Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Trần Quốc Nghĩa
Tài liệu gồm 107 trang do thầy Trần Quốc Nghĩa biên soạn, nội dung tài liệu gồm 4 phần:
+ Phần 1. Tóm tắt lý thuyết cần thiết cho nội dung cơ bản
+ Phần 2. Các ví dụ mẫu
Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 1 Ll20202020v ,. Chuyênđề 1 LƯỢNG GIÁC
Phần 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số y = sin x và y = cos x
y = sin x
y = cos x
Tập xác định D = ℝ D = ℝ Chu kỳ T = 2π T = 2π
Tính chẵn lẻ Lẻ Chẵn π π HSĐB trên: − + k2π ; + k2π 2 2
HSĐB trên: (−π + k 2π ; k2π )
Sự biến thiên π 3π
HSĐB trên: (k 2π ; π + k2π ) HSNB trên: + k2π ; + k2π 2 2 π π x –π 0 π x –π − 0 π 2 2 1 Bảng biến y = cos x thiên 1 y = sin x 0 0 0 –1 –1 –1 Đồ thị
2. Hàm số y = tan x và y = cot x
y = tan x
y = cot x π
Tập xác định D = ℝ \
+ kπ , k ∈ ℤ
D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ 2
Tập giá trị ℝ ℝ Chu kỳ T = π T = π
Tính chẵn lẻ Lẻ Lẻ π π Nghịch biến trên mỗi khoảng:
Sự biến thiên
Đồng biến trên − + kπ ; + kπ 2 2
(kπ ; π + kπ ) π π x − x 0 π 2 2 Bảng biến +∞ +∞ thiên y = cot x y = tan x –∞ –∞ Đồ thị TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 2
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tập xác định của hàm số y = f ( x) là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x sao cho f(x) có nghĩa. f x • ( ) y = có nghĩa
⇔ g(x) ≠ 0 g (x) • 2n y =
f (x) có nghĩa
⇔ f (x) ≥ 0, (n ∈ ℕ) • 2n 1 y + =
f (x) có nghĩa ⇔ f ( x) có nghĩa (n ∈ ℕ) π
• y = tan f (x) có nghĩa ⇔ cos f ( x) ≠ 0 ⇔ f (x) ≠
+ kπ ,(k ∈ℤ) 2
• y = cot f (x) có nghĩa ⇔ sin f ( x) ≠ 0 ⇔ f (x) ≠ kπ ,(k ∈ ℤ) B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: 1− cos x 1− sin x π π a) y = b) y =
c) y = tan x −
d) y = cot x + sin x 1+ cos x 3 6
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 3
C. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1.
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: x 3 2x a) y = sin 3x b) y = cos c) y = d) y = cos 2 2 cos x x −1 π π
e) y = 3 − sin x
f) y = tan 2x + g) y = cos x
h) y = cot 2x − 3 4
D. BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 2.
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: 1+ x sin x + 2 cot x x a) y = sin b) y = c) y = d) y = tan 1− x cos x +1 cos x −1 3 1 2 3 e) y = sin f) y =
g) y = tan x + cot x h) y = 2 x −1 cos x − cos 3x 2 2
sin x − cos x Bài 3.
Tìm m để hàm số sau xác định ∀x ∈ ℝ : 4 4 y = sin x + o
c s x − 2m sin x cos x Bài 4.
Tìm tập xác định của các hàm số: a) 2 y =
2 + tan x − cos x
b) y = sin 2x − sin x + 3
Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số lượng giác. x ∀ ∈ ℝ : 2 1
− ≤ sin x ≤ 1, 1
− ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ sin x ≤1 , 2
0 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ sin x ≤ 1, 0 ≤ cos x ≤ 1 ≤
x ≤ , 0 ≤ cos x ≤ 1 (khi sin x ≥ 0 , cos x ≥ 0 ) 0 sin 1
• Sử dụng các tính chất của bắt đẳng thức: a ≤ b
a ≤ b ⇔ b ≥ a ⇔ a ≤ c b ≤ c a ≤ b
a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c (cộng 2 vế với c)
⇔ a + c ≤ b + d c ≤ d
a ≤ b ⇔ a.c ≤ .
b c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều) a ≤ b ⇔ a.c ≥ .
b c (nếu c < 0: đổi chiều)
a > b > 0 1 1
⇔ a.c > . b d
a > b > 0 ⇔ <
c > d > 0 a b 2n 2n * 2n 1 + 2n 1 + *
a > b > 0 ⇔ a > b (n ∈ ℕ )
a > b ⇔ a > b (n ∈ ℕ )
• Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Cô-si, BCS, … B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: π
a) y = 2 cos x +1
b) y = 3 – 2sin x
c) y = 2cos x + + 3 d) 2
y = 1− sin(x ) −1 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 5.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: 2 1+ 4 cos x a) y = b) y = 4sin x c) y = 2(1+ cos x) +1 3 d) 2
y = cos x + 2 cos 2x
e) y = 2 + 3cos x f) 2 2
y = 3 – 4sin x cos x g) 2
y = 2sin x – cos 2x
h) y = 3 – 2 sin x
i) y = 3 – 4sin x π π
j) y = 3sin x − − 2 k) 2 2
y = 5 − 2 cos x sin x
l) y = cos x + cos x − 6 3
D. BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 6.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
a) y = sin x + cos x
b) y = sin x (1− 2 cos 2x) Bài 7.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 4 4 2 2
y = cot x + cot y + 2 tan x tan y + 2 . Bài 8.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau π 2π
a) y = sin x trên đoạn − ; . 3 3 π π π π
b) y = cos 2x + − cos 2x − trên đoạn − ; . 4 4 3 6
Dạng 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D : x
∀ ∈ D ⇒ −x ∈ D
a) Hàm số chẵn trên D nếu
f (−x) = f (x) x
∀ ∈ D ⇒ −x ∈ D
b) Hàm số lẻ trên D nếu
f (−x) = − f (x) x ∀
∈ D ⇒ −x ∉ D
c) Hàm số không chẵn, không lẻ trên D nếu: 0 0 x ∀
∈ D : f (−x ) ≠ f (x ) ≠ − f (x ) 0 0 0 0 Nhận xét:
Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung
Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Chú ý:
x = −x 2n 2 ( − ) = ( − ) n a b b a
, n ∈ ℝ 2n 1 + 2n 1 (a b) (b a) + − = − − , n ∈ ℝ GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 5 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:
a) y = x – sin x
b) y = 3sin x – 2
c) y = sin x – cos x cos x
d) y = sin x cos x + tan x e) y =
f) y = 1− cos x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 6
C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 9.
Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau: tan x + cot x 1+ cos x a) y = b) y = c) 3
y = x sin 2x 1− sin 2x 1− cos x π 3 x − sin x d) y = cos3x
e) y = tan x + f) y = 5 cos 2x x 4 2 6 2
sin 1− x − cos x −1 g) y = h) y = sin x + tan x 1− x
Dạng 4. Tính tuần hoàn của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để xét tính tuần hoàn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:
Hàm số y = f ( x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu x
∀ ∈ D ⇒ x ± T ∈ D T ∃ ≠ 0 sao cho . f
( x + T ) = f ( x), x ∀ ∈ D
Nếu tồn tại số T > 0 nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T được gọi là chu kỳ của
hàm số tuần hoàn y = f ( x) . 2π 2π
Chú ý: ● y = sin (ax + b) có chu kỳ T = .
● y = cos (ax + b) có chu kỳ T = . 0 a 0 a π π
● y = tan (ax + b) có chu kỳ T = .
● y = cot (ax + b) có chu kỳ T = . 0 a 0 a
● y = f x có chu kỳ T và y = f x có chu kỳ T thì hàm số y = f x ± f x có 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 2
chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của T và T . 0 1 2 C. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 4. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau 1 a) 2 y = 1+ sin 2x . b) y = . sin 2x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 7
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 5. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau
a) y = x + sin x . b) 2 2
y = sin 2x + cos 2x .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 10. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau ( a ≠ 0 ):
a) y = sin (ax + b)
b) y = cos (ax + b)
c) y = tan (ax + b)
d) y = cot (ax + b)
Bài 11. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số: a) y = cos 3 . x (1+ cos x) b) 6 6 y = sin x + o c s x y = c) 2 sin(x ) TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 8
Dạng 5. Sử dụng đồ thị
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• Vẽ đồ thị hàm số trên miền đã chỉ ra.
• Dựa vào đồ thị xác định giá tị cần tìm. B. BÀI TẬP MẪU π Ví d 3
ụ 6. Hãy xác định giá trị của x trên đoạn π − ;
để hàm số y = tan x nhận giá trị: 2 a) bằng 0 . b) bằng 1. c) dương. d) âm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. π Ví d 3
ụ 7. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x , tìm những giá trị của x trên đoạn − ; 2π
để hàm số đó: 2
a) Nhận giá trị bằng –1.
b) Nhận giá trị âm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 9
B. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 12. 1
Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x , tìm các giá trị của x để cos x = . 2
Bài 13. Cho các hàm số f ( x) = sin x , g ( x) = cos x , h( x) = tan x và các khoảng: 3π π π 31π 33π 452π 610π J = π ; , J = − ; , J = ; , J = − ; − 1 2 2 4 4 3 4 4 4 3 4
Hỏi hàm nào trong ba hàm trên đồng biến trên khoảng J ? Trên khoảng J ? Trên khoảng J ? 1 2 3
Trên khoảng J ? (Trả lời bằng cách lập bảng biến thiên) 4
Bài 14. Trong mỗi khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao?
a) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến thì hàm số y = cos x nghịch biến.
b) Trên mỗi khoảng mà hàm số 2
y = sin x đồng biến thì hàm số 2
y = cos x nghịch biến.
Bài 15. Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x hãy vẽ đồ thị hàm số y = sin x .
Bài 16. Cho hàm số y = f ( x) = 2sin 2x
a) Chứng minh rằng với số nguyên dương k tùy ý, luôn có f (x + kπ ) = f ( x) với mọi x . π π
b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2x trên đoạn − ; . 2 2
c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin 2x
Bài 17. CMR: sin 2(x + kπ ) = sin 2x với mọi số nguyên k . Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x . Bài 18. 1 x x CMR: cos
(x + k 4π ) = cos
với mọi số nguyên k . Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = cos rồi suy 2 2 2 x
ra đồ thị hàm số y = cos . 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 10 1
Phần 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dạng 1. Phương trình cơ bản
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Chú ý:
Khi gặp dấu trừ ở trước thì:
– sin x = sin ( – x) – cos x = cos (π – x) – tan x = tan ( – x) – cot x = cot ( – x)
Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0). GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 11 1 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: π 3 2 a) sin x = − b) cos 3x − = −
c) tan (3x – 30°) = –1 2 6 2 π 3 1 d) cot x + = e) sin x = f) ( x + ) 1 cos 3 = 3 3 4 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 12 1
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 19. Giải các phương trình sau: a) ( x °) 1 sin – 60 = b) sin 2x = –1 c) ( x ) 2 cos – 2 = 2 5 π 1 π d) cos 2x + = − e) ( x + °) 1 cos 2 50 = f) cot 4x − = 3 3 2 2 6 x π π x 3 2π g) tan − = tan h) cot + 20° = − i) tan 2x = tan 2 4 8 3 3 7 2 3 j) sin 4x = k) ( x °) 3 cos 3 – 45 = l) sin 3x = – 3 2 2 x 1 3 m) ( x °) 3 sin 2 – 15 = − n) sin +10° = − o) sin 2x = 2 2 2 2
Dạng 2. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác là các phương trình có dạng:
asinx + b = 0 ; acosx + b = 0 ; atanx + b = 0 ; acotx + b = 0
Phương pháp giải: Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: π a) 3sin 4x = 2 b) 2sin 2x −1 = 0 c) 3 cot x + −1 = 0 3
d) 2 cos ( x + 50°) = − 3 e) 2cos x – 3 = 0 f) 3 tan 3x – 3 = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 13 1
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau: π x x a) cos 2 . x cot x − = 0
b) cot −1 cot +1 = 0 4 3 2
c) (1+ 2 cos x)(3 – cos x) = 0 d) (cot x + ) 1 .sin 3x = 0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:
a) cos 3x – sin 2x = 0 b) tan . x tan 2x = –1
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 14 1
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 20. Giải các phương trình sau: a) sin 2 . x cot x = 0
b) tan ( x – 30°).cos (2x –150°) = 0 c) (2 cos 2x – ) 1 (2 sin 2x – 3) = 0
d) (3tan x + 3)(2sin x – ) 1 = 0
e) tan (2x + 60°) cos ( x + 75°) = 0
f) (2 + cos x)(3cos 2x – ) 1 = 0 g) (sin x + ) 1 (2cos 2x – 2 ) = 0 h) (sin 2x – ) 1 (cos x + ) 1 = 0
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 21. Giải các phương trình sau:
a) sin 3x = cos 2x
b) cos x = – sin 2x
c) sin 3x + sin 5x = 0 d) cot 2 . x cot 3x = 1 ° = ° +
e) sin x – cos ( x + 60 ) 0
f) cos ( x –10 ) sin x = 0 π π π g) sin x +
= − sin 2x − h) cos 2x − = − cos x 3 4 4
i) tan 3x + tan x = 0
f) tan 3x + tan (2x – 45°) = 0
k) sin 2x + cos 3x = 0 l) tan . x tan 3x = 1
m) cot 2x cot ( x + 45°) = 1
n) tan (3x + 2) + cot 2x = 0 π π π π o) cos 2x − − sin − x = 0 p) cos 2x + + cos x − 4 3 3 6 q) (sin x + ) 1 (2cos 2x – 2 ) = 0 r) (sin 2x – ) 1 (cos x + ) 1 = 0
Bài 22. Giải các phương trình sau: 1 a) 2 sin x = b) 2 4cos x – 3 = 0 c) 2 2
sin 3x – cos x = 0 4 d) 2 ( x °) 2 sin – 45 = cos x e) 3 8cos x –1 = 0 f) 2 tan ( x + ) 1 = 3
Dạng 3. Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên
khoảng, đoạn cho trước
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1. Giải phương trình lượng giác đã cho và tìm các họ nghiệm (nếu có)
Bước 2. Với mỗi họ nghiệm tìm được, cho thuộc khoảng, đoạn đề cho và tìm k (k ∈ℤ)
Bước 3. Ứng với mỗi giá trị k vừa tìm được, thế vào họ nghiệm tìm nghiệm tương ứng. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau: π 3 a) ( x °) 2 sin 2 – 15 =
với –120° < x < 90° b) tan 2x + = −
với 0 < x < π 2 4 3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 15 1
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 23. Giải các phương trình sau: π 1 a) ( x + ) 1 cos 2 10 =
với –π < x < π b) sin 2x −
= − với 0 < x < 2π 2 3 2 1 c) sin x = –
với –π < x < 0 d) ( x ) 2 cos – 2 = với x ∈[ ; 0 π ] 2 2 π
e) tan ( x – 10°) = 1 với –15° < x < 15° f) sin x + = 1 với x ∈[π ; 2π ] 4
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 24. Tìm nghiệm thuộc đoạn [0;14] của phương trình: cos3x − 4cos 2x + 3cos x − 4 = 0 π Bài 25.
sin 2x − cos 2x
Tính giá trị của x ∈ − ; 0 thỏa mãn phương trình: cot x = 2 2 + sin 2x Bài 26. cos 3x + sin 3x
Tìm nghiệm thuộc (0; 2π ) của phương trình: 5sin x + = cos 2x + 3 1+ 2 sin 2x TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 16 1
Dạng 4. Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a ≠ 0) : • 2
asin u + bsinu + c = 0 (1) • 2
acos u + bcosu + c = 0 (1) Đặt t = sinu Đặt t = cosu
Điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1
Điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1 ( ) 2
1 ⇔ at + bt + c = 0 ( ) 2
1 ⇔ at + bt + c = 0 • 2
a tan u + b tan u + c = 0 (1) • 2
acot u + bcotu + c = 0 ( 1)
Điều kiện: cos u ≠ 0 .
Điều kiện: sinu ≠ 0
Đặt t = tanu,
Đặt t = cotu, ( ) 2
1 ⇔ at + bt + c = 0 ( ) 2
1 ⇔ at + bt + c = 0 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau: a) 2
2sin x + 3sin x − 2 = 0 b) 2
3cot x + 3cot x − 2 = 0 c) 2
3cos x − 5cos x + 2 = 0 d) 2
3 tan x − 2 3 tan x + 1 = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 17 1
Ví dụ 14. Giải các phương trình sau: a) 3 2
tan x – 3 tan x – 2 tan x + 4 = 0 b) 3 2
4sin x + 4sin x – 3sin x = 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 27. Giải các phương trình sau: a) 2
2cos x + 2 cos x – 2 = 0 b) 2
2cos x – 3cos x +1 = 0 c) 2
6sin x – 5sin x – 4 = 0 d) 2
3 tan x − (1+ 3) tan x +1 = 0 x x e) 2
tan 3x + (1− 3) tan 3x − 3 = 0 f) 2 4cot − 2( 3 − ) 1 cot − 3 = 0 3 3 x x x x g) 2 4cos − 2( 2 + ) 1 cos + 2 = 0 h) 2 2sin + 2 sin − 2 = 0 2 2 2 2 i) 2
2sin x − 3sin x − 5 = 0 j) 2
2 tan x + 3 tan x +1 = 0
Bài 28. Giải các phương trình sau: a) 2
sin x – 2 cos x + 2 = 0 b) 2
cos x + sin x +1 = 0
c) 2cos 2x + 4sin x +1 = 0 d) 2cos 2x – 2( 3 + ) 1 cos x + 3 + 2 = 0
e) cos 2x + 9 cos x + 5 = 0 f) 2 cos5 .
x cos x = cos 4 .
x cos 2x + 3cos x +1 π π 5 g) 4 2
cot x – 4 cot x + 3 = 0 h) cos 2 x + + 4cos − x = 3 6 2 4 1 i) 2 tan x – + 5 = 0 j)
– 1+ tan x – 3 (tan x + ) 1 = 0 cos x 2 cos x 2 1− tan x
k) tan x − 2 cot x +1 = 0 l) cos 4x – 3 + 2 = 0 2 1+ tan x
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 29. Giải các phương trình sau: π π 9 a) 4 4 4
sin x + sin x + + cos x + = 4 4 8 π π b) cos 2x + + cos 2x −
+ 4sin x = 2 + 2 (1− sin x) 4 4
Bài 30. Giải các phương trình sau: 1 π a) 3 tan x –1+ + 2 cot − x = 3 b) 2
2sin x = 1+ sin 3x 2 cos x 3
c) 1+ sin 3x = sin x + cos 2x d) 2 2
tan x + cot x + 2 (tan x + cot x) = 6 1 1 7 1 5 e) 2 cos x + + cos x − − = 0 f) 2
+ cot x + ( tan x + cot x) + 2 = 0 2 cos x cos x 4 2 cos x 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 18 1
Dạng 5. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
(Phương trình cổ điển)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a sin x + b cos x = c ( ) 1 với , a ,
b c ∈ ℝ , và 2 2
a + b ≠ 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 2 2 2
a + b ≥ c
Chia 2 vế phương trình cho 2 2
a + b , ta được: a b c .s inx + .cos x = 2 2 2 2 2 2 a + b a + b a + b 2 2 a b a b Vì +
= 1 nên đặt cosα = , sinα = 2 2 2 2 a + b a + b 2 2 a + b 2 2 a + b c Khi đó ta được: sin ( x + α ) =
rồi giải như phương trình cơ bản. 2 2 a + b
Chú ý: Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải: π π sin x ± cos x = 2 sin x ±
= ± 2 cos x ∓ 4 4 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau:
a) sin x + 3 cos x = 1
b) cos x – 3 sin x = 2
c) 3sin 3x – 4cos 3x = 5
d) 2sin x + 2 cos x − 2 = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 19 1
Ví dụ 16. Giải các phương trình sau:
a) cos x – 3 sin x = 2 cos 3x
b) sin 9x + 3 cos 7x = sin 7x + 3 cos9x
...................................................................................................................................................................... ........ ..
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 31. Giải các phương trình sau: 6
a) sin x – cos x =
b) 3 cos x + sin x = – 2 2
c) sin 4x + cos 4x = 3
d) 2sin x – 9 cos x = 85
e) 3sin x + 3 cos x = 1
f) 2 cos x – 3sin x + 2 = 0
g) cos x + 4sin x +1 = 0 h)
2 sin 2x + 3cos 2x = 4
i) cos (2x – 15°) + sin (2x – 15°) = –1
j) sin 2x – 3 cos 2x = 1
k) 5 cos 2x +12sin 2x = 13
l) 2sin x + 2 cos x = 2
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 32. Giải các phương trình sau: π a) 2
2sin 2x + 3 sin 4x = –3
b) cos x + 3 sin x = 2 cos − x 3 π π 3 2 π π 5 2 c) 2sin x + + sin x − = d) 2cos x + + 3cos x − = 4 4 2 6 3 2 1 e) 2 sin 2x + sin x = f) 2
2sin x + 3 sin 2x = 3 2 g) 2 2
3cos x – sin x – sin 2x = 0
h) 4sin x cos x = 13 sin 4x + 3cos 2x
i) 2cos 2x – sin 2x = 2(sin x + cos x)
j) 2sin17x + 3 cos5x + sin 5x = 0 x
k) sin 5x + cos5x = 2 cos13x l) 2 8sin – 3sin x – 4 = 0 2 1+ sin x 1 1− cos 4x sin 4x m) = n) = 1+ cos x 2 2sin 2x 1+ cos 4x
Bài 33. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:
a) y = 2sin x + 3 cos x + 1 c) 2
y = 2sin x + 4sin x cos x + 3
sin x + cos x −1 b) 2
y = sin x + cos 2x – 2 d) y =
sin x − cos x + 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 20 2
Dạng 6. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin x và cos x
(Phương trình đẳng cấp)
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2 2
a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0 ( ) 1 Hoặc 2 2
a′ sin x + b′ sin x cos x + c′ cos x = d (2) (2) 2 2 ⇔ a′ x + ′ b x x + ′ c x = d ( 2 2 sin sin cos cos
sin x + cos x)
⇔ (a′ d )
2 x + b′ x
x + (c′ d ) 2 – sin sin cos –
cos x = 0 (2′)
Phương trình (2′) cũng là dạng ( )
1 , nên ta chỉ xét dạng ( )
1 . Nếu gặp dạng (2) thì ta đưa về dạng ( ) 1 như trên.
Sau đây là cách giải dạng ( ) 1 : cos x = 0
Nếu a = 0 và ,
b c ≠ 0 thì ( ) 1 ⇔ cos .
x (b sin x + c cos x) = 0 ⇔
b sin x + c cos x = 0 sin x = 0
Nếu c = 0 và ,
b a ≠ 0 thì ( ) 1 ⇔ sin .
x (a sin x + b cos x) = 0 ⇔
a sin x + b cos x = 0 Nếu , a , b c ≠ 0 :
Kiểm tra xem với cos x = 0 thì ( )
1 có thỏa hay không? ( cos x = 0 thì sin x = 1 ± ). Nếu π
thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x = + π k (k ∈ ℤ) . 2
Với cos x ≠ 0 , chia 2 vế của ( ) 1 cho 2
cos x , ta được phương trình: 2
a tan x + b tan x + c = 0 (1 ) ′
(1′) là phương trình bậc 2 theo tanx , ta đã biết cách giải (Xem phần 2). π Nghiệm của ( )
1 là nghiệm của (1′) và x =
+ kπ (nếu có). 2
Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa ( )
1 về dạng phương trình
bậc nhất theo sin 2x và cos 2x (Phần 3). Với: 1− cos 2x 1+ cos 2x 1 2 sin x = , 2 cos x = , sin . x cos x = sin 2x 2 2 2
☺ Phương trình đẳng cấp bậc 3: 3 2 2 3
a sin x + b sin x cos x + .
c sin x cos x + d cos x = 0
Giải tương tự như đẳng cấp bậc 2. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau: a) 2 2
2sin x − 5sin x cos x − cos x = 2 − b) 2 2
4sin x – 3 3 sin 2x – 2 cos x = 4 c) 2
3 sin 2x + 2cos x –1 = 0 d) 2 2
2 cos x + 3sin 2x – 8sin x = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 21 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 22 2
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 34. Giải các phương trình sau: a) 2 2
2sin x + sin x cos x – 3cos x = 0 b) 2 2
3sin x – 4 sin x cos x + 5 cos x = 2 1 c) 2 2
sin x + sin 2x – 2 cos x = d) 2 2
2 cos x + sin 2x – 4 sin x = –4 2 e) 2 2
sin x –10 sin x cos x + 21cos x = 0 f) 2
cos x – 3sin x cos x +1 = 0 g) 2 2
cos x – 3 sin 2x – sin x = 1 h) 2 2
2 cos x – 3sin x cos x + sin x = 0 i) 2 2
3sin x – 2 3 sin x cos x + cos x –1 = 0 j) 2 2
3cos x + sin x cos x + 2sin x = 2 k) 2 2
3cos x + 3sin x cos x + 2 sin x = 1 l) 2 2
3 cos x – sin 2x – 3 sin x = 1 m) 2
3 sin 2x + 2 cos x – 1 = 0 n) 2 2
2 cos x + 3sin 2x – 8sin x = 0
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 35. Giải các phương trình sau: a) 3 3
sin x + cos x = sin x + cos x b) 3 2 3
sin x + 2sin x cos x – 3cos x = 0 c) 4 2 2 4
3cos x − 4cos x sin x − sin x = 0 d) 3
sin x − 4sin x + cos x = 0 π e) 3 2 2 cos x −
− 3cos x − sin x = 0 4
Dạng 7. [NC] Phương trình đối xứng – Phản đối xứng
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: a (sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1) π
Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x + , Điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2 4 2 t −1 2
⇔ t = 1+ 2 sin x cos x ⇔ sin x cos x = 2 2 t − ( ) 1 1 ⇔ at + . b = c 2
⇔ bt + 2at – b – 2c = 0 (2) 2
Giải phương trình (2) , chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2 π
Giải phương trình sin x + = t để tìm x . 4 Dạng 2:
a (sin x – cos x ) + bsin x cos x = c ( ) 1 π
Đặt t = sin x – cos x = 2 sin x – , Điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2 4 2 1− t 2
⇔ t = 1− 2sin x cos x
⇔ sin x cos x = 2 2 1− t ( ) 1 ⇔ at + . b = c 2
⇔ bt − 2at – b + 2c = 0 (2) 2
Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2 π
Giải phương trình sin x − = t để tìm x . 4
Dạng 3: a sin x ± cos x + b sin x cos x = c ( ) 1 π
Đặt t = sin x ± cos x = 2 sin x ±
Điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2 4
Giải tương tự như trên. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 23 2 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:
a) 5sin 2x – 12 (sin x – cos x) +12 = 0
b) 3(sin x + cos x) – sin 2x – 3 = 0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 36. Giải các phương trình sau:
a) (cos x – sin x) + 2 sin 2x – 1 = 0
b) 2 sin x + cos x + 3sin 2x = 2
c) sin x – cos x + 4sin 2x = 1
d) tan x + cot x =
2 (sin x + cos x)
e) (1+ sin 2x)(cos x – sin x) = cos 2x
f) 2sin 4x + 3(sin 2x + cos 2x) + 3 = 0 1 1 10 π g) cos x + + sin x + =
h) sin 2x – 2 sin x + +1 = 0 cos x sin x 3 4
Dạng 8. [NC] Phương trình lượng giác không mẫu mực
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 A = 0
a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm: ⇔ A + B = 0 B = 0
A ≤ M ≤ B A = M
b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập: ⇔ A = B B = M
A ≤ M va B ≤ N A = M
c. Trường hợp 3: Sử dụng tính chất: ⇔
A + B = M + N B = N TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 24 2 s in u =1 s in u =1
• sin u + sin v = 2 ⇔
• sin u – sin v = 2 ⇔ s in v = 1 s in v = 1 − s in u = 1 − s in u = 1 −
• sin u + sin v = –2 ⇔
• sin u – sin v = –2 ⇔ s in v = 1 − s in v = 1 −
• Tương tự cho các trường hợp: cosu ± cos v = 2
± và cosu ± sin v = 2 ±
d. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất:
A ≤ M va B ≤ N A = M A = −M ⇔ ∨ .
A B = M .N B = N B = −N s in u = 1 s in u = 1 −
• sinu.sinv =1 ⇔ ∨ s in v = 1 s in v = 1 − s in u = 1 − s in u = 1
• sinu.sinv = –1 ⇔ ∨ s in v = 1 s in v = 1 −
• Tương tự cho các trường hợp: cosu.cos v = 1
± , sin u.cos v = 1
± , cosu.sin v = 1 ± . B. BÀI TẬP
Bài 37. Giải các phương trình sau: a) 2 2
sin 5x +1 = cos 3x b) 2 2
sin x – 2sin x + 2 = sin 3x
c) sin x + cos x = 2 (2 – sin 3x) d) 2 2
2 cos x = 3sin 5x + 2 e) ( x x)2 2 cos 4 – cos 2 = 4 + cos 3x
f) sin x + cos x = tan x + cot x g) cos 5 . x sin 3x = 1
h) sin 2x + sin 3x + sin 4x = 3
Dạng 9. Phương trình lượng giác có tham số A. BÀI TẬP
Bài 38. Tìm m để các phương trình sau:
a) msin x – 2m +1 = 0 có nghiệm
b) m cos x – 2m + 1 = (2m – ) 1 cos x có nghiệm
c) msin x +1 = 2(sin x + m) vô nghiệm d) 2 2 cos x – sin .
x cos x – 2sin x = m có nghiệm
e) (m + 2)sin x – 2m cos x = 2(m + ) 1 có nghiệm
f) m cos 2x + (m + )
1 sin 2x = m + 2 có nghiệm
g) sin x + m cos x = 1 vô nghiệm
h) (m + 2)sin x + m cos x = 2 vô nghiệm i) ( 2 m + ) 2
2 cos x – 2m sin 2x +1 = 0 có nghiệm
j) sin 2x – 4(cos x – sin x) = m có nghiệm
Bài 39. Xác định m để phương trình: 4 4
2(sin x + cos x) + cos 4x + 2sin 2x − m = 0 có ít nhất một π nghiệm thuộc đoạn 0 ; . 2 Bài 40.
2sin x + cos x +1 Cho phương trình: = a ( ) 1
sin x − 2cos x + 3 1
a) Giải phương trình (1) khi a =
b) Tìm a để phương trình ( ) 1 có nghiệm. 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 25 2 6 6 Bài 41. cos x + sin x Cho phương trình: = m tan 2x ( ) 1 2 2 cos x − sin x 13 a) Giải phương trình ( ) 1 khi m =
b) Tìm m để phương trình ( ) 1 vô nghiệm. 8
Dạng 10. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp biến đổi đưa về dạng cơ bản
Ví dụ 19. Giải phương trình 2 x x
a) sin + cos + 3 cos x = 2 . b) (2 cos x − )
1 (sin x + cos x) = 1. 2 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 26 2
2. Phương pháp biến đổi về dạng tích .
A B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0 .
Ví dụ 20. Giải phương trình π
a) sin 3x + 3 2 sin x +
= 2 + cos 2x + 3sin 2x . b) sin 2x − cos 2x = 2sin x −1. 4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. A = 0
3. Phương pháp biến đổi đưa về tổng hai bình phương 2 2
A + B = 0 ⇔ . B = 0
Ví dụ 21. Giải phương trình a) 2 2
3 tan x + 4sin x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0 . b) 2 2
4 cos x + 3 tan x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 27 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
4. Phương pháp đánh giá hai vế A = B A = M
● Phương pháp đối lập A ≥ M suy ra . B = M B ≤ M
A + B = M + N A = M
● Phương pháp phản chứng A ≤ M suy ra . B = N B ≤ N
Ví dụ 22. Giải phương trình
a) sin 3x (cos x − 2 sin 3x) + cos 3x (1+ sin x − 2 cos 3x) = 0 . b) (c x − x)2 os 2 cos 4 = 6 + 2sin 3x .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 28 2
Ví dụ 23. Giải phương trình a) 2010 2010 sin x + cos x = 1 . b) 8 11
sin x + cos x = 1 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 24. Giải phương trình π
a) cos x − 3 3 sin x = cos 7x . b) 2 2 5
tan x + cot x = 2 sin x + . 4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 29 2
Ví dụ 25. Giải phương trình a) 2 x + − x = ( 2 cos 3 2 cos 3 2 1+ sin 2x) . b) 2 2
sin x + 2 − sin x + sin x 2 − sin x = 3 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 26. Giải phương trình a) ( x − x + )3 6 sin 2 sin 3 1 = 162sin x − 27 b) 2 3 2 3
tan x + tan x + tan x + cot x + cot x + cot x = 6 .
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 30 3
Ví dụ 27. Giải phương trình a) 2 2
3cot x + 2 2 sin x = (2 + 3 2 )cos x .
b) sin 2x + cos 2x + tan x = 2 .
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
6. Phương pháp đổi biến số
Ví dụ 28. Giải phương trình π π a) 3 2 2 cos x −
− 3cos x − sin x = 0 . b) 3 8 cos x + = cos 3x . 4 3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 31 3
Ví dụ 29. Giải phương trình π a)
3 (sin 2x − cos x) + sin x − cos 2x = 2 .
b) sin 3x − 4 cos x − − 3 = 0 . 6
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
7. Phương pháp nhân – chia thêm bớt
Ví dụ 30. Giải phương trình 1 1
a) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = − . b) sin 3x ( 2 1− 4 sin x) = . 2 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 32 3
Ví dụ 31. Giải phương trình 5x x a) 3 sin = 5 cos x sin .
b) 2 cos 3x (2 cos 2x + ) 1 = 1. 2 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. B. BÀI TẬP
Bài 42. Giải các phương trình sau: a) 2 2 2
sin x + sin 2x = sin 3x b) 2 2 2 2
sin 4x + sin 3x + sin 2x + sin x = 2 c) 2 2 2 2
cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2 d) 2 2 2 2
sin x + sin 2x = cos 3x + cos 4x e) 2 2 2
2 cos x + 2 cos 2x + 2 cos 3x − 3 = cos 4x (2 sin 2x + ) 1
Bài 43. Giải các phương trình sau:
a) 4sin 3x + sin 5x – 2sin x cos 2x = 0
b) cos 2x – cos8x + cos 6x = 1
c) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0
d) sin 2x + cos 2x + sin 3x = cos3x e) sin 6 .
x sin 2x = sin 5 . x sin x f) cos8 .
x cos 5x = cos 7 . x cos 4x g) sin 7 .
x cos x = sin 5 . x cos 3x
h) sin 3x + sin 5x + sin 7x = 0
i) 1+ cos x + cos 2x + cos3x = 0 j) 3 + 2sin .
x sin 3x = 3cos 2 x
k) sin x + sin 2x + sin 3x = 1+ cos x + cos 2x + cos3x
l) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos3x
Bài 44. Giải các phương trình sau: a) 4 6
cos 2x + 4sin x = 8cos x
b) sin x = 2 sin 5x – cos x
c) tan x + cot 2x = 2 cot 4x d) 2
2cos x + sin10x = 1
e) tan x + tan 2x = sin 3 . x cos x
f) 5 tan x – 2 cot x = 3
g) (1 – tan x)(1+ sin 2x) = 1+ tan x h) 3
4sin x = sin x + cos x 1+ cos 2x sin 2x cos 2x i) =
j) sin x + cos x = cos x 1− cos 2x 1− sin 2x 1 1 2 3 − cos 6x k) + = l) 4 4 sin x + cos x = cos 2x sin 2x sin 4x 4 m) 2 2
2 tan x – 3tan x + 2cot x + 3cot x – 3 = 0 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 33 3
Phần 3 - BÀI TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ 1
Bài 45. Giải phương trình π 2π 2π 2π a) 2sin 3x − 3 = 0 . ĐS: x = + k ; x = + k , (k ∈ ℤ) 9 3 9 3 b) ( x + °) 2 cos 30 + 2 cos 15° = 1.
ĐS: x = 180° + k360° ; x = −240° + k360° , (k ∈ ℤ) x c) tan + 2 = 0 . ĐS: x = 2 arctan ( 2
− ) + k2π , (k ∈ ℤ) 2 π d) 2sin 2x − + 3 = 0 . ĐS: vn 3
Bài 46. Giải phương trình π 7π
a) 3 sin x + cos x = 2 . ĐS: x = + k 2π ; x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 12 12 π π
b) 3 cos x − sin x = 1. ĐS: x =
+ k 2π ; x = −
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 6 2 π
c) 3sin x + 4 cos x = 5 . ĐS: x =
− α + k 2π , (k ∈ ℤ) 2
d) 3sin x + 4 cos x = 6 . ĐS: vn
Bài 47. Giải phương trình π 2π π
a) 3 sin 3x + cos 3x = 2 cos 2x . ĐS: x = − k ; x =
− k 2π , (k ∈ ℤ) 15 5 3 π π π 2π −5π b) 3 cos x + − sin x − = 2sin 2x . ĐS: x = − + k ; x =
− k 2π , (k ∈ ℤ) 2 2 18 3 6
Bài 48. Giải phương trình π π 2π
a) cos 2x + 3 sin 2x = 3 cos x − sin x . ĐS: x = + k 2π ; x = + k , (k ∈ ℤ) 2 18 3 2π 2π
b) cos 2x + 3 sin 2x − 3 sin x − cos x = 0 .
ĐS: x = k 2π ; x = + k , (k ∈ ℤ) 9 3
c) cos 2x + 3 sin 2x + 3 sin x − cos x = 4 . ĐS: vn π π
d) cos 2x + 3 sin 2x + 3 sin x − cos x = 2 ĐS: x = + kπ ; x =
+ k 2π ; x = π + k 2π 6 3
Bài 49. Giải phương trình π π π π a) 2 2sin 2x − − 7sin 2x − + 3 = 0 . ĐS: x = + kπ ; x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 6 6 6 2 π π π 7π b) 2 2 cos
− x − 3 2 cos − x + 2 = 0 . ĐS: x = − k 2π ; x =
− k 2π , (k ∈ ℤ) 3 3 12 12 π π c) 2
tan x − (1+ 3) tan x + 3 = 0 . ĐS: x = + kπ ; x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 4 3 π π d) ( 6 6
4 sin x + cos x) − cos − 2x = 0 . ĐS: x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 2 4
Bài 50. Giải phương trình π π a) 2 x − ( + ) 2 sin
3 1 sin x cos x + 3 cos x = 0 . ĐS: x = + kπ ; x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 4 3 π 3 b) 2 2
3sin x + 5 cos x − 2 cos 2x − 4sin 2x = 0 . ĐS: x =
+ kπ ; x = arctan + kπ , (k ∈ ℤ) 4 5
Bài 51. Giải phương trình π a) 2 x − ( + ) 2 sin
3 1 sin x cos x + 3 cos x = 1 . ĐS: x =
+ kπ ; x = arctan (2 − 3) + kπ 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 34 3 b) 2 x − ( + ) 2 sin
3 1 sin x cos x + 3 cos x = 3 .
ĐS: x = kπ ; x = arctan (−2 − 3) + kπ π π c) 2 x + ( − ) x x + ( − ) 2 2sin 1 3 sin cos 1 3 cos x = 1 . ĐS: x = − + kπ ; x = + kπ 4 3 π d) 2 2
3 cos x + 2 sin x cos x − 3 sin x = 1 . ĐS: x =
+ kπ ; x = arctan (−2 + 3) + kπ 4
Bài 52. Giải phương trình π
a) (2 + 2)(sin x + cos x) − 2sin x cos x − 2 2 −1 = 0. ĐS: x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 4 3 π b) 3 3
1+ sin x + cos x = sin 2x . ĐS: x = −
+ k 2π ; x = π + k 2π , (k ∈ ℤ) 2 2 π c) sin 2x + 4 ( o
c s x − sin x) = 4 .
ĐS: x = k 2π ; x = −
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 2 π
d) sin x − cos x + 4 sin 2x = 1 . ĐS: x = k , (k ∈ ℤ) 2
Bài 53. Giải phương trình: π 5π
a) cos 2x + 3 cos x + 5sin x = 3 sin 2x + 3 . ĐS: x = + k 2π ; x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 6 6 π π b) 3 3 2
sin x + cos x + 2 cos x = 1. ĐS: x = − + kπ ; x = −
+ k 2π ; x = k 2π , (k ∈ ℤ) 4 2 π 2π 2π c) 2 2 2
4sin x +1 = 8sin x cos x + 4 cos 2x . ĐS: x = ± + k 2π ; x = ± + k , (k ∈ ℤ) 3 9 3 π π π π e) sin 3x −
= sin 2x sin x + . ĐS: x = +k , (k ∈ ℤ) 4 4 4 2 π 2π
f) sin 3x + sin 2x + sin x +1 = cos 3x + cos 2x − cos x . ĐS: x = −
+ kπ ; x = π + k 2π ; x = k 4 3 π π π 2π π 2π g) 2 2
sin 7x + sin 9x = 2 cos − x − cos + 2x . ĐS: x =
+ kπ ; x = k ; x = + k 4 4 2 5 11 11 π π 7π
h) cos 3x − 2 sin 2x − cos x − sin x −1 = 0 . ĐS: x = −
+ k 2π ; x = − + kπ ; x = + kπ 2 12 12 x π 3π π
i) 1+ sin x + cos x = 2 cos − . ĐS: x = + k 2π ; x = ±
+ k 4π , (k ∈ ℤ) 2 4 2 2 3π π j) 2 2 2 2 3sin x cos + x − sin
+ x cos x = sin x cos x − 3sin x cos x . 2 2 π π ĐS: x = − + kπ ; x = ± + kπ 4 6 π π 2π 4π π 2π k) 4sin x sin
+ x sin − x + 4 3 cos x cos + x cos
+ x = 2. ĐS: x = + k 3 3 3 3 18 3 π l) 3
6sin x − 2 cos x = 5sin 2x cos x . ĐS: x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 4 π 5π π m) 5 cos 2x + = 4sin − x − 9 . ĐS: x =
− k 2π , (k ∈ ℤ) 3 6 3 π 2π π π π 2π n) cos + 3x + cos
− 4x + cos x = 1.
ĐS: x = k 2π ; x = + k ; x = − + k 3 3 6 2 9 3 π 7π
o) sin 4x + cos 3x + cos x = 4 sin x + 2 ĐS: x = − + k 2π ; x =
+ k 2π ; x = k 2π 6 6 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 35 3 π π π π π
p) 2 cos 6x + 2 cos 4x − 3 cos 2x = sin 2x + 3 . ĐS: x = + kπ ; x = − k ; x = + k 2 18 3 6 2 π 2π
q) 1+ 3cos x + cos 2x − 2 cos 3x = 4 sin x sin 2x . ĐS: x = + kπ ; x = ± + k 2π 2 3 π r) 2
2 cos x + 2 3 sin x cos x +1 = 3sin x + 3 3 cos x . ĐS: x = −
+ kπ , (k ∈ ℤ) 3 π
s) 4sin 3x + sin 5x − 2 sin x cos 2x = 0 ĐS: x = k , (k ∈ ℤ) 3 π π π
t) cot ( 3 cos x + sin x) −1 = 0 . ĐS: x = + l2π ; x = −
+ l2π , (l ∈ ℤ) 4 2 6 1 u) 2
sin 2x + cos 2x + 1 = (3cos x − 2)( 2 sin x + 2) .
ĐS: x = k 2π , (k ∈ ℤ) 4 π v) 2
2sin x − 2 3 sin x cos x +1 = 3(cos x − 3 sin x) . ĐS: x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 6 π π π w) 2 (2sin x − ) 1 = 4 (sin x − ) 1 − cos 2x + − sin 2x + ĐS: x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 4 4 2 π π 2π x) 2
2 cos 3x + 2 sin x = 1+ sin 2x . ĐS: x = − + k 2π ; x = + k , (k ∈ ℤ) 4 20 5 π π π y) 2
2sin x + sin 2x = 2 2 sin x sin 3x + .
ĐS: x = kπ ; x = + k , (k ∈ ℤ) 4 8 2 5π π 3π z) 2 2 cos
− x sin x = 1. ĐS: x = + kπ ; x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) 12 6 4
Bài 54. Giải phương trình:
sin 2x + 3 cos 2x π a) = 1 . ĐS: x = −
+ kπ , (k ∈ ℤ) 2 2 sin x − 3cos x 4
2 cos 2x − sin 2x −1 π 5π b)
−1 = 2sin 2x − + sin x + cos x . ĐS: x = kπ ; x = −
+ k 2π , (k ∈ ℤ) sin x + cos x 6 6 x 1+ cos 3x π π π π c) cot − = 2sin 3x + . ĐS: x = − − kπ ; x = + k , (k ∈ ℤ) 2 sin 2x − sin x 3 6 6 2 1 π
d) 7 tan x + cot x = 2 3 3 + . ĐS: x =
+ kπ , (k ∈ ℤ) sin 2x 3 π 1 1
e) ( tan x cot 2x − ) 1 sin 4x + = − ( 4 4
sin x + cos x) ĐS: x = ±
arccos (3 − 14 ) + kπ , 2 2 2 (k ∈ℤ)
tan x cos 3x + 2 cos 2x −1 π 7π f)
= 3 (sin 2x + cos x) . ĐS: x = − + k 2π ; x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 1− 2 sin x 6 6 x g) ( x − x) sin 3 sin 2 cos 2 tan x +
= sin x + cos x . cos x π π 5π ĐS: x = − + kπ ; x = + k 2π ; x = + k 2π 4 6 6 h) 2
tan 3x tan 5x + 2 tan 3x − tan 5x = 0 .
ĐS: x = kπ , (k ∈ ℤ) π i) sin
+ 2x cot 3x + sin (π + 2x) − 2 cos 5x = 0 . 2 π π π 2π π 2π ĐS: x = + k ; x = + k ; x = + k 10 5 12 3 4 3 sin x + cos x π j)
+ 2 tan 2x + cos 2x = 0 . ĐS: x = k , (k ∈ ℤ) sin x − cos x 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 36 3 π π π k) 2 2 2sin x −
= 2sin x − tan x . ĐS: x = + k , (k ∈ ℤ) 4 4 2 1 2π 2π 2π l) cos 3x + = 1+ 4 cos x + cos x −
ĐS: x = k 2π ; x = k , (k ∈ ℤ) cos x 3 3 3 m) ( 6 6
16 sin x cos x) 3sin 4x 2
2 (1 tan x tan 2x) + − + + = 10 . π π 3π ĐS: x = − k ; x = − − kπ 24 3 8 π 1 1
n) ( tan x cot 2x − ) 1 sin 4x + = − ( 4 4
sin x + cos x) .
ĐS: x = ± arccos (3− 14) + kπ 2 2 2 ( x π 3 − 2) 2 cos x − 2sin − 2 4 π o) = 1. ĐS: x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) x 2 6 4sin −1 2
sin 3x − cos 3x π 5π p) 7
− cos x = 4 − cos 2x . ĐS: x = + k 2π ; x =
+ k 2π , (k ∈ ℤ) 2sin 2x −1 6 6 sin 2x 1 π 5π 11π q) + = 2 cos x . ĐS: x =
+ k 2π ; x = − + k 2π ; x = + k 2π sin x + cos x 2 tan x 4 12 12
3( tan x + sin x) 2π r)
− 2 cos x (1+ cos x) 2 = 2sin x . ĐS: x = ±
+ k 2π , (k ∈ ℤ) tan x − sin x 3
Bài 55. Cho phương trình ( x + )( x − m x) 2 cos 1 cos 2 cos
= m sin x . Tìm m để phương trình có đúng hai 2π nghiệm trên 0; . ĐS: 1
− < m ≤ −1/2 3
Bài 56. Tìm m để phương trình (m + 2)sin x + m cos x = 2 có nghiệm.
ĐS: m ≤ −2 hoặc m ≥ 0
Bài 57. Tìm m để phương trình ( m − )
2 x − ( m − ) x + ( m + ) 2 3 2 sin 5 2 sin 2 3 2
1 cos x = 0 vô nghiệm.
ĐS: m ≤ 1 hoặc m ≥ 10/7
Bài 58. Cho phương trình m(sin x + cos x + )
1 = 1+ sin 2x . Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc π đ 1 2 oạn 0; . ĐS: ≤ m ≤ 2 2 2 +1 2 3 Bài 59.
cos x − cos x −1 Giải phương trình 2
cos 2x − tan x =
và tính tổng các nghiệm trên đoạn 2 cos x
[2000;2015] của phương trình đó. ĐS: 5751π
Bài 60. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π ) của phương trình
ĐS: x = π /3; x = 4π /3 x ( x + ) 3 sin 2 cos
3 − 2 3 cos x − 3 3 cos 2x + 8( 3 cos x − sin x) = 3 3 . π π π Bài 61. 5 7 Tìm nghiệm thuộc đoạn ; 2π
của phương trình sin 2x + − 3cos x − = 1+ 2sin x . 2 2 2
ĐS: x = 5π /6 ; x = π ; x = 2π π
Bài 62. Tìm nghiệm thuộc nửa khoảng ;π của phương trình
ĐS: x = 3π /4 ; x = 5π /6 6 3 3 2
cos x − 4 sin x − 3cos x sin x + sin x = 0 . π Bài 63. 2
Tìm nghiệm thuộc nửa khoảng π − ; của phương trình 3 1
2 tan x + cot 2x = 2sin 2x + .
ĐS: x = −2π/3; x = π − /3 ; x = π /3 sin 2x GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 37 3
Phần 4 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ-THPTQG
Dạng1. Côngthứclượnggiác Bài 64. 2
Tính giá trị của biểu thức P = (1− 3cos 2α ) (2 + 3cos 2α ) biết sinα = . 3 THPT Quốc gia 2015 ĐS: P = 14/9 Bài 65. 2
Tính giá trị của biểu thức 4 4
P = sin α + cos α biết sin 2α = 3 .
THPT Quốc gia 2015 – Đề dự bị ĐS: P = 7/9 Bài 66. π 3 tanα
Cho góc α thỏa mãn < α < π và sinα = . Tính A = . 2 5 2 1+ tan α
THPT Quốc gia 2015 – Đề minh họa ĐS: A = – 12/25 Bài 67. 3π 2 cot α Cho góc α thỏa mãn < α < 2π và cosα = . Tính A = . 2 3 2 1+ cot α
THPT Quốc gia 2015 – Đề minh họa
ĐS: A = −2 5 / 9 π π π Bài 68. 4 Cho cosα = , −
< α < 0 . Tính giá trị của biểu thức A = sin α − cos α + . 5 2 4 4
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Thủ Đức ĐS: A = – 49/50 π π Bài 69. 3 3 Cho cos x = − , π < x <
. Tính giá trị của biểu thức A = sin x − . 5 2 6
Thi thử THPTQG 2015 – SGDĐT Cần Thơ
ĐS: A = (3 − 4 3) /10 π π Bài 70. 7 Cho (π +α ) 1 sin = − ,
< α < π . Tính giá trị của biểu thức A = tan −α . 3 2 2
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Hai Bà Trưng, Huế
ĐS: A = −2 2 π π Bài 71. π
Cho góc α thỏa mãn < α < 2π và tan α + = 1. Tính A = cosα − + sinα . 2 4 6
Thi thử THPTQG 2015 – THPT Hùng Vương, Phú Thọ
ĐS: A = − 3 / 2 π Bài 72. 7
Biết rằng số thực α ∈ π − ; − sin 2α = . 2 và thỏa mãn 9
Tính giá trị của biểu thức 2 2 A =
cos α − 4 cosα + 4 + sin α − 4 sinα + 4 .
Thi thử THPTQG 2015 – THPT chuyên ĐH Vinh lần 3 ĐS: A = 16/3 Bài 73. π 5
Cho góc α thỏa mãn 0 < α < và sinα + cosα = . Tính sinα − cosα . 4 2
Thi thử THPTQG 2015 – SGDĐT Quảng Nam
ĐS: A = − 3 / 2 Bài 74. π 3π Cho 0 < x < và x − y =
. Tính giá trị của biểu thức A = (1− tan x) (1+ tan y) . 4 4
Thi thử THPTQG 2015 – SGDĐT Vĩnh Long ĐS: A = 2 Bài 75. π 2 sin α + 3cosα Cho tan α = 2 − và
< α < π . Tính giá trị của biểu thức A = . 2 5cosα − 7 sinα
Thi thử THPTQG 2015 – THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2
ĐS: A = −1/19 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 38 3
Dạng2. Đưavềphươngtrìnhtích
Bài 76. Giải phương trình: sin 2x = 3 sin x π ĐH Mở TpHCM
ĐS: x = kπ ∨ x = ± + k 2π 6 Bài 77. 2
Giải phương trình: 2 tan x + cot x = 3 + sin 2x
ĐH Ngoại Thương - 97
ĐS: x = π/3 + kπ
Bài 78. Giải phương trình: ( x − ) ( x + ) 2 2sin 1 2 sin 2 1 = 3 − 4 cos x π 5π π THKT Y Tế - 97
ĐS: x = kπ ∨ x = + k 2π ∨ x =
+ k 2π ∨ x = ± + k 2π 6 6 3
Bài 79. Giải phương trình: tan x + cot x = 4 π 5π ĐH An Ninh - 97 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 12 12
Bài 80. Giải phương trình: (1+ sin 2x)(cos x − sin x) = cos 2x π π π
ĐH DL NN TH TpHCM - 98 ĐS: x = + k ∨ x =
+ k 2π ∨ x = k 2π 4 2 2
Bài 81. Giải phương trình: x + ( x + x)3 2 cos 2 2 sin cos − 3sin 2x − 3 = 0 π π
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 99 ĐS: x = − + kπ ∨ x =
+ k 2π ∨ x = k 2π 4 2
Bài 82. Giải phương trình: ( x + )( x − x) 2 cos 1 cos 2 2 cos = 2 − sin x
ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 99
ĐS: x = π + k2π
Bài 83. Giải phương trình: 2
s in5x + sin 9x + 2 sin x = 1 π π π 2π 5π 2π
ĐH DL NN TH TpHCM - 99 ĐS: x = + k ∨ x = + k ∨ x = + k 4 2 42 7 42 7 Bài 84. sin . x cot 5x Giải phương trình: = 1 cos 9x ĐH Huế - 99 ĐS: x = π/20 + π k /10
Bài 85. Giải phương trình: x ( x + x) 2 sin 2 cot tan 2 = 4 cos x π π π
ĐH Mỏ - Địa chất HN - 00 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 12 6 3
Bài 86. Giải phương trình: ( x + )( x + x − ) 2 2sin 1 3cos 4 2 sin 4 + 4 cos x = 3 π π 7π ĐH Hàng Hải - 00 ĐS: x = k ∨ x = − + k 2π ∨ x = + k 2π 2 6 6 Bài 87. 1+ cos x Giải phương trình: 2 tan x = cos x π ĐH Đà Nẵng - 01
ĐS: x = π + k2π ∨ x = ± + k 2π 3
Bài 88. Giải phương trình: sin 2 .
x sin x = 3 sin 2 . x cos x kπ π ĐH DL Duy Tân - 01 ĐS: x = ∨ x = + kπ 2 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 39 3
Bài 89. Giải phương trình: 3sin x + 2cos x = 2 + 3tan x 2 HV Quân Y - 01
ĐS: x = k 2π ∨ x = − arctan + kπ 3
Bài 90. Tìm nghiệm thuộc đoạn [0;14] của phương trình: cos3x − 4cos 2x + 3cos x − 4 = 0 π 3π 5π 7π ĐH Khối D - 02 ĐS: x = ∨ x = ∨ x = ∨ x = 2 2 2 2 Bài 91. x Giải phương trình: 2
tan x + cos x − cos x = sin x 1+ tan . x tan 2
Dự bị ĐH Khối B - 02
ĐS: x = k 2π ( 2
2 − sin 2x)sin 3x
Bài 92. Giải phương trình: 4 tan x +1 = 4 cos x π 2π 5π 2π
Dự bị ĐH Khối B - 02 ĐS: x = + k ∨ x = + k 18 3 18 3
Bài 93. Giải phương trình: 3− tan x(tan x + 2sin x) + 6cos x = 0 π
Dự bị ĐH Khối A - 03 ĐS: x = ± + kπ 3 2
cos x (cos x − ) 1
Bài 94. Giải phương trình: = 2(1+ sin x) sin x + cos x π
Dự bị ĐH Khối D - 03 ĐS: x = −
+ k 2π ∨ x = π + k 2π 2 π Bài 95. 1 1
Giải phương trình: 2 2 cos x + + = 4 sin x cos x π
Dự bị ĐH Khối B - 04 ĐS: x = ± + kπ 4
Bài 96. Giải phương trình: (2sin x − )
1 (2 cos x + sin x) = sin 2x − cos x π 5π π
CĐ Điều Dưỡng - 04 ĐS: x = + k 2π ∨ x =
+ k 2π ∨ x = − + kπ 6 6 4
Bài 97. Giải phương trình: 2 2
4 cos x − 2 cos 2x = 1+ cos 4x π 2π CĐ SP Ninh Bình - 04
ĐS: x = π + kπ ∨ x = − + k 3 3 π
Bài 98. Giải phương trình: 2 2 2sin x −
= 2sin x − tan x 4 π π CĐ SP Bắc Ninh - 04 ĐS: x = + k 4 2
Bài 99. Giải phương trình: ( x − ) ( x + x + ) 2 2sin 1 2 cos 2 2 sin 3 = 4sin x −1 π 5π π CĐ GTVT III - 04 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + kπ 6 6 2
Bài 100. Giải phương trình: 2 4 cos .
x sin x + cos 2x = 2 cos x (sin x + cos x) −1
CĐ KTKH Đà Nẵng - 04 ĐS: x = π k /2
Bài 101. Giải phương trình: (2cos x − )
1 (2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x π π ĐH Khối D - 04 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + k 2π 4 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 40 4 π Bài 102. 3 sin x
Giải phương trình: tan − x + = 2 2 1+ cos x π 5π
Dự bị ĐH Khối D - 05 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6
Bài 103. Giải phương trình: sin 2x + cos 2x + 3sin x − cos x − 2 = 0 π π 5π
Dự bị ĐH Khối D – 05 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = π + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2π 2 6 6 Bài 104. x
Giải phương trình: cot x + sin x 1+ tan . x tan = 4 2 π 5π ĐH Khối B - 06 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 12 12
Bài 105. Giải phương trình: ( 2 x − ) 2 x + ( 2 2sin 1 tan 2 3 2 cos x − ) 1 = 0 π π
Dự bị ĐH Khối B - 06 ĐS: x = ± + k 6 2
Bài 106. Giải phương trình: cos 2x + (1+ 2cos x)(sin x − cos x) = 0 π π
Dự bị ĐH Khối B - 06 ĐS: x = + kπ ∨ x =
+ k 2π ∨ x = π + k 2π 4 2
Bài 107. Giải phương trình: 3 3 2
cos x + sin x + 2 sin x = 1 π π
Dự bị ĐH Khối D - 06 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = k 2π ∨ x = − + k 2π 4 2 4 x 4 x cos − sin Bài 108. 2 2 1+ sin 2x Giải phương trình: = sin 2x π 2 2 sin x + 4 π 5π
CĐ Xây Dựng số 3 - 06 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6 Bài 109. 1 Giải phương trình: cos . x cos 2 . x sin 3x = sin 2x 4 π π
CĐ Tài Chính Hải Quan - 07 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = k 2 5 π Bài 110. 1 1 Giải phương trình: + = 2 sin x + cos x sin x 4
CĐ Công Nghệ Thực Phẩm - 07
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 111. Giải phương trình: 1+ sin x + cos x + tan x = 0 π
Hệ CĐ – ĐH Sài Gòn Khối B - 07 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = π + k 2π 4
Bài 112. Giải phương trình: (1− tan x)(1+ sin 2x) =1+ tan x
Dự bị ĐH Khối D - 07
ĐS: x = kπ ∨ x = −π/4 + kπ
Bài 113. Giải phương trình: sin 2x + cos 2x + 3sin x − cos x − 2 = 0 π 5π π CĐSP TW - 07 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x =
+ k 2π ∨ x = π + k 2π 6 6 2
Bài 114. Giải phương trình: 2sin x(1+ cos 2x) + sin 2x = 1+ 2cos x π 2π ĐH Khối D - 08 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 2π 4 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 41 4 Bài 115. x Giải phương trình: 2
3sin x + cos 2x + sin 2x = 4sin x cos 2 π π 7π
Dự bị ĐH Khối B - 08 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = − + k 2π ∨ x = + k 2π 2 6 6
Bài 116. Giải phương trình: 2
tan x = cot x + 4 cos 2x π π π π
Dự bị ĐH Khối A - 08 ĐS: x = + k ∨ x = − + k 4 2 8 2 π π Bài 117. 2
Giải phương trình: sin 2x − = sin x − + 4 4 2 π π
Dự bị ĐH Khối A - 08 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 2π 4 3 π π Bài 118. 1
Giải phương trình: 2sin x + − sin 2x − = 3 6 2 π π
Dự bị ĐH Khối B - 08 ĐS: x = − + kπ ∨ x = + k 2π 3 2 2 + π Bài 119. tan x tan x 2 Giải phương trình: = sin x + 2 tan x +1 2 4 π π 5π
Dự bị ĐH Khối D - 08 ĐS: x = − + kπ ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2π 4 6 6
Bài 120. Giải phương trình: ( + x)2 1 2sin
cos x = 1+ sin x + cos x π π 5π CĐ Khối A,B,D - 09 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + kπ ∨ x = + kπ 2 12 12
Bài 121. Giải phương trình: (sin2x + cos 2x)cos x + 2cos 2x − sin x = 0 ĐH Khối B - 10 ĐS: x = π/4 + π k /2
Bài 122. Giải phương trình: sin2x − cos 2x + 3sin x − cos x −1 = 0 π 5π ĐH Khối D - 10 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6 Bài 123.
1+ s in2x + cos 2x Giải phương trình: = 2 sin x sin 2x 2 1+ cot x π π ĐH Khối A - 11 ĐS: x = + kπ ∨ x = + k 2π 2 4
Bài 124. Giải phương trình: sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x π π 2π ĐH Khối B - 11 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2 3 3 Bài 125.
s in2x + 2 cos x − sin x −1 Giải phương trình: = 0 tan x + 3 ĐH Khối D - 11
ĐS: x = π/3 + k2π
Bài 126. Giải phương trình: 2cos 2x + sin x = sin 3x . π π π
CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS: x = + k ∨ x = + k 2π 4 2 2 π
Bài 127. Giải phương trình: 1+ tan x = 2 2 sin x + 4 π π ĐH Khối A, A1 - 13 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + k 2π 4 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 42 4 π
Bài 128. Giải phương trình: cos − x + sin 2x = 0 2 2π
CĐ Khối A, A1, B, D - 13
ĐS: x = π + k2π ∨ x = k 3
Bài 129. Giải phương trình: sin x + 4cos x = 2 + sin 2x π ĐH Khối A, A1 - 14 ĐS: x = ± + k 2π 3
Bài 130. Giải phương trình: 2 (sin x − 2cos x) = 2 − sin 2 x 3π ĐH Khối B - 14 ĐS: x = ± + k 2π 4
Dạng3. Biếnđổitổngthànhtích-tíchthànhtổng π
Bài 131. Giải phương trình: ( x + π ) 51 sin 2 50 + cos 3x + = sin x 2 π
CĐSP Thái Bình Khối D - 99
ĐS: x = kπ ∨ x = ± + k 2π 3
Bài 132. Giải phương trình: sin x + sin2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos3x π π 2π
ĐH Ngoại Thương - 99 ĐS: x = + k ∨ x = ± + k 2π 8 2 3
Bài 133. Giải phương trình: 1+ cos 2x + cos3x = 2cos . x cos 2x π π ĐH Đà Nẵng - 99 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 2π 2 3
Bài 134. Giải phương trình: 3cos x + cos2x − cos3x +1= 2sin .xsin 2x π ĐH Tây Nguyên - 99 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = π + k 2π 2
Bài 135. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos3x + cos 4x = 0 π π 2π ĐH Lâm Nghiệp - 99 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = π + k 2π ∨ x = + k 2 5 5
Bài 136. Giải phương trình: sin x + cos 2x − cos 4x = 0 π 2π 7π 2π
ĐH Mỹ Thuật CN - 99
ĐS: x = kπ ∨ x = − + k ∨ x = + k 18 3 18 3
Bài 137. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 π 2π
PV Ngân Hàng TpHCM - 01 ĐS: x = k ∨ x = ± + k 2π 2 3
Bài 138. Giải phương trình: 1+ sin x + cos3x = cos x + sin 2x + cos 2x π 7π π
ĐH Ngoại Thương - 01
ĐS: x = kπ ∨ x = − + k 2π ∨ x =
+ k 2π ∨ x = ± + k 2π 6 6 3
Bài 139. Giải phương trình: 1+ cos x + cos 2x + cos3x = 0 π π
ĐH Nông Lâm TpHCM - 01 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = π + k 2π ∨ x = ± + k 2π 2 3
Bài 140. Giải phương trình: 2sin .
x cos 2x + sin 2 .
x cos x = sin 4 . x cos x
Dự bị ĐH Khối D - 04 ĐS: x = π k /3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 43 4
Bài 141. Giải phương trình: 2 sin 4 .
x sin 2x + sin 9 .
x sin 3x = cos x π π
CĐ Lương Thực Thực Phẩm - 04 ĐS: x = + k 12 6
Bài 142. Giải phương trình: cos .
x cos 7x = cos 3 . x cos 5x
CĐ KT Kỹ Thuật 1 - 04 ĐS: x = π k /4
Bài 143. Giải phương trình: 1+ sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 π 2π ĐH Khối B - 05 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + k 2π 4 3
Bài 144. Giải phương trình: cos x + cos3x = sin 4x π 2π π π π CĐ Kinh Tế CN - 06 ĐS: x = + k ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 6 3 2 4 2 Bài 145. 7x 3x x 5x Giải phương trình: sin .cos + sin .cos + sin 2 . x cos 7x = 0 2 2 2 2 π
CĐ Bán công Hoa Sen - 06 ĐS: x = k 6
Bài 146. Giải phương trình: cos3x + cos 2x − cos x −1 = 0 2π ĐH Khối D - 06
ĐS: x = kπ ∨ x = k 3 π π Bài 147. 5x x 3x
Giải phương trình: sin − − cos − = 2 cos 2 4 2 4 2 π 2π π
Dự bị ĐH Khối B - 07 ĐS: x = + k ∨ x =
+ k 2π ∨ x = π + k 2π 3 3 2 π
Bài 148. Giải phương trình: 2 2 sin x − cos x = 1 12 π π
Dự bị ĐH Khối D - 07 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 4 3 Bài 149. 1+ cos 8x
Giải phương trình: sin 2 .
x sin x + cos 5 . x cos 2x = 2 π π 2π
CĐ Kinh Tế TpHCM - 07 ĐS: x = + k
∨ x = k 2π ∨ x = k 8 4 7
Bài 150. Giải phương trình: cos3 .
x tan 5x = sin 7x π π
CĐ Kinh Tế Công Nghệ TpHCM - 07 ĐS: x = + k
∨ x = kπ 20 10
Bài 151. Giải phương trình: 2
2sin 2x + sin 7x −1 = sin x π π π 2π 5π 2π ĐH Khối B - 07 ĐS: x = + k ∨ x = + k ∨ x = + k 8 4 18 3 18 3
Bài 152. Giải phương trình: 2cos 2x + sin x = sin 3x . π π π
CĐ Khối A, A1, B, D - 12 ĐS: x = + k ∨ x = + k 2π 4 2 2
Bài 153. Giải phương trình: sin 3x + cos 2x − sin x = 0 π π π 7π ĐH Khối D - 13 ĐS: x = + k ∨ x = − + k 2π ∨ x = + k 2π 4 2 6 6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 44 4
Dạng4. Phươngtrìnhbậc2-bậc3 x ( x + ) 2 cos 2 sin 3 2 − 2 cos x −1
Bài 154. Giải phương trình: = 1 1+ s in2x π
ĐH Quốc gia TpHCM khối D - 96 ĐS: x = + k 2π 4 Bài 155. 1 Giải phương trình: 4 4 2
sin x + cos x − cos 2x + sin 2x = 2 4 π HV Hàng không - 97 ĐS: x = + kπ 2
Bài 156. Giải phương trình: 5 5 2 4 cos . x sin x − 4sin .
x cos x = sin 4x + m (1)
a. Biết rằng x = π là một nghiệm của (1). Hãy giải phương trình (1) trong trường hợp đó. π b. Cho biết x = −
là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình (1) 8 thỏa mãn: 4 2
x − 3x + 2 < 0 π π π 3π ĐH QG TpHCM - 97 ĐS: a. x = k ∨ x = + k ; b. x = 4 8 2 8 π
Bài 157. Giải phương trình: 3 sin x − = 2 sin x 4
ĐH Quốc gia TpHCM khối A – 98. ĐHSP Hải Phòng - 01
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 158. Giải phương trình: cos .
x cos 4x + cos 2 . x cos 3x = 0 π 1 1± 17
ĐH Ngoại Thương - 98 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = ± arccos + kπ 2 2 8
Bài 159. Giải phương trình: 2 2
cos 7x + sin 2x = cos 2x − cos x π π π 2π ĐH Hàng Hải - 98 ĐS: x = + k ∨ x = ± + k 8 4 9 3
Bài 160. Giải phương trình: 4 2 2 4 3cos x − 4 cos .
x sin x + sin x = 0 π π π 2π ĐH QG - 98 ĐS: x = + k ∨ x = + kπ ∨ x = + kπ 4 2 3 3
Bài 161. Giải phương trình: 2
2sin x − s inx −1 = 0 π π 7π CĐBC Marketing - 99 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = − + k 2π ∨ x = + k 2π 2 6 6
Bài 162. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: 2
1− 5sin x + 2 cos x = 0 thỏa điều kiện cos x ≥ 0 .
ĐH Cảng sát Nhân Dân - 99
ĐS: x = π/6 + k2π Bài 163. 1 Giải phương trình: 2
cos x − 2 sin x + = 0 4 π 5π ĐHDL Duy Tân - 99 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6
Bài 164. Giải phương trình: cos 4x + 5sin 2x − 3 = 0 π 5π CĐBC Marketing - 99 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 12 12 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 45 4 Bài 165. 4 Giải phương trình: +13cos x + 9 = 0 2 1+ tan x
CĐSP Quảng Ninh - 99
ĐS: x = π + k2π
Bài 166. Giải phương trình: 3(tan x + cot x) = 2(2 + sin 2x) ĐH Cần Thơ - 99
ĐS: x = π/4 + kπ
Bài 167. Giải phương trình: sin 3x + sin 2x = 5sin x
ĐHDL Hồng Đức - 99
ĐS: x = kπ
Bài 168. Giải phương trình: 4(sin 3x − cos 2x) = 5(sin x − ) 1 π 1 1 ĐH Luật HN - 99 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = − arcsin
+ k 2π ∨ x = π + arcsin + k 2π 2 4 4
Bài 169. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sin x + cos x = 0 π π
ĐH Huế Khối D - 99 ĐS: x = − + k 6 2 2 3 Bài 170.
cos x − cos x −1 Giải phương trình: 2
cos 2x − tan x = 2 cos x
a) Giải phương trình trên.
b) Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình thỏa mãn: 0 ≤ x ≤ 99 π 2209π ĐH Thái Nguyên - 99
ĐS: a. x = π + k2π ∨ x = ± + k 2π ; b. 3 3 Bài 171. 3
Giải phương trình: tan 2x + sin 2x = cot x 2 π π ĐH Thủy Lợi - 99 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + kπ 2 6
Bài 172. Giải phương trình: 2 2
4sin x + 3 tan x = 1 1
ĐHDL Hồng Đức - 99
ĐS: x = ± arccos( 3 −1) + kπ 2 π π Bài 173. 3 x
Giải phương trình: sin + x = 2sin − 5 5 2 2π HV Quân Y - 99 ĐS: x = + k 2π 5
Bài 174. Giải phương trình: 3 tan x +1(sin x + 2cos x) = 5(sin x + 3cos x) ĐH QG - 99
ĐS: x = arctan 3 + kπ π
Bài 175. Giải phương trình: 3 8 cos x + = cos 3x 3 π 2π ĐHQG HN - 99
ĐS: x = kπ ∨ x =
+ kπ ∨ x = − + kπ 6 3 π
Bài 176. Giải phương trình: 3 tan x − = tan x −1 4 π HV CN BCVT - 99
ĐS: x = kπ ∨ x = + kπ 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 46 4 π π
Bài 177. Giải phương trình: sin 3x − = sin 2 . x sin x + 4 4 π π HV CN BCVT - 00 ĐS: x = + k 4 2 Bài 178. 11 Giải phương trình: 2 2 2
tan x + cot x + cot 2x = 3 π π
PV Ngân Hàng TpHCM - 00 ĐS: x = ± + k 6 2 Bài 179. sin 3x sin 5x Giải phương trình: = 3 5 1 2
ĐH Thủy Lợi HN - 00
ĐS: x = kπ ∨ x = ± arccos − + kπ 2 3
Bài 180. Giải phương trình: sin 3x + cos3x + 2cos x = 0 HV Ngân Hàng - 00
ĐS: x = ±π/3 + kπ ∨ x = −π/4 + kπ
Bài 181. Giải phương trình: 1+ 3tan x = 2sin 2x ĐHQG HN Khối D - 00
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 182. Giải phương trình: 2 2 2
6sin x − sin 2x = 3cos 2x π
ĐHQG TpHCM khối D - 00 ĐS: x = ± + kπ 6 π Bài 183. x x x Giải phương trình: 2 2 sin sin x − cos sin x +1 = 2 cos − 2 2 4 2 ĐHSP TpHCM - 00
ĐS: x = kπ
Bài 184. Giải phương trình: 3 2
4 cos 2x + 6 sin x = 3 π π
ĐHDL Hải Phòng - 00 ĐS: x = + k 12 6
Bài 185. Giải phương trình: 3
4 cos x + 3 2 sin 2x = 8 cos x π π 3π ĐH SP Hà Nội - 00 ĐS: x = + kπ ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2π 2 4 4
Bài 186. Giải phương trình: 3
2 cos x + sin x cos x +1 = 2(sin x + cos x) π 5π
ĐHDL Phương Đông - 00 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6 3(sin x + tan x)
Bài 187. Giải phương trình: − 2 cos x = 2 tan x − sin x 2π
ĐH Tài Chính Kế Toán HN - 00 ĐS: x = ± + k 2π 3 Bài 188. 1
Giải phương trình: 2 cos 2x − 8cos x + 7 = cos x π
ĐH Ngoại Ngữ - 00; CĐSP Nha Trang - 02
ĐS: x = k 2π ∨ x = ± + k 2π 3 π π
Bài 189. Giải phương trình: cos 2x + + cos 2x − + 4sin x = 2 + 2 (1− sin x) 4 4 π 5π ĐH Hàng Hải - 01 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 47 4
Bài 190. Giải phương trình: 2 2
3cot x + 2 2 sin x = (2 + 3 2 )cos x π π
HV Kỹ Thuật Quân sự - 01 ĐS: x = ±
+ k 2π ∨ x = ± + k 2π 4 3
Bài 191. Giải phương trình: tan x + 2cot 2x = sin 2x π π ĐH SP Hà Nội - 01 ĐS: x = + k 4 2
cos x (cos x + 2sin x) + 3sin x (sin x + 2 )
Bài 192. Giải phương trình: = 1 sin 2x −1 π ĐH Thủy Sản - 01 ĐS: x = − + k 2π 4 Bài 193. 2 Giải phương trình: 2
+ 2 tan x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0 2 sin x
ĐH Thương Mại - 01
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 194. Giải phương trình: sin 2x + 2 tan x = 3 ĐH Bách Khoa - 01
ĐS: x = π/4 + kπ π π Bài 195. 3 x 1 3x
Giải phương trình: sin − = sin + 10 2 2 10 2 3π 4π 14π ĐH Thủy Lợi - 01 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2π 5 15 15 Bài 196. cos 3x + sin 3x
Tìm nghiệm thuộc (0 ; 2π) của phương trình: 5sin x + = cos 2x + 3 1+ 2 sin 2x π 5π ĐH Khối A - 02 ĐS: x = ∨ x = 3 3 2 2 Bài 197.
4 sin 2x + 6 sin x − 9 − 3cos 2x Giải phương trình: = 0 cos x π
CĐ KTKT Hải Dương - 02 ĐS: x = ± + kπ 3 4 4 Bài 198. sin x + cos x 1 1 Giải phương trình: = cot 2x − 5sin 2x 2 8sin 2x π
Dự bị ĐH Khối A - 02 ĐS: x = ± + kπ 6
Bài 199. Giải phương trình: 6 2
3cos 4x − 8 cos x + 2 cos x + 3 = 0 π π
Dự bị ĐH Khối B - 03 ĐS: x = + k
∨ x = kπ 4 2 Bài 200. 2 cos 4x
Giải phương trình: cot x = tan x + sin 2x π
Dự bị ĐH Khối D - 03 ĐS: x = ± + kπ 3
Bài 201. Giải phương trình: x + x ( 2 cos 2 cos 2 tan x − ) 1 = 2 π
Dự bị ĐH Khối A - 03 ĐS: x = ±
+ k 2π ∨ x = π + k 2π 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 48 4 Bài 202. 2
Giải phương trình: cot x − tan x + 4sin 2x = sin 2x π ĐH Khối B - 03 ĐS: x = ± + kπ 3
Bài 203. Giải phương trình: x − = ( − x) 2 5sin 2 3 1 sin tan x π 5π ĐH Khối B - 04 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6
Bài 204. Giải phương trình: 2
3cos 2x + 4 cos x − cos 3x = 0 π 2π
CĐSP Nhà Trẻ - Mẫu Giáo TW 1 - 04 ĐS: x = + k 3 3
Bài 205. Giải phương trình: cos3x + 2cos 2x =1− 2sin xsin 2x 3
Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương - 04
ĐS: x = π + k2π ∨ x = ± arccos + k2π 4 π Bài 206. cos 2x −1 Giải phương trình: 2 tan
+ x − 3 tan x = 2 2 cos x
Dự bị ĐH Khối B - 05
ĐS: x = −π/4 + kπ
Bài 207. Giải phương trình: 2 x x + x ( 2 x − ) 3 sin cos 2 cos tan 1 + 2 sin x = 0 π 5π
Dự bị ĐH Khối B - 05 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6
Bài 208. Giải phương trình: 2 2 cos 3 .
x cos 2x − cos x = 0 ĐH Khối A - 05 ĐS: x = π k /2 Bài 209.
cos 2x − 3cos x + 2 Giải phương trình: = 0 sin x π CĐKT Y Tế - 05 ĐS: x = ± + k 2π 3
Bài 210. Giải phương trình: 3 2
4sin x + 4 sin x + 3sin 2x + 6 cos x = 0 π 2π
Dự bị ĐH Khối D - 06 ĐS: x = −
+ k 2π ∨ x = ± + k 2π 2 3
Bài 211. Giải phương trình: 4
cos 2x + cos x − 2 = 0
CĐ Tài Chính Kế Toán - 06
ĐS: x = kπ π Bài 212. 1− sin x Giải phương trình: 2 3 tan x − = 2 2 sin x π
Hệ CĐ – ĐH Sài Gòn Khối A - 07 ĐS: x = + k 2π 2 Bài 213. sin 2x cos 2x Giải phương trình: +
= tan x − cot x cos x sin x π
Dự bị ĐH Khối B - 07 ĐS: x = ± + k 2π 3 Bài 214. 1 1
Giải phương trình: sin 2x + sin x − − = 2 cot 2x 2sin x sin 2x π π
Dự bị ĐH Khối A - 07 ĐS: x = + k 4 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 49 4
Bài 215. Giải phương trình: ( 4 4
4 sin x + cos x) + cos 4x + sin 2x = 0
Dự bị ĐH Khối D - 08
ĐS: x = −π/4 + kπ π
(1+ sin x + cos 2x)sin x + Bài 216. 4 1 Giải phương trình: = cos x 1+ tan x 2 π 7π ĐH Khối A - 10 ĐS: x = − + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6 Bài 217. 5x 3x Giải phương trình: 4 cos cos + 2 (8sin x − ) 1 cos x = 5 2 2 π 5π CĐ Khối A,B,D - 10 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 12 12
Bài 218. Giải phương trình: 2
cos 4x +12sin x −1 = 0
CĐ Khối A, B, D - 11
ĐS: x = kπ
Dạng5. Phươngtrìnhbậcnhấttheosinx,cosx
Bài 219. Giải phương trình: (1+ sin 2x)(cos x − sin x) = cos 2x π π π
ĐHDL NN- Tin Học - 98 ĐS: x = + k
∨ x = k 2π ∨ x = + k 2π 4 2 2
Bài 220. Giải phương trình: cos x + sin x = cos 2x π π ĐH Đà Lạt - 99 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = k 2π ∨ x = − + k 2π 4 2
Bài 221. Giải phương trình: 3 3
cos x − sin x = sin x − cos x ĐH Đà Nẵng - 99
ĐS: x = π/4 + kπ
Bài 222. Giải phương trình: sin 2x − cos 2x =1+ 2cos x ĐH Hồng Đức - 99
ĐS: x = π/2 + kπ ∨ x = π + k2π Bài 223. 3 Giải phương trình: 3 3
1+ sin x + cos x = sin 2x 2 π ĐH GTVT Tp.HCM - 99 ĐS: x = −
+ k 2π ∨ x = π + k 2π 2
Bài 224. Giải phương trình: cos 2x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) π
ĐH Hàng Hải Tp.HCM - 99
ĐS: x = π + k2π ∨ x = + k 2π 2
Bài 225. Giải phương trình: 3 2
cos x + cos x + 2 sin x − 2 = 0 π
HV Ngân Hàng Khối D - 99 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = k 2π 2
Bài 226. Giải phương trình: 3 3
2sin x − sin x = 2 cos x − cos x + cos 2x π π π HV KT Quân sự - 99 ĐS: x = + k ∨ x = −
+ k 2π ∨ x = π + k 2π 4 2 2 3 1+ sin x π x 3 ( )
Bài 227. Giải phương trình: 2
3 tan x − tan x + − 8cos − = 0 2 cos x 4 2 π π 2 −1 ĐH Kiến Trúc - 99 ĐS: x = ± + kπ ∨ x = ± arccos + k 2π 6 4 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 50 5 Bài 228. 1 1
Giải phương trình: 2sin 3x − = 2 cos 3x + sin x cos x π π 7π
ĐH Thương Mại - 99 ĐS: x = ±
+ kπ ∨ x = − + kπ ∨ x = + kπ 4 12 12
Bài 229. Giải phương trình sau: a. 3 3
cos x + sin x = cos 2x b. sin 4x = tan x ĐH Y Hà Nội - 00 π π 1 3 −1 ĐS:a. x = −
+ kπ ∨ x = k 2π ∨ x = −
+ k 2π b. x = kπ ∨ x = ± arccos + k 2π 4 2 2 2
Bài 230. Giải phương trình: sin .
x cos x + 2 sin x + 2 cos x = 2 ĐH Huế - 00
ĐS: x = π/2 + k2π ∨ x = k2π
Bài 231. Giải phương trình: 3 3
sin x + cos x = sin 2x + sin x + cos x π
ĐH Cảnh Sát Nhân Dân - 00 ĐS: x = k 2
Bài 232. Giải phương trình: 3 3
1+ cos x − sin x = sin 2x π π
ĐH Nông Nghiệp 1 - 00 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = π + k 2π ∨ x = + k 2π 4 2
Bài 233. Giải phương trình: 2 3
sin x + sin x + cos x = 0 π π 1− 2 HV Ngân Hàng - 00 ĐS: x = − + k 2π ∨ x = ± arccos + k 2π 2 4 2
Bài 234. Giải phương trình: 2sin x + cot x = 2sin 2x +1
ĐH QG Hà Nội Khối A - 00 π 5π π 5 −1 5π 5 −1 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π x = + arcsin + k 2π ∨ x = − arcsin + k 2π 6 6 4 2 2 4 2 2
Bài 235. Giải phương trình: (2cos x − )
1 (sin x + cos x) = 1 π 2π
PV Ngân Hàng TpHCM - 00
ĐS: x = k 2π ∨ x = + k 6 3
Bài 236. Giải phương trình: sin 2x + 2cos 2x =1+ sin x − 4cos x π
ĐH An Ninh Khối D - 01 ĐS: x = ± + k 2π 3
Bài 237. Giải phương trình: 2sin 2x − cos 2x = 7sin x + 2cos x − 4 π 5π
ĐH QG Hà Nội Khối A - 01 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6
Bài 238. Giải phương trình: sin x + 2cos x + cos 2x − 2sin . x cos x = 0
ĐH Văn Hóa HN Khối D - 01 ĐS: π π 2 3π 2 x =
+ k 2π ∨ x = − − arcsin + k 2π ∨ x = + arcsin + k 2π 2 4 4 4 4
Bài 239. Giải phương trình: π π π π π 2 2 2 3 sin x − cos x − + 2cos x − = 3 + 4 s in x + cos − x cos + x 8 8 8 3 3 5π 3π ĐH Y Thái Bình - 01 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 24 8 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 51 5
Bài 240. Giải phương trình: 3 3 2 2
cos x − sin x = cos x − sin x π π ĐH Đà Lạt - 01 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = k 2π ∨ x = + k 2π 4 2 ( − ) π 2 x 2
3 cos x − 2sin − Bài 241. 2 4 Giải phương trình: = 1 2 cos x −1 π
Dự bị ĐH Khối B - 03 ĐS: x = + (2k +1)π 3
Bài 242. Giải phương trình: sin x + sin 2x = 3 (cos x + cos 2x) 2π 2π
Dự bị ĐH Khối D - 04
ĐS: x = π + k2π ∨ x = + k 9 3
Bài 243. Giải phương trình: 3 3
cos x + sin x = sin x − cos x
CĐSP Hà Nam Khối A - 04
ĐS: x = π/2 + kπ Bài 244. sin x − sin 2x Giải phương trình: = 3 cos x − cos 2x π 2π CĐ Khối A - 04
ĐS: x = k 2π ∨ x = − + k 9 3
Bài 245. Giải phương trình: 3 cos 4x + sin 4x − 2cos3x = 0 π π 2π
CĐ Công Nghiệp IV - 04 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 6 42 7 π Bài 246. x 3
Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ;π ) của phương trình: 2 2 4sin
− 3 cos 2x = 1+ 2 cos x − 2 4 5π 17π 5π
Dự bị ĐH Khối A - 05 ĐS: ; ; 18 18 6 π
Bài 247. Giải phương trình: 2sin 2x − + 4sin x +1 = 0 6
Dự bị ĐH Khối A - 06
ĐS: x = kπ ∨ x = 7π/6 + k 2π Bài 248. 1
Giải phương trình: tan x − 3 = cos x
CĐ KTKT Cần Thơ - 06
ĐS: x = 7π/6 + k2π π
Bài 249. Giải phương trình: 2 2 2sin
− 2x + 3 cos 4x = 4cos x −1 4 π π π CĐ GTVT số 3 - 07 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = − + k 12 36 3 2 Bài 250. x x
Giải phương trình: sin + cos + 3 cos x = 2 2 2 π π ĐH Khối D - 07 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = − + k 2π 2 6
Bài 251. Giải phương trình: ( 2 + x) x + ( 2 1 sin cos
1+ cos x)sin x = 1+ sin 2x ĐH Khối A - 07
ĐS: x = −π/4 + k2π ∨ x = π/2 + k2π ∨ x = k2π TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 52 5
Bài 252. Giải phương trình: 2
2 co s x + 2 3 sin x cos x +1 = 3(sin x + 3 cos x)
Dự bị ĐH Khối A - 07
ĐS: x = 2π/3 + kπ
Bài 253. Giải phương trình: sin 3x − 3 cos3x = 2sin 2x π 4π 2π
CĐ Khối A, B, D - 08 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 3 15 5
Bài 254. Giải phương trình: 3 3 2 2
sin x − 3 cos x = sin .
x cos x − 3 sin . x cos x π π π ĐH Khối B - 08 ĐS: x = + k ∨ x = − + kπ 4 2 3 Bài 255. 1 1 7π Giải phương trình: + = 4 sin − x sin x 3π 4 sin x − 2 π π 5π ĐH Khối A - 08 ĐS: x = −
+ kπ ∨ x = − + kπ ∨ x = + kπ 4 8 8
(1− 2sin x)cos x
Bài 256. Giải phương trình: = 3
(1+ 2sin x)(1− sin x) π 2π ĐH Khối A - 09 ĐS: x = − + k 18 3
Bài 257. Giải phương trình: x + x x + x = ( 3 sin cos .sin 2 3 cos 3
2 cos 4x + sin x) π π 2π ĐH Khối B - 09 ĐS: x = − + k 2π ∨ x = + k 6 42 7
Bài 258. Giải phương trình: 3 cos5x − 2sin 3 .
x cos 2x − sin x = 0 π π π π ĐH Khối D - 09 ĐS: x = + k ∨ x = − + k 18 3 6 2
Bài 259. Giải phương trình: 3 sin 2x + cos 2x = 2cos x −1 π 2π ĐH Khối A, A1 - 12 ĐS: x =
+ kπ hay x = k 2π hay x = + k 2π 2 3
Bài 260. Giải phương trình: 2(cos x + 3sin x)cos x = cos x − 3sin x +1 2π 2π ĐH Khối B - 12 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = k 3 3
Bài 261. Giải phương trình: sin 3x + cos3x − sin x + cos x = 2 cos 2x π π 7π π ĐH Khối D - 12 ĐS: x = + k ∨ x =
+ k 2π ∨ x = − + k 2π 4 2 12 12
Dạng6. Phươngtrìnhđẳngcấp
Bài 262. Giải phương trình: 3
sin x sin 2x + s in3x = 6 cos x π
ĐH Y dược TPHCM - 97
ĐS: x = arctan 2 + kπ ∨ x = ± + kπ 3
Bài 263. Giải phương trình: 4 2 2 4
3cos x − 4 cos x sin x − sin x = 0 π π π
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 98 ĐS: x = ± + k ∨ x = ± + kπ 4 2 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 53 5
Bài 264. Giải phương trình: 2 2 tan .
x sin x − 2 sin x = 3(cos 2x + sin . x cos x) π π
ĐH Mỏ - Địa Chất - 99 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + kπ 4 3
Bài 265. Giải phương trình: 3
sin x − 4sin x + cos x = 0 π ĐH Y Hà Nội - 99 ĐS: x = + kπ 4
Bài 266. Giải phương trình: 2 sin x (tan x + )
1 = 3sin x (cos x − sin x) + 3 π π
ĐH Nông Nghiệp 1 - 99 ĐS: x = − + kπ ∨ x = ± + kπ 4 3
Bài 267. Giải phương trình: 3 3
sin x + cos x = sin x − cos x ĐH An Ninh - 00
ĐS: x = π/2 + kπ
Bài 268. Giải phương trình: 2 2 (sin x + cos x)cos x = 3+ cos 2x
ĐH GTVT Hà Nội - 00 ĐS: vn
Bài 269. Giải phương trình: 3 3
4 cos x + 2 sin x − 3sin x = 0
CĐSP Mẫu Giáo TƯ 1- 01; CĐ Kỹ Thuật Cao Thắng - 07
ĐS: x = π/4 + kπ Bài 270. cos 2x 1 Giải phương trình: 2 cot x −1 =
+ sin x − sin 2x 1+ tan x 2 ĐH Khối A - 03
ĐS: x = π/4 + kπ
Bài 271. Giải phương trình: ( 3 3
4 sin x + cos x) = cos x + 3sin x π π
Dự bị ĐH Khối A - 04 ĐS: x = ± + kπ ∨ x = + kπ 3 4
Bài 272. Giải phương trình: 2 x + ( − ) 2 3 sin 1
3 sin x cos x − cos x +1− 3 = 0 π π
CĐ Kỹ Thuật Cao Thắng - 06 ĐS: x = − + kπ ∨ x = + kπ 4 3
Dạng7. Phươngtrìnhđốixứng
Bài 273. Giải phương trình: 2sin 2x − 2 2 (cos x + sin x) = 5 π 1− 2 2 HV Hàng không - 99 ĐS: x = ± arccos + k 2π 4 2
Bài 274. Giải phương trình: 3 3
cos x − sin x +1 = 0 π
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 00 ĐS: x =
+ k 2π ∨ x = π + k 2π 2
Dạng8. Phươngpháphạbậc Bài 275. x x Giải phương trình: 4 4 cos − sin = sin 2x 2 2 π π 5π ĐH Thủy Sản - 97 ĐS: x = + kπ ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2π 2 6 6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 54 5
Bài 276. Giải phương trình: 2 2 2 2
sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x π π π π
ĐH KT Quốc Dân - 99 ĐS: x = + k ∨ x = + k 4 2 10 5 π Bài 277. 21 Giải phương trình: 2 2
sin 4x − cos 6x = sin +10x 2 π π π
ĐH Dược Hà Nội - 99 ĐS: x = + kπ ∨ x = + k 2 20 10
Bài 278. Giải phương trình: 2 2 2 2 2 2 2
sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x π π π π π
CĐSP Thái Bình Khối A - 99 ĐS: x = + k ∨ x = + k ∨ x = + kπ 8 4 4 2 2 π π Bài 279. 7 Giải phương trình: 4 4 sin x + cos x = cot x + cot − x 8 3 6 π π ĐH GTVT - 99 ĐS: x = ± + k 12 2 Bài 280. 17 Giải phương trình: 8 8 sin x + cos x = 32 π π
HV Kỹ Thuật Mật Mã - 99 ĐS: x = + k 8 4 4 4 Bài 281. cos x + sin x 1 Giải phương trình: = (tan x + cot x) sin 2x 2 ĐH BK Hà Nội - 00 ĐS: vn π Bài 282. x 7 Giải phương trình: 2 2 sin .
x cos 4x − sin 2x = 4sin − − 4 2 2 π 7π ĐH SP Hà Nội - 00 ĐS: x = − + k 2π ∨ x = + k 2π 6 6
Bài 283. Giải phương trình: 2 2 2
2 cos 2x + cos 2x = 4 sin 2 . x cos x π π ĐH Công Đoàn - 00 ĐS: x = + k 8 4
Bài 284. Giải phương trình: 2 2 2
2 cos x + 2 cos 2x + 2 cos 3x − 3 = cos 4x (2 sin 2x + ) 1 π π ĐH SP TpHCM - 00 ĐS: x = + k 8 4
Bài 285. Giải phương trình: 6 6
sin x + cos x = 1+ sin 4x π 1 8 π
ĐHDL Hùng Vương - 00 ĐS: x = k
∨ x = − arctan + k 2 2 3 2 Bài 286. 5 Giải phương trình: 8 8
sin x + cos x = 2 ( 10 10
sin x + cos x) + cos 2x 4 π π
ĐH Ngoại Thương Khối D - 00 ĐS: x = + k 4 2 Bài 287. 1 Giải phương trình: 8 8
sin x + cos x + cos 4x = 0 8 π π
TTĐTBDCB Y Tế TpHCM - 01 ĐS: x = + k 4 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 55 5 Bài 288. x x Giải phương trình: 4 4 cos + sin = 1− 2sin x 2 2 ĐH Công Đoàn - 01
ĐS: x = kπ
Bài 289. Giải phương trình: 2 2 2
sin x + sin 2x + sin 3x = 2 π π π π π ĐH SPKT TpHCM - 01 ĐS: x = + k ∨ x = + kπ ∨ x = + k 4 2 2 6 3 π Bài 290. x
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: 2 2 sin .
x cos 4x + 2sin 2x = 1− 4sin − thỏa mãn 4 2 x −1 < 3 hệ bất phương trình 2
x + 3 > −x
ĐH Cảnh Sát Nhân Dân - 01 ĐS: x = π/2
Bài 291. Giải phương trình: 2 2 2
sin x + sin 3x − 3cos 2x = 0 π 1 5 −1 ĐH TC Kế Toán - 01 ĐS: x = ±
+ kπ ∨ x = ± arccos + kπ 3 2 2
Bài 292. Giải phương trình: 4 4
3sin x + 5cos x − 3 = 0 π π
ĐH An Ninh Nhân Dân - 01 ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + kπ 2 6
Bài 293. Giải phương trình: ( 4 4
4 sin x + cos x ) + 3 sin 4x = 2 π π π π ĐHSP TpHCM - 01 ĐS: x = + k ∨ x = − + k 4 2 12 2 Bài 294. 1 2 Giải phương trình: 48 − − (1+ cot 2 . x cot x) = 0 4 2 co s x sin x π π
ĐH Mỏ - Địa Chất - 01 ĐS: x = + k 8 4 π π Bài 295. 9 Giải phương trình: 4 4 4
sin x + sin x + + sin x − = 4 4 8 1 6 − 2 ĐH GTVT - 01 ĐS: x = ± arccos + kπ 2 2
Bài 296. Giải phương trình: 2 2 2 2
sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x π π ĐH Khối B - 02 ĐS: x = k ∨ x = k 2 9 π Bài 297. x x Giải phương trình: 2 2 2 sin − tan x − cos = 0 2 4 2 ĐH Khối D - 03
ĐS: x = π + k2π ∨ x = −π/4 + kπ π π Bài 298. 3 Giải phương trình: 4 4
sin x + cos x + cos x − sin 3x − − = 0 4 4 2 ĐH Khối D - 05
ĐS: x = π/4 + kπ π π π π
Bài 299. Giải phương trình: 2 2 2 cos x + + cos 2x + + cos 3x − = 3 cos 2 2 2 6 π π π
CĐ KTKT Công Nghiệp I - 06 ĐS: x = + k ∨ x = ± + kπ 8 4 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 56 5
Bài 300. Giải phương trình: 2 2 2 2
sin x + sin 2x = sin 3x + sin 4x π π
CĐ KTKT Công Nghiệp II - 07 ĐS: x =
+ kπ ∨ x = k 2 5 ( 6 6
2 sin x + cos x) − sin x cos x
Bài 301. Giải phương trình: = 0 2 − 2 sin x 5π ĐH Khối A - 06 ĐS: x = + k 2π 4
Bài 302. Giải phương trình: 2
sin 5x + 2 cos x = 1 π 2π π 2π ĐH Khối B - 13 ĐS: x = − + k ∨ x = − + k 6 3 14 7 Dạng9. Côngthứcnhânba
Bài 303. Giải phương trình: 3
4sin x −1 = 3sin x − 3 cos 3x π 2π π 2π
CĐ Hải quan TpHCM - 98 ĐS: x = + k ∨ x = − + k 18 3 6 3
Bài 304. Giải phương trình: 3 3 sin . x sin 3x + cos . x cos 3x = 1
ĐH Y Hải Phòng - 99
ĐS: x = kπ
Bài 305. Giải phương trình: 6 3 4 8 2 cos x + 2 2 sin .
x sin 3x − 6 2 cos x −1 = 0 π
HV Chính Trị QG TpHCM - 99 ĐS: x = ± + kπ 8
Bài 306. Giải phương trình: 3 3 3 sin . x cos 3x + cos .
x sin 3x = sin 4x π
ĐH Ngoại Thương - 99 ĐS: x = k 12 Bài 307. 2 Giải phương trình: 3 3 cos . x cos 3x + sin . x sin 3x = 4 π
ĐH Mở Hà Nội - 00 ĐS: x = ± + kπ 8
Bài 308. Giải phương trình: Bài 309. 3 3 4sin . x cos 3x + 4 cos .
x sin 3x + 3 3 cos 4x = 3 π π π π HV CN BCVT - 01 ĐS: x = + k ∨ x = − + k 8 2 24 2 Bài 310. 1 Giải phương trình: 3 3 3 cos . x cos 3x − sin .
x sin 3x = cos 4x + 4 π π
ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội - 01 ĐS: x = + k 24 12 Bài 311. 2 + 3 2 Giải phương trình: 3 3 cos . x cos 3x − sin . x sin 3x = 8 π π
Dự bị ĐH Khối A - 06 ĐS: x = ± + k 16 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 57 5
Dạng10. Phươngtrìnhcóchứagiátrịtuyệnđối
Phươngtrìnhcóchứacănthức 2 Bài 312. tan x tan x Giải phương trình: = + tan x tan x −1 tan x −1 π π ĐH Thủy Sản - 98 ĐS: x = kπ ∨
+ kπ < x < + kπ 4 2 2 Bài 313. tan x 1 Giải phương trình: = tan x +1 + tan x −1 tan x −1 π 3π π ĐH Thủy Sản - 99 ĐS:
+ kπ < x < + kπ ∧ x ≠ + kπ 4 4 2 Bài 314.
cos 2x − 2 cos 3x +1 Giải phương trình: = 0 cos x
ĐH Mở Hà Nội Khối D - 99
ĐS: x = k 2π
Bài 315. Giải phương trình: sin x − cos x + sin x + cos x = 2 π
ĐH QG Hà Nội Khối D - 99 ĐS: x = k 2
Bài 316. Giải phương trình: cos 2x + 1+ sin 2x = 2 sin x + cos x π
ĐHDL Phương Đông - 99
ĐS: x = k 2π ∨ x = − + kπ 4 Bài 317.
1+ cos 2x + 1− cos 2x Giải phương trình: = 4 sin x cos x π
HV Khoa học Quân Sự Khối D - 99 ĐS: x = + kπ 4 Bài 318.
1− sin 2x + 1+ sin 2x Giải phương trình: = 4 cos x sin x π π
ĐH Xây Dựng HN - 00 ĐS: x = + kπ ∨ x = + kπ 6 3
Bài 319. Giải phương trình: 3sin x + 2 cos x − 2 = 0 ĐH Thủy Sản - 00
ĐS: x = kπ
Bài 320. Giải phương trình: 3 3 3 3
sin x + cos x − sin . x cot x + cos . x tan x = 2sin 2x
ĐH Kiến Trúc Hà Nội - 00
ĐS: x = π/4 + k2π
Bài 321. Giải phương trình: 2
3 sin 2x − 2 cos x = 2 2 + 2 cos 2x
ĐH Thương Mại - 00
ĐS: x = π/2 + kπ π
Bài 322. Giải phương trình: 2 2sin 3x + = 1+ 8sin 2 . x cos 2x 4
ĐH Kinh Tế Quốc Dân - 00
ĐS: x = π/12 + k2π ∨ x = 5π/12 + (2k +1)π
Bài 323. Giải phương trình: 3+ 4 6 − (16 3 −8 2)cos x = 4cos x − 3
ĐH Kinh Tế Quốc Dân - 01
ĐS: x = ±π/4 + k2π TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 58 5 Bài 324. sin 3x − sin x
Tìm các nghiệm thuộc (0 ; 2π) của phương trình:
= sin 2x + cos 2x 1− cos 2x π 9π 21π 29π
ĐH Quốc gia TpHCM khối A - 96 ĐS: ; ; ; 16 16 16 16 Bài 325. 1 Giải phương trình: = sin x 2 8 cos x π 3π 5π 7π
Dự bị ĐH Khối D - 02 ĐS: x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2π ∨ x = + k 2π 8 8 8 8
Bài 326. Giải phương trình: 1+ sin x + cos x = 0 CĐSP Hà Tĩnh - 02
ĐS: x = (2k +1)π ∨ x = −π/2 + k 2π
Bài 327. Giải phương trình: x ( − x ) 2 3cos 1 sin
− cos 2x = 2 sin x.sin x −1
CĐ Khí Tượng Thủy Văn - 03
ĐS: x = π/2 + k2π ∨ x = 2π/3 + k2π Bài 328. 1
Giải phương trình: cos 3 .
x sin 2x − cos 4 . x sin x =
sin 3x + 1+ cos x 2 CĐ GTVT - 04
ĐS: x = π + k2π
Bài 329. Giải phương trình: 1− sin x + 1− cos x =1
Dự bị ĐH Khối A - 04
ĐS: x = k 2π ∨ x = π/2 + k2π Bài 330. 1 Giải phương trình: 4 4 sin x + cos x = sin 2x 2
Hệ CĐ – ĐH Sài Gòn Khối D - 07
ĐS: x = ±π/4 + kπ
Dạng11. Phươngtrìnhcóchứathamsố
Bài 331. Xác định m để phương trình: ( 4 4
2 sin x + cos x) + cos 4x + 2sin 2x − m = 0 có ít nhất một π nghiệm thuộc đoạn 0 ; . 2
Dự bị ĐH Khối A - 02 ĐS: 1
− 0/3 ≤ m ≤ −2 Bài 332.
2 sin x + cos x +1 Cho phương trình: = a (1)
sin x − 2 cos x + 3 1
a) Giải phương trình (1) khi a =
b) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm. 3
Dự bị ĐH Khối D - 02
ĐS: a. x = −π/4 + kπ ; b. 1
− /2 ≤ a ≤ 2 6 6 Bài 333. cos x + sin x Cho phương trình: = m tan 2x (1) 2 2 cos x − sin x 13
a) Giải phương trình (1) khi m =
b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm. 8
CĐ Xây Dựng III - 04
ĐS: a. x = π/12 + kπ ∨ x = 5π/12 + kπ ; b. 1 − /4 ≤ m ≤ 1/4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 59 5
Phần 5 - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Hàmsốlượnggiác
Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số y = tan x = là hàm lẻ.
B. Hàm số y cot x là hàm lẻ.
C. Hàm số y = cos x là hàm lẻ.
D. Hàm số y = sin x là hàm lẻ.
Câu 2: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin 2x .
B. y = cos3x .
C. y = cot 4x .
D. y = tan 5x .
Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn A. x y = sin 3x . B. y = . x cos x . C. y = cos . x tan 2x . D. tan y = . sin x
Câu 4: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó?
y = cot 2x ; y = cos( x + π ) ; y = 1− sin x ; 2016 y = tan x . A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .
Câu 5: Cho hàmsố f ( x) = cos 2x và g ( x) = tan 3x , chọn mệnh đề đúng
A. f ( x) là hàm số chẵn, g ( x) là hàm số lẻ.
B. f ( x) là hàm số lẻ, g ( x) là hàm số chẵn.
C. f ( x) là hàm số lẻ, g ( x) là hàm số chẵn.
D. f ( x) và g ( x) đều là hàm số lẻ.
Câu 6: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn A. 2
y = sin x + sin x . B. y = tan 3 . x cos x . C. 2
y = sin x + tan x . D. 2
y = sin x + cos x .
Câu 7: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = sinx + 2 là hàm số không chẵn, không lẻ. B. s inx Hàm số y = là hàm số chẵn. x C. Hàm số 2
y = x + cos x là hàm số chẵn.
D. Hàm số y = sin x − x − sin x + x là hàm số lẻ.
Câu 8: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ? A. cos x
y = 2x + cos x .
B. y = cos3x . C. 2
y = x sin ( x + 3) . D. y = . 3 x
Câu 9: Hàm số y = tan x + 2sin x là
A. Hàm số lẻ trên tập xác định.
B. Hàm số chẵn tập xác định.
C. Hàm số không lẻ tập xác định.
D. Hàm số không chẵn tập xác định. Câu 10: Hàm số 3 y = sin . x cos x là
A. Hàm số lẻ trên ℝ .
B. Hàm số chẵn trên ℝ .
C. Hàm số không lẻ trên ℝ .
D. Hàm số không chẵn ℝ .
Câu 11: Hàm số y = sin x + 5cos x là
A. Hàm số lẻ trên ℝ .
B. Hàm số chẵn trên ℝ .
C. Hàm số không chẵn, không lẻ trên ℝ .
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 12: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ? A. sin x + tan x y = .
B. y = tan x − cot x .
C. y = sin 2x + cos 2x . D. 2
y = 2 − sin 3x . 2 2 cos x TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 60 6
Câu 13: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn: A. y = 5sin . x tan 2x .
B. y = 3sin x + cos x . C. y = 2sin 3x + 5 .
D. y = tan x − 2sin x .
Câu 14: Trong các hàm số sau đây hàm số nào là hàm số lẻ? A. 2 y = sin x .
B. y = cos x .
C. y = − cos x .
D. y = sin x .
Câu 15: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = −sin x .
B. y = cos x − sin x . C. 2
y = cos x + sin x . D. y = cos x sin x .
Câu 16: Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn: y = cos3x ( ) 1 ; y = ( 2 sin x + ) 1 (2) ; 2 y = tan x (3) ;
y = cot x ( 4) . A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .
Câu 17: Hàm số: y = 3 + 2cos x tăng trên khoảng: π π π π π π π A. − ; . B. 3 ; . C. 7 ; 2π . D. ; . 6 2 2 2 6 6 2 π π
Câu 18: Hàm số nào đồng biến trên khoảng − ; : 3 6
A. y = cos x .
B. y = cot 2x .
C. y = sin x .
D. y = cos2x .
Câu 19: Mệnh đề nào sau đây sai? π
A. Hàm số y = sinx tăng trong khoảng 0; . 2 π
B. Hàm số y = cotx giảm trong khoảng 0; . 2 π
C. Hàm số y = tanx tăng trong khoảng 0; . 2 π
D. Hàm số y = cosx tăng trong khoảng 0; . 2
Câu 20: Hàm số y = sin x đồng biến trên: π π A. Khoảng (0;π ) .
B. Các khoảng − + k2π; + k2π , k ∈ℤ . 4 4 π π π C. 3 Các khoảng
+ k2π ;π + k2π , k ∈ℤ . D. Khoảng ; . 2 2 2
Câu 21: Hàm số y = cosx : π π A. Tăng trong[0;π ]. B. Tăng trong 0; và giảm trong ;π . 2 2
C. Nghịch biến [0;π ].
D. Các khẳng định trên đều sai.
Câu 22: Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn nào dưới đây: π A. 0; . B. [π ; 2π ]. C. [ π − ;π ] . D. [0;π ]. 2 π
Câu 23: Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0; khác với các hàm số còn lại ? 2
A. y = sin x .
B. y = cos x .
C. y = tan x .
D. y = −cot x . GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 61 6
Câu 24: Hàm số y = tan x đồng biến trên khoảng: π π π π π A. 0; . B. 0; . C. 3 0; . D. 3 − ; . 2 2 2 2 2
Câu 25: Khẳng định nào sau đây đúng? π π A. 3
Hàm số y = sin x đồng biến trong khoảng ; . 4 4 π π B. 3
Hàm số y = cos x đồng biến trong khoảng ; . 4 4 π π C. 3
Hàm số y = sin x đồng biến trong khoảng − ; − . 4 4 π π D. 3
Hàm số y = cos x đồng biến trong khoảng − ; − . 4 4 π π Câu 26: 3
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ? 2 2
A. y = sin x .
B. y = cos x .
C. y = cot x .
D. y = tan x . Câu 27: Đ 1
iều kiện xác định của hàm số y = là sin x − cos x A. π π x ≠ kπ .
B. x ≠ k2π . C. x ≠ + kπ . D. x ≠ + kπ . 2 4 Câu 28: − Đ 1 sin x
iều kiện xác định của hàm số y = là cos x A. π π π x ≠ + k 2π . B. x ≠ + kπ .
C. x ≠ − + k2π .
D. x ≠ kπ . 2 2 2 Câu 29: − Đ 1 3cos x
iều kiện xác định của hàm số y = là sin x A. π kπ x ≠ + kπ .
B. x ≠ k2π . C. x ≠ .
D. x ≠ kπ . 2 2 Câu 30: 3
Tập xác định của hàm số y = là 2 2 sin x − cos x π π
A. ℝ \ + kπ , k ∈ℤ .
B. ℝ \ + kπ , k ∈ℤ . 4 2 π π π
C. ℝ \ + k , k ∈ℤ . D. 3 ℝ \
+ k2π , k ∈ ℤ . 4 2 4 Câu 31: cot x
Tập xác định của hàm số y = là cos x −1 π π
A. ℝ \ k ,k ∈ℤ .
B. ℝ \ + kπ , k ∈ℤ . 2 2
C. ℝ \{kπ , k ∈ } ℤ . D. ℝ . Câu 32: + Đ 2 sin x 1
iều kiện xác định của hàm số y = là 1− cos x A. π π x ≠ k 2π
B. x ≠ kπ C. x ≠ + kπ D. x ≠ + k 2π 2 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 62 6 π
Câu 33: Điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x − là 3 A. π kπ π π π π x ≠ + B. 5 x ≠ + kπ C. x ≠ + kπ D. 5 x ≠ + k 6 2 12 2 12 2
Câu 34: Điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x là A. π − kπ π π kπ π x ≠ + B. x ≠ + kπ C. x ≠ + D. x ≠ + kπ 4 2 2 4 2 4 Câu 35: − Đ 1 sin x
iều kiện xác định của hàm số y = là sin x + 1 A. π x ≠ + k 2π .
B. x ≠ k2π . 2 C. 3π x ≠ + k 2π .
D. x ≠ π + k2π . 2
Câu 36: Điều kiện xác định của hàm số y = cos x là A. x > 0 . B. x ≥ 0 . C. ℝ . D. x ≠ 0 . Câu 37: 1− 2 cos x
Tập xác định của hàm số y = là sin 3x − sin x π π π A. k ℝ \ kπ ;
+ kπ , k ∈ ℤ . B. ℝ \ + , k ∈ ℤ . 4 4 2 π π C. k
ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ .
D. ℝ \ kπ; + , k ∈ ℤ . 4 2
Câu 38: Hàm số y = cot 2x có tập xác định là π A. kπ .
B. ℝ \ + kπ; k ∈ℤ . 4 π π π
C. ℝ \ k ;k ∈ℤ .
D. ℝ \ + k ; k ∈ℤ . 2 4 2
Câu 39: Tập xác định của hàm số y = tan x + cot x là A. ℝ .
B. ℝ \{kπ; k ∈ } ℤ . π π
C. ℝ \ + kπ; k ∈ℤ .
D. ℝ \ k ;k ∈ℤ . 2 2 Câu 40: 2x
Tập xác định của hàm số y = là 2 1− sin x π π
A. D = ℝ \ + k2π ,k ∈ ℤ.
B. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ. 2 2 π C. π kπ D =
+ kπ , k ∈ ℤ. D. x = ± + . 2 3 2
Câu 41: Tập xác định của hàm số y = tan x là π A. D = . ℝ
B. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ. 2 π
C. D = ℝ \ + k2π ,k ∈ ℤ.
D. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ . 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 63 6
Câu 42: Tập xác định của hàm số y = cot x là π π
A. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ.
B. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ. 4 2
C. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ . D. D = . ℝ Câu 43: 1
Tập xác định của hàm số y = là sin x A. D = ℝ \{ } 0 .
B. D = ℝ \{k2π , k ∈ } ℤ .
C. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ .
D. D = ℝ \{0;π}. Câu 44: 1
Tập xác định của hàm số y = là cot x π
A. D = ℝ \ + kπ , k ∈ ℤ.
B. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ . 2 π π π
C. D = ℝ \ k , k ∈ℤ. D. 3 D = ℝ \ 0; ;π ; . 2 2 2 Câu 45: 1
Tập xác định của hàm số y = là cot x − 3 π π
A. D = ℝ \ + k2π ,k ∈ ℤ.
B. D = ℝ \ + kπ , kπ , k ∈ℤ. 6 6 π π π π
C. D = ℝ \ + kπ , + kπ ,k ∈ℤ. D. 2 D = ℝ \ + kπ ,
+ kπ , k ∈ ℤ. 3 2 3 2 Câu 46: x +1
Tập xác định của hàm số: y = là tan 2x π
A. ℝ \ {kπ ,k ∈ } ℤ .
B. ℝ \ k ,k ∈ℤ. 4 π π C. k ℝ \
+ kπ , k ∈ ℤ. D. ℝ \ , k ∈ ℤ. 2 2 Câu 47: 3x + 1
Tập xác định của hàm số y = là 2 1− cos x π π
A. D = ℝ \ + kπ , k ∈ℤ.
B. D = ℝ \ − + kπ , k ∈ℤ. 2 2
C. D = ℝ \ {π + kπ , k ∈ } ℤ . D. D = . ∅
Câu 48: Tập xác định của hàm số y = tan (3x − ) 1 là π π π A. 1 D = ℝ \ + + k , k ∈ ℤ. B. 1
D = ℝ \ + k , k ∈ ℤ. 6 3 3 3 3 π π π π C. 1 D = ℝ \ − + k , k ∈ ℤ. D. 1 D = + + k , k ∈ ℤ. 6 3 3 6 3 3 π
Câu 49: Tập xác định của hàm số y = tan 3x + là 4 π π A. k D = ℝ .
B. D = R\ + , k ∈ Z 2 1 3 π
C. D = R\ + kπ,k ∈Z .
D. D = R \ {kπ} . 1 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 64 6
Câu 50: Tập xác định của hàm số y = sin ( x − ) 1 là A. . ℝ B. ℝ \{1} . π
C. ℝ \ + k2π | k ∈ ℤ . D. ℝ \{kπ}. 2 Câu 51: x −1
Tập xác định của hàm số y = sin là x + 1 A. ℝ \{ } 1 − . B. ( 1 − ; ) 1 . π π
C. ℝ \ + k2π | k ∈ ℤ .
D. ℝ \ + kπ | k ∈ℤ. 2 2 2 Câu 52: x +1
Tập xác định của hàm số y = là sin x A. . ℝ B. ℝ\{ } 0 . π
C. ℝ \{kπ | k ∈ } ℤ .
D. ℝ \ + kπ | k ∈ℤ. 2 Câu 53: 2 sin x
Tập xác định của hàm số y = là 1+ cos x π
A. ℝ \ + kπ | k ∈ℤ.
B. ℝ \{π + k2π | k ∈ } ℤ . 2 C. . ℝ D. ℝ\{ } 1 . Câu 54: 1− sin x
Tập xác định của hàm số y = là 1+ cos x
A. ℝ \{π + k2π , k ∈ } ℤ .
B. ℝ \{k2π ,k ∈ } ℤ . π π
C. ℝ \ + k2π , k ∈ℤ .
D. ℝ \ + k2π , k ∈ℤ . 4 2
Câu 55: Tập xác định D của hàm số y = sin x + 2 là A. . ℝ B. [ 2 − ; +∞ ). C. (0; 2π ).
D. arcsin(−2);+∞).
Câu 56: Tập xác định của hàm số y = 1− cos 2x là A. D = . ℝ B. D = [0; ] 1 . C. D = [ 1 − ; ] 1 .
D. D = ℝ \ {kπ , k ∈ } ℤ .
Câu 57: Hàm số nào sau đây có tập xác định ℝ ? 2 3 A. 2 + cos x 1+ sin x sin x y = . B. 2 2
y = tan x + cot x . C. y = . D. y = . 2 − sin x 2 1+ cot x 2 cos x + 2 Câu 58: 1− sin x
Tập xác định của hàm số y = là 2 sin x π
A. D = ℝ \ {kπ ,k ∈ } ℤ .
B. D = ℝ \ + k2π , k ∈ℤ . 2
C. D = ℝ \{k2π , k ∈ } ℤ . D. D = ℝ . GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 65 6 Câu 59: 1− cos x
Tập xác định của hàm số y = là 2 cos x π
A. D = ℝ \ + k2π , k ∈ℤ . B. D = ℝ . 2 π
C. D = ℝ \ + kπ , k ∈ℤ .
D. D = ℝ \ {kπ ,k ∈ } ℤ . 2 Câu 60: 2 − sin 2x Hàm số y =
có tập xác định ℝ khi m cos x +1 A. m > 0.
B. 0 < m <1. C. m ≠ 1 − . D. 1 − < m < 1 . Câu 61: Đ tan x
iều kiện xác định của hàm số y = là cos x −1 π π x ≠ + kπ ≠ + π A. π x k 2 x ≠ k 2π . B. x = + k 2π . C. 2 . D. . 3 π x ≠ k 2π x ≠ + kπ 3 Câu 62: Đ cot x
iều kiện xác định của hàm số y = là cos x A. π kπ x = + kπ .
B. x = k2π .
C. x = kπ . D. x ≠ . 2 2
Câu 63: Chọn khẳng định sai.
A. Tập xác định của hàm số y = sin x là ℝ . π
B. Tập xác định của hàm số y = cot x là D = ℝ \ + kπ , k ∈ℤ . 2
C. Tập xác định của hàm số y = cos x là ℝ . π
D. Tập xác định của hàm số y = tan x là D = ℝ \ + kπ , k ∈ℤ . 2 Câu 64: sin x
Tập xác định của hàm số y = là 1− cos x π
A. ℝ \{k2π ,k ∈ } ℤ .
B. ℝ \ + kπ , k ∈ℤ . 2 π C. ℝ .
D. ℝ \ + k2π , k ∈ℤ . 2
Phươngtrìnhcơbản–Phươngtrìnhbậcnhất
Câu 65: Phương trìnhsin x = 0 có nghiệm là π π A. x = + k 2π .
B. x = kπ .
C. x = k 2π . D. x = + kπ . 2 2
Câu 66: Phương trình: cos 2x =1 có nghiệm là π π A. x = + k 2π .
B. x = kπ .
C. x = k 2π . D. x = + kπ . 2 2
Câu 67: Phương trình: 1+ sin 2x = 0 có nghiệm là π π π π
A. x = − + k2π .
B. x = − + kπ .
C. x = − + k2π .
D. x = − + kπ . 2 4 4 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 66 6 Câu 68: 1
Nghiệm phương trình: sin x = là 2 π π π π x = + k 2π x = + k 2π x = + k 2π x = + k 2π A. 6 6 3 3 . B. . C. . D. . 5π π 2π π x = + k 2π x = − + k 2π x = + k 2π x = − + k 2π 6 6 3 3 Câu 69: 2
Nghiệm phương trình: cos 2x = là 2 π π π π x = + k 2π x = + kπ x = + kπ x = + k 2π A. 4 8 . B. 4 . C. 8 . D. . π π π π x = − + k 2π x = − + kπ x = − + kπ x = − + k 2π 4 4 8 8
Câu 70: Nghiệm phương trình: 1+ tan x = 0 là π π π π A. x = + kπ .
B. x = − + kπ . C. x = + k 2π .
D. x = − + k2π . 4 4 4 4 Câu 71: π
Nghiệm phương trình sin x + = 1 là 2 π π A. x = + k 2π .
B. x = − + k2π .
C. x = kπ .
D. x = k 2π . 2 2 Câu 72: 1
Nghiệm phương trình cos x = là 2 π π x = + k 2π x = + k 2π A. 6 ( 6 k ∈ ℤ ) . B. (k ∈ ℤ) . 5π π x = + k 2π x = − + k 2π 6 6 π π x = + k 2π x = + k 2π C. 3 ( 3 k ∈ ℤ ) . D. (k ∈ ℤ) . 2π π x = + k 2π x = − + k 2π 3 3 Câu 73: 2
Nghiệm phương trình sin 2x = là 2 π π x = + k 2π x = + kπ A. 4 (k ∈ ℤ) . B. 4 (k ∈ ℤ) . 3π 3π x = + k 2π x = + kπ 4 4 π π x = + kπ x = + k 2π C. 8 ( 8 k ∈ ℤ ) . D. (k ∈ ℤ) . 3π 3π x = + kπ x = + k 2π 8 8
Câu 74: Nghiệm phương trình 1+ cot x = 0 là π π π π A. x = + kπ .
B. x = − + kπ . C. x = + k 2π .
D. x = − + k2π . 4 4 4 4 Câu 75: π
Nghiệm phương trình cos x + = 1là 2 π π A. x = + k 2π .
B. x = − + k2π .
C. x = kπ .
D. x = k 2π . 2 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 67 6 Câu 76: 1
Phương trình sin 2x = −
có bao nhiêu nghiệm thỏa mãn 0 < x < π . 2 A. 1. B. 3. C. 2 . D. 4 . π π Câu 77: 1 Phương trình sin x = có nghiệm thỏa mãn − ≤ x ≤ là : 2 2 2 π π π π A. 5 x = + k2π B. x = . C. x = + k 2π . D. x = . 6 6 3 3 Câu 78: π
Số nghiệm của phương trình sin x +
= 1 với π ≤ x ≤ 3π là : 4 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Câu 79: x
Giải phương trình lượng giác 2 cos + 3 = 0 có nghiệm là 2 5π 5π x = + k 2π x = + k 2π A. 3 ( 6 k ∈ ℤ ) . B. (k ∈ ℤ) . 5π 5π x = − + k 2π x = − + k 2π 3 6 5π 5π x = + k 4π x = + k 4π C. 6 ( 3 k ∈ ℤ ) . D. (k ∈ ℤ) . 5π 5π x = − + k 4π x = − + k 4π 6 3 Câu 80: π
Số nghiệm của phương trình: 2 cos x +
= 1 với 0 ≤ x ≤ 2π là : 3 A. 0. B. 2 . C. 1. D. 3.
Câu 81: Nghiệm của phương trình sin .
x (2cos x − 3) = 0 là : x = kπ x = kπ A. π . (k ∈ ℤ ) B. π (k ∈ ℤ) . x = ± + k 2π x = ± + kπ 6 6 x = k2π π C. π = ± + π (k ∈ ℤ) . D. x k 2 (k ∈ ℤ) . x = ± + k 2π 6 3
Câu 82: Phương trình 2 2 cos x + 6 = 0 có các nghiệm là π π A. 5 x = ±
+ k2π (k ∈ ℤ ) .
B. x = ± + k2π (k ∈ ℤ) . 6 6 π π C. 5 x = ±
+ k 2π (k ∈ ℤ ) .
D. x = ± + k2π (k ∈ ℤ) . 3 3 π
Câu 83: Phương trình cos4x = cos có nghiệm là 5 π π x = + k 2π x = + k 2π A. 5 ( 20 k ∈ ℤ) . B. ( k ∈ ℤ) . π π x = − + k 2π x = − + k 2π 5 20 π π π π x = + k x = + k C. 5 5 20 2 ( k ∈ ℤ) . D. ( k ∈ ℤ) . π π π π x = − + k x = − + k 5 5 20 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 68 6
Câu 84: Phương trình (sin x + )
1 (sin x − 2 ) = 0 có nghiệm là π π π
A. x = − + k2π (k ∈ℤ) .
B. x = ± + k2π , x = − + kπ (k ∈ℤ) . 2 4 8 π π C. x = + k 2π .
D. x = ± + k2π . 2 2
Câu 85: Phương trình 2cos x − 3 = 0 có họ nghiệm là π π
A. x = ± + kπ (k ∈ℤ) .
B. x = ± + k2π (k ∈ℤ) . 3 3 π π
C. x = ± + k2π (k ∈ℤ) .
D. x = ± + kπ (k ∈ℤ) . 6 6
Câu 86: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
x = y + kπ
x = y + k 2π
A. sin x = sin y ⇔ (k ∈ ℤ) .
B. sin x = sin y ⇔ (k ∈ ℤ) .
x = π − y + kπ
x = π − y + k 2π
x = y + k2π
x = y + kπ
C. sin x = sin y ⇔ (k ∈ ℤ) .
D. sin x = sin y ⇔ (k ∈ ℤ) .
x = − y + k2π
x = − y + kπ Câu 87: x
Phương trình tan x = tan có họ nghiệm là 2
A. x = k 2π (k ∈ ℤ) .
B. x = kπ (k ∈ ℤ) .
C. x = π + k 2π (k ∈ ℤ) . D. x = π
− + k 2π (k ∈ ℤ) . Câu 88: x + π 1
Họ nghiệm của phương trình sin = − là 5 2 11π 11π x = + k10π x = − + k10π A. 6 6 (k ∈ ℤ ) B. (k ∈ ℤ ) 2 − 9π 29π x = + k10π x = + k10π 6 6 11π 11π x = − + 1 k 0π x = + k10π C. 6 6 (k ∈ ℤ ) . D. (k ∈ ℤ ) 29π 29π x = − + k10π x = + k10π 6 6
Câu 89: Phương trình 2sin (2x 40ο −
) = 3 có số nghiệm thuộc ( 180ο;180ο − ) là A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 .
Câu 90: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: π
A. sin x = 1 ⇔ x =
+ k2π , k ∈ ℤ .
B. sin x = 1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ ℤ . 2 π
C. sin x = 1 ⇔ x = k2π , k ∈ ℤ .
D. sin x =1 ⇔ x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 2 Câu 91: tan x 1 π Phương trình = cot x + có nghiệm là 2 1 − tan x 2 4 π π π A. x = + kπ . B. x = + k . 3 6 2 π π π π C. x = + k . D. x = + k . 8 4 12 3 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 69 6 π
Câu 92: Cho x = + kπ là nghiệm của phương trình nào sau đây: 2 A. sin x = 1. B. sin x = 0 . C. cos 2x = 0 .
D. cos 2x = −1.
Câu 93: Nghiệm của phương trình 2 sin x = 1 là π π
A. x = k 2π . B. x = + kπ .
C. x = π + k2π . D. x = + k 2π . 2 2 Câu 94: π
Nghiệm của phương trình 2 sin 4x − −1 = 0 là 3 π π π π A. 7
x = kπ ; x = π + k 2π . B. x = + k ; x = + k . 8 2 24 2 π π
C. x = k 2π ; x = + k 2π .
D. x = π + k2π ; x = k . 2 2
Câu 95: Nghiệm của phương trình 2cos 2x +1 = 0là π π π π
A. x = − + k2π ; x = + k2π . B. 2 x = − + k2π ; x = + k2π . 3 3 6 3 π π π π C. 2 2 x =
+ k 2π ; x = − + k2π . D. x = + kπ ; x = − + kπ . 3 3 3 3
Câu 96: Nghiêm của phương trình sin x.cos .
x cos 2x = 0 là π π π
A. x = kπ .
B. x = k .
C. x = k .
D. x = k . 4 8 2
Câu 97: Nghiệm của phương trình sin x = –1là π π π
A. x = − + k2π .
B. x = − + kπ .
C. x = kπ . D. 3 x = + kπ . 2 2 2
Câu 98: Nghiệm của phương trình cot x + 3 = 0 là π π π π
A. x = − + kπ .
B. x = − + kπ . C. x = + k 2π . D. x = + kπ . 3 6 3 6
Câu 99: Nghiệm của phương trình 2
cos x – cosx = 0 thỏa điều kiện 0 < x < π : π π π π A. x = . B. x = . C. x = . D. x = − . 6 2 4 2
Câu 100: Nghiệm của phương trình sin 3x = sin x là π π π
A. x = kπ , x = + k . B. x = + kπ . 4 2 2 π
C. x = k 2π .
D. x = k 2π , x = + kπ . 2
Câu 101: Nghiệm của phương trình cos3x = cos x là π
A. x = k 2π .
B. x = k 2π , x = + k 2π . 2 π
C. x = kπ .
D. x = kπ , x = k . 2
Câu 102: Nghiệm của phương trình 2.sin . x cos x = 1là π π
A. x = k 2π . B. x = + kπ .
C. x = k .
D. x = kπ . 4 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 70 7
Câu 103: Nghiệm của phương trình sin 3x = cos x là π π π π
A. x = kπ ; x = k . B. x = + k ; x = + kπ . 2 8 2 4 π π
C. x = kπ ; x = + kπ .
D. x = k2π ; x = + k2π . 4 2
Câu 104: Nghiệm của phương trình cos x =1là π π
A. x = k 2π . B. x = + k 2π .
C. x = kπ . D. x = + kπ . 2 2
Câu 105: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4x + cos5x = 0 theo thứ tự là π π π π A. x = − ; x = . B. 2 x = − ; x = . 18 2 18 9 π π π π C. x = − ; x = . D. x = − ; x = . 18 6 18 3
Câu 106: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm: π A. 3sin x = 1. B. tan 3x = 2 . C. cot 5x = 3. D. 2 cos 2x = . 3 Câu 107: 3
Nghiệm của phương trình cos x + = 0 là 2 π π π π A. 5 x = + kπ .
B. x = − + k2π . C. x = + k 2π . D. 2 x = ± + k2π . 6 3 6 3
Câu 108: Cho phương trình cos .
x cos 7x = cos 3 .
x cos 5x (1) . Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình (1) A. sin 5x = 0 . B. cos 4x = 0 . C. sin 4x = 0 . D. cos3x = 0 .
Câu 109: Nghiệm của phương trình 2
sin x − sin x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π là π π A. x = π . B. x = . C. x = 0. D. x = − . 2 2 Câu 110: 1
Nghiệm của phương trình cos x = − là 2 π π π π
A. x = ± + k2π. B. 2 x = ± + k 2π.
C. x = ± + k2π.
D. x = ± + k2π. 3 3 6 6
Câu 111: Nghiệm của phương trình 4 4
sin x − cos x = 0 là π π π π π
A. x = − + kπ. B. x = + k . C. 3 x = + k2π .
D. x = ± + k2π. 4 4 2 4 4
Câu 112: Phương trình 3 + 2sin x = 0 có nghiệm là π π π π A. x =
+ k2π ∨ x = − + k2π . B. 2 x = − + k2π ∨ x = + k2π . 3 3 3 3 π π π π C. 2 x = + k2π ∨ x = + k2π . D. 4 x = − + k2π ∨ x = + k2π . 3 3 3 3 π Câu 113: 2 Cho biết x = ±
+ k2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3
A. 2cos x −1 = 0.
B. 2cos x +1 = 0.
C. 2sin x +1 = 0.
D. 2sin x − 3 = 0. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 71 7
Câu 114: Phương trình 1+ 2cos x = 0 có nghiệm là π π π π A. 2 2 x =
+ k2π ∨ x = − + k2π . B. 2 x = − + k2π ∨ x = + k2π. 3 3 3 3 π π π π C. 2 x = + k2π ∨ x = + k2π. D. 4 x = − + k2π ∨ x = + k2π. 3 3 3 3
Câu 115: Giải phương trình lượng giác : 2cos 2x − 3 = 0 có nghiệm là π π
A. x = ± + k2π. B. x = ± + k2π. 6 12 π π C. x = ± + kπ .
D. x = ± + k2π. 12 3 π
Câu 116: Cho biết x = ± + k2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3
A. 2cos x − 3 = 0.
B. 2cos x −1 = 0.
C. 2sin x +1 = 0.
D. 2sin x − 3 = 0.
Câu 117: Phương trình 3 + tan x = 0 có nghiệm là π π A. x = + kπ .
B. x = − + kπ. 3 3 π π π π C. 2 x = + k2π ; x = + k2π . D. 4 x = − + k2π ; x = + k 2π . 3 3 3 3
Câu 118: Phương trình lượng giác: 3cot x − 3 = 0 có nghiệm là π π π A. x = + kπ . B. x = + kπ . C. x = + k 2π . D. Vô nghiệm. 6 3 3
Câu 119: Phương trình lượng giác: 2cot x − 3 = 0 có nghiệm là π x = + k 2π π π A. 6 B. 3 x = arc cot
+ kπ . C. x = + kπ . D. x = + kπ . π − 2 6 3 x = + k 2π . 6
Câu 120: Phương trình lượng giác: 2cos x + 2 = 0 có nghiệm là π 3π 5π π x = + k 2π x = + k 2π x = + k 2π x = + k 2π A. 4 . B. 4 . C. 4 . D. 4 . 3π −3π −5π π − x = + k 2π x = + k 2π x = + k 2π x = + k 2π 4 4 4 4
Câu 121: Phương trình lượng giác: 3.tan x − 3 = 0 có nghiệm là π π π π A. x = + kπ .
B. x = − + k2π . C. x = + kπ .
D. x = − + kπ . 3 3 6 3 π − π Câu 122: 1
Phương trình: sin x = có nghiệm thỏa mãn ≤ x ≤ là 2 2 2 π π π π A. 5 x = + k2π . B. x = . C. x = + k 2π . D. x = . 6 6 3 3
Câu 123: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A. sin x + 3 = 0 . B. 2
2 cos x − cos x −1 = 0 .
C. tan x + 3 = 0 .
D. 3sin x − 2 = 0 . TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 72 7
Câu 124: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng? π π
A. cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ + kπ .
B. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ . 2 2 π π C. cos x ≠ 1 − ⇔ x ≠ − + k 2π .
D. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k2π . 2 2 Câu 125: π
Số nghiệm của phương trình: sin x +
= 1 với π ≤ x ≤ 5π là 4 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Câu 126: Phương trình lượng giác: cos x − 3 sin x = 0 có nghiệm là π π π A. x = + kπ . B. Vô nghiệm.
C. x = − + kπ. D. x = + kπ . 6 6 2
Câu 127: Giải phương trình: 2
tan x = 3 có nghiệm là π π π A. x = − + π k . B. x = ± + π k . C. vô nghiệm. D. x = + π k . 3 3 3
Câu 128: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai π A. sin x = 1 − ⇔ x = − + k2π.
B. sin x = 0 ⇔ x = kπ. 2 π
C. sin x = 0 ⇔ x = k2π.
D. sin x = 1 ⇔ x = + k2π. 2 Câu 129: π
Phương trình cos 2x − = 0 có nghiệm là 2 π π A. k x = + .
B. x = π + kπ.
C. x = kπ .
D. x = k 2π . 2 2
Câu 130: Phương trình tan (2x +12°) = 0 có nghiệm là
A. x = −6° + k90°,(k ∈ ℤ).
B. x = −6° + k180 , ° (k ∈ ℤ ).
C. x = −6° + k360°,(k ∈ ℤ). D.
x = −12° + k 90°, ( k ∈ ℤ ).
Câu 131: Phương trình sin2 .
x (2sin x − 2 ) = 0 có nghiệm là π π π x = k x = k x = k 2 x = kπ 2 2 A. π π π π x = + k 2π .
B. x = + kπ . C. x = + k 2π .
D. x = + k2π . 4 4 4 4 3π 3π 3π π x = + k 2π x = + kπ x = + k 2π
x = − + k2π 4 4 4 4
Câu 132: Phương trình 2
2 cos x = 1 có nghiệm là π π π
A. x = k .
B. x = ± + kπ .
C. x = k . D. vô nghiệm. 4 4 2
Câu 133: Nghiệm của phương trình tan x = 4 là
A. x = arctan 4 + kπ .
B. x = arctan 4 + k2π . π
C. x = 4 + kπ . D. x = + kπ . 4
Câu 134: Nghiệm của phương trình sin ( x +10°) = −1 là
A. x = −100° + k360° . B. x = −80° + k180° . C. x = 100° + k360° . D. x = −100° + k180° . GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 73 7 Câu 135: 3
Số nghiệm của phương trình sin 2x = trong khoảng (0;3π ) là 2 A. 1. B. 2 . C. 6 . D. 4 .
Câu 136: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? A. tan x = 3 . B. cot x = 1. C. cos x = 0 . D. 4 sin x = . 3 Câu 137: 3
Nghiệm của phương trình tan x = là 3 π π π π A. x = + kπ . B. x = + kπ . C. x = + kπ . D. x = + kπ . 2 3 4 6 Câu 138: π
Nghiệm của phương trình cot x + = 3 là 4 π π π π A. x = + kπ . B. x = + kπ . C. x = − + kπ . D. x = + kπ . 12 3 12 6
Câu 139: Phương trình (sin x +1)(2cos 2x − 2 ) = 0 có nghiệm là π π
A. x = − + k2π ,k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ ,k ∈ℤ . 2 8 π C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. Cả A, B, C đều đúng. 8
Câu 140: Trong nửa khoảng [0; 2π ) , phương trình cos 2x + sin x = 0 có tập nghiệm là π π 5π π − π 7π 11π π 5π 7π π 7π 11π A. ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 6 2 6 6 2 6 6 6 6 6 2 6 6
Câu 141: Trong [0; 2π ) , phương trình 2
sin x = 1− cos x có tập nghiệm là π π π A. ;π ;2π . B. {0;π } . C. 0; ;π .
D. 0; ;π ;2π . 2 2 2 Câu 142: x
Nghiệm của phương trình 3 tan
− 3 = 0 trong nửa khoảng [0; 2π ) là 4 π 2π 3π π 3π 2π A. ; . B. . C. ; . D. . 3 3 2 2 2 3 Câu 143: 1
Giải phương trình: cos x = − 2 π 2π π 2π
A. x = ± + k2π . B. x = ± + k2π .
C. x = ± + kπ . D. x = ± + kπ . 3 3 6 3
Câu 144: Giải phương trình tan x = cot x A. π π π x = + k ; k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ;k ∈ℤ . 4 2 4 C. π π π x =
+ kπ ; k ∈ ℤ .
D. x = + k ;k ∈ℤ . 4 4 4 Câu 145: −1
Giải phương trình cos x = 2 A. 2π π x = ±
+ k 2π ; k ∈ ℤ . B. 3 x = ±
+ kπ ; k ∈ ℤ . 3 4 C. 3π π x = ±
+ k2π ; k ∈ ℤ .
D. x = ± + k2π;k ∈ℤ 4 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 74 7 x
Câu 146: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos +15° = sin x . Khi đó 2 A. 290°∈ X . B. 250°∈ X . C. 220°∈ X . D. 240°∈ X .
Câu 147: Giải phương trình tan 3x tan x =1. π π π π A. x = + k ; k ∈ ℤ . B. x = + k ; k ∈ ℤ . 8 8 4 4 π π π π C. x = + k ; k ∈ ℤ . D. x = + k ; k ∈ ℤ . 8 4 8 2 Câu 148: 3π
Giải phương trình 3 tan 3x + = 0 . 5 π π π π A. x = + k ; k ∈ ℤ .
B. x = − + k ;k ∈ℤ . 8 4 5 4 π π π π
C. x = − + k ;k ∈ℤ .
D. x = − + k ;k ∈ℤ . 5 2 5 3 Câu 149: − 3
Giải phương trình cos x = . 2 π π
A. x = ± + k3π ; k ∈ℤ . B. 5 x = ±
+ kπ ; k ∈ ℤ . 6 6 π π C. 5 x = ±
+ k2π ; k ∈ ℤ .
D. x = ± + k2π; k ∈ℤ . 6 6
Câu 150: Phương trình nào tương đương với phương trình 2 2
sin x − cos x −1 = 0 . A. cos 2x = 1.
B. cos 2x = −1. C. 2 2 cos x −1 = 0 . D. ( x − x)2 sin cos = 1.
Câu 151: Giải phương trình cos x (2 cos x + 3) = 0 . π π π π A. 5 x = + kπ , x = ±
+ kπ ; k ∈ℤ . B. 5 x = + kπ , x =
+ k 2π ; k ∈ ℤ . 2 6 2 6 π π π π C. 5 x = + kπ , x = ±
+ k2π ; k ∈ ℤ . D. 2 x = + kπ , x = ±
+ k 2π ; k ∈ℤ 2 6 2 3 π
Câu 152: Giải phương trình 3 cot 5x − = 0 . 8 π π π A. x =
+ kπ ; k ∈ℤ . B. x = + k ; k ∈ ℤ . 8 8 5 π π π π C. x = + k ; k ∈ ℤ . D. x = + k ; k ∈ ℤ . 8 4 8 2 Câu 153: 1 Giải phương trình 2 cos 2x = . 4 π π π π
A. x = ± + k2π , x = ± + kπ;k ∈ℤ . B. 2 x = ± + kπ , x = ±
+ kπ ; k ∈ℤ . 6 3 6 3 π π π π
C. x = ± + kπ , x = ± + kπ ;k ∈ ℤ .
D. x = ± + kπ , x = ± + kπ ;k ∈ ℤ . 6 3 6 2 π π
Câu 154: Số nghiệm của phương trình 2
sin x + sin x = 0 thỏa − < x < 2 2 là A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 75 7 Câu 155: 3
Giải phương trình cos x = cos . 2 A. 3 x = ±
+ k 2π ; k ∈ ℤ . B. 3 x = ± arccos
+ k 2π ; k ∈ ℤ . 2 2 π π
C. x = ± arccos + k2π;k ∈ℤ .
D. x = ± + k2π; k ∈ℤ . 6 6
Câu 156: Giải phương trình cos x = sin 30°.
A. x = ±60° + k360 ; ° k ∈ ℤ .
B. x = ±60° + k180 ; ° k ∈ ℤ .
C. x = ±120° + k360 ; ° k ∈ ℤ .
D. x = ±30° + k360 ; ° k ∈ ℤ . x π
Câu 157: Số nghiệm của phương trình cos + = 0 thuộc khoảng (π ,8π ) là 2 4 A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 1. Câu 158: sin 3x
Số nghiệm của phương trình
= 0 thuộc đoạn [2π ;4π ] là cos x +1 A. 2 . B. 6 . C. 5. D. 4 .
Câu 159: Phương trình sinx = sinα có nghiệm là
x = α + k 2π x = α + kπ A. ; k ∈ ℤ B. ; k ∈ ℤ .
x = π −α + k 2π
x = π −α + kπ x = α + kπ x = α + k2π C. ; k ∈ ℤ . D. ; k ∈ ℤ . x = α − + kπ x = α − + k2π Câu 160: x
Nghiệm của phương trình cos
= cos 2 (với k ∈ ℤ ) là 3
A. x = ± 2 + kπ .
B. x = 3 2 + k6π . C. x = ± 2 + k4π . D. x = 3 ± 2 + k6π . x Câu 161: 2 π Phương trình sin −
= 0 (với k ∈ ℤ ) có nghiệm là 3 3 A. π k π π π k π x = kπ . B. 2 3 x = + . C. x = + kπ . D. 3 x = + . 3 2 3 2 2 x
Câu 162: Nghiệm của phương trình cot +10° = − 3 (với k ∈ℤ ) là 4
A. x = −200° + k360° .
B. x = −200° + k720° . C. x = 2 − 0° + k360° .
D. x = −160° + k720° .
Câu 163: Nghiệm của phương trình tan (2x −15°) =1, với 9
− 0° < x < 90° là A. x = 3 − 0° B. x = 6 − 0° C. x = 30° D. x = 6 − 0° , x = 30°
Câu 164: Nghiệm của phương trình 2cos x −1= 0 (với k ∈ℤ ) là π π π π
A. x = ± + k2π .
B. x = ± + kπ .
C. x = ± + kπ .
D. x = ± + k2π . 6 6 3 3
Câu 165: Nghiệm của phương trình 3 tan 3x −3 = 0 (với k ∈ℤ ) là π π π π π π π π A. k k k k x = + . B. x = + . C. x = + . D. x = + . 9 9 3 3 3 9 9 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 76 7 π
Câu 166: Nghiệm x = + k2π,k ∈ℤ là nghiệm của phương trình nào sau đây? 2 A. cos x = 1. B. cos x = 1 − . C. sin x = 1 − . D. sin x = 1. Câu 167: π
Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình sin x = sin 6 π π π π A. x = + k2π ; x = −
+ k2π (k ∈ ℤ) . B. 5 x = + kπ ; x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6 π π π π C. 5 x = + k2π ; x =
+ k2π (k ∈ ℤ) . D. x = + kπ ; x = −
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6 Câu 168: π
Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình cos x = cos 6 π π π π A. 5 x = + k2π ; x =
+ k2π (k ∈ ℤ) . B. 5 x = + kπ ; x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6 π π π π C. x = + k2π ; x = −
+ k2π (k ∈ ℤ) . D. x = + kπ ; x = −
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6 π Câu 169: 3 π
Số nghiệm của phương trình tan x = tan trên khoảng ; 2π 11 4 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 170: Phương trình 2
3 − 4 cos x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây? A. 1 cos 2x = . B. 1 cos 2x = − . C. 1 sin 2x = . D. 1 sin 2x = − . 2 2 2 2 Câu 171: sin 2x −1
Tất cả các nghiệm của phương trình = 0 là 2.cos x −1 π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ π A. 3 4 x = −
+ k2π , k ∈ ℤ . B. . 4 3π x = + k 2π , k ∈ ℤ 4 π π C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ k2π , k ∈ ℤ . 4 4 Câu 172: π
Phương trình 2 sin x +
+ 2 = 0 có 1 họ nghiệm là 3 π π π π A. 7 − + kπ . B. 7 − + k2π . C. 7 + k2π . D. 7 + kπ . 12 12 12 12 Câu 173: π π π
Nghiệm của phương trình 2 cos x −
− 2 = 0 trong khoảng − ; là 3 2 2 A. π − −7π π π π π ; . B. 7 . D. 7 ; . 12 12 12 . C. 1 2 1 2 12 Câu 174: π
Họ nghiệm của phương trình tan x + + 3 = 0 là 5 π π
A. 8 + kπ;k ∈ℤ . B. 8 −
+ kπ ; k ∈ ℤ . 15 15 π π C. 8 −
+ k2π ; k ∈ ℤ .
D. 8 + k2π ; k ∈ℤ . 15 15 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 77 7
Câu 175: Các họ nghiệm của phương trình sin 2x − cos x = 0 là π π π π − π π A. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . B. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . 6 3 2 6 3 2 π π π π − π π C. 2 − − + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . D. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . 6 3 2 6 3 2
Câu 176: Các họ nghiệm của phương trình cos 2x − sin x = 0 là π π π π − π π A. 2 − + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . B. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . 6 3 2 6 3 2 π π π π − π π C. 2 − + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . D. 2 + k ;
+ k2π ; k ∈ ℤ . 6 3 2 6 3 2
Câu 177: Họ nghiệm của phương trình tan 2x − tan x = 0là π π π
A. − + kπ , k ∈ . ℤ
B. + kπ ,k ∈ . ℤ
C. + kπ ,k ∈ . ℤ
D. kπ , k ∈ . ℤ 6 3 6
Câu 178: Nghiệm của phương trình tan 3 .
x cot 2x = 1 là π π π
A. k , k ∈ . ℤ
B. − + k , k ∈ . ℤ 2 4 2
C. kπ , k ∈ . ℤ D. Vô nghiệm.
Câu 179: Nghiệm của phương trình tan 4 .
x cot 2x = 1 là π π π
A. kπ , k ∈ . ℤ
B. + k ,k ∈ . ℤ
C. k , k ∈ . ℤ D. Vô nghiệm. 4 2 2
Câu 180: Số nghiệm của phương trìnhsin x = cos x trong đoạn [ π − ;π ] là A. 2. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 181: Phương trình tan x.cot x =1có tập nghiệm là A. kπ π T = ℝ \ ; k ∈ ℤ.
B. T = ℝ \ + kπ ;k ∈ ℤ. 2 2
C. T = ℝ \ {π + kπ ;k ∈ ℤ}. D. T = . ℝ
Câu 182: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: π
A. cos x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ . ℤ
B. cos x = 0 ⇔ x = π + k2π , k ∈ . ℤ 2
C. cos x = 0 ⇔ x = k2π , k ∈ . ℤ
D. cos x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ . ℤ Câu 183: 1 −
Phương trình: sin 2x =
có bao nhiêu nghiệm thỏa: 0 < x < π 2 A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Phươngtrìnhcổđiển
Câu 184: Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x = 0 là: π π π π A. x = + k 2π . B. x = + k 2π . C. x = + kπ . D. x = + kπ . 6 3 6 3
Câu 185: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình cos x − 3 sin x = 0. A. π π π π x =
+ k 2π ; x = −
+ k 2π (k ∈ ℤ) . B. 5 x = + kπ ; x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6 C. π π π x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . D. x = + kπ ; x = −
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 78 7
Câu 186: Số nghiệm của phương trình sin x + cos x = 1 trên khoảng (0;π ) là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 187: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là : π x = k2π x = + k 2π π A. 4 x = k 2π . B. π = + π . C. x k 2 . D. . x = + k2π 4 π 2 x = − + k2π 4
Câu 188: Phương trình sin x + cos x = 2 sin 5x có nghiệm là: π π π π π π π π x = + k x = + k x = + k x = + k A. 4 2 . B. 12 2 . C. 16 2 . D. 18 2 . π π π π π π π π x = + k x = + k x = + k x = + k 6 3 24 3 8 3 9 3
Câu 189: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là: π π A. 5 x = + kπ . B. 5 x = + k 2π . 6 6 π π
C. x = − + kπ . D. x = + k2π . 6 6
Câu 190: Phương trình sin 8x − cos 6x = 3 (sin 6x + cos8x) có các họ nghiệm là: π π π π x = + kπ x = + kπ x = + kπ x = + kπ A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 8 . π π π π π π π π x = + k x = + k x = + k x = + k 12 7 6 2 7 2 9 3
Câu 191: Phương trình: 3
3sin 3x + 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3x có các nghiệm là: π 2π π 2π π 2π π π 2 x = − + k x = − + k x = − + k x = − + k A. 6 9 9 9 12 9 . B. . C. . D. 54 9 . 7π 2π 7π 2π 7π 2π π 2π x = + k x = + k x = + k x = + k 6 9 9 9 12 9 18 9 π π Câu 192: 5
Phương trình cos 2 x + + 4 cos
− x = có nghiệm là: 3 6 2 π π π π x = − + k2π x = + k2π x = − + k2π x = + k2π A. 6 6 3 3 . B. . C. . D. . π 3π 5π π x = + k 2π x = + k2π x = + k2π x = + k2π 2 2 6 4
Câu 193: Phương trình ( 3 − ) 1 sin x − ( 3 + )
1 cos x + 3 −1 = 0 có các nghiệm là π π x = − + k 2π x = − + k 2π A. 4 2 , k ∈ ℤ . B. , k ∈ ℤ . π π x = + k 2π x = + k 2π 6 3 π π x = − + k 2π x = − + k 2π C. 6 8 , k ∈ ℤ . D. , k ∈ ℤ . π π x = + k 2π x = + k 2π 9 12 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 79 7
Câu 194: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là π π π π A. 3 x = − + k2π , x =
+ k2π , k ∈ ℤ . B. 5 x = − + k2π , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 4 4 12 12 π π π π C. 2 x = + k2π , x =
+ k2π , k ∈ ℤ . D. 5 x = − + k2π , x = −
+ k2π , k ∈ ℤ . 3 3 4 4
Câu 195: Nghiệm của phương trình sin 2x − 3 cos2x = 0 là π π π π π π A. x = + k
, k ∈ ℤ . B. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x = + k , k ∈ ℤ . 3 2 6 3 6 2
Câu 196: Phương trình nào sau đây vô nghiệm ? A. 1 sin x = .
B. 3 sin x − cos x = −3 . 3
C. 3 sin 2x − cos 2x = 2 .
D. 3sin x − 4cos x = 5.
Câu 197: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: A. 1 cos x = .
B. 3sin x + cos x = 1 − . 3
C. 3 sin 2x − cos 2x = 2 .
D. 3sin x − 4cos x = 6 .
Câu 198: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 2sin x − cos x = 3 . B. tan x = 1 .
C. 3 sin 2x − cos 2x = 2 .
D. 3sin x − 4 cos x = 5.
Câu 199: Phương trình nào sau đây vô nghiệm. A. 1 sin x = .
B. 3sin x − cos x = 1 − . 4
C. 3 sin 2x − cos 2x = 4 .
D. 3sin x − 4 cos x = 5.
Câu 200: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm? A. 3 sin x = 2 B. 1 1 cos 4x = 4 2
C. 2sin x + 3cos x = 1 D. 2
cot x − cot x + 5 = 0
Câu 201: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. 3 sin 2x − cos 2x = 2
B. 3sin x − 4cos x = 5 π C. sin x = cos
D. 3 sin x − cos x = −3 4
Câu 202: Phương trình: 3.sin 3x + cos3x = 1
− tương đương với phương trình nào sau đây: A. π 1 π π sin 3x − = − .
B. sin 3x + = − . 6 2 6 6 C. π 1 π sin 3x + = − . D. 1 sin 3x + = . 6 2 6 2 Câu 203: 1 3 Phương trình sin x −
cos x = 1 có nghiệm là 2 2 π A. 5 x =
+ k2π , k ∈ ℤ . B. 5 x =
π + kπ , k ∈ Z . 6 6 π π C. − x =
+ k2π , k ∈ Z . D. x =
+ k2π , k ∈ Z . 6 6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 80 8
Câu 204: Phương trình sin 4x + cos 7x − 3 (sin 7x − cos 4x) = 0 có nghiệm là π π x = + k 2 π π A. 6 3 x = + k2 , k ∈ ℤ . B. (k ∈ Z ) . 6 3 5π π x = + k 2 66 11 π π C. 5 x = + k 2 , k ∈ ℤ . D. Đáp án khác 66 11 2 x x
Câu 205: Phương trình: sin + cos + 3 cos x = 2 có nghiệm là: 2 2 π π x = − + kπ x = − + k 2π A. 6 ( 6 k ∈ Z ) B. (k ∈ Z ) π π x = + kπ x = + k 2π 2 2 π π
C. x = − + k2π ,k ∈ ℤ D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ 6 2
Câu 206: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. sin x − cos x = 3
B. cosx + 3sinx = 1 −
C. 3 sin 2x − cos 2x = 2
D. 2sinx + 3cosx =1
Câu 207: Nghiệm của phương trình 3 cosx −sin x =1là: π x = k 2π x = + k 2π A. 6 π , k ∈ ℤ ,k ∈ℤ . B. . x = − + k 2π π 6 x = − + k 2π 2 π π C. x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ . 6 3
Câu 208: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm?
A. sin x + 2 cos x = 3 .
B. 2 sin x + cos x = 2 .
C. 2 sin x + cos x = −1.
D. 3 sin x + cos x = 3.
Câu 209: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. sin x + cos x = 3 .
B. 2 sin x + cos x =1.
C. 2 sin x + cos x = −1.
D. 3 sin x + cos x = 2 .
Câu 210: Nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 2 là: π π A. 5 x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. 5 x =
+ k2π , k ∈ ℤ . 6 6 π π C. − x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ k2π , k ∈ ℤ . 6 6
Câu 211: Giải phương trình: 2sin 2x − 2cos 2x = 2 . A. 5π π π π x = + kπ , x = + π k , k ∈ ℤ . B. 5 x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 6 6 12 12 C. 5π 13π π π x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. 5 13 x = + k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 24 24 12 12 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 81 8
Câu 212: Giải phương trình 2 2
sin 2x + cos 3x = 1 . 2π
A. x = k 2π , k ∈ ℤ . B. x = k , k ∈ ℤ . 5 π
C. x = π + kπ , k ∈ ℤ . D. x = π k ∨ x = k , k ∈ ℤ . 5
Câu 213: Phươngtrình 3 sin 2x − cos2x = 2 (với k ∈ℤ ) có nghiệm là: A. π π π π x = + π k , k ∈ ℤ . B. 2 x =
+ kπ , k ∈ ℤ . C. x = −
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x = + π k , k ∈ ℤ . 6 3 3 3
Câu 214: Số nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x =1 trong khoảng ( π − ;π ) là : A. 1. B. C. 3 . D. 4 .
Câu 215: Giải phương trình :sin x + cos x = 1 − . A. π π x = π k , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
B. x = − + k2π , x = π + k2π ,k ∈ ℤ 2 2 C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
D. x = k2π , k ∈ℤ 2
Câu 216: Giải phương trình sinx + 3cosx =1. A. π π π 5π x =
+ k 2π , x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ
B. x = − + kπ , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ 2 6 2 6 C. 5π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ D. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ 6 2
Câu 217: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. cos3x − 3sin3x = 2.
B. cos3x − 3sin3x = −2 . π π C. π sin x = .
D. 3sin x + − 4cos x + − 5 = 0 . 3 3 3
Câu 218: Phương trình 3cos x + 2 sin x = 2 có nghiệm là A. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 8 6 C. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 2
Câu 219: Giải phương trình 2
5sin 2x − 6 cos x = 13 . A. Vô nghiệm.
B. x = kπ , k ∈ℤ .
C. x = π + k 2π , k ∈ℤ .
D. x = k2π , k ∈ℤ .
Phươngtrìnhbậchai–bậcba
Câu 220: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác? A. 2
2sin x + sin 2x −1 = 0. B. 2
2sin 2x − sin 2x = 0. C. 2
cos x + cos 2x − 7 = 0. D. 2
tan x + cot x − 5 = 0.
Câu 221: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. 2 cos x − 3 = 0 .
B. 3sin 2x − 10 = 0 . C. 2
cos x − cos x − 6 = 0 .
D. 3sin x + 4cos x = 5 . TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 82 8 Câu 222: 3 Phương trình : 2
cos 2x + cos 2x − = 0 có nghiệm là 4 A. 2π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ . 3 3 C. π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ . 6 6
Câu 223: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x + 3 = 0 . B. 2
2 cos x − cos x −1 = 0 .
C. tan x + 3 = 0 .
D. 3sin x − 2 = 0 .
Câu 224: Nghiệm dương bé nhất của phương trình : 2
2sin x + 5sin x − 3 = 0 là A. π π π π x = , k ∈ ℤ .
B. x = , k ∈ ℤ . C. 3 x = , k ∈ ℤ . D. 5 x = , k ∈ ℤ . 6 2 2 6
Câu 225: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm: A. 3 sin x = 2. B. 1 1 cos 4x = . 4 2
C. 2sin x + 3cos x = 1. D. 2
cot x − cot x + 5 = 0 .
Câu 226: Nghiệm của phương trình lượng giác : 2
cos x − cos x = 0 thỏa điều kiện 0 < x < π là A. π π − x = . B. x = 0 . C. x = π . D. x = . 2 2 Câu 227: π
Nghiệm của phương trình lượng giác: 2
2 cos x + 3sin x − 3 = 0 thõa điều kiện 0 < x < là 2 A. π π π π x = . B. x = . C. x = . D. 5 x = . 3 2 6 6
Câu 228: Nghiệm của phương trình 2
1− 5sin x + 2 cos x = 0 là π π x = + k 2π x = + k 2π A. 6 6 , k ∈ ℤ . B. , k ∈ ℤ . π 5π x = − + k 2π x = + k 2π 6 6 π π x = + k 2π x = + k 2π C. 3 3 , k ∈ ℤ . D. , k ∈ ℤ . π 2π x = − + k 2π x = + k 2π 3 3
Câu 229: Nghiệm của phương trình 2
5 − 5sin x − 2 cos x = 0 là A. π π
kπ , k ∈ ℤ .
B. k2π , k ∈ ℤ .
C. + k2π ,k ∈ ℤ .
D. + k2π ,k ∈ ℤ . 2 6
Câu 230: Phương trình 4cos x − 2cos 2x − cos 4x = 1 có các nghiệm là π π π = + π = + A. x k x k 2 , k ∈ ℤ . B. ∈ ℤ . 4 2 , k x = k2π x = kπ π 2π π π x = = k x = + k C. 3 3 , k ∈ ℤ . D. 6 3 , k ∈ ℤ . π π x = k x = k 2 4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 83 8 Câu 231: 3 Phương trình 2 2
sin 2x − 2 cos x + = 0 có nghiệm là 4 A. π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = ± + kπ , k ∈ℤ . 6 4 C. π π x = ±
+ kπ ,, k ∈ ℤ . D. 2 x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ . 3 3
Câu 232: Phương trình 2
2sin x + 3 sin 2x = 3 có nghiệm là A. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. 2 x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 3 3 C. 4π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. 5 x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 3 3 Câu 233: π 3π Nghiệm của phương trình 2
cos x + cos x = 0 thỏa điều kiện: < x < 2 2 π π π A. 3 x = . B. x = π . C. 3 x = − . D. x = . 2 2 3
Câu 234: Nghiệm của phương trình tan x + cot x = 2 − là A. π π − x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . B. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 4 4 C. π π − x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 4 Câu 235: π π Nghiệm của phương trình 2
sin x + sin x = 0 thỏa điều kiện: − < x < 2 2 A. π π x = . B. x = 0 . C. x = . D. x = π . 2 3
Câu 236: Nghiệm của phương trình 2
cos x + sin x +1 = 0 là A. π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ , k ∈ ℤ . 2 2 C. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = ∓ + k2π , k ∈ℤ . 2 2
Câu 237: Nghiệm của phương trình 2
2sin x − 5sin x − 3 = 0 là A. π 5π π π x = + k 2π ; x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . B. 7 x = − + k 2π ; x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 3 6 6 6 C. π π π x =
+ kπ ; x = π + k 2π , k ∈ ℤ . D. 5 x = + k 2π ; x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 2 4 4
Câu 238: Nghiêm của phương trình 2
sin x = − sin x + 2 là A. π
x = kπ , k ∈ ℤ . B. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 2 C. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 2 2
Câu 239: Phương trình 2
2 cos x + 3cos x − 2 = 0 có nghiệm là A. π π ±
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. ± + k2π , k ∈ℤ . 6 3 C. 2π π ±
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. + k2π ,k ∈ ℤ . 3 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 84 8
Câu 240: Phương trình 2
2sin x + 3sin x − 2 = 0 có nghiệm là A. π
kπ , k ∈ ℤ .
B. + kπ , k ∈ℤ . 2 C. π π 5π
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. + k2π ;
+ k 2π , k ∈ ℤ . 2 6 6
Câu 241: Phương trình lượng giác: 2
sin x − 3cos x − 4 = 0 có nghiệm là A. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ B. x = π
− + k2π , k ∈ ℤ C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ D. Vô nghiệm 2 6
Câu 242: Phương trình lượng giác: 2
cos x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là A. π
x = k 2π , k ∈ ℤ B. x = 0 C. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ D. Vô nghiệm 2 Câu 243: 3 Phương trình: 2
cos 2x + cos 2x − = 0 có nghiệm là 4 A. 2π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = ± + kπ , k ∈ℤ . 3 3 C. π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. x = ± + k2π , k ∈ ℤ . 6 6 Câu 244: π
Nghiệm của phương trình lượng giác: 2
2sin x − 3sin x +1 = 0 thỏa điều kiện 0 ≤ x < là 2 A. π π π π x = B. x = C. x = D. 5 x = 3 2 6 6
Câu 245: Phương trình 2
sin x + 3sin x − 4 = 0 có nghiệm là A. π π x =
+ k 2π , k ∈ Z B. x = π + k2π ,k ∈Z C. x = kπ ,k ∈Z D. x =
+ kπ , k ∈ Z 2 2
Câu 246: Phương trình 2
tan x + 5 tan x − 6 = 0 có nghiệm là A. π π x =
+ kπ ; x = arctan( 6
− ) + kπ (k ∈ ℤ) B. x =
+ k 2π ; x = arctan( 6
− ) + k 2π (k ∈ ℤ) 4 4 C. π x = −
+ kπ ; x = arctan( 6
− ) + k 2π (k ∈ ℤ) D. x = kπ ; x = arctan(−6) + kπ (k ∈ ℤ). 4 Câu 247: x x Phương trình: 2 sin − 2 cos + 2 = 0 có nghiệm là 3 3
A. x = kπ ,k ∈ℤ
B. x = k3π ,k ∈ ℤ
C. x = k2π ,k ∈ ℤ
D. x = k6π , k ∈ℤ Câu 248: π π Phương trình: tan
− x + 2 tan 2x + = 1 có nghiệm là 2 2 A. π π x =
+ k 2π (k ∈ ℤ) B. x =
+ kπ (k ∈ ℤ) 4 4 C. π π π x = + k (k ∈ℤ)
D. x = ± + kπ (k ∈ ℤ) 4 2 4
Câu 249: Nghiệm của phương trình 2
sin x − 4sin x + 3 = 0 là : A. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. x = ± + k 2π ,k ∈ℤ . 2 2 C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = k2π ,k ∈ℤ . 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 85 8
Câu 250: Giải phương trình 2
3 tan x − (1+ 3) tan x +1 = 0 A. π π π π x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = + k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 4 6 3 4 C. π π π π x = + k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 6 3 6
Câu 251: Phương trình cos 2x + 2cos x −11 = 0 có tập nghiệm là
A. x = arccos(−3) + k2π , k ∈ ℤ , x = arccos(−2) + k 2π , k ∈ ℤ . B. ∅ .
C. x = arccos(−2) + k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = arccos(−3) + k2π , k ∈ ℤ .
Câu 252: Giải phương trình 2
2cos x − 3cos x +1 = 0 A. π π x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. k2π , ± + k2π , k ∈ ℤ. 3 3 C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = k2π, k ∈ℤ . 3 Câu 253: 3
Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: 2
sin x − 2sin x + = 0 . 4 A. π π π x =
+ k 2π (k ∈ ℤ) . B. 5 x = + kπ ; x =
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 C. π 5π π π x = + k 2π ; x =
+ k 2π (k ∈ ℤ) . D. x = + kπ ; x = −
+ kπ (k ∈ ℤ) . 6 6 6 6
Câu 254: Phương trình 2
2sin x + sin x − 3 = 0 có nghiệm là A. π π π
kπ , k ∈ ℤ .
B. + kπ , k ∈ ℤ .
C. + k2π ,k ∈ℤ .
D. − + k2π , k ∈ ℤ . 2 2 6
Câu 255: Phương trình tan x + 3cot x = 4 (với. k ∈ℤ .) có nghiệm là A. π π
+ k 2π , arctan 3 + k 2π . B. + kπ . 4 4 C. π arctan 4 + kπ .
D. + kπ , arctan 3 + kπ . 4
Câu 256: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: 2
cos x − 4 cos x + 3 = 0 . A. π
x = π + k 2π (k ∈ ℤ) . B. x =
+ k 2π (k ∈ ℤ) . 2
C. x = k2π (k ∈ℤ) .
D. x = kπ (k ∈ℤ) .
Câu 257: Phương trình 2
3 tan x − (3 + 3 ) tan x + 3 = 0 có nghiệm là π π π π x = + kπ x = − + kπ x = + kπ x = − + kπ A. 4 . B. 4 . C. 4 . D. 4 . π π π π x = + kπ x = + kπ x = − − kπ x = − + kπ 3 3 3 3
Câu 258: Giải phương trình 2
sin x − 5sin x + 6 = 0 . π x = + k 2π A. π + 6 kπ . B. Vô nghiệm.
C. x = kπ . D. . 4 5π x = + k 2π 6 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 86 8
Câu 259: Giải phương trình 2
tan x − 2 tan x − 3 = 0 . A. π π x = − + kπ . B. x = + kπ .
C. x = kπ .
D. x = π + kπ . 4 4
Câu 260: Họ nghiệm của phương trình 2
sin 2x − 2s in2x +1 = 0 là : A. π π π π − + kπ . B. + kπ . C. + k 2π . D. − + k2π . 4 4 4 4
Câu 261: Họ nghiệm của phương trình 2
cos 2x − cos 2x − 2 = 0 là A. π π kπ π − π + kπ . B. − + . C. + k 2π . D. + k 2π . 2 2 2 2 2
Câu 262: Một họ nghiệm của phương trình 2
tan 2x − 3 tan 2x + 2 = 0 là A. π π π π π π − + kπ . B. + kπ . C. − + k . D. + k . 8 8 8 2 8 2
Câu 263: Một họ nghiệm của phương trình 2
cos 2x + sin 2x −1 = 0 là A. π π π π π + kπ . B. k . C. − + k . D. k . 2 3 2 2 2
Câu 264: Một họ nghiệm của phương trình 2cos 2x + 3sin x −1 = 0 là A. 1
π + arcsin − + k2π . B. 1
π − arcsin − + k2π . 4 4 C. π 1 1 π −
arcsin − + kπ . D. 1
− arcsin − + kπ . 2 2 4 2 4
Câu 265: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4x + 2cos 2x − 5 = 0 là A. π π k 2π . B. + k 2π . C. kπ . D. − + k2π . 3 3
Câu 266: Các họ nghiệm của phương trình 2
3sin 2x + 3cos 2x − 3 = 0 là A. π π π π π π kπ ; + k .
B. kπ ; − + k .
C. kπ; + kπ .
D. kπ;− + kπ . 4 2 4 2 4 4
Câu 267: Nghiệm của phương trình 2
sin 2x + 2 sin 2x +1 = 0 trong khoảng ( π − ;π ) là : A. π 3π π π π π π π − ; − . B. 3 − ; . D. 3 ; − . 4 4 4 4 . C. 3 ; 4 4 4 4 Câu 268: π π 3π 3π
Nghiệm của phương trình 2 2 cos 2x + + 3cos 2x +
− 5 = 0 trong khoảng − ; là 3 3 2 2 A. 7π π 5π π π π π π π π π π − ; ; . B. 7 5 ; − ; . C. 7 5 − ; − ; − . D. 7 5 − ; − ; . 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
Câu 269: Họ nghiệm của phương trình 3tan 2x + 2cot 2x − 5 = 0 là A. π π π π π π − + k . B. + k . C. 1 2 − arctan + k . D. 1 2 arctan + k . 4 2 4 2 2 3 2 2 3 2
Câu 270: Trong các nghiê ̣m sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2
2 tan x + 5 tan x + 3 = 0 là : A. π π π π − . B. − . C. − . D. 5 − . 3 4 6 6 Câu 271: π
Số nghiệm của phương trình 2 tan x − 2 cot x − 3 = 0 trong khoảng − ;π là : 2 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3. GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 87 8
Câu 272: Giải phương trình: 2
sin x + 2sin x − 3 = 0 . A. π π π kπ . B. − + kπ . C. + k2π . D. − + k2π . 2 2 2
Câu 273: Giải phương trình 2
3cos x + 2 cos x − 5 = 0 . A. π π x = kπ .
B. x = − + kπ . C. x = + k 2π .
D. x = k2π . 2 2
Câu 274: Giải phương trình : 2
tan x + 2 tan x +1 = 0 . A. π π π π + k . B. − + kπ . C. + k2π . D. kπ . 4 2 4 2
Câu 275: Giải phương trình 2
cos x − 3cos x + 2 = 0 . x = π k A. π .
B. x = k .
x = arccos 2 + k2π 2 x = k2π
C. x = k2π . D. .
x = ar cos 2 + k2π
Câu 276: Phương trình lượng giác : 2
sin x − 2 sin x = 0 có nghiệm là A. π π x = k 2π .
B. x = kπ . C. x = + kπ . D. x = + k 2π . 2 2
Câu 277: Phương trình 2 2
sin x + sin 2x = 1 có nghiệm là π π π x = + kπ x = + k A. 2 (k ∈ ℤ) . B. 3 2 . π π x = ± + kπ x = − + kπ 6 4 π π x = + k C. 12 3 . D. Vô nghiệm. π x = − + kπ 3
Câu 278: Phương trình 2
2 tan x + 3 tan x +1 = 0 có nghiệm là A. π
kπ (k ∈ℤ) . B. 1
+ kπ ; arctan − (k ∈ ℤ) . 4 2 C. π 1 π
+ k 2π , arctan − (k ∈ ℤ) . D. 1 −
+ kπ ; arctan − + kπ (k ∈ ℤ) . 2 2 4 2
Câu 279: Giải phương trình lượng giác 4 2
4sin x +12 cos x − 7 = 0 có nghiệm là A. π π π π π x = ± + k 2π . B. x = + k . C. x = + kπ .
D. x = − + kπ . 4 4 2 4 4 Phươngtrìnhđẳngcấp
Câu 280: Phương trình 2 2
6sin x + 7 3 sin 2x − 8 cos x = 6 có các nghiệm là π π x = + k π x = + k π A. 2 , k ∈ ℤ . B. 4 , k ∈ ℤ . π π x = + k π x = + kπ 6 3 π 3π x = + k π x = + k π C. 8 4 , k ∈ ℤ . D. , k ∈ ℤ . π 2π x = + k π x = + kπ 12 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 88 8
Câu 281: Phương trình ( + ) 2 x − x x + ( − ) 2 3 1 sin 2 3 sin cos
3 1 cos x = 0 có các nghiệm là π π x = − + kπ x = + kπ A. 4 (vôùi tanα = 2 − + 3) vôùi α = −
, k ∈ ℤ . B. 4 ( tan 2 3 ) , k ∈ ℤ . x = α + kπ x = α + kπ π π x = − + kπ x = + kπ C. 8 (vôùi tanα = −1+ 3) vôùi α = −
, k ∈ ℤ . D. 8 ( tan 1 3 ) , k ∈ ℤ . x = α + kπ x = α + kπ
Câu 282: Phương trình 2 2
3cos 4x + 5sin 4x = 2 − 2 3 sin 4x cos 4x có nghiệm là A. π π π x = −
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = − + k , k ∈ ℤ . 6 12 2 C. π π π π x = − + k , k ∈ ℤ . D. x = − + k , k ∈ ℤ . 18 3 24 4
Câu 283: Phương trình 2 3 sin 5x cos3x = sin 4x + 2 3 sin 3x cos5x có nghiệm là A. kπ 1 3 kπ kπ kπ x = , x = ± arccos + , k ∈ . ℤ B. 3 x = , x = ± arccos + , k ∈ . ℤ 4 4 12 2 4 48 2 C. kπ Vô nghiệm. D. x = , k ∈ . ℤ 2
Câu 284: Giải phương trình 2 2
3sin 2x − 2sin 2x cos 2x − 4 cos 2x = 2. A. 1 kπ 1 kπ x = arctan 3 + , x = arctan(−2) + , k ∈ . ℤ 2 2 2 2 B. 1+ 73 kπ 1 − 73 kπ x = arctan + , x = arctan + , k ∈ . ℤ 12 2 12 2 C. 1 1 + 73 kπ 1 1 − 73 kπ x = arctan + , x = arctan + , k ∈ . ℤ 2 6 2 2 6 2 D. 3 kπ kπ x = arctan + , x = arctan(−1) + , k ∈ . ℤ 2 2 2
Câu 285: Phương trình 2 2
2sin x + sin x cos x − cos x = 0 có nghiệm là π
A. π + kπ , k ∈ ℤ . B. 1
+ kπ , arctan + kπ , k ∈ ℤ . 4 4 2 π π C. 1 −
+ kπ , arctan + kπ , k ∈ ℤ . D. 1 −
+ k 2π , arctan + k 2π , k ∈ ℤ . 4 2 4 2
Câu 286: Một họ nghiệm của phương trình 2 2
2sin x − 5sin x cos x − cos x = 2 − là A. π π π π
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. − + kπ , k ∈ ℤ . C. + kπ , k ∈ ℤ .
D. − + kπ , k ∈ ℤ . 6 4 4 6
Câu 287: Một họ nghiệm của phương trình 2
2 3 cos x + 6sin x cos x = 3 + 3 là A. 3π π π π
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. + kπ , k ∈ ℤ .
C. − + kπ , k ∈ ℤ . D. − + k2π , k ∈ ℤ . 4 4 4 4
Câu 288: Một họ nghiệm của phương trình 2 3
− sin x cos x + sin x = 2 là A. 1 π arctan ( 2
− ) + kπ , k ∈ ℤ .
B. arctan (−2) + k , k ∈ℤ . 2 2 C. 1 π − arctan (−2) + k , k ∈ ℤ .
D. arctan (2) + kπ , k ∈ℤ . 2 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 89 8
Câu 289: Một họ nghiệm của phương trình 2 2
2sin x + sin x cos x − 3cos x = 0 là A. 3
arctan − + kπ , k ∈ ℤ . B. 3
− arctan − + kπ , k ∈ ℤ . 2 2 C. 3
arctan + kπ , k ∈ ℤ . D. 3
− arctan + kπ , k ∈ ℤ . 2 2
Câu 290: Một họ nghiệm của phương trình 2 2
3sin x − 4 sin x cos x + 5cos x = 2 là A. π π π π −
+ k 2π , k ∈ ℤ . B.
+ kπ , k ∈ ℤ .
C. − + kπ , k ∈ ℤ . D. 3 + k2π , k ∈ ℤ . 4 4 4 4
Câu 291: Phương trình : 2 2
sin x − ( 3 + 1) sin x cos x + 3 cos x = 0 có họ nghiệm là A. π π −
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. 3 + kπ , k ∈ ℤ . 4 4 C. π π π ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. + kπ , + kπ , k ∈ ℤ . 3 4 3
Câu 292: Giải phương trình : 4 4
sin x + cos x = 1 A. π π π x = + k , k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ , k ∈ ℤ . 4 2 4 C. π π x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. x = k , k ∈ ℤ . 4 2
Câu 293: Phương trình 2 2
2 cos x − 3 3 sin 2x − 4 sin x = 4 − có họ nghiệm là π x = + kπ A. 2 π , k ∈ ℤ . B. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . π 2 x = + kπ 6 C. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 6 2 π
Câu 294: Trong khoảng 0 ; , phương trình 2 2
sin 4x + 3.sin 4x.cos 4x − 4.cos 4x = 0 có: 2 A. Ba nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Bốn nghiệm. Phươngtrìnhdạngkhác Câu 295: 1
Phương trình sin x + cos x = 1− sin 2x có nghiệm là: 2 π π π x = + k x = + kπ A. 6 2 , k ∈ ℤ . B. 8 , k ∈ ℤ . π π x = k x = k 4 2 π π = + π = + π C. x k x k 4 , k ∈ ℤ . D. 2 2 , k ∈ ℤ . x = kπ x = k 2π Câu 296: 1 Phương trình 3 3
sin x + cos x = 1−
sin 2x có nghiệm là: 2 π π = + π = + π A. x k x k 4 , k ∈ ℤ . B. 2 2 , k ∈ ℤ . x = kπ x = k 2π 3π x = + kπ 3π x = + kπ C. 4 , k ∈ ℤ . D. 2 , k ∈ ℤ . π x = k x = (2k + )π 1 2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 90 9
Câu 297: Phương trình 2sin 2x −3 6 sin x + cos x +8 = 0 có nghiệm là π x = + kπ π = + π A. 3 x k , k ∈ ℤ . B. 4 , k ∈ ℤ . 5π x = + kπ x = 5π + kπ 3 π π x = + kπ x = + kπ C. 6 , k ∈ ℤ . D. 12 , k ∈ ℤ . 5π 5π x = + kπ x = + kπ 4 12
Câu 298: Phương trình 2sin x + cos x −sin 2x −1 = 0 có nghiệm là: π π x = + kπ x = + k 2π 6 6 A. 5π 5π x = + kπ , k ∈ ℤ . B. x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 6 6 x = kπ x = k 2π π π x = + k 2π x = + k 2π 6 6 C. π π x = − + k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = − + k 2π , k ∈ℤ . 6 6 x = k 2π x = kπ
Câu 299: Phương trình sin 3x + cos 2x =1+ 2sin x cos 2x tương đương với phương trình sin x = 0 = sin x 0 sin x = 0 sin x = 0 A. 1 . B. . C. . D. 1 . sin x = sin x = 1 sin x = 1 − sin x = − 2 2
Câu 300: Giải phươngtrình x ( x + x) 2 sin 2 cot tan 2 = 4cos x . A. π π π π x = + kπ , x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = + kπ , x = ± + k2π , k ∈ℤ . 2 6 2 6 C. π π π π x = + kπ , x = ±
+ k2π , k ∈ ℤ .
D. x = + kπ , x = ± + kπ , k ∈ℤ . 2 3 2 3
Câu 301: Phươngtrình 2 2 (sin x + cos x).cos x = 3+ cos2x có nghiệm là: π π A. x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ , k ∈ℤ . 6 6 π C. x =
+ k2π , k ∈ ℤ . D. Vô nghiệm. 3
Câu 302: Giải phương trình 3 3
cos x − sin x = cos 2x . π π π π
A. x = k2π , x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = k2π , x = + k π 2 , x =
+ k2π , k ∈ ℤ . 2 4 2 4 π π π π
C. x = k2π , x = + k π 2 , x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. x = kπ , x = + kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 2 4 2 4
Câu 303: Giải phương trình 1+ sin x + cos x + tan x = 0 . A. π π
x = π + k 2π , x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = π + k2π , x = − + k2π , k ∈ℤ . 4 4 C. π π
x = π + k 2π , x =
+ k2π , k ∈ ℤ .
D. x = π + k2π , x = − + kπ , k ∈ℤ . 4 4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 91 9
Câu 304: Phương trình 2 2
1+ cos x + cos x + cos 3x − sin x = 0 tương đương với phương trình
A. cos x(cos x + cos3x) = 0.
B. cos x(cos x −cos2x) = 0 .
C. sin x(cos x + cos2x) = 0.
D. cos x(cos x + cos 2x) = 0 .
Câu 305: Giải phương trình ( 6 6 x + x ) + ( 4 4 x + x) 2 4 sin cos 2 sin cos = 8 − 4 cos 2x π π π π A. k k x = ± + , k ∈ ℤ . B. x = ± + , k ∈ ℤ . 3 2 24 2 π π π π C. k k x = ± + , k ∈ ℤ . D. x = ± + , k ∈ ℤ . 12 2 6 2
Câu 306: Phương trình 2sin x + cot x = 1+ 2sin 2x tương đương với phương trình 2sin x = −1 2sin x = 1 A. . B. .
sin x − cos x − 2sin x cos x = 0
sin x + cos x − 2sin x cos x = 0 2sin x = −1 2sin x = 1 C. . D. .
sin x + cos x − 2sin x cos x = 0
sin x − cos x − 2sin x cos x = 0 Câu 307: sin 3x + cos 3x
Giải phương trình 5sin x + = cos 2x + 3 . 1 + 2 sin 2x A. π π x = ±
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. x = ± + k 2π , k ∈ℤ . 3 6 C. π π x = ±
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. x = ± + kπ , k ∈ℤ . 3 6
Câu 308: Giải phương trình sin .
x cos x (1+ tan x) (1+ cot x) = 1. A. kπ Vô nghiệm.
B. x = k2π , k ∈ℤ . C. x = , k ∈ ℤ .
D. x = kπ , k ∈ℤ . 2
Câu 309: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x + cos2x + 2sin 3xsin 2x = 0 trên [0;2π ] là A. 3π . B. 4π . C. 5π . D. 6π .
cos x (cos x + 2sin x) + 3sin x (sin x + 2 )
Câu 310: Nghiệm phương trình = 1 sin 2x −1 A. π π x = ±
+ k 2π . k ∈ ℤ .
B. x = − + kπ , k ∈ℤ . 4 4 π C. π 3 π x = −
+ k 2π , x = −
+ k2π , k ∈ ℤ .
D. x = − + k 2π , k ∈ℤ . 4 4 4 Câu 311: π 69π Số nghiệm thuộc ; 2
của phương trình 2sin 3 .
x (1− 4 sin x) = 1 là: 14 10 A. 40 . B. 32 . C. 41. D. 46 .
Câu 312: Giải phương trình 3 3 x + x = ( 5 5 sin cos
2 sin x + cos x ) . A. π π kπ x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = + , k ∈ ℤ . 4 4 2 C. π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = − + k2π , k ∈ℤ . 4 4
Câu 313: Giải phương trình tan x + tan 2x = −sin 3 . x cos 2x A. kπ kπ π x =
, x = π + k 2π , k ∈ ℤ . B. x = , x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . 3 3 2 C. kπ x = , k ∈ ℤ .
D. x = k2π , k ∈ℤ . 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 92 9 Câu 314: π 2π
Phương trình tan x + tan x + + tan x +
= 3 3 tương đương với phương trình: 3 3 A. cot x = 3. B. cot 3x = 3. C. tan x = 3. D. tan 3x = 3. 10 10 6 6 Câu 315: sin x + cos x sin x + cos x Giải phương trình = . 2 2 4
4 cos 2x + sin 2x A. π kπ
x = k 2π , x =
+ k2π , k ∈ ℤ . B. x = , k ∈ ℤ . 2 2 C. π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
D. x = kπ , x = + k2π , k ∈ℤ . 2 2 π Câu 316: x π x Cho phương trình 2 2 2 sin − tan x − cos = 0 (*) và x = −
+ kπ (1), x = π + k2π (2), 2 4 2 4 π x =
+ k2π (3), với k ∈ .
ℤ Các họ nghiệm của phương trình (*) là: 2 A. (1) và (2). B. (1) và (3). C. (1), (2) và (3). D. (2) và (3).
Câu 317: Cho phương trình: 2 2
4 cos x + cot x + 6 = 2 (2 cos x − cot x) . Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0; 2π ) ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 318: Giải phương trình sin x.cos x.cos2x = 0 π π π A. kπ . B. k . C. k . D. k . 2 4 8 Câu 319: 1
Nghiệm của phương trình cos x cos5x =
cos6x (với k ∈ ℤ ) là 2 π π π π π A. k k k x = + π k . B. x = . C. x = . D. x = + . 8 2 4 8 4
Câu 320: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos .
x sin 3x − cos x = 0 là : π π π π π π A. − + k . B. + k . C. k . D. k . 6 3 6 3 2 4 Câu 321: cos 4x π
Số nghiệm của phương trình
= tan 2x trong khoảng 0; là : cos 2x 2 A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 3 .
Câu 322: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2
sin x + sin 2x = cos x + 2cos x là : π π π π A. . B. 2 . C. . D. . 6 3 4 3
Câu 323: Một nghiệm của phương trình lượng giác: 2 2 2
sin x + sin 2x + sin 3x = 2 là. π π π π A. B. C. D. . 3 12 6 8
Câu 324: Nghiệm dươngnhỏ nhất của phương trình 2
2 cos x + cos x = sin x + sin 2 x là? π π π π A. x = . B. x = . C. x = . D. 2 x = . 6 4 3 3
Câu 325: Phương trìnhsin 3x + cos2x = 1 + 2sin x cos2x tương đương với phương trình: sin x = 0 sin x = 0 sin x = 0 sin x = 0 A. . B. . C. 1 . C. 1 . sin x = 1 sin x = 1 − sin x = sin x = − 2 2 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 93 9 Câu 326: 7 Phương trình 6 6 sin x + cos x = có nghiệm là: 16 π π π π π π π π A. x = ± + k . B. x = ± + k . C. x = ± + k . D. x = ± + k . 3 2 4 2 5 2 6 2
Câu 327: Phương trình sin 3x − 4sin x.cos2x = 0 có các nghiệm là: π 2π x = k 2π x = kπ x = k x = k A. 3 π . B. . C. 2 . D. . π x = ± + π n x = ± + π n π 2π 3 6 x = ± + π x = ± + π n n 4 3 Câu 328: x x Phương trình 4 4 sin 2x = cos − sin có các nghiệm là; 2 2 π 2π π π π π π x = + k x = + k x = + kπ x = + k A. 6 3 . B. 4 2 . C. 3 . D. 12 2 . π π π 3π x = + k2π x = + π k x = 3 + k 2π x = + kπ 2 2 2 4 Câu 329: π 3
Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình 3 3 sin . x cos 3x + cos . x sin 3x = là: 2 8 π π π π π π π π A. 5 , . B. 5 , . C. 5 , . D. 5 , . 6 6 8 8 12 12 24 24 Câu 330: x x 5
Các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π ) của phương trình: 4 4 sin + cos = là: 2 2 8 π π π π π π π π π π π π π π A. 5 9 ; ; ; . B. 2 4 5 ; ; ; . C. 3 ; ; . D. 3 5 7 ; ; ; . 6 6 6 3 3 3 3 4 2 2 8 8 8 8
Câu 331: Phương trình 2cot 2x − 3cot 3x = tan 2x có nghiệm là: π A. x = k .
B. x = kπ .
C. x = k2π . D. Vô nghiệm. 3
Câu 332: Phương trình 4 6
cos x − cos 2x + 2sin x = 0 có nghiệm là: π π π A. x = + π k . B. x = + k .
C. x = kπ .
D. x = k2π . 2 4 2
Câu 333: Cho phương trình 2
cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + 3 cos x +1 . Các nghiệm thuộc khoảng ( π
− ;π ) của phương trình là: A. 2π π π π π π π π − , . B. 2 − , . C. − , . D. − , . 3 3 3 3 2 4 2 2 Câu 334: π π 5 Phương trình: 4 4 4
sin x + sin x + + sin x − = có nghiệm là: 4 4 4 π π π π π A. x = + k . B. x = + k . C. x = + π k .
D. x = π + k2π . 8 4 4 2 2 Câu 335: π π
Phương trình: cos 2x + + cos 2x −
+ 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x) có nghiệm là: 4 4 π π π π x = + k 2π x = + k2π x = + k2π x = + k 2π A. 12 6 3 . B. . C. . D. 4 . 11π 5π 2π 3π x = + k 2π x = + k π x = + k π 2 2 x = + k 2π 12 6 3 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 94 9
Câu 336: Phương trình: 5 5 2 4cos . x sin x − 4sin .
x cos x = sin 4x có các nghiệm là: π π x = k x = k x = kπ x = k 2π A. 4 . B. 2 . C. 3π . D. π . π π π π x = + π k x = + k 2π x = + k x = + k 4 3 8 2 4 2 x x Câu 337: sin 3 + cos 3 3 + cos 2x
Cho phương trình: sin x + =
. Các nghiệm của phương trình thuộc 1 + 2 sin 2 x 5 khoảng (0; 2π ) là: π π π π π π π π A. 5 , . B. 5 , . C. 5 , . D. 5 , . 12 12 6 6 4 4 3 3 Câu 338: 3 1
Phương trình 8cos x = + có nghiệm là: sin x cos x π π π π π π π π x = + k x = + k x = + k x = + k A. 16 2 . B. 12 2 . C. 8 2 . D. 9 2 . 4π π π 2π x = + π x = + π x = + π k x = + kπ k k 3 3 6 3 Câu 339: π π π Phương trình: 2 2 3 sin x − cos x − + 2 cos x − = 3 + 1 có nghiệm là: 8 8 8 3π 3π 5π 5π x = + π k x = + π k x = + π k x = + π k A. 8 4 8 . B. 4 . C. . D. . 5π 5π 5π 7π x = + π k x = + π k x = + π k x = + kπ 24 12 16 24
Câu 340: Phương trình: sin 3x (cos x − 2sin 3x) + cos3x (1 + sin x − 2cos3x) = 0 có nghiệm là: π π π π A. x = + π k . B. x = + k . C. x = + k2π . D. Vô nghiệm. 2 4 2 3
Câu 341: Phương trình: ( x − x ) ( x + x ) 2 sin sin 2 sin sin 2
= sin 3x có các nghiệm là: π π x = k x = k 2π x = x = k3π A. 3 k . B. 6 . C. 3 . D. . π π x = k2π x = x = kπ k x = k 2 4 Câu 342: cos 2x
Phương trình cos x + sin x = có nghiệm là: 1 − sin 2x π π 3π 5π x = − + k 2π x = + k 2π x = + kπ x = + π k 4 4 4 4 A. π π π 3π x = + kπ . B. x = + kπ .
C. x = − + k2π . D. x = + π k . 8 2 2 8 π x = kπ x = k2π π x = k x = k 2 4 Câu 343: 1 1
Phương trình 2 sin 3x − = 2cos 3x + có nghiệm là: sin x cos x π π π π A. x = + π k . B. x = − + π k . C. 3 x = + π k . D. 3 x = − + π k . 4 4 4 4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 95 9 Câu 344: π Phương trình 2 2 sin 3x +
= 1 + 8sin 2x.cos 2x có nghiệm là: 4 π π π π x = + π k x = + kπ x = + π k x = + kπ A. 6 . B. 12 . C. 18 . D. 24 . 5π 5π 5π 5π x = + π x = + π k x = + π k k x = + π k 6 12 18 24
Câu 345: Phương trình 2 2 2 2
sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x có các nghiệm là: π π x = k x = k π π x = x = A. 12 k k . B. 9 . C. 6 . D. 3 . π π x = x = kπ x = k π k x = k 2 4 2 Câu 346: π 2π
Phương trình: 4 sin x.sin x + .sin x +
+ cos 3x = 1 có các nghiệm là: 3 3 π 2π π π x = + k x = + kπ π x = + k 2π x = + k π A. 6 3 . B. 4 . C. 2 2 3 . D. . 2π π π x = x = kπ k x = k x = k 3 3 4 Câu 347:
sin x + sin 2x + sin 3x Phương trình = 3 có nghiệm là:
cos x + cos 2x + cos 3x π π π π π A. 5 x = + k . B. x = + k ,. x = + k2π . 3 2 6 2 3 π π π π C. 5 x = + kπ ,. x = + k2π . D. 5 x = + k . 6 3 6 2
Câu 348: Các nghiệm thuộc khoảng (0;π ) của phương trình: tan x + sin x + tan x − sin x = 3tan x là: π π π π π π π A. 5 , . B. 3 , . C. 5 , . D. . 8 8 4 4 6 6 6 Câu 349: sin 3x cos 3x 2 Phương trình + = có nghiệm là: cos 2x sin 2x sin 3x π π π π π π π A. x = + k . B. x = + k . C. x = + k . D. x = + π k . 8 4 6 3 3 2 4
Câu 350: Phương trình 3 3 3 3
sin x + cos x + sin . x cot x + cos . x tan x =
2 sin 2 x có nghiệm là: π π π π A. x = + π k . B. x = + π k . C. x = + k2π . D. 3 x = + k 2π . 8 4 4 4 4 4 Câu 351: sin x + cos x 1 Phương trình =
(tan x + cot x) có nghiệm là: sin 2 x 2 π π π π A. x = + π k . B. x = + k2π . C. x = + k . D. Vô nghiệm. 2 3 4 2
Câu 352: Phương trình ( x + ) ( x + x − ) 2 2 sin 1 3cos 4 2 sin
4 + 4 cos x = 3 có nghiệm là: π π π π x = − + k 2π x = + k 2π x = − + k 2π x = + k 2π 6 6 3 3 A. 7π 5π 4π 2π x = + k 2π . B. x = + k π . C. x = + k π . D. x = + k π . 2 2 2 6 6 3 3 π x = kπ x = k2π 2π x = k x = k 2 3 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 96 9 Câu 353: 1
Phương trình 2 tan x + cot 2x = 2 sin 2x + có nghiệm là: sin 2x π π π π π A. x = ± + k . B. x = ± + π k . C. x = ± + π k . D. x = ± + π k . 12 2 6 3 9 Câu 354: 1 2 Phương trình: 48 − −
(1+ cot 2x.cot x) = 0 có các nghiệm là 4 2 cos x sin x A. π π π π π π π π x = + k . B. x = + k . C. x = + k . D. x = + k . 16 4 12 4 8 4 4 4
Câu 355: Phương trình: 5(sin x + cos x) + sin 3x − cos3x = 2 2 (2 + sin 2x) có các nghiệm là A. π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
B. x = − + k 2π , k ∈ℤ . 4 4 C. π π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .
D. x = − + k 2π , k ∈ℤ . 2 2
Câu 356: Cho phương trình cos2 . x cos x + sin .
x cos 3x = sin 2x sin x − sin 3x cos x và các họ số thực:. π π I. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . II. x = −
+ k 2π , k ∈ ℤ . 4 2 π 2π π 4π III. x = − + k , k ∈ ℤ . IV. x = + k , k ∈ ℤ . 14 7 7 7
Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là A. I, II. B. I, III. C. II, III. D. II, IV.
Câu 357: Cho phương trình 2 ( x − °) 2 cos 30
− sin ( x − 30°) = sin ( x + 60°) và các tập hợp số thực:
I. x = 30° + k120° , k ∈ℤ .
II. x = 60° + k120° , k ∈ ℤ .
III. x = 30° + k360° , k ∈ℤ .
IV. x = 60° + k360° , k ∈ ℤ .
Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I, III. D. I, IV. Câu 358: π x x Phương trình 4 4
sin x − sin x +
= 4 sin cos cos x có nghiệm là 2 2 2 A. 3π π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. 3 x = + k , k ∈ ℤ . 4 8 2 C. 3π π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. 3 x = + k , k ∈ ℤ . 12 16 2
Câu 359: Một nghiệm của phương trình 2 2 2
cos x + cos 2x + cos 3x = 1 có nghiệm là A. π π π π x = . B. x = . C. x = . D. x = . 8 12 3 6 Câu 360: π x 7 Phương trình: 2 2 sin .
x cos 4x − sin 2x = 4 sin − − có nghiệm là 4 2 2 π π x = − + kπ x = − + k 2π A. 6 6 , k ∈ ℤ . B. , k ∈ ℤ . 7π 7π x = + kπ x = + k2π 6 6 π π x = − + k 2π x = − + kπ C. 6 , k ∈ ℤ . D. 6 , k ∈ ℤ . π π x = + k2π x = + kπ 6 6 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 97 9
Câu 361: Phương trình 2
cos 2x + sin x + 2 cos x + 1 = 0 có nghiệm là x = k2π A. π x = π + k π , k ∈ ℤ . B. 2 , k ∈ ℤ . x = + k 2π 3 π x = + kπ C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. 3 , k ∈ ℤ . 3 π x = − + kπ 3 Câu 362: 3 Phương trình: 12 12 sin x + cos x = 2 ( 14 14 sin x + cos
x) + cos2x có nghiệm là 2 A. π π π x =
+ kπ , k ∈ ℤ . B. x = + k , k ∈ ℤ . 4 4 2 C. π x =
+ k 2π , k ∈ ℤ . D. Vô nghiệm. 4 Câu 363: π π 3 Phương trình: 4 4
cos x + sin x + cos x − .sin 3x − − = 0 có nghiệm là: 4 4 2 π
A. x = k2π (k ∈ℤ) .
B. x = k3π (k ∈ℤ) .
C. x = k4π (k ∈ℤ) . D. x =
+ kπ (k ∈ℤ) . 4
Câu 364: Giải phương trình 2 2 2 2
sin x + sin 3x = cos x + cos 3x π π π π π A. k k x = ±
+ k2π , k ∈ ℤ . B. x = − + , x = + , k ∈ ℤ . 4 4 2 8 4 π π π π π π π π C. k k k k x = + , x = + , k ∈ ℤ . D. x = − + , x = + , k ∈ ℤ . 4 2 8 4 4 2 4 2
Câu 365: Giải phương trình sin .
x cos x (1+ tan x) (1+ cot x) = 1. π A. k Vô nghiệm.
B. x = k2π , k ∈ℤ . C. x = , k ∈ ℤ .
D. x = kπ , k ∈ℤ . 2
Câu 366: Phương trình sin 3x + cos 2x =1+ 2sin x cos 2x tương đương với phương trình: = = sin x 0 sin x 0 sin x = 0 sin x = 0 A. . B. . C. 1 . D. 1 . sin x = 1 sin x = 1 − sin x = sin x = − 2 2
Câu 367: Trong nửa khoảng [0;2π ) , phương trình sin 2x + sin x = 0 có số nghiệm là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 368: Giải phương trình 2 2
3sin x − sin 2x − cos x = 0 A. π 1 x =
+ k 2π , x = arctan − + k2π , k ∈ ℤ . 4 3 π B. ± x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 C. π 1 x =
+ kπ , x = arctan − + kπ , k ∈ ℤ . 4 3 D. Vô nghiệm. Câu 369: 1 1 2 Giải phương trình + = sin 2x cos 2x s in4x π
A. x = kπ , x =
+ kπ , k ∈ ℤ .
B. x = kπ , k ∈ ℤ . 4 π C. Vô nghiệm. D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 98 9
Câu 370: Giải phương trình ( x + x)2 tan cot
− tan x − cot x = 2 . π A. ± Cả 3 đáp án. B. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 4 π π C. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . D. x =
+ kπ , k ∈ ℤ . 6 4 Phươngtrìnhchứathamsố
Câu 371: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x = m có nghiệm: A. m ≤1. B. m ≥ 1 − . C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m ≤ 1 − .
Câu 372: Phương trình cos x − m = 0 vô nghiệm khi m là m < 1 − A. . B. m > 1. C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m < 1 − . m > 1
Câu 373: Cho phương trình: 3 cos x + m −1 = 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:
A. m <1− 3 . B. m >1+ 3 .
C. 1− 3 ≤ m ≤ 1+ 3 .
D. − 3 ≤ m ≤ 3 .
Câu 374: Phương trình mcos x +1 = 0 có nghiệm khi m thỏa điều kiện m ≤ 1 − m ≤1 A. . B. m ≥ 1. C. m ≥ 1 − . D. m ≥ 1 m ≥ 1 −
Câu 375: Phương trình: cos x − m = 0 vô nghiệm khi m là m < 1 − A. . B. m > 1. C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m < 1 − . m > 1
Câu 376: Phương trình cos x = m +1 có nghiệm khi m là A. 1 − ≤ m ≤ 1 . B. m ≤ 0 . C. m ≥ 2 − . D. 2 − ≤ m ≤ 0 .
Câu 377: Cho phương trình: 3 cos x + m −1= 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
A. m <1− 3 . B. m >1+ 3 .
C. 1− 3 ≤ m ≤ 1+ 3 .
D. − 3 ≤ m ≤ 3 . π Câu 378: x Để phương trình 2
cos − = m có nghiệm, ta chọn 2 4 A. m ≤ 1.
B. 0 ≤ m ≤ 1. C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m ≥ 0 .
Câu 379: Phương trình 2sin x − m = 0 vô nghiệm khi m là A. 2 − ≤ m ≤ 2 . B. m < 1 − . C. m > 1. D. m < 2 − hoặc m > 2 π
Câu 380: Cho phương trình cos 2x − − m = 2 . Tìm m để phương trình có nghiệm? 3
A. Không tồn tại m .
B. m ∈[−1;3] .
C. m ∈[−3; − ] 1 .
D. mọi giá trị của m .
Câu 381: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x + cos x = m có nghiệm:
A. − 2 ≤ m ≤ 2 . B. m ≥ 2 . C. 1 − ≤ m ≤ 1 . D. m ≤ 2 .
Câu 382: Điều kiện để phương trình msin x − 3cos x = 5 có nghiệm là m ≤ 4 − A. m ≥ 4 . B. 4 − ≤ m ≤ 4 . C. m ≥ 34 . D. . m ≥ 4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 99 9
Câu 383: Với giá trị nào của m thì phương trình (m +1)sin x + cos x = 5 có nghiệm. m ≥1 A. 3 − ≤ m ≤ 1.
B. 0 ≤ m ≤ 2 . C. .
D. − 2 ≤ m ≤ 2 . m ≤ 3 −
Câu 384: Cho phương trình: ( 2 m + ) 2
2 cos x − 2m sin 2x +1 = 0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích
hợp của tham số m là A. 1 − ≤ m ≤ 1 . B. 1 1 − ≤ m ≤ . C. 1 1 − ≤ m ≤ . D. | m |≥ 1 . 2 2 4 4 Câu 385: m Tìm m để pt 2 sin 2x + cos x = có nghiệm là 2
A. 1− 3 ≤ m ≤ 1+ 3 .
B. 1− 2 ≤ m ≤1+ 2 .
C. 1− 5 ≤ m ≤ 1+ 5 .
D. 0 ≤ m ≤ 2 .
Câu 386: Điều kiện có nghiệm của phương trình asin5x + bcos5x = c là A. 2 2 2
a + b < c . B. 2 2 2
a + b ≤ c . C. 2 2 2
a + b ≥ c . D. 2 2 2
a + b > c .
Câu 387: Điều kiện để phương trình msin x + 8cos x = 10 vô nghiệm là m ≤ 6 − A. m > 6 . B. .
C. m < −6 .
D. −6 < m < 6 . m ≥ 6
Câu 388: Điều kiện để phương trình 12sin x + m cos x = 13 có nghiệm là m ≤ 5 − A. m > 5 . B. .
C. m < −5 .
D. −5 < m < 5 . m ≥ 5
Câu 389: Tìm điều kiện để phương trình msin x +12cos x = −13 vô nghiệm. m ≤ 5 − A. m > 5 . B. .
C. m < −5 .
D. −5 < m < 5 . m ≥ 5
Câu 390: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x − mcos x = 10 vô nghiệm. m ≤ 8 − A. . B. m > 8 .
C. m < −8 .
D. −8 < m < 8 . m ≥ 8
Câu 391: Tìm m để phương trình 5cos x − m sin x = m +1 có nghiệm
A. m ≤ −13 . B. m ≤ 12 . C. m ≤ 24 . D. m ≥ 24 .
Câu 392: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x + mcos x = 5 vô nghiệm. m ≤ 4 − A. . B. m > 4 . C. m < 4 − . D. 4 − < m < 4 . m ≥ 4
Câu 393: Điều kiện để phương trình .
m sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là m ≤ 4 − A. m ≥ 4 . B. 4 − ≤ m ≤ 4 . C. m ≥ 34 . D. . m ≥ 4 π π Câu 394:
Tìm m để phương trình 2sin x + m cos x = 1− m (1) có nghiệm x ∈ − ; 2 2 .
A. − 3 ≤ m ≤ 1
B. − 2 ≤ m ≤ 6
C. 1 ≤ m ≤ 3
D. − 1 ≤ m ≤ 3
Câu 395: Tìm m để phương trình msinx + 5cosx = m +1 có nghiệm. A. m ≤ 12 B. m ≤ 6 C. m ≤ 24 D. m ≤ 3
Câu 396: Điều kiện để phương trình .
m sin x − 3cos x = 5 có nghiệm là m ≤ 4 − A. . B. m ≥ 4 . C. m ≥ 34 . D. 4 − ≤ m ≤ 4 . m ≥ 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 100
Câu 397: Để phương trình cos x + sin x = m có nghiệm, ta chọn: A. 1 − ≤ m ≤ 1 .
B. 0 ≤ m ≤ 2 . C. m tùy ý.
D. − 2 ≤ m ≤ 2 .
Câu 398: Phương trình mcos 2x + sin 2x = m − 2 có nghiệm khi và chỉ khi A. 3
m ∈ −∞; . B. 4 m ∈ −∞; . C. 4 m ∈ ; +∞ . D. 3 m ∈ ; +∞ . 4 3 3 4
Câu 399: Cho phương trình 4sin x + (m − )
1 cos x = m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có nghiệm: A. 17 m < . B. 17 m ≤ − . C. 17 m ≥ . D. 17 m ≤ . 2 2 2 2
Câu 400: Phương trình3sin x – 4cos x = m có nghiệm khi A. 5 − ≤ m ≤ 5
B. m ≥ 5 hoặc m ≤ –5 C. m ≥ 5 D. m ≤ –5
Câu 401: Cho phương trình lượng giác: 3sinx + (m − )
1 cosx = 5 . Định m để phương trình vô nghiệm. A. 3 − < m < 5 B. m ≥ 5 C. m ≤ 3
− hay m ≥ 5 D. 3 − ≤ m ≤ 5
Câu 402: Cho phương trình msin x − 1−3m cos x = m − 2. Tìm m để phương trình có nghiệm.
A. 1 ≤ m ≤ 3 B. 1 m ≤ 3 3
C. Không có giá trị nào của m D. m ≥ 3
Câu 403: Tìm m để phương trình 2
2sin x + msin 2x = 2m vô nghiệm. m ≤ 0 m < 0 A. 4 0 ≤ m ≤ . B. 4 . C. 4 0 < m < . D. 4 . 3 m ≥ 3 m > 3 3
Câu 404: Tìm m để phương trình msin x + 5cos x = m +1 có nghiệm: A. m ≤ 12 . B. m ≤ 6 . C. m ≤ 24 . D. m ≤ 3 . π
Câu 405: Tìm m để phương trình 2
2 sin x − (2m + )
1 sin x + m = 0 có nghiệm x ∈ − ;0 . 2 A. 1 − < m < 0.
B. 1 < m < 2. C. 1 − < m < 0.
D. 0 < m <1. 6 6 Câu 406: sin x + cos x Cho phương trình:
= 2m. tan 2x , trong đó m là tham số. Để phương trình có 2 2 cos x − sin x
nghiệm, các giá trị thích hợp của m là A. 1 1 1 m ≤ − hay m ≥ . B. 1 m ≤ − hay m ≥ . 8 8 4 4 C. 1 1 1 m < − hay m > . D. 1 m < − hay m > . 8 8 4 4 6 6 Câu 407: Để sin x + cos x phương trình
= m có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện: π π tan x + tan x − 4 4 A. 1 −1 ≤ m < − . B. 2 − ≤ m ≤ 1 − . 4
C. 1 ≤ m ≤ 2.
D. 1 ≤ m ≤ 1. 4 GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 101 π π
Câu 408: Để phương trình: 2 4 sin x + .cos x −
= a + 3 sin 2x − cos 2x có nghiệm, tham số a 3 6 phải thỏa điều kiện: A. 1 − ≤ a ≤ 1. B. 2 − ≤ a ≤ 2 . C. 1 1 − ≤ a ≤ .
D. −3 ≤ a ≤ 3 . 2 2
Câu 409: Cho phương trình sin xcos x − sin x − cos x + m = 0 , trong đó m là tham số thực. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là A. 1 2 − ≤ m ≤ − − 2 . B. 1 − − 2 ≤ m ≤ 1 . C. 1 1 ≤ m ≤ + 2 .
D. 1 + 2 ≤ m ≤ 2 . 2 2 2 2
Câu 410: Để phương trình: 2 sin x + 2 (m + )
1 sin x − 3m (m − 2) = 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là 1 1 1 1 − ≤ m < − ≤ m ≤ 2 − ≤ m ≤ 1 − −1 ≤ m ≤ 1 A. 2 2 . B. . C. . D. . 3 3 0 ≤ m ≤ 1 3 ≤ m ≤ 4 1 ≤ m ≤ 2 1 ≤ m ≤ 3 Câu 411: 1 4 tan x Cho phương trình cos 4x +
= m . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m 2 2 1 + tan x
phải thỏa mãn điều kiện: A. 5 − ≤ m ≤ 0 .
B. 0 < m ≤ 1. C. 3 1 < m ≤ . D. 5 3 m < − hay m > . 2 2 2 2 2 2 2 Câu 412: Để a sin x + a − 2 phương trình =
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 2 1 − tan x cos 2 x a > 1 a > 2 a > 3 a > 4 A. . B. . C. . D. . a ≠ 3 a ≠ 3 a ≠ 3 a ≠ 3
Câu 413: Cho phương trình: ( 4 4 x + x ) − ( 6 6 x + x ) 2 4 sin cos 8 sin cos
− 4 sin 4x = m trong đó m là tham số.
Để phương trình vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là A. 25 − ≤ m ≤ 0 . B. 25 − ≤ m ≤ −4 . 4 4 C. 24 m < − hay m > 4 − . D. 24 m < − hay m > 0 . 5 5
Câu 414: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 2 x − (m − ) x x − (m − ) 2 sin 2 1 sin cos
1 cos x = m có nghiệm?
A. 0 ≤ m ≤ 1. B. m > 1.
C. 0 < m < 1. D. m ≤ 0 . π π
Câu 415: Chophương trình sin x − − 3cos x − = 2m . Tìm m để phương trình vô nghiệm. 3 3 A. (−∞;− ]
1 ∪ [1; +∞) . B. (−∞; − )
1 ∪ (1; +∞) . C. [−1; ] 1 . D. m ∈ ℝ .
Câu 416: Để phương trình 6 6
sin x + cos x = a | sin 2x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là A. 1 0 ≤ a < . B. 1 3 < a < . C. 1 a < . D. 1 a ≥ . 8 8 8 4 4 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 102
Phần 6 – BẢNG ĐÁP ÁNBÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B D B A D D D A A C C A D C C C C D B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C B B A D D D B D C C A D C C B D C D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B C C C B B C A B A A C B A A A A A C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 C D B A B B B A C B D D C B B B B A D B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A A D A C B A B B A D D B B D B A B B A
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D B B A C D D C B B B D B A C B B B B B
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 A B A B D A B C A A A B A A C D D C D D
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 C D B A A A C D C B C B C D A A C B A D
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 D D C D D D C C B A A B C B A C D D D A
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 A A C D C B B C D A D A B B D B D A C C
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 D C A B B A B C A D C D D A B A C D A B
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 D B A A C A C B C A A A B D B C B B B D
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 D A C C A A D B C A B B C C D C A B A B
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 A D D B C A B D D B D C D B C B A D B A
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 B D D A C C B A A B D D A B D B D B A A
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 D C D D C D A A A D C B C C B A D C D B
321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 A C C B C D B A D B C C D B B A D B B D
341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 A C A B B A C D B B D A C C A C C B D B
361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 B B D C A C A C C D C A C A A D C B D C
381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 A D C D X C D B D D B D D D A A D D D A
401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 A C D A C C A B B B D A D A B D GV G . V TRẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm và v Bi B ên n tập) p 103
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................ TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 11 – CH C Ủ ĐỀ 1: LƯỢNG G GI G ÁC Á 104 MỤC LỤC
Phần 1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .................................................................................................... 1
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số ......................................................................................... 2
Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác ..................................... 3
Dạng 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số ........................................................................................ 4
Dạng 4. Tính tuần hoàn của hàm số ........................................................................................... 6
Dạng 5. Sử dụng đồ thị ................................................................................................................ 8
Phần 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC .................................................................................. 10
Dạng 1. Phương trình cơ bản ..................................................................................................... 10
Dạng 2. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác ................................................. 12
Dạng 3. Tìm nghiệm phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn cho trước ....................... 14
Dạng 4. Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác ..................................... 16
Dạng 5. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x (Phương trình cổ điển) .................... 18
Dạng 6. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba ................................................................... 20
Dạng 7. [NC] Phương trình đối xứng – Phản đối xứng .......................................................... 22
Dạng 8. [NC] Phương trình lượng giác không mẫu mực ....................................................... 23
Dạng 9. Phương trình lượng giác có tham số........................................................................... 24
Dạng 10. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác ................................................ 25
Phần 3 - BÀI TẬP TỔNG HỢP CHUYÊN ĐỀ 1 ............................................................................ 33
Phần 4 - PTLG TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ-THPTQG .......................................................... 37
Dạng 1. Công thức lượng giác ................................................................................................ 37
Dạng 2. Đưa về phương trình tích ......................................................................................... 38
Dạng 3. Biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng ............................................................... 42
Dạng 4. Phương trình bậc 2 - bậc 3 ........................................................................................ 44
Dạng 5. Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx...................................................................... 49
Dạng 6. Phương trình đẳng cấp ............................................................................................. 52
Dạng 7. Phương trình đối xứng ............................................................................................. 53
Dạng 8. Phương pháp hạ bậc ................................................................................................. 53
Dạng 9. Công thức nhân ba .................................................................................................... 56
Dạng 10. Phương trình có chứa giá trị tuyện đối Phương trình có chứa căn thức .............. 57
Dạng 11. Phương trình có chứa tham số ................................................................................. 58
Phần 5 - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................ 59
Hàm số lượng giác ...................................................................................................................... 59
Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất ......................................................................... 65
Phương trình cổ điển .................................................................................................................. 77
Phương trình bậc hai – bậc ba ................................................................................................... 81
Phương trình đẳng cấp .............................................................................................................. 87
Phương trình dạng khác ............................................................................................................ 89
Phương trình chứa tham số ....................................................................................................... 98
Phần 6 – BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................ 102
MỤC LỤC ......................................................................................................................................... 104