Hình thang vuông là gì? Định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết
1. Hình thang vuông là gì?
Hình thang là mô ̣t tứ giác có hai ca ̣nh đối song song, hai ca ̣nh song song này đươ ̣c go ̣i là các ca ̣nh đáy của hình thang.
Hình thang vuông là hình thang có 1 góc vuông, hình thang vuông là một trường hơp đặc biê ̣t
của hình thang. Hình thang vuông là hình ho ̣c quan tro ̣ng trong cả toán ho ̣c và đời sống, vì vâ ̣y
mà viê ̣c nắm đươ ̣c khái niê ̣m của hình thang vuông là rất cần thiết.    
Hình ảnh minh hoạ hình thang vuông
2. Dấu hiê ̣u nhâ ̣n biết và đă ̣c điểm, tính chất của hình thang vuông
*Dấu hiệu nhận biết
Mô ̣t tứ giác có hai ca ̣nh song song là hình thang
Hình thang có mô ̣t góc vuông là hình thang vuông.
*Đă ̣c điểm, tính chất của hình thang vuông
- Nếu mô ̣t hình thang có hai ca ̣nh bên song song thì hai ca ̣nh bên song song và bằng nhau;
- Nếu mô ̣t hình thang có hai ca ̣nh đáy bằng nhau thì hai ca ̣nh bên song song và bằng nhau.
- Hình thang vuông mang những đă ̣c điểm cơ bản của hình thang như có hai ca ̣nh đáy song song,
và ngoài ra hình thang vuông có ca ̣nh vuông góc với hai đáy, ta ̣o nên góc 90 đô ̣.
3. Các công thức tính toán về hình thang vuông cần biết
* Công thức tính diê ̣n tích hình thang vuông
Công thức tính diê ̣n tích hình thang vuông sẽ giống với công thức tính diê ̣n tích hình thang, sẽ
đươ ̣c tính như sau: trung bình cô ̣ng 2 ca ̣nh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy.
Lưu ý: chiều cao ở đây chính là ca ̣nh bên vuông góc với cả 2 đáy.
Hay diê ̣n tích hình thang vuông bằng mô ̣t nửa tích của tổng 2 đáy và chiều cao ứng với 2 ca ̣nh
đáy hoă ̣c bằng tích của đường cao và trung bình cô ̣ng của 2 đáy Trong đó:
- S là diê ̣n tích hình thang
- a và b là đô ̣ dài 2 ca ̣nh đáy
- h là đô ̣ dài ca ̣nh bên vuông góc với 2 đáy.
Để tính toán diê ̣n tích của mô ̣t hình thang vuông đúng cách, chúng ta có thể tuân thủ và thực hiê ̣n theo các bước sau:
Bước 1: Xác đi ̣nh đáy nhỏ và đáy lớn của hình thang vuông, go ̣i chúng lần lượt là a và b.
Bước 2: Xác đi ̣nh chiều cao của hình thang vuông, hay còn go ̣i là h.
Bước 3: Sử du ̣ng công thức tính diê ̣n tích của hình thang vuông và tính diê ̣n tích
Ví dụ: Hình thanh ABCD (AB//CD) có AB = 4 cm, CD = 8cm và AD = 5 cm. Tính diê ̣n tích hình thang ABCD.
Hình thang ABCD có AB//CD nên hai đấy là AB và CD,    
suy ra AD là chiều cao của hình thang.
Ta có: Diê ̣n tích hình thang ABCD: suy ra
*Công thức tính chu vi hình thang vuông
Chu vi hình thang vuông tương tự với cách tính chu vi hình thang thường, chính bằng tổng các ca ̣nh bên và đáy Trong đó: - P: Chu vi hình thang
- a, b: Lần lươ ̣t là đô ̣ dài 2 ca ̣nh đáy
- c, d: Lần lươ ̣t là đô ̣ dài 2 ca ̣nh bên
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4 cm, CD = 8 cm, BC = 5 cm, AD vuông góc với
DC và AD = 3 cm. Tính chu vi hình thang ABCD.
Hướng dẫn: Chu vi hình thang ABCD là: 8 + 4 + 5 +3 = 20 (cm)
4. Các da ̣ng bài tâ ̣p về hình thang vuông thường gă ̣p
Da ̣ng 1: Tính số đo góc
Phương pháp giải: Chúng ta sẽ dựa vào tính chất về tổng bốn góc trong mô ̣t tứ giác và hai đường
thẳng song song kết hơ ̣p cùng kiến thức đã ho ̣c về hình thang vuông để tính số đo góc chính xác.
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, góc A bằng ba lần góc D. Góc B lớn
hơn góc C 30 độ. Tính số đo các góc của hình thang.
Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD có AB song song với CD, biết góc A lớn gấp 2 lần góc D,
tính các góc của hình thang.
Da ̣ng 2: Chứng minh hình thang vuông
Phương pháp giải: Sử du ̣ng đi ̣nh nghĩa hình thang vuông để có thể chứng minh được hình theo yêu cầu.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ
giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác.
Chứng minh BCDE là hình thang vuông.
Da ̣ng 3: Sử du ̣ng các tính chất của hình thang vuông để chứng minh bài toán
Phương pháp giải: Áp du ̣ng các tính chất về ca ̣nh và góc của hình thang vuông đã ho ̣c để giải quyết bài toán.
Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD, có góc A = góc D = 90 độ, AB = AD, DC = 2AB và BE vuông góc với CD tại E.
a, Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác EDB
b, Chứng minh tam giác BEC vuông cân tại E
Ví dụ 2: Cho tam giác ABCD vuông cân tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D.
Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Hướng dẫn giải: Chứng mình tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A => Chứng minh tam giác
ADC là tam giác vuông cân tại D => góc DAC và góc ACB là hai góc so le trong => AD song
song với BC nên tứ giác ABCD có AD song song với BC, có góc ADC bằng 90 độ. Suy ra ABCD là hình thang vuông.
Hình thang vuông là mô ̣t trường hơ ̣p đă ̣c biê ̣t của hình thang nên về cơ bản thì loa ̣i hình này cũng
sở hữu những đă ̣c điểm, tính chất như hình thang. Vâ ̣y nên, để giải quyết đươ ̣c các bài tâ ̣p liên
quan đến hình thang vuông, chúng ta cần nắm chắc những kiến thức cơ bản từ khái niê ̣m, tình chất,
dấu hiê ̣u, nhâ ̣n biết, đă ̣c điểm,...
BÀI TẬP LUYÊ ̣N TẬP
Câu 1. Cho mô ̣t hình thang cân có đường chéo vuông góc với ca ̣nh bên. Biết đáy nhỏ dài 14 cm,
đáy lớn dài 50 cm. Tính diê ̣n tích hình thang đó.
Câu 2: Mảnh đất hình thang có đáy lớn là 38 m và đáy bé là 28 m. Mở rô ̣ng hai đáy về bên phải
của mảnh đất cới đáy lớn thêm 9m và đáy bé thêm 8m thu đươ ̣c mảnh đất hình thang mới có diê ̣n
tích lớn hơn diê ̣n tích mảnh đất ban đầu là 107,2 m2. Hãy tính diê ̣n tích mảnh đất hình thang ban đầu.
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân ta ̣i A. Vẽ về phái ngoài tam giác ACD vuông cân ta ̣i D. Tứ
giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Câu 4. Cho hình thang vuông ABCD có AD = 6 cm; DC = 12 cm; AB = 2/3 DC
a, Tính diê ̣n tích hình thang ABCD
b, Khi kéo dài ca ̣nh bên AD và CB thì 2 ca ̣nh bên này cắt nhau ta ̣i M. Tính đô ̣ dài ca ̣nh AM.
Câu 5: Chứng minh rằng trong mô ̣t hình thang vuông, hiê ̣u các bình phương của hai đường chéo
bằ ng hiê ̣u các bình phương của hai đáy.
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông ta ̣i A, kẻ đường cao AH, Từ H kể HD vuông góc với AC HE
vuông góc với AB. Go ̣i M, N lần lươ ̣t là trung điểm của các đoa ̣n thẳng HB, HC. Chứng minh tứ
giác DEMN là hình thang vuông.
Câu 7: Cho hình thang ABCD vuông ta ̣i A và D. Cho biết AD = 20, AC =52 và BC = 29. Tính đô ̣ dài AB.
Câu 8: Cho hình thang ABCD vuông ta ̣i A và D. Go ̣i M là trung điểm của AD. Cho biết MB vuông góc với MC.
a, Chứng minh rằng BC = AB + CD;
b, Vẽ MH vuông góc với BC. Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang.
Câu 9: Cho tam giác ABC vuong ta ̣i A, lấy điểm M thuô ̣c ca ̣nh BC sao cho AM = 1/2 BC, N là
trung điểm ca ̣nh AB. Chứng minh: a, Tam giác AMB cân
b, Tứ giác MNAC là hình thang vuông Đáp án: Câu 1. 30 cm2
Câu 2. Diê ̣n tích mảnh đất ban đầu: 415,8 m2
Câu 3. Phương án giải: ABCD là hình thang vuông. Câu 4: a, 60 cm2 b. AM = 12 cm Câu 9:
a, Hướng dẫn giải: chứng minh M là trung điểm của ca ̣nh BC => AM = AB = MC = BC/2. Suy
ra tam giác AMB là tam giác cân.
b, Hướng dẫn giải: Trong tam giác AMB có AN = NB (giả thiết)
Suy ra: MN vuông góc với AB; AC vương góc với AB => MN song song với Ac và góc CAN bằ ng 90o.
Suy ra tứ giác MNAC là hình thang vuông.