Hợp số là gì? Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố nhanh nhất Toán lớp 6
1. Số nguyên tố là gì? Hợp số là gì?
- Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 19.....
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước. Ví dụ:
4 có 3 ước là 1; 2 và 4 nên 4 là hợp số
6 có 4 bước là 1; 2; 3; 6 nên 6 là hợp số
- Các số 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số
- Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố
2. Một số tính chất số nguyên tố
- Có vô hạn số nguyên tố
- Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tó q thì p = q
- Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p
- Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên tố p
- Nếu A là hợp số thì A có ít nhất một ước số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của A.
3. Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
* Hai cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố
- Cách 1. Phân tích theo cách rẽ nhánh Ví dụ:
Tìm ước nguyên tố của 12, chẳng hạn là 2
Viết số 12 thành tích của 2 với một thừa số khác: 12 = 2 . 6
Vẽ nhánh từ số 12 cho hai thừa số 2 và 6
Tiếp tục tìm một ước nguyên tố của 6, chẳng hạn là 2
Viết số 6 thành tích của 2 với một thừa số khác: 6 = 2 . 3
Vẽ tiếp hai nhạn từ số 6 cho hai thừa số 2 và 3
Các thừa số 2 và 3 đều là số nguyên tố nên ta dừng lại.
Lấy tích tất cả thừa số ở cuối cùng mỗi nhánh, ta có:
Các thừa số trong tích cuối cùng đều là số nguyên tố. ta nói số 12 đã được phân tích ra thừa số nguyên tố. Ta viết: 12 = 2.2.3 = 22.3
- Cách 2. Phân tích theo cột dọc
Lấy 12 chia cho ước nguyên tố 2
Lấy thương là 6 chia cho ước nguyên tố 2
Lấy thương là 3 chia cho ước nguyên tố 3
Vậy ta phân tích được: 12 = 2 . 2 . 3 = 22 . 3 Lưu ý:
Ta nên chia mỗi số cho ước nguyên tố nhỏ nhất của nó
Cứ tiếp tục chia như thế cho đến khi được thương là 1.
Ví dụ: Phân tích số 72 ra thừa số nguyên tố bằng cách viết rẽ nhánh và theo cột dọc Đáp án Cách 1: "Rẽ nhánh"
Vậy 72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 23 .32 Cách 2: "Theo cột dọc"
Vậy 72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 23 . 32 4. Bài tập
Bài 1. Phân tích số 84 ra thừa số nguyên tố Hướng dẫn giải
Tìm ước nguyên tố của 84, chẳng hạn là 2 ta có: Vậy 84 = 2 . 2 . 3 . 7
Người ta thường viết gọn lại bằng cách dùng lũy thừa: 84 = 22 . 3 . 7
Bài 2. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:
45; 78; 270; 299; 60; 78; 285; 1035; 400; 1 000 000 Hướng dẫn giải 45 = 5 . 3 .3 = 23 . 5 78 = 2 . 3 . 13 270 = 2 . 33 . 5 299 = 13 . 23 60 = 22 . 3 . 5 285 = 3 . 5 . 19 1035 = 32 . 5 . 23 400 = 24 . 52 1 000 000 = 26 . 56
Bài 3. Phân tích số 84 ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của nó Hướng dẫn giải 84 = 22 . 3 .7
ta có: 84 = 1 . 84 = 2 . 42 = 3 .28 = 4. 21 = 6 . 14 = 7 .12
Vậy Ư (84) = {1; 84; 2; 42; 3; 28; 4; 21; 6; 14; 7; 12}
Bài 4. Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số: a. 3150 + 2125 b. 5163 + 2532 c. 19 .21 .23 + 21 . 25 . 27 d. 15 . 19 . 37 - 225 Hướng dẫn giải
a. Tổng lớn hơn 5 và chia hết cho 5, nên tổng là hợp số
b. Hiệu lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên hiệu là hợp số
c. Tổng lớn hơn 21 và chia hết cho 21 nên tổng là hợp số
d. Hiệu lớn hơn 15 và chia hết cho 15 nên hiệu là hợp số
Bài 5. Chứng minh rằng các số dưới đây là hợp số a. 297; 39743; 987624
b. 111....1 có 2001 chữ số 1 hoặc 2007 chữ số 1 Hướng dẫn giải
a. Các số trên đều chia hết cho 11
Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 để nhận biết: Nếu một số tự nhiên có tổng các chữ số đứng ở vị trí hàng
chẵn bằng tổng các chữ số ở hàng lẻ (số thứ tự được tính từ trái qua phải, số đầu tiên là số lẻ) thì số đó chia hết cho 11.
Chẳng hạn như số 561; 2574....
b. Nếu số đó có 2001 chữ số 1 thì tổng các chữ số của nó bằng 2001 chia hết cho 3. Vậy số đó chia hết cho
3. Tương tự, nếu số đó có 2007 chữ số 1 thì số đó cũng chia hết cho 9.
Bài 6. An phân tích các số 120; 306; 567 ra thừa số nguyên tố như sau: 120 = 2 . 3 . 4 . 5 306 = 2 . 3 . 51 567 = 92 . 7
An làm như trên có đúng không? Hãy sửa lại trong trường hợp An làm không đúng. Hướng dẫn giải
An phân tích không đúng vì vế phải có chứa thừa số không phải là số nguyên tố (4; 51; 92). Do đó, cần phải sửa lại như sau: 120 = 2 . 3 . 5 306 = 2 . 32 . 17 567 = 34 . 7
Bài 7. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố, rồi cho biết mỗi số đó chia hết cho các số nguyên tố nào? 225; 1800; 1050; 3060 Hướng dẫn giải 225 = 32 . 52
225 chia hết cho các số nguyên tố là 3 và 5 1800 = 23 . 32 . 52
1800 chia hết cho các số nguyên tố 2; 3 và 5 1050 = 2 . 3 . 52 . 7
1050 chia hết cho các số nguyên tố 2; 3; 5 và 7 3060 = 22 . 32 . 5 . 17
3060 chia hết cho các số nguyên tố 2; 3; 5; 17 Bài 8. Tìm số:
a. Tích của hai số tự nhiên bằng 42. Tìm mỗi số
b. Tích của hai số tự nhiên a và b bằng 30. Tìm a và b biết a < b Hướng dẫn giải
a. Mỗi số là ước của 42
mà Ư (42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}
Vậy các số phải tìm là 1 và 42, 2 và 21, 3 và 14, 6 và 7
b. a và b là ước của 30 (aƯ (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Ta có bảng sau: a 1 2 3 5 b 30 15 10 6
Bài 9. Tâm có 28 viên bi. Tâm muốn xếp số bi đó vào túi sao cho số bi ở các túi đều bằng nhau. Hỏi
Tâm có thể xếp 28 viên bi đó vào mấy túi? Kế cả trường hợp xếp vào một túi. Hướng dẫn giải Số túi là ước của 28.
Đáp số: 1; 2; 4; 7; 14; 28 túi
Bài 10. Tổng sau là số nguyên tố hay hợp số? a. A = 11 . 12 .13 + 14. 15
b. B = 11 .13 .15 + 17 . 19 . 23 c. C = 22 .23 - 16 . 17 Hướng dẫn giải
a. Vì 12 chia hết cho 3 nên (11 . 12 .13) chia hết cho 3
15 chia hết cho 3 nên (14 . 15) chia hết cho 3
Do đó, (11 .12 . 13 + 14 . 15) chia hết cho 3 (áp dụng tính chất chia hết của một tổng)
Vậy (11 . 12 . 13 + 14 . 15) là hợp số
b. Ta thấy, 11 . 13 .15 là tích của 3 số lẻ nên là số lẻ
17 .19 . 23 là tích của 3 số lẻ nên là số lẻ
Do đó, (11 . 13 . 15 + 17 . 19 . 23) là số chẵn
Mắt khác, (11 . 13 .15 + 17 .19 .23) lớn hơn 2 nên tổng biểu thức đó là hợp số Vậy tổng B là hợp số
c. Vì 22 chia hết cho 2 nên (22 . 23) chia hết cho 2
16 chia hết cho 2 nên (16 . 17) chia hết cho 2
Do đó, hiệu C chia hết cho 2 (áp dụng tính chất chia hết của một hiệu) Vậy hiệu C là hợp số.
Bài 11. Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số Hướng dẫn giải
* Trường hợp 1: Xét p = 3 thì ta có:
8p - 1 = 24 - 1 = 23 là số nguyên tố
8p + 1 = 24 + 1 = 25 là hợp số
Vậy p = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán
* Trường hợp 2: Xét p # 3, ta có:
8p - 1; 8p + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp
8p - 1 không chia hết cho 3 vì 8p -1 là số nguyên tố theo đề ra
8p cũng không chia hết cho 3 (Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3)
Từ đó suy ra: 8p + 1 không phải là số nguyên tố
Vậy 8p + 1 là hợp số (điều phải chứng minh)