĐS:
2
2
3
x k
π
π
= ± + ,
(
)
k
Bài 55. Cho phương trình
(
)
(
)
2
cos 1 cos 2 cos sin
x x m x m x
+ = . Tìm
m
để phương trình đúng hai
nghim trên
2
0;
3
π
. ĐS:
1 1/2
m
<
Bài 56. Tìm
m
để phương trình
(
)
2 sin cos 2
m x m x
+ + =
có nghim. ĐS:
2
m
hoc
0
m
Bài 57. Tìm
m
để phương trình
(
)
(
)
(
)
2 2
3 2 sin 5 2 sin 2 3 2 1 cos 0
m x m x m x
+ + =
vô nghim.
ĐS:
1
m
hoc
10/7
m
Bài 58. Cho phương trình
(
)
sin cos 1 1 sin 2
m x x x
+ + = + . m
m
để phương trình nghim thuc
đon
0;
2
π
. ĐS:
1 2
2
2 1
m
+
Bài 59. Gii phương trình
2 3
2
2
cos cos 1
cos 2 tan
cos
x x
x x
x
= và tính tng các nghim trên đon
[
]
2000; 2015
ca phương trình đó. ĐS:
5751
π
Bài 60. Tìm nghim thuc khong
(
)
0; 2
π
ca phương trình ĐS:
/3
x
π
=
;
4 /3
x
π
=
( )
(
)
3
sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos 2 8 3 cos sin 3 3
x x x x x x+ + =
.
Bài 61. Tìm nghim thuc đon
; 2
2
π
π
ca phương trình
5 7
sin 2 3cos 1 2 sin
2 2
x x x
π π
+ = +
.
ĐS:
5 /6
x
π
=
;
x
π
=
;
2
x
π
=
Bài 62. Tìm nghim thuc na khong
;
6
π
π
ca phương trình ĐS:
3 /4
x
π
=
;
5 /6
x
π
=
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sin 0
x x x x x
+ =
.
Bài 63. Tìm nghim thuc na khong
2
;
3
π
π
ca phương trình
1
2 tan cot 2 2sin 2
sin 2
x x x
x
+ = + . ĐS:
2
π/3
x
=
;
/3
x
π
=
;
/3
x
π
=
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
37
3737
37
Phn 4 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ-THPTQG
Dạng1. Côngthứclượnggiác

Bài 64. Tính giá tr ca biu thc
(
)
(
)
1 3cos 2 2 3cos 2
P
α α
= + biết
2
sin
3
α
=
.
THPT Quc gia 2015 ĐS: P = 14/9
Bài 65. Tính giá tr ca biu thc
4 4
sin cos
P
α α
= + biết
2
sin 2
3
α
=
.
THPT Quc gia 2015 – Đề d b ĐS: P = 7/9
Bài 66. Choc
α
tha mãn
2
π
α π
< <
3
sin
5
α
=
. Tính
2
tan
1 tan
A
α
α
=
+
.
THPT Quc gia 2015 – Đề minh ha ĐS: A = – 12/25
Bài 67. Choc
α
tha mãn
3
2
2
π
α π
< <
2
cos
3
α
=
. Tính
2
cot
1 cot
A
α
α
=
+
.
THPT Quc gia 2015 – Đề minh ha ĐS:
2 5 / 9
A =
Bài 68. Cho
4
cos
5
α
=
,
0
2
π
α
< <
. Tính giá tr ca biu thc sin cos
4 4
A
π π
α α
= +
.
Thi th THPTQG 2015 – THPT Th Đức ĐS: A = 49/50
Bài 69. Cho
3
cos
5
x
=
,
3
2
x
π
π
< <
. Tính giá tr ca biu thc sin
6
A x
π
=
.
Thi th THPTQG 2015 – SGDĐT Cn Thơ ĐS:
(3 4 3) /10
A =
Bài 70. Cho
( )
1
sin
3
π α
+ =
,
2
π
α π
< <
. Tính giá tr ca biu thc
7
tan
2
A
π
α
=
.
Thi th THPTQG 2015 – THPT Hai Bà Trưng, Huế ĐS:
2 2
A =
Bài 71. Choc
α
tha mãn
2
2
π
α π
< < và
tan 1
4
π
α
+ =
. Tính
cos sin
6
A
π
α α
= +
.
Thi th THPTQG 2015 – THPT Hùng Vương, Phú Th ĐS:
3 / 2
A =
Bài 72. Biết rng s thc ;
2
π
α π
và tha mãn
7
sin 2
9
α
=
.
Tính giá tr ca biu thc
2 2
cos 4 cos 4 sin 4sin 4
A
α α α α
= + + +
.
Thi th THPTQG 2015 – THPT chuyên ĐH Vinh ln 3 ĐS: A = 16/3
Bài 73. Choc
α
tha mãn 0
4
π
α
< <
5
sin cos
2
α α
+ = . Tính
sin cos
α α
.
Thi th THPTQG 2015 – SGDĐT Qung Nam ĐS:
3 / 2
A =
Bài 74. Cho 0
4
x
π
< <
3
4
x y
π
= . nh giá tr ca biu thc
(
)
(
)
1 tan 1 tan
A x y
= + .
Thi th
THPTQG 2015 – SGDĐT Vĩnh Long ĐS: A = 2
Bài 75. Cho
tan 2
α
=
2
π
α π
< <
. Tính giá tr ca biu thc
2sin 3cos
5cos 7 sin
A
α α
α α
+
=
.
Thi th THPTQG 2015 – THPT chuyên Vĩnh Phúc ln 2 ĐS:
1/19
A
=
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
38
3838
38
Dạng2. Đưavềphươngtrìnhtích

Bài 76. Gii phương trình:
sin 2 3 sin
x x
=
ĐH M TpHCM ĐS:
2
6
x k x k
π
π π
= = ± +
Bài 77. Gii phương trình:
2
2 tan cot 3
sin 2
x x
x
+ = +
ĐH Ngoi Thương - 97 ĐS:
π/3
x k
π
= +
Bài 78. Gii phương trình:
(
)
(
)
2
2sin 1 2 sin 2 1 3 4cos
x x x
+ =
THKT Y Tế - 97 ĐS:
5
2 2 2
6 6 3
x k x k x k x k
π π π
π π π π
= = + = + = ± +
Bài 79. Gii phương trình:
tan cot 4
x x
+ =
ĐH An Ninh - 97 ĐS:
5
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 80. Gii phương trình:
(
)
(
)
1 sin 2 cos sin cos 2
x x x x
+ =
ĐH DL NN TH TpHCM - 98 ĐS:
2 2
4 2 2
x k x k x k
π π π
π π
= + = + =
Bài 81. Gii phương trình:
( )
3
2
cos 2 2 sin cos 3sin 2 3 0
x x x x
+ + =
ĐH Quc gia TpHCM khi A - 99 ĐS:
2 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
= + = + =
Bài 82. Gii phương trình:
(
)
(
)
2
cos 1 cos 2 2 cos 2sin
x x x x
+ =
ĐH Quc gia TpHCM khi D - 99 ĐS:
2
x k
π π
= +
Bài 83. Gii phương trình:
2
sin5 sin 9 2sin 1
x x x
+ + =
ĐH DL NN TH TpHCM - 99 ĐS:
2 5 2
4 2 42 7 42 7
x k x k x k
π π π π π π
= + = + = +
Bài 84. Gii phương trình:
sin .cot 5
1
cos9
x x
x
=
ĐH Huế - 99 ĐS:
π/20 π/10
x k
= +
Bài 85. Gii phương trình:
(
)
2
sin 2 cot tan 2 4 cos
x x x x
+ =
ĐH M - Địa cht HN - 00 ĐS:
12 6 3
x k x k
π π π
π
= + = ± +
Bài 86. Gii phương trình:
(
)
(
)
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4 cos 3
x x x x
+ + + =
ĐH Hàng Hi - 00 ĐS:
7
2 2
2 6 6
x k x k x k
π π π
π π
= = + = +
Bài 87. Gii phương trình:
2
1 cos
tan
cos
x
x
x
+
=
ĐH Đà Nng - 01 ĐS:
2 2
3
x k x k
π
π π π
= + = ± +
Bài 88. Gii phương trình:
sin 2 .sin 3 sin 2 .cos
x x x x
=
ĐH DL Duy Tân - 01 ĐS:
2 3
k
x x k
π π
π
= = +
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
39
3939
39
Bài 89. Gii phương trình:
3sin 2 cos 2 3 tan
x x x
+ = +
HV Quân Y - 01 ĐS:
2
2 arctan
3
x k x k
π π
= = +
Bài 90. Tìm nghim thuc đon
[
]
0;14
ca phương trình:
cos3 4 cos 2 3cos 4 0
x x x
+ =
ĐH Khi D - 02 ĐS:
3 5 7
2 2 2 2
x x x x
π π π π
= = = =
Bài 91. Gii phương trình:
2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
x
x x x x x
+ = +
D b ĐH Khi B - 02 ĐS:
2
x k
π
=
Bài 92. Gii phương trình:
(
)
2
4
4
2 sin 2 sin 3
tan 1
cos
x x
x
x
+ =
D b ĐH Khi B - 02 ĐS:
2 5 2
18 3 18 3
x k x k
π π π π
= + = +
Bài 93. Gii phương trình:
(
)
3 tan tan 2sin 6cos 0
x x x x
+ + =
D b ĐH Khi A - 03 ĐS:
3
x k
π
π
= ± +
Bài 94. Gii phương trình:
(
)
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
= +
+
D b ĐH Khi D - 03 ĐS:
2 2
2
x k x k
π
π π π
= + = +
Bài 95. Gii phương trình:
1 1
2 2 cos
4 sin cos
x
x x
π
+ + =
D b ĐH Khi B - 04 ĐS:
4
x k
π
π
= ± +
Bài 96. Gii phương trình:
(
)
(
)
2sin 1 2 cos sin sin 2 cos
x x x x x
+ =
CĐ Điu Dưỡng - 04 ĐS:
5
2 2
6 6 4
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 97. Gii phương trình:
2 2
4cos 2 cos 2 1 cos 4
x x x
= +
CĐ SP Ninh Bình - 04 ĐS:
2
3 3
π π
π π
= + = +x k x k
Bài 98. Gii phương trình:
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
=
CĐ SP Bc Ninh - 04 ĐS:
4 2
x k
π π
= +
Bài 99. Gii phương trình:
(
)
(
)
2
2sin 1 2 cos 2 2sin 3 4sin 1
x x x x
+ + =
CĐ GTVT III - 04 ĐS:
5
2 2
6 6 2
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 100. Gii phương trình:
(
)
2 4
cos .sin cos 2 2cos sin cos 1
x x x x x x
+ = +
C
Đ KTKH Đà Nng - 04 ĐS:
π/2
x k
=
Bài 101. Gii phương trình:
(
)
(
)
2cos 1 2sin cos sin 2 sin
x x x x x
+ =
ĐH Khi D - 04 ĐS:
2
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
40
4040
40
Bài 102. Gii phương trình:
3 sin
tan 2
2 1 cos
x
x
x
π
+ =
+
D b ĐH Khi D - 05 ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 103. Gii phương trình:
sin 2 cos 2 3sin cos 2 0
x x x x
+ + =
D b ĐH Khi D – 05 ĐS:
5
2 2 2 2
2 6 6
x k x k x k x k
π π π
π π π π π
= + = + = + = +
Bài 104. Gii phương trình:
cot sin 1 tan .tan 4
2
x
x x x
+ + =
ĐH Khi B - 06 ĐS:
5
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 105. Gii phương trình:
(
)
(
)
2 2 2
2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0
x x x
+ =
D b ĐH Khi B - 06 ĐS:
6 2
x k
π π
= ± +
Bài 106. Gii phương trình:
(
)
(
)
cos 2 1 2cos sin cos 0
x x x x
+ + =
D b ĐH Khi B - 06 ĐS:
2 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π π
= + = + = +
Bài 107. Gii phương trình:
3 3 2
cos sin 2 sin 1
x x x
+ + =
D b ĐH Khi D - 06 ĐS:
2 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
= + = = +
Bài 108. Gii phương trình:
4 4
2
cos sin
1 sin 2
2 2
sin 2
2sin
4
x x
x
x
x
π
+
=
+
CĐ Xây Dng s 3 - 06 ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 109. Gii phương trình:
1
cos .cos 2 .sin 3 sin 2
4
x x x x
=
CĐ Tài Chính Hi Quan - 07 ĐS:
2 5
x k x k
π π
π
= + =
Bài 110. Gii phương trình:
1 1
2 sin
cos sin 4
x
x x
π
+ = +
CĐ Công Ngh Thc Phm - 07 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 111. Gii phương trình:
1 sin cos tan 0
x x x
+ + + =
H CĐĐH Sài Gòn Khi B - 07 ĐS:
2
4
x k x k
π
π π π
= + = +
Bài 112. Gii phương trình:
(
)
(
)
1 tan 1 sin 2 1 tan
x x x
+ = +
D b ĐH Khi D - 07 ĐS:
π/4
x k x k
π π
= = +
Bài 113. Gii phương trình:
sin 2 cos 2 3sin cos 2 0
x x x x
+ + =
CĐSP TW - 07 ĐS:
5
2 2 2 2
6 6 2
x k x k x k x k
π π π
π π π π π
= + = + = + = +
Bài 114. Gii phương trình:
(
)
2sin 1 cos 2 sin 2 1 2 cos
x x x x
+ + = +
ĐH Khi D - 08 ĐS:
2
2
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
41
4141
41
Bài 115. Gii phương trình:
2
3sin cos 2 sin 2 4sin cos
2
x
x x x x+ + =
D b ĐH Khi B - 08 ĐS:
7
2 2 2
2 6 6
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 116. Gii phương trình:
2
tan cot 4cos 2
x x x
= +
D b ĐH Khi A - 08 ĐS:
4 2 8 2
x k x k
π π π π
= + = +
Bài 117. Gii phương trình:
2
sin 2 sin
4 4 2
x x
π π
= +
D b ĐH Khi A - 08 ĐS:
2
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Bài 118. Gii phương trình:
1
2sin sin 2
3 6 2
x x
π π
+ =
D b ĐH Khi B - 08 ĐS:
2
3 2
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 119. Gii phương trình:
2
2
tan tan 2
sin
tan 1 2 4
x x
x
x
π
+
= +
+
D b ĐH Khi D - 08 ĐS:
5
2 2
4 6 6
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 120. Gii phương trình:
( )
2
1 2sin cos 1 sin cos
x x x x
+ = + +
CĐ Khi A,B,D - 09 ĐS:
5
2
2 12 12
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 121. Gii phương trình:
(
)
sin2 cos 2 cos 2cos 2 sin 0
x x x x x
+ + =
ĐH Khi B - 10 ĐS:
π/4 π/2
x k
= +
Bài 122. Gii phương trình:
sin2 cos 2 3sin cos 1 0
x x x x
+ =
ĐH Khi D - 10 ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 123. Gii phương trình:
2
1 s in2 cos 2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+
ĐH Khi A - 11 ĐS:
2
2 4
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 124. Gii phương trình:
sin 2 cos sin cos cos 2 sin cos
x x x x x x x
+ = + +
ĐH Khi B - 11 ĐS:
2
2
2 3 3
x k x k
π π π
π
= + = +
Bài 125. Gii phương trình:
sin2 2 cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+
=
+
ĐH Khi D - 11 ĐS:
π/3 2
x k
π
= +
Bài 126. Gii phương trình:
2cos 2 sin sin 3
x x x
+ =
.
CĐ Khi A, A1, B, D - 12 ĐS:
2
4 2 2
x k x k
π π π
π
= + = +
Bài 127. Gii phương trình: 1 tan 2 2 sin
4
x x
π
+ = +
ĐH Khi A, A1 - 13 ĐS:
2
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
42
4242
42
Bài 128. Gii phương trình:
cos sin 2 0
2
x x
π
+ =
CĐ Khi A, A1, B, D - 13 ĐS:
2
2
3
x k x k
π
π π
= + =
Bài 129. Gii phương trình:
sin 4 cos 2 sin 2
x x x
+ = +
ĐH Khi A, A1 - 14 ĐS:
2
3
x k
π
π
= ± +
Bài 130. Gii phương trình:
(
)
2 sin 2 cos 2 sin 2 x
x x =
ĐH Khi B - 14 ĐS:
3
2
4
x k
π
π
= ± +
Dạng3. Biếnđổitổngthànhtích-tíchthànhtổng

Bài 131. Gii phương trình:
( )
51
sin 2 50 cos 3 sin
2
x x x
π
π
+ + + =
CĐSP Thái Bình Khi D - 99 ĐS:
2
3
x k x k
π
π π
= = ± +
Bài 132. Gii phương trình:
sin s in2 sin 3 cos cos 2 cos 3
x x x x x x
+ + = + +
ĐH Ngoi Thương - 99 ĐS:
2
2
8 2 3
x k x k
π π π
π
= + = ± +
Bài 133. Gii phương trình:
1 cos 2 cos3 2 cos .cos 2
x x x x
+ + =
ĐH Đà Nng - 99 ĐS:
2
2 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Bài 134. Gii phương trình:
3cos cos 2 cos3 1 2 sin .sin 2
x x x x x
+ + =
ĐH Tây Nguyên - 99 ĐS:
2
2
x k x k
π
π π π
= + = +
Bài 135. Gii phương trình:
cos cos 2 cos3 cos 4 0
x x x x
+ + + =
ĐH Lâm Nghip - 99 ĐS:
2
2
2 5 5
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 136. Gii phương trình:
sin cos 2 cos 4 0
x x x
+ =
ĐH M Thut CN - 99 ĐS:
2 7 2
18 3 18 3
x k x k x k
π π π π
π
= = + = +
Bài 137. Gii phương trình:
sin sin 2 sin 3 0
x x x
+ + =
PV Ngân Hàng TpHCM - 01 ĐS:
2
2
2 3
x k x k
π π
π
= = ± +
Bài 138. Gii phương trình:
1 sin cos3 cos sin 2 cos 2
x x x x x
+ + = + +
ĐH Ngoi Thương - 01 ĐS:
7
2 2 2
6 6 3
x k x k x k x k
π π π
π π π π
= = + = + = ± +
Bài 139. Gii phương trình:
1 cos cos 2 cos 3 0
x x x
+ + + =
ĐH Nông Lâm TpHCM - 01 ĐS:
2 2
2 3
x k x k x k
π π
π π π π
= + = + = ± +
Bài 140. Gii phương trình:
2sin .cos 2 sin 2 .cos sin 4 .cos
x x x x x x
+ =
D b ĐH Khi D - 04 ĐS:
π/3
x k
=
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
43
4343
43
Bài 141. Gii phương trình:
2
sin 4 .sin 2 sin 9 .sin 3 cos
x x x x x
+ =
CĐ Lương Thc Thc Phm - 04 ĐS:
12 6
π π
= +
x k
Bài 142. Gii phương trình:
cos .cos 7 cos3 .cos5
x x x x
=
CĐ KT K Thut 1 - 04 ĐS:
π/4
x k
=
Bài 143. Gii phương trình:
1 sin cos sin 2 cos 2 0
x x x x
+ + + + =
ĐH Khi B - 05 ĐS:
2
2
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Bài 144. Gii phương trình:
cos cos 3 sin 4
x x x
+ =
CĐ Kinh Tế CN - 06 ĐS:
2
2
6 3 2 4 2
x k x k x k
π π π π π
π
= + = + = +
Bài 145. Gii phương trình:
7 3 5
sin .cos sin .cos sin 2 .cos 7 0
2 2 2 2
x x x x
x x
+ + =
CĐ Bán công Hoa Sen - 06 ĐS:
6
x k
π
=
Bài 146. Gii phương trình:
cos3 cos 2 cos 1 0
x x x
+ =
ĐH Khi D - 06 ĐS:
2
3
x k x k
π
π
= =
Bài 147. Gii phương trình:
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
π π
=
D b ĐH Khi B - 07 ĐS:
2
2 2
3 3 2
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 148. Gii phương trình:
2 2 sin cos 1
12
x x
π
=
D b ĐH Khi D - 07 ĐS:
4 3
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 149. Gii phương trình:
1 cos8
sin 2 .sin cos 5 .cos 2
2
x
x x x x
+
+ =
CĐ Kinh Tế TpHCM - 07 ĐS:
2
2
8 4 7
x k x k x k
π π π
π
= + = =
Bài 150. Gii phương trình:
cos3 .tan 5 sin 7
x x x
=
CĐ Kinh Tế Công Ngh TpHCM - 07 ĐS:
20 10
x k x k
π π
π
= + =
Bài 151. Gii phương trình:
2
2sin 2 sin 7 1 sin
x x x
+ =
ĐH Khi B - 07 ĐS:
2 5 2
8 4 18 3 18 3
x k x k x k
π π π π π π
= + = + = +
Bài 152. Gii phương trình:
2cos 2 sin sin 3
x x x
+ =
.
CĐ Khi A, A1, B, D - 12 ĐS:
2
4 2 2
x k x k
π π π
π
= + = +
Bài 153. Gii phương trình:
sin 3 cos 2 sin 0
x x x
+ =
ĐH Khi D - 13 ĐS:
7
2 2
4 2 6 6
x k x k x k
π π π π
π π
= + = + = +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
44
4444
44
Dạng4. Phươngtrìnhbậc2-bậc3

Bài 154. Gii phương trình:
(
)
2
cos 2sin 3 2 2 cos 1
1
1 s in2
x x x
x
+
=
+
ĐH Quc gia TpHCM khi D - 96 ĐS:
2
4
x k
π
π
= +
Bài 155. Gii phương trình:
4 4 2
1
sin cos cos 2 sin 2 2
4
x x x x
+ + =
HV Hàng không - 97 ĐS:
2
x k
π
π
= +
Bài 156. Gii phương trình:
5 5 2
4cos .sin 4sin .cos sin 4
x x x x x m
= +
(1)
a. Biết rng
x
π
=
là mt nghim ca (1). Hãy gii phương trình (1) trong trường hp đó.
b. Cho biết
8
x
π
=
là mt nghim ca (1). Hãy tìm tt c các nghim ca phương trình (1)
tha mãn:
4 2
3 2 0
x x
+ <
ĐH QG TpHCM - 97 ĐS: a.
4 8 2
x k x k
π π π
= = + ; b.
3
8
x
π
=
Bài 157. Gii phương trình:
3
sin 2 sin
4
x x
π
=
ĐH Quc gia TpHCM khi A – 98. ĐHSP Hi Phòng - 01 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 158. Gii phương trình:
cos .cos 4 cos 2 .cos 3 0
x x x x
+ =
ĐH Ngoi Thương - 98 ĐS:
1 1 17
arccos
2 2 8
x k x k
π
π π
±
= + = ± +
Bài 159. Gii phương trình:
2 2
cos7 sin 2 cos 2 cos
x x x x
+ =
ĐH Hàng Hi - 98 ĐS:
2
8 4 9 3
x k x k
π π π π
= + = ± +
Bài 160. Gii phương trình:
4 2 2 4
3cos 4 cos .sin sin 0
x x x x
+ =
ĐH QG - 98 ĐS:
2
4 2 3 3
x k x k x k
π π π π
π π
= + = + = +
Bài 161. Gii phương trình:
2
2sin sin 1 0
x x
=
CĐBC Marketing - 99 ĐS:
7
2 2 2
2 6 6
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 162. Tìm tt c các nghim ca phương trình:
2
1 5sin 2cos 0
+ =
x x tha điu kin
0
cos
x
.
ĐH Cng sát Nhân Dân - 99 ĐS:
π/6 2
x k
π
= +
Bài 163. Gii phương trình:
2
1
cos 2 sin 0
4
x x
+ =
ĐHDL Duy Tân - 99 ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 164. Gii phương trình:
cos 4 5sin 2 3 0
x x
+ =
CĐBC Marketing - 99 ĐS:
5
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
45
4545
45
Bài 165. Gii phương trình:
2
4
13cos 9 0
1 tan
x
x
+ + =
+
CĐSP Qung Ninh - 99 ĐS:
2
x k
π π
= +
Bài 166. Gii phương trình:
(
)
(
)
3 tan cot 2 2 sin 2
x x x
+ = +
ĐH Cn Thơ - 99 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 167. Gii phương trình:
sin 3 sin 2 5sin
x x x
+ =
ĐHDL Hng Đức - 99 ĐS:
x k
π
=
Bài 168. Gii phương trình:
(
)
(
)
4 sin 3 cos 2 5 sin 1
x x x
=
ĐH Lut HN - 99 ĐS:
1 1
2 arcsin 2 arcsin 2
2 4 4
x k x k x k
π
π π π π
= + = + = + +
Bài 169. Gii phương trình:
2cos3 3 sin cos 0
x x x
+ + =
ĐH Huế Khi D - 99 ĐS:
6 2
x k
π π
= +
Bài 170. Gii phương trình:
2 3
2
2
cos cos 1
cos 2 tan
cos
x x
x x
x
=
a) Gii phương trình trên.
b) Tìm tng tt c các nghim ca phương trình tha mãn:
0 99
x
ĐH Thái Nguyên - 99 ĐS: a.
2 2
3
x k x k
π
π π π
= + = ± + ; b.
2209
3
π
Bài 171. Gii phương trình:
3
tan 2 sin 2 cot
2
x x x
+ =
ĐH Thy Li - 99 ĐS:
2 6
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Bài 172. Gii phương trình:
2 2
4sin 3 tan 1
x x
+ =
ĐHDL Hng Đức - 99 ĐS:
1
arccos( 3 1)
2
x k
π
= ± +
Bài 173. Gii phương trình:
3
sin 2sin
5 5 2
x
x
π π
+ =
HV Quân Y - 99 ĐS:
2
2
5
x k
π
π
= +
Bài 174. Gii phương trình:
(
)
(
)
3 tan 1 sin 2cos 5 sin 3cos
x x x x x
+ + = +
ĐH QG - 99 ĐS:
arctan 3
x k
π
= +
Bài 175. Gii phương trình:
3
8cos cos 3
3
x x
π
+ =
ĐHQG HN - 99 ĐS:
2
6 3
x k x k x k
π π
π π π
= = + = +
Bài 176. Gii phương trình:
3
tan tan 1
4
x x
π
=
HV CN BCVT - 99 ĐS:
4
x k x k
π
π π
= = +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
46
4646
46
Bài 177. Gii phương trình: sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
= +
HV CN BCVT - 00 ĐS:
4 2
x k
π π
= +
Bài 178. Gii phương trình:
2 2 2
11
tan cot cot 2
3
x x x
+ + =
PV Ngân Hàng TpHCM - 00 ĐS:
6 2
x k
π π
= ± +
Bài 179. Gii phương trình:
sin 3 sin 5
3 5
x x
=
ĐH Thy Li HN - 00 ĐS:
1 2
arccos
2 3
x k x k
π π
= = ± +
Bài 180. Gii phương trình:
sin 3 cos 3 2 cos 0
x x x
+ + =
HV Ngân Hàng - 00 ĐS:
π/3 π/4
x k x k
π π
= ± + = +
Bài 181. Gii phương trình:
1 3 tan 2 sin 2
x x
+ =
ĐHQG HN Khi D - 00 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 182. Gii phương trình:
2 2 2
6sin sin 2 3cos 2
x x x
=
ĐHQG TpHCM khi D - 00 ĐS:
6
x k
π
π
= ± +
Bài 183. Gii phương trình:
2 2
sin sin cos sin 1 2 cos
2 2 4 2
x x x
x x
π
+ =
ĐHSP TpHCM - 00 ĐS:
x k
π
=
Bài 184. Gii phương trình:
3 2
4cos 2 6 sin 3
x x
+ =
ĐHDL Hi Phòng - 00 ĐS:
12 6
x k
π π
= +
Bài 185. Gii phương trình:
3
4cos 3 2 sin 2 8cos
x x x
+ =
ĐH SP Hà Ni - 00 ĐS:
3
2 2
2 4 4
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 186. Gii phương trình:
(
)
3
2cos sin cos 1 2 sin cos
x x x x x
+ + = +
ĐHDL Phương Đông - 00 ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 187. Gii phương trình:
(
)
3 sin tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
=
ĐH Tài Chính Kế Toán HN - 00 ĐS:
2
2
3
x k
π
π
= ± +
Bài 188. Gii phương trình:
1
2cos 2 8cos 7
cos
x x
x
+ =
ĐH Ngoi Ng - 00; CĐSP Nha Trang - 02 ĐS:
2 2
3
x k x k
π
π π
= = ± +
Bài 189. Gii phương trình:
( )
cos 2 cos 2 4sin 2 2 1 sin
4 4
x x x x
π π
+ + + = +
ĐH Hàng Hi - 01 ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
47
4747
47
Bài 190. Gii phương trình:
(
)
2 2
3cot 2 2 sin 2 3 2 cos
x x x
+ = +
HV K Thut Quân s - 01 ĐS:
2 2
4 3
x k x k
π π
π π
= ± + = ± +
Bài 191. Gii phương trình:
tan 2 cot 2 sin 2
x x x
+ =
ĐH SP Hà Ni - 01 ĐS:
4 2
x k
π π
= +
Bài 192. Gii phương trình:
( )
(
)
cos cos 2 sin 3sin sin 2
1
sin 2 1
x x x x x
x
+ + +
=
ĐH Thy Sn - 01 ĐS:
2
4
x k
π
π
= +
Bài 193. Gii phương trình:
2
2
2
2 tan 5 tan 5cot 4 0
sin
x x x
x
+ + + + =
ĐH Thương Mi - 01 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 194. Gii phương trình:
sin 2 2 tan 3
x x
+ =
ĐH Bách Khoa - 01 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 195. Gii phương trình:
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
= +
ĐH Thy Li - 01 ĐS:
3 4 14
2 2 2
5 15 15
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 196. Tìm nghim thuc (0 ; 2π) ca phương trình:
cos3 sin 3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
+ = +
+
ĐH Khi A - 02 ĐS:
5
3 3
x x
π π
= =
Bài 197. Gii phương trình:
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
cos
x x x
x
+
=
CĐ KTKT Hi Dương - 02 ĐS:
3
x k
π
π
= ± +
Bài 198. Gii phương trình:
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
=
D b ĐH Khi A - 02 ĐS:
6
x k
π
π
= ± +
Bài 199. Gii phương trình:
6 2
3cos 4 8 cos 2cos 3 0
x x x
+ + =
D b ĐH Khi B - 03 ĐS:
4 2
x k x k
π π
π
= + =
Bài 200. Gii phương trình:
2cos 4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
D b ĐH Khi D - 03 ĐS:
3
x k
π
π
= ± +
Bài 201. Gii phương trình:
(
)
2
cos 2 cos 2 tan 1 2
x x x
+ =
D b ĐH Khi A - 03 ĐS:
2 2
3
x k x k
π
π π π
= ± + = +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
48
4848
48
Bài 202. Gii phương trình:
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
+ =
ĐH Khi B - 03 ĐS:
3
x k
π
π
= ± +
Bài 203. Gii phương trình:
(
)
2
5sin 2 3 1 sin tan
x x x
=
ĐH Khi B - 04 ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 204. Gii phương trình:
2
3cos 2 4 cos cos 3 0
x x x
+ =
CĐSP Nhà Tr - Mu Giáo TW 1 - 04 ĐS:
2
3 3
x k
π π
= +
Bài 205. Gii phương trình:
cos3 2 cos 2 1 2sin sin 2
x x x x
+ =
H CĐĐH Hùng Vương - 04 ĐS:
3
2 arccos 2
4
x k x k
π π π
= + = ± +
Bài 206. Gii phương trình:
2
2
cos 2 1
tan 3 tan
2 cos
x
x x
x
π
+ =
D b ĐH Khi B - 05 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 207. Gii phương trình:
(
)
2 2 3
sin cos 2 cos tan 1 2sin 0
x x x x x
+ + =
D b ĐH Khi B - 05 ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 208. Gii phương trình:
2 2
cos 3 .cos 2 cos 0
=
x x x
ĐH Khi A - 05 ĐS:
π/2
x k
=
Bài 209. Gii phương trình:
cos 2 3cos 2
0
sin
x x
x
+
=
CĐKT Y Tế - 05 ĐS:
2
3
x k
π
π
= ± +
Bài 210. Gii phương trình:
3 2
4sin 4sin 3sin 2 6 cos 0
x x x x
+ + + =
D b ĐH Khi D - 06 ĐS:
2
2 2
2 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Bài 211. Gii phương trình:
4
cos 2 cos 2 0
x x
+ =
CĐ Tài Chính Kế Toán - 06 ĐS:
x k
π
=
Bài 212. Gii phương trình:
2
1 sin
3tan 2
2 sin
x
x
x
π
=
H CĐĐH Sài Gòn Khi A - 07 ĐS:
2
2
x k
π
π
= +
Bài 213. Gii phương trình:
sin 2 cos 2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
+ =
D b ĐH Khi B - 07 ĐS:
2
3
x k
π
π
= ± +
Bài 214. Gii phương trình:
1 1
sin 2 sin 2 cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ =
D b ĐH Khi A - 07 ĐS:
4 2
x k
π π
= +
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
49
4949
49
Bài 215. Gii phương trình:
(
)
4 4
4 sin cos cos 4 sin 2 0
x x x x
+ + + =
D b ĐH Khi D - 08 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 216. Gii phương trình:
( )
1 sin cos 2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
+ + +
=
+
ĐH Khi A - 10 ĐS:
7
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 217. Gii phương trình:
( )
5 3
4cos cos 2 8sin 1 cos 5
2 2
x x
x x
+ =
CĐ Khi A,B,D - 10 ĐS:
5
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 218. Gii phương trình:
2
cos 4 12sin 1 0
x x
+ =
CĐ Khi A, B, D - 11 ĐS:
x k
π
=
Dạng5. Phươngtrìnhbậcnhấttheosinx,cosx

Bài 219. Gii phương trình:
(
)
(
)
1 sin 2 cos sin cos 2
x x x x
+ =
ĐHDL NN- Tin Hc - 98 ĐS:
2 2
4 2 2
x k x k x k
π π π
π π
= + = = +
Bài 220. Gii phương trình:
cos sin cos 2
x x x
+ =
ĐH Đà Lt - 99 ĐS:
2 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
= + = = +
Bài 221. Gii phương trình:
3 3
cos sin sin cos
x x x x
=
ĐH Đà Nng - 99 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 222. Gii phương trình:
sin 2 cos 2 1 2 cos
x x x
= +
ĐH Hng Đức - 99 ĐS:
π/2 2
x k x k
π π π
= + = +
Bài 223. Gii phương trình:
3 3
3
1 sin cos sin 2
2
x x x
+ + =
ĐH GTVT Tp.HCM - 99 ĐS:
2 2
2
x k x k
π
π π π
= + = +
Bài 224. Gii phương trình:
(
)
(
)
cos 2 5 2 2 cos sin cos
x x x x
+ =
ĐH Hàng Hi Tp.HCM - 99 ĐS:
2 2
2
x k x k
π
π π π
= + = +
Bài 225. Gii phương trình:
3 2
cos cos 2sin 2 0
x x x
+ + =
HV Ngân Hàng Khi D - 99 ĐS:
2 2
2
x k x k
π
π π
= + =
Bài 226. Gii phương trình:
3 3
2sin sin 2cos cos cos 2
x x x x x
= +
HV KT Quân s - 99 ĐS:
2 2
4 2 2
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 227. Gii phương trình:
(
)
3 2
2
3 1 sin
3tan tan 8cos 0
cos 4 2
x
x
x x
x
π
+
+ =
ĐH Kiến Trúc - 99 ĐS:
2 1
arccos 2
6 4
2
x k x k
π π
π π
= ± + = ± +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
50
5050
50
Bài 228. Gii phương trình:
1 1
2sin 3 2 cos 3
sin cos
x x
x x
= +
ĐH Thương Mi - 99 ĐS:
7
4 12 12
x k x k x k
π π π
π π π
= ± + = + = +
Bài 229. Gii phương trình sau: a.
3 3
cos sin cos 2
x x x
+ = b.
sin 4 tan
x x
=
ĐH Y Hà Ni - 00
ĐS:a.
2 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
= + = = +
b.
1 3 1
arccos 2
2 2
x k x k
π π
= = ± +
Bài 230. Gii phương trình:
sin .cos 2sin 2 cos 2
x x x x
+ + =
ĐH Huế - 00 ĐS:
π/2 2 2
x k x k
π π
= + =
Bài 231. Gii phương trình:
3 3
sin cos sin 2 sin cos
x x x x x
+ = + +
ĐH Cnh Sát Nhân Dân - 00 ĐS:
2
x k
π
=
Bài 232. Gii phương trình:
3 3
1 cos sin sin 2
x x x
+ =
ĐH Nông Nghip 1 - 00 ĐS:
2 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π π
= + = + = +
Bài 233. Gii phương trình:
2 3
sin sin cos 0
x x x
+ + =
HV Ngân Hàng - 00 ĐS:
1 2
2 arccos 2
2 4
2
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Bài 234. Gii phương trình:
2sin cot 2sin 2 1
x x x
+ = +
ĐH QG Hà Ni Khi A - 00
ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
5 1 5 5 1
arcsin 2 arcsin 2
4 4
2 2 2 2
x k x k
π π
π π
= + + = +
Bài 235. Gii phương trình:
(
)
(
)
2cos 1 sin cos 1
x x x
+ =
PV Ngân Hàng TpHCM - 00 ĐS:
2
2
6 3
x k x k
π π
π
= = +
Bài 236. Gii phương trình:
sin 2 2 cos 2 1 sin 4 cos
x x x x
+ = +
ĐH An Ninh Khi D - 01 ĐS:
2
3
x k
π
π
= ± +
Bài 237. Gii phương trình:
2sin 2 cos 2 7sin 2 cos 4
x x x x
= +
ĐH QG Hà Ni Khi A - 01 ĐS:
5
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 238. Gii phương trình:
sin 2 cos cos 2 2sin .cos 0
x x x x x
+ + =
ĐH Văn Hóa HN Khi D - 01 ĐS:
2 3 2
2 arcsin 2 arcsin 2
2 4 4 4 4
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = + +
Bài 239. Gii phương trình:
2 2
2 3 sin cos 2cos 3 4 sin cos cos
8 8 8 3 3
x x x x x x
π π π π π
+ = + + +
ĐH Y Thái Bình - 01 ĐS:
5 3
24 8
x k x k
π π
π π
= + = +
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
51
5151
51
Bài 240. Gii phương trình:
3 3 2 2
cos sin cos sin
x x x x
=
ĐH Đà Lt - 01 ĐS:
2 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
= + = = +
Bài 241. Gii phương trình:
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
=
D b ĐH Khi B - 03 ĐS:
(2 1)
3
x k
π
π
= + +
Bài 242. Gii phương trình:
(
)
sin sin 2 3 cos cos 2
x x x x
+ = +
D b ĐH Khi D - 04 ĐS:
2 2
2
9 3
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 243. Gii phương trình:
3 3
cos sin sin cos
x x x x
+ =
CĐSP Hà Nam Khi A - 04 ĐS:
π/2
x k
π
= +
Bài 244. Gii phương trình:
sin sin 2
3
cos cos 2
x x
x x
=
CĐ Khi A - 04 ĐS:
2
2
9 3
x k x k
π π
π
= = +
Bài 245. Gii phương trình:
3 cos 4 sin 4 2 cos 3 0
x x x
+ =
CĐ Công Nghip IV - 04 ĐS:
2
2
6 42 7
x k x k
π π π
π
= + = +
Bài 246. Tìm nghim thuc khong
(
)
0 ;
π
ca phương trình:
2 2
3
4sin 3 cos 2 1 2 cos
2 4
x
x x
π
= +
D b ĐH Khi A - 05 ĐS:
5 17 5
; ;
18 18 6
π π π
Bài 247. Gii phương trình:
2sin 2 4 sin 1 0
6
x x
π
+ + =
D b ĐH Khi A - 06 ĐS:
7
π/6 2
x k x k
π π
= = +
Bài 248. Gii phương trình:
1
tan 3
cos
x
x
=
CĐ KTKT Cn Thơ - 06 ĐS:
7
π/6 2
x k
π
= +
Bài 249. Gii phương trình:
2 2
2sin 2 3 cos 4 4cos 1
4
x x x
π
+ =
CĐ GTVT s 3 - 07 ĐS:
12 36 3
x k x k
π π π
π
= + = +
Bài 250. Gii phương trình:
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
+ + =
ĐH Khi D - 07 ĐS:
2 2
2 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 251. Gii phương trình:
(
)
(
)
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2
x x x x x
+ + + = +
ĐH Khi A - 07 ĐS:
π/4 2 π/2 2 2
x k x k x k
π π π
= + = + =
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
52
5252
52
Bài 252. Gii phương trình:
(
)
2
2co 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cos
s x x x x x
+ + = +
D b ĐH Khi A - 07 ĐS:
2π/3
x k
π
= +
Bài 253. Gii phương trình:
sin 3 3 cos3 2 sin 2
x x x
=
CĐ Khi A, B, D - 08 ĐS:
4 2
2
3 15 5
x k x k
π π π
π
= + = +
Bài 254. Gii phương trình:
3 3 2 2
sin 3 cos sin .cos 3 sin .cos
x x x x x x
=
ĐH Khi B - 08 ĐS:
4 2 3
x k x k
π π π
π
= + = +
Bài 255. Gii phương trình:
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
+ =
ĐH Khi A - 08 ĐS:
5
4 8 8
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
Bài 256. Gii phương trình:
(
)
( )( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
=
+
ĐH Khi A - 09 ĐS:
2
18 3
x k
π π
= +
Bài 257. Gii phương trình:
(
)
3
sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin
x x x x x x
+ + = +
ĐH Khi B - 09 ĐS:
2
2
6 42 7
x k x k
π π π
π
= + = +
Bài 258. Gii phương trình:
3 cos5 2sin 3 .cos 2 sin 0
x x x x
=
ĐH Khi D - 09 ĐS:
18 3 6 2
x k x k
π π π π
= + = +
Bài 259. Gii phương trình:
3 sin 2 cos 2 2 cos 1
x x x
+ =
ĐH Khi A, A1 - 12 ĐS: x =
2
2
k hay x k
π
π π
+ = hay
2
2
3
x k
π
π
= +
Bài 260. Gii phương trình:
(
)
2 cos 3 sin cos cos 3 sin 1
x x x x x
+ = +
ĐH Khi B - 12 ĐS:
2 2
2
3 3
x k x k
π π
π
= + =
Bài 261. Gii phương trình:
sin 3 cos3 sin cos 2 cos 2
x x x x x
+ + =
ĐH Khi D - 12 ĐS:
7
2 2
4 2 12 12
x k x k x k
π π π π
π π
= + = + = +
Dạng6. Phươngtrìnhđẳngcấp

Bài 262. Gii phương trình:
3
sin sin 2 s in3 6cos
x x x x
+ =
ĐH Y dược TPHCM - 97 ĐS: arctan 2
3
x k x k
π
π π
= + = ± +
Bài 263. Gii phương trình:
4 2 2 4
3cos 4cos sin sin 0
x x x x
=
ĐH Quc gia TpHCM khi A - 98 ĐS:
4 2 3
x k x k
π π π
π
= ± + = ± +
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
53
5353
53
Bài 264. Gii phương trình:
(
)
2 2
tan .sin 2sin 3 cos 2 sin .cos
x x x x x x
= +
ĐH M - Địa Cht - 99 ĐS:
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Bài 265. Gii phương trình:
3
sin 4sin cos 0
x x x
+ =
ĐH Y Hà Ni - 99 ĐS:
4
x k
π
π
= +
Bài 266. Gii phương trình:
(
)
(
)
2
sin tan 1 3sin cos sin 3
x x x x x
+ = +
ĐH Nông Nghip 1 - 99 ĐS:
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Bài 267. Gii phương trình:
3 3
sin cos sin cos
x x x x
+ =
ĐH An Ninh - 00 ĐS:
π/2
x k
π
= +
Bài 268. Gii phương trình:
(
)
2 2 sin cos cos 3 cos 2
x x x x
+ = +
ĐH GTVT Hà Ni - 00 ĐS:
vn
Bài 269. Gii phương trình:
3 3
4cos 2 sin 3sin 0
x x x
+ =
CĐSP Mu Giáo TƯ 1- 01; CĐ K Thut Cao Thng - 07 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 270. Gii phương trình:
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
= +
+
ĐH Khi A - 03 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 271. Gii phương trình:
(
)
3 3
4 sin cos cos 3sin
x x x x
+ = +
D b ĐH Khi A - 04 ĐS:
3 4
x k x k
π π
π π
= ± + = +
Bài 272. Gii phương trình:
(
)
2 2
3 sin 1 3 sin cos cos 1 3 0
x x x x
+ + =
CĐ K Thut Cao Thng - 06 ĐS:
4 3
x k x k
π π
π π
= + = +
Dạng7. Phươngtrìnhđốixứng

Bài 273. Gii phương trình:
(
)
2sin 2 2 2 cos sin 5
x x x
+ =
HV Hàng không - 99 ĐS:
1 2 2
arccos 2
4 2
x k
π
π
= ± +
Bài 274. Gii phương trình:
3 3
cos sin 1 0
x x
+ =
ĐH Quc gia TpHCM khi A - 00 ĐS:
2 2
2
x k x k
π
π π π
= + = +
Dạng8. Phươngpháphạbậc

Bài 275. Gii phương trình:
4 4
cos sin sin 2
2 2
x x
x
=
ĐH Thy Sn - 97 ĐS:
5
2 2
2 6 6
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
54
5454
54
Bài 276. Gii phương trình:
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4
x x x x
+ = +
ĐH KT Quc Dân - 99 ĐS:
4 2 10 5
x k x k
π π π π
= + = +
Bài 277. Gii phương trình:
2 2
21
sin 4 cos 6 sin 10
2
x x x
π
= +
ĐH Dược Hà Ni - 99 ĐS:
2 20 10
x k x k
π π π
π
= + = +
Bài 278. Gii phương trình:
2 2 2 2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3 cos 4
x x x x x x x
+ + = + + +
CĐSP Thái Bình Khi A - 99 ĐS:
8 4 4 2 2
x k x k x k
π π π π π
π
= + = + = +
Bài 279. Gii phương trình:
4 4
7
sin cos cot cot
8 3 6
x x x x
π π
+ = +
ĐH GTVT - 99 ĐS:
12 2
x k
π π
= ± +
Bài 280. Gii phương trình:
8 8
17
sin cos
32
x x+ =
HV K Thut Mt Mã - 99 ĐS:
8 4
x k
π π
= +
Bài 281. Gii phương trình:
( )
4 4
cos sin 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
ĐH BK Hà Ni - 00 ĐS:
vn
Bài 282. Gii phương trình:
2 2
7
sin .cos 4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x
π
=
ĐH SP Hà Ni - 00 ĐS:
7
2 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 283. Gii phương trình:
2 2 2
2cos 2 cos 2 4 sin 2 .cos
x x x x
+ =
ĐH Công Đoàn - 00 ĐS:
8 4
x k
π π
= +
Bài 284. Gii phương trình:
(
)
2 2 2
2cos 2 cos 2 2 cos 3 3 cos 4 2sin 2 1
x x x x x
+ + = +
ĐH SP TpHCM - 00 ĐS:
8 4
x k
π π
= +
Bài 285. Gii phương trình:
6 6
sin cos 1 sin 4
x x x
+ = +
ĐHDL Hùng Vương - 00 ĐS:
1 8
arctan
2 2 3 2
x k x k
π π
= = +
Bài 286. Gii phương trình:
( )
8 8 10 10
5
sin cos 2 sin cos cos 2
4
x x x x x
+ = + +
ĐH Ngoi Thương Khi D - 00 ĐS:
4 2
x k
π π
= +
Bài 287. Gii phương trình:
8 8
1
sin cos cos 4 0
8
x x x
+ + =
TTĐTBDCB Y Tế TpHCM - 01 ĐS:
4 2
x k
π π
= +
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
55
5555
55
Bài 288. Gii phương trình:
4 4
cos sin 1 2sin
2 2
x x
x
+ =
ĐH Công Đoàn - 01 ĐS:
x k
π
=
Bài 289. Gii phương trình:
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2
x x x
+ + =
ĐH SPKT TpHCM - 01 ĐS:
4 2 2 6 3
x k x k x k
π π π π π
π
= + = + = +
Bài 290. Tìm tt c các nghim ca phương trình:
2 2
sin .cos 4 2sin 2 1 4sin
4 2
x
x x x
π
+ =
tha mãn
h bt phương trình
2
1 3
3
x
x x
<
+ >
ĐH Cnh Sát Nhân Dân - 01 ĐS:
π/2
x
=
Bài 291. Gii phương trình:
2 2 2
sin sin 3 3cos 2 0
x x x
+ =
ĐH TC Kế Toán - 01 ĐS:
1 5 1
arccos
3 2 2
x k x k
π
π π
= ± + = ± +
Bài 292. Gii phương trình:
4 4
3sin 5cos 3 0
x x
+ =
ĐH An Ninh Nhân Dân - 01 ĐS:
2 6
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Bài 293. Gii phương trình:
(
)
4 4
4 sin cos 3 sin 4 2
x x x
+ + =
ĐHSP TpHCM - 01 ĐS:
4 2 12 2
x k x k
π π π π
= + = +
Bài 294. Gii phương trình:
( )
4 2
1 2
48 1 cot 2 .cot 0
s sin
x x
co x x
+ =
ĐH M - Địa Cht - 01 ĐS:
8 4
x k
π π
= +
Bài 295. Gii phương trình:
4 4 4
9
sin sin sin
4 4 8
x x x
π π
+ + + =
ĐH GTVT - 01 ĐS:
1 6 2
arccos
2 2
x k
π
= ± +
Bài 296. Gii phương trình:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
=
ĐH Khi B - 02 ĐS:
2 9
x k x k
π π
= =
Bài 297. Gii phương trình:
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
=
ĐH Khi D - 03 ĐS:
2 π/4
x k x k
π π π
= + = +
Bài 298. Gii phương trình:
4 4
3
sin cos cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
+ + =
ĐH Khi D - 05 ĐS:
π/4
x k
π
= +
Bài 299. Gii phương trình:
2 2 2
cos cos 2 cos 3 3 cos
2 2 2 6
x x x
π π π π
+ + + + =
CĐ KTKT Công Nghip I - 06 ĐS:
8 4 3
x k x k
π π π
π
= + = ± +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
56
5656
56
Bài 300. Gii phương trình:
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4
x x x x
+ = +
CĐ KTKT Công Nghip II - 07 ĐS:
2 5
x k x k
π π
π
= + =
Bài 301. Gii phương trình:
(
)
6 6
2 sin cos sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+
=
ĐH Khi A - 06 ĐS:
5
2
4
x k
π
π
= +
Bài 302. Gii phương trình:
2
sin 5 2 cos 1
x x
+ =
ĐH Khi B - 13 ĐS:
2 2
6 3 14 7
x k x k
π π π π
= + = +
Dạng9. ngthứcnhânba

Bài 303. Gii phương trình:
3
4sin 1 3sin 3 cos3
x x x
=
CĐ Hi quan TpHCM - 98 ĐS:
2 2
18 3 6 3
x k x k
π π π π
= + = +
Bài 304. Gii phương trình:
3 3
sin .sin 3 cos .cos 3 1
x x x x
+ =
ĐH Y Hi Phòng - 99 ĐS:
x k
π
=
Bài 305. Gii phương trình:
6 3 4
8 2 cos 2 2 sin .sin 3 6 2 cos 1 0
x x x x
+ =
HV Chính Tr QG TpHCM - 99 ĐS:
8
x k
π
π
= ± +
Bài 306. Gii phương trình:
3 3 3
sin .cos3 cos .sin 3 sin 4
x x x x x
+ =
ĐH Ngoi Thương - 99 ĐS:
12
x k
π
=
Bài 307. Gii phương trình:
3 3
2
cos .cos3 sin .sin 3
4
x x x x+ =
ĐH M Ni - 00 ĐS:
8
x k
π
π
= ± +
Bài 308. Gii phương trình:
Bài 309.
3 3
4sin .cos 3 4 cos .sin 3 3 3 cos 4 3
x x x x x
+ + =
HV CN BCVT - 01 ĐS:
8 2 24 2
x k x k
π π π π
= + = +
Bài 310. Gii phương trình:
3 3 3
1
cos .cos3 sin .sin 3 cos 4
4
x x x x x
= +
ĐH Ngoi Ng Hà Ni - 01 ĐS:
24 12
x k
π π
= +
Bài 311. Gii phương trình:
3 3
2 3 2
cos .cos3 sin .sin 3
8
x x x x
+
=
D b ĐH Khi A - 06 ĐS:
16 2
x k
π π
= ± +
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
57
5757
57
Dạng10. Phươngtrìnhcóchứagiátrịtuyệnđối
Phươngtrìnhcóchứacănthức

Bài 312. Gii phương trình:
2
tan tan
tan
tan 1 tan 1
x x
x
x x
= +
ĐH Thy Sn - 98 ĐS:
4 2
x k k x k
π π
π π π
= + < < +
Bài 313. Gii phương trình:
2
tan 1
tan 1
tan 1 tan 1
x
x
x x
= + +
ĐH Thy Sn - 99 ĐS:
3
4 4 2
k x k x k
π π π
π π π
+ < < + +
Bài 314. Gii phương trình:
cos 2 2 cos3 1
0
cos
x x
x
+
=
ĐH M Ni Khi D - 99 ĐS:
2
x k
π
=
Bài 315. Gii phương trình:
sin cos sin cos 2
x x x x
+ + =
ĐH QG Hà Ni Khi D - 99 ĐS:
2
x k
π
=
Bài 316. Gii phương trình:
cos 2 1 sin 2 2 sin cos
x x x x
+ + = +
ĐHDL Phương Đông - 99 ĐS: 2
4
x k x k
π
π π
= = +
Bài 317. Gii phương trình:
1 cos 2 1 cos 2
4sin
cos
x x
x
x
+ +
=
HV Khoa hc Quân S Khi D - 99 ĐS:
4
x k
π
π
= +
Bài 318. Gii phương trình:
1 sin 2 1 sin 2
4 cos
sin
x x
x
x
+ +
=
ĐH Xây Dng HN - 00 ĐS:
6 3
x k x k
π π
π π
= + = +
Bài 319. Gii phương trình:
3sin 2 cos 2 0
x x
+ =
ĐH Thy Sn - 00 ĐS:
x k
π
=
Bài 320. Gii phương trình:
3 3 3 3
sin cos sin .cot cos .tan 2sin 2
x x x x x x x
+ + =
ĐH Kiến Trúc Hà Ni - 00 ĐS:
π/4 2
x k
π
= +
Bài 321. Gii phương trình:
2
3 sin 2 2 cos 2 2 2 cos 2
x x x
= +
ĐH Thương Mi - 00 ĐS:
π/2
x k
π
= +
Bài 322. Gii phương trình:
2
2sin 3 1 8sin 2 .cos 2
4
x x x
π
+ = +
ĐH Kinh Tế Quc Dân - 00 ĐS:
π/12 2 5π/12 (2 1)
x k x k
π π
= + = + +
Bài 323. Gii phương trình:
(
)
3 4 6 16 3 8 2 cos 4 cos 3
x x+ =
ĐH Kinh Tế Quc Dân - 01 ĐS:
π/4 2
x k
π
= ± +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
58
5858
58
Bài 324. Tìm các nghim thuc (0 ; 2π) ca phương trình:
sin 3 sin
sin 2 cos 2
1 cos 2
x x
x x
x
= +
ĐH Quc gia TpHCM khi A - 96 ĐS:
9 21 29
; ; ;
16 16 16 16
π π π π
Bài 325. Gii phương trình:
2
1
sin
8cos
x
x
=
D b ĐH Khi D - 02 ĐS:
3 5 7
2 2 2 2
8 8 8 8
x k x k x k x k
π π π π
π π π π
= + = + = + = +
Bài 326. Gii phương trình:
1 sin cos 0
x x
+ + =
CĐSP Hà Tĩnh - 02 ĐS: (2 1)
π/2 2
x k x k
π π
= + = +
Bài 327. Gii phương trình:
(
)
2
3cos 1 sin cos 2 2 sin .sin 1
x x x x x
=
CĐ Khí Tượng Thy Văn - 03 ĐS:
π/2 2 2π/3 2
x k x k
π π
= + = +
Bài 328. Gii phương trình:
1
cos3 .sin 2 cos 4 .sin sin 3 1 cos
2
x x x x x x
= + +
CĐ GTVT - 04 ĐS:
2
x k
π π
= +
Bài 329. Gii phương trình:
1 sin 1 cos 1
x x
+ =
D b ĐH Khi A - 04 ĐS:
2
π/2 2
x k x k
π π
= = +
Bài 330. Gii phương trình:
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x x
+ =
H CĐĐH Sài Gòn Khi D - 07 ĐS:
π/4
x k
π
= ± +
Dạng11. Phươngtrìnhcóchứathamsố

Bài 331. Xác định
m
để phương trình:
(
)
4 4
2 sin cos cos 4 2sin 2 0
x x x x m
+ + + =
ít nht mt
nghim thuc đon
0 ;
2
π
.
D b ĐH Khi A - 02 ĐS:
10/3 2
m
Bài 332. Cho phương trình:
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
+
(1)
a) Gii phương trình (1) khi
1
3
=
a b) Tìm
a
để phương trình (1) có nghim.
D b ĐH Khi D - 02 ĐS: a.
π/4
x k
π
= +
; b.
1/2 2
a
Bài 333. Cho phương trình:
6 6
2 2
cos sin
tan 2
cos sin
x x
m x
x x
+
=
(1)
a) Gii phương trình (1) khi
13
8
m
=
b) Tìm
m
để phương trình (1) vô nghim.
CĐ Xây Dng III - 04 ĐS: a.
π/12 5π/12
x k x k
π π
= + = +
; b.
1/4 1/4
m
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
59
5959
59
Phn 5 - BÀI TP TRC NGHIM
Hàmsốợnggiác
Câu 1: Khng định o sau đây sai?
A. Hàm s
tan
y x
=
là hàm l. B. Hàm s
cot
y x
=
là hàm l.
C. Hàm s
cos
y
x
=
là hàm l. D. Hàm s
sin
y x
=
là hàm l.
Câu 2: Trong các hàm s sau hàm s nào là hàm s chn?
A.
sin 2
y x
=
. B.
cos3
y x
=
. C.
cot 4
y x
=
. D.
tan 5
y x
=
.
Câu 3: Hàm s nào sau đây là hàm s chn
A.
sin 3
y x
=
. B.
.cos
y x x
=
. C.
cos . tan 2
y x x
=
. D.
tan
sin
x
y
x
= .
Câu 4: Trong các hàm s sau, có bao nhiêu hàm s là hàm chn trên tp xác định ca nó?
cot 2
y x
=
;
cos( )
y x
π
= +
;
1 sin
y x
=
;
2016
tan
y x
= .
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 5: Cho hàms
(
)
cos 2
f x x
=
(
)
tan 3
g x x
= , chn mnh đề đúng
A.
(
)
f x
hàm s chn,
(
)
g x
hàm s l. B.
(
)
f x
là hàm s l,
(
)
g x
là hàm s chn.
C.
(
)
f x
hàm s l,
(
)
g x
là hàm s chn. D.
(
)
f x
(
)
g x
đều là hàm s l.
Câu 6: Hàm s nào sau đây là hàm s chn
A.
2
sin sin
y x x
= + . B.
tan 3 .cos
y x x
=
. C.
2
sin tan
y x x
= + . D.
2
sin cos
y x x
= + .
Câu 7: Khng định nào sau đây là sai?
A. Hàm s
s in 2
y x
= +
là hàm s không chn, không l.
B. Hàm s
s in
x
y
x
= hàm s chn.
C. Hàm s
2
cos
y x x
= + là hàm s chn.
D. Hàm s sin sin
y x x x x
= +
là hàm s l.
Câu 8: Hàm s nào sau đây là hàm s l ?
A.
2 cos
y x x
= +
. B.
cos 3
y x
=
. C.
(
)
2
sin 3
y x x
= +
. D.
3
cos
x
y
x
= .
Câu 9: Hàm s
tan 2 sin
y x x
= +
là
A. Hàm s l trên tp xác định. B. Hàm s chn tp xác định.
C. Hàm s không l tp xác định. D. Hàm s không chn tp xác định.
Câu 10: Hàm s
3
sin .cos
y x x
=
A. Hàm s l trên
. B. Hàm s chn trên
.
C. Hàm s không l trên
. D. Hàm s không chn
.
Câu 11: Hàm s
sin 5cos
y x x
= +
là
A. Hàm s l trên
. B. Hàm s chn trên
.
C. Hàm s không chn, không l trên
. D. C A, B, C đều sai.
Câu 12: Hàm s nào sau đây không chn, không l ?
A.
2
sin tan
2cos
x x
y
x
+
= . B.
tan cot
y x x
=
. C.
sin 2 cos 2
y x x
= +
. D.
2
2 sin 3
y x
= .
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
60
6060
60
Câu 13: Hàm s nào sau đây là hàm s chn:
A.
5sin .tan 2
y x x
=
. B.
3sin cos
y x x
= +
. C.
2sin 3 5
y x
= +
. D.
tan 2 sin
y x x
=
.
Câu 14: Trong các hàm s sau đây hàm so là hàm s l?
A.
2
sin
y x
= . B.
cos
y x
=
. C.
cos
y x
=
. D.
sin
y x
=
.
Câu 15: Trong các hàm s sau đây, hàm so là hàm s chn?
A.
sin
y x
=
. B.
cos sin
y x x
=
. C.
2
cos sin
y x x
= + . D.
cos sin
y x x
=
.
Câu 16: Trong các hàm s dưới đâybao nhiêu hàm s là hàm s chn:
(
)
cos3 1
y x= ;
(
)
(
)
2
sin 1 2
y x= + ;
(
)
2
tan 3
y x= ;
(
)
cot 4
y x= .
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 17: Hàm s:
3 2 cos
y x
= + tăng trên khong:
A.
;
6 2
π π
. B.
3
;
2 2
π π
. C.
7
; 2
6
π
π
. D.
;
6 2
π π
.
Câu 18: Hàm s nào đồng biến trên khong
;
3 6
π π
:
A.
cos
y x
=
. B.
cot 2
y x
=
. C.
sin
y x
=
. D.
cos2
y x
=
.
Câu 19: Mnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm s
sin
y x
=
tăng trong khong
0;
2
π
.
B. Hàm s
cot
y x
=
gim trong khong
0;
2
π
.
C. Hàm s
tan
y x
=
tăng trong khong
0;
2
π
.
D. Hàm s
cos
y x
=
tăng trong khong
0;
2
π
.
Câu 20: Hàm s
sin
y x
=
đồng biến trên:
A. Khong
(
)
0;
π
. B. Các khong
2 ; 2
4 4
k k
π π
π π
+ +
, k
.
C. Các khong
2 ; 2
2
k k
π
π π π
+ +
, k
. D. Khong
3
;
2 2
π π
.
Câu 21: Hàm s
cos
y x
=
:
A. Tăng trong
[
]
0;
π
. B. Tăng trong
0;
2
π
và gim trong
;
2
π
π
.
C. Nghch biến
[
]
0;
π
. D. Các khng định trên đều sai.
Câu 22: Hàm s
cos
y x
=
đồng biến trên đon nào dưới đây:
A.
0;
2
π
. B.
[
]
; 2
π π
. C.
[
]
;
π π
. D.
[
]
0;
π
.
Câu 23: Hàm s nào sau đây có tính đơn điu trên khong
0;
2
π
khác vi các hàm s còn li ?
A.
sin
y x
=
. B.
cos
y x
=
. C.
tan
y x
=
. D.
cot
y x
=
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
61
6161
61
Câu 24: Hàm s
tan
y x
=
đồng biến trên khong:
A.
0;
2
π
. B.
0;
2
π
. C.
3
0;
2
π
. D.
3
;
2 2
π π
.
Câu 25: Khng định nào sau đây đúng?
A. Hàm s
sin
y x
=
đồng biến trong khong
3
;
4 4
π π
.
B. Hàm s
cos
y x
=
đồng biến trong khong
3
;
4 4
π π
.
C. Hàm s
sin
y x
=
đồng biến trong khong
3
;
4 4
π π
.
D. Hàm s
cos
y x
=
đồng biến trong khong
3
;
4 4
π π
.
Câu 26: Hàm s nào dưới đây đồng biến trên khong
3
;
2 2
π π
?
A.
sin
y x
=
. B.
cos
y x
=
. C.
cot
y x
=
. D.
tan
y x
=
.
Câu 27: Điu kin xác định ca hàm s
1
sin cos
y
x x
=
là
A.
x k
π
. B.
2
x k
π
. C.
2
x k
π
π
+ . D.
4
x k
π
π
+ .
Câu 28: Điu kin xác định ca hàm s
1 sin
cos
x
y
x
= là
A.
2
2
x k
π
π
+ . B.
2
x k
π
π
+ . C.
2
2
x k
π
π
+ . D.
x k
π
.
Câu 29: Điu kin xác định ca hàm s
1 3cos
sin
x
y
x
= là
A.
2
x k
π
π
+ . B.
2
x k
π
. C.
2
k
x
π
. D.
x k
π
.
Câu 30: Tp xác định ca hàm s
2 2
3
sin cos
y
x x
=
là
A. \ ,
4
k k
π
π
+
. B. \ ,
2
k k
π
π
+
.
C. \ ,
4 2
k k
π π
+
. D.
3
\ 2 ,
4
k k
π
π
+
.
Câu 31: Tp xác định ca hàm s
cot
cos 1
x
y
x
=
là
A. \ ,
2
k k
π
. B. \ ,
2
k k
π
π
+
.
C.
{
}
\ ,k k
π
. D.
.
Câu 32: Điu kin xác định ca hàm s
2sin 1
1 cos
x
y
x
+
=
là
A.
2
x k
π
B.
x k
π
C.
2
x k
π
π
+ D.
2
2
x k
π
π
+
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
62
6262
62
Câu 33: Điu kin xác định ca hàm s tan 2x
3
y
π
=
là
A.
6 2
k
x
π π
+ B.
5
12
x k
π
π
+ C.
2
x k
π
π
+ D.
5
12 2
x k
π π
+
Câu 34: Điu kin xác định ca hàm s
tan 2
y x
=
là
A.
4 2
k
x
π π
+ B.
2
x k
π
π
+ C.
4 2
k
x
π π
+ D.
4
x k
π
π
+
Câu 35: Điu kin xác định ca hàm s
1 sin
sin 1
x
y
x
=
+
là
A.
2
2
x k
π
π
+ . B.
2
x k
π
.
C.
3
2
2
x k
π
π
+ . D.
2
x k
π π
+
.
Câu 36: Điu kin xác định ca hàm s
cos
y x
= là
A.
0
x
>
. B.
0
x
. C.
. D.
0
x
.
Câu 37: Tp xác định ca hàm s
1 2 cos
sin 3 sin
x
y
x x
=
là
A. \ ; ,
4
k k k
π
π π
+
. B. \ ,
4 2
k
k
π π
+
.
C.
{
}
\ ,k k
π
. D. \ ; ,
4 2
k
k k
π π
π
+
.
Câu 38: Hàm s
cot 2
y x
=
có tp xác đnh là
A.
k
π
. B. \ ;
4
k k
π
π
+
.
C. \ ;
2
k k
π
. D. \ ;
4 2
k k
π π
+
.
Câu 39: Tp xác định ca hàm s
tan cot
y x x
= +
là
A.
. B.
{
}
\ ;k k
π
.
C. \ ;
2
k k
π
π
+
. D. \ ;
2
k k
π
.
Câu 40: Tp xác định ca hàm s
2
2
1 sin
x
y
x
=
là
A.
\ 2 , .
2
D k k
π
π
= +
B.
\ , .
2
D k k
π
π
= +
C.
, .
2
D k k
π
π
= +
D.
.
3 2
k
x
π π
= ± +
Câu 41: Tp xác định ca hàm s
tan
y x
=
là
A.
.
D
=
B.
\ , .
2
D k k
π
π
= +
C.
\ 2 , .
2
D k k
π
π
= +
D.
{
}
\ , .
D k k
π
=
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
63
6363
63
Câu 42: Tp xác định ca hàm s
cot
y x
=
là
A.
\ , .
4
D k k
π
π
= +
B.
\ , .
2
D k k
π
π
= +
C.
{
}
\ , .
D k k
π
=
D.
.
D
=
Câu 43: Tp xác định ca hàm s
1
sin
y
x
= là
A.
{
}
\ 0 .
D =
B.
{
}
\ 2 , .
D k k
π
=
C.
{
}
\ , .
D k k
π
=
D.
{
}
\ 0; .
D
π
=
Câu 44: Tp xác định ca hàm s
1
cot
y
x
= là
A.
\ , .
2
D k k
π
π
= +
B.
{
}
\ , .
D k k
π
=
C.
\ , .
2
D k k
π
=
D.
3
\ 0; ; ; .
2 2
D
π π
π
=
Câu 45: Tp xác định ca hàm s
1
cot 3
y
x
=
là
A.
\ 2 , .
6
D k k
π
π
= +
B.
\ , , .
6
D k k k
π
π π
= +
C.
\ , , .
3 2
D k k k
π π
π π
= + +
D.
2
\ , , .
3 2
D k k k
π π
π π
= + +
Câu 46: Tp xác định ca hàm s:
1
tan 2
x
y
x
+
=
A.
{
}
\ , .
k k
π
B.
\ , .
4
k k
π
C.
\ , .
2
k k
π
π
+
D.
\ , .
2
k
k
π
Câu 47: Tp xác định ca hàm s
2
3 1
1 cos
x
y
x
+
=
là
A.
D \ , .
2
k k
π
π
= +
B.
D \ , .
2
k k
π
π
= +
C.
{
}
D \ , .
k k
π π
= +
D.
D .
=
Câu 48: Tp xác định ca hàm s
(
)
tan 3 1
y x
=
là
A.
1
\ , .
6 3 3
D k k
π π
= + +
B.
1
\ , .
3 3
D k k
π
= +
C.
1
\ , .
6 3 3
D k k
π π
= +
D.
1
, .
6 3 3
D k k
π π
= + +
Câu 49: Tp xác định ca hàm s tan 3
4
y x
π
+=
là
A.
D
=
. B. ,
2 3
\
1
k
D k
π π
= +
R Z
C. ,
12
\D k k
π
π
= +
R Z
. D.
{
}
\
D R k
π
= .
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
64
6464
64
Câu 50: Tp xác định ca hàm s
(
)
sin 1
y x
=
là
A.
.
B.
\{1}
.
C. \ 2 |
2
k k
π
π
+
. D.
\{ }
k
π
.
Câu 51: Tp xác định ca hàm s
1
sin
1
x
y
x
=
+
là
A.
{
}
\ 1
. B.
(
)
1;1
.
C. \ 2 |
2
k k
π
π
+
. D. \ |
2
k k
π
π
+
.
Câu 52: Tp xác định ca hàm s
2
1
sin
x
y
x
+
=
là
A.
.
B.
{
}
.
\
0
C.
{
}
\ |k k
π
. D. \ |
2
k k
π
π
+
.
Câu 53: Tp xác định ca hàm s
2 sin
1 cos
x
y
x
=
+
là
A. \ |
2
k k
π
π
+
. B.
{
}
\ 2 |k k
π π
+
.
C.
.
D.
{
}
.
\
1
Câu 54: Tp xác định ca hàm s
1 sin
1 cos
x
y
x
=
+
là
A.
{
}
\ 2 ,k k
π π
+
. B.
{
}
\ 2 ,k k
π
.
C. \ 2 ,
4
k k
π
π
+
. D. \ 2 ,
2
k k
π
π
+
.
Câu 55: Tp xác định
D
ca hàm s
sin 2
y x
= +
là
A.
.
B.
[
)
2; .
+∞
C.
(
)
0; 2 .
π
D.
(
)
)
arcsin 2 ; .
+∞
Câu 56: Tp xác định ca hàm s
1 cos 2
y x
= là
A.
.
D
=
B.
[
]
0;1 .
D =
C.
[
]
1;1 .
D = D.
{
}
\ , .
D k k
π
=
Câu 57: Hàm s nào sau đây có tp xác đnh
?
A.
2 cos
2 sin
x
y
x
+
=
. B.
2 2
tan cot
y x x
= + . C.
2
2
1 sin
1 cot
x
y
x
+
=
+
. D.
3
sin
2 cos 2
x
y
x
=
+
.
Câu 58: Tp xác định ca hàm s
2
1 sin x
sin
y
x
=
là
A.
{
}
\ ,D k k
π
=
. B. \ 2 ,
2
D k k
π
π
= +
.
C.
{
}
\ 2 ,D k k
π
=
. D.
D
=
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
65
6565
65
Câu 59: Tp xác định ca hàm s
2
1 cos
cos
x
x
y
=
là
A. ,\ 2
2
D kk
π
π
= +
. B.
D
=
.
C. ,\
2
kD k
π
π
= +
. D.
{
}
,\D kk
π
=
.
Câu 60: Hàm s
2 sin 2
cos 1
x
y
m x
=
+
có tp xác đnh
khi
A.
0
m
>
. B.
0 1
m
< <
. C.
1
m
. D.
1 1
m
< <
.
Câu 61: Điu kin xác định ca hàm s
tan
cos 1
x
y
x
=
là
A.
2
x k
π
. B.
2
3
x k
π
π
= + . C.
2
2
x
x k
k
π
π
π
+
. D.
3
2
x k
x k
π
π
π
π
+
+
.
Câu 62: Điu kin xác định ca hàm s
cot
cos
x
y
x
=
là
A.
2
x k
π
π
= + . B.
2
x k
π
=
. C.
x k
π
=
. D.
2
x
k
π
.
Câu 63: Chn khng định sai.
A. Tpc định ca hàm s
sin
y x
=
.
B. Tp xác định ca hàm s
cot
y x
=
là ,
2
\ k kD
π
π
=
+
.
C. Tpc định ca hàm s
cos
y x
=
.
D. Tpc định ca hàm s
tan
y x
=
,
2
\ k kD
π
π
=
+
.
Câu 64: Tp xác định ca hàm s
sin
1 cos
x
y
x
=
là
A.
{
}
,\ 2k k
π
. B.
2
\ ,k k
π
π
+
.
C.
. D. 2\ ,
2
k k
π
π
+
.
Phươngtrìnhcơbản–Phươngtrìnhbậcnhất
Câu 65: Phương trình
sin 0
x
=
có nghim
A.
2
2
x k
π
π
= + . B.
x k
π
=
. C.
2
x k
π
=
. D.
2
x k
π
π
= + .
Câu 66: Phương trình:
cos 2 1
x
=
có nghim
A.
2
2
x k
π
π
= + . B.
x k
π
=
. C.
2
x k
π
=
. D.
2
x k
π
π
= + .
Câu 67: Phương trình:
1 sin 2 0
x
+ =
có nghim
A.
2
2
x k
π
π
= + . B.
4
x k
π
π
= + . C.
2
4
x k
π
π
= + . D.
2
x k
π
π
= + .
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
66
6666
66
Câu 68: Nghim phương trình:
1
sin
2
x
=
là
A.
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. B.
2
6
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. C.
2
3
2
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. D.
2
3
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
Câu 69: Nghim phương trình:
2
cos 2
2
x =
là
A.
2
4
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. B.
4
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. C.
8
8
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. D.
2
8
2
8
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
Câu 70: Nghim phương trình:
1 tan 0
x
+ =
là
A.
4
x k
π
π
= + . B.
4
x k
π
π
= + . C.
2
4
x k
π
π
= + . D.
2
4
x k
π
π
= + .
Câu 71: Nghim phương trình
sin 1
2
x
π
+ =
là
A.
2
2
x k
π
π
= + . B.
2
2
x k
π
π
= + . C.
x k
π
=
. D.
2
x k
π
=
.
Câu 72: Nghim phương trình
1
cos
2
x
=
là
A.
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
. B.
2
6
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
.
C.
2
3
2
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
. D.
2
3
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
.
Câu 73: Nghim phương trình
2
sin 2
2
x =
A.
2
4
3
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
. B.
4
3
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
.
C.
8
3
8
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
. D.
2
8
3
2
8
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
.
Câu 74: Nghim phương trình
1 cot 0
x
+ =
A.
4
x k
π
π
= + . B.
4
x k
π
π
= + . C.
2
4
x k
π
π
= + . D.
2
4
x k
π
π
= + .
Câu 75: Nghim phương trình
cos 1
2
x
π
+ =
A.
2
2
x k
π
π
= + . B.
2
2
x k
π
π
= + . C.
x k
π
=
. D.
2
x k
π
=
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
67
6767
67
Câu 76: Phương trình
1
sin 2
2
x
=
có bao nhiêu nghim tha mãn
0 x
π
< <
.
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Câu 77: Phương trình
1
sin
2
x
=
có nghim tha mãn
2 2
x
π π
là :
A.
5
2
6
x k
π
π
= + B.
6
x
π
=
. C.
2
3
x k
π
π
= + . D.
3
x
π
=
.
Câu 78: S nghim ca phương trình
sin 1
4
x
π
+ =
vi
3
x
π π
là :
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 79: Gii phương trình lượng giác
2 cos 3 0
2
x
+ =
có nghim
A.
5
2
3
5
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
. B.
5
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
.
C.
5
4
6
5
4
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
. D.
5
4
3
5
4
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
.
Câu 80: S nghim ca phương trình:
2 cos 1
3
x
π
+ =
vi
0 2
x
π
là :
A.
0.
B.
2
. C.
1.
D.
3.
Câu 81: Nghim ca phương trình
(
)
sin . 2cos 3 0
x x
=
là :
A.
2
6
x k
x k
π
π
π
=
= ± +
.
(
)
k
B.
6
x k
x k
π
π
π
=
= ± +
(
)
k
.
C.
2
2
3
x k
x k
π
π
π
=
= ± +
(
)
k
. D.
2
6
x k
π
π
= ± +
(
)
k
.
Câu 82: Phương trình
2 2 cos 6 0
x
+ =
có c nghim là
A.
5
2
6
x k
π
π
= ± +
(
)
k
. B.
2
6
x k
π
π
= ± +
(
)
k
.
C.
5
2
3
x k
π
π
= ± +
(
)
k
. D.
2
3
x k
π
π
= ± +
(
)
k
.
Câu 83: Phương tnh
cos 4 cos
5
x
π
= có nghim
A.
( )
2
5
2
5
k
k
x
x k
π
π
π
π
= +
= +
. B.
( )
2
20
2
20
x
x k
k
k
π
π
π
π
= +
= +
.
C.
( )
5 5
5 5
x k
x k
k
π π
π π
= +
= +
. D.
( )
20 2
20 2
x k
x k
k
π π
π π
= +
= +
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
68
6868
68
Câu 84: Phương tnh
( )
(
)
sin 1 sin 2 0
x x
+ =
có nghim là
A.
( )
2
2
x k k
π
π
= +
. B.
2
4
x k
π
π
= ± + ,
( )
8
kx k
π
π
= +
.
C.
2
2
x k
π
π
= + . D.
2
2
x k
π
π
= ± + .
Câu 85: Phương tnh
2cos 3 0
x
=
có h nghim
A.
( )
3
x k k
π
π
= ± +
. B.
( )
2
3
x k k
π
π
= ± +
.
C.
( )
2
6
x k k
π
π
= ± +
. D.
( )
6
x k k
π
π
= ± +
.
Câu 86: Chn khng định đúng trong các khng định sau
A.
( )
sin sin
x y k
x y k
x y k
π
π π
= +
=
= +
. B.
( )
2
sin sin
2
x y k
x y k
x y k
π
π π
= +
=
= +
.
C.
( )
2
sin sin
2
x y k
x y k
x y k
π
π
= +
=
= +
. D.
( )
sin sin
x y k
x y k
x y k
π
π
= +
=
= +
.
Câu 87: Phương tnh
tan tan
2
x
x = có h nghim là
A.
(
)
2x k k
π
=
. B.
(
)
x k k
π
=
.
C.
(
)
2x k k
π π
= +
. D.
(
)
2x k k
π π
= +
.
Câu 88: H nghim ca phương tnh
1
sin
5 2
x
π
+
=
là
A.
11
10
6
29
10
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
B.
11
10
6
29
10
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
C.
11
10
6
29
10
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
. D.
11
10
6
29
10
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
(
)
k
Câu 89: Phương tnh
(
)
2sin 2 40 3
x
ο
=
có s nghim thuc
(
)
180 ;180
ο ο
là
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
7
.
Câu 90: Chn đáp án đúng trong các câu sau:
A. sin 1 2 ,
2
x x k k
π
π
= = +
. B. sin 1 2 , x x k k
π π
= = +
.
C. sin 1 2 , x x k k
π
= =
. D. sin 1 ,
2
x x k k
π
π
= = +
.
Câu 91: Phương tnh
2
tan 1
cot
1 tan 2 4
x
x
x
π
= +
có nghim là
A.
3
x k
π
π
= + . B.
6 2
x k
π π
= + .
C.
8 4
x k
π π
= + . D.
12 3
x k
π π
= + .
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
69
6969
69
Câu 92: Cho
2
x k
π
π
= + là nghim ca phương trình nào sau đây:
A.
sin 1
x
=
. B.
sin 0
x
=
. C.
cos 2 0
x
=
. D.
cos 2 1
x
=
.
Câu 93: Nghim ca phương trình
2
sin 1
x
=
là
A.
2
x k
π
=
. B.
2
x k
π
π
= + . C.
2
x k
π π
= +
. D.
2
2
x k
π
π
= + .
Câu 94: Nghim ca phương trình
2sin 4 1 0
3
x
π
=
là
A.
x k
π
=
;
2
x k
π π
= +
. B.
8 2
x k
π π
= + ;
7
24 2
x k
π π
= + .
C.
2
x k
π
=
;
2
2
x k
π
π
= + . D.
2
x k
π π
= +
;
2
x k
π
= .
Câu 95: Nghim ca phương trình
2cos 2 1 0
x
+ =
là
A.
2 ; 2
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + . B.
2
2 ; 2
6 3
x k x k
π π
π π
= + = + .
C.
2 2
2 ; 2
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + . D. ;
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + .
Câu 96: Nghiêm ca phương trình
sin .cos .cos 2 0
x x x
=
là
A.
x k
π
=
. B.
4
x k
π
= . C.
8
x k
π
= . D.
2
x k
π
= .
Câu 97: Nghim ca phương trình
sin –1
x
=
là
A.
2
2
x k
π
π
= + . B.
2
x k
π
π
= + . C.
x k
π
=
. D.
3
2
x k
π
π
= + .
Câu 98: Nghim ca phương trình
cot 3 0
x
+ =
là
A.
3
x k
π
π
= + . B.
6
x k
π
π
= + . C.
2
3
x k
π
π
= + . D.
6
x k
π
π
= + .
Câu 99: Nghim ca phương trình
2
cos cos 0
x x
=
tha điu kin
0 x
π
< <
:
A.
6
x
π
=
. B.
2
x
π
=
. C.
4
x
π
=
. D.
2
x
π
=
.
Câu 100: Nghim ca phương trình
sin 3 sin
x x
=
là
A.
x k
π
=
,
4 2
x k
π π
= + . B.
2
x k
π
π
= + .
C.
2
x k
π
=
. D.
2
x k
π
=
,
2
x k
π
π
= + .
Câu 101: Nghim ca phương trình
cos3 cos
x x
=
là
A.
2
x k
π
=
. B.
2
x k
π
=
,
2
2
x k
π
π
= + .
C.
x k
π
=
. D.
x k
π
=
,
2
x k
π
= .
Câu 102: Nghim ca phương trình
2.sin .cos 1
x x
=
là
A.
2
x k
π
=
. B.
4
x k
π
π
= + . C.
2
x k
π
= . D.
x k
π
=
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
70
7070
70
Câu 103: Nghim ca phương trình
sin 3 cos
x x
=
là
A. ;
2
x k x k
π
π
= = . B. ;
8 2 4
x k x k
π π π
π
= + = + .
C. ;
4
x k x k
π
π π
= = + . D.
2 ; 2
2
x k x k
π
π π
= = + .
Câu 104: Nghim ca phương trình
cos 1
x
=
là
A.
2
x k
π
=
. B.
2
2
x k
π
π
= + . C.
x k
π
=
. D.
2
x k
π
π
= + .
Câu 105: Nghim âm ln nht và nghim dương nh ca phương trình
sin 4 cos5 0
x x
+ =
theo th t là
A. ;
18 2
x x
π π
= =
. B.
2
;
18 9
x x
π π
= = .
C. ;
18 6
x x
π π
= =
. D. ;
18 3
x x
π π
= =
.
Câu 106: Trong các phương trình sau, phương trìnho vô nghim:
A.
3sin 1
x
=
. B.
tan 3 2
x
=
. C.
cot5 3
x
=
. D.
2
cos2
3
x
π
= .
Câu 107: Nghim ca phương trình
3
cos 0
2
x
+ =
là
A.
5
6
x k
π
π
= + . B.
2
3
x k
π
π
= + . C.
2
6
x k
π
π
= + . D.
2
2
3
x k
π
π
= ± + .
Câu 108: Cho phương trình
cos .cos 7 cos3 .cos 5
x x x x
=
(
)
1
. Phương trình nào sau đây tương đương vi
phương tnh
(
)
1
A.
sin 5 0
x
=
. B.
cos 4 0
x
=
. C.
sin 4 0
x
=
. D.
cos3 0
x
=
.
Câu 109: Nghim ca phương trình
2
sin sin 0
x x
=
tha mãn điu kin
0 x
π
< <
là
A.
.
x
π
=
B.
.
2
x
π
= C.
0.
x
=
D.
.
2
x
π
=
Câu 110: Nghim ca phương trình
1
cos
2
x
=
là
A.
2 .
3
x k
π
π
= ± + B.
2
2 .
3
x k
π
π
= ± + C.
2 .
6
x k
π
π
= ± + D.
2 .
6
x k
π
π
= ± +
Câu 111: Nghim ca phương trình
4 4
sin cos 0
x x
=
là
A.
.
4
x k
π
π
= + B.
.
4 2
x k
π π
= + C.
3
2 .
4
x k
π
π
= + D.
2 .
4
x k
π
π
= ± +
Câu 112: Phương trình
3 2sin 0
x
+ =
có nghim là
A.
2 2
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + . B.
2
2 2
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + .
C.
2
2 2
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + . D.
4
2 2
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + .
Câu 113: Cho biết
2
2
3
x k
π
π
= ± + là h nghim ca phương trình nào sau đây ?
A.
2cos 1 0.
x
=
B.
2cos 1 0.
x
+ =
C.
2sin 1 0.
x
+ =
D.
2sin 3 0.
x
=
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
71
7171
71
Câu 114: Phương trình
1 2 cos 0
x
+ =
có nghim là
A.
2 2
2 2 .
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + B.
2
2 2 .
3 3
x k x k
π π
π π
= + = +
C.
2
2 2 .
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + D.
4
2 2 .
3 3
x k x k
π π
π π
= + = +
Câu 115: Gii phương trình lưng giác :
2cos 2 3 0
x
=
có nghim
A.
2 .
6
x k
π
π
= ± + B.
2 .
12
x k
π
π
= ± +
C.
.
12
x k
π
π
= ± + D.
2 .
3
x k
π
π
= ± +
Câu 116: Cho biết
2
3
x k
π
π
= ± + là h nghim ca phương trình nào sau đây ?
A.
2cos 3 0.
x
=
B.
2cos 1 0.
x
=
C.
2sin 1 0.
x
+ =
D.
2sin 3 0.
x
=
Câu 117: Phương trình
3 tan 0
x
+ =
có nghim là
A.
.
3
x k
π
π
= + B.
.
3
x k
π
π
= +
C.
2
2 ; 2 .
3 3
x k x k
π π
π π
= + = + D.
4
2 ; 2 .
3 3
x k x k
π π
π π
= + = +
Câu 118: Phương trình lưng giác:
3cot 3 0
x
=
có nghim
A.
6
x k
π
π
= + . B.
3
x k
π
π
= + . C.
2
3
x k
π
π
= + . D. Vô nghim.
Câu 119: Phương trình lưng giác:
2 cot 3 0
x
=
có nghim
A.
2
6
2 .
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
B.
3
cot .
2
x arc k
π
= +
C.
6
x k
π
π
= + . D.
3
x k
π
π
= + .
Câu 120: Phương trình lưng giác:
2 cos 2 0
x
+ =
có nghim
A.
2
4
3
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. B.
3
2
4
3
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. C.
5
2
4
5
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. D.
2
4
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
Câu 121: Phương trình lưng giác:
3. tan 3 0
x
=
có nghim
A.
3
x k
π
π
= + . B.
2
3
x k
π
π
= + . C.
6
x k
π
π
= + . D.
3
x k
π
π
= + .
Câu 122: Phương trình:
1
sin
2
x
=
có nghim tha mãn
2 2
x
π π
là
A.
5
2
6
x k
π
π
= + . B.
6
x
π
=
. C.
2
3
x k
π
π
= + . D.
3
x
π
=
.
Câu 123: Phương trình nào sau đây vô nghim
A.
sin 3 0
x
+ =
. B.
2
2cos cos 1 0
x x
=
.
C.
tan 3 0
x
+ =
. D.
3sin 2 0
x
=
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
72
7272
72
Câu 124: Giá tr đặc bit nào sau đây đúng?
A. cos 1
2
x x k
π
π
+ . B. cos 0
2
x x k
π
π
+ .
C.
cos 1 2
2
x x k
π
π
+ . D.
cos 0 2
2
x x k
π
π
+ .
Câu 125: S nghim ca phương trình:
sin 1
4
x
π
+ =
vi
5
x
π π
là
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 126: Phương trình lưng giác:
cos 3 sin 0
x x
=
có nghim
A.
.
6
x k
π
π
= + B. Vô nghim. C.
.
6
x k
π
π
= + D.
.
2
x k
π
π
= +
Câu 127: Gii phương trình:
2
tan 3
x
=
có nghim là
A.
.
3
π
π
= +
x k
B.
.
3
π
π
= ± +
x k
C. vô nghim. D.
.
3
π
π
= +
x k
Câu 128: Nghim đặc bit nào sau đây là sai
A.
sin 1 2 .
2
x x k
π
π
= = + B.
sin 0 .
x x k
π
= =
C.
sin 0 2 .
x x k
π
= =
D.
sin 1 2 .
2
x x k
π
π
= = +
Câu 129: Phương trình
cos 2 0
2
x
π
=
có nghim là
A.
.
2 2
π π
= +
k
x B.
.
π π
= +
x k
C.
π
=
x k
. D.
2
π
=
x k
.
Câu 130: Phương trình
(
)
tan 2 12 0
x
+ ° =
có nghim là
A.
(
)
6 90 , .
x k k= ° + °
B.
(
)
6 180 , .
x k k= ° + °
C.
(
)
6 360 , .
x k k= ° + °
D.
(
)
12 90 , .
x k k= ° + °
Câu 131: Phương trình
(
)
s in2 . 2sin 2 0
x x
=
có nghim là
A.
2
2 .
4
3
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
=
= +
= +
B.
2
.
4
3
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
=
= +
= +
C.
2 .
4
3
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
=
= +
= +
D.
2
2 .
4
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
=
= +
= +
Câu 132: Phương trình
2
2cos 1
x
=
có nghim là
A.
4
x k
π
= . B.
4
x k
π
π
= ± + . C.
2
x k
π
= . D. vô nghim.
Câu 133: Nghim ca phương trình
tan 4
x
=
là
A.
arctan 4
x k
π
= +
. B.
arctan 4 2
x k
π
= +
.
C.
4
x k
π
= +
. D.
4
x k
π
π
= + .
Câu 134: Nghim ca phương trình
(
)
sin 10 1
x
+ ° =
là
A.
100 360
x k
= ° + °
. B.
80 180
x k
= ° + °
. C.
100 360
x k
= ° + °
. D.
100 180
x k
= ° + °
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
73
7373
73
Câu 135: S nghim ca phương trình
3
sin 2
2
x =
trong khong
(
)
0;3
π
là
A.
1
. B.
2
. C.
6
. D.
4
.
Câu 136: Phương trình nào sau đây vô nghim?
A.
tan 3
x
=
. B.
cot 1
x
=
. C.
cos 0
x
=
. D.
4
sin
3
x
=
.
Câu 137: Nghim ca phương trình
3
tan
3
x =
là
A.
2
x k
π
π
= + . B.
3
x k
π
π
= + . C.
4
x k
π
π
= + . D.
6
x k
π
π
= + .
Câu 138: Nghim ca phương trình
cot 3
4
x
π
+ =
là
A.
12
x k
π
π
= + . B.
3
x k
π
π
= + . C.
12
x k
π
π
= + . D.
6
x k
π
π
= + .
Câu 139: Phương trình
( )
(
)
sin 1 2 cos 2 2 0
+ =
x x
có nghim
A. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
. B. ,
8
x k k
π
π
= +
.
C. ,
8
x k k
π
π
= +
. D. C A, B, C đều đúng.
Câu 140: Trong na khong
[
)
0; 2
π
, phương trình
cos 2 sin 0
x x
+ =
tp nghim
A.
5
; ;
6 2 6
π π π
.
B.
7 11
; ; ;
6 2 6 6
π π π π
.
C.
5 7
; ;
6 6 6
π π π
.
D.
7 11
; ;
2 6 6
π π π
.
Câu 141: Trong
[
)
0; 2
π
, phương trình
2
sin 1 cos
x x
=
có tp nghim
A.
; ;2
2
π
π π
.
B.
{
}
0;
π
.
C.
0; ;
2
π
π
.
D.
0; ; ; 2
2
π
π π
.
Câu 142: Nghim ca phương trình
3tan 3 0
4
x
=
trong na khong
[
)
0; 2
π
là
A.
2
;
3 3
π π
.
B.
3
2
π
.
C.
3
;
2 2
π π
.
D.
2
3
π
.
Câu 143: Gii phương trình:
1
cos
2
x
=
A.
2
3
x k
π
π
= ± +
.
B.
2
2
3
x k
π
π
= ± +
.
C.
6
x k
π
π
= ± +
.
D.
2
3
x k
π
π
= ± +
.
Câu 144: Gii phương trình
tan cot
x x
=
A.
;
4 2
x k k
π π
= +
.
B.
;
4
x k k
π
π
= +
.
C.
;
4
x k k
π
π
= +
.
D.
;
4 4
x k k
π π
= +
.
Câu 145: Gii phương trình
1
cos
2
x
=
A.
2
2 ;
3
x k k
π
π
= ± +
.
B.
3
;
4
x k k
π
π
= ± +
.
C.
3
2 ;
4
x k k
π
π
= ± +
.
D.
2 ;
4
x k k
π
π
= ± +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
74
7474
74
Câu 146: Gi
X
là tp nghim ca phương trình
cos 15 sin
2
+ ° =
x
x
. Khi đó
A.
290
°
X
.
B.
250
°
X
.
C.
220
°
X
.
D.
240
°
X
.
Câu 147: Gii phương trình
tan 3 tan 1
x x
=
.
A.
;
8 8
x k k
π π
= +
.
B.
;
4 4
x k k
π π
= +
.
C.
;
8 4
x k k
π π
= +
.
D.
;
8 2
x k k
π π
= +
.
Câu 148: Gii phương trình
3
3 tan 3 0
5
x
π
+ =
.
A.
;
8 4
x k k
π π
= +
.
B.
;
5 4
x k k
π π
= +
.
C.
;
5 2
x k k
π π
= +
.
D.
;
5 3
x k k
π π
= +
.
Câu 149: Gii phương trình
3
cos
2
x
=
.
A. 3 ;
6
x k k
π
π
= ± +
. B.
5
;
6
x k k
π
π
= ± +
.
C.
5
2 ;
6
x k k
π
π
= ± +
. D. 2 ;
6
x k k
π
π
= ± +
.
Câu 150: Phương trình nào tương đương vi phương trình
2 2
sin cos 1 0
x x
=
.
A.
cos 2 1
x
=
. B.
cos 2 1
x
=
. C.
2
2cos 1 0
x
=
. D.
( )
2
sin cos 1
=
x x
.
Câu 151: Gii phương trình
(
)
cos 2 cos 3 0
+ =
x x
.
A.
5
, ;
2 6
x k x k k
π π
π π
= + = ± +
. B.
5
, 2 ;
2 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
C.
5
, 2 ;
2 6
x k x k k
π π
π π
= + = ± +
. D.
2
, 2 ;
2 3
x k x k k
π π
π π
= + = ± +
Câu 152: Gii phương trình
3 cot 5 0
8
π
=
x .
A. ;
8
x k k
π
π
= +
. B. ;
8 5
x k k
π π
= +
.
C. ;
8 4
x k k
π π
= +
. D. ;
8 2
x k k
π π
= +
.
Câu 153: Gii phương trình
2
1
cos 2
4
x
=
.
A. 2 , ;
6 3
x k x k k
π π
π π
= ± + = ± +
. B.
2
, ;
6 3
x k x k k
π π
π π
= ± + = ± +
.
C. , ;
6 3
x k x k k
π π
π π
= ± + = ± +
. D. , ;
6 2
x k x k k
π π
π π
= ± + = ± +
.
Câu 154: S nghim ca phương trình
2
sin sin 0
x x
+ =
tha
2 2
x
π π
< <
là
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
75
7575
75
Câu 155: Gii phương trình
3
cos cos
2
x =
.
A.
3
2 ;
2
x k k
π
= ± +
. B.
3
arccos 2 ;
2
x k k
π
= ± +
.
C. arccos 2 ;
6
x k k
π
π
= ± +
. D. 2 ;
6
x k k
π
π
= ± +
.
Câu 156: Gii phương trình
cos sin 30
= °
x
.
A.
60 360 ;
= ± ° + °
x k k
. B.
60 180 ;
= ± ° + °
x k k
.
C.
120 360 ;
= ± ° + °
x k k
. D.
30 360 ;
= ± ° + °
x k k
.
Câu 157: S nghim ca phương trình
cos 0
2 4
π
+ =
x
thuc khong
(
)
,8
π π
là
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
1
.
Câu 158: S nghim ca phương trình
sin 3
0
cos 1
x
x
=
+
thuc đon
[
]
2 ;4
π π
là
A.
2
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Câu 159: Phương trình
sin sin
x
α
=
có nghim là
A.
2
;
2
x k
k
x k
α π
π α π
= +
= +
B. ;
x k
k
x k
α π
π α π
= +
= +
.
C. ;
x k
k
x k
α π
α π
= +
= +
. D.
2
;
2
x k
k
x k
α π
α π
= +
= +
.
Câu 160: Nghim ca phương trình
cos cos 2
3
x
= (vi
k
) là
A. 2
x k
π
= ± + . B.
3 2 6
x k
π
= + . C.
2 4
x k
π
= ± + . D.
3 2 6
x k
π
= ± + .
Câu 161: Phương tnh
2
sin 0
3 3
π
=
x
(vi
k
) có nghim
A.
x k
π
=
. B.
2 3
3 2
k
x
π π
= + . C.
3
x k
π
π
= + . D.
3
2 2
k
x
π π
= + .
Câu 162: Nghim ca phương trình
cot 10 3
4
+ ° =
x
(vi
k
) là
A.
200 360
= ° + °
x k
. B.
200 720
= ° + °
x k
.
C.
20 360
= ° + °
x k
.
D.
160 720
= ° + °
x k
.
Câu 163: Nghim ca phương trình
(
)
tan 2 15 1
° =
x , vi
90 90
° < < °
x
là
A.
30
= °
x
B.
60
= °
x
C.
30
= °
x
D.
60
= °
x
,
30
= °
x
Câu 164: Nghim ca phương trình
2 cos 1 0
=
x
(vi
k
) là
A.
2
6
x k
π
π
= ± + . B.
6
x k
π
π
= ± + . C.
3
x k
π
π
= ± + . D.
2
3
x k
π
π
= ± + .
Câu 165: Nghim ca phương trình
3 tan 3 3 0
x
=
(vi
k
) là
A.
9 9
k
x
π π
= + . B.
3 3
k
x
π π
= + . C.
3 9
k
x
π π
= + . D.
9 3
k
x
π π
= + .
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
76
7676
76
Câu 166: Nghim 2 ,
2
x k k
π
π
= +
là nghim ca phương trình o sau đây?
A.
cos 1
x
=
. B.
cos 1
x
=
. C.
sin 1
x
=
. D.
sin 1
x
=
.
Câu 167: m tt cc h nghim ca phương trình
sin sin
6
x
π
=
A.
2 ; 2 ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
. B.
5
; ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
C.
5
2 ; 2 ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
. D.
; ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
Câu 168: m tt cc h nghim ca phương trình
cos cos
6
x
π
=
A.
5
2 ; 2 ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
. B.
5
; ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
C.
2 ; 2 ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
. D.
; ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
Câu 169: S nghim ca phương trình
3
tan tan
11
x
π
= trên khong
; 2
4
π
π
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 170: Phương trình
2
3 4 cos 0
x
=
tương đương vi phương trình nào sau đây?
A.
1
cos 2
2
x
=
. B.
1
cos 2
2
x
=
. C.
1
sin 2
2
x
=
. D.
1
sin 2
2
x
=
.
Câu 171: Tt cc nghim ca phương trình
sin 2 1
0
2.cos 1
x
x
=
là
A.
3
2 ,
4
x k k
π
π
= +
. B.
2 ,
4
3
2 ,
4
x k k
x k k
π
π
π
π
= +
= +
.
C. ,
4
x k k
π
π
= +
. D. 2 ,
4
x k k
π
π
= +
.
Câu 172: Phương trình
2sin 2 0
3
x
π
+ + =
có 1 h nghim là
A.
7
12
k
π
π
+ . B.
7
2
12
k
π
π
+
.
C.
7
2
12
k
π
π
+ . D.
7
12
k
π
π
+ .
Câu 173: Nghim ca phương trình
2 cos 2 0
3
x
π
=
trong khong
;
2 2
π π
là
A.
7
;
12 12
π π
. B.
7
12
π
.
C.
12
π
. D.
7
;
12 12
π π
.
Câu 174: H nghim ca phương trình
tan 3 0
5
x
π
+ + =
A.
8
;
15
k k
π
π
+
. B.
8
;
15
k k
π
π
+
.
C.
8
2 ;
15
k k
π
π
+
. D.
8
2 ;
15
k k
π
π
+
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
77
7777
77
Câu 175: Các h nghim ca phương trình
sin 2 cos 0
x x
=
A.
2
; 2 ;
6 3 2
k k k
π π π
π
+ +
. B.
2
; 2 ;
6 3 2
k k k
π π π
π
+ +
.
C.
2
; 2 ;
6 3 2
k k k
π π π
π
+ +
. D.
2
; 2 ;
6 3 2
k k k
π π π
π
+ +
.
Câu 176: Các h nghim ca phương trình
cos 2 sin 0
x x
=
A.
2
; 2 ;
6 3 2
k k k
π π π
π
+ +
. B.
2
; 2 ;
6 3 2
k k k
π π π
π
+ +
.
C.
2
; 2 ;
6 3 2
k k k
π π π
π
+ +
. D.
2
; 2 ;
6 3 2
k k k
π π π
π
+ +
.
Câu 177: H nghim ca phương trình
tan 2 tan 0
x x
=
A.
, .
6
k k
π
π
+
B.
, .
3
k k
π
π
+
C.
, .
6
k k
π
π
+
D.
, .
k k
π
Câu 178: Nghim ca phương trình
tan 3 .cot 2 1
x x
=
là
A.
, .
2
k k
π
B.
, .
4 2
k k
π π
+
C.
, .
k k
π
D. Vô nghim.
Câu 179: Nghim ca phương trình
tan 4 .cot 2 1
x x
=
là
A.
, .
k k
π
B.
, .
4 2
k k
π π
+
C.
, .
2
k k
π
D. Vô nghim.
Câu 180: S nghim ca phương trình
sin cos
x x
=
trong đon
[
]
;
π π
A.
2.
B.
4.
C.
5.
D.
6.
Câu 181: Phương trình
tan .cot 1
x x
=
tp nghim
A.
\ ; .
2
k
T k
π
=
B.
\ ; .
2
T k k
π
π
= +
C.
{
}
\ ; .
T k k
π π
= +
D.
.
T
=
Câu 182: Chn đáp án đúng trong các câu sau:
A.
cos 0 , .
2
x x k k
π
π
= = +
B.
cos 0 2 , .
x x k k
π π
= = +
C.
cos 0 2 , .
x x k k
π
= =
D.
cos 0 , .
x x k k
π
= =
Câu 183: Phương trình:
1
sin 2
2
x
= có bao nhiêu nghim tha:
0 x
π
< <
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
4
.
Phươngtrìnhcổđiển
Câu 184: Nghim ca phương trình
sin 3 cos 0
x x
=
là:
A.
2
6
x k
π
π
= + . B.
2
3
x k
π
π
= + . C.
6
x k
π
π
= + . D.
3
x k
π
π
= + .
Câu 185: m tt cc h nghim ca phương trình
cos 3 sin 0
x x
=
.
A.
2 ; 2 ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
. B.
5
; ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
C.
( )
6
x k k
π
π
= +
. D.
; ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
78
7878
78
Câu 186: S nghim ca phương trình
sin cos 1
x x
+ =
trên khong
(
)
0;
π
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 187: Nghim ca phương trình:
sin cos 1
x x
+ =
là :
A.
2
x k
π
=
. B.
2
2
2
x k
x k
π
π
π
=
= +
. C.
2
4
x k
π
π
= + . D.
2
4
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
Câu 188: Phương trình
sin cos 2 sin 5
x x x
+ =
có nghim :
A.
4 2
6 3
x k
x k
π π
π π
= +
= +
. B.
12 2
24 3
x k
x k
π π
π π
= +
= +
. C.
16 2
8 3
x k
x k
π π
π π
= +
= +
. D.
18 2
9 3
x k
x k
π π
π π
= +
= +
.
Câu 189: Nghim ca phương trình
sin 3 cos 2
x x
+ =
là:
A.
5
6
x k
π
π
= + . B.
5
2
6
x k
π
π
= + .
C.
6
x k
π
π
= + . D.
2
6
x k
π
π
= + .
Câu 190: Phương trình
(
)
sin 8 cos 6 3 sin 6 cos8
x x x x
= +
có các h nghim là:
A.
4
12 7
x k
x k
π
π
π π
= +
= +
. B.
3
6 2
x k
x k
π
π
π π
= +
= +
. C.
5
7 2
x k
x k
π
π
π π
= +
= +
. D.
8
9 3
x k
x k
π
π
π π
= +
= +
.
Câu 191: Phương trình:
3
3sin 3 3 cos 9 1 4 sin 3
x x x
+ = +
có các nghim là:
A.
2
6 9
7 2
6 9
x k
x k
π π
π π
= +
= +
. B.
2
9 9
7 2
9 9
x k
x k
π π
π π
= +
= +
. C.
2
12 9
7 2
12 9
x k
x k
π π
π π
= +
= +
. D.
54 9
2
18 9
x k
x k
π π
π π
2
= +
= +
.
Câu 192: Phương trình
5
cos2 4 cos
3 6 2
x x
π π
+ + =
có nghim :
A.
2
6
2
2
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. B.
2
6
3
2
2
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. C.
2
3
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. D.
2
3
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
Câu 193: Phương trình
(
)
(
)
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0
x x
+ + =
có các nghim là
A.
2
4
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
, k
. B.
2
2
,
2
3
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
C.
2
6
,
2
9
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. D.
2
8
,
2
12
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
79
7979
79
Câu 194: Nghim ca phương trình
sin 3 cos 2
x x+ = là
A.
3
2 , 2 ,
4 4
x k x k k
π π
π π
= + = +
. B.
5
2 , 2 ,
12 12
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
C.
2
2 , 2 ,
3 3
x k x k k
π π
π π
= + = +
. D.
5
2 , 2 ,
4 4
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
Câu 195: Nghim ca phương trình
sin 2 3 cos 2 0
x x
=
là
A. ,
3 2
x k k
π π
= +
. B. ,
6
x k k
π
π
= +
. C. ,
3
x k k
π
π
= +
. D. ,
6 2
x k k
π π
= +
.
Câu 196: Phương trình nào sau đây vô nghim ?
A.
1
sin
3
x
=
. B.
3 sin cos 3
x x
=
.
C.
3 sin 2 cos 2 2
x x
=
. D.
3sin 4 cos 5
x x
=
.
Câu 197: Phương trình nào sau đây vô nghim:
A.
1
cos
3
x
=
. B.
3 sin cos 1
x x
+ =
.
C.
3 sin 2 cos2 2
x x
=
. D.
3sin 4cos 6
x x
=
.
Câu 198: Phương trình nào sau đây vô nghim:
A.
2sin cos 3
x x
=
. B.
tan 1
x
=
.
C.
3 sin 2 cos2 2
x x
=
.
D.
3sin 4 cos 5
x x
=
.
Câu 199: Phương trình nào sau đây vô nghim.
A.
1
sin
4
x
=
. B.
3 sin cos 1
x x
=
.
C.
3 sin 2 cos2 4
x x
=
.
D.
3sin 4 cos 5
x x
=
.
Câu 200: Trong các phương tnh sau phương trình nào nghim?
A.
3 sin 2
x
=
B.
1 1
cos 4
4 2
x
=
C.
2sin 3cos 1
x x
+ =
D.
2
cot cot 5 0
x x
+ =
Câu 201: Phương trình nào sau đây vô nghim?
A.
3 sin 2 cos 2 2
x x
=
B.
3sin 4 cos 5
x x
=
C.
sin cos
4
x
π
= D.
3 sin cos 3
x x
=
Câu 202: Phương trình:
3.sin 3 cos3 1
+ =
x x tương đương vi phương trình nào sau đây:
A.
1
sin 3
6 2
π
=
x
. B.
sin 3
6 6
π π
+ =
x
.
C.
1
sin 3
6 2
π
+ =
x
. D.
1
sin 3
6 2
π
+ =
x
.
Câu 203: Phương trình
1 3
sin cos 1
2 2
x x
=
có nghim
A.
5
2 ,
6
x k k
π
π
= +
. B.
5
,
6
x k k
π π
= +
Z
.
C. 2 ,
6
x k k
π
π
= +
Z
. D. 2 ,
6
x k k
π
π
= +
Z
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
80
8080
80
Câu 204: Phương trình
(
)
sin 4 cos 7 3 sin 7 cos 4 0
+ =
x x x x
có nghim là
A. 2 ,
6 3
x k k
π π
= +
. B.
2
6 3
( )
5
2
66 11
x k
k Z
x k
π π
π π
= +
= +
.
C.
5
2 ,
66 11
x k k
π π
= +
. D. Đáp án khác
Câu 205: Phương trình:
2
sin cos 3 cos 2
2 2
+ + =
x x
x nghim là:
A.
( )
6
2
x k
k Z
x k
π
π
π
π
= +
= +
B.
( )
2
6
2
2
x k
k Z
x k
π
π
π
π
= +
= +
C. 2 ,
6
x k k
π
π
= +
D. ,
2
x k k
π
π
= +
Câu 206: Phương trình nào sau đây vô nghim?
A.
3cossin
=
xx
B.
cos 3sin 1
x x
+ =
C.
3 sin 2 cos2 2
x x
=
D.
2sin 3cos 1
x x
+ =
Câu 207: Nghim ca phương trình 1sincos3 = xx là:
A.
2
,
2
6
x k
k
x k
π
π
π
=
= +
. B.
2
6
,
2
2
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
C.
2 ,
6
x k k
π
π
= ± +
. D.
2 ,
3
x k k
π
π
= ± +
.
Câu 208: Trong các phương tnh phương trình o có nghim?
A.
sin 2 cos 3
x x
+ =
. B.
2 sin cos 2
x x
+ =
.
C.
2 sin cos 1
x x
+ =
. D.
3 sin cos 3
x x
+ =
.
Câu 209: Trong các phương tnh sau phương trình nào vô nghim:
A.
sin cos 3
x x+ = . B.
2 sin cos 1
x x
+ =
.
C.
2 sin cos 1
x x
+ =
. D.
3 sin cos 2
x x
+ =
.
Câu 210: Nghim ca phương trình
sin 3 cos 2
x x
+ =
là:
A.
5
,
6
x k k
π
π
= +
. B.
5
2 ,
6
x k k
π
π
= +
.
C. ,
6
x k k
π
π
= +
. D. 2 ,
6
x k k
π
π
= +
.
Câu 211: Gii phương trình:
2sin 2 2 cos 2 2
=x x
.
A.
5
, ,
6 6
π π
π π
= + = +
x k x k k . B.
5
, ,
12 12
π π
π π
= + = +
x k x k k .
C.
5 13
, ,
24 24
π π
π π
= + = +
x k x k k . D.
5 13
2 , 2 ,
12 12
π π
π π
= + = +
x k x k k .
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
81
8181
81
Câu 212: Gii phương trình
2 2
sin 2 cos 3 1
+ =
x x
.
A. 2 ,
π
=
x k k . B.
2
,
5
π
=
x k k .
C. ,
π π
= +
x k k . D. ,
5
π
π
= =
x k x k k .
Câu 213: Phươngtrình
3 sin 2 cos 2 2
=
x x (vi
k
) có nghim là:
A. ,
6
π
π
= +
x k k . B.
2
,
3
π
π
= +
x k k . C. ,
3
π
π
= +
x k k . D. ,
3
π
π
= +
x k k .
Câu 214: S nghim ca phương trình
sin 3 cos 1
+ =
x x
trong khong
(
)
;
π π
là :
A.
1
. B. C.
3
. D.
4
.
Câu 215: Gii phương trình :
sin cos 1
+ =
x x
.
A.
,
π
=
x k
2 ,
2
π
π
= +
x k k B. 2 , 2 ,
2
π
π π π
= + = +
x k x k k
C. 2 ,
2
π
π
= +
x k k D. 2 ,
π
=
x k k
Câu 216: Gii phương trình
sin 3cos 1
+ =
x x
.
A.
2
2
π
π
= +
x k
, 2 ,
6
π
π
= +
x k k B.
2
π
π
= +
x k
,
5
2 ,
6
π
π
= +
x k k
C.
5
2 ,
6
π
π
= +
x k k D. 2 ,
2
π
π
= +
x k k
Câu 217: Phương trình nào dưới đây vô nghim?
A.
cos3 3 sin3 2
=
x x . B.
cos3 3 sin3 2
=
x x .
C. sin
3
π
=
x . D.
3sin 4 cos 5 0
3 3
π π
+ + =
x x .
Câu 218: Phương trình
3cos 2 sin 2
+ =
x x có nghim
A.
8
π
π
= +
x k
,
k
. B.
6
π
π
= +
x k
,
k
.
C.
4
π
π
= +
x k
,
k
. D.
2
π
π
= +
x k
,
k
.
Câu 219: Gii phương trình
2
5sin 2 6 cos 13
=
x x
.
A. Vô nghim. B. ,
π
=
x k k .
C. 2 ,
π π
= +
x k k . D. 2 ,
π
=
x k k .
Phươngtrìnhbậchai–bậcba
Câu 220: Trong các phương tnh sau, phương trình nào là phương tnh bc 2 theo 1 hàm s lượng giác?
A.
2
2sin sin 2 1 0.
x x
+ =
B.
2
2sin 2 sin 2 0.
x x
=
C.
2
cos cos 2 7 0.
x x
+ =
D.
2
tan cot 5 0.
x x
+ =
Câu 221: Trong các phương tnh sau, phương trình nào có nghim:
A.
2 cos 3 0
x
=
. B.
3sin 2 10 0
x
=
.
C.
2
cos cos 6 0
x x
=
. D.
3sin 4 cos 5
x x
+ =
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
82
8282
82
Câu 222: Phương trình :
2
3
cos 2 cos 2 0
4
x x
+ =
có nghim là
A.
2
,
3
x k k
π
π
= ± +
. B. ,
3
x k k
π
π
= ± +
.
C. ,
6
x k k
π
π
= ± +
. D. 2 ,
6
x k k
π
π
= ± +
.
Câu 223: Phương trình nào sau đây vô nghim:
A.
sin 3 0
x
+ =
. B.
2
2cos cos 1 0
x x
=
.
C.
tan 3 0
x
+ =
. D.
3sin 2 0
x
=
.
Câu 224: Nghim dương bé nht ca phương trình :
2
2sin 5sin 3 0
x x
+ =
A. ,
6
x k
π
=
. B. ,
2
x k
π
=
. C.
3
,
2
x k
π
=
. D.
5
,
6
x k
π
=
.
Câu 225: Trong các phương tnh sau phương trình nào nghim:
A.
3 sin 2
x
=
. B.
1 1
cos 4
4 2
x
=
.
C.
2sin 3cos 1
x x
+ =
. D.
2
cot cot 5 0
x x
+ =
.
Câu 226: Nghim ca phương trình lưng giác :
2
cos cos 0
x x
=
tha điu kin
0 x
π
< <
là
A.
2
x
π
=
. B.
0
x
=
. C.
x
π
=
. D.
2
x
π
= .
Câu 227: Nghim ca phương trình lưng giác:
2
2cos 3sin 3 0
x x
+ =
thõa điu kin 0
2
x
π
< <
là
A.
3
x
π
=
. B.
2
x
π
=
. C.
6
x
π
=
. D.
5
6
x
π
= .
Câu 228: Nghim ca phương trình
2
1 5sin 2cos 0
x x
+ =
là
A.
2
6
,
2
6
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. B.
2
6
,
5
2
6
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
C.
2
3
,
2
3
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. D.
2
3
,
2
2
3
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
Câu 229: Nghim ca phương trình
2
5 5sin 2cos 0
x x
=
là
A. ,k k
π
. B. 2 ,k k
π
. C. 2 ,
2
k k
π
π
+
. D. 2 ,
6
k k
π
π
+
.
Câu 230: Phương trình
4cos 2cos 2 cos 4 1
x x x
=
có các nghim là
A.
,
2
2
x k
k
x k
π
π
π
= +
=
. B.
,
4 2
x k
k
x k
π π
π
= +
=
.
C.
2
3 3
,
2
x k
k
x k
π π
π
= =
=
. D.
6 3
,
4
x k
k
x k
π π
π
= +
=
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
83
8383
83
Câu 231: Phương trình
2 2
3
sin 2 2 cos 0
4
x x
+ =
có nghim
A. ,
6
x k k
π
π
= ± +
. B. ,
4
x k k
π
π
= ± +
.
C. ,,
3
x k k
π
π
= ± +
. D.
2
,
3
x k k
π
π
= ± +
.
Câu 232: Phương trình
2
2sin 3 sin 2 3
x x
+ =
có nghim
A. ,
3
x k k
π
π
= +
. B.
2
,
3
x k k
π
π
= +
.
C.
4
,
3
x k k
π
π
= +
. D.
5
,
3
x k k
π
π
= +
.
Câu 233: Nghim ca phương trình
2
cos cos 0
x x
+ =
tha điu kin:
3
2 2
x
π π
< <
A.
3
2
x
π
= . B.
x
π
=
. C.
3
2
x
π
= . D.
3
x
π
=
.
Câu 234: Nghim ca phương trình
tan cot 2
x x
+ =
là
A. 2 ,
4
x k k
π
π
= +
. B. 2 ,
4
x k k
π
π
= +
.
C. ,
4
x k k
π
π
= +
. D. ,
4
x k k
π
π
= +
.
Câu 235: Nghim ca phương trình
2
sin sin 0
x x
+ =
tha điu kin:
2 2
x
π π
< <
A.
2
x
π
=
. B.
0
x
=
. C.
3
x
π
=
. D.
x
π
=
.
Câu 236: Nghim ca phương trình
2
cos sin 1 0
x x
+ + =
là
A. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
. B. ,
2
x k k
π
π
= +
.
C. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
. D. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
.
Câu 237: Nghim ca phương trình
2
2sin 5sin 3 0
x x
=
là
A.
5
2 ; 2 ,
3 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
. B.
7
2 ; 2 ,
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
C. ; 2 ,
2
x k x k k
π
π π π
= + = +
. D.
5
2 ; 2 ,
4 4
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
Câu 238: Nghiêm ca phương tnh
2
sin sin 2
x x
= +
là
A. ,x k k
π
=
.
B.
2 ,
2
x k k
π
π
= +
.
C. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
. D. ,
2
x k k
π
π
= +
.
Câu 239: Phương trình
2
2cos 3cos 2 0
x x
+ =
có nghim là
A. 2 ,
6
k k
π
π
± +
. B. 2 ,
3
k k
π
π
± +
.
C.
2
2 ,
3
k k
π
π
± +
. D. 2 ,
3
k k
π
π
+
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
84
8484
84
Câu 240: Phương trình
2
2sin 3sin 2 0
x x
+ =
có nghim là
A. ,k k
π
. B. ,
2
k k
π
π
+
.
C. 2 ,
2
k k
π
π
+
. D.
5
2 ; 2 ,
6 6
k k k
π π
π π
+ +
.
Câu 241: Phương trình lượng giác:
2
sin 3cos 4 0
x x
=
có nghim là
A. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
B. 2 ,x k k
π π
= +
C. ,
6
x k k
π
π
= +
D. Vô nghim
Câu 242: Phương trình lượng giác:
2
cos 2cos 3 0
x x
+ =
có nghim là
A. 2 ,x k k
π
=
B.
0
x
=
C. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
D. Vô nghim
Câu 243: Phương trình:
2
3
cos 2 cos 2 0
4
x x
+ =
có nghim
A.
2
,
3
x k k
π
π
= ± +
. B. ,
3
x k k
π
π
= ± +
.
C. ,
6
x k k
π
π
= ± +
. D. 2 ,
6
x k k
π
π
= ± +
.
Câu 244: Nghim ca phương trình lưng giác:
2
2sin 3sin 1 0
x x
+ =
tha điu kin 0
2
x
π
<
là
A.
3
x
π
=
B.
2
x
π
=
C.
6
x
π
=
D.
5
6
x
π
=
Câu 245: Phương trình
2
sin 3sin 4 0
x x
+ =
có nghim là
A. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
Z
B. 2 ,x k k
π π
= +
Z
C. ,x k k
π
=
Z
D. ,
2
x k k
π
π
= +
Z
Câu 246: Phương trình
2
tan 5 tan 6 0
x x
+ =
có nghim
A.
( )
; arctan( 6)
4
x k x k k
π
π π
= + = +

B.
( )
2 ; arctan( 6) 2
4
π
π π
= + = +
x k x k k
C.
( )
; arctan( 6) 2
4
x k x k k
π
π π
= + = +
D.
(
)
; arctan( 6) .
x k x k k
π π
= = +
Câu 247: Phương trình:
2
sin 2cos 2 0
3 3
x x
+ =
có nghim là
A. ,x k k
π
=
B. 3 ,x k k
π
=
C. 2 ,x k k
π
=
D. 6 ,x k k
π
=
Câu 248: Phương trình:
tan 2 tan 2 1
2 2
x x
π π
+ + =
có nghim là
A.
( )
2
4
x k k
π
π
= +
B.
( )
4
x k k
π
π
= +
C.
( )
4 2
x k k
π π
= +
D.
( )
4
x k k
π
π
= ± +
Câu 249: Nghim ca phương trình
2
sin 4sin 3 0
x x
+ =
là :
A. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
. B. 2 ,
2
x k k
π
π
= ± +
.
C. 2 ,
2
x k k
π
π
= +
. D. 2 ,x k k
π
=
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
85
8585
85
Câu 250: Gii phương trình
(
)
2
3 tan 1 3 tan 1 0
x x
+ + =
A. , ,
4 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
. B. 2 , 2 ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
C. 2 , 2 ,
4 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
. D. , ,
3 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
Câu 251: Phương trình
cos 2 2cos 11 0
x x
+ =
có tp nghim là
A.
(
)
arccos 3 2 ,x k k
π
= +
,
(
)
arccos 2 2 ,x k k
π
= +
.
B.
.
C.
(
)
arccos 2 2 ,x k k
π
= +
.
D.
(
)
arccos 3 2 ,x k k
π
= +
.
Câu 252: Gii phương trình
2
2cos 3cos 1 0
x x
+ =
A. 2 ,
3
x k k
π
π
= +
. B.
2 , 2 ,
3
k k k
π
π π
± +
.
C. 2 ,
3
x k k
π
π
= +
. D. 2 ,x k k
π
=
.
Câu 253: m tt cc h nghim ca phương tnh:
2
3
sin 2sin 0
4
x x
+ =
.
A.
2 ( )
6
x k k
π
π
= +
. B.
5
; ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
C.
5
2 ; 2 ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
. D.
; ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = +
.
Câu 254: Phương trình
2
2sin sin 3 0
x x
+ =
có nghim
A. ,k k
π
. B. ,
2
k k
π
π
+
. C. 2 ,
2
k k
π
π
+
. D. 2 ,
6
k k
π
π
+
.
Câu 255: Phương trình
tan 3cot 4
x x
+ =
(vi.
k
.) có nghim là
A.
2 , arctan 3 2
4
k k
π
π π
+ + . B.
4
k
π
π
+ .
C.
arctan 4
k
π
+
. D. , arctan 3
4
k k
π
π π
+ + .
Câu 256: m tt cc h nghim ca phương tnh:
2
cos 4 cos 3 0
x x
+ =
.
A.
2 ( )
x k k
π π
= +
. B.
2 ( )
2
x k k
π
π
= +
.
C.
2 ( )
x k k
π
=
. D.
( )
x k k
π
=
.
Câu 257: Phương trình
(
)
2
3 tan 3 3 tan 3 0
x x
+ + =
có nghim
A.
4
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. B.
4
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
. C.
4
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
=
. D.
4
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
Câu 258: Gii phương trình
2
sin 5sin 6 0
x x
+ =
.
A.
4
k
π
π
+ . B. Vô nghim. C.
x k
π
=
. D.
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
86
8686
86
Câu 259: Gii phương trình
2
tan 2 tan 3 0
x x
=
.
A.
4
x k
π
π
= + . B.
4
x k
π
π
= + . C.
x k
π
=
. D.
x k
π π
= +
.
Câu 260: H nghim ca phương trình
2
sin 2 2sin2 1 0
x x
+ =
là :
A.
4
k
π
π
+ . B.
4
k
π
π
+ . C.
2
4
k
π
π
+ . D.
2
4
k
π
π
+ .
Câu 261: H nghim ca phương trình
2
cos 2 cos2 2 0
x x
=
là
A.
2
k
π
π
+ . B.
2 2
k
π π
+ . C.
2
2
k
π
π
+ . D.
2
2
k
π
π
+ .
Câu 262: Mt h nghim ca phương trình
2
tan 2 3tan 2 2 0
x x
+ =
là
A.
8
k
π
π
+ . B.
8
k
π
π
+ . C.
8 2
k
π π
+ . D.
8 2
k
π π
+ .
Câu 263: Mt h nghim ca phương trình
2
cos 2 sin 2 1 0
x x
+ =
là
A.
2
k
π
π
+ . B.
3
k
π
. C.
2 2
k
π π
+ . D.
2
k
π
.
Câu 264: Mt h nghim ca phương trình
2cos 2 3sin 1 0
x x
+ =
là
A.
1
arcsin 2
4
k
π π
+ +
. B.
1
arcsin 2
4
k
π π
+
.
C.
1 1
arcsin
2 2 4
k
π
π
+
. D.
1
arcsin
2 4
k
π
π
+
.
Câu 265: H nghim ca phương trình
3cos 4 2 cos 2 5 0
x x
+ =
là
A.
2
k
π
. B.
2
3
k
π
π
+ . C.
k
π
. D.
2
3
k
π
π
+ .
Câu 266: Các h nghim ca phương tnh
2
3sin 2 3cos 2 3 0
x x
+ =
là
A. ;
4 2
k k
π π
π
+ . B. ;
4 2
k k
π π
π
+ . C. ;
4
k k
π
π π
+ . D. ;
4
k k
π
π π
+ .
Câu 267: Nghim ca phương trình
2
sin 2 2sin 2 1 0
x x
+ + =
trong khong
(
)
;
π π
là :
A.
3
;
4 4
π π
. B.
3
;
4 4
π π
.
C.
3
;
4 4
π π
. D.
3
;
4 4
π π
.
Câu 268: Nghim ca phương trình
2
2 cos 2 3cos 2 5 0
3 3
x x
π π
+ + + =
trong khong
3 3
;
2 2
π π
là
A.
7 5
; ;
6 6 6
π π π
. B.
7 5
; ;
6 6 6
π π π
. C.
7 5
; ;
6 6 6
π π π
. D.
7 5
; ;
6 6 6
π π π
.
Câu 269: H nghim ca phương trình
3tan 2 2 cot 2 5 0
x x
+ =
là
A.
4 2
k
π π
+ . B.
4 2
k
π π
+ . C.
1 2
arctan
2 3 2
k
π
+ . D.
1 2
arctan
2 3 2
k
π
+ .
Câu 270: Trong ca
c nghiê
m sau, nghim âm ln nht ca phương tnh
2
2 tan 5 tan 3 0
x x
+ + =
là :
A.
3
π
. B.
4
π
. C.
6
π
. D.
5
6
π
.
Câu 271: S nghim ca phương trình
2 tan 2cot 3 0
x x
=
trong khong
;
2
π
π
là :
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
87
8787
87
Câu 272: Gii phương trình:
2
sin 2sin 3 0
x x
+ =
.
A.
k
π
. B.
2
k
π
π
+ . C.
2
2
k
π
π
+ . D.
2
2
k
π
π
+ .
Câu 273: Gii phương trình
2
3cos 2cos 5 0
x x
+ =
.
A.
x k
π
=
. B.
2
x k
π
π
= + . C.
2
2
x k
π
π
= + . D.
2
x k
π
=
.
Câu 274: Gii phương trình :
2
tan 2 tan 1 0
x x
+ + =
.
A.
4 2
k
π π
+ . B.
4
k
π
π
+ . C.
2
2
k
π
π
+ . D.
k
π
.
Câu 275: Gii phương trình
2
cos 3cos 2 0
x x
+ =
.
A.
arccos 2 2
π
π
=
= +
x k
x k
. B.
2
x k
π
= .
C.
2
x k
π
=
. D.
2
ar cos2 2
π
π
=
= +
x k
x k
.
Câu 276: Phương trình lượng giác :
2
sin 2sin 0
x x
=
có nghim
A.
2
x k
π
=
. B.
x k
π
=
. C.
2
x k
π
π
= + . D.
2
2
x k
π
π
= + .
Câu 277: Phương trình
2 2
sin sin 2 1
x x
+ =
có nghim
A.
2
( )
6
x k
k
x k
π
π
π
π
= +
= ± +
. B.
3 2
4
x k
x k
π π
π
π
= +
= +
.
C.
12 3
3
x k
x k
π π
π
π
= +
= +
. D. Vô nghim.
Câu 278: Phương trình
2
2 tan 3 tan 1 0
x x
+ + =
có nghim
A.
( )
k k
π
. B.
1
; arctan ( )
4 2
π
π
+
k k
.
C.
1
2 , arctan ( )
2 2
π
π
+
k k
. D.
1
; arctan ( )
4 2
π
π π
+ +
k k k
.
Câu 279: Gii phương trình lượng giác
4 2
4sin 12cos 7 0
x x
+ =
có nghim là
A.
2
4
x k
π
π
= ± + . B.
4 2
x k
π π
= + . C.
4
x k
π
π
= + . D.
4
x k
π
π
= + .
Phươngtrìnhđẳngcấp
Câu 280: Phương trình
2 2
6sin 7 3 sin 2 8cos 6
x x x
+ =
có các nghim là
A.
2
6
x k
x k
= +
= +
π
π
π
π
,
k
. B.
4
3
x k
x k
= +
= +
π
π
π
π
,
k
.
C.
8
12
x k
x k
= +
= +
π
π
π
π
,
k
. D.
3
4
2
3
x k
x k
= +
= +
π
π
π
π
,
k
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
88
8888
88
Câu 281: Phương trình
(
)
(
)
2 2
3 1 sin 2 3 sin cos 3 1 cos 0
x x x x
+ + =
có các nghim là
A.
( )
2 3
4
x k
x k
= +
= +
= +
π
π
α
α π
vôùi tan ,
k
. B.
( )
tan 2 3
4
x k
x k
= +
=
= +
π
π
α
α π
vôùi ,
k
.
C.
( )
tan 1 3
8
x k
x k
= +
= +
= +
π
π
α
α π
vôùi
,
k
. D.
( )
tan 1 3
8
x k
x k
= +
=
= +
π
π
α
α π
vôùi
,
k
.
Câu 282: Phương trình
2 2
3cos 4 5sin 4 2 2 3 sin 4 cos 4
x x x x
+ = có nghim
A.
6
x k
= +
π
π
,
k
. B.
12 2
x k
= +
π π
,
k
.
C.
18 3
x k
= +
π π
,
k
. D.
24 4
x k
= +
π π
,
k
.
Câu 283: Phương trình
2 3 sin 5 cos 3 sin 4 2 3 sin 3 cos5
x x x x x
= + có nghim là
A.
1 3
, arccos , .
4 4 12 2
k k
x x k
π π
= = ± +
B.
3
, arccos , .
4 48 2
k k
x x k
π π
= = ± +
C. Vô nghim. D.
, .
2
k
x k
π
=
Câu 284: Gii phương trình
2 2
3sin 2 2sin 2 cos 2 4 cos 2 2.
x x x x
=
A.
1 1
arctan 3 , arctan( 2) , .
2 2 2 2
k k
x x k
π π
= + = +
B.
1 73 1 73
arctan , arctan , .
12 2 12 2
k k
x x k
π π
+
= + = +
C.
1 1 73 1 1 73
arctan , arctan , .
2 6 2 2 6 2
k k
x x k
π π
+
= + = +
D.
3
arctan , arctan( 1) , .
2 2 2
k k
x x k
π π
= + = +
Câu 285: Phương trình
2 2
2sin sin cos cos 0
x x x x
+ =
có nghim
A.
4
k
+
π
π
,
k
. B.
1
, arctan
4 2
k k
+ +
π
π π
,
k
.
C.
1
, arctan
4 2
k k
+ +
π
π π
,
k
. D.
1
2 , arctan 2
4 2
k k
+ +
π
π π
,
k
.
Câu 286: Mt h nghim ca phương trình
2 2
2sin 5sin cos cos 2
x x x x
=
là
A.
6
k
π
π
+ ,
k
. B.
4
k
π
π
+ ,
k
. C.
4
k
π
π
+ ,
k
. D.
6
k
π
π
+ ,
k
.
Câu 287: Mt h nghim ca phương trình
2
2 3 cos 6sin cos 3 3
x x x+ = +
A.
3
2
4
k
π
π
+ ,
k
. B.
4
k
π
π
+ ,
k
. C.
4
k
π
π
+ ,
k
. D.
2
4
k
π
π
+ ,
k
.
Câu 288: Mt h nghim ca phương trình
2
3sin cos sin 2
x x x
+ =
là
A.
(
)
arctan 2
k
π
+
,
k
. B.
( )
1
arctan 2
2 2
k
π
+ ,
k
.
C.
( )
1
arctan 2
2 2
k
π
+ ,
k
. D.
(
)
arctan 2
k
π
+
,
k
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
89
8989
89
Câu 289: Mt h nghim ca phương trình
2 2
2sin sin cos 3cos 0
x x x x
+ =
là
A.
3
arctan
2
k
π
+
,
k
. B.
3
arctan
2
k
π
+
,
k
.
C.
3
arctan
2
k
π
+
,
k
. D.
3
arctan
2
k
π
+
,
k
.
Câu 290: Mt h nghim ca phương trình
2 2
3sin 4sin cos 5cos 2
x x x x
+ =
là
A.
2
4
k
π
π
+ ,
k
. B.
4
k
π
π
+ ,
k
. C.
4
k
π
π
+ ,
k
. D.
3
2
4
k
π
π
+ ,
k
.
Câu 291: Phương trình :
2 2
sin ( 3 1) sin cos 3 cos 0
x x x x
+ + =
có h nghim là
A.
4
k
π
π
+ ,
k
. B.
3
4
k
π
π
+ ,
k
.
C.
±
3
k
π
π
+ ,
k
. D.
4
k
π
π
+ ,
3
k
π
π
+ ,
k
.
Câu 292: Gii phương trình :
4 4
sin cos 1
x x
+ =
A.
4 2
x k
π π
= + ,
k
. B.
4
x k
π
π
= + ,
k
.
C.
2
4
x k
π
π
= ± + ,
k
. D.
2
x k
π
= ,
k
.
Câu 293: Phương trình
2 2
2cos 3 3 sin 2 4sin 4
x x x
=
có h nghim là
A.
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
,
k
. B.
2
2
x k
π
π
= + ,
k
.
C.
6
x k
π
π
= + ,
k
. D.
2
x k
π
π
= + ,
k
.
Câu 294: Trong khong
0 ; ,
2
π
phương trình
2 2
sin 4 3.sin 4 .cos4 4.cos 4 0
+ =
x x x x :
A. Ba nghim. B. Mt nghim. C. Hai nghim. D. Bn nghim.
Phươngtrìnhdạngkhác
Câu 295: Phương trình
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
+ = có nghim là:
A.
6 2
4
x k
x k
π π
π
= +
=
, k
. B.
8
2
x k
x k
π
π
π
= +
=
, k
.
C.
4
x k
x k
π
π
π
= +
=
, k
. D.
2
2
2
x k
x k
π
π
π
= +
=
, k
.
Câu 296: Phương trình
3 3
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
+ = có nghim là:
A.
4
x k
x k
π
π
π
= +
=
, k
. B.
2
2
2
x k
x k
π
π
π
= +
=
, k
.
C.
3
4
2
x k
x k
π
π
π
= +
=
, k
. D.
( )
3
2
2 1
x k
x k
π
π
π
= +
= +
, k
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
90
9090
90
Câu 297: Phương trình
2sin 2 3 6 sin cos 8 0
x x x
+ + =
co
nghim là
A.
3
5
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
, k
. B.
4
5
x k
x k
π
π
π π
= +
= +
, k
.
C.
6
5
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
, k
. D.
12
5
12
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
, k
.
Câu 298: Phương trình
2sin cos sin 2 1 0
x x x
+ =
có nghim là:
A.
6
5
6
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
= +
= +
=
, k
. B.
2
6
5
2
6
2
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
= +
= +
=
, k
.
C.
2
6
2
6
2
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
= +
= +
=
, k
. D.
2
6
2
6
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
= +
= +
=
, k
.
Câu 299: Phương trình
sin 3 cos 2 1 2 sin cos 2
x x x x
+ = +
tương đương vi phương tnh
A.
sin 0
1
sin
2
x
x
=
=
. B.
sin 0
sin 1
x
x
=
=
. C.
sin 0
sin 1
x
x
=
=
. D.
sin 0
1
sin
2
x
x
=
=
.
Câu 300: Gii phươngtrình
(
)
2
sin 2 cot tan 2 4cos
x x x x
+ =
.
A.
2 6
,
x k x k
π π
π π
±= + = + , k
. B.
2 6
, 2
x k x k
π π
π π
±= + = + , k
.
C.
2 3
, 2
x k x k
π π
π π
±= + = + , k
. D.
2 3
,
x k x k
π π
π π
±= + = + , k
.
Câu 301: Phươngtrình
(
)
2 2 sin cos .cos 3 cos 2
x x x x
+ = + có nghim :
A.
6
x k
π
π
= + , k
. B.
6
x k
π
π
= + , k
.
C.
2
3
x k
π
π
= + , k
. D. Vô nghim.
Câu 302: Gii phương trình
3 3
cos sin cos 2
x x x
= .
A. 2 , ,
2 4
x k x k x k
π π
π π π
= = + = + , k
. B.
2 , , 2
2 4
x k x k x k
π π
π π π
= = + 2 = + , k
.
C. 2 , ,
2 4
x k x k x k
π π
π π π
= = + 2 = + , k
. D. , ,
2 4
x k x k x k
π π
π π π
= = + = + , k
.
Câu 303: Gii phương trình
1 sin cos tan 0
x x x
+ + + =
.
A.
4
2 ,
x k x k
π
π π π
= + = + , k
. B.
4
2 , 2
x k x k
π
π π π
= + = + , k
.
C.
4
2 , 2
x k x k
π
π π π
= + = + , k
. D.
4
2 ,
x k x k
π
π π π
= + = + , k
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
91
9191
91
Câu 304: Phương trình
2 2
1 cos cos cos3 sin 0
x x x x
+ + + =
tương đương vi phương trình
A.
(
)
cos cos cos3 0
x x x
+ =
. B.
(
)
cos cos cos2 0
x x x
=
.
C.
(
)
sin cos cos2 0
x x x
+ =
. D.
(
)
cos cos cos 2 0
x x x
+ =
.
Câu 305: Gii phương trình
(
)
(
)
6 6 4 4 2
4 sin cos 2 sin cos 8 4 cos 2
x x x x x
+ + + =
A.
3 2
k
x
π π
±= + , k
. B.
24 2
k
x
π π
±= + , k
.
C.
12 2
k
x
π π
±= + , k
. D.
6 2
k
x
π π
±= + , k
.
Câu 306: Phương trình
2sin cot 1 2 sin 2
x x x
+ = +
tương đương vi phương tnh
A.
2sin 1
sin cos 2sin cos 0
x
x x x x
=
=
. B.
2sin 1
sin cos 2sin cos 0
x
x x x x
=
+ =
.
C.
2sin 1
sin cos 2sin cos 0
x
x x x x
=
+ =
. D.
2sin 1
sin cos 2sin cos 0
x
x x x x
=
=
.
Câu 307: Gii phương trình
sin 3 cos 3
5 sin cos 2 3
1 2 sin 2
x x
x x
x
+
+ = +
+
.
A.
3
2
x k
π
π
±= + , k
. B.
6
2
x k
π
π
±= + , k
.
C.
3
x k
π
π
±= + , k
. D.
6
x k
π
π
±= + , k
.
Câu 308: Gii phương trình
(
)
(
)
sin .cos 1 tan 1 cot 1
x x x x
+ + =
.
A. Vô nghim. B.
2
x k
π
=
, k
. C.
2
k
x
π
= , k
. D.
x k
π
=
, k
.
Câu 309: Tng tt cc nghim ca phương trình
cos5 cos 2 2sin 3 sin 2 0
x x x x
+ + =
trên
[
]
0; 2
π
là
A.
3
π
. B.
4
π
. C.
5
π
. D.
6
π
.
Câu 310: Nghim phương trình
( )
(
)
cos cos 2sin 3sin sin 2
1
sin 2 1
x x x x x
x
+ + +
=
A.
2
4
x k
π
π
= ± + . k
. B.
4
x k
π
π
= + , k
.
C.
2
4
x k
π
π
= + ,
3
2
4
x k
π
π
= + , k
. D.
2
4
x k
π
π
= + , k
.
Câu 311: S nghim thuc
69
;
14 10
π π
ca phương trình
(
)
2
2sin 3 . 1 4sin 1
x x
=
là:
A.
40
. B.
32
. C.
41
. D.
46
.
Câu 312: Gii phương trình
(
)
3 3 5 5
sin cos 2 sin cos
x x x x
+ = + .
A.
4
x k
π
π
= + , k
. B.
4 2
k
x
π π
= + , k
.
C.
4
2
x k
π
π
= + , k
. D.
4
2
x k
π
π
= + , k
.
Câu 313: Gii phương trình
tan tan 2 sin 3 .cos 2
x x x x
+ =
A.
3
, 2
k
x x k
π
π π
= = + , k
. B.
3 2
, 2
k
x x k
π
π
π
= = + , k
.
C.
3
k
x
π
= , k
. D.
2
x k
π
=
, k
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
92
9292
92
Câu 314: Phương trình
2
3 3
tan tan tan 3 3
x x x
π π
+ + + + =
tương đương vi phương tnh:
A.
cot 3.
x = B.
cot 3 3.
x = C.
tan 3.
x = D.
tan 3 3.
x =
Câu 315: Gii phương trình
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4cos 2 sin 2
x x x x
x x
+ +
=
+
.
A.
2
2 , 2
x k x k
= = +
π
π π
, k
. B.
2
k
x =
π
, k
.
C.
2
x k
= +
π
π
, k
. D.
2
, 2
x k x k
= = +
π
π π
, k
.
Câu 316: Cho phương trình
2 2 2
sin tan cos 0 (*)
2 4 2
x x
x
π
=
và
(1),
4
x k
π
π
= +
2 (2),
x k
π π
= +
2 (3),
2
x k
π
π
= + vi
.
k
Các h nghim ca phương trình (*) là:
A. (1) và (2). B. (1) (3). C. (1), (2) (3). D. (2) và (3).
Câu 317: Cho phương trình:
(
)
2 2
4 cos cot 6 2 2 cos cot
+ + =
x x x x
. Hi bao nhiu nghim
x
thuc
vào khong
(
)
0; 2
π
?
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 318: Gii phương trình
sin . cos .cos 2 0
=
x x x
A.
π
k
. B.
2
π
k
. C.
4
π
k
. D.
8
π
k
.
Câu 319: Nghim ca phương trình
1
cos cos5 cos6
2
=
x x x
(vi
k
) là
A.
8
π
π
= +
x k
. B.
2
π
=
k
x . C.
4
π
=
k
x . D.
8 4
π π
= +
k
x .
Câu 320: Mt h nghim ca phương trình
2
cos .sin 3 cos 0
=
x x x là :
A.
6 3
π π
+
k
. B.
6 3
π π
+
k
.
C.
2
π
k
. D.
4
π
k
.
Câu 321: S nghim ca phương tnh
cos 4
tan 2
cos 2
=
x
x
x
trong khong
0;
2
π
là :
A.
2
. B.
4
.
C.
5
. D.
3
.
Câu 322: Nghim dương nh nht ca phương trình
2
sin sin 2 cos 2cos
+ = +
x x x x
là :
A.
6
π
. B.
2
3
π
.
C.
4
π
. D.
3
π
.
Câu 323: Mt nghim ca phương tnh lưng giác:
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2
+ + =
x x x là.
A.
3
π
B.
12
π
C.
6
π
D.
8
π
.
Câu 324: Nghim dươngnh nht ca phương trình
2
2 cos cos sin sin 2
+ = +
x x x x
là?
A.
6
π
=
x . B.
4
π
=
x . C.
3
π
=
x . D.
2
3
π
=x .
Câu 325: Phương trình
sin 3 cos 2 1 2sin cos 2
+ = +
x x x x
tương đương vi phương trình:
A.
sin 0
sin 1
=
=
x
x
. B.
sin 0
sin 1
=
=
x
x
. C.
sin 0
1
sin
2
=
=
x
x
. C.
sin 0
1
sin
2
=
=
x
x
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
93
9393
93
Câu 326: Phương trình
6 6
7
sin cos
16
+ =x x có nghim là:
A.
3 2
π π
= ± +
x k
. B.
4 2
π π
= ± +
x k
. C.
5 2
π π
= ± +
x k
. D.
6 2
π π
= ± +
x k
.
Câu 327: Phương trình
sin 3 4 sin .cos 2 0
=
x x x
có các nghim :
A.
2
3
π
π
π
=
= ± +
x k
x n
. B.
6
π
π
π
=
= ± +
x k
x n
. C.
2
4
π
π
π
=
= ± +
x k
x n
. D.
2
3
2
3
π
π
π
=
= ± +
x k
x n
.
Câu 328: Phương trình
4 4
sin 2 cos sin
2 2
=
x x
x có các nghim là;
A.
2
6 3
2
2
π π
π
π
= +
= +
x k
x k
. B.
4 2
2
π π
π
π
= +
= +
x k
x k
. C.
3
3 2
2
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. D.
12 2
3
4
π π
π
π
= +
= +
x k
x k
.
Câu 329: Các nghim thuc khong
0;
2
π
ca phương trình
3 3
3
sin .cos3 cos .sin 3
8
+ =
x x x x là:
A.
5
,
6 6
π π
. B.
5
,
8 8
π π
. C.
5
,
12 12
π π
. D.
5
,
24 24
π π
.
Câu 330: Các nghim thuc khong
(
)
0;2
π
ca phương trình:
4 4
5
sin cos
2 2 8
+ =
x x
là:
A.
5 9
; ; ;
6 6 6
π π π
. B.
2 4 5
; ; ;
3 3 3 3
π π π π
. C.
3
; ;
4 2 2
π π π
. D.
3 5 7
; ; ;
8 8 8 8
π π π π
.
Câu 331: Phương trình
2 cot 2 3cot 3 tan 2
=
x x x
có nghim là:
A.
3
π
=
x k
. B.
π
=
x k
. C.
2
π
=
x k
. D. Vô nghim.
Câu 332: Phương trình
4 6
cos cos2 2sin 0
+ =
x x x có nghim là:
A.
2
π
π
= +
x k
. B.
4 2
π π
= +
x k
. C.
π
=
x k
. D.
2
π
=
x k
.
Câu 333: Cho phương trình
2
cos 5 cos cos 4 cos 2 3cos 1
x x x x x
= + +
. Các nghim thuc khong
(
)
;
π π
ca phương trình là:
A.
2
,
3 3
π π
. B.
2
,
3 3
π π
. C.
,
2 4
π π
. D.
,
2 2
π π
.
Câu 334: Phương trình:
4 4 4
5
sin sin sin
4 4 4
π π
+ + + =
x x x có nghim là:
A.
8 4
π π
= +
x k
. B.
4 2
π π
= +
x k
. C.
2
π
π
= +
x k
. D.
2
π π
= +
x k
.
Câu 335: Phương trình:
( )
cos 2 cos 2 4 sin 2 2 1 sin
4 4
π π
+ + + = +
x x x x
có nghim là:
A.
2
12
11
2
12
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. B.
2
6
5
2
6
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. C.
2
3
2
2
3
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. D.
2
4
3
2
4
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
94
9494
94
Câu 336: Phương trình:
5 5 2
4cos .sin 4sin .cos sin 4
=
x x x x x
có các nghim :
A.
4
8 2
π
π π
=
= +
x k
x k
. B.
2
4 2
π
π π
=
= +
x k
x k
. C.
3
4
π
π
π
=
= +
x k
x k
. D.
2
2
3
π
π
π
=
= +
x k
x k
.
Câu 337: Cho phương trình:
sin 3 cos3 3 cos2
sin
1 2 sin 2 5
+ +
+ =
+
x x x
x
x
. Các nghim ca phương trình thuc
khong
(
)
0;2
π
:
A.
5
,
12 12
π π
. B.
5
,
6 6
π π
. C.
5
,
4 4
π π
. D.
5
,
3 3
π π
.
Câu 338: Phương trình
3 1
8cos
sin cos
= +x
x x
có nghim là:
A.
16 2
4
3
π π
π
π
= +
= +
x k
x k
. B.
12 2
3
π π
π
π
= +
= +
x k
x k
. C.
8 2
6
π π
π
π
= +
= +
x k
x k
. D.
9 2
2
3
π π
π
π
= +
= +
x k
x k
.
Câu 339: Phương trình:
2
2 3 sin cos 2 cos 3 1
8 8 8
π π π
+ = +
x x x có nghim là:
A.
3
8
5
24
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. B.
3
4
5
12
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. C.
5
4
5
16
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. D.
5
8
7
24
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
.
Câu 340: Phương trình:
(
)
(
)
sin 3 cos 2 sin 3 cos 3 1 sin 2cos 3 0
+ + =
x x x x x x
có nghim là:
A.
2
π
π
= +
x k
. B.
4 2
π π
= +
x k
. C.
2
3
π
π
= +
x k
. D. Vô nghim.
Câu 341: Phương trình:
(
)
(
)
2
sin sin 2 sin sin 2 sin 3
+ =
x x x x x
có các nghim :
A.
3
2
π
π
=
=
x k
x k
. B.
6
4
π
π
=
=
x k
x k
. C.
2
3
π
π
=
=
x k
x k
. D.
3
2
π
π
=
=
x k
x k
.
Câu 342: Phương trình
cos 2
cos sin
1 sin 2
+ =
x
x x
x
có nghim là:
A.
2
4
8
2
π
π
π
π
π
= +
= +
=
x k
x k
x k
. B.
2
4
2
π
π
π
π
π
= +
= +
=
x k
x k
x k
. C.
3
4
2
2
2
π
π
π
π
π
= +
= +
=
x k
x k
x k
. D.
5
4
3
8
4
π
π
π
π
π
= +
= +
=
x k
x k
x k
.
Câu 343: Phương trình
1 1
2sin 3 2 cos3
sin cos
= +x x
x x
có nghim là:
A.
4
π
π
= +
x k
. B.
4
π
π
= +
x k
. C.
3
4
π
π
= +
x k
. D.
3
4
π
π
= +
x k
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
95
9595
95
Câu 344: Phương trình
2
2sin 3 1 8sin 2 . cos 2
4
π
+ = +
x x x
có nghim là:
A.
6
5
6
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. B.
12
5
12
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. C.
18
5
18
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
. D.
24
5
24
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
.
Câu 345: Phương trình
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
=
x x x x
có các nghim là:
A.
12
4
π
π
=
=
x k
x k
. B.
9
2
π
π
=
=
x k
x k
. C.
6
π
π
=
=
x k
x k
. D.
3
2
π
π
=
=
x k
x k
.
Câu 346: Phương trình:
2
4sin .sin .sin cos 3 1
3 3
π π
+ + + =
x x x x có các nghim là:
A.
2
6 3
2
3
π π
π
= +
=
x k
x k
. B.
4
3
π
π
π
= +
=
x k
x k
. C.
2
3
π
π
π
= +
=
x k
x k
. D.
2
2
4
π
π
π
= +
=
x k
x k
.
Câu 347: Phương trình
sin sin 2 sin 3
3
cos cos 2 cos3
+ +
=
+ +
x x x
x x x
có nghim là:
A.
3 2
π π
= +
x k
. B.
6 2
π π
= +
x k
,.
5
2
3
x k
π
π
= + .
C.
6
x k
π
π
= + ,.
5
2
3
x k
π
π
= + . D.
5
6 2
π π
= +
x k
.
Câu 348: Các nghim thuc khong
(
)
0;
π
ca phương trình:
tan sin tan sin 3 tan
+ + =
x x x x x
là:
A.
5
,
8 8
π π
. B.
3
,
4 4
π π
. C.
5
,
6 6
π π
. D.
6
π
.
Câu 349: Phương trình
sin 3 cos 3 2
cos 2 sin 2 sin 3
+ =
x x
x x x
có nghim là:
A.
8 4
π π
= +
x k
. B.
6 3
π π
= +
x k
. C.
3 2
π π
= +
x k
. D.
4
π
π
= +
x k
.
Câu 350: Phương trình
3 3 3 3
sin cos sin . cot cos . tan 2 sin 2
+ + + =
x x x x x x x
có nghim là:
A.
8
π
π
= +
x k
. B.
4
π
π
= +
x k
. C.
2
4
π
π
= +
x k
. D.
3
2
4
π
π
= +
x k
.
Câu 351: Phương trình
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
+
= +
x x
x x
x
có nghim là:
A.
2
π
π
= +
x k
. B.
2
3
π
π
= +
x k
. C.
4 2
π π
= +
x k
. D. Vô nghim.
Câu 352: Phương trình
(
)
(
)
2
2 sin 1 3cos 4 2 sin 4 4 cos 3
+ + + =
x x x x
có nghim là:
A.
2
6
7
2
6
2
π
π
π
π
π
= +
= +
=
x k
x k
x k
. B.
2
6
5
2
6
π
π
π
π
π
= +
= +
=
x k
x k
x k
. C.
2
3
4
2
3
2
π
π
π
π
π
= +
= +
=
x k
x k
x k
. D.
2
3
2
2
3
2
3
π
π
π
π
π
= +
= +
=
x k
x k
x k
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
96
9696
96
Câu 353: Phương trình
1
2 tan cot 2 2sin 2
sin 2
+ = +x x x
x
có nghim là:
A.
12 2
π π
= ± +
x k
. B.
6
π
π
= ± +
x k
. C.
3
π
π
= ± +
x k
. D.
9
π
π
= ± +
x k
.
Câu 354: Phương trình:
( )
4 2
1 2
48 1 cot 2 .cot 0
cos sin
x x
x x
+ =
có các nghim
A.
16 4
x k
π π
= + . B.
12 4
x k
π π
= + . C.
8 4
x k
π π
= + . D.
4 4
x k
π π
= + .
Câu 355: Phương trình:
(
)
(
)
5 sin cos sin 3 cos3 2 2 2 sin 2
x x x x x
+ + = + có các nghim
A.
2
4
x k
π
π
= + , k
. B.
2
4
x k
π
π
= + , k
.
C.
2
2
x k
π
π
= + , k
. D.
2
2
x k
π
π
= + , k
.
Câu 356: Cho phương trình
cos 2 .cos sin .cos3 sin 2 sin sin 3 cos
x x x x x x x x
+ =
các h s thc:.
I.
4
x k
π
π
= + , k
. II.
2
2
x k
π
π
= + , k
.
III.
2
14 7
x k
π π
= + , k
. IV.
4
7 7
x k
π π
= + , k
.
Chn tr li đúng: Nghim ca phương trình
A. I, II. B. I, III. C. II, III. D. II, IV.
Câu 357: Cho phương trình
(
)
(
)
(
)
2 2
cos 30 sin 30 sin 60
x x x
° ° = + °
các tp hp s thc:
I.
30 120
x k
= ° + °
,
k
. II.
60 120
x k
= ° + °
, k
.
III.
30 360
x k
= ° + °
,
k
. IV.
60 360
x k
= ° + °
, k
.
Chn tr li đúng v nghim ca phương trình
A. Ch I. B. Ch II. C. I, III. D. I, IV.
Câu 358: Phương trình
4 4
sin sin 4 sin cos cos
2 2 2
x x
x x x
π
+ =
có nghim là
A.
3
4
x k
π
π
= + , k
. B.
3
8 2
x k
π π
= + , k
.
C.
3
12
x k
π
π
= + , k
. D.
3
16 2
x k
π π
= + , k
.
Câu 359: Mt nghim ca phương tnh
2 2 2
cos cos 2 cos 3 1
x x x
+ + =
có nghim là
A.
8
x
π
=
. B.
12
x
π
=
. C.
3
x
π
=
. D.
6
x
π
=
.
Câu 360: Phương trình:
2 2
7
sin .cos 4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x
π
=
có nghim là
A.
6
7
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
, k
. B.
2
6
7
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
, k
.
C.
2
6
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
, k
. D.
6
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
, k
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
97
9797
97
Câu 361: Phương trình
2
cos 2 sin 2 cos 1 0
x x x
+ + + =
có nghim là
A.
2
2
3
x k
x k
π
π
π
=
= +
, k
. B.
2
x k
π π
= +
, k
.
C.
2
3
x k
π
π
= + , k
. D.
3
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
, k
.
Câu 362: Phương trình:
( )
12 12 14 14
3
sin cos 2 sin cos cos2
2
x x x x x
+ = + + có nghim là
A.
4
x k
π
π
= + , k
. B.
4 2
x k
π π
= + , k
.
C.
2
4
x k
π
π
= + , k
. D. Vô nghim.
Câu 363: Phương trình:
4 4
3
cos sin cos .sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
+ + =
có nghim là:
A.
(
)
2x k k
π
=
. B.
(
)
3x k k
π
=
. C.
(
)
4x k k
π
=
. D.
( )
4
x k k
π
π
= +
.
Câu 364: Gii phương trình
2 2 2 2
sin 3 cos cs on
3
i
s
x x x x
+ = +
A.
2
4
x k
π
π
= ± + , k
. B. ,
4 2 8 4
k k
x x
π π π π
= + = + , k
.
C. ,
4 2 8 4
k k
x x
π π π π
= + = + , k
. D. ,
4 2 4 2
k k
x x
π π π π
= + = + , k
.
Câu 365: Gii phương trình
(
)
(
)
sin .cos 1 tan 1 cot 1
x x x x
+ + =
.
A. Vô nghim. B.
2
x k
π
=
, k
. C.
2
k
x
π
= , k
. D.
x k
π
=
, k
.
Câu 366: Phương trình
sin 3 cos 2 1 2sin cos 2
x x x x
+ = +
tương đương vi phương tnh:
A.
sin 0
sin 1
x
x
=
=
. B.
sin 0
sin 1
x
x
=
=
. C.
sin 0
1
sin
2
x
x
=
=
. D.
sin 0
1
sin
2
x
x
=
=
.
Câu 367: Trong na khong
[
)
0; 2
π
, phương trình
sin 2 sin 0
x x
+ =
có s nghim là:
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 368: Gii phương trình
2 2
3sin sin 2 cos 0
x x x
=
A.
1
2 , arctan 2 ,
4 3
x k x k k
π
π π
= + = +
.
B. ,
4
x k k
π
π
±
= +
.
C.
1
, arctan ,
4 3
x k x k k
π
π π
= + = +
.
D. Vô nghim.
Câu 369: Gii phương trình
1 1 2
sin 2 cos 2 s in4
x x x
+ =
A.
, ,
4
x k x k k
π
π π
= = +
. B.
,x k k
π
=
.
C. Vô nghim. D. ,
4
x k k
π
π
= +
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
98
9898
98
Câu 370: Gii phương trình
( )
2
tan cot tan cot 2
x x x x
+ =
.
A. C 3 đáp án. B. ,
4
x k k
±
= +
π
π
.
C. ,
6
x k k
= +
π
π
. D. ,
4
x k k
= +
π
π
.
Phươngtrìnhchứathamsố
Câu 371: Vi giá tr nào ca
m
thì phương trình
sin
x m
=
có nghim:
A.
1
m
. B.
1
m
. C.
1 1
m
. D.
1
m
.
Câu 372: Phương trình
cos 0
x m
=
vô nghim khi
m
A.
1
1
m
m
<
>
. B.
1
m
>
. C.
1 1
m
. D.
1
m
<
.
Câu 373: Cho phương trình:
3 cos 1 0
x m
+ =
. Vi g tr nào ca
m
thì phương trình nghim:
A.
1 3
m < . B.
1 3
m > + .
C.
1 3 1 3
m + . D.
3 3
m .
Câu 374: Phương trình
cos 1 0
m x
+ =
có nghim khi
m
tha điu kin
A.
1
1
m
m
. B.
1.
m
C.
1.
m
D.
1
1
m
m
Câu 375: Phương trình:
cos 0
x m
=
vô nghim khi
m
là
A.
1
1
m
m
<
>
. B.
1
m
>
. C.
1 1
m
. D.
1
m
<
.
Câu 376: Phương trình
cos 1
x m
= +
có nghim khi
m
là
A.
1 1
m
. B.
0
m
. C.
2
m
. D.
2 0
m
.
Câu 377: Cho phương trình:
3 cos 1 0
x m
+ =
. Vi g tr nào ca
m
thì phương trình nghim
A.
1 3
m < . B.
1 3
m > + .
C.
1 3 1 3
m + . D.
3 3
m .
Câu 378: Để phương trình
2
cos
2 4
x
m
π
=
có nghim, ta chn
A.
1
m
.
B.
0 1
m
.
C.
1 1
m
.
D.
0
m
.
Câu 379: Phương trình
2sin 0
x m
=
vô nghim khi
m
A.
2 2
m
. B.
1
m
<
. C.
1
m
>
. D.
2
m
<
hoc
2
m
>
Câu 380: Cho phương trình
cos 2 2
3
x m
π
=
. Tìm
m
để phương trình nghim?
A. Không tn ti
m
. B.
[
]
1;3
m
.
C.
[
]
3; 1 .
m
D. mi giá tr ca
m
.
Câu 381: Vi giá tr nào ca
m
thì phương trình
sin cos
x x m
+ =
có nghim:
A.
2 2
m
. B.
2
m
. C.
1 1
m
. D.
2
m
.
Câu 382: Điu kin để phương trình
sin 3cos 5
m x x
=
có nghim là
A.
4
m
. B.
4 4
m
. C.
34
m
. D.
4
4
m
m
.
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
99
9999
99
Câu 383: Vi giá tr nào ca
m
thì phương trình
( 1) sin cos 5
m x x+ + = có nghim.
A.
3 1
m
. B.
0 2
m
. C.
1
3
m
m
. D.
2 2
m
.
Câu 384: Cho phương trình:
(
)
2 2
2 cos 2 sin 2 1 0
m x m x
+ + =
. Để phương trình có nghim thì giá tr thích
hp ca tham s
m
là
A.
1 1
m
. B.
1 1
2 2
m
. C.
1 1
4 4
m
. D.
| | 1
m
.
Câu 385: m m để pt
2
sin 2 cos
2
m
x x
+ =
có nghim là
A.
1 3 1 3
m + . B.
1 2 1 2
m +
.
C.
1 5 1 5
m + . D.
0 2
m
.
Câu 386: Điu kin có nghim ca phương tnh
sin 5 cos5
a x b x c
+ =
là
A.
2 2 2
a b c
+ <
. B.
2 2 2
a b c
+
. C.
2 2 2
a b c
+
. D.
2 2 2
a b c
+ >
.
Câu 387: Điu kin để phương trình
sin 8cos 10
m x x
+ =
vô nghim
A.
6
m
>
. B.
6
6
m
m
. C.
6
m
<
. D.
6 6
m
< <
.
Câu 388: Điu kin để phương trình
12 sin cos 13
x m x
+ =
có nghim
A.
5
m
>
. B.
5
5
m
m
. C.
5
m
<
. D.
5 5
m
< <
.
Câu 389: m điu kin để phương trình
sin 12cos 13
m x x
+ =
vô nghim.
A.
5
m
>
. B.
5
5
m
m
. C.
5
m
<
. D.
5 5
m
< <
.
Câu 390: m điu kin để phương trình
6sin cos 10
x m x
=
vô nghim.
A.
8
8
m
m
. B.
8
m
>
. C.
8
m
<
. D.
8 8
m
< <
.
Câu 391: m m để phương trình
5 cos sin 1
x m x m
= +
có nghim
A.
13
m
. B.
12
m
. C.
24
m
. D.
24
m
.
Câu 392: m điu kin ca m để phương tnh
3sin cos 5
x m x
+ =
vô nghim.
A.
4
4
m
m
. B.
4
m
>
. C.
4
m
<
. D.
4 4
m
< <
.
Câu 393: Điu kin để phương trình
.sin 3cos 5
m x x
=
có nghim
A.
4
m
. B.
4 4
m
. C.
34
m . D.
4
4
m
m
.
Câu 394: m
m
để phương trình
2sin cos 1 (1)
x m x m
+ =
nghim
;
2 2
x
π π
.
A.
3 1
m
B.
2 6
m
C.
1 3
m
D.
1 3
m
Câu 395: m
m
để phương trình
sin 5cos 1
m x x m
+ = +
nghim.
A.
12
m
B.
6
m
C.
24
m
D.
3
m
Câu 396: Điu kin để phương trình
.sin 3cos 5
m x x
=
có nghim
A.
4
4
m
m
. B.
4
m
. C.
34
m . D.
4 4
m
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
100
100100
100
Câu 397: Để phương trình
cos sin
x x m
+ =
có nghim, ta chn:
A.
1 1
m
.
B.
0 2
m
.
C.
m tùy ý.
D.
2 2
m
.
Câu 398: Phương trình
cos 2 sin 2 2
m x x m
+ =
có nghim khi và ch khi
A.
3
;
4
m
−∞
. B.
4
;
3
m
−∞
. C.
4
;
3
m
+
. D.
3
;
4
m
+
.
Câu 399: Cho phương trình
(
)
4sin 1 cos
x m x m
+ =
. m tt c các giá tr thc ca
m
để phương trình
có nghim:
A.
17
2
m < . B.
17
2
m
. C.
17
2
m . D.
17
2
m .
Câu 400: Phương trình3sin 4cos
x x m
=
có nghim khi
A.
5 5
m
B.
5
m
hoc
–5
m
C.
5
m
D.
–5
m
Câu 401: Cho phương tnh lượng giác:
(
)
3sin 1 cos 5
x m x
+ =
. Định
m
để phương trình vô nghim.
A.
3 5
m
< <
B.
5
m
C.
3 hay 5
m m
D.
3 5
m
Câu 402: Cho phương tnh
sin 1 3 cos 2
m x m x m
=
. Tìm
m
để phương trìnhnghim.
A.
1
3
3
m
B.
1
3
m
C. Không có giá tr nào ca
m
D.
3
m
Câu 403: m
m
để phương tnh
2
2sin sin 2 2
x m x m
+ = vô nghim.
A.
4
0
3
m
. B.
0
4
3
m
m
. C.
4
0
3
m
< <
. D.
0
4
3
m
m
<
>
.
Câu 404: m
m
để phương tnh
sin 5cos 1
m x x m
+ = +
có nghim:
A.
12
m
. B.
6
m
. C.
24
m
. D.
3
m
.
Câu 405: m
m
để phương trình
(
)
2
2sin 2 1 sin 0
x m x m
+ + =
nghim
;0
2
x
π
.
A.
1 0.
m
< <
B.
1 2.
m
< <
C.
1 0.
m
< <
D.
0 1.
m
< <
Câu 406: Cho phương trình:
6 6
2 2
sin cos
2 .tan 2
cos sin
x x
m x
x x
+
=
, trong đó
m
là tham s. Để phương trình
nghim, các giá tr tch hp ca
m
là
A.
1
8
m
hay
1
8
m
. B.
1
4
m
hay
1
4
m
.
C.
1
8
m
<
hay
1
8
m
>
. D.
1
4
m
<
hay
1
4
m
>
.
Câu 407: Để phương trình
6 6
sin cos
tan tan
4 4
x x
m
x x
π π
+
=
+
có nghim, tham s m phi tha mãn điu kin:
A.
1
1 .
4
m
<
B.
2 1.
m
C.
1 2.
m
D.
1
1.
4
m
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
101
101101
101
Câu 408: Để phương trình:
2
4sin .cos 3 sin 2 cos2
3 6
π π
+ = +
x x a x x
có nghim, tham s
a
phi tha điu kin:
A.
1 1
a
. B.
2 2
a
. C.
1 1
2 2
a . D.
3 3
a
.
Câu 409: Cho phương trình
sin cos sin cos 0
x x x x m
+ =
, trong đó
m
là tham s thc. Để phương
trình có nghim, các giá tr tch hp ca
m
là
A.
1
2 2
2
m . B.
1
2 1
2
m
. C.
1
1 2
2
m + . D.
1
2 2
2
m
+
.
Câu 410: Để phương trình:
(
)
(
)
2
sin 2 1 sin 3 2 0
+ + =
x m x m m
nghim, các giá tr thích hp ca
tham s
m
là
A.
1 1
2 2
1 2
<
m
m
. B.
1 1
3 3
1 3
m
m
. C.
2 1
0 1
m
m
. D.
1 1
3 4
m
m
.
Câu 411: Cho phương trình
2
1 4 tan
cos4
2 1 tan
+ =
+
x
x m
x
. Đ phương trình vô nghim, các giá tr ca tham s
m
phi tha mãn điu kin:
A.
5
0
2
m . B.
0 1
<
m
. C.
3
1
2
<
m . D.
5 3
2 2
< >
m hay m .
Câu 412: Để phương trình
2 2 2
2
sin 2
1 tan cos 2
+
=
a x a
x x
có nghim, tham s
a
phi tha n điu kin:
A.
1
.
3
>
a
a
B.
2
.
3
>
a
a
C.
3
.
3
>
a
a
D.
4
.
3
>
a
a
Câu 413: Cho phương trình:
(
)
(
)
4 4 6 6 2
4 sin cos 8 sin cos 4 sin 4
x x x x x m
+ + =
trong đó
m
là tham s.
Để phương trình vô nghim, t các giá tr tch hp ca
m
là
A.
25
0
4
m
. B.
25
4
4
m
.
C.
24
5
m
<
hay
4
m
>
. D.
24
5
m
<
hay
0
m
>
.
Câu 414: m tt c giá tr ca
m
để phương trình
(
)
(
)
2 2
sin 2 1 sin cos 1 cos
x m x x m x m
=
có
nghim?
A.
0 1
m
. B.
1
m
>
. C.
0 1
m
< <
. D.
0
m
.
Câu 415: Chophương trình
sin 3 cos 2
3 3
π π
=
x x m
. Tìm
m
để phương trình vô nghim.
A.
(
]
[
)
; 1 1;
+∞
. B.
(
)
(
)
; 1 1;
+∞
. C.
[
]
1;1
. D.
m
.
Câu 416: Để phương trình
6 6
sin cos | sin 2 |
x x a x
+ = có nghim, điu kin thích hp cho tham s
a
là
A.
1
0
8
<
a
. B.
1 3
8 8
< <
a
. C.
1
4
<
a
. D.
1
4
a
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
102
102102
102
Phn 6 – BNG ĐÁP ÁNBÀI TP TRC NGHIM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C B D B A D D D A A C C A D C C C C D B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C B B A D D D B D C C A D C C B D C D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B C C C B B C A B A A C B A A A A A C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
C D B A B B B A C B D D C B B B B A D B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
A
A
D
A
C
B
A
B
B
A
D
D
B
B
D
B
A
B
B
A
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
D
B
B
A
C
D
D
C
B
B
B
D
B
A
C
B
B
B
B
B
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
A B A B D A B C A A
A B A A C D D C D D
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
C
D
B
A
A
A
C
D
C
B
C
B
C
D
A
A
C
B
A
D
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
D
D
C
D
D
D
C
C
B
A
A
B
C
B
A
C
D
D
D
A
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
A
A
C
D
C
B
B
C
D
A
D
A
B
B
D
B
D
A
C
C
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
D C A B B A B C A D C D D A B A C D A B
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
D B A A C A C B C A A A B D B C B B B D
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
D A C C A A D B C A B B C C D C A B A B
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
A D D B C A B D D B D C D B C B A D B A
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
B D D A C C B A A B D D A B D B D B A A
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
D C D D C D A A A D C B C C B A D C D B
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
A C C B C D B A D B C C D B B A D B B D
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
A C A B B A C D B B D A C C A C C B D B
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
B B D C A C A C C D C A C A A D C B D C
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
A D C D X C D B D D B D D D A A D D D A
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
A C D A C C A B B B D A D A B D
GV.
GV. GV.
GV. T
TT
TR
RR
RẦ
N QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
m và Biên t
m và Biên tm và Biên t
m và Biên tậ
ập)
p)p)
p)
103
103103
103
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LI
U H
U HU H
U HỌ
ỌC T
C TC T
C T
ẬP TOÁN 11
P TOÁN 11P TOÁN 11
P TOÁN 11
CH
CHCH
CH
Đ
ĐĐ
Đ
1: L
1: L1: L
1:
ƯƯ
Ư
ỢNG GIÁC
NG GIÁCNG GIÁC
NG GIÁC
104
104104
104
MC LC
Phần 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .................................................................................................... 1
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số ......................................................................................... 2
Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất. Giá trị nhnhất của hàm số lượng giác ..................................... 3
Dạng 3. Xét tính chn – lẻ ca hàm số ........................................................................................ 4
Dạng 4. Tính tun hoàn của hàm số ........................................................................................... 6
Dạng 5. Sử dụng đồ th................................................................................................................ 8
Phần 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC .................................................................................. 10
Dạng 1. Phương trình cơ bản ..................................................................................................... 10
Dạng 2. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác ................................................. 12
Dạng 3. Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn cho trước ....................... 14
Dạng 4. Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác ..................................... 16
Dạng 5. Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
cos
x
(Phương trình cổ điển) .................... 18
Dạng 6. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba ................................................................... 20
Dạng 7. [NC] Phương trình đối xứng – Phản đối xứng .......................................................... 22
Dạng 8. [NC] Phương trình lượng giác không mẫu mực ....................................................... 23
Dạng 9. Phương trình lượng giác có tham số........................................................................... 24
Dạng 10. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác ................................................ 25
Phần 3 - BÀI TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ 1 ............................................................................ 33
Phần 4 - PTLG TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ-THPTQG .......................................................... 37
Dạng 1. Công thức lưng giác ................................................................................................ 37
Dạng 2. Đưa về phương trình tích ......................................................................................... 38
Dạng 3. Biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng ............................................................... 42
Dạng 4. Phương trình bậc 2 - bậc 3 ........................................................................................ 44
Dạng 5. Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx...................................................................... 49
Dạng 6. Phương trình đẳng cấp ............................................................................................. 52
Dạng 7. Phương trình đối xứng ............................................................................................. 53
Dạng 8. Phương pháp hạ bậc ................................................................................................. 53
Dạng 9. Công thức nhân ba .................................................................................................... 56
Dạng 10. Phương trình có chứa giá trị tuyện đối Phương trình có chứa căn thức .............. 57
Dạng 11. Phương trình có chứa tham số ................................................................................. 58
Phần 5 - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................ 59
Hàm số lượng giác ...................................................................................................................... 59
Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất ......................................................................... 65
Phương trình cổ điển .................................................................................................................. 77
Phương trình bậc hai – bậc ba ................................................................................................... 81
Phương trình đẳng cấp .............................................................................................................. 87
Phương trình dạng khác ............................................................................................................ 89
Phương trình chứa tham số ....................................................................................................... 98
Phần 6 BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................ 102
MỤC LỤC ......................................................................................................................................... 104
| 1/107

Preview text:

GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 1 Ll20202020v ,. Chuyênđề 1 LƯỢNG GIÁC
Phần 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số y = sin x y = cos x
y = sin x
y = cos x
Tập xác định D = ℝ D = ℝ Chu kỳ T = 2π T = 2π
Tính chẵn lẻ Lẻ Chẵn  π π  HSĐB trên:  − + k2π ; + k2π  2 2
HSĐB trên: (−π + k 2π ; k2π )
Sự biến thiên  π 3π 
HSĐB trên: (k 2π ; π + k2π ) HSNB trên:  + k2π ; + k2π  2 2  π π x –π 0 π x –π 0 π 2 2 1 Bảng biến y = cos x thiên 1 y = sin x 0 0 0 –1 –1 –1 Đồ thị
2. Hàm số y = tan x y = cot x
y = tan x
y = cot x π 
Tập xác định D = ℝ \ 
+ kπ , k ∈ ℤ
D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ  2 
Tập giá trị Chu kỳ T = π T = π
Tính chẵn lẻ Lẻ Lẻ  π π  Nghịch biến trên mỗi khoảng:
Sự biến thiên
Đồng biến trên  − + kπ ; + kπ   2 2 
(kπ ; π + kπ ) π π x x 0 π 2 2 Bảng biến +∞ +∞ thiên y = cot x y = tan x –∞ –∞ Đồ thị TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 2
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tập xác định của hàm số y = f ( x) là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho f(x) có nghĩa. f x • ( ) y = có nghĩa
g(x) ≠ 0 g (x) • 2n y =
f (x) có nghĩa
f (x) ≥ 0, (n ∈ ℕ) • 2n 1 y + =
f (x) có nghĩa f ( x) có nghĩa (n ∈ ℕ) π
y = tan f (x) có nghĩa cos f ( x) ≠ 0 f (x) ≠
+ kπ ,(k ∈ℤ) 2
y = cot f (x) có nghĩa sin f ( x) ≠ 0 ⇔ f (x) ≠ kπ ,(k ∈ ℤ) B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: 1− cos x 1− sin x  π   π  a) y = b) y =
c) y = tan  x − 
d) y = cot  x +  sin x 1+ cos x  3   6 
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 3
C. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1.
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: x 3 2x a) y = sin 3x b) y = cos c) y = d) y = cos 2 2 cos x x −1  π   π 
e) y = 3 − sin x
f) y = tan  2x +  g) y = cos x
h) y = cot  2x −   3   4 
D. BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 2.
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: 1+ x sin x + 2 cot x x a) y = sin b) y = c) y = d) y = tan 1− x cos x +1 cos x −1 3 1 2 3 e) y = sin f) y =
g) y = tan x + cot x h) y = 2 x −1 cos x − cos 3x 2 2
sin x − cos x Bài 3.
Tìm m để hàm số sau xác định ∀x ∈ ℝ : 4 4 y = sin x + o
c s x − 2m sin x cos x Bài 4.
Tìm tập xác định của các hàm số: a) 2 y =
2 + tan x − cos x
b) y = sin 2x − sin x + 3
Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác. x ∀ ∈ ℝ : 2 1
− ≤ sin x ≤ 1, 1
− ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ sin x ≤1 , 2
0 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ sin x ≤ 1, 0 ≤ cos x ≤ 1 ≤
x , 0 ≤ cos x ≤ 1 (khi sin x ≥ 0 , cos x ≥ 0 ) 0 sin 1
Sử dụng các tính chất của bắt đẳng thức: a b
a b b a  ⇔ a c b c a b
a b a + c b + c (cộng 2 vế với c)
 ⇔ a + c b + d c d
a b a.c ≤ .
b c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a b a.c ≥ .
b c (nếu c < 0: đổi chiều)
a > b > 0 1 1
 ⇔ a.c > . b d
a > b > 0 ⇔ <
c > d > 0 a b 2n 2n * 2n 1 + 2n 1 + *
a > b > 0 ⇔ a > b (n ∈ ℕ )
a > b a > b (n ∈ ℕ )
Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Cô-si, BCS, … B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:  π 
a) y = 2 cos x +1
b) y = 3 – 2sin x
c) y = 2cos x +  + 3 d) 2
y = 1− sin(x ) −1  3 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 5.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: 2 1+ 4 cos x a) y = b) y = 4sin x c) y = 2(1+ cos x) +1 3 d) 2
y = cos x + 2 cos 2x
e) y = 2 + 3cos x f) 2 2
y = 3 – 4sin x cos x g) 2
y = 2sin x – cos 2x
h) y = 3 – 2 sin x
i) y = 3 – 4sin x  π   π 
j) y = 3sin  x −  − 2 k) 2 2
y = 5 − 2 cos x sin x
l) y = cos x + cos x −   6   3 
D. BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 6.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
a) y = sin x + cos x
b) y = sin x (1− 2 cos 2x) Bài 7.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 4 4 2 2
y = cot x + cot y + 2 tan x tan y + 2 . Bài 8.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau  π 2π 
a) y = sin x trên đoạn − ;   .  3 3   π   π   π π 
b) y = cos  2x +  − cos  2x −  trên đoạn − ; .    4   4   3 6 
Dạng 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D : x
∀ ∈ D ⇒ −x D
a) Hàm số chẵn trên D nếu
f (−x) = f (x)  x
∀ ∈ D ⇒ −x D
b) Hàm số lẻ trên D nếu
f (−x) = − f (x)  x
D ⇒ −x D
c) Hàm số không chẵn, không lẻ trên D nếu: 0 0  x
D : f (−x ) ≠ f (x ) ≠ − f (x ) 0 0 0 0 Nhận xét:
Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung
Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Chú ý:
x = −x 2n 2 ( − ) = ( − ) n a b b a
, n ∈ ℝ 2n 1 + 2n 1 (a b) (b a) + − = − − , n ∈ ℝ GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 5 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:
a) y = x – sin x
b) y = 3sin x – 2
c) y = sin x – cos x cos x
d) y = sin x cos x + tan x e) y =
f) y = 1− cos x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 6
C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 9.
Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau: tan x + cot x 1+ cos x a) y = b) y = c) 3
y = x sin 2x 1− sin 2x 1− cos x  π  3 x − sin x d) y = cos3x
e) y = tan  x +  f) y =  5  cos 2x x 4 2 6 2
sin 1− x − cos x −1 g) y = h) y = sin x + tan x 1− x
Dạng 4. Tính tuần hoàn của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để xét tính tuần hoàn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:
Hàm số y = f ( x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu  x
∀ ∈ D x ± T D T ∃ ≠ 0 sao cho . f
 ( x + T ) = f ( x), x ∀ ∈ D
Nếu tồn tại số T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T được gọi là chu kỳ của
hàm số tuần hoàn y = f ( x) . 2π 2π
Chú ý: ● y = sin (ax + b) có chu kỳ T = .
● y = cos (ax + b) có chu kỳ T = . 0 a 0 a π π
● y = tan (ax + b) có chu kỳ T = .
● y = cot (ax + b) có chu kỳ T = . 0 a 0 a
● y = f x có chu kỳ T và y = f x có chu kỳ T thì hàm số y = f x ± f x có 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 2
chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của T và T . 0 1 2 C. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 4. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau 1 a) 2 y = 1+ sin 2x . b) y = . sin 2x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 7
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 5. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau
a) y = x + sin x . b) 2 2
y = sin 2x + cos 2x .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 10. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau ( a ≠ 0 ):
a) y = sin (ax + b)
b) y = cos (ax + b)
c) y = tan (ax + b)
d) y = cot (ax + b)
Bài 11. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số: a) y = cos 3 . x (1+ cos x) b) 6 6 y = sin x + o c s x y = c) 2 sin(x ) TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 8
Dạng 5. Sử dụng đồ thị
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vẽ đồ thị hàm số trên miền đã chỉ ra.
Dựa vào đồ thị xác định giá tị cần tìm. B. BÀI TẬP MẪU  π  Ví d 3
ụ 6. Hãy xác định giá trị của x trên đoạn π − ; 
 để hàm số y = tan x nhận giá trị:  2  a) bằng 0 . b) bằng 1. c) dương. d) âm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................  π  Ví d 3
ụ 7. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x , tìm những giá trị của x trên đoạn − ; 2π 
 để hàm số đó:  2 
a) Nhận giá trị bằng –1.
b) Nhận giá trị âm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 9
B. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 12. 1
Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x , tìm các giá trị của x để cos x = . 2
Bài 13. Cho các hàm số f ( x) = sin x , g ( x) = cos x , h( x) = tan x và các khoảng:  3π   π π   31π 33π   452π 610π  J = π ;  , J =  − ;  , J =  ;  , J =  − ; −  1  2  2  4 4  3  4 4  4  3 4 
Hỏi hàm nào trong ba hàm trên đồng biến trên khoảng J ? Trên khoảng J ? Trên khoảng J ? 1 2 3
Trên khoảng J ? (Trả lời bằng cách lập bảng biến thiên) 4
Bài 14. Trong mỗi khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao?
a) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến thì hàm số y = cos x nghịch biến.
b) Trên mỗi khoảng mà hàm số 2
y = sin x đồng biến thì hàm số 2
y = cos x nghịch biến.
Bài 15. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x hãy vẽ đồ thị hàm số y = sin x .
Bài 16. Cho hàm số y = f ( x) = 2sin 2x
a) Chứng minh rằng với số nguyên dương k tùy ý, luôn có f (x + kπ ) = f ( x) với mọi x .  π π 
b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2x trên đoạn − ;   .  2 2 
c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin 2x
Bài 17. CMR: sin 2(x + kπ ) = sin 2x với mọi số nguyên k . Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x . Bài 18. 1 x x CMR: cos
(x + k 4π ) = cos
với mọi số nguyên k . Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = cos rồi suy 2 2 2 x
ra đồ thị hàm số y = cos . 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 10 1
Phần 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1. Phương trình cơ bản
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Chú ý:
Khi gặp dấu trừ ở trước thì:
– sin x = sin ( – x) – cos x = cos (π – x) – tan x = tan ( – x) – cot x = cot ( – x)
Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0). GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 11 1 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:  π  3 2 a) sin x = − b) cos 3x −  = −
c) tan (3x – 30°) = –1 2  6  2  π  3 1 d) cot  x +  = e) sin x = f) ( x + ) 1 cos 3 =  3  3 4 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 12 1
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 19. Giải các phương trình sau: a) ( x °) 1 sin – 60 = b) sin 2x = –1 c) ( x ) 2 cos – 2 = 2 5  π  1  π  d) cos 2x +  = − e) ( x + °) 1 cos 2 50 = f) cot  4x −  = 3  3  2   2 6  x π  π  x  3 2π g) tan  −  = tan h) cot  + 20° = − i) tan 2x = tan  2 4  8  3  3 7 2 3 j) sin 4x = k) ( x °) 3 cos 3 – 45 = l) sin 3x = – 3 2 2  x  1 3 m) ( x °) 3 sin 2 – 15 = − n) sin  +10° = − o) sin 2x = 2   2 2 2
Dạng 2. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác là các phương trình có dạng:
asinx + b = 0 ; acosx + b = 0 ; atanx + b = 0 ; acotx + b = 0
Phương pháp giải: Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:  π  a) 3sin 4x = 2 b) 2sin 2x −1 = 0 c) 3 cot  x +  −1 = 0  3 
d) 2 cos ( x + 50°) = − 3 e) 2cos x – 3 = 0 f) 3 tan 3x – 3 = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 13 1
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau:  π   x  x a) cos 2 . x cot  x −  = 0
b)  cot −1 cot +1 = 0  4   3  2 
c) (1+ 2 cos x)(3 – cos x) = 0 d) (cot x + ) 1 .sin 3x = 0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:
a) cos 3x – sin 2x = 0 b) tan . x tan 2x = –1
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 14 1
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 20. Giải các phương trình sau: a) sin 2 . x cot x = 0
b) tan ( x – 30°).cos (2x –150°) = 0 c) (2 cos 2x – ) 1 (2 sin 2x – 3) = 0
d) (3tan x + 3)(2sin x – ) 1 = 0
e) tan (2x + 60°) cos ( x + 75°) = 0
f) (2 + cos x)(3cos 2x – ) 1 = 0 g) (sin x + ) 1 (2cos 2x – 2 ) = 0 h) (sin 2x – ) 1 (cos x + ) 1 = 0
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 21. Giải các phương trình sau:
a) sin 3x = cos 2x
b) cos x = – sin 2x
c) sin 3x + sin 5x = 0 d) cot 2 . x cot 3x = 1 ° = ° +
e) sin x – cos ( x + 60 ) 0
f) cos ( x –10 ) sin x = 0  π   π   π  g) sin  x +
 = − sin  2x −  h) cos  2x −  = − cos x  3   4   4 
i) tan 3x + tan x = 0
f) tan 3x + tan (2x – 45°) = 0
k) sin 2x + cos 3x = 0 l) tan . x tan 3x = 1
m) cot 2x cot ( x + 45°) = 1
n) tan (3x + 2) + cot 2x = 0  π   π   π   π  o) cos  2x −  − sin  − x  = 0 p) cos  2x +  + cos  x −   4   3   3   6  q) (sin x + ) 1 (2cos 2x – 2 ) = 0 r) (sin 2x – ) 1 (cos x + ) 1 = 0
Bài 22. Giải các phương trình sau: 1 a) 2 sin x = b) 2 4cos x – 3 = 0 c) 2 2
sin 3x – cos x = 0 4 d) 2 ( x °) 2 sin – 45 = cos x e) 3 8cos x –1 = 0 f) 2 tan ( x + ) 1 = 3
Dạng 3. Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên
khoảng, đoạn cho trước
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1. Giải phương trình lượng giác đã cho và tìm các họ nghiệm (nếu có)
Bước 2. Với mỗi họ nghiệm tìm được, cho thuộc khoảng, đoạn đề cho và tìm k (k ∈ℤ)
Bước 3. Ứng với mỗi giá trị k vừa tìm được, thế vào họ nghiệm tìm nghiệm tương ứng. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:  π  3 a) ( x °) 2 sin 2 – 15 =
với –120° < x < 90° b) tan  2x +  = −
với 0 < x < π 2  4  3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 15 1
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 23. Giải các phương trình sau:  π  1 a) ( x + ) 1 cos 2 10 =
với –π < x < π b) sin  2x
 = − với 0 < x < 2π 2  3  2 1 c) sin x = –
với –π < x < 0 d) ( x ) 2 cos – 2 = với x ∈[ ; 0 π ] 2 2  π 
e) tan ( x – 10°) = 1 với –15° < x < 15° f) sin  x +  = 1 với x ∈[π ; 2π ]  4 
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 24. Tìm nghiệm thuộc đoạn [0;14] của phương trình: cos3x − 4cos 2x + 3cos x − 4 = 0  π  Bài 25.
sin 2x − cos 2x
Tính giá trị của x ∈  − ; 0 thỏa mãn phương trình: cot x =  2  2 + sin 2x   Bài 26. cos 3x + sin 3x
Tìm nghiệm thuộc (0; 2π ) của phương trình: 5sin x +  = cos 2x + 3  1+ 2 sin 2x  TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 16 1
Dạng 4. Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a ≠ 0) : 2
asin u + bsinu + c = 0 (1) 2
acos u + bcosu + c = 0 (1) Đặt t = sinu Đặt t = cosu
Điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1
Điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1 ( ) 2
1 ⇔ at + bt + c = 0 ( ) 2
1 ⇔ at + bt + c = 0 2
a tan u + b tan u + c = 0 (1) 2
acot u + bcotu + c = 0 ( 1)
Điều kiện: cos u ≠ 0 .
Điều kiện: sinu ≠ 0
Đặt t = tanu,
Đặt t = cotu, ( ) 2
1 ⇔ at + bt + c = 0 ( ) 2
1 ⇔ at + bt + c = 0 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau: a) 2
2sin x + 3sin x − 2 = 0 b) 2
3cot x + 3cot x − 2 = 0 c) 2
3cos x − 5cos x + 2 = 0 d) 2
3 tan x − 2 3 tan x + 1 = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 17 1
Ví dụ 14. Giải các phương trình sau: a) 3 2
tan x – 3 tan x – 2 tan x + 4 = 0 b) 3 2
4sin x + 4sin x – 3sin x = 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 27. Giải các phương trình sau: a) 2
2cos x + 2 cos x – 2 = 0 b) 2
2cos x – 3cos x +1 = 0 c) 2
6sin x – 5sin x – 4 = 0 d) 2
3 tan x − (1+ 3) tan x +1 = 0 x x e) 2
tan 3x + (1− 3) tan 3x − 3 = 0 f) 2 4cot − 2( 3 − ) 1 cot − 3 = 0 3 3 x x x x g) 2 4cos − 2( 2 + ) 1 cos + 2 = 0 h) 2 2sin + 2 sin − 2 = 0 2 2 2 2 i) 2
2sin x − 3sin x − 5 = 0 j) 2
2 tan x + 3 tan x +1 = 0
Bài 28. Giải các phương trình sau: a) 2
sin x – 2 cos x + 2 = 0 b) 2
cos x + sin x +1 = 0
c) 2cos 2x + 4sin x +1 = 0 d) 2cos 2x – 2( 3 + ) 1 cos x + 3 + 2 = 0
e) cos 2x + 9 cos x + 5 = 0 f) 2 cos5 .
x cos x = cos 4 .
x cos 2x + 3cos x +1  π   π  5 g) 4 2
cot x – 4 cot x + 3 = 0 h) cos 2 x +  + 4cos  − x  =  3   6  2 4 1 i) 2 tan x – + 5 = 0 j)
– 1+ tan x – 3 (tan x + ) 1 = 0 cos x 2 cos x 2 1− tan x
k) tan x − 2 cot x +1 = 0 l) cos 4x – 3 + 2 = 0 2 1+ tan x
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 29. Giải các phương trình sau:  π   π  9 a) 4 4 4
sin x + sin  x +  + cos  x +  =  4   4  8  π   π  b) cos  2x +  + cos  2x
 + 4sin x = 2 + 2 (1− sin x)  4   4 
Bài 30. Giải các phương trình sau: 1  π  a) 3 tan x –1+ + 2 cot  − x  = 3 b) 2
2sin x = 1+ sin 3x 2 cos x  3 
c) 1+ sin 3x = sin x + cos 2x d) 2 2
tan x + cot x + 2 (tan x + cot x) = 6 1 1 7 1 5 e) 2 cos x + + cos x − − = 0 f) 2
+ cot x + ( tan x + cot x) + 2 = 0 2 cos x cos x 4 2 cos x 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 18 1
Dạng 5. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
(Phương trình cổ điển)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a sin x + b cos x = c ( ) 1 với , a ,
b c ∈ ℝ , và 2 2
a + b ≠ 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 2 2 2
a + b c
Chia 2 vế phương trình cho 2 2
a + b , ta được: a b c .s inx + .cos x = 2 2 2 2 2 2 a + b a + b a + b 2 2     a b a b   + 
 = 1 nên đặt cosα = , sinα = 2 2 2 2  a + b   a + b  2 2 a + b 2 2 a + b c Khi đó ta được: sin ( x + α ) =
rồi giải như phương trình cơ bản. 2 2 a + b
Chú ý: Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:  π   π  sin x ± cos x = 2 sin  x ±
 = ± 2 cos  x ∓   4   4  B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau:
a) sin x + 3 cos x = 1
b) cos x – 3 sin x = 2
c) 3sin 3x – 4cos 3x = 5
d) 2sin x + 2 cos x − 2 = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 19 1
Ví dụ 16. Giải các phương trình sau:
a) cos x – 3 sin x = 2 cos 3x
b) sin 9x + 3 cos 7x = sin 7x + 3 cos9x
...................................................................................................................................................................... ........ ..
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 31. Giải các phương trình sau: 6
a) sin x – cos x =
b) 3 cos x + sin x = – 2 2
c) sin 4x + cos 4x = 3
d) 2sin x – 9 cos x = 85
e) 3sin x + 3 cos x = 1
f) 2 cos x – 3sin x + 2 = 0
g) cos x + 4sin x +1 = 0 h)
2 sin 2x + 3cos 2x = 4
i) cos (2x – 15°) + sin (2x – 15°) = –1
j) sin 2x – 3 cos 2x = 1
k) 5 cos 2x +12sin 2x = 13
l) 2sin x + 2 cos x = 2
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 32. Giải các phương trình sau:  π  a) 2
2sin 2x + 3 sin 4x = –3
b) cos x + 3 sin x = 2 cos − x   3   π   π  3 2  π   π  5 2 c) 2sin  x +  + sin  x −  = d) 2cos x +  + 3cos x −  =  4   4  2  6   3  2 1 e) 2 sin 2x + sin x = f) 2
2sin x + 3 sin 2x = 3 2 g) 2 2
3cos x – sin x – sin 2x = 0
h) 4sin x cos x = 13 sin 4x + 3cos 2x
i) 2cos 2x – sin 2x = 2(sin x + cos x)
j) 2sin17x + 3 cos5x + sin 5x = 0 x
k) sin 5x + cos5x = 2 cos13x l) 2 8sin – 3sin x – 4 = 0 2 1+ sin x 1 1− cos 4x sin 4x m) = n) = 1+ cos x 2 2sin 2x 1+ cos 4x
Bài 33. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:
a) y = 2sin x + 3 cos x + 1 c) 2
y = 2sin x + 4sin x cos x + 3
sin x + cos x −1 b) 2
y = sin x + cos 2x – 2 d) y =
sin x − cos x + 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 20 2
Dạng 6. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin x và cos x
(Phương trình đẳng cấp)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2 2
a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0 ( ) 1 Hoặc 2 2
asin x + bsin x cos x + ccos x = d (2) (2) 2 2 ⇔ ax + ′ b x x + ′ c x = d ( 2 2 sin sin cos cos
sin x + cos x)
⇔ (ad )
2 x + bx
x + (cd ) 2 sin sin cos
cos x = 0 (2′)
Phương trình (2′) cũng là dạng ( )
1 , nên ta chỉ xét dạng ( )
1 . Nếu gặp dạng (2) thì ta đưa về dạng ( ) 1 như trên.
Sau đây là cách giải dạng ( ) 1 : cos x = 0
Nếu a = 0 ,
b c ≠ 0 thì ( ) 1 ⇔ cos .
x (b sin x + c cos x) = 0 ⇔ 
b sin x + c cos x = 0 sin x = 0
Nếu c = 0 ,
b a ≠ 0 thì ( ) 1 ⇔ sin .
x (a sin x + b cos x) = 0 ⇔ 
a sin x + b cos x = 0 Nếu , a , b c ≠ 0 :
Kiểm tra xem với cos x = 0 thì ( )
1 có thỏa hay không? ( cos x = 0 thì sin x = 1 ± ). Nếu π
thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x = + π k (k ∈ ℤ) . 2
Với cos x ≠ 0 , chia 2 vế của ( ) 1 cho 2
cos x , ta được phương trình: 2
a tan x + b tan x + c = 0 (1 ) ′
(1′) là phương trình bậc 2 theo tanx , ta đã biết cách giải (Xem phần 2). π Nghiệm của ( )
1 là nghiệm của (1′) và x =
+ kπ (nếu có). 2
Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa ( )
1 về dạng phương trình
bậc nhất theo sin 2x và cos 2x (Phần 3). Với: 1− cos 2x 1+ cos 2x 1 2 sin x = , 2 cos x = , sin . x cos x = sin 2x 2 2 2
Phương trình đẳng cấp bậc 3: 3 2 2 3
a sin x + b sin x cos x + .
c sin x cos x + d cos x = 0
Giải tương tự như đẳng cấp bậc 2. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau: a) 2 2
2sin x − 5sin x cos x − cos x = 2 − b) 2 2
4sin x – 3 3 sin 2x – 2 cos x = 4 c) 2
3 sin 2x + 2cos x –1 = 0 d) 2 2
2 cos x + 3sin 2x – 8sin x = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 21 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 22 2
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 34. Giải các phương trình sau: a) 2 2
2sin x + sin x cos x – 3cos x = 0 b) 2 2
3sin x – 4 sin x cos x + 5 cos x = 2 1 c) 2 2
sin x + sin 2x – 2 cos x = d) 2 2
2 cos x + sin 2x – 4 sin x = –4 2 e) 2 2
sin x –10 sin x cos x + 21cos x = 0 f) 2
cos x – 3sin x cos x +1 = 0 g) 2 2
cos x – 3 sin 2x – sin x = 1 h) 2 2
2 cos x – 3sin x cos x + sin x = 0 i) 2 2
3sin x – 2 3 sin x cos x + cos x –1 = 0 j) 2 2
3cos x + sin x cos x + 2sin x = 2 k) 2 2
3cos x + 3sin x cos x + 2 sin x = 1 l) 2 2
3 cos x – sin 2x – 3 sin x = 1 m) 2
3 sin 2x + 2 cos x – 1 = 0 n) 2 2
2 cos x + 3sin 2x – 8sin x = 0
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 35. Giải các phương trình sau: a) 3 3
sin x + cos x = sin x + cos x b) 3 2 3
sin x + 2sin x cos x – 3cos x = 0 c) 4 2 2 4
3cos x − 4cos x sin x − sin x = 0 d) 3
sin x − 4sin x + cos x = 0  π  e) 3 2 2 cos  x
 − 3cos x − sin x = 0  4 
Dạng 7. [NC] Phương trình đối xứng – Phản đối xứng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: a (sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1)  π 
Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +  , Điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2  4  2 t −1 2
t = 1+ 2 sin x cos x ⇔ sin x cos x = 2 2 t − ( ) 1 1 ⇔ at + . b = c 2
bt + 2at b – 2c = 0 (2) 2
Giải phương trình (2) , chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2  π 
Giải phương trình sin  x +  = t để tìm x .  4  Dạng 2:
a (sin x – cos x ) + bsin x cos x = c ( ) 1  π 
Đặt t = sin x – cos x = 2 sin  x –  , Điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2  4  2 1− t 2
t = 1− 2sin x cos x
⇔ sin x cos x = 2 2 1− t ( ) 1 ⇔ at + . b = c 2
bt − 2at b + 2c = 0 (2) 2
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2  π 
Giải phương trình sin  x −  = t để tìm x .  4 
Dạng 3: a sin x ± cos x + b sin x cos x = c ( ) 1  π 
Đặt t = sin x ± cos x = 2 sin  x ± 
Điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2  4 
Giải tương tự như trên. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 23 2 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:
a) 5sin 2x – 12 (sin x – cos x) +12 = 0
b) 3(sin x + cos x) – sin 2x – 3 = 0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 36. Giải các phương trình sau:
a) (cos x – sin x) + 2 sin 2x – 1 = 0
b) 2 sin x + cos x + 3sin 2x = 2
c) sin x – cos x + 4sin 2x = 1
d) tan x + cot x =
2 (sin x + cos x)
e) (1+ sin 2x)(cos x – sin x) = cos 2x
f) 2sin 4x + 3(sin 2x + cos 2x) + 3 = 0 1 1 10  π  g) cos x + + sin x + =
h) sin 2x – 2 sin  x +  +1 = 0 cos x sin x 3  4 
Dạng 8. [NC] Phương trình lượng giác không mẫu mực
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 A = 0
a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm:  ⇔  A + B = 0 B = 0
A M BA = M
b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập:  ⇔  A = BB = M
A M va B NA = M
c. Trường hợp 3: Sử dụng tính chất:  ⇔ 
A + B = M + NB = N TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 24 2 s  in u =1 s  in u =1
sin u + sin v = 2 ⇔ 
sin u – sin v = 2 ⇔  s  in v = 1 s  in v = 1 − s  in u = 1 − s  in u = 1 −
sin u + sin v = –2 ⇔ 
sin u – sin v = –2 ⇔  s  in v = 1 − s  in v = 1 −
Tương tự cho các trường hợp: cosu ± cos v = 2
± cosu ± sin v = 2 ±
d. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất:
A M va B NA = MA = −M  ⇔  ∨   .
A B = M .NB = NB = −N s  in u = 1 s  in u = 1 −
sinu.sinv =1 ⇔  ∨  s  in v = 1 s  in v = 1 − s  in u = 1 − s  in u = 1
sinu.sinv = –1 ⇔  ∨  s  in v = 1 s  in v = 1 −
Tương tự cho các trường hợp: cosu.cos v = 1
± , sin u.cos v = 1
± , cosu.sin v = 1 ± . B. BÀI TẬP
Bài 37. Giải các phương trình sau: a) 2 2
sin 5x +1 = cos 3x b) 2 2
sin x – 2sin x + 2 = sin 3x
c) sin x + cos x = 2 (2 – sin 3x) d) 2 2
2 cos x = 3sin 5x + 2 e) ( x x)2 2 cos 4 – cos 2 = 4 + cos 3x
f) sin x + cos x = tan x + cot x g) cos 5 . x sin 3x = 1
h) sin 2x + sin 3x + sin 4x = 3
Dạng 9. Phương trình lượng giác có tham số A. BÀI TẬP
Bài 38. Tìm m để các phương trình sau:
a) msin x – 2m +1 = 0 có nghiệm
b) m cos x – 2m + 1 = (2m – ) 1 cos x có nghiệm
c) msin x +1 = 2(sin x + m) vô nghiệm d) 2 2 cos x – sin .
x cos x – 2sin x = m có nghiệm
e) (m + 2)sin x – 2m cos x = 2(m + ) 1 có nghiệm
f) m cos 2x + (m + )
1 sin 2x = m + 2 có nghiệm
g) sin x + m cos x = 1 vô nghiệm
h) (m + 2)sin x + m cos x = 2 vô nghiệm i) ( 2 m + ) 2
2 cos x – 2m sin 2x +1 = 0 có nghiệm
j) sin 2x – 4(cos x – sin x) = m có nghiệm
Bài 39. Xác định m để phương trình: 4 4
2(sin x + cos x) + cos 4x + 2sin 2x m = 0 có ít nhất một  π  nghiệm thuộc đoạn 0 ;   .  2  Bài 40.
2sin x + cos x +1 Cho phương trình: = a ( ) 1
sin x − 2cos x + 3 1
a) Giải phương trình (1) khi a =
b) Tìm a để phương trình ( ) 1 có nghiệm. 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 25 2 6 6 Bài 41. cos x + sin x Cho phương trình: = m tan 2x ( ) 1 2 2 cos x − sin x 13 a) Giải phương trình ( ) 1 khi m =
b) Tìm m để phương trình ( ) 1 vô nghiệm. 8
Dạng 10. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp biến đổi đưa về dạng cơ bản
Ví dụ 19. Giải phương trình 2  x x
a)  sin + cos  + 3 cos x = 2 . b) (2 cos x − )
1 (sin x + cos x) = 1.  2 2 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 26 2
2. Phương pháp biến đổi về dạng tích .
A B = 0 A = 0 hoặc B = 0 .
Ví dụ 20. Giải phương trình  π 
a) sin 3x + 3 2 sin  x +
 = 2 + cos 2x + 3sin 2x . b) sin 2x − cos 2x = 2sin x −1.  4 
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................  A = 0
3. Phương pháp biến đổi đưa về tổng hai bình phương 2 2
A + B = 0 ⇔  . B = 0
Ví dụ 21. Giải phương trình a) 2 2
3 tan x + 4sin x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0 . b) 2 2
4 cos x + 3 tan x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 27 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
4. Phương pháp đánh giá hai vế A = B   A = M
● Phương pháp đối lập A M suy ra  .  B = MB M
A + B = M + N   A = M
● Phương pháp phản chứng A M suy ra  .  B = NB N
Ví dụ 22. Giải phương trình
a) sin 3x (cos x − 2 sin 3x) + cos 3x (1+ sin x − 2 cos 3x) = 0 . b) (c x x)2 os 2 cos 4 = 6 + 2sin 3x .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 28 2
Ví dụ 23. Giải phương trình a) 2010 2010 sin x + cos x = 1 . b) 8 11
sin x + cos x = 1 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 24. Giải phương trình  π 
a) cos x − 3 3 sin x = cos 7x . b) 2 2 5
tan x + cot x = 2 sin  x +  .  4 
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 29 2
Ví dụ 25. Giải phương trình a) 2 x + − x = ( 2 cos 3 2 cos 3 2 1+ sin 2x) . b) 2 2
sin x + 2 − sin x + sin x 2 − sin x = 3 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 26. Giải phương trình a) ( x x + )3 6 sin 2 sin 3 1 = 162sin x − 27 b) 2 3 2 3
tan x + tan x + tan x + cot x + cot x + cot x = 6 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 30 3
Ví dụ 27. Giải phương trình a) 2 2
3cot x + 2 2 sin x = (2 + 3 2 )cos x .
b) sin 2x + cos 2x + tan x = 2 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
6. Phương pháp đổi biến số
Ví dụ 28. Giải phương trình  π   π  a) 3 2 2 cos  x
 − 3cos x − sin x = 0 . b) 3 8 cos  x +  = cos 3x .  4   3 
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 31 3
Ví dụ 29. Giải phương trình  π  a)
3 (sin 2x − cos x) + sin x − cos 2x = 2 .
b) sin 3x − 4 cos  x −  − 3 = 0 .  6 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
7. Phương pháp nhân – chia thêm bớt
Ví dụ 30. Giải phương trình 1 1
a) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = − . b) sin 3x ( 2 1− 4 sin x) = . 2 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 32 3
Ví dụ 31. Giải phương trình 5x x a) 3 sin = 5 cos x sin .
b) 2 cos 3x (2 cos 2x + ) 1 = 1. 2 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. B. BÀI TẬP
Bài 42. Giải các phương trình sau: a) 2 2 2
sin x + sin 2x = sin 3x b) 2 2 2 2
sin 4x + sin 3x + sin 2x + sin x = 2 c) 2 2 2 2
cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2 d) 2 2 2 2
sin x + sin 2x = cos 3x + cos 4x e) 2 2 2
2 cos x + 2 cos 2x + 2 cos 3x − 3 = cos 4x (2 sin 2x + ) 1
Bài 43. Giải các phương trình sau:
a) 4sin 3x + sin 5x – 2sin x cos 2x = 0
b) cos 2x – cos8x + cos 6x = 1
c) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0
d) sin 2x + cos 2x + sin 3x = cos3x e) sin 6 .
x sin 2x = sin 5 . x sin x f) cos8 .
x cos 5x = cos 7 . x cos 4x g) sin 7 .
x cos x = sin 5 . x cos 3x
h) sin 3x + sin 5x + sin 7x = 0
i) 1+ cos x + cos 2x + cos3x = 0 j) 3 + 2sin .
x sin 3x = 3cos 2 x
k) sin x + sin 2x + sin 3x = 1+ cos x + cos 2x + cos3x
l) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos3x
Bài 44. Giải các phương trình sau: a) 4 6
cos 2x + 4sin x = 8cos x
b) sin x = 2 sin 5x – cos x
c) tan x + cot 2x = 2 cot 4x d) 2
2cos x + sin10x = 1
e) tan x + tan 2x = sin 3 . x cos x
f) 5 tan x – 2 cot x = 3
g) (1 – tan x)(1+ sin 2x) = 1+ tan x h) 3
4sin x = sin x + cos x 1+ cos 2x sin 2x cos 2x i) =
j) sin x + cos x = cos x 1− cos 2x 1− sin 2x 1 1 2 3 − cos 6x k) + = l) 4 4 sin x + cos x = cos 2x sin 2x sin 4x 4 m) 2 2
2 tan x – 3tan x + 2cot x + 3cot x – 3 = 0 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 33 3
Phần 3 - BÀI TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ 1
Bài 45. Giải phương trình π 2π 2π 2π a) 2sin 3x − 3 = 0 . ĐS: x = + k ; x = + k , (k ∈ ℤ) 9 3 9 3 b) ( x + °) 2 cos 30 + 2 cos 15° = 1.
ĐS: x = 180° + k360° ; x = −240° + k360° , (k ∈ ℤ) x c) tan + 2 = 0 . ĐS: x = 2 arctan ( 2
− ) + k2π , (k ∈ ℤ) 2  π  d) 2sin  2x −  + 3 = 0 . ĐS: vn  3 
Bài 46. Giải phương trình π 7π
a) 3 sin x + cos x = 2 . ĐS: x = + k 2π ; x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 12 12 π π
b) 3 cos x − sin x = 1. ĐS: x =
+ k 2π ; x = −
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 6 2 π
c) 3sin x + 4 cos x = 5 . ĐS: x =
− α + k 2π , (k ∈ ℤ) 2
d) 3sin x + 4 cos x = 6 . ĐS: vn
Bài 47. Giải phương trình π 2π π
a) 3 sin 3x + cos 3x = 2 cos 2x . ĐS: x = − k ; x =
k 2π , (k ∈ ℤ) 15 5 3  π   π  π 2π −5π b) 3 cos  x +  − sin  x −  = 2sin 2x . ĐS: x = − + k ; x =
k 2π , (k ∈ ℤ)  2   2  18 3 6
Bài 48. Giải phương trình π π 2π
a) cos 2x + 3 sin 2x = 3 cos x − sin x . ĐS: x = + k 2π ; x = + k , (k ∈ ℤ) 2 18 3 2π 2π
b) cos 2x + 3 sin 2x − 3 sin x − cos x = 0 .
ĐS: x = k 2π ; x = + k , (k ∈ ℤ) 9 3
c) cos 2x + 3 sin 2x + 3 sin x − cos x = 4 . ĐS: vn π π
d) cos 2x + 3 sin 2x + 3 sin x − cos x = 2 ĐS: x = + kπ ; x =
+ k 2π ; x = π + k 2π 6 3
Bài 49. Giải phương trình  π   π  π π a) 2 2sin  2x −  − 7sin  2x −  + 3 = 0 . ĐS: x = + kπ ; x =
+ kπ , (k ∈ ℤ)  6   6  6 2  π   π  π 7π b) 2 2 cos 
x  − 3 2 cos  − x  + 2 = 0 . ĐS: x = − k 2π ; x =
k 2π , (k ∈ ℤ)  3   3  12 12 π π c) 2
tan x − (1+ 3) tan x + 3 = 0 . ĐS: x = + kπ ; x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 4 3  π  π d) ( 6 6
4 sin x + cos x) − cos  − 2x  = 0 . ĐS: x =
+ kπ , (k ∈ ℤ)  2  4
Bài 50. Giải phương trình π π a) 2 x − ( + ) 2 sin
3 1 sin x cos x + 3 cos x = 0 . ĐS: x = + kπ ; x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 4 3 π 3 b) 2 2
3sin x + 5 cos x − 2 cos 2x − 4sin 2x = 0 . ĐS: x =
+ kπ ; x = arctan + kπ , (k ∈ ℤ) 4 5
Bài 51. Giải phương trình π a) 2 x − ( + ) 2 sin
3 1 sin x cos x + 3 cos x = 1 . ĐS: x =
+ kπ ; x = arctan (2 − 3) + kπ 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 34 3 b) 2 x − ( + ) 2 sin
3 1 sin x cos x + 3 cos x = 3 .
ĐS: x = kπ ; x = arctan (−2 − 3) + kπ π π c) 2 x + ( − ) x x + ( − ) 2 2sin 1 3 sin cos 1 3 cos x = 1 . ĐS: x = − + kπ ; x = + kπ 4 3 π d) 2 2
3 cos x + 2 sin x cos x − 3 sin x = 1 . ĐS: x =
+ kπ ; x = arctan (−2 + 3) + kπ 4
Bài 52. Giải phương trình π
a) (2 + 2)(sin x + cos x) − 2sin x cos x − 2 2 −1 = 0. ĐS: x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 4 3 π b) 3 3
1+ sin x + cos x = sin 2x . ĐS: x = −
+ k 2π ; x = π + k 2π , (k ∈ ℤ) 2 2 π c) sin 2x + 4 ( o
c s x − sin x) = 4 .
ĐS: x = k 2π ; x = −
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 2 π
d) sin x − cos x + 4 sin 2x = 1 . ĐS: x = k , (k ∈ ℤ) 2
Bài 53. Giải phương trình: π 5π
a) cos 2x + 3 cos x + 5sin x = 3 sin 2x + 3 . ĐS: x = + k 2π ; x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 6 6 π π b) 3 3 2
sin x + cos x + 2 cos x = 1. ĐS: x = − + kπ ; x = −
+ k 2π ; x = k 2π , (k ∈ ℤ) 4 2 π 2π 2π c) 2 2 2
4sin x +1 = 8sin x cos x + 4 cos 2x . ĐS: x = ± + k 2π ; x = ± + k , (k ∈ ℤ) 3 9 3  π   π  π π e) sin 3x
 = sin 2x sin  x +  . ĐS: x = +k , (k ∈ ℤ)  4   4  4 2 π 2π
f) sin 3x + sin 2x + sin x +1 = cos 3x + cos 2x − cos x . ĐS: x = −
+ kπ ; x = π + k 2π ; x = k 4 3   π   π  π 2π π 2π g) 2 2
sin 7x + sin 9x = 2 cos  − x  − cos  + 2x  . ĐS: x =
+ kπ ; x = k ; x = + k   4   4  2 5 11 11 π π 7π
h) cos 3x − 2 sin 2x − cos x − sin x −1 = 0 . ĐS: x = −
+ k 2π ; x = − + kπ ; x = + kπ 2 12 12  x π  3π π
i) 1+ sin x + cos x = 2 cos  −  . ĐS: x = + k 2π ; x = ±
+ k 4π , (k ∈ ℤ)  2 4  2 2  3π   π  j) 2 2 2 2 3sin x cos  + x  − sin 
+ x  cos x = sin x cos x − 3sin x cos x .  2   2  π π ĐS: x = − + kπ ; x = ± + kπ 4 6  π   π   2π   4π  π 2π k) 4sin x sin 
+ x sin  − x  + 4 3 cos x cos  + x  cos 
+ x  = 2. ĐS: x = + k  3   3   3   3  18 3 π l) 3
6sin x − 2 cos x = 5sin 2x cos x . ĐS: x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 4  π   5π  π m) 5 cos  2x +  = 4sin  − x  − 9 . ĐS: x =
k 2π , (k ∈ ℤ)  3   6  3  π   2π  π π π 2π n) cos  + 3x  + cos 
− 4x  + cos x = 1.
ĐS: x = k 2π ; x = + k ; x = − + k  3   3  6 2 9 3 π 7π
o) sin 4x + cos 3x + cos x = 4 sin x + 2 ĐS: x = − + k 2π ; x =
+ k 2π ; x = k 2π 6 6 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 35 3 π π π π π
p) 2 cos 6x + 2 cos 4x − 3 cos 2x = sin 2x + 3 . ĐS: x = + kπ ; x = − k ; x = + k 2 18 3 6 2 π 2π
q) 1+ 3cos x + cos 2x − 2 cos 3x = 4 sin x sin 2x . ĐS: x = + kπ ; x = ± + k 2π 2 3 π r) 2
2 cos x + 2 3 sin x cos x +1 = 3sin x + 3 3 cos x . ĐS: x = −
+ kπ , (k ∈ ℤ) 3 π
s) 4sin 3x + sin 5x − 2 sin x cos 2x = 0 ĐS: x = k , (k ∈ ℤ) 3 π  π π
t) cot  ( 3 cos x + sin x) −1 = 0  . ĐS: x = + l2π ; x = −
+ l2π , (l ∈ ℤ)  4  2 6 1 u) 2
sin 2x + cos 2x + 1 = (3cos x − 2)( 2 sin x + 2) .
ĐS: x = k 2π , (k ∈ ℤ) 4 π v) 2
2sin x − 2 3 sin x cos x +1 = 3(cos x − 3 sin x) . ĐS: x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 6  π   π  π w) 2 (2sin x − ) 1 = 4 (sin x − ) 1 − cos  2x +  − sin  2x +  ĐS: x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ)  4   4  2 π π 2π x) 2
2 cos 3x + 2 sin x = 1+ sin 2x . ĐS: x = − + k 2π ; x = + k , (k ∈ ℤ) 4 20 5  π  π π y) 2
2sin x + sin 2x = 2 2 sin x sin  3x +  .
ĐS: x = kπ ; x = + k , (k ∈ ℤ)  4  8 2  5π  π 3π z) 2 2 cos 
x sin x = 1. ĐS: x = + kπ ; x =
+ kπ , (k ∈ ℤ)  12  6 4
Bài 54. Giải phương trình:
sin 2x + 3 cos 2x π a) = 1 . ĐS: x = −
+ kπ , (k ∈ ℤ) 2 2 sin x − 3cos x 4
2 cos 2x − sin 2x −1  π  5π b)
−1 = 2sin  2x −  + sin x + cos x . ĐS: x = kπ ; x = −
+ k 2π , (k ∈ ℤ) sin x + cos x  6  6 x 1+ cos 3x  π  π π π c) cot − = 2sin  3x +  . ĐS: x = − − kπ ; x = + k , (k ∈ ℤ) 2 sin 2x − sin x  3  6 6 2  1  π
d) 7 tan x + cot x = 2 3 3 +  . ĐS: x =
+ kπ , (k ∈ ℤ)  sin 2x  3  π  1 1
e) ( tan x cot 2x − ) 1 sin  4x +  = − ( 4 4
sin x + cos x) ĐS: x = ±
arccos (3 − 14 ) + kπ ,  2  2 2 (k ∈ℤ)
tan x cos 3x + 2 cos 2x −1 π 7π f)
= 3 (sin 2x + cos x) . ĐS: x = − + k 2π ; x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 1− 2 sin x 6 6 x g) ( x x) sin 3 sin 2 cos 2 tan x +
= sin x + cos x . cos x π π 5π ĐS: x = − + kπ ; x = + k 2π ; x = + k 2π 4 6 6 h) 2
tan 3x tan 5x + 2 tan 3x − tan 5x = 0 .
ĐS: x = kπ , (k ∈ ℤ)  π  i) sin 
+ 2x  cot 3x + sin (π + 2x) − 2 cos 5x = 0 .  2  π π π 2π π 2π ĐS: x = + k ; x = + k ; x = + k 10 5 12 3 4 3 sin x + cos x π j)
+ 2 tan 2x + cos 2x = 0 . ĐS: x = k , (k ∈ ℤ) sin x − cos x 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 36 3  π  π π k) 2 2 2sin  x
 = 2sin x − tan x . ĐS: x = + k , (k ∈ ℤ)  4  4 2 1  2π   2π  2π l) cos 3x + = 1+ 4 cos  x +  cos  x − 
ĐS: x = k 2π ; x = k , (k ∈ ℤ) cos x  3   3  3 m) ( 6 6
16 sin x cos x) 3sin 4x 2
2 (1 tan x tan 2x) + − + + = 10   . π π 3π ĐS: x = − k ; x = − − kπ 24 3 8  π  1 1
n) ( tan x cot 2x − ) 1 sin  4x +  = − ( 4 4
sin x + cos x) .
ĐS: x = ± arccos (3− 14) + kπ  2  2 2 (  x π  3 − 2) 2 cos x − 2sin  −   2 4  π o) = 1. ĐS: x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) x 2 6 4sin −1 2
 sin 3x − cos 3x  π 5π p) 7 
− cos x  = 4 − cos 2x . ĐS: x = + k 2π ; x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ)  2sin 2x −1  6 6 sin 2x 1 π 5π 11π q) + = 2 cos x . ĐS: x =
+ k 2π ; x = − + k 2π ; x = + k 2π sin x + cos x 2 tan x 4 12 12
3( tan x + sin x) 2π r)
− 2 cos x (1+ cos x) 2 = 2sin x . ĐS: x = ±
+ k 2π , (k ∈ ℤ) tan x − sin x 3
Bài 55. Cho phương trình ( x + )( x m x) 2 cos 1 cos 2 cos
= m sin x . Tìm m để phương trình có đúng hai  2π  nghiệm trên 0;   . ĐS: 1
− < m ≤ −1/2  3 
Bài 56. Tìm m để phương trình (m + 2)sin x + m cos x = 2 có nghiệm.
ĐS: m ≤ −2 hoặc m ≥ 0
Bài 57. Tìm m để phương trình ( m − )
2 x − ( m − ) x + ( m + ) 2 3 2 sin 5 2 sin 2 3 2
1 cos x = 0 vô nghiệm.
ĐS: m ≤ 1 hoặc m ≥ 10/7
Bài 58. Cho phương trình m(sin x + cos x + )
1 = 1+ sin 2x . Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc  π  đ 1 2 oạn 0;   . ĐS:m ≤  2  2 2 +1 2 3 Bài 59.
cos x − cos x −1 Giải phương trình 2
cos 2x − tan x =
và tính tổng các nghiệm trên đoạn 2 cos x
[2000;2015] của phương trình đó. ĐS: 5751π
Bài 60. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π ) của phương trình
ĐS: x = π /3; x = 4π /3 x ( x + ) 3 sin 2 cos
3 − 2 3 cos x − 3 3 cos 2x + 8( 3 cos x − sin x) = 3 3 . π   π   π  Bài 61. 5 7 Tìm nghiệm thuộc đoạn ; 2π 
 của phương trình sin  2x +  − 3cos  x −  = 1+ 2sin x .  2   2   2 
ĐS: x = 5π /6 ; x = π ; x = 2π  π 
Bài 62. Tìm nghiệm thuộc nửa khoảng  ;π  của phương trình
ĐS: x = 3π /4 ; x = 5π /6  6  3 3 2
cos x − 4 sin x − 3cos x sin x + sin x = 0 .  π  Bài 63. 2
Tìm nghiệm thuộc nửa khoảng π − ;   của phương trình  3  1
2 tan x + cot 2x = 2sin 2x + .
ĐS: x = −2π/3; x = π − /3 ; x = π /3 sin 2x GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 37 3
Phần 4 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ-THPTQG
Dạng1. Côngthứclượnggiác Bài 64. 2
Tính giá trị của biểu thức P = (1− 3cos 2α ) (2 + 3cos 2α ) biết sinα = . 3 THPT Quốc gia 2015 ĐS: P = 14/9 Bài 65. 2
Tính giá trị của biểu thức 4 4
P = sin α + cos α biết sin 2α = 3 .
THPT Quốc gia 2015 – Đề dự bị ĐS: P = 7/9 Bài 66. π 3 tanα
Cho góc α thỏa mãn < α < π và sinα = . Tính A = . 2 5 2 1+ tan α
THPT Quốc gia 2015 – Đề minh họa ĐS: A = – 12/25 Bài 67. 3π 2 cot α Cho góc α thỏa mãn < α < 2π và cosα = . Tính A = . 2 3 2 1+ cot α
THPT Quốc gia 2015 – Đề minh họa
ĐS: A = −2 5 / 9  π   π   π  Bài 68. 4 Cho cosα = ,  −
< α < 0  . Tính giá trị của biểu thức A = sin α −  cos α +  . 5  2   4   4 
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Thủ Đức ĐS: A = – 49/50  π   π  Bài 69. 3 3 Cho cos x = − , π < x <
 . Tính giá trị của biểu thức A = sin  x −  . 5  2   6 
Thi thử THPTQG 2015 – SGDĐT Cần Thơ
ĐS: A = (3 − 4 3) /10  π   π  Bài 70. 7 Cho (π +α ) 1 sin = − , 
< α < π  . Tính giá trị của biểu thức A = tan  −α  . 3  2   2 
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Hai Bà Trưng, Huế
ĐS: A = −2 2  π   π  Bài 71. π
Cho góc α thỏa mãn < α < 2π và tan α +  = 1. Tính A = cosα −  + sinα . 2  4   6 
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Hùng Vương, Phú Thọ
ĐS: A = − 3 / 2  π  Bài 72. 7
Biết rằng số thực α ∈ π − ; −  sin 2α = .  2  và thỏa mãn 9
Tính giá trị của biểu thức 2 2 A =
cos α − 4 cosα + 4 + sin α − 4 sinα + 4 .
Thi thử THPTQG 2015 – THPT chuyên ĐH Vinh lần 3 ĐS: A = 16/3 Bài 73. π 5
Cho góc α thỏa mãn 0 < α < và sinα + cosα = . Tính sinα − cosα . 4 2
Thi thử THPTQG 2015 – SGDĐT Quảng Nam
ĐS: A = − 3 / 2 Bài 74. π 3π Cho 0 < x < và x y =
. Tính giá trị của biểu thức A = (1− tan x) (1+ tan y) . 4 4
Thi thử THPTQG 2015 – SGDĐT Vĩnh Long ĐS: A = 2 Bài 75. π 2 sin α + 3cosα Cho tan α = 2 − và
< α < π . Tính giá trị của biểu thức A = . 2 5cosα − 7 sinα
Thi thử THPTQG 2015 – THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2
ĐS: A = −1/19 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 38 3
Dạng2. Đưavềphươngtrìnhtích
Bài 76. Giải phương trình: sin 2x = 3 sin x π ĐH Mở TpHCM
ĐS: x = kπ ∨ x = ± + k 6 Bài 77. 2
Giải phương trình: 2 tan x + cot x = 3 + sin 2x
ĐH Ngoại Thương - 97
ĐS: x = π/3 + kπ
Bài 78. Giải phương trình: ( x − ) ( x + ) 2 2sin 1 2 sin 2 1 = 3 − 4 cos x π 5π π THKT Y Tế - 97
ĐS: x = kπ ∨ x = + k 2π ∨ x =
+ k 2π ∨ x = ± + k 6 6 3
Bài 79. Giải phương trình: tan x + cot x = 4 π 5π ĐH An Ninh - 97 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 12 12
Bài 80. Giải phương trình: (1+ sin 2x)(cos x − sin x) = cos 2x π π π
ĐH DL NN TH TpHCM - 98 ĐS: x = + kx =
+ k 2π ∨ x = k 4 2 2
Bài 81. Giải phương trình: x + ( x + x)3 2 cos 2 2 sin cos − 3sin 2x − 3 = 0 π π
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 99 ĐS: x = − + kπ ∨ x =
+ k 2π ∨ x = k 4 2
Bài 82. Giải phương trình: ( x + )( x x) 2 cos 1 cos 2 2 cos = 2 − sin x
ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 99
ĐS: x = π + k
Bài 83. Giải phương trình: 2
s in5x + sin 9x + 2 sin x = 1 π π π 2π 5π 2π
ĐH DL NN TH TpHCM - 99 ĐS: x = + kx = + kx = + k 4 2 42 7 42 7 Bài 84. sin . x cot 5x Giải phương trình: = 1 cos 9x ĐH Huế - 99 ĐS: x = π/20 + π k /10
Bài 85. Giải phương trình: x ( x + x) 2 sin 2 cot tan 2 = 4 cos x π π π
ĐH Mỏ - Địa chất HN - 00 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 12 6 3
Bài 86. Giải phương trình: ( x + )( x + x − ) 2 2sin 1 3cos 4 2 sin 4 + 4 cos x = 3 π π 7π ĐH Hàng Hải - 00 ĐS: x = kx = − + k 2π ∨ x = + k 2 6 6 Bài 87. 1+ cos x Giải phương trình: 2 tan x = cos x π ĐH Đà Nẵng - 01
ĐS: x = π + k2π ∨ x = ± + k 3
Bài 88. Giải phương trình: sin 2 .
x sin x = 3 sin 2 . x cos x kπ π ĐH DL Duy Tân - 01 ĐS: x = ∨ x = + kπ 2 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 39 3
Bài 89. Giải phương trình: 3sin x + 2cos x = 2 + 3tan x 2 HV Quân Y - 01
ĐS: x = k 2π ∨ x = − arctan + kπ 3
Bài 90. Tìm nghiệm thuộc đoạn [0;14] của phương trình: cos3x − 4cos 2x + 3cos x − 4 = 0 π 3π 5π 7π ĐH Khối D - 02 ĐS: x = ∨ x = ∨ x = ∨ x = 2 2 2 2   Bài 91. x Giải phương trình: 2
tan x + cos x − cos x = sin x 1+ tan . x tan   2 
Dự bị ĐH Khối B - 02
ĐS: x = k ( 2
2 − sin 2x)sin 3x
Bài 92. Giải phương trình: 4 tan x +1 = 4 cos x π 2π 5π 2π
Dự bị ĐH Khối B - 02 ĐS: x = + kx = + k 18 3 18 3
Bài 93. Giải phương trình: 3− tan x(tan x + 2sin x) + 6cos x = 0 π
Dự bị ĐH Khối A - 03 ĐS: x = ± + kπ 3 2
cos x (cos x − ) 1
Bài 94. Giải phương trình: = 2(1+ sin x) sin x + cos x π
Dự bị ĐH Khối D - 03 ĐS: x = −
+ k 2π ∨ x = π + k 2  π  Bài 95. 1 1
Giải phương trình: 2 2 cos  x +  + =  4  sin x cos x π
Dự bị ĐH Khối B - 04 ĐS: x = ± + kπ 4
Bài 96. Giải phương trình: (2sin x − )
1 (2 cos x + sin x) = sin 2x − cos x π 5π π
CĐ Điều Dưỡng - 04 ĐS: x = + k 2π ∨ x =
+ k 2π ∨ x = − + kπ 6 6 4
Bài 97. Giải phương trình: 2 2
4 cos x − 2 cos 2x = 1+ cos 4x π 2π CĐ SP Ninh Bình - 04
ĐS: x = π + kπ ∨ x = − + k 3 3  π 
Bài 98. Giải phương trình: 2 2 2sin  x
 = 2sin x − tan x  4  π π CĐ SP Bắc Ninh - 04 ĐS: x = + k 4 2
Bài 99. Giải phương trình: ( x − ) ( x + x + ) 2 2sin 1 2 cos 2 2 sin 3 = 4sin x −1 π 5π π CĐ GTVT III - 04 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + kπ 6 6 2
Bài 100. Giải phương trình: 2 4 cos .
x sin x + cos 2x = 2 cos x (sin x + cos x) −1
CĐ KTKH Đà Nẵng - 04 ĐS: x = π k /2
Bài 101. Giải phương trình: (2cos x − )
1 (2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x π π ĐH Khối D - 04 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + k 4 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 40 4  π  Bài 102. 3 sin x
Giải phương trình: tan  − x  + = 2  2  1+ cos x π 5π
Dự bị ĐH Khối D - 05 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 6
Bài 103. Giải phương trình: sin 2x + cos 2x + 3sin x − cos x − 2 = 0 π π 5π
Dự bị ĐH Khối D – 05 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = π + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2 6 6   Bài 104. x
Giải phương trình: cot x + sin x 1+ tan . x tan  = 4  2  π 5π ĐH Khối B - 06 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 12 12
Bài 105. Giải phương trình: ( 2 x − ) 2 x + ( 2 2sin 1 tan 2 3 2 cos x − ) 1 = 0 π π
Dự bị ĐH Khối B - 06 ĐS: x = ± + k 6 2
Bài 106. Giải phương trình: cos 2x + (1+ 2cos x)(sin x − cos x) = 0 π π
Dự bị ĐH Khối B - 06 ĐS: x = + kπ ∨ x =
+ k 2π ∨ x = π + k 4 2
Bài 107. Giải phương trình: 3 3 2
cos x + sin x + 2 sin x = 1 π π
Dự bị ĐH Khối D - 06 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = k 2π ∨ x = − + k 4 2     4 x 4 x cos   − sin   Bài 108.  2   2  1+ sin 2x Giải phương trình: = sin 2x  π  2 2 sin  x +   4  π 5π
CĐ Xây Dựng số 3 - 06 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 6 Bài 109. 1 Giải phương trình: cos . x cos 2 . x sin 3x = sin 2x 4 π π
CĐ Tài Chính Hải Quan - 07 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = k 2 5  π  Bài 110. 1 1 Giải phương trình: + = 2 sin  x +  cos x sin x  4 
CĐ Công Nghệ Thực Phẩm - 07
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 111. Giải phương trình: 1+ sin x + cos x + tan x = 0 π
Hệ CĐ – ĐH Sài Gòn Khối B - 07 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = π + k 4
Bài 112. Giải phương trình: (1− tan x)(1+ sin 2x) =1+ tan x
Dự bị ĐH Khối D - 07
ĐS: x = kπ ∨ x = −π/4 + kπ
Bài 113. Giải phương trình: sin 2x + cos 2x + 3sin x − cos x − 2 = 0 π 5π π CĐSP TW - 07 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x =
+ k 2π ∨ x = π + k 6 6 2
Bài 114. Giải phương trình: 2sin x(1+ cos 2x) + sin 2x = 1+ 2cos x π 2π ĐH Khối D - 08 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 4 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 41 4 Bài 115. x Giải phương trình: 2
3sin x + cos 2x + sin 2x = 4sin x cos 2 π π 7π
Dự bị ĐH Khối B - 08 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = − + k 2π ∨ x = + k 2 6 6
Bài 116. Giải phương trình: 2
tan x = cot x + 4 cos 2x π π π π
Dự bị ĐH Khối A - 08 ĐS: x = + kx = − + k 4 2 8 2  π   π  Bài 117. 2
Giải phương trình: sin  2x −  = sin  x −  +  4   4  2 π π
Dự bị ĐH Khối A - 08 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 4 3  π   π  Bài 118. 1
Giải phương trình: 2sin  x +  − sin  2x −  =  3   6  2 π π
Dự bị ĐH Khối B - 08 ĐS: x = − + kπ ∨ x = + k 3 2 2 +  π  Bài 119. tan x tan x 2 Giải phương trình: = sin  x +  2 tan x +1 2  4  π π 5π
Dự bị ĐH Khối D - 08 ĐS: x = − + kπ ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 4 6 6
Bài 120. Giải phương trình: ( + x)2 1 2sin
cos x = 1+ sin x + cos x π π 5π CĐ Khối A,B,D - 09 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + kπ ∨ x = + kπ 2 12 12
Bài 121. Giải phương trình: (sin2x + cos 2x)cos x + 2cos 2x − sin x = 0 ĐH Khối B - 10 ĐS: x = π/4 + π k /2
Bài 122. Giải phương trình: sin2x − cos 2x + 3sin x − cos x −1 = 0 π 5π ĐH Khối D - 10 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 6 Bài 123.
1+ s in2x + cos 2x Giải phương trình: = 2 sin x sin 2x 2 1+ cot x π π ĐH Khối A - 11 ĐS: x = + kπ ∨ x = + k 2 4
Bài 124. Giải phương trình: sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x π π 2π ĐH Khối B - 11 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2 3 3 Bài 125.
s in2x + 2 cos x − sin x −1 Giải phương trình: = 0 tan x + 3 ĐH Khối D - 11
ĐS: x = π/3 + k
Bài 126. Giải phương trình: 2cos 2x + sin x = sin 3x . π π π
CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS: x = + kx = + k 4 2 2  π 
Bài 127. Giải phương trình: 1+ tan x = 2 2 sin  x +   4  π π ĐH Khối A, A1 - 13 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + k 4 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 42 4  π 
Bài 128. Giải phương trình: cos − x + sin 2x = 0  2  2π
CĐ Khối A, A1, B, D - 13
ĐS: x = π + k2π ∨ x = k 3
Bài 129. Giải phương trình: sin x + 4cos x = 2 + sin 2x π ĐH Khối A, A1 - 14 ĐS: x = ± + k 3
Bài 130. Giải phương trình: 2 (sin x − 2cos x) = 2 − sin 2 x 3π ĐH Khối B - 14 ĐS: x = ± + k 4
Dạng3. Biếnđổitổngthànhtích-tíchthànhtổng  π 
Bài 131. Giải phương trình: ( x + π ) 51 sin 2 50 + cos  3x +  = sin x  2  π
CĐSP Thái Bình Khối D - 99
ĐS: x = kπ ∨ x = ± + k 3
Bài 132. Giải phương trình: sin x + sin2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos3x π π 2π
ĐH Ngoại Thương - 99 ĐS: x = + kx = ± + k 8 2 3
Bài 133. Giải phương trình: 1+ cos 2x + cos3x = 2cos . x cos 2x π π ĐH Đà Nẵng - 99 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 2 3
Bài 134. Giải phương trình: 3cos x + cos2x − cos3x +1= 2sin .xsin 2x π ĐH Tây Nguyên - 99 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = π + k 2
Bài 135. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos3x + cos 4x = 0 π π 2π ĐH Lâm Nghiệp - 99 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = π + k 2π ∨ x = + k 2 5 5
Bài 136. Giải phương trình: sin x + cos 2x − cos 4x = 0 π 2π 7π 2π
ĐH Mỹ Thuật CN - 99
ĐS: x = kπ ∨ x = − + kx = + k 18 3 18 3
Bài 137. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 π 2π
PV Ngân Hàng TpHCM - 01 ĐS: x = kx = ± + k 2 3
Bài 138. Giải phương trình: 1+ sin x + cos3x = cos x + sin 2x + cos 2x π 7π π
ĐH Ngoại Thương - 01
ĐS: x = kπ ∨ x = − + k 2π ∨ x =
+ k 2π ∨ x = ± + k 6 6 3
Bài 139. Giải phương trình: 1+ cos x + cos 2x + cos3x = 0 π π
ĐH Nông Lâm TpHCM - 01 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = π + k 2π ∨ x = ± + k 2 3
Bài 140. Giải phương trình: 2sin .
x cos 2x + sin 2 .
x cos x = sin 4 . x cos x
Dự bị ĐH Khối D - 04 ĐS: x = π k /3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 43 4
Bài 141. Giải phương trình: 2 sin 4 .
x sin 2x + sin 9 .
x sin 3x = cos x π π
CĐ Lương Thực Thực Phẩm - 04 ĐS: x = + k 12 6
Bài 142. Giải phương trình: cos .
x cos 7x = cos 3 . x cos 5x
CĐ KT Kỹ Thuật 1 - 04 ĐS: x = π k /4
Bài 143. Giải phương trình: 1+ sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 π 2π ĐH Khối B - 05 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + k 4 3
Bài 144. Giải phương trình: cos x + cos3x = sin 4x π 2π π π π CĐ Kinh Tế CN - 06 ĐS: x = + kx = + k 2π ∨ x = + k 6 3 2 4 2 Bài 145. 7x 3x x 5x Giải phương trình: sin .cos + sin .cos + sin 2 . x cos 7x = 0 2 2 2 2 π
CĐ Bán công Hoa Sen - 06 ĐS: x = k 6
Bài 146. Giải phương trình: cos3x + cos 2x − cos x −1 = 0 2π ĐH Khối D - 06
ĐS: x = kπ ∨ x = k 3  π   π  Bài 147. 5x x 3x
Giải phương trình: sin  −  − cos  −  = 2 cos  2 4   2 4  2 π 2π π
Dự bị ĐH Khối B - 07 ĐS: x = + kx =
+ k 2π ∨ x = π + k 3 3 2  π 
Bài 148. Giải phương trình: 2 2 sin  x −  cos x = 1  12  π π
Dự bị ĐH Khối D - 07 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 4 3 Bài 149. 1+ cos 8x
Giải phương trình: sin 2 .
x sin x + cos 5 . x cos 2x = 2 π π 2π
CĐ Kinh Tế TpHCM - 07 ĐS: x = + k
x = k 2π ∨ x = k 8 4 7
Bài 150. Giải phương trình: cos3 .
x tan 5x = sin 7x π π
CĐ Kinh Tế Công Nghệ TpHCM - 07 ĐS: x = + k
x = kπ 20 10
Bài 151. Giải phương trình: 2
2sin 2x + sin 7x −1 = sin x π π π 2π 5π 2π ĐH Khối B - 07 ĐS: x = + kx = + kx = + k 8 4 18 3 18 3
Bài 152. Giải phương trình: 2cos 2x + sin x = sin 3x . π π π
CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS: x = + kx = + k 4 2 2
Bài 153. Giải phương trình: sin 3x + cos 2x − sin x = 0 π π π 7π ĐH Khối D - 13 ĐS: x = + kx = − + k 2π ∨ x = + k 4 2 6 6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 44 4
Dạng4. Phươngtrìnhbậc2-bậc3 x ( x + ) 2 cos 2 sin 3 2 − 2 cos x −1
Bài 154. Giải phương trình: = 1 1+ s in2x π
ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 96 ĐS: x = + k 4 Bài 155. 1 Giải phương trình: 4 4 2
sin x + cos x − cos 2x + sin 2x = 2 4 π HV Hàng không - 97 ĐS: x = + kπ 2
Bài 156. Giải phương trình: 5 5 2 4 cos . x sin x − 4sin .
x cos x = sin 4x + m (1)
a. Biết rằng x = π là một nghiệm của (1). Hãy giải phương trình (1) trong trường hợp đó. π b. Cho biết x = −
là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình (1) 8 thỏa mãn: 4 2
x − 3x + 2 < 0 π π π 3π ĐH QG TpHCM - 97 ĐS: a. x = kx = + k ; b. x = 4 8 2 8  π 
Bài 157. Giải phương trình: 3 sin  x −  = 2 sin x  4 
ĐH Quốc gia TpHCM khối A – 98. ĐHSP Hải Phòng - 01
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 158. Giải phương trình: cos .
x cos 4x + cos 2 . x cos 3x = 0 π 1 1± 17
ĐH Ngoại Thương - 98 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = ± arccos + kπ 2 2 8
Bài 159. Giải phương trình: 2 2
cos 7x + sin 2x = cos 2x − cos x π π π 2π ĐH Hàng Hải - 98 ĐS: x = + kx = ± + k 8 4 9 3
Bài 160. Giải phương trình: 4 2 2 4 3cos x − 4 cos .
x sin x + sin x = 0 π π π 2π ĐH QG - 98 ĐS: x = + kx = + kπ ∨ x = + kπ 4 2 3 3
Bài 161. Giải phương trình: 2
2sin x − s inx −1 = 0 π π 7π CĐBC Marketing - 99 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = − + k 2π ∨ x = + k 2 6 6
Bài 162. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: 2
1− 5sin x + 2 cos x = 0 thỏa điều kiện cos x ≥ 0 .
ĐH Cảng sát Nhân Dân - 99
ĐS: x = π/6 + kBài 163. 1 Giải phương trình: 2
cos x − 2 sin x + = 0 4 π 5π ĐHDL Duy Tân - 99 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 6
Bài 164. Giải phương trình: cos 4x + 5sin 2x − 3 = 0 π 5π CĐBC Marketing - 99 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 12 12 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 45 4 Bài 165. 4 Giải phương trình: +13cos x + 9 = 0 2 1+ tan x
CĐSP Quảng Ninh - 99
ĐS: x = π + k
Bài 166. Giải phương trình: 3(tan x + cot x) = 2(2 + sin 2x) ĐH Cần Thơ - 99
ĐS: x = π/4 + kπ
Bài 167. Giải phương trình: sin 3x + sin 2x = 5sin x
ĐHDL Hồng Đức - 99
ĐS: x = kπ
Bài 168. Giải phương trình: 4(sin 3x − cos 2x) = 5(sin x − ) 1 π 1 1 ĐH Luật HN - 99 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = − arcsin
+ k 2π ∨ x = π + arcsin + k 2 4 4
Bài 169. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sin x + cos x = 0 π π
ĐH Huế Khối D - 99 ĐS: x = − + k 6 2 2 3 Bài 170.
cos x − cos x −1 Giải phương trình: 2
cos 2x − tan x = 2 cos x
a) Giải phương trình trên.
b) Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình thỏa mãn: 0 ≤ x ≤ 99 π 2209π ĐH Thái Nguyên - 99
ĐS: a. x = π + k2π ∨ x = ± + k ; b. 3 3 Bài 171. 3
Giải phương trình: tan 2x + sin 2x = cot x 2 π π ĐH Thủy Lợi - 99 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + kπ 2 6
Bài 172. Giải phương trình: 2 2
4sin x + 3 tan x = 1 1
ĐHDL Hồng Đức - 99
ĐS: x = ± arccos( 3 −1) + kπ 2  π   π  Bài 173. 3 x
Giải phương trình: sin  + x  = 2sin  −   5   5 2  2π HV Quân Y - 99 ĐS: x = + k 5
Bài 174. Giải phương trình: 3 tan x +1(sin x + 2cos x) = 5(sin x + 3cos x) ĐH QG - 99
ĐS: x = arctan 3 + kπ  π 
Bài 175. Giải phương trình: 3 8 cos  x +  = cos 3x  3  π 2π ĐHQG HN - 99
ĐS: x = kπ ∨ x =
+ kπ ∨ x = − + kπ 6 3  π 
Bài 176. Giải phương trình: 3 tan  x −  = tan x −1  4  π HV CN BCVT - 99
ĐS: x = kπ ∨ x = + kπ 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 46 4  π   π 
Bài 177. Giải phương trình: sin 3x −  = sin 2 . x sin  x +   4   4  π π HV CN BCVT - 00 ĐS: x = + k 4 2 Bài 178. 11 Giải phương trình: 2 2 2
tan x + cot x + cot 2x = 3 π π
PV Ngân Hàng TpHCM - 00 ĐS: x = ± + k 6 2 Bài 179. sin 3x sin 5x Giải phương trình: = 3 5 1  2 
ĐH Thủy Lợi HN - 00
ĐS: x = kπ ∨ x = ± arccos  −  + kπ 2  3 
Bài 180. Giải phương trình: sin 3x + cos3x + 2cos x = 0 HV Ngân Hàng - 00
ĐS: x = ±π/3 + kπ ∨ x = −π/4 + kπ
Bài 181. Giải phương trình: 1+ 3tan x = 2sin 2x ĐHQG HN Khối D - 00
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 182. Giải phương trình: 2 2 2
6sin x − sin 2x = 3cos 2x π
ĐHQG TpHCM khối D - 00 ĐS: x = ± + kπ 6  π  Bài 183. x x x Giải phương trình: 2 2 sin sin x − cos sin x +1 = 2 cos  −  2 2  4 2  ĐHSP TpHCM - 00
ĐS: x = kπ
Bài 184. Giải phương trình: 3 2
4 cos 2x + 6 sin x = 3 π π
ĐHDL Hải Phòng - 00 ĐS: x = + k 12 6
Bài 185. Giải phương trình: 3
4 cos x + 3 2 sin 2x = 8 cos x π π 3π ĐH SP Hà Nội - 00 ĐS: x = + kπ ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2 4 4
Bài 186. Giải phương trình: 3
2 cos x + sin x cos x +1 = 2(sin x + cos x) π 5π
ĐHDL Phương Đông - 00 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 6 3(sin x + tan x)
Bài 187. Giải phương trình: − 2 cos x = 2 tan x − sin x
ĐH Tài Chính Kế Toán HN - 00 ĐS: x = ± + k 3 Bài 188. 1
Giải phương trình: 2 cos 2x − 8cos x + 7 = cos x π
ĐH Ngoại Ngữ - 00; CĐSP Nha Trang - 02
ĐS: x = k 2π ∨ x = ± + k 3  π   π 
Bài 189. Giải phương trình: cos 2x +  + cos 2x −  + 4sin x = 2 + 2 (1− sin x)  4   4  π 5π ĐH Hàng Hải - 01 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 6 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 47 4
Bài 190. Giải phương trình: 2 2
3cot x + 2 2 sin x = (2 + 3 2 )cos x π π
HV Kỹ Thuật Quân sự - 01 ĐS: x = ±
+ k 2π ∨ x = ± + k 4 3
Bài 191. Giải phương trình: tan x + 2cot 2x = sin 2x π π ĐH SP Hà Nội - 01 ĐS: x = + k 4 2
cos x (cos x + 2sin x) + 3sin x (sin x + 2 )
Bài 192. Giải phương trình: = 1 sin 2x −1 π ĐH Thủy Sản - 01 ĐS: x = − + k 4 Bài 193. 2 Giải phương trình: 2
+ 2 tan x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0 2 sin x
ĐH Thương Mại - 01
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 194. Giải phương trình: sin 2x + 2 tan x = 3 ĐH Bách Khoa - 01
ĐS: x = π/4 + kπ  π   π  Bài 195. 3 x 1 3x
Giải phương trình: sin  −  = sin  +   10 2  2  10 2  3π 4π 14π ĐH Thủy Lợi - 01 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2π 5 15 15   Bài 196. cos 3x + sin 3x
Tìm nghiệm thuộc (0 ; 2π) của phương trình: 5sin x +  = cos 2x + 3  1+ 2 sin 2x  π 5π ĐH Khối A - 02 ĐS: x = ∨ x = 3 3 2 2 Bài 197.
4 sin 2x + 6 sin x − 9 − 3cos 2x Giải phương trình: = 0 cos x π
CĐ KTKT Hải Dương - 02 ĐS: x = ± + kπ 3 4 4 Bài 198. sin x + cos x 1 1 Giải phương trình: = cot 2x − 5sin 2x 2 8sin 2x π
Dự bị ĐH Khối A - 02 ĐS: x = ± + kπ 6
Bài 199. Giải phương trình: 6 2
3cos 4x − 8 cos x + 2 cos x + 3 = 0 π π
Dự bị ĐH Khối B - 03 ĐS: x = + k
x = kπ 4 2 Bài 200. 2 cos 4x
Giải phương trình: cot x = tan x + sin 2x π
Dự bị ĐH Khối D - 03 ĐS: x = ± + kπ 3
Bài 201. Giải phương trình: x + x ( 2 cos 2 cos 2 tan x − ) 1 = 2 π
Dự bị ĐH Khối A - 03 ĐS: x = ±
+ k 2π ∨ x = π + k 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 48 4 Bài 202. 2
Giải phương trình: cot x − tan x + 4sin 2x = sin 2x π ĐH Khối B - 03 ĐS: x = ± + kπ 3
Bài 203. Giải phương trình: x − = ( − x) 2 5sin 2 3 1 sin tan x π 5π ĐH Khối B - 04 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 6
Bài 204. Giải phương trình: 2
3cos 2x + 4 cos x − cos 3x = 0 π 2π
CĐSP Nhà Trẻ - Mẫu Giáo TW 1 - 04 ĐS: x = + k 3 3
Bài 205. Giải phương trình: cos3x + 2cos 2x =1− 2sin xsin 2x 3
Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương - 04
ĐS: x = π + k2π ∨ x = ± arccos + k 4  π  Bài 206. cos 2x −1 Giải phương trình: 2 tan 
+ x  − 3 tan x = 2  2  cos x
Dự bị ĐH Khối B - 05
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 207. Giải phương trình: 2 x x + x ( 2 x − ) 3 sin cos 2 cos tan 1 + 2 sin x = 0 π 5π
Dự bị ĐH Khối B - 05 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 6
Bài 208. Giải phương trình: 2 2 cos 3 .
x cos 2x − cos x = 0 ĐH Khối A - 05 ĐS: x = π k /2 Bài 209.
cos 2x − 3cos x + 2 Giải phương trình: = 0 sin x π CĐKT Y Tế - 05 ĐS: x = ± + k 2π 3
Bài 210. Giải phương trình: 3 2
4sin x + 4 sin x + 3sin 2x + 6 cos x = 0 π 2π
Dự bị ĐH Khối D - 06 ĐS: x = −
+ k 2π ∨ x = ± + k 2 3
Bài 211. Giải phương trình: 4
cos 2x + cos x − 2 = 0
CĐ Tài Chính Kế Toán - 06
ĐS: x = kπ  π    Bài 212. 1− sin x Giải phương trình: 2 3 tan  x −  = 2   2   sin x  π
Hệ CĐ – ĐH Sài Gòn Khối A - 07 ĐS: x = + k 2 Bài 213. sin 2x cos 2x Giải phương trình: +
= tan x − cot x cos x sin x π
Dự bị ĐH Khối B - 07 ĐS: x = ± + k 3 Bài 214. 1 1
Giải phương trình: sin 2x + sin x − − = 2 cot 2x 2sin x sin 2x π π
Dự bị ĐH Khối A - 07 ĐS: x = + k 4 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 49 4
Bài 215. Giải phương trình: ( 4 4
4 sin x + cos x) + cos 4x + sin 2x = 0
Dự bị ĐH Khối D - 08
ĐS: x = −π/4 + kπ  π 
(1+ sin x + cos 2x)sin  x +  Bài 216.  4  1 Giải phương trình: = cos x 1+ tan x 2 π 7π ĐH Khối A - 10 ĐS: x = − + k 2π ∨ x = + k 6 6 Bài 217. 5x 3x Giải phương trình: 4 cos cos + 2 (8sin x − ) 1 cos x = 5 2 2 π 5π CĐ Khối A,B,D - 10 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 12 12
Bài 218. Giải phương trình: 2
cos 4x +12sin x −1 = 0
CĐ Khối A, B, D - 11
ĐS: x = kπ
Dạng5. Phươngtrìnhbậcnhấttheosinx,cosx
Bài 219. Giải phương trình: (1+ sin 2x)(cos x − sin x) = cos 2x π π π
ĐHDL NN- Tin Học - 98 ĐS: x = + k
x = k 2π ∨ x = + k 4 2 2
Bài 220. Giải phương trình: cos x + sin x = cos 2x π π ĐH Đà Lạt - 99 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = k 2π ∨ x = − + k 4 2
Bài 221. Giải phương trình: 3 3
cos x − sin x = sin x − cos x ĐH Đà Nẵng - 99
ĐS: x = π/4 + kπ
Bài 222. Giải phương trình: sin 2x − cos 2x =1+ 2cos x ĐH Hồng Đức - 99
ĐS: x = π/2 + kπ ∨ x = π + k Bài 223. 3 Giải phương trình: 3 3
1+ sin x + cos x = sin 2x 2 π ĐH GTVT Tp.HCM - 99 ĐS: x = −
+ k 2π ∨ x = π + k 2
Bài 224. Giải phương trình: cos 2x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) π
ĐH Hàng Hải Tp.HCM - 99
ĐS: x = π + k2π ∨ x = + k 2
Bài 225. Giải phương trình: 3 2
cos x + cos x + 2 sin x − 2 = 0 π
HV Ngân Hàng Khối D - 99 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = k 2
Bài 226. Giải phương trình: 3 3
2sin x − sin x = 2 cos x − cos x + cos 2x π π π HV KT Quân sự - 99 ĐS: x = + kx = −
+ k 2π ∨ x = π + k 4 2 2 3 1+ sin x  π x  3 ( )
Bài 227. Giải phương trình: 2
3 tan x − tan x + − 8cos  −  = 0 2 cos x  4 2  π π 2 −1 ĐH Kiến Trúc - 99 ĐS: x = ± + kπ ∨ x = ± arccos + k 6 4 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 50 5 Bài 228. 1 1
Giải phương trình: 2sin 3x − = 2 cos 3x + sin x cos x π π 7π
ĐH Thương Mại - 99 ĐS: x = ±
+ kπ ∨ x = − + kπ ∨ x = + kπ 4 12 12
Bài 229. Giải phương trình sau: a. 3 3
cos x + sin x = cos 2x b. sin 4x = tan x ĐH Y Hà Nội - 00 π π 1 3 −1 ĐS:a. x = −
+ kπ ∨ x = k 2π ∨ x = −
+ k b. x = kπ ∨ x = ± arccos + k 4 2 2 2
Bài 230. Giải phương trình: sin .
x cos x + 2 sin x + 2 cos x = 2 ĐH Huế - 00
ĐS: x = π/2 + k2π ∨ x = k
Bài 231. Giải phương trình: 3 3
sin x + cos x = sin 2x + sin x + cos x π
ĐH Cảnh Sát Nhân Dân - 00 ĐS: x = k 2
Bài 232. Giải phương trình: 3 3
1+ cos x − sin x = sin 2x π π
ĐH Nông Nghiệp 1 - 00 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = π + k 2π ∨ x = + k 4 2
Bài 233. Giải phương trình: 2 3
sin x + sin x + cos x = 0 π π 1− 2 HV Ngân Hàng - 00 ĐS: x = − + k 2π ∨ x = ± arccos + k 2 4 2
Bài 234. Giải phương trình: 2sin x + cot x = 2sin 2x +1
ĐH QG Hà Nội Khối A - 00 π 5π π 5 −1 5π 5 −1 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k x = + arcsin + k 2π ∨ x = − arcsin + k 2π 6 6 4 2 2 4 2 2
Bài 235. Giải phương trình: (2cos x − )
1 (sin x + cos x) = 1 π 2π
PV Ngân Hàng TpHCM - 00
ĐS: x = k 2π ∨ x = + k 6 3
Bài 236. Giải phương trình: sin 2x + 2cos 2x =1+ sin x − 4cos x π
ĐH An Ninh Khối D - 01 ĐS: x = ± + k 3
Bài 237. Giải phương trình: 2sin 2x − cos 2x = 7sin x + 2cos x − 4 π 5π
ĐH QG Hà Nội Khối A - 01 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 6
Bài 238. Giải phương trình: sin x + 2cos x + cos 2x − 2sin . x cos x = 0
ĐH Văn Hóa HN Khối D - 01 ĐS: π π 2 3π 2 x =
+ k 2π ∨ x = − − arcsin + k 2π ∨ x = + arcsin + k 2 4 4 4 4
Bài 239. Giải phương trình:  π   π   π    π   π  2 2 2 3 sin  x −  cos x −  + 2cos  x −  = 3 + 4 s  in x + cos  − x  cos  + x   8   8   8    3   3  5π 3π ĐH Y Thái Bình - 01 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 24 8 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 51 5
Bài 240. Giải phương trình: 3 3 2 2
cos x − sin x = cos x − sin x π π ĐH Đà Lạt - 01 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = k 2π ∨ x = + k 4 2 ( − )  π  2 x 2
3 cos x − 2sin  −  Bài 241.  2 4  Giải phương trình: = 1 2 cos x −1 π
Dự bị ĐH Khối B - 03 ĐS: x = + (2k +1)π 3
Bài 242. Giải phương trình: sin x + sin 2x = 3 (cos x + cos 2x) 2π 2π
Dự bị ĐH Khối D - 04
ĐS: x = π + k2π ∨ x = + k 9 3
Bài 243. Giải phương trình: 3 3
cos x + sin x = sin x − cos x
CĐSP Hà Nam Khối A - 04
ĐS: x = π/2 + kπ Bài 244. sin x − sin 2x Giải phương trình: = 3 cos x − cos 2x π 2π CĐ Khối A - 04
ĐS: x = k 2π ∨ x = − + k 9 3
Bài 245. Giải phương trình: 3 cos 4x + sin 4x − 2cos3x = 0 π π 2π
CĐ Công Nghiệp IV - 04 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 42 7  π  Bài 246. x 3
Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ;π ) của phương trình: 2 2 4sin
− 3 cos 2x = 1+ 2 cos  x −  2  4  5π 17π 5π
Dự bị ĐH Khối A - 05 ĐS: ; ; 18 18 6  π 
Bài 247. Giải phương trình: 2sin  2x −  + 4sin x +1 = 0  6 
Dự bị ĐH Khối A - 06
ĐS: x = kπ ∨ x = 7π/6 + k Bài 248. 1
Giải phương trình: tan x − 3 = cos x
CĐ KTKT Cần Thơ - 06
ĐS: x = 7π/6 + k  π 
Bài 249. Giải phương trình: 2 2 2sin 
− 2x  + 3 cos 4x = 4cos x −1  4  π π π CĐ GTVT số 3 - 07 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = − + k 12 36 3 2   Bài 250. x x
Giải phương trình:  sin + cos  + 3 cos x = 2  2 2  π π ĐH Khối D - 07 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = − + k 2 6
Bài 251. Giải phương trình: ( 2 + x) x + ( 2 1 sin cos
1+ cos x)sin x = 1+ sin 2x ĐH Khối A - 07
ĐS: x = −π/4 + k2π ∨ x = π/2 + k2π ∨ x = k TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 52 5
Bài 252. Giải phương trình: 2
2 co s x + 2 3 sin x cos x +1 = 3(sin x + 3 cos x)
Dự bị ĐH Khối A - 07
ĐS: x = 2π/3 + kπ
Bài 253. Giải phương trình: sin 3x − 3 cos3x = 2sin 2x π 4π 2π
CĐ Khối A, B, D - 08 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 3 15 5
Bài 254. Giải phương trình: 3 3 2 2
sin x − 3 cos x = sin .
x cos x − 3 sin . x cos x π π π ĐH Khối B - 08 ĐS: x = + kx = − + kπ 4 2 3   Bài 255. 1 1 7π Giải phương trình: + = 4 sin  − x  sin x  3π   4  sin  x −   2  π π 5π ĐH Khối A - 08 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = − + kπ ∨ x = + kπ 4 8 8
(1− 2sin x)cos x
Bài 256. Giải phương trình: = 3
(1+ 2sin x)(1− sin x) π 2π ĐH Khối A - 09 ĐS: x = − + k 18 3
Bài 257. Giải phương trình: x + x x + x = ( 3 sin cos .sin 2 3 cos 3
2 cos 4x + sin x) π π 2π ĐH Khối B - 09 ĐS: x = − + k 2π ∨ x = + k 6 42 7
Bài 258. Giải phương trình: 3 cos5x − 2sin 3 .
x cos 2x − sin x = 0 π π π π ĐH Khối D - 09 ĐS: x = + kx = − + k 18 3 6 2
Bài 259. Giải phương trình: 3 sin 2x + cos 2x = 2cos x −1 π 2π ĐH Khối A, A1 - 12 ĐS: x =
+ kπ hay x = k hay x = + k 2 3
Bài 260. Giải phương trình: 2(cos x + 3sin x)cos x = cos x − 3sin x +1 2π 2π ĐH Khối B - 12 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = k 3 3
Bài 261. Giải phương trình: sin 3x + cos3x − sin x + cos x = 2 cos 2x π π 7π π ĐH Khối D - 12 ĐS: x = + kx =
+ k 2π ∨ x = − + k 2π 4 2 12 12
Dạng6. Phươngtrìnhđẳngcấp
Bài 262. Giải phương trình: 3
sin x sin 2x + s in3x = 6 cos x π
ĐH Y dược TPHCM - 97
ĐS: x = arctan 2 + kπ ∨ x = ± + kπ 3
Bài 263. Giải phương trình: 4 2 2 4
3cos x − 4 cos x sin x − sin x = 0 π π π
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 98 ĐS: x = ± + kx = ± + kπ 4 2 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 53 5
Bài 264. Giải phương trình: 2 2 tan .
x sin x − 2 sin x = 3(cos 2x + sin . x cos x) π π
ĐH Mỏ - Địa Chất - 99 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + kπ 4 3
Bài 265. Giải phương trình: 3
sin x − 4sin x + cos x = 0 π ĐH Y Hà Nội - 99 ĐS: x = + kπ 4
Bài 266. Giải phương trình: 2 sin x (tan x + )
1 = 3sin x (cos x − sin x) + 3 π π
ĐH Nông Nghiệp 1 - 99 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + kπ 4 3
Bài 267. Giải phương trình: 3 3
sin x + cos x = sin x − cos x ĐH An Ninh - 00
ĐS: x = π/2 + kπ
Bài 268. Giải phương trình: 2 2 (sin x + cos x)cos x = 3+ cos 2x
ĐH GTVT Hà Nội - 00 ĐS: vn
Bài 269. Giải phương trình: 3 3
4 cos x + 2 sin x − 3sin x = 0
CĐSP Mẫu Giáo TƯ 1- 01; CĐ Kỹ Thuật Cao Thắng - 07
ĐS: x = π/4 + kπ Bài 270. cos 2x 1 Giải phương trình: 2 cot x −1 =
+ sin x − sin 2x 1+ tan x 2 ĐH Khối A - 03
ĐS: x = π/4 + kπ
Bài 271. Giải phương trình: ( 3 3
4 sin x + cos x) = cos x + 3sin x π π
Dự bị ĐH Khối A - 04 ĐS: x = ± + kπ ∨ x = + kπ 3 4
Bài 272. Giải phương trình: 2 x + ( − ) 2 3 sin 1
3 sin x cos x − cos x +1− 3 = 0 π π
CĐ Kỹ Thuật Cao Thắng - 06 ĐS: x = − + kπ ∨ x = + kπ 4 3
Dạng7. Phươngtrìnhđốixứng
Bài 273. Giải phương trình: 2sin 2x − 2 2 (cos x + sin x) = 5 π 1− 2 2 HV Hàng không - 99 ĐS: x = ± arccos + k 4 2
Bài 274. Giải phương trình: 3 3
cos x − sin x +1 = 0 π
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 00 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = π + k 2
Dạng8. Phươngpháphạbậc Bài 275. x x Giải phương trình: 4 4 cos − sin = sin 2x 2 2 π π 5π ĐH Thủy Sản - 97 ĐS: x = + kπ ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2 6 6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 54 5
Bài 276. Giải phương trình: 2 2 2 2
sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x π π π π
ĐH KT Quốc Dân - 99 ĐS: x = + kx = + k 4 2 10 5  π  Bài 277. 21 Giải phương trình: 2 2
sin 4x − cos 6x = sin  +10x   2  π π π
ĐH Dược Hà Nội - 99 ĐS: x = + kπ ∨ x = + k 2 20 10
Bài 278. Giải phương trình: 2 2 2 2 2 2 2
sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x π π π π π
CĐSP Thái Bình Khối A - 99 ĐS: x = + kx = + kx = + kπ 8 4 4 2 2  π   π  Bài 279. 7 Giải phương trình: 4 4 sin x + cos x = cot  x +  cot  − x  8  3   6  π π ĐH GTVT - 99 ĐS: x = ± + k 12 2 Bài 280. 17 Giải phương trình: 8 8 sin x + cos x = 32 π π
HV Kỹ Thuật Mật Mã - 99 ĐS: x = + k 8 4 4 4 Bài 281. cos x + sin x 1 Giải phương trình: = (tan x + cot x) sin 2x 2 ĐH BK Hà Nội - 00 ĐS: vn  π  Bài 282. x 7 Giải phương trình: 2 2 sin .
x cos 4x − sin 2x = 4sin  −  −  4 2  2 π 7π ĐH SP Hà Nội - 00 ĐS: x = − + k 2π ∨ x = + k 6 6
Bài 283. Giải phương trình: 2 2 2
2 cos 2x + cos 2x = 4 sin 2 . x cos x π π ĐH Công Đoàn - 00 ĐS: x = + k 8 4
Bài 284. Giải phương trình: 2 2 2
2 cos x + 2 cos 2x + 2 cos 3x − 3 = cos 4x (2 sin 2x + ) 1 π π ĐH SP TpHCM - 00 ĐS: x = + k 8 4
Bài 285. Giải phương trình: 6 6
sin x + cos x = 1+ sin 4x π 1 8 π
ĐHDL Hùng Vương - 00 ĐS: x = k
x = − arctan + k 2 2 3 2 Bài 286. 5 Giải phương trình: 8 8
sin x + cos x = 2 ( 10 10
sin x + cos x) + cos 2x 4 π π
ĐH Ngoại Thương Khối D - 00 ĐS: x = + k 4 2 Bài 287. 1 Giải phương trình: 8 8
sin x + cos x + cos 4x = 0 8 π π
TTĐTBDCB Y Tế TpHCM - 01 ĐS: x = + k 4 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 55 5 Bài 288. x x Giải phương trình: 4 4 cos + sin = 1− 2sin x 2 2 ĐH Công Đoàn - 01
ĐS: x = kπ
Bài 289. Giải phương trình: 2 2 2
sin x + sin 2x + sin 3x = 2 π π π π π ĐH SPKT TpHCM - 01 ĐS: x = + kx = + kπ ∨ x = + k 4 2 2 6 3  π  Bài 290. x
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: 2 2 sin .
x cos 4x + 2sin 2x = 1− 4sin  −  thỏa mãn  4 2   x −1 < 3 hệ bất phương trình  2
x + 3 > −x
ĐH Cảnh Sát Nhân Dân - 01 ĐS: x = π/2
Bài 291. Giải phương trình: 2 2 2
sin x + sin 3x − 3cos 2x = 0 π 1 5 −1 ĐH TC Kế Toán - 01 ĐS: x = ±
+ kπ ∨ x = ± arccos + kπ 3 2 2
Bài 292. Giải phương trình: 4 4
3sin x + 5cos x − 3 = 0 π π
ĐH An Ninh Nhân Dân - 01 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + kπ 2 6
Bài 293. Giải phương trình: ( 4 4
4 sin x + cos x ) + 3 sin 4x = 2 π π π π ĐHSP TpHCM - 01 ĐS: x = + kx = − + k 4 2 12 2 Bài 294. 1 2 Giải phương trình: 48 − − (1+ cot 2 . x cot x) = 0 4 2 co s x sin x π π
ĐH Mỏ - Địa Chất - 01 ĐS: x = + k 8 4  π   π  Bài 295. 9 Giải phương trình: 4 4 4
sin x + sin  x +  + sin  x −  =  4   4  8 1 6 − 2 ĐH GTVT - 01 ĐS: x = ± arccos + kπ 2 2
Bài 296. Giải phương trình: 2 2 2 2
sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x π π ĐH Khối B - 02 ĐS: x = kx = k 2 9  π  Bài 297. x x Giải phương trình: 2 2 2 sin  −  tan x − cos = 0  2 4  2 ĐH Khối D - 03
ĐS: x = π + k2π ∨ x = −π/4 + kπ  π   π  Bài 298. 3 Giải phương trình: 4 4
sin x + cos x + cos  x −  sin  3x −  − = 0  4   4  2 ĐH Khối D - 05
ĐS: x = π/4 + kπ  π   π   π  π
Bài 299. Giải phương trình: 2 2 2 cos  x +  + cos  2x +  + cos 3x −  = 3 cos  2   2   2  6 π π π
CĐ KTKT Công Nghiệp I - 06 ĐS: x = + kx = ± + kπ 8 4 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 56 5
Bài 300. Giải phương trình: 2 2 2 2
sin x + sin 2x = sin 3x + sin 4x π π
CĐ KTKT Công Nghiệp II - 07 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = k 2 5 ( 6 6
2 sin x + cos x) − sin x cos x
Bài 301. Giải phương trình: = 0 2 − 2 sin xĐH Khối A - 06 ĐS: x = + k 4
Bài 302. Giải phương trình: 2
sin 5x + 2 cos x = 1 π 2π π 2π ĐH Khối B - 13 ĐS: x = − + kx = − + k 6 3 14 7 Dạng9. Côngthứcnhânba
Bài 303. Giải phương trình: 3
4sin x −1 = 3sin x − 3 cos 3x π 2π π 2π
CĐ Hải quan TpHCM - 98 ĐS: x = + kx = − + k 18 3 6 3
Bài 304. Giải phương trình: 3 3 sin . x sin 3x + cos . x cos 3x = 1
ĐH Y Hải Phòng - 99
ĐS: x = kπ
Bài 305. Giải phương trình: 6 3 4 8 2 cos x + 2 2 sin .
x sin 3x − 6 2 cos x −1 = 0 π
HV Chính Trị QG TpHCM - 99 ĐS: x = ± + kπ 8
Bài 306. Giải phương trình: 3 3 3 sin . x cos 3x + cos .
x sin 3x = sin 4x π
ĐH Ngoại Thương - 99 ĐS: x = k 12 Bài 307. 2 Giải phương trình: 3 3 cos . x cos 3x + sin . x sin 3x = 4 π
ĐH Mở Hà Nội - 00 ĐS: x = ± + kπ 8
Bài 308. Giải phương trình: Bài 309. 3 3 4sin . x cos 3x + 4 cos .
x sin 3x + 3 3 cos 4x = 3 π π π π HV CN BCVT - 01 ĐS: x = + kx = − + k 8 2 24 2 Bài 310. 1 Giải phương trình: 3 3 3 cos . x cos 3x − sin .
x sin 3x = cos 4x + 4 π π
ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội - 01 ĐS: x = + k 24 12 Bài 311. 2 + 3 2 Giải phương trình: 3 3 cos . x cos 3x − sin . x sin 3x = 8 π π
Dự bị ĐH Khối A - 06 ĐS: x = ± + k 16 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 57 5
Dạng10. Phươngtrìnhcóchứagiátrịtuyệnđối
Phươngtrìnhcóchứacănthức 2 Bài 312. tan x tan x Giải phương trình: = + tan x tan x −1 tan x −1 π π ĐH Thủy Sản - 98 ĐS: x = kπ ∨
+ kπ < x < + kπ 4 2 2 Bài 313. tan x 1 Giải phương trình: = tan x +1 + tan x −1 tan x −1 π 3π π ĐH Thủy Sản - 99 ĐS:
+ kπ < x < + kπ ∧ x ≠ + kπ 4 4 2 Bài 314.
cos 2x − 2 cos 3x +1 Giải phương trình: = 0 cos x
ĐH Mở Hà Nội Khối D - 99
ĐS: x = k
Bài 315. Giải phương trình: sin x − cos x + sin x + cos x = 2 π
ĐH QG Hà Nội Khối D - 99 ĐS: x = k 2
Bài 316. Giải phương trình: cos 2x + 1+ sin 2x = 2 sin x + cos x π
ĐHDL Phương Đông - 99
ĐS: x = k 2π ∨ x = − + kπ 4 Bài 317.
1+ cos 2x + 1− cos 2x Giải phương trình: = 4 sin x cos x π
HV Khoa học Quân Sự Khối D - 99 ĐS: x = + kπ 4 Bài 318.
1− sin 2x + 1+ sin 2x Giải phương trình: = 4 cos x sin x π π
ĐH Xây Dựng HN - 00 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 6 3
Bài 319. Giải phương trình: 3sin x + 2 cos x − 2 = 0 ĐH Thủy Sản - 00
ĐS: x = kπ
Bài 320. Giải phương trình: 3 3 3 3
sin x + cos x − sin . x cot x + cos . x tan x = 2sin 2x
ĐH Kiến Trúc Hà Nội - 00
ĐS: x = π/4 + k
Bài 321. Giải phương trình: 2
3 sin 2x − 2 cos x = 2 2 + 2 cos 2x
ĐH Thương Mại - 00
ĐS: x = π/2 + kπ  π 
Bài 322. Giải phương trình: 2 2sin 3x +  = 1+ 8sin 2 . x cos 2x  4 
ĐH Kinh Tế Quốc Dân - 00
ĐS: x = π/12 + k2π ∨ x = 5π/12 + (2k +1)π
Bài 323. Giải phương trình: 3+ 4 6 − (16 3 −8 2)cos x = 4cos x − 3
ĐH Kinh Tế Quốc Dân - 01
ĐS: x = ±π/4 + k TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 58 5 Bài 324. sin 3x − sin x
Tìm các nghiệm thuộc (0 ; 2π) của phương trình:
= sin 2x + cos 2x 1− cos 2x π 9π 21π 29π
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 96 ĐS: ; ; ; 16 16 16 16 Bài 325. 1 Giải phương trình: = sin x 2 8 cos x π 3π 5π 7π
Dự bị ĐH Khối D - 02 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 8 8 8 8
Bài 326. Giải phương trình: 1+ sin x + cos x = 0 CĐSP Hà Tĩnh - 02
ĐS: x = (2k +1)π ∨ x = −π/2 + k
Bài 327. Giải phương trình: x ( − x ) 2 3cos 1 sin
− cos 2x = 2 sin x.sin x −1
CĐ Khí Tượng Thủy Văn - 03
ĐS: x = π/2 + k2π ∨ x = 2π/3 + k Bài 328. 1
Giải phương trình: cos 3 .
x sin 2x − cos 4 . x sin x =
sin 3x + 1+ cos x 2 CĐ GTVT - 04
ĐS: x = π + k
Bài 329. Giải phương trình: 1− sin x + 1− cos x =1
Dự bị ĐH Khối A - 04
ĐS: x = k 2π ∨ x = π/2 + k Bài 330. 1 Giải phương trình: 4 4 sin x + cos x = sin 2x 2
Hệ CĐ – ĐH Sài Gòn Khối D - 07
ĐS: x = ±π/4 + kπ
Dạng11. Phươngtrìnhcóchứathamsố
Bài 331. Xác định m để phương trình: ( 4 4
2 sin x + cos x) + cos 4x + 2sin 2x m = 0 có ít nhất một  π  nghiệm thuộc đoạn 0 ;   .  2 
Dự bị ĐH Khối A - 02 ĐS: 1
− 0/3 ≤ m ≤ −2 Bài 332.
2 sin x + cos x +1 Cho phương trình: = a (1)
sin x − 2 cos x + 3 1
a) Giải phương trình (1) khi a =
b) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm. 3
Dự bị ĐH Khối D - 02
ĐS: a. x = −π/4 + kπ ; b. 1
− /2 ≤ a ≤ 2 6 6 Bài 333. cos x + sin x Cho phương trình: = m tan 2x (1) 2 2 cos x − sin x 13
a) Giải phương trình (1) khi m =
b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm. 8
CĐ Xây Dựng III - 04
ĐS: a. x = π/12 + kπ ∨ x = 5π/12 + kπ ; b. 1 − /4 ≤ m ≤ 1/4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 59 5
Phần 5 - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Hàmsốlượnggiác
Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số y = tan x = là hàm lẻ.
B. Hàm số y cot x là hàm lẻ.
C. Hàm số y = cos x là hàm lẻ.
D. Hàm số y = sin x là hàm lẻ.
Câu 2: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin 2x .
B. y = cos3x .
C. y = cot 4x .
D. y = tan 5x .
Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn A. x y = sin 3x . B. y = . x cos x . C. y = cos . x tan 2x . D. tan y = . sin x
Câu 4: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó?
y = cot 2x ; y = cos( x + π ) ; y = 1− sin x ; 2016 y = tan x . A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .
Câu 5: Cho hàmsố f ( x) = cos 2x g ( x) = tan 3x , chọn mệnh đề đúng
A. f ( x) là hàm số chẵn, g ( x) là hàm số lẻ.
B. f ( x) là hàm số lẻ, g ( x) là hàm số chẵn.
C. f ( x) là hàm số lẻ, g ( x) là hàm số chẵn.
D. f ( x) và g ( x) đều là hàm số lẻ.
Câu 6: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn A. 2
y = sin x + sin x . B. y = tan 3 . x cos x . C. 2
y = sin x + tan x . D. 2
y = sin x + cos x .
Câu 7: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = sinx + 2 là hàm số không chẵn, không lẻ. B. s inx Hàm số y = là hàm số chẵn. x C. Hàm số 2
y = x + cos x là hàm số chẵn.
D. Hàm số y = sin x x − sin x + x là hàm số lẻ.
Câu 8: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ? A. cos x
y = 2x + cos x .
B. y = cos3x . C. 2
y = x sin ( x + 3) . D. y = . 3 x
Câu 9: Hàm số y = tan x + 2sin x
A. Hàm số lẻ trên tập xác định.
B. Hàm số chẵn tập xác định.
C. Hàm số không lẻ tập xác định.
D. Hàm số không chẵn tập xác định. Câu 10: Hàm số 3 y = sin . x cos x
A. Hàm số lẻ trên ℝ .
B. Hàm số chẵn trên ℝ .
C. Hàm số không lẻ trên ℝ .
D. Hàm số không chẵn ℝ .
Câu 11: Hàm số y = sin x + 5cos x
A. Hàm số lẻ trên ℝ .
B. Hàm số chẵn trên ℝ .
C. Hàm số không chẵn, không lẻ trên ℝ .
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 12: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ? A. sin x + tan x y = .
B. y = tan x − cot x .
C. y = sin 2x + cos 2x . D. 2
y = 2 − sin 3x . 2 2 cos x TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 60 6
Câu 13: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn: A. y = 5sin . x tan 2x .
B. y = 3sin x + cos x . C. y = 2sin 3x + 5 .
D. y = tan x − 2sin x .
Câu 14: Trong các hàm số sau đây hàm số nào là hàm số lẻ? A. 2 y = sin x .
B. y = cos x .
C. y = − cos x .
D. y = sin x .
Câu 15: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = −sin x .
B. y = cos x − sin x . C. 2
y = cos x + sin x . D. y = cos x sin x .
Câu 16: Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn: y = cos3x ( ) 1 ; y = ( 2 sin x + ) 1 (2) ; 2 y = tan x (3) ;
y = cot x ( 4) . A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .
Câu 17: Hàm số: y = 3 + 2cos x tăng trên khoảng:  π π   π π   π   π π  A.  − ; . B. 3  ;  . C. 7  ; 2π  . D.  ;  .  6 2   2 2   6   6 2   π π 
Câu 18: Hàm số nào đồng biến trên khoảng  − ; :  3 6 
A. y = cos x .
B. y = cot 2x .
C. y = sin x .
D. y = cos2x .
Câu 19: Mệnh đề nào sau đây sai?  π 
A. Hàm số y = sinx tăng trong khoảng 0;  .  2   π 
B. Hàm số y = cotx giảm trong khoảng 0;  .  2   π 
C. Hàm số y = tanx tăng trong khoảng 0;  .  2   π 
D. Hàm số y = cosx tăng trong khoảng 0;  .  2 
Câu 20: Hàm số y = sin x đồng biến trên:  π π  A. Khoảng (0;π ) .
B. Các khoảng  − + k2π; + k2π  , k ∈ℤ .  4 4   π   π π  C. 3 Các khoảng 
+ k2π ;π + k2π  , k ∈ℤ . D. Khoảng  ;  .  2   2 2 
Câu 21: Hàm số y = cosx :  π  π  A. Tăng trong[0;π ]. B. Tăng trong 0;   và giảm trong ;π .    2   2 
C. Nghịch biến [0;π ].
D. Các khẳng định trên đều sai.
Câu 22: Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn nào dưới đây:  π  A. 0;   . B. [π ; 2π ]. C. [ π − ;π ] . D. [0;π ].  2   π 
Câu 23: Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0;  khác với các hàm số còn lại ?  2 
A. y = sin x .
B. y = cos x .
C. y = tan x .
D. y = −cot x . GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 61 6
Câu 24: Hàm số y = tan x đồng biến trên khoảng:  π   π   π   π π  A. 0;  . B. 0; . C. 3  0;  . D. 3  − ;  .   2   2   2   2 2 
Câu 25: Khẳng định nào sau đây đúng?  π π  A. 3
Hàm số y = sin x đồng biến trong khoảng  ;  .  4 4   π π  B. 3
Hàm số y = cos x đồng biến trong khoảng  ;  .  4 4   π π  C. 3
Hàm số y = sin x đồng biến trong khoảng  − ; −  .  4 4   π π  D. 3
Hàm số y = cos x đồng biến trong khoảng  − ; −  .  4 4   π π  Câu 26: 3
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ;  ?  2 2 
A. y = sin x .
B. y = cos x .
C. y = cot x .
D. y = tan x . Câu 27: Đ 1
iều kiện xác định của hàm số y = là sin x − cos x A. π π x kπ .
B. x k2π . C. x ≠ + kπ . D. x ≠ + kπ . 2 4 Câu 28: − Đ 1 sin x
iều kiện xác định của hàm số y = là cos x A. π π π x ≠ + k 2π . B. x ≠ + kπ .
C. x ≠ − + k2π .
D. x kπ . 2 2 2 Câu 29: − Đ 1 3cos x
iều kiện xác định của hàm số y = là sin x A. π kπ x ≠ + kπ .
B. x k2π . C. x ≠ .
D. x kπ . 2 2 Câu 30: 3
Tập xác định của hàm số y = là 2 2 sin x − cos x π  π 
A. ℝ \  + kπ , k ∈ℤ .
B. ℝ \  + kπ , k ∈ℤ .  4   2  π π   π 
C. ℝ \  + k , k ∈ℤ . D. 3 ℝ \ 
+ k2π , k ∈ ℤ .  4 2   4  Câu 31: cot x
Tập xác định của hàm số y = là cos x −1  π  π 
A. ℝ \ k ,k ∈ℤ .
B. ℝ \  + kπ , k ∈ℤ .  2   2 
C. ℝ \{kπ , k ∈ } ℤ . D. ℝ . Câu 32: + Đ 2 sin x 1
iều kiện xác định của hàm số y = là 1− cos x A. π π x k
B. x kπ C. x ≠ + kπ D. x ≠ + k 2π 2 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 62 6  π 
Câu 33: Điều kiện xác định của hàm số y = tan  2x −  là  3  A. π kπ π π π π x ≠ + B. 5 x ≠ + kπ C. x ≠ + kπ D. 5 x ≠ + k 6 2 12 2 12 2
Câu 34: Điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x A. π − kπ π π kπ π x ≠ + B. x ≠ + kπ C. x ≠ + D. x ≠ + kπ 4 2 2 4 2 4 Câu 35: − Đ 1 sin x
iều kiện xác định của hàm số y = là sin x + 1 A. π x ≠ + k 2π .
B. x k2π . 2 C. x ≠ + k 2π .
D. x ≠ π + k2π . 2
Câu 36: Điều kiện xác định của hàm số y = cos x A. x > 0 . B. x ≥ 0 . C. ℝ . D. x ≠ 0 . Câu 37: 1− 2 cos x
Tập xác định của hàm số y = là sin 3x − sin x  π  π π  A. k ℝ \ kπ ;
+ kπ , k ∈ ℤ . B. ℝ \  + , k ∈ ℤ .  4   4 2   π π  C. k
ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ .
D. ℝ \ kπ; + , k ∈ ℤ .  4 2 
Câu 38: Hàm số y = cot 2x có tập xác định là π  A. kπ .
B. ℝ \  + kπ; k ∈ℤ .  4   π  π π 
C. ℝ \ k ;k ∈ℤ .
D. ℝ \  + k ; k ∈ℤ .  2   4 2 
Câu 39: Tập xác định của hàm số y = tan x + cot x A. ℝ .
B. ℝ \{kπ; k ∈ } ℤ . π   π 
C. ℝ \  + kπ; k ∈ℤ .
D. ℝ \ k ;k ∈ℤ .  2   2  Câu 40: 2x
Tập xác định của hàm số y = là 2 1− sin x π  π 
A. D = ℝ \  + k2π ,k ∈ ℤ.
B. D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ.  2   2  π  C. π kπ D = 
+ kπ , k ∈ ℤ. D. x = ± + .  2  3 2
Câu 41: Tập xác định của hàm số y = tan x là π  A. D = . ℝ
B. D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ.  2  π 
C. D = ℝ \  + k2π ,k ∈ ℤ.
D. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ .  2  GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 63 6
Câu 42: Tập xác định của hàm số y = cot x là π  π 
A. D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ.
B. D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ.  4   2 
C. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ . D. D = . ℝ Câu 43: 1
Tập xác định của hàm số y = là sin x A. D = ℝ \{ } 0 .
B. D = ℝ \{k2π , k ∈ } ℤ .
C. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ .
D. D = ℝ \{0;π}. Câu 44: 1
Tập xác định của hàm số y = là cot x π 
A. D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ.
B. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ .  2   π   π π 
C. D = ℝ \ k , k ∈ℤ. D. 3 D = ℝ \ 0; ;π ; .  2   2 2  Câu 45: 1
Tập xác định của hàm số y = là cot x − 3 π  π 
A. D = ℝ \  + k2π ,k ∈ ℤ.
B. D = ℝ \  + kπ , kπ , k ∈ℤ.  6   6  π π   π π 
C. D = ℝ \  + kπ , + kπ ,k ∈ℤ. D. 2 D = ℝ \  + kπ ,
+ kπ , k ∈ ℤ.  3 2   3 2  Câu 46: x +1
Tập xác định của hàm số: y = là tan 2x  π 
A. ℝ \ {kπ ,k ∈ } ℤ .
B. ℝ \ k ,k ∈ℤ.  4  π   π  C. k ℝ \ 
+ kπ , k ∈ ℤ. D. ℝ \  , k ∈ ℤ.  2   2  Câu 47: 3x + 1
Tập xác định của hàm số y = là 2 1− cos x π   π 
A. D = ℝ \  + kπ , k ∈ℤ.
B. D = ℝ \ − + kπ , k ∈ℤ.  2   2 
C. D = ℝ \ {π + kπ , k ∈ } ℤ . D. D = . ∅
Câu 48: Tập xác định của hàm số y = tan (3x − ) 1 là π π   π  A. 1 D = ℝ \  + + k , k ∈ ℤ. B. 1
D = ℝ \  + k , k ∈ ℤ.  6 3 3  3 3  π π  π π  C. 1 D = ℝ \  − + k , k ∈ ℤ. D. 1 D =  + + k , k ∈ ℤ.  6 3 3   6 3 3   π 
Câu 49: Tập xác định của hàm số y = tan 3x +  là  4   π π  A. k D = ℝ .
B. D = R\  + , k Z  2 1 3   π 
C. D = R\  + kπ,k Z .
D. D = R \ {kπ} . 1  2  TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 64 6
Câu 50: Tập xác định của hàm số y = sin ( x − ) 1 là A. . ℝ B. ℝ \{1} . π 
C. ℝ \  + k2π | k ∈ ℤ . D. ℝ \{kπ}.  2  Câu 51: x −1
Tập xác định của hàm số y = sin là x + 1 A. ℝ \{ } 1 − . B. ( 1 − ; ) 1 . π  π 
C. ℝ \  + k2π | k ∈ ℤ .
D. ℝ \  + kπ | k ∈ℤ.  2   2  2 Câu 52: x +1
Tập xác định của hàm số y = là sin x A. . ℝ B. ℝ\{ } 0 . π 
C. ℝ \{kπ | k ∈ } ℤ .
D. ℝ \  + kπ | k ∈ℤ.  2  Câu 53: 2 sin x
Tập xác định của hàm số y = là 1+ cos x π 
A. ℝ \  + kπ | k ∈ℤ.
B. ℝ \{π + k2π | k ∈ } ℤ .  2  C. . ℝ D. ℝ\{ } 1 . Câu 54: 1− sin x
Tập xác định của hàm số y = là 1+ cos x
A. ℝ \{π + k2π , k ∈ } ℤ .
B. ℝ \{k2π ,k ∈ } ℤ . π  π 
C. ℝ \  + k2π , k ∈ℤ .
D. ℝ \  + k2π , k ∈ℤ .  4   2 
Câu 55: Tập xác định D của hàm số y = sin x + 2 là A. . ℝ B. [ 2 − ; +∞ ). C. (0; 2π ).
D. arcsin(−2);+∞).
Câu 56: Tập xác định của hàm số y = 1− cos 2x A. D = . ℝ B. D = [0; ] 1 . C. D = [ 1 − ; ] 1 .
D. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ .
Câu 57: Hàm số nào sau đây có tập xác định ℝ ? 2 3 A. 2 + cos x 1+ sin x sin x y = . B. 2 2
y = tan x + cot x . C. y = . D. y = . 2 − sin x 2 1+ cot x 2 cos x + 2 Câu 58: 1− sin x
Tập xác định của hàm số y = là 2 sin x π 
A. D = ℝ \ {kπ ,k ∈ } ℤ .
B. D = ℝ \  + k2π , k ∈ℤ .  2 
C. D = ℝ \{k2π , k ∈ } ℤ . D. D = ℝ . GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 65 6 Câu 59: 1− cos x
Tập xác định của hàm số y = là 2 cos x π 
A. D = ℝ \  + k2π , k ∈ℤ . B. D = ℝ .  2  π 
C. D = ℝ \  + kπ , k ∈ℤ .
D. D = ℝ \ {kπ ,k ∈ } ℤ .  2  Câu 60: 2 − sin 2x Hàm số y =
có tập xác định ℝ khi m cos x +1 A. m > 0.
B. 0 < m <1. C. m ≠ 1 − . D. 1 − < m < 1 . Câu 61: Đ tan x
iều kiện xác định của hàm số y = là cos x −1  π  π x ≠ + kπ  ≠ + π  A. π x k 2 x k 2π . B. x = + k 2π . C.  2 . D.  . 3  π x k 2π x ≠ + kπ  3 Câu 62: Đ cot x
iều kiện xác định của hàm số y = là cos x A. π kπ x = + kπ .
B. x = k2π .
C. x = kπ . D. x ≠ . 2 2
Câu 63: Chọn khẳng định sai.
A. Tập xác định của hàm số y = sin x là ℝ . π 
B. Tập xác định của hàm số y = cot x D = ℝ \  + kπ , k ∈ℤ .  2 
C. Tập xác định của hàm số y = cos x là ℝ . π 
D. Tập xác định của hàm số y = tan x D = ℝ \  + kπ , k ∈ℤ .  2  Câu 64: sin x
Tập xác định của hàm số y = là 1− cos x π 
A. ℝ \{k2π ,k ∈ } ℤ .
B. ℝ \  + kπ , k ∈ℤ .  2  π  C. ℝ .
D. ℝ \  + k2π , k ∈ℤ .  2 
Phươngtrìnhcơbản–Phươngtrìnhbậcnhất
Câu 65: Phương trìnhsin x = 0 có nghiệm là π π A. x = + k 2π .
B. x = kπ .
C. x = k 2π . D. x = + kπ . 2 2
Câu 66: Phương trình: cos 2x =1 có nghiệm là π π A. x = + k 2π .
B. x = kπ .
C. x = k 2π . D. x = + kπ . 2 2
Câu 67: Phương trình: 1+ sin 2x = 0 có nghiệm là π π π π
A. x = − + k2π .
B. x = − + kπ .
C. x = − + k2π .
D. x = − + kπ . 2 4 4 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 66 6 Câu 68: 1
Nghiệm phương trình: sin x = là 2  π  π  π  π x = + k 2π  x = + k 2π  x = + k 2π  x = + k 2π  A. 6  6 3 3 . B.  . C.  . D.  .  5π  π  2π  π x = + k 2π  x = − + k x = + k x = − + k 2π  6  6  3  3 Câu 69: 2
Nghiệm phương trình: cos 2x = là 2  π  π  π  π x = + k 2π  x = + kπ  x = + kπ  x = + k 2π  A. 4  8 . B. 4  . C. 8  . D.  .  π  π  π  π x = − + k 2π  x = − + kπ x = − + kπ x = − + k 2π  4  4  8  8
Câu 70: Nghiệm phương trình: 1+ tan x = 0 là π π π π A. x = + kπ .
B. x = − + kπ . C. x = + k 2π .
D. x = − + k2π . 4 4 4 4   Câu 71: π
Nghiệm phương trình sin  x +  = 1 là  2  π π A. x = + k 2π .
B. x = − + k2π .
C. x = kπ .
D. x = k 2π . 2 2 Câu 72: 1
Nghiệm phương trình cos x = là 2  π  π x = + k 2π  x = + k 2π  A. 6  ( 6 k ∈ ℤ ) . B.  (k ∈ ℤ) .  5π  π x = + k 2π  x = − + k 2π  6  6  π  π x = + k 2π  x = + k 2π  C. 3  ( 3 k ∈ ℤ ) . D.  (k ∈ ℤ) .  2π  π x = + k 2π  x = − + k 2π  3  3 Câu 73: 2
Nghiệm phương trình sin 2x = là 2  π  π x = + k 2π  x = + kπ  A. 4  (k ∈ ℤ) . B. 4  (k ∈ ℤ) .  3π  3π x = + k 2π  x = + kπ  4  4  π  π x = + kπ  x = + k 2π  C. 8  ( 8 k ∈ ℤ ) . D.  (k ∈ ℤ) .  3π  3π x = + kπ  x = + k 2π  8  8
Câu 74: Nghiệm phương trình 1+ cot x = 0 là π π π π A. x = + kπ .
B. x = − + kπ . C. x = + k 2π .
D. x = − + k2π . 4 4 4 4   Câu 75: π
Nghiệm phương trình cos  x +  = 1là  2  π π A. x = + k 2π .
B. x = − + k2π .
C. x = kπ .
D. x = k 2π . 2 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 67 6 Câu 76: 1
Phương trình sin 2x = −
có bao nhiêu nghiệm thỏa mãn 0 < x < π . 2 A. 1. B. 3. C. 2 . D. 4 . π π Câu 77: 1 Phương trình sin x = có nghiệm thỏa mãn − ≤ x ≤ là : 2 2 2 π π π π A. 5 x = + kB. x = . C. x = + k 2π . D. x = . 6 6 3 3   Câu 78: π
Số nghiệm của phương trình sin  x +
 = 1 với π ≤ x ≤ 3π là :  4  A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3.   Câu 79: x
Giải phương trình lượng giác 2 cos   + 3 = 0 có nghiệm là  2   5π  5π x = + k 2π  x = + k 2π  A. 3  ( 6 k ∈ ℤ ) . B.  (k ∈ ℤ) .  5π  5π x = − + k 2π  x = − + k 2π  3  6  5π  5π x = + k 4π  x = + k 4π  C. 6  ( 3 k ∈ ℤ ) . D.  (k ∈ ℤ) .  5π  5π x = − + k 4π  x = − + k 4π  6  3   Câu 80: π
Số nghiệm của phương trình: 2 cos  x +
 = 1 với 0 ≤ x ≤ 2π là :  3  A. 0. B. 2 . C. 1. D. 3.
Câu 81: Nghiệm của phương trình sin .
x (2cos x − 3) = 0 là : x = kπ x = kπ A.   π  . (k ∈ ℤ ) B. π (k ∈ ℤ) . x = ± + k 2π x = ± + kπ  6  6 x = k2π π C.  π = ± + π  (k ∈ ℤ) . D. x k 2 (k ∈ ℤ) . x = ± + k 2π 6  3
Câu 82: Phương trình 2 2 cos x + 6 = 0 có các nghiệm là π π A. 5 x = ±
+ k2π (k ∈ ℤ ) .
B. x = ± + k2π (k ∈ ℤ) . 6 6 π π C. 5 x = ±
+ k 2π (k ∈ ℤ ) .
D. x = ± + k2π (k ∈ ℤ) . 3 3 π
Câu 83: Phương trình cos4x = cos có nghiệm là 5  π  π x = + k 2π  x = + k 2π  A. 5  ( 20 k ∈ ℤ) . B.  ( k ∈ ℤ) .  π  π x = − + k 2π  x = − + k 2π  5  20  π π  π π x = + kx = + kC. 5 5  20 2 ( k ∈ ℤ) . D.  ( k ∈ ℤ) .  π π  π π x = − + kx = − + k  5 5  20 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 68 6
Câu 84: Phương trình (sin x + )
1 (sin x − 2 ) = 0 có nghiệm là π π π
A. x = − + k2π (k ∈ℤ) .
B. x = ± + k2π , x = − + kπ (k ∈ℤ) . 2 4 8 π π C. x = + k 2π .
D. x = ± + k2π . 2 2
Câu 85: Phương trình 2cos x − 3 = 0 có họ nghiệm là π π
A. x = ± + kπ (k ∈ℤ) .
B. x = ± + k2π (k ∈ℤ) . 3 3 π π
C. x = ± + k2π (k ∈ℤ) .
D. x = ± + kπ (k ∈ℤ) . 6 6
Câu 86: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
x = y + kπ
x = y + k
A. sin x = sin y ⇔ (k ∈  ℤ) .
B. sin x = sin y ⇔ (k ∈  ℤ) .
x = π − y + kπ
x = π − y + k
x = y + k
x = y + kπ
C. sin x = sin y ⇔ (k ∈  ℤ) .
D. sin x = sin y ⇔ (k ∈  ℤ) .
x = − y + k
x = − y + kπ Câu 87: x
Phương trình tan x = tan có họ nghiệm là 2
A. x = k 2π (k ∈ ℤ) .
B. x = kπ (k ∈ ℤ) .
C. x = π + k 2π (k ∈ ℤ) . D. x = π
− + k 2π (k ∈ ℤ) .   Câu 88: x + π 1
Họ nghiệm của phương trình sin   = − là  5  2  11π  11π x = + k10π  x = − + k10π  A. 6  6 (k ∈ ℤ ) B.  (k ∈ ℤ )  2 − 9π  29π x = + k10π  x = + k10π  6  6  11π  11π x = − + 1 k 0π  x = + k10π  C. 6  6 (k ∈ ℤ ) . D.  (k ∈ ℤ )  29π  29π x = − + k10π  x = + k10π  6  6
Câu 89: Phương trình 2sin (2x 40ο −
) = 3 có số nghiệm thuộc ( 180ο;180ο − ) là A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 .
Câu 90: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: π
A. sin x = 1 ⇔ x =
+ k2π , k ∈ ℤ .
B. sin x = 1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ ℤ . 2 π
C. sin x = 1 ⇔ x = k2π , k ∈ ℤ .
D. sin x =1 ⇔ x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 2   Câu 91: tan x 1 π Phương trình = cot  x +  có nghiệm là 2 1 − tan x 2  4  π π π A. x = + kπ . B. x = + k . 3 6 2 π π π π C. x = + k . D. x = + k . 8 4 12 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 69 6 π
Câu 92: Cho x = + kπ là nghiệm của phương trình nào sau đây: 2 A. sin x = 1. B. sin x = 0 . C. cos 2x = 0 .
D. cos 2x = −1.
Câu 93: Nghiệm của phương trình 2 sin x = 1 là π π
A. x = k 2π . B. x = + kπ .
C. x = π + k2π . D. x = + k 2π . 2 2   Câu 94: π
Nghiệm của phương trình 2 sin  4x −  −1 = 0 là  3  π π π π A. 7
x = kπ ; x = π + k 2π . B. x = + k ; x = + k . 8 2 24 2 π π
C. x = k 2π ; x = + k 2π .
D. x = π + k2π ; x = k . 2 2
Câu 95: Nghiệm của phương trình 2cos 2x +1 = 0là π π π π
A. x = − + k2π ; x = + k2π . B. 2 x = − + k2π ; x = + k2π . 3 3 6 3 π π π π C. 2 2 x =
+ k 2π ; x = − + k2π . D. x = + kπ ; x = − + kπ . 3 3 3 3
Câu 96: Nghiêm của phương trình sin x.cos .
x cos 2x = 0 là π π π
A. x = kπ .
B. x = k .
C. x = k .
D. x = k . 4 8 2
Câu 97: Nghiệm của phương trình sin x = –1là π π π
A. x = − + k2π .
B. x = − + kπ .
C. x = kπ . D. 3 x = + kπ . 2 2 2
Câu 98: Nghiệm của phương trình cot x + 3 = 0 là π π π π
A. x = − + kπ .
B. x = − + kπ . C. x = + k 2π . D. x = + kπ . 3 6 3 6
Câu 99: Nghiệm của phương trình 2
cos x – cosx = 0 thỏa điều kiện 0 < x < π : π π π π A. x = . B. x = . C. x = . D. x = − . 6 2 4 2
Câu 100: Nghiệm của phương trình sin 3x = sin x là π π π
A. x = kπ , x = + k . B. x = + kπ . 4 2 2 π
C. x = k 2π .
D. x = k 2π , x = + kπ . 2
Câu 101: Nghiệm của phương trình cos3x = cos x là π
A. x = k 2π .
B. x = k 2π , x = + k 2π . 2 π
C. x = kπ .
D. x = kπ , x = k . 2
Câu 102: Nghiệm của phương trình 2.sin . x cos x = 1là π π
A. x = k 2π . B. x = + kπ .
C. x = k .
D. x = kπ . 4 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 70 7
Câu 103: Nghiệm của phương trình sin 3x = cos x là π π π π
A. x = kπ ; x = k . B. x = + k ; x = + kπ . 2 8 2 4 π π
C. x = kπ ; x = + kπ .
D. x = k2π ; x = + k2π . 4 2
Câu 104: Nghiệm của phương trình cos x =1là π π
A. x = k 2π . B. x = + k 2π .
C. x = kπ . D. x = + kπ . 2 2
Câu 105: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4x + cos5x = 0 theo thứ tự là π π π π A. x = − ; x = . B. 2 x = − ; x = . 18 2 18 9 π π π π C. x = − ; x = . D. x = − ; x = . 18 6 18 3
Câu 106: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm: π A. 3sin x = 1. B. tan 3x = 2 . C. cot 5x = 3. D. 2 cos 2x = . 3 Câu 107: 3
Nghiệm của phương trình cos x + = 0 là 2 π π π π A. 5 x = + kπ .
B. x = − + k2π . C. x = + k 2π . D. 2 x = ± + k2π . 6 3 6 3
Câu 108: Cho phương trình cos .
x cos 7x = cos 3 .
x cos 5x (1) . Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình (1) A. sin 5x = 0 . B. cos 4x = 0 . C. sin 4x = 0 . D. cos3x = 0 .
Câu 109: Nghiệm của phương trình 2
sin x − sin x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π là π π A. x = π . B. x = . C. x = 0. D. x = − . 2 2 Câu 110: 1
Nghiệm của phương trình cos x = − là 2 π π π π
A. x = ± + k2π. B. 2 x = ± + k 2π.
C. x = ± + k2π.
D. x = ± + k2π. 3 3 6 6
Câu 111: Nghiệm của phương trình 4 4
sin x − cos x = 0 là π π π π π
A. x = − + kπ. B. x = + k . C. 3 x = + k2π .
D. x = ± + k2π. 4 4 2 4 4
Câu 112: Phương trình 3 + 2sin x = 0 có nghiệm là π π π π A. x =
+ k2π ∨ x = − + k2π . B. 2 x = − + k2π ∨ x = + k2π . 3 3 3 3 π π π π C. 2 x = + k2π ∨ x = + k2π . D. 4 x = − + k2π ∨ x = + k2π . 3 3 3 3 π Câu 113: 2 Cho biết x = ±
+ k2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3
A. 2cos x −1 = 0.
B. 2cos x +1 = 0.
C. 2sin x +1 = 0.
D. 2sin x − 3 = 0. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 71 7
Câu 114: Phương trình 1+ 2cos x = 0 có nghiệm là π π π π A. 2 2 x =
+ k2π ∨ x = − + k2π . B. 2 x = − + k2π ∨ x = + k2π. 3 3 3 3 π π π π C. 2 x = + k2π ∨ x = + k2π. D. 4 x = − + k2π ∨ x = + k2π. 3 3 3 3
Câu 115: Giải phương trình lượng giác : 2cos 2x − 3 = 0 có nghiệm là π π
A. x = ± + k2π. B. x = ± + k2π. 6 12 π π C. x = ± + kπ .
D. x = ± + k2π. 12 3 π
Câu 116: Cho biết x = ± + k2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3
A. 2cos x − 3 = 0.
B. 2cos x −1 = 0.
C. 2sin x +1 = 0.
D. 2sin x − 3 = 0.
Câu 117: Phương trình 3 + tan x = 0 có nghiệm là π π A. x = + kπ .
B. x = − + kπ. 3 3 π π π π C. 2 x = + k2π ; x = + k2π . D. 4 x = − + k2π ; x = + k 2π . 3 3 3 3
Câu 118: Phương trình lượng giác: 3cot x − 3 = 0 có nghiệm là π π π A. x = + kπ . B. x = + kπ . C. x = + k 2π . D. Vô nghiệm. 6 3 3
Câu 119: Phương trình lượng giác: 2cot x − 3 = 0 có nghiệm là  π x = + k 2π  π π A. 6  B. 3 x = arc cot
+ kπ . C. x = + kπ . D. x = + kπ .  π − 2 6 3 x = + k 2π .  6
Câu 120: Phương trình lượng giác: 2cos x + 2 = 0 có nghiệm là  π  3π  5π  π x = + k 2π  x = + k 2π  x = + k 2π  x = + k 2π  A. 4  . B. 4  . C. 4  . D. 4  .  3π  −3π  −5π  π − x = + k 2π  x = + k x = + k x = + k 2π  4  4  4  4
Câu 121: Phương trình lượng giác: 3.tan x − 3 = 0 có nghiệm là π π π π A. x = + kπ .
B. x = − + k2π . C. x = + kπ .
D. x = − + kπ . 3 3 6 3 π − π Câu 122: 1
Phương trình: sin x = có nghiệm thỏa mãn ≤ x ≤ là 2 2 2 π π π π A. 5 x = + k2π . B. x = . C. x = + k 2π . D. x = . 6 6 3 3
Câu 123: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A. sin x + 3 = 0 . B. 2
2 cos x − cos x −1 = 0 .
C. tan x + 3 = 0 .
D. 3sin x − 2 = 0 . TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 72 7
Câu 124: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng? π π
A. cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ + kπ .
B. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2 2 π π C. cos x ≠ 1 − ⇔ x ≠ − + k 2π .
D. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k2π . 2 2   Câu 125: π
Số nghiệm của phương trình: sin  x +
 = 1 với π ≤ x ≤ 5π là  4  A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Câu 126: Phương trình lượng giác: cos x − 3 sin x = 0 có nghiệm là π π π A. x = + kπ . B. Vô nghiệm.
C. x = − + kπ. D. x = + kπ . 6 6 2
Câu 127: Giải phương trình: 2
tan x = 3 có nghiệm là π π π A. x = − + π k . B. x = ± + π k . C. vô nghiệm. D. x = + π k . 3 3 3
Câu 128: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai π A. sin x = 1 − ⇔ x = − + k2π.
B. sin x = 0 ⇔ x = kπ. 2 π
C. sin x = 0 ⇔ x = k2π.
D. sin x = 1 ⇔ x = + k2π. 2   Câu 129: π
Phương trình cos  2x −  = 0 có nghiệm là  2  π π A. k x = + .
B. x = π + kπ.
C. x = kπ .
D. x = k 2π . 2 2
Câu 130: Phương trình tan (2x +12°) = 0 có nghiệm là
A. x = −6° + k90°,(k ∈ ℤ).
B. x = −6° + k180 , ° (k ∈ ℤ ).
C. x = −6° + k360°,(k ∈ ℤ). D.
x = −12° + k 90°, ( k ∈ ℤ ).
Câu 131: Phương trình sin2 .
x (2sin x − 2 ) = 0 có nghiệm là  π  π   π x = kx = kx = k  2  x = kπ  2   2  A.  π  π π  π x = + k 2π .  
B. x = + kπ . C. x = + k 2π .
D. x = + k2π . 4  4  4  4     3π  3π 3π π x = + k 2π  x = + kπ  x = + k
x = − + k2π  4  4  4  4
Câu 132: Phương trình 2
2 cos x = 1 có nghiệm là π π π
A. x = k .
B. x = ± + kπ .
C. x = k . D. vô nghiệm. 4 4 2
Câu 133: Nghiệm của phương trình tan x = 4 là
A. x = arctan 4 + kπ .
B. x = arctan 4 + k2π . π
C. x = 4 + kπ . D. x = + kπ . 4
Câu 134: Nghiệm của phương trình sin ( x +10°) = −1 là
A. x = −100° + k360° . B. x = −80° + k180° . C. x = 100° + k360° . D. x = −100° + k180° . GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 73 7 Câu 135: 3
Số nghiệm của phương trình sin 2x = trong khoảng (0;3π ) là 2 A. 1. B. 2 . C. 6 . D. 4 .
Câu 136: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? A. tan x = 3 . B. cot x = 1. C. cos x = 0 . D. 4 sin x = . 3 Câu 137: 3
Nghiệm của phương trình tan x = là 3 π π π π A. x = + kπ . B. x = + kπ . C. x = + kπ . D. x = + kπ . 2 3 4 6   Câu 138: π
Nghiệm của phương trình cot  x +  = 3 là  4  π π π π A. x = + kπ . B. x = + kπ . C. x = − + kπ . D. x = + kπ . 12 3 12 6
Câu 139: Phương trình (sin x +1)(2cos 2x − 2 ) = 0 có nghiệm là π π
A. x = − + k2π ,k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ ,k ∈ℤ . 2 8 π C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. Cả A, B, C đều đúng. 8
Câu 140: Trong nửa khoảng [0; 2π ) , phương trình cos 2x + sin x = 0 có tập nghiệm là π π 5π   π − π 7π 11π  π 5π 7π  π 7π 11π  A.  ; ;  . B.  ; ; ;  . C.  ; ;  . D.  ; ;  .  6 2 6   6 2 6 6   6 6 6   2 6 6 
Câu 141: Trong [0; 2π ) , phương trình 2
sin x = 1− cos x có tập nghiệm là π   π   π  A.  ;π ;2π  . B. {0;π } . C. 0; ;π  .
D. 0; ;π ;2π  .  2   2   2  Câu 142: x
Nghiệm của phương trình 3 tan
− 3 = 0 trong nửa khoảng [0; 2π ) là 4 π 2π  3π  π 3π   2π  A.  ;  . B.   . C.  ;  . D.   .  3 3   2   2 2   3  Câu 143: 1
Giải phương trình: cos x = − 2 π 2π π 2π
A. x = ± + k2π . B. x = ± + k2π .
C. x = ± + kπ . D. x = ± + kπ . 3 3 6 3
Câu 144: Giải phương trình tan x = cot x A. π π π x = + k ; k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ;k ∈ℤ . 4 2 4 C. π π π x =
+ kπ ; k ∈ ℤ .
D. x = + k ;k ∈ℤ . 4 4 4 Câu 145: −1
Giải phương trình cos x = 2 A. 2π π x = ±
+ k 2π ; k ∈ ℤ . B. 3 x = ±
+ kπ ; k ∈ ℤ . 3 4 C. 3π π x = ±
+ k2π ; k ∈ ℤ .
D. x = ± + k2π;k ∈ℤ 4 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 74 7  x
Câu 146: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos +15° = sin x . Khi đó  2  A. 290°∈ X . B. 250°∈ X . C. 220°∈ X . D. 240°∈ X .
Câu 147: Giải phương trình tan 3x tan x =1. π π π π A. x = + k ; k ∈ ℤ . B. x = + k ; k ∈ ℤ . 8 8 4 4 π π π π C. x = + k ; k ∈ ℤ . D. x = + k ; k ∈ ℤ . 8 4 8 2   Câu 148:
Giải phương trình 3 tan  3x +  = 0 .  5  π π π π A. x = + k ; k ∈ ℤ .
B. x = − + k ;k ∈ℤ . 8 4 5 4 π π π π
C. x = − + k ;k ∈ℤ .
D. x = − + k ;k ∈ℤ . 5 2 5 3 Câu 149: − 3
Giải phương trình cos x = . 2 π π
A. x = ± + k3π ; k ∈ℤ . B. 5 x = ±
+ kπ ; k ∈ ℤ . 6 6 π π C. 5 x = ±
+ k2π ; k ∈ ℤ .
D. x = ± + k2π; k ∈ℤ . 6 6
Câu 150: Phương trình nào tương đương với phương trình 2 2
sin x − cos x −1 = 0 . A. cos 2x = 1.
B. cos 2x = −1. C. 2 2 cos x −1 = 0 . D. ( x x)2 sin cos = 1.
Câu 151: Giải phương trình cos x (2 cos x + 3) = 0 . π π π π A. 5 x = + kπ , x = ±
+ kπ ; k ∈ℤ . B. 5 x = + kπ , x =
+ k 2π ; k ∈ ℤ . 2 6 2 6 π π π π C. 5 x = + kπ , x = ±
+ k2π ; k ∈ ℤ . D. 2 x = + kπ , x = ±
+ k 2π ; k ∈ℤ 2 6 2 3  π 
Câu 152: Giải phương trình 3 cot 5x −  = 0 .  8  π π π A. x =
+ kπ ; k ∈ℤ . B. x = + k ; k ∈ ℤ . 8 8 5 π π π π C. x = + k ; k ∈ ℤ . D. x = + k ; k ∈ ℤ . 8 4 8 2 Câu 153: 1 Giải phương trình 2 cos 2x = . 4 π π π π
A. x = ± + k2π , x = ± + kπ;k ∈ℤ . B. 2 x = ± + kπ , x = ±
+ kπ ; k ∈ℤ . 6 3 6 3 π π π π
C. x = ± + kπ , x = ± + kπ ;k ∈ ℤ .
D. x = ± + kπ , x = ± + kπ ;k ∈ ℤ . 6 3 6 2 π π
Câu 154: Số nghiệm của phương trình 2
sin x + sin x = 0 thỏa − < x < 2 2 là A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 75 7 Câu 155: 3
Giải phương trình cos x = cos . 2 A. 3 x = ±
+ k 2π ; k ∈ ℤ . B. 3 x = ± arccos
+ k 2π ; k ∈ ℤ . 2 2 π π
C. x = ± arccos + k2π;k ∈ℤ .
D. x = ± + k2π; k ∈ℤ . 6 6
Câu 156: Giải phương trình cos x = sin 30°.
A. x = ±60° + k360 ; ° k ∈ ℤ .
B. x = ±60° + k180 ; ° k ∈ ℤ .
C. x = ±120° + k360 ; ° k ∈ ℤ .
D. x = ±30° + k360 ; ° k ∈ ℤ .  x π 
Câu 157: Số nghiệm của phương trình cos +  = 0 thuộc khoảng (π ,8π ) là  2 4  A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 1. Câu 158: sin 3x
Số nghiệm của phương trình
= 0 thuộc đoạn [2π ;4π ] là cos x +1 A. 2 . B. 6 . C. 5. D. 4 .
Câu 159: Phương trình sinx = sinα có nghiệm là
x = α + k 2π x = α + kπ A. ; k ∈  ℤ B. ; k ∈  ℤ .
x = π −α + k
x = π −α + kπ x = α + kπ x = α + kC. ; k ∈  ℤ . D. ; k ∈  ℤ . x = α − + kπ x = α − + kCâu 160: x
Nghiệm của phương trình cos
= cos 2 (với k ∈ ℤ ) là 3
A. x = ± 2 + kπ .
B. x = 3 2 + k6π . C. x = ± 2 + k4π . D. x = 3 ± 2 + k6π .  xCâu 161: 2 π Phương trình sin  −
 = 0 (với k ∈ ℤ ) có nghiệm là  3 3  A. π k π π π k π x = kπ . B. 2 3 x = + . C. x = + kπ . D. 3 x = + . 3 2 3 2 2  x
Câu 162: Nghiệm của phương trình cot  +10° = − 3 (với k ∈ℤ ) là  4 
A. x = −200° + k360° .
B. x = −200° + k720° . C. x = 2 − 0° + k360° .
D. x = −160° + k720° .
Câu 163: Nghiệm của phương trình tan (2x −15°) =1, với 9
− 0° < x < 90° là A. x = 3 − 0° B. x = 6 − 0° C. x = 30° D. x = 6 − 0° , x = 30°
Câu 164: Nghiệm của phương trình 2cos x −1= 0 (với k ∈ℤ ) là π π π π
A. x = ± + k2π .
B. x = ± + kπ .
C. x = ± + kπ .
D. x = ± + k2π . 6 6 3 3
Câu 165: Nghiệm của phương trình 3 tan 3x −3 = 0 (với k ∈ℤ ) là π π π π π π π π A. k k k k x = + . B. x = + . C. x = + . D. x = + . 9 9 3 3 3 9 9 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 76 7 π
Câu 166: Nghiệm x = + k2π,k ∈ℤ là nghiệm của phương trình nào sau đây? 2 A. cos x = 1. B. cos x = 1 − . C. sin x = 1 − . D. sin x = 1.   Câu 167: π
Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình sin x = sin    6  π π π π A. x = + k2π ; x = −
+ k2π (k ∈ ℤ) . B. 5 x = + kπ ; x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6 π π π π C. 5 x = + k2π ; x =
+ k2π (k ∈ ℤ) . D. x = + kπ ; x = −
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6   Câu 168: π
Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình cos x = cos    6  π π π π A. 5 x = + k2π ; x =
+ k2π (k ∈ ℤ) . B. 5 x = + kπ ; x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6 π π π π C. x = + k2π ; x = −
+ k2π (k ∈ ℤ) . D. x = + kπ ; x = −
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6 π   Câu 169: 3 π
Số nghiệm của phương trình tan x = tan trên khoảng  ; 2π  11  4  A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 170: Phương trình 2
3 − 4 cos x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây? A. 1 cos 2x = . B. 1 cos 2x = − . C. 1 sin 2x = . D. 1 sin 2x = − . 2 2 2 2 Câu 171: sin 2x −1
Tất cả các nghiệm của phương trình = 0 là 2.cos x −1  π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ π  A. 3 4 x = −
+ k2π , k ∈ ℤ . B.  . 4  3π x = + k 2π , k ∈  ℤ  4 π π C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ k2π , k ∈ ℤ . 4 4   Câu 172: π
Phương trình 2 sin  x +
 + 2 = 0 có 1 họ nghiệm là  3  π π π π A. 7 − + kπ . B. 7 − + k2π . C. 7 + k2π . D. 7 + kπ . 12 12 12 12     Câu 173: π π π
Nghiệm của phương trình 2 cos  x
 − 2 = 0 trong khoảng  − ;  là  3   2 2          A. π − −7π π π π π  ;  . B. 7     . D. 7  ;  .  12 12   12  . C. 1  2  1  2 12    Câu 174: π
Họ nghiệm của phương trình tan  x +  + 3 = 0 là  5  π π
A. 8 + kπ;k ∈ℤ . B. 8 −
+ kπ ; k ∈ ℤ . 15 15 π π C. 8 −
+ k2π ; k ∈ ℤ .
D. 8 + k2π ; k ∈ℤ . 15 15 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 77 7
Câu 175: Các họ nghiệm của phương trình sin 2x − cos x = 0 là π π π π − π π A. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . B. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . 6 3 2 6 3 2 π π π π − π π C. 2 − − + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . D. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . 6 3 2 6 3 2
Câu 176: Các họ nghiệm của phương trình cos 2x − sin x = 0 là π π π π − π π A. 2 − + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . B. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . 6 3 2 6 3 2 π π π π − π π C. 2 − + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . D. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . 6 3 2 6 3 2
Câu 177: Họ nghiệm của phương trình tan 2x − tan x = 0là π π π
A. − + kπ , k ∈ . ℤ
B. + kπ ,k ∈ . ℤ
C. + kπ ,k ∈ . ℤ
D. kπ , k ∈ . ℤ 6 3 6
Câu 178: Nghiệm của phương trình tan 3 .
x cot 2x = 1 là π π π
A. k , k ∈ . ℤ
B. − + k , k ∈ . ℤ 2 4 2
C. kπ , k ∈ . ℤ D. Vô nghiệm.
Câu 179: Nghiệm của phương trình tan 4 .
x cot 2x = 1 là π π π
A. kπ , k ∈ . ℤ
B. + k ,k ∈ . ℤ
C. k , k ∈ . ℤ D. Vô nghiệm. 4 2 2
Câu 180: Số nghiệm của phương trìnhsin x = cos x trong đoạn [ π − ;π ] là A. 2. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 181: Phương trình tan x.cot x =1có tập nghiệm là     A. kπ π T = ℝ \  ; k ∈ ℤ.
B. T = ℝ \  + kπ ;k ∈ ℤ.  2   2 
C. T = ℝ \ {π + kπ ;k ∈ ℤ}. D. T = . ℝ
Câu 182: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: π
A. cos x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ . ℤ
B. cos x = 0 ⇔ x = π + k2π , k ∈ . ℤ 2
C. cos x = 0 ⇔ x = k2π , k ∈ . ℤ
D. cos x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ . ℤ Câu 183: 1 −
Phương trình: sin 2x =
có bao nhiêu nghiệm thỏa: 0 < x < π 2 A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Phươngtrìnhcổđiển
Câu 184: Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x = 0 là: π π π π A. x = + k 2π . B. x = + k 2π . C. x = + kπ . D. x = + kπ . 6 3 6 3
Câu 185: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình cos x − 3 sin x = 0. A. π π π π x =
+ k 2π ; x = −
+ k 2π (k ∈ ℤ) . B. 5 x = + kπ ; x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6 C. π π π x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . D. x = + kπ ; x = −
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 78 7
Câu 186: Số nghiệm của phương trình sin x + cos x = 1 trên khoảng (0;π ) là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 187: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là :  π x = kx = + k 2π π  A.  4 x = k 2π . B. π = + π   . C. x k 2 . D. . x = + k2π 4  π  2 x = − + k2π  4
Câu 188: Phương trình sin x + cos x = 2 sin 5x có nghiệm là:  π π  π π  π π  π π x = + kx = + kx = + kx = + kA. 4 2  . B. 12 2  . C. 16 2  . D. 18 2  .  π π  π π  π π  π π x = + kx = + k x = + k x = + k  6 3  24 3  8 3  9 3
Câu 189: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là: π π A. 5 x = + kπ . B. 5 x = + k 2π . 6 6 π π
C. x = − + kπ . D. x = + k2π . 6 6
Câu 190: Phương trình sin 8x − cos 6x = 3 (sin 6x + cos8x) có các họ nghiệm là:  π  π  π  π x = + kπ  x = + kπ  x = + kπ  x = + kπ  A. 4  . B. 3  . C. 5  . D. 8  .  π π  π π  π π  π π x = + kx = + k x = + k x = + k  12 7  6 2  7 2  9 3
Câu 191: Phương trình: 3
3sin 3x + 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3x có các nghiệm là:  π 2π  π 2π  π 2π  π π 2 x = − + kx = − + kx = − + kx = − + kA. 6 9  9 9 12 9 . B.  . C.  . D. 54 9  .  7π 2π  7π 2π  7π 2π  π 2π x = + kx = + k x = + k x = + k  6 9  9 9  12 9  18 9  π   π  Câu 192: 5
Phương trình cos 2  x +  + 4 cos 
x  = có nghiệm là:  3   6  2  π  π  π  π x = − + k2π  x = + k2π  x = − + k2π  x = + k2π  A. 6  6 3 3 . B.  . C.  . D.  .  π  3π  5π  π x = + k 2π  x = + kx = + kx = + k2π  2  2  6  4
Câu 193: Phương trình ( 3 − ) 1 sin x − ( 3 + )
1 cos x + 3 −1 = 0 có các nghiệm là  π  π x = − + k 2π  x = − + k 2π  A. 4  2 , k ∈ ℤ . B.  , k ∈ ℤ .  π  π x = + k 2π  x = + k 2π  6  3  π  π x = − + k 2π  x = − + k 2π  C. 6  8 , k ∈ ℤ . D.  , k ∈ ℤ .  π  π x = + k 2π  x = + k 2π  9  12 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 79 7
Câu 194: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là π π π π A. 3 x = − + k2π , x =
+ k2π , k ∈ ℤ . B. 5 x = − + k2π , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 4 4 12 12 π π π π C. 2 x = + k2π , x =
+ k2π , k ∈ ℤ . D. 5 x = − + k2π , x = −
+ k2π , k ∈ ℤ . 3 3 4 4
Câu 195: Nghiệm của phương trình sin 2x − 3 cos2x = 0 là π π π π π π A. x = + k
, k ∈ ℤ . B. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x = + k , k ∈ ℤ . 3 2 6 3 6 2
Câu 196: Phương trình nào sau đây vô nghiệm ? A. 1 sin x = .
B. 3 sin x − cos x = −3 . 3
C. 3 sin 2x − cos 2x = 2 .
D. 3sin x − 4cos x = 5.
Câu 197: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: A. 1 cos x = .
B. 3sin x + cos x = 1 − . 3
C. 3 sin 2x − cos 2x = 2 .
D. 3sin x − 4cos x = 6 .
Câu 198: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 2sin x − cos x = 3 . B. tan x = 1 .
C. 3 sin 2x − cos 2x = 2 .
D. 3sin x − 4 cos x = 5.
Câu 199: Phương trình nào sau đây vô nghiệm. A. 1 sin x = .
B. 3sin x − cos x = 1 − . 4
C. 3 sin 2x − cos 2x = 4 .
D. 3sin x − 4 cos x = 5.
Câu 200: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? A. 3 sin x = 2 B. 1 1 cos 4x = 4 2
C. 2sin x + 3cos x = 1 D. 2
cot x − cot x + 5 = 0
Câu 201: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2x − cos 2x = 2
B. 3sin x − 4cos x = 5 π C. sin x = cos
D. 3 sin x − cos x = −3 4
Câu 202: Phương trình: 3.sin 3x + cos3x = 1
− tương đương với phương trình nào sau đây:     A. π 1 π π sin  3x −  = − .
B. sin 3x +  = − .  6  2  6  6     C. π 1 π sin  3x +  = − . D. 1 sin  3x +  = .  6  2  6  2 Câu 203: 1 3 Phương trình sin x
cos x = 1 có nghiệm là 2 2 π A. 5 x =
+ k2π , k ∈ ℤ . B. 5 x =
π + kπ , k Z . 6 6 π π C. x =
+ k2π , k Z . D. x =
+ k2π , k Z . 6 6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 80 8
Câu 204: Phương trình sin 4x + cos 7x − 3 (sin 7x − cos 4x) = 0 có nghiệm là  π π x = + k 2 π π  A. 6 3 x = + k2 , k ∈ ℤ . B.  (k Z ) . 6 3  5π π x = + k 2  66 11 π π C. 5 x = + k 2 , k ∈ ℤ . D. Đáp án khác 66 11 2  x x
Câu 205: Phương trình: sin + cos  + 3 cos x = 2 có nghiệm là:  2 2   π  π x = − + kπ  x = − + k 2π  A. 6  ( 6 k Z ) B.  (k Z )  π  π x = + kπ  x = + k 2π  2  2 π π
C. x = − + k2π ,k ∈ ℤ D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ 6 2
Câu 206: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. sin x − cos x = 3
B. cosx + 3sinx = 1 −
C. 3 sin 2x − cos 2x = 2
D. 2sinx + 3cosx =1
Câu 207: Nghiệm của phương trình 3 cosx −sin x =1là:  π  x = k x = + k 2π  A.  6 π , k ∈ ℤ  ,k ∈ℤ  . B. . x = − + k 2π  π  6 x = − + k 2π  2 π π C. x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ . 6 3
Câu 208: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm?
A. sin x + 2 cos x = 3 .
B. 2 sin x + cos x = 2 .
C. 2 sin x + cos x = −1.
D. 3 sin x + cos x = 3.
Câu 209: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. sin x + cos x = 3 .
B. 2 sin x + cos x =1.
C. 2 sin x + cos x = −1.
D. 3 sin x + cos x = 2 .
Câu 210: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là: π π A. 5 x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. 5 x =
+ k2π , k ∈ ℤ . 6 6 π π C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ k2π , k ∈ ℤ . 6 6
Câu 211: Giải phương trình: 2sin 2x − 2cos 2x = 2 . A. 5π π π π x = + kπ , x = + π k , k ∈ ℤ . B. 5 x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 6 6 12 12 C. 5π 13π π π x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. 5 13 x = + k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 24 24 12 12 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 81 8
Câu 212: Giải phương trình 2 2
sin 2x + cos 3x = 1 .
A. x = k 2π , k ∈ ℤ . B. x = k , k ∈ ℤ . 5 π
C. x = π + kπ , k ∈ ℤ . D. x = π kx = k , k ∈ ℤ . 5
Câu 213: Phươngtrình 3 sin 2x − cos2x = 2 (với k ∈ℤ ) có nghiệm là: A. π π π π x = + π k , k ∈ ℤ . B. 2 x =
+ kπ , k ∈ ℤ . C. x = −
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x = + π k , k ∈ ℤ . 6 3 3 3
Câu 214: Số nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x =1 trong khoảng ( π − ;π ) là : A. 1. B. C. 3 . D. 4 .
Câu 215: Giải phương trình :sin x + cos x = 1 − . A. π π x = π k , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
B. x = − + k2π , x = π + k2π ,k ∈ ℤ 2 2 C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
D. x = k2π , k ∈ℤ 2
Câu 216: Giải phương trình sinx + 3cosx =1. A. π π π 5π x =
+ k 2π , x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ
B. x = − + kπ , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ 2 6 2 6 C. 5π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ D. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ 6 2
Câu 217: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos3x − 3sin3x = 2.
B. cos3x − 3sin3x = −2 .  π   π  C. π sin x = .
D. 3sin  x +  − 4cos x +  − 5 = 0 . 3  3   3 
Câu 218: Phương trình 3cos x + 2 sin x = 2 có nghiệm là A. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 8 6 C. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 2
Câu 219: Giải phương trình 2
5sin 2x − 6 cos x = 13 . A. Vô nghiệm.
B. x = kπ , k ∈ℤ .
C. x = π + k 2π , k ∈ℤ .
D. x = k2π , k ∈ℤ .
Phươngtrìnhbậchai–bậcba
Câu 220: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác? A. 2
2sin x + sin 2x −1 = 0. B. 2
2sin 2x − sin 2x = 0. C. 2
cos x + cos 2x − 7 = 0. D. 2
tan x + cot x − 5 = 0.
Câu 221: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x − 3 = 0 .
B. 3sin 2x − 10 = 0 . C. 2
cos x − cos x − 6 = 0 .
D. 3sin x + 4cos x = 5 . TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 82 8 Câu 222: 3 Phương trình : 2
cos 2x + cos 2x − = 0 có nghiệm là 4 A. 2π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ . 3 3 C. π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ . 6 6
Câu 223: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x + 3 = 0 . B. 2
2 cos x − cos x −1 = 0 .
C. tan x + 3 = 0 .
D. 3sin x − 2 = 0 .
Câu 224: Nghiệm dương bé nhất của phương trình : 2
2sin x + 5sin x − 3 = 0 là A. π π π π x = , k ∈ ℤ .
B. x = , k ∈ ℤ . C. 3 x = , k ∈ ℤ . D. 5 x = , k ∈ ℤ . 6 2 2 6
Câu 225: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: A. 3 sin x = 2. B. 1 1 cos 4x = . 4 2
C. 2sin x + 3cos x = 1. D. 2
cot x − cot x + 5 = 0 .
Câu 226: Nghiệm của phương trình lượng giác : 2
cos x − cos x = 0 thỏa điều kiện 0 < x < π là A. π π − x = . B. x = 0 . C. x = π . D. x = . 2 2 Câu 227: π
Nghiệm của phương trình lượng giác: 2
2 cos x + 3sin x − 3 = 0 thõa điều kiện 0 < x < là 2 A. π π π π x = . B. x = . C. x = . D. 5 x = . 3 2 6 6
Câu 228: Nghiệm của phương trình 2
1− 5sin x + 2 cos x = 0 là  π  π x = + k 2π  x = + k 2π  A. 6  6 , k ∈ ℤ . B.  , k ∈ ℤ .  π  5π x = − + k 2π  x = + k 2π  6  6  π  π x = + k 2π  x = + k 2π  C. 3  3 , k ∈ ℤ . D.  , k ∈ ℤ .  π  2π x = − + k 2π  x = + k 2π  3  3
Câu 229: Nghiệm của phương trình 2
5 − 5sin x − 2 cos x = 0 là A. π π
kπ , k ∈ ℤ .
B. k2π , k ∈ ℤ .
C. + k2π ,k ∈ ℤ .
D. + k2π ,k ∈ ℤ . 2 6
Câu 230: Phương trình 4cos x − 2cos 2x − cos 4x = 1 có các nghiệm là  π  π π = + π = + A. x kx k  2 , k ∈ ℤ . B. ∈ ℤ .  4 2 , k  x = k2π x = kπ  π 2π  π π x = = kx = + kC. 3 3  , k ∈ ℤ . D. 6 3  , k ∈ ℤ .  π  π x = kx = k  2  4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 83 8 Câu 231: 3 Phương trình 2 2
sin 2x − 2 cos x + = 0 có nghiệm là 4 A. π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = ± + kπ , k ∈ℤ . 6 4 C. π π x = ±
+ kπ ,, k ∈ ℤ . D. 2 x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ . 3 3
Câu 232: Phương trình 2
2sin x + 3 sin 2x = 3 có nghiệm là A. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. 2 x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 3 3 C. 4π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. 5 x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 3 3 Câu 233: π 3π Nghiệm của phương trình 2
cos x + cos x = 0 thỏa điều kiện: < x < 2 2 π π π A. 3 x = . B. x = π . C. 3 x = − . D. x = . 2 2 3
Câu 234: Nghiệm của phương trình tan x + cot x = 2 − là A. π π − x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . B. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 4 4 C. π π − x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 4 Câu 235: π π Nghiệm của phương trình 2
sin x + sin x = 0 thỏa điều kiện: − < x < 2 2 A. π π x = . B. x = 0 . C. x = . D. x = π . 2 3
Câu 236: Nghiệm của phương trình 2
cos x + sin x +1 = 0 là A. π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ , k ∈ ℤ . 2 2 C. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = ∓ + k2π , k ∈ℤ . 2 2
Câu 237: Nghiệm của phương trình 2
2sin x − 5sin x − 3 = 0 là A. π 5π π π x = + k 2π ; x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . B. 7 x = − + k 2π ; x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 3 6 6 6 C. π π π x =
+ kπ ; x = π + k 2π , k ∈ ℤ . D. 5 x = + k 2π ; x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 2 4 4
Câu 238: Nghiêm của phương trình 2
sin x = − sin x + 2 là A. π
x = kπ , k ∈ ℤ . B. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 2 C. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 2 2
Câu 239: Phương trình 2
2 cos x + 3cos x − 2 = 0 có nghiệm là A. π π ±
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. ± + k2π , k ∈ℤ . 6 3 C. 2π π ±
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. + k2π ,k ∈ ℤ . 3 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 84 8
Câu 240: Phương trình 2
2sin x + 3sin x − 2 = 0 có nghiệm là A. π
kπ , k ∈ ℤ .
B. + kπ , k ∈ℤ . 2 C. π π 5π
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. + k2π ;
+ k 2π , k ∈ ℤ . 2 6 6
Câu 241: Phương trình lượng giác: 2
sin x − 3cos x − 4 = 0 có nghiệm là A. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ B. x = π
− + k2π , k ∈ ℤ C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ D. Vô nghiệm 2 6
Câu 242: Phương trình lượng giác: 2
cos x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là A. π
x = k 2π , k ∈ ℤ B. x = 0 C. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ D. Vô nghiệm 2 Câu 243: 3 Phương trình: 2
cos 2x + cos 2x − = 0 có nghiệm là 4 A. 2π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = ± + kπ , k ∈ℤ . 3 3 C. π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. x = ± + k2π , k ∈ ℤ . 6 6 Câu 244: π
Nghiệm của phương trình lượng giác: 2
2sin x − 3sin x +1 = 0 thỏa điều kiện 0 ≤ x < là 2 A. π π π π x = B. x = C. x = D. 5 x = 3 2 6 6
Câu 245: Phương trình 2
sin x + 3sin x − 4 = 0 có nghiệm là A. π π x =
+ k 2π , k Z B. x = π + k2π ,k Z C. x = kπ ,k Z D. x =
+ kπ , k Z 2 2
Câu 246: Phương trình 2
tan x + 5 tan x − 6 = 0 có nghiệm là A. π π x =
+ kπ ; x = arctan( 6
− ) + kπ (k ∈ ℤ) B. x =
+ k 2π ; x = arctan( 6
− ) + k 2π (k ∈ ℤ) 4 4 C. π x = −
+ kπ ; x = arctan( 6
− ) + k 2π (k ∈ ℤ) D. x = kπ ; x = arctan(−6) + kπ (k ∈ ℤ). 4 Câu 247: x x Phương trình: 2 sin − 2 cos + 2 = 0 có nghiệm là 3 3
A. x = kπ ,k ∈ℤ
B. x = k3π ,k ∈ ℤ
C. x = k2π ,k ∈ ℤ
D. x = k6π , k ∈ℤ     Câu 248: π π Phương trình: tan 
x  + 2 tan  2x +  = 1 có nghiệm là  2   2  A. π π x =
+ k 2π (k ∈ ℤ) B. x =
+ kπ (k ∈ ℤ) 4 4 C. π π π x = + k (k ∈ℤ)
D. x = ± + kπ (k ∈ ℤ) 4 2 4
Câu 249: Nghiệm của phương trình 2
sin x − 4sin x + 3 = 0 là : A. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. x = ± + k 2π ,k ∈ℤ . 2 2 C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = k2π ,k ∈ℤ . 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 85 8
Câu 250: Giải phương trình 2
3 tan x − (1+ 3) tan x +1 = 0 A. π π π π x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = + k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 4 6 3 4 C. π π π π x = + k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 6 3 6
Câu 251: Phương trình cos 2x + 2cos x −11 = 0 có tập nghiệm là
A. x = arccos(−3) + k2π , k ∈ ℤ , x = arccos(−2) + k 2π , k ∈ ℤ . B. ∅ .
C. x = arccos(−2) + k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = arccos(−3) + k2π , k ∈ ℤ .
Câu 252: Giải phương trình 2
2cos x − 3cos x +1 = 0   A. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. k2π , ± + k2π , k ∈ ℤ. 3  3  C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = k2π, k ∈ℤ . 3 Câu 253: 3
Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: 2
sin x − 2sin x + = 0 . 4 A. π π π x =
+ k 2π (k ∈ ℤ) . B. 5 x = + kπ ; x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 C. π 5π π π x = + k 2π ; x =
+ k 2π (k ∈ ℤ) . D. x = + kπ ; x = −
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6
Câu 254: Phương trình 2
2sin x + sin x − 3 = 0 có nghiệm là A. π π π
kπ , k ∈ ℤ .
B. + kπ , k ∈ ℤ .
C. + k2π ,k ∈ℤ .
D. − + k2π , k ∈ ℤ . 2 2 6
Câu 255: Phương trình tan x + 3cot x = 4 (với. k ∈ℤ .) có nghiệm là A. π π
+ k 2π , arctan 3 + k 2π . B. + kπ . 4 4 C. π arctan 4 + kπ .
D. + kπ , arctan 3 + kπ . 4
Câu 256: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: 2
cos x − 4 cos x + 3 = 0 . A. π
x = π + k 2π (k ∈ ℤ) . B. x =
+ k 2π (k ∈ ℤ) . 2
C. x = k2π (k ∈ℤ) .
D. x = kπ (k ∈ℤ) .
Câu 257: Phương trình 2
3 tan x − (3 + 3 ) tan x + 3 = 0 có nghiệm là  π  π  π  π x = + kπ  x = − + kπ  x = + kπ x = − + kπ    A. 4  . B. 4  . C. 4  . D. 4  .  π π   π  π x = + kπ  x = + kπ x = − − kπ x = − + kπ  3  3  3  3
Câu 258: Giải phương trình 2
sin x − 5sin x + 6 = 0 .  π x = + k 2π  A. π + 6 kπ . B. Vô nghiệm.
C. x = kπ . D.  . 4  5π x = + k 2π  6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 86 8
Câu 259: Giải phương trình 2
tan x − 2 tan x − 3 = 0 . A. π π x = − + kπ . B. x = + kπ .
C. x = kπ .
D. x = π + kπ . 4 4
Câu 260: Họ nghiệm của phương trình 2
sin 2x − 2s in2x +1 = 0 là : A. π π π π − + kπ . B. + kπ . C. + k 2π . D. − + k2π . 4 4 4 4
Câu 261: Họ nghiệm của phương trình 2
cos 2x − cos 2x − 2 = 0 là A. π π kπ π − π + kπ . B. − + . C. + k 2π . D. + k 2π . 2 2 2 2 2
Câu 262: Một họ nghiệm của phương trình 2
tan 2x − 3 tan 2x + 2 = 0 là A. π π π π π π − + kπ . B. + kπ . C. − + k . D. + k . 8 8 8 2 8 2
Câu 263: Một họ nghiệm của phương trình 2
cos 2x + sin 2x −1 = 0 là A. π π π π π + kπ . B. k . C. − + k . D. k . 2 3 2 2 2
Câu 264: Một họ nghiệm của phương trình 2cos 2x + 3sin x −1 = 0 là     A. 1
π + arcsin  −  + k2π . B. 1
π − arcsin  −  + k2π .  4   4      C. π 1 1 π −
arcsin  −  + kπ . D. 1
− arcsin  −  + kπ . 2 2  4  2  4 
Câu 265: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4x + 2cos 2x − 5 = 0 là A. π π k 2π . B. + k 2π . C. kπ . D. − + k2π . 3 3
Câu 266: Các họ nghiệm của phương trình 2
3sin 2x + 3cos 2x − 3 = 0 là A. π π π π π π kπ ; + k .
B. kπ ; − + k .
C. kπ; + kπ .
D. kπ;− + kπ . 4 2 4 2 4 4
Câu 267: Nghiệm của phương trình 2
sin 2x + 2 sin 2x +1 = 0 trong khoảng ( π − ;π ) là :         A. π 3π π π π π π π − ; −  . B. 3 − ;    . D. 3  ; −  .  4 4   4 4  . C. 3 ;  4 4   4 4        Câu 268: π π 3π 3π
Nghiệm của phương trình 2 2 cos  2x +  + 3cos  2x +
 − 5 = 0 trong khoảng  − ;  là  3   3   2 2          A. 7π π 5π π π π π π π π π π − ; ;  . B. 7 5  ; − ;  . C. 7 5 − ; − ; −  . D. 7 5 − ; − ;  .  6 6 6   6 6 6   6 6 6   6 6 6 
Câu 269: Họ nghiệm của phương trình 3tan 2x + 2cot 2x − 5 = 0 là A. π π π π π π − + k . B. + k . C. 1 2 − arctan + k . D. 1 2 arctan + k . 4 2 4 2 2 3 2 2 3 2
Câu 270: Trong các nghiê ̣m sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2
2 tan x + 5 tan x + 3 = 0 là : A. π π π π − . B. − . C. − . D. 5 − . 3 4 6 6   Câu 271: π
Số nghiệm của phương trình 2 tan x − 2 cot x − 3 = 0 trong khoảng  − ;π  là :  2  A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 87 8
Câu 272: Giải phương trình: 2
sin x + 2sin x − 3 = 0 . A. π π π kπ . B. − + kπ . C. + k2π . D. − + k2π . 2 2 2
Câu 273: Giải phương trình 2
3cos x + 2 cos x − 5 = 0 . A. π π x = kπ .
B. x = − + kπ . C. x = + k 2π .
D. x = k2π . 2 2
Câu 274: Giải phương trình : 2
tan x + 2 tan x +1 = 0 . A. π π π π + k . B. − + kπ . C. + k2π . D. kπ . 4 2 4 2
Câu 275: Giải phương trình 2
cos x − 3cos x + 2 = 0 . x = π k A. π  .
B. x = k .
x = arccos 2 + k2π 2 x = k
C. x = k2π . D.  .
x = ar cos 2 + k
Câu 276: Phương trình lượng giác : 2
sin x − 2 sin x = 0 có nghiệm là A. π π x = k 2π .
B. x = kπ . C. x = + kπ . D. x = + k 2π . 2 2
Câu 277: Phương trình 2 2
sin x + sin 2x = 1 có nghiệm là  π  π π x = + kπ  x = + kA. 2  (k ∈ ℤ) . B. 3 2  .  π  π x = ± + kπ  x = − + kπ  6  4  π π x = + kC. 12 3  . D. Vô nghiệm.  π x = − + kπ  3
Câu 278: Phương trình 2
2 tan x + 3 tan x +1 = 0 có nghiệm là   A. π
kπ (k ∈ℤ) . B. 1
+ kπ ; arctan  −  (k ∈ ℤ) . 4  2      C. π 1 π
+ k 2π , arctan  −  (k ∈ ℤ) . D. 1 −
+ kπ ; arctan  −  + kπ (k ∈ ℤ) . 2  2  4  2 
Câu 279: Giải phương trình lượng giác 4 2
4sin x +12 cos x − 7 = 0 có nghiệm là A. π π π π π x = ± + k 2π . B. x = + k . C. x = + kπ .
D. x = − + kπ . 4 4 2 4 4 Phươngtrìnhđẳngcấp
Câu 280: Phương trình 2 2
6sin x + 7 3 sin 2x − 8 cos x = 6 có các nghiệm là  π  π x = + k  π x = + k  π A. 2  , k ∈ ℤ . B. 4  , k ∈ ℤ .  π  π x = + k  π x = + kπ  6  3  π  3π x = + k  π x = + k  π C. 8  4 , k ∈ ℤ . D.  , k ∈ ℤ .  π  2π x = + k  π x = + kπ  12  3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 88 8
Câu 281: Phương trình ( + ) 2 x x x + ( − ) 2 3 1 sin 2 3 sin cos
3 1 cos x = 0 có các nghiệm là  π  π x = − + kπ x = + kπ A.   4 (vôùi tanα = 2 − + 3) vôùi α = − 
, k ∈ ℤ . B. 4 ( tan 2 3 )  , k ∈ ℤ . x = α + kπ x = α + kπ  π  π x = − + kπ x = + kπ C.   8 (vôùi tanα = −1+ 3) vôùi α = − 
, k ∈ ℤ . D. 8 ( tan 1 3 )  , k ∈ ℤ . x = α + kπ x = α + kπ
Câu 282: Phương trình 2 2
3cos 4x + 5sin 4x = 2 − 2 3 sin 4x cos 4x có nghiệm là A. π π π x = −
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = − + k , k ∈ ℤ . 6 12 2 C. π π π π x = − + k , k ∈ ℤ . D. x = − + k , k ∈ ℤ . 18 3 24 4
Câu 283: Phương trình 2 3 sin 5x cos3x = sin 4x + 2 3 sin 3x cos5x có nghiệm là A. kπ 1 3 kπ kπ kπ x = , x = ± arccos + , k ∈ . ℤ B. 3 x = , x = ± arccos + , k ∈ . ℤ 4 4 12 2 4 48 2 C. kπ Vô nghiệm. D. x = , k ∈ . ℤ 2
Câu 284: Giải phương trình 2 2
3sin 2x − 2sin 2x cos 2x − 4 cos 2x = 2. A. 1 kπ 1 kπ x = arctan 3 + , x = arctan(−2) + , k ∈ . ℤ 2 2 2 2 B. 1+ 73 kπ 1 − 73 kπ x = arctan + , x = arctan + , k ∈ . ℤ 12 2 12 2 C. 1 1 + 73 kπ 1 1 − 73 kπ x = arctan + , x = arctan + , k ∈ . ℤ 2 6 2 2 6 2 D. 3 kπ kπ x = arctan + , x = arctan(−1) + , k ∈ . ℤ 2 2 2
Câu 285: Phương trình 2 2
2sin x + sin x cos x − cos x = 0 có nghiệm là π  
A. π + kπ , k ∈ ℤ . B. 1
+ kπ , arctan   + kπ , k ∈ ℤ . 4 4  2  π   π   C. 1 −
+ kπ , arctan   + kπ , k ∈ ℤ . D. 1 −
+ k 2π , arctan   + k 2π , k ∈ ℤ . 4  2  4  2 
Câu 286: Một họ nghiệm của phương trình 2 2
2sin x − 5sin x cos x − cos x = 2 − là A. π π π π
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. − + kπ , k ∈ ℤ . C. + kπ , k ∈ ℤ .
D. − + kπ , k ∈ ℤ . 6 4 4 6
Câu 287: Một họ nghiệm của phương trình 2
2 3 cos x + 6sin x cos x = 3 + 3 là A. 3π π π π
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. + kπ , k ∈ ℤ .
C. − + kπ , k ∈ ℤ . D. − + k2π , k ∈ ℤ . 4 4 4 4
Câu 288: Một họ nghiệm của phương trình 2 3
− sin x cos x + sin x = 2 là A. 1 π arctan ( 2
− ) + kπ , k ∈ ℤ .
B. arctan (−2) + k , k ∈ℤ . 2 2 C. 1 π − arctan (−2) + k , k ∈ ℤ .
D. arctan (2) + kπ , k ∈ℤ . 2 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 89 8
Câu 289: Một họ nghiệm của phương trình 2 2
2sin x + sin x cos x − 3cos x = 0 là     A. 3
arctan  −  + kπ , k ∈ ℤ . B. 3
− arctan  −  + kπ , k ∈ ℤ .  2   2      C. 3
arctan   + kπ , k ∈ ℤ . D. 3
− arctan   + kπ , k ∈ ℤ .  2   2 
Câu 290: Một họ nghiệm của phương trình 2 2
3sin x − 4 sin x cos x + 5cos x = 2 là A. π π π π −
+ k 2π , k ∈ ℤ . B.
+ kπ , k ∈ ℤ .
C. − + kπ , k ∈ ℤ . D. 3 + k2π , k ∈ ℤ . 4 4 4 4
Câu 291: Phương trình : 2 2
sin x − ( 3 + 1) sin x cos x + 3 cos x = 0 có họ nghiệm là A. π π −
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. 3 + kπ , k ∈ ℤ . 4 4 C. π π π ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. + kπ , + kπ , k ∈ ℤ . 3 4 3
Câu 292: Giải phương trình : 4 4
sin x + cos x = 1 A. π π π x = + k , k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ , k ∈ ℤ . 4 2 4 C. π π x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x = k , k ∈ ℤ . 4 2
Câu 293: Phương trình 2 2
2 cos x − 3 3 sin 2x − 4 sin x = 4 − có họ nghiệm là  π x = + kπ  A. 2 π  , k ∈ ℤ . B. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .  π 2 x = + kπ  6 C. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 6 2  π 
Câu 294: Trong khoảng 0 ; , phương trình 2 2
sin 4x + 3.sin 4x.cos 4x − 4.cos 4x = 0 có:  2  A. Ba nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Bốn nghiệm. Phươngtrìnhdạngkhác Câu 295: 1
Phương trình sin x + cos x = 1− sin 2x có nghiệm là: 2  π π  π x = + kx = + kπ  A. 6 2  , k ∈ ℤ . B. 8  , k ∈ ℤ .  π  π x = kx = k  4  2  π  π = + π = + π C. x kx k  4  , k ∈ ℤ . D. 2 2  , k ∈ ℤ . x = kπ x = k Câu 296: 1 Phương trình 3 3
sin x + cos x = 1−
sin 2x có nghiệm là: 2  π  π = + π = + π A. x kx k  4  , k ∈ ℤ . B. 2 2  , k ∈ ℤ . x = kπ x = k 2π  3π x = + kπ   3π x = + kπ C. 4   , k ∈ ℤ . D. 2 , k ∈ ℤ .  π  x = kx =  (2k + )π  1  2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 90 9
Câu 297: Phương trình 2sin 2x −3 6 sin x + cos x +8 = 0 có nghiệm là  π x = + kπ   π = + π A. 3 x k   , k ∈ ℤ . B. 4 , k ∈ ℤ .  5π  x = + kπ  x = 5π + kπ  3  π  π x = + kπ  x = + kπ  C. 6  , k ∈ ℤ . D. 12  , k ∈ ℤ .  5π  5π x = + kπ  x = + kπ  4  12
Câu 298: Phương trình 2sin x + cos x −sin 2x −1 = 0 có nghiệm là:  π  π x = + kπ  x = + k 2π  6  6  A.  5π  5π x = + kπ  , k ∈ ℤ . B. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 6  6   x = kπ  x = k 2π     π  π x = + k 2π  x = + k 2π  6  6  C.  π  π x = − + k 2π  , k ∈ ℤ .
D. x = − + k 2π , k ∈ℤ . 6  6   x = k 2π  x = kπ   
Câu 299: Phương trình sin 3x + cos 2x =1+ 2sin x cos 2x tương đương với phương trình sin x = 0  =  sin x 0 sin x = 0 sin x = 0 A.   1  . B.  . C.  . D. 1 . sin x = sin x = 1 sin x = 1 − sin x = −  2  2
Câu 300: Giải phươngtrình x ( x + x) 2 sin 2 cot tan 2 = 4cos x . A. π π π π x = + kπ , x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = + kπ , x = ± + k2π , k ∈ℤ . 2 6 2 6 C. π π π π x = + kπ , x = ±
+ k2π , k ∈ ℤ .
D. x = + kπ , x = ± + kπ , k ∈ℤ . 2 3 2 3
Câu 301: Phươngtrình 2 2 (sin x + cos x).cos x = 3+ cos2x có nghiệm là: π π A. x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ , k ∈ℤ . 6 6 π C. x =
+ k2π , k ∈ ℤ . D. Vô nghiệm. 3
Câu 302: Giải phương trình 3 3
cos x − sin x = cos 2x . π π π π
A. x = k2π , x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = k2π , x = + k π 2 , x =
+ k2π , k ∈ ℤ . 2 4 2 4 π π π π
C. x = k2π , x = + k π 2 , x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. x = kπ , x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 2 4 2 4
Câu 303: Giải phương trình 1+ sin x + cos x + tan x = 0 . A. π π
x = π + k 2π , x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = π + k2π , x = − + k2π , k ∈ℤ . 4 4 C. π π
x = π + k 2π , x =
+ k2π , k ∈ ℤ .
D. x = π + k2π , x = − + kπ , k ∈ℤ . 4 4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 91 9
Câu 304: Phương trình 2 2
1+ cos x + cos x + cos 3x − sin x = 0 tương đương với phương trình
A. cos x(cos x + cos3x) = 0.
B. cos x(cos x −cos2x) = 0 .
C. sin x(cos x + cos2x) = 0.
D. cos x(cos x + cos 2x) = 0 .
Câu 305: Giải phương trình ( 6 6 x + x ) + ( 4 4 x + x) 2 4 sin cos 2 sin cos = 8 − 4 cos 2x π π π π A. k k x = ± + , k ∈ ℤ . B. x = ± + , k ∈ ℤ . 3 2 24 2 π π π π C. k k x = ± + , k ∈ ℤ . D. x = ± + , k ∈ ℤ . 12 2 6 2
Câu 306: Phương trình 2sin x + cot x = 1+ 2sin 2x tương đương với phương trình 2sin x = −1 2sin x = 1 A.  . B.  .
sin x − cos x − 2sin x cos x = 0
sin x + cos x − 2sin x cos x = 0 2sin x = −1 2sin x = 1 C.  . D.  .
sin x + cos x − 2sin x cos x = 0
sin x − cos x − 2sin x cos x = 0   Câu 307: sin 3x + cos 3x
Giải phương trình 5sin x +  = cos 2x + 3 .  1 + 2 sin 2xA. π π x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. x = ± + k 2π , k ∈ℤ . 3 6 C. π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. x = ± + kπ , k ∈ℤ . 3 6
Câu 308: Giải phương trình sin .
x cos x (1+ tan x) (1+ cot x) = 1. A. kπ Vô nghiệm.
B. x = k2π , k ∈ℤ . C. x = , k ∈ ℤ .
D. x = kπ , k ∈ℤ . 2
Câu 309: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x + cos2x + 2sin 3xsin 2x = 0 trên [0;2π ] là A. 3π . B. 4π . C. 5π . D. 6π .
cos x (cos x + 2sin x) + 3sin x (sin x + 2 )
Câu 310: Nghiệm phương trình = 1 sin 2x −1 A. π π x = ±
+ k 2π . k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ , k ∈ℤ . 4 4 π C. π 3 π x = −
+ k 2π , x = −
+ k2π , k ∈ ℤ .
D. x = − + k 2π , k ∈ℤ . 4 4 4   Câu 311: π 69π Số nghiệm thuộc ; 2 
 của phương trình 2sin 3 .
x (1− 4 sin x) = 1 là: 14 10  A. 40 . B. 32 . C. 41. D. 46 .
Câu 312: Giải phương trình 3 3 x + x = ( 5 5 sin cos
2 sin x + cos x ) . A. π π kπ x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = + , k ∈ ℤ . 4 4 2 C. π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = − + k2π , k ∈ℤ . 4 4
Câu 313: Giải phương trình tan x + tan 2x = −sin 3 . x cos 2x A. kπ kπ π x =
, x = π + k 2π , k ∈ ℤ . B. x = , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 3 3 2 C. kπ x = , k ∈ ℤ .
D. x = k2π , k ∈ℤ . 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 92 9     Câu 314: π 2π
Phương trình tan x + tan  x +  + tan  x +
 = 3 3 tương đương với phương trình:  3   3  A. cot x = 3. B. cot 3x = 3. C. tan x = 3. D. tan 3x = 3. 10 10 6 6 Câu 315: sin x + cos x sin x + cos x Giải phương trình = . 2 2 4
4 cos 2x + sin 2x A. π kπ
x = k 2π , x =
+ k2π , k ∈ ℤ . B. x = , k ∈ ℤ . 2 2 C. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. x = kπ , x = + k2π , k ∈ℤ . 2 2   π Câu 316: x π x Cho phương trình 2 2 2 sin  −  tan x − cos = 0 (*) và x = −
+ kπ (1), x = π + k2π (2),  2 4  2 4 π x =
+ k2π (3), với k ∈ .
ℤ Các họ nghiệm của phương trình (*) là: 2 A. (1) và (2). B. (1) và (3). C. (1), (2) và (3). D. (2) và (3).
Câu 317: Cho phương trình: 2 2
4 cos x + cot x + 6 = 2 (2 cos x − cot x) . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0; 2π ) ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 318: Giải phương trình sin x.cos x.cos2x = 0 π π π A. kπ . B. k . C. k . D. k . 2 4 8 Câu 319: 1
Nghiệm của phương trình cos x cos5x =
cos6x (với k ∈ ℤ ) là 2 π π π π π A. k k k x = + π k . B. x = . C. x = . D. x = + . 8 2 4 8 4
Câu 320: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos .
x sin 3x − cos x = 0 là : π π π π π π A. − + k . B. + k . C. k . D. k . 6 3 6 3 2 4   Câu 321: cos 4x π
Số nghiệm của phương trình
= tan 2x trong khoảng  0;  là : cos 2x  2  A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 3 .
Câu 322: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2
sin x + sin 2x = cos x + 2cos x là : π π π π A. . B. 2 . C. . D. . 6 3 4 3
Câu 323: Một nghiệm của phương trình lượng giác: 2 2 2
sin x + sin 2x + sin 3x = 2 là. π π π π A. B. C. D. . 3 12 6 8
Câu 324: Nghiệm dươngnhỏ nhất của phương trình 2
2 cos x + cos x = sin x + sin 2 x là? π π π π A. x = . B. x = . C. x = . D. 2 x = . 6 4 3 3
Câu 325: Phương trìnhsin 3x + cos2x = 1 + 2sin x cos2x tương đương với phương trình:    sin x = 0 sin x = 0 sin x = 0 sin x = 0 A.    . B.  . C. 1 . C. 1 . sin x = 1 sin x = 1 − sin x = sin x = −  2  2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 93 9 Câu 326: 7 Phương trình 6 6 sin x + cos x = có nghiệm là: 16 π π π π π π π π A. x = ± + k . B. x = ± + k . C. x = ± + k . D. x = ± + k . 3 2 4 2 5 2 6 2
Câu 327: Phương trình sin 3x − 4sin x.cos2x = 0 có các nghiệm là:  π  2π x = k 2π x = kπ x =  k x =  k A.   3 π . B. . C. 2  . D.  .  π x = ± + π nx = ± + π n π  2π   3  6 x = ± + π x = ± + π  n n  4  3 Câu 328: x x Phương trình 4 4 sin 2x = cos − sin có các nghiệm là; 2 2  π 2π  π π  π  π π x = +  k x = +  k x = + kπ  x = +  k A. 6 3  . B. 4 2  . C. 3  . D. 12 2  . π  π  π  3π  x = + k2π  x = + π k x = 3 + k x = + kπ  2  2  2  4   Câu 329: π 3
Các nghiệm thuộc khoảng  0;  của phương trình 3 3 sin . x cos 3x + cos . x sin 3x = là:  2  8 π π π π π π π π A. 5 , . B. 5 , . C. 5 , . D. 5 , . 6 6 8 8 12 12 24 24 Câu 330: x x 5
Các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π ) của phương trình: 4 4 sin + cos = là: 2 2 8 π π π π π π π π π π π π π π A. 5 9 ; ; ; . B. 2 4 5 ; ; ; . C. 3 ; ; . D. 3 5 7 ; ; ; . 6 6 6 3 3 3 3 4 2 2 8 8 8 8
Câu 331: Phương trình 2cot 2x − 3cot 3x = tan 2x có nghiệm là: π A. x = k .
B. x = kπ .
C. x = k2π . D. Vô nghiệm. 3
Câu 332: Phương trình 4 6
cos x − cos 2x + 2sin x = 0 có nghiệm là: π π π A. x = + π k . B. x = + k .
C. x = kπ .
D. x = k2π . 2 4 2
Câu 333: Cho phương trình 2
cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + 3 cos x +1 . Các nghiệm thuộc khoảng ( π
− ;π ) của phương trình là: A. 2π π π π π π π π − , . B. 2 − , . C. − , . D. − , . 3 3 3 3 2 4 2 2     Câu 334: π π 5 Phương trình: 4 4 4
sin x + sin  x +  + sin  x −  = có nghiệm là:  4   4  4 π π π π π A. x = + k . B. x = + k . C. x = + π k .
D. x = π + k2π . 8 4 4 2 2     Câu 335: π π
Phương trình: cos  2x +  + cos 2x
 + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x) có nghiệm là:  4   4   π  π  π  π x = + k 2π  x = + k2π  x = + k2π  x = + k 2π  A. 12 6 3  . B.  . C.  . D. 4  . 11π   5π  2π 3π  x = + k x = + k π x = + k π  2 2 x = + k 2π  12  6  3  4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 94 9
Câu 336: Phương trình: 5 5 2 4cos . x sin x − 4sin .
x cos x = sin 4x có các nghiệm là:  π  π x =  k x =  kx = kπ  x = k A. 4  . B. 2  . C.   3π . D. π . π π  π π   x = + π kx = + k x = +  k x = + k    4 3 8 2  4 2  x x Câu 337: sin 3 + cos 3 3 + cos 2x
Cho phương trình:  sin x +  =
. Các nghiệm của phương trình thuộc  1 + 2 sin 2 x  5 khoảng (0; 2π ) là: π π π π π π π π A. 5 , . B. 5 , . C. 5 , . D. 5 , . 12 12 6 6 4 4 3 3 Câu 338: 3 1
Phương trình 8cos x = + có nghiệm là: sin x cos x  π π  π π  π π  π π x = +  k x = +  k x = +  k x = +  k A. 16 2  . B. 12 2  . C. 8 2  . D. 9 2  .  4π π π   2π x = + π  x = + π x = + π  k x = + kπ k k  3  3  6  3       Câu 339: π π π Phương trình: 2 2 3 sin  x −  cos x −  + 2 cos  x −  = 3 + 1 có nghiệm là:  8   8   8   3π  3π  5π  5π x = + π  k x = + π  k x = + π  k x = + π  k A. 8  4 8 . B. 4  . C.  . D.  .  5π 5π  5π   7π x = + π  k x = + π k x = + π k x = + kπ  24  12  16  24
Câu 340: Phương trình: sin 3x (cos x − 2sin 3x) + cos3x (1 + sin x − 2cos3x) = 0 có nghiệm là: π π π π A. x = + π k . B. x = + k . C. x = + k2π . D. Vô nghiệm. 2 4 2 3
Câu 341: Phương trình: ( x x ) ( x + x ) 2 sin sin 2 sin sin 2
= sin 3x có các nghiệm là:  π  π x =  k x =  k  2π x = x = kA. 3 k  . B. 6  . C.  3 . D.  . π  π   x = kx =  x = kπ  k x = k  2  4 Câu 342: cos 2x
Phương trình cos x + sin x = có nghiệm là: 1 − sin 2x  π  π  3π  5π x = − + k 2π  x = + k 2π  x = + kπ  x = + π  k 4  4  4  4  A. π  π  π  3π  x = + kπ . B. x = + kπ .
C. x = − + k2π . D. x = + π k .  8  2  2  8     π  x = kπ x = k2π π x = k    x = k  2    4 Câu 343: 1 1
Phương trình 2 sin 3x − = 2cos 3x + có nghiệm là: sin x cos x π π π π A. x = + π k . B. x = − + π k . C. 3 x = + π k . D. 3 x = − + π k . 4 4 4 4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 95 9   Câu 344: π Phương trình 2 2 sin  3x +
 = 1 + 8sin 2x.cos 2x có nghiệm là:  4   π  π  π  π x = + π  k x = + kπ  x = + π  k x = + kπ  A. 6  . B. 12  . C. 18  . D. 24  .  5π 5π  5π 5π x = + π  x = + π   k x = + π k k x = + π k  6  12  18  24
Câu 345: Phương trình 2 2 2 2
sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x có các nghiệm là:  π  π x =  k x =  k  π  π x = x = A. 12 k k  . B. 9  . C.   6 . D. 3 . π  π    x =  x = kπ  x = k π  k x = k 2  4  2     Câu 346: π 2π
Phương trình: 4 sin x.sin  x + .sin  x +
 + cos 3x = 1 có các nghiệm là:  3   3   π 2π  π  π x = +  k x = + kπ   π x = + k x = + k π  A. 6 3  . B. 4  . C. 2  2 3 . D.  .  2π π  π x =   x = kπ   k x = k x = k  3  3  4 Câu 347:
sin x + sin 2x + sin 3x Phương trình = 3 có nghiệm là:
cos x + cos 2x + cos 3x π π π π π A. 5 x = + k . B. x = + k ,. x = + k2π . 3 2 6 2 3 π π π π C. 5 x = + kπ ,. x = + k2π . D. 5 x = + k . 6 3 6 2
Câu 348: Các nghiệm thuộc khoảng (0;π ) của phương trình: tan x + sin x + tan x − sin x = 3tan x là: π π π π π π π A. 5 , . B. 3 , . C. 5 , . D. . 8 8 4 4 6 6 6 Câu 349: sin 3x cos 3x 2 Phương trình + = có nghiệm là: cos 2x sin 2x sin 3x π π π π π π π A. x = + k . B. x = + k . C. x = + k . D. x = + π k . 8 4 6 3 3 2 4
Câu 350: Phương trình 3 3 3 3
sin x + cos x + sin . x cot x + cos . x tan x =
2 sin 2 x có nghiệm là: π π π π A. x = + π k . B. x = + π k . C. x = + k2π . D. 3 x = + k 2π . 8 4 4 4 4 4 Câu 351: sin x + cos x 1 Phương trình =
(tan x + cot x) có nghiệm là: sin 2 x 2 π π π π A. x = + π k . B. x = + k2π . C. x = + k . D. Vô nghiệm. 2 3 4 2
Câu 352: Phương trình ( x + ) ( x + x − ) 2 2 sin 1 3cos 4 2 sin
4 + 4 cos x = 3 có nghiệm là:  π  π  π  π x = − + k 2π  x = + k 2π  x = − + k 2π  x = + k 2π  6  6  3  3  A. 7π  5π  4π  2π  x = + k 2π . B. x = + k π . C. x = + k π . D. x = + k π .  2 2 2 6  6  3  3     π  x = kπ x = k2π 2π x = k    x = k  2    3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 96 9 Câu 353: 1
Phương trình 2 tan x + cot 2x = 2 sin 2x + có nghiệm là: sin 2x π π π π π A. x = ± + k . B. x = ± + π k . C. x = ± + π k . D. x = ± + π k . 12 2 6 3 9 Câu 354: 1 2 Phương trình: 48 − −
(1+ cot 2x.cot x) = 0 có các nghiệm là 4 2 cos x sin x A. π π π π π π π π x = + k . B. x = + k . C. x = + k . D. x = + k . 16 4 12 4 8 4 4 4
Câu 355: Phương trình: 5(sin x + cos x) + sin 3x − cos3x = 2 2 (2 + sin 2x) có các nghiệm là A. π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. x = − + k 2π , k ∈ℤ . 4 4 C. π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = − + k 2π , k ∈ℤ . 2 2
Câu 356: Cho phương trình cos2 . x cos x + sin .
x cos 3x = sin 2x sin x − sin 3x cos x và các họ số thực:. π π I. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . II. x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ . 4 2 π 2π π 4π III. x = − + k , k ∈ ℤ . IV. x = + k , k ∈ ℤ . 14 7 7 7
Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là A. I, II. B. I, III. C. II, III. D. II, IV.
Câu 357: Cho phương trình 2 ( x − °) 2 cos 30
− sin ( x − 30°) = sin ( x + 60°) và các tập hợp số thực:
I. x = 30° + k120° , k ∈ℤ .
II. x = 60° + k120° , k ∈ ℤ .
III. x = 30° + k360° , k ∈ℤ .
IV. x = 60° + k360° , k ∈ ℤ .
Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I, III. D. I, IV.   Câu 358: π x x Phương trình 4 4
sin x − sin  x +
 = 4 sin cos cos x có nghiệm là  2  2 2 A. 3π π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. 3 x = + k , k ∈ ℤ . 4 8 2 C. 3π π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. 3 x = + k , k ∈ ℤ . 12 16 2
Câu 359: Một nghiệm của phương trình 2 2 2
cos x + cos 2x + cos 3x = 1 có nghiệm là A. π π π π x = . B. x = . C. x = . D. x = . 8 12 3 6   Câu 360: π x 7 Phương trình: 2 2 sin .
x cos 4x − sin 2x = 4 sin  −  − có nghiệm là  4 2  2  π  π x = − + kπ  x = − + k 2π  A. 6  6 , k ∈ ℤ . B.  , k ∈ ℤ .  7π  7π x = + kπ  x = + k2π  6  6  π  π x = − + k 2π  x = − + kπ  C. 6  , k ∈ ℤ . D. 6  , k ∈ ℤ .  π  π x = + k2π  x = + kπ  6  6 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 97 9
Câu 361: Phương trình 2
cos 2x + sin x + 2 cos x + 1 = 0 có nghiệm là x = kA.  π x = π + k π  , k ∈ ℤ . B. 2 , k ∈ ℤ . x = + k 2π  3  π x = + kπ  C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. 3  , k ∈ ℤ . 3  π x = − + kπ  3 Câu 362: 3 Phương trình: 12 12 sin x + cos x = 2 ( 14 14 sin x + cos
x) + cos2x có nghiệm là 2 A. π π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = + k , k ∈ ℤ . 4 4 2 C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. Vô nghiệm. 4     Câu 363: π π 3 Phương trình: 4 4
cos x + sin x + cos  x − .sin  3x −  − = 0 có nghiệm là:  4   4  2 π
A. x = k2π (k ∈ℤ) .
B. x = k3π (k ∈ℤ) .
C. x = k4π (k ∈ℤ) . D. x =
+ kπ (k ∈ℤ) . 4
Câu 364: Giải phương trình 2 2 2 2
sin x + sin 3x = cos x + cos 3x π π π π π A. k k x = ±
+ k2π , k ∈ ℤ . B. x = − + , x = + , k ∈ ℤ . 4 4 2 8 4 π π π π π π π π C. k k k k x = + , x = + , k ∈ ℤ . D. x = − + , x = + , k ∈ ℤ . 4 2 8 4 4 2 4 2
Câu 365: Giải phương trình sin .
x cos x (1+ tan x) (1+ cot x) = 1. π A. k Vô nghiệm.
B. x = k2π , k ∈ℤ . C. x = , k ∈ ℤ .
D. x = kπ , k ∈ℤ . 2
Câu 366: Phương trình sin 3x + cos 2x =1+ 2sin x cos 2x tương đương với phương trình:  =  =  sin x 0 sin x 0 sin x = 0 sin x = 0 A.    . B.  . C. 1 . D. 1 . sin x = 1 sin x = 1 − sin x = sin x = −  2  2
Câu 367: Trong nửa khoảng [0;2π ) , phương trình sin 2x + sin x = 0 có số nghiệm là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 368: Giải phương trình 2 2
3sin x − sin 2x − cos x = 0   A. π 1 x =
+ k 2π , x = arctan  −  + k2π , k ∈ ℤ . 4  3  π B. ± x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4   C. π 1 x =
+ kπ , x = arctan  −  + kπ , k ∈ ℤ . 4  3  D. Vô nghiệm. Câu 369: 1 1 2 Giải phương trình + = sin 2x cos 2x s in4x π
A. x = kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = kπ , k ∈ ℤ . 4 π C. Vô nghiệm. D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 98 9
Câu 370: Giải phương trình ( x + x)2 tan cot
− tan x − cot x = 2 . π A. ± Cả 3 đáp án. B. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 π π C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 6 4 Phươngtrìnhchứathamsố
Câu 371: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x = m có nghiệm: A. m ≤1. B. m ≥ 1 − . C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m ≤ 1 − .
Câu 372: Phương trình cos x m = 0 vô nghiệm khi m là m < 1 − A.  . B. m > 1. C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m < 1 − . m > 1
Câu 373: Cho phương trình: 3 cos x + m −1 = 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:
A. m <1− 3 . B. m >1+ 3 .
C. 1− 3 ≤ m ≤ 1+ 3 .
D. − 3 ≤ m ≤ 3 .
Câu 374: Phương trình mcos x +1 = 0 có nghiệm khi m thỏa điều kiện m ≤ 1 − m ≤1 A.  . B. m ≥ 1. C. m ≥ 1 − . D.  m ≥ 1 m ≥ 1 −
Câu 375: Phương trình: cos x m = 0 vô nghiệm khi m là m < 1 − A.  . B. m > 1. C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m < 1 − . m > 1
Câu 376: Phương trình cos x = m +1 có nghiệm khi m A. 1 − ≤ m ≤ 1 . B. m ≤ 0 . C. m ≥ 2 − . D. 2 − ≤ m ≤ 0 .
Câu 377: Cho phương trình: 3 cos x + m −1= 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
A. m <1− 3 . B. m >1+ 3 .
C. 1− 3 ≤ m ≤ 1+ 3 .
D. − 3 ≤ m ≤ 3 .  π  Câu 378: x Để phương trình 2
cos  −  = m có nghiệm, ta chọn  2 4  A. m ≤ 1.
B. 0 ≤ m ≤ 1. C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m ≥ 0 .
Câu 379: Phương trình 2sin x m = 0 vô nghiệm khi m A. 2 − ≤ m ≤ 2 . B. m < 1 − . C. m > 1. D. m < 2 − hoặc m > 2  π 
Câu 380: Cho phương trình cos 2x −  − m = 2 . Tìm m để phương trình có nghiệm?  3 
A. Không tồn tại m .
B. m ∈[−1;3] .
C. m ∈[−3; − ] 1 .
D. mọi giá trị của m .
Câu 381: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x + cos x = m có nghiệm:
A. − 2 ≤ m ≤ 2 . B. m ≥ 2 . C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m ≤ 2 .
Câu 382: Điều kiện để phương trình msin x − 3cos x = 5 có nghiệm là m ≤ 4 − A. m ≥ 4 . B. 4 − ≤ m ≤ 4 . C. m ≥ 34 . D.  . m ≥ 4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 99 9
Câu 383: Với giá trị nào của m thì phương trình (m +1)sin x + cos x = 5 có nghiệm. m ≥1 A. 3 − ≤ m ≤ 1.
B. 0 ≤ m ≤ 2 . C.  .
D. − 2 ≤ m ≤ 2 . m ≤ 3 −
Câu 384: Cho phương trình: ( 2 m + ) 2
2 cos x − 2m sin 2x +1 = 0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích
hợp của tham số m A. 1 − ≤ m ≤ 1 . B. 1 1 − ≤ m ≤ . C. 1 1 − ≤ m ≤ . D. | m |≥ 1 . 2 2 4 4 Câu 385: m Tìm m để pt 2 sin 2x + cos x = có nghiệm là 2
A. 1− 3 ≤ m ≤ 1+ 3 .
B. 1− 2 ≤ m ≤1+ 2 .
C. 1− 5 ≤ m ≤ 1+ 5 .
D. 0 ≤ m ≤ 2 .
Câu 386: Điều kiện có nghiệm của phương trình asin5x + bcos5x = c A. 2 2 2
a + b < c . B. 2 2 2
a + b c . C. 2 2 2
a + b c . D. 2 2 2
a + b > c .
Câu 387: Điều kiện để phương trình msin x + 8cos x = 10 vô nghiệm là m ≤ 6 − A. m > 6 . B.  .
C. m < −6 .
D. −6 < m < 6 . m ≥ 6
Câu 388: Điều kiện để phương trình 12sin x + m cos x = 13 có nghiệm là m ≤ 5 − A. m > 5 . B.  .
C. m < −5 .
D. −5 < m < 5 . m ≥ 5
Câu 389: Tìm điều kiện để phương trình msin x +12cos x = −13 vô nghiệm. m ≤ 5 − A. m > 5 . B.  .
C. m < −5 .
D. −5 < m < 5 . m ≥ 5
Câu 390: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x mcos x = 10 vô nghiệm. m ≤ 8 − A.  . B. m > 8 .
C. m < −8 .
D. −8 < m < 8 . m ≥ 8
Câu 391: Tìm m để phương trình 5cos x m sin x = m +1 có nghiệm
A. m ≤ −13 . B. m ≤ 12 . C. m ≤ 24 . D. m ≥ 24 .
Câu 392: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x + mcos x = 5 vô nghiệm. m ≤ 4 − A.  . B. m > 4 . C. m < 4 − . D. 4 − < m < 4 . m ≥ 4
Câu 393: Điều kiện để phương trình .
m sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là m ≤ 4 − A. m ≥ 4 . B. 4 − ≤ m ≤ 4 . C. m ≥ 34 . D.  . m ≥ 4 π π Câu 394:  
Tìm m để phương trình 2sin x + m cos x = 1− m (1) có nghiệm x ∈ − ;   2 2  .
A. − 3 ≤ m ≤ 1
B. − 2 ≤ m ≤ 6
C. 1 ≤ m ≤ 3
D. − 1 ≤ m ≤ 3
Câu 395: Tìm m để phương trình msinx + 5cosx = m +1 có nghiệm. A. m ≤ 12 B. m ≤ 6 C. m ≤ 24 D. m ≤ 3
Câu 396: Điều kiện để phương trình .
m sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là m ≤ 4 − A.  . B. m ≥ 4 . C. m ≥ 34 . D. 4 − ≤ m ≤ 4 . m ≥ 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 100
Câu 397: Để phương trình cos x + sin x = m có nghiệm, ta chọn: A. 1 − ≤ m ≤ 1 .
B. 0 ≤ m ≤ 2 . C. m tùy ý.
D. − 2 ≤ m ≤ 2 .
Câu 398: Phương trình mcos 2x + sin 2x = m − 2 có nghiệm khi và chỉ khi         A. 3
m ∈  −∞;  . B. 4 m ∈  −∞; . C. 4 m ∈ ; +∞   . D. 3 m ∈ ; +∞   .   4   3   3   4 
Câu 399: Cho phương trình 4sin x + (m − )
1 cos x = m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có nghiệm: A. 17 m < . B. 17 m ≤ − . C. 17 m ≥ . D. 17 m ≤ . 2 2 2 2
Câu 400: Phương trình3sin x – 4cos x = m có nghiệm khi A. 5 − ≤ m ≤ 5
B. m ≥ 5 hoặc m ≤ –5 C. m ≥ 5 D. m ≤ –5
Câu 401: Cho phương trình lượng giác: 3sinx + (m − )
1 cosx = 5 . Định m để phương trình vô nghiệm. A. 3 − < m < 5 B. m ≥ 5 C. m ≤ 3
− hay m ≥ 5 D. 3 − ≤ m ≤ 5
Câu 402: Cho phương trình msin x − 1−3m cos x = m − 2. Tìm m để phương trình có nghiệm.
A. 1 ≤ m ≤ 3 B. 1 m ≤ 3 3
C. Không có giá trị nào của m D. m ≥ 3
Câu 403: Tìm m để phương trình 2
2sin x + msin 2x = 2m vô nghiệm. m ≤ 0 m < 0 A. 4   0 ≤ m ≤ . B. 4 . C. 4 0 < m < . D. 4 . 3 m ≥ 3 m >  3  3
Câu 404: Tìm m để phương trình msin x + 5cos x = m +1 có nghiệm: A. m ≤ 12 . B. m ≤ 6 . C. m ≤ 24 . D. m ≤ 3 .  π 
Câu 405: Tìm m để phương trình 2
2 sin x − (2m + )
1 sin x + m = 0 có nghiệm x ∈ − ;0 .  2  A. 1 − < m < 0.
B. 1 < m < 2. C. 1 − < m < 0.
D. 0 < m <1. 6 6 Câu 406: sin x + cos x Cho phương trình:
= 2m. tan 2x , trong đó m là tham số. Để phương trình có 2 2 cos x − sin x
nghiệm, các giá trị thích hợp của m A. 1 1 1 m ≤ − hay m ≥ . B. 1 m ≤ − hay m ≥ . 8 8 4 4 C. 1 1 1 m < − hay m > . D. 1 m < − hay m > . 8 8 4 4 6 6 Câu 407: Để sin x + cos x phương trình
= m có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:  π   π  tan  x +  tan  x −   4   4  A. 1 −1 ≤ m < − . B. 2 − ≤ m ≤ 1 − . 4
C. 1 ≤ m ≤ 2.
D. 1 ≤ m ≤ 1. 4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 101  π   π 
Câu 408: Để phương trình: 2 4 sin  x + .cos  x
 = a + 3 sin 2x − cos 2x có nghiệm, tham số a  3   6  phải thỏa điều kiện: A. 1 − ≤ a ≤ 1. B. 2 − ≤ a ≤ 2 . C. 1 1 − ≤ a ≤ .
D. −3 ≤ a ≤ 3 . 2 2
Câu 409: Cho phương trình sin xcos x − sin x − cos x + m = 0 , trong đó m là tham số thực. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m A. 1 2 − ≤ m ≤ − − 2 . B. 1 − − 2 ≤ m ≤ 1 . C. 1 1 ≤ m ≤ + 2 .
D. 1 + 2 ≤ m ≤ 2 . 2 2 2 2
Câu 410: Để phương trình: 2 sin x + 2 (m + )
1 sin x − 3m (m − 2) = 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là  1 1  1 1 − ≤ m < − ≤ m ≤  2 − ≤ m ≤ 1 − −1 ≤ m ≤ 1 A.   2 2 . B. . C. . D. .  3 3    0 ≤ m ≤ 1 3 ≤ m ≤ 4 1  ≤ m ≤ 2 1  ≤ m ≤ 3 Câu 411: 1 4 tan x Cho phương trình cos 4x +
= m . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m 2 2 1 + tan x
phải thỏa mãn điều kiện: A. 5 − ≤ m ≤ 0 .
B. 0 < m ≤ 1. C. 3 1 < m ≤ . D. 5 3 m < − hay m > . 2 2 2 2 2 2 2 Câu 412: Để a sin x + a − 2 phương trình =
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 2 1 − tan x cos 2 xa >  1  a >  2  a >  3  a >  4 A.  . B.  . C.  . D.  .  a ≠  3  a ≠  3  a ≠  3  a ≠  3
Câu 413: Cho phương trình: ( 4 4 x + x ) − ( 6 6 x + x ) 2 4 sin cos 8 sin cos
− 4 sin 4x = m trong đó m là tham số.
Để phương trình vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m A. 25 − ≤ m ≤ 0 . B. 25 − ≤ m ≤ −4 . 4 4 C. 24 m < − hay m > 4 − . D. 24 m < − hay m > 0 . 5 5
Câu 414: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 2 x − (m − ) x x − (m − ) 2 sin 2 1 sin cos
1 cos x = m có nghiệm?
A. 0 ≤ m ≤ 1. B. m > 1.
C. 0 < m < 1. D. m ≤ 0 .  π   π 
Câu 415: Chophương trình sin x −  − 3cos x −  = 2m . Tìm m để phương trình vô nghiệm.  3   3  A. (−∞;− ]
1 ∪ [1; +∞) . B. (−∞; − )
1 ∪ (1; +∞) . C. [−1; ] 1 . D. m ∈ ℝ .
Câu 416: Để phương trình 6 6
sin x + cos x = a | sin 2x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a A. 1 0 ≤ a < . B. 1 3 < a < . C. 1 a < . D. 1 a ≥ . 8 8 8 4 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 102
Phần 6 – BẢNG ĐÁP ÁNBÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B D B A D D D A A C C A D C C C C D B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C B B A D D D B D C C A D C C B D C D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B C C C B B C A B A A C B A A A A A C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 C D B A B B B A C B D D C B B B B A D B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A A D A C B A B B A D D B B D B A B B A
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D B B A C D D C B B B D B A C B B B B B
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 A B A B D A B C A A A B A A C D D C D D
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 C D B A A A C D C B C B C D A A C B A D
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 D D C D D D C C B A A B C B A C D D D A
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 A A C D C B B C D A D A B B D B D A C C
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 D C A B B A B C A D C D D A B A C D A B
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 D B A A C A C B C A A A B D B C B B B D
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 D A C C A A D B C A B B C C D C A B A B
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 A D D B C A B D D B D C D B C B A D B A
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 B D D A C C B A A B D D A B D B D B A A
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 D C D D C D A A A D C B C C B A D C D B
321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 A C C B C D B A D B C C D B B A D B B D
341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 A C A B B A C D B B D A C C A C C B D B
361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 B B D C A C A C C D C A C A A D C B D C
381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 A D C D X C D B D D B D D D A A D D D A
401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 A C D A C C A B B B D A D A B D GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 103
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 104 MỤC LỤC
Phần 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .................................................................................................... 1
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số ......................................................................................... 2
Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác ..................................... 3
Dạng 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số ........................................................................................ 4
Dạng 4. Tính tuần hoàn của hàm số ........................................................................................... 6
Dạng 5. Sử dụng đồ thị ................................................................................................................ 8
Phần 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC .................................................................................. 10
Dạng 1. Phương trình cơ bản ..................................................................................................... 10
Dạng 2. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác ................................................. 12
Dạng 3. Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn cho trước ....................... 14
Dạng 4. Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác ..................................... 16
Dạng 5. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x (Phương trình cổ điển) .................... 18
Dạng 6. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba ................................................................... 20
Dạng 7. [NC] Phương trình đối xứng – Phản đối xứng .......................................................... 22
Dạng 8. [NC] Phương trình lượng giác không mẫu mực ....................................................... 23
Dạng 9. Phương trình lượng giác có tham số........................................................................... 24
Dạng 10. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác ................................................ 25
Phần 3 - BÀI TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ 1 ............................................................................ 33
Phần 4 - PTLG TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ-THPTQG .......................................................... 37
Dạng 1. Công thức lượng giác ................................................................................................ 37
Dạng 2. Đưa về phương trình tích ......................................................................................... 38
Dạng 3. Biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng ............................................................... 42
Dạng 4. Phương trình bậc 2 - bậc 3 ........................................................................................ 44
Dạng 5. Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx...................................................................... 49
Dạng 6. Phương trình đẳng cấp ............................................................................................. 52
Dạng 7. Phương trình đối xứng ............................................................................................. 53
Dạng 8. Phương pháp hạ bậc ................................................................................................. 53
Dạng 9. Công thức nhân ba .................................................................................................... 56
Dạng 10. Phương trình có chứa giá trị tuyện đối Phương trình có chứa căn thức .............. 57
Dạng 11. Phương trình có chứa tham số ................................................................................. 58
Phần 5 - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................ 59
Hàm số lượng giác ...................................................................................................................... 59
Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất ......................................................................... 65
Phương trình cổ điển .................................................................................................................. 77
Phương trình bậc hai – bậc ba ................................................................................................... 81
Phương trình đẳng cấp .............................................................................................................. 87
Phương trình dạng khác ............................................................................................................ 89
Phương trình chứa tham số ....................................................................................................... 98
Phần 6 – BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................ 102
MỤC LỤC ......................................................................................................................................... 104