Hướng dẫn giải các dạng toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Tài liệu gồm 118 trang, bao gồm tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán thường gặp và bài tập các chủ đề trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1: hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.
Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHƯƠNG 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1.
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác sin B(0; 1) (II) (I) + cos O A0(−1; 0) A(1; 0) (III) (IV) B0(0; −1) Góc phần tư Giá trị lượng giác I II III IV sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − cot α + − + −
2 Công thức lượng giác cơ bản 1 1 sin2 x + cos2 x = 1 1 + tan2 x = 1 + cot2 x = tan x cot x = 1 cos2 x sin2 x 3 Cung góc liên kết Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém π
cos(−α) = cos α
cos(π − α) = − cos α
cos(α + π) = − cos α
sin(−α) = − sin α
sin(π − α) = sin α
sin(α + π) = − sin α
tan(−α) = − tan α
tan(π − α) = − tan α
tan(α + π) = tan α
cot(−α) = − cot α
cot(π − α) = − cot α
cot(α + π) = cot α π Cung phụ nhau Cung hơn kém 2 π π cos
− α = sin α cos
+ α = − sin α 2 2 π π sin − α = cos α sin + α = cos α 2 2 π π tan
− α = cot α tan
+ α = − cot α 2 2 π π cot
− α = tan α cot
+ α = − tan α 2 2 23 24
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4 Công thức cộng
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b tan a + tan b tan a − tan b tan(a + b) = tan(a − b) = 1 − tan a tan b 1 + tan a tan b π 1 + tan x π 1 − tan x tan + x = tan − x = 4 1 − tan x 4 1 + tan x
5 Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc 1 − cos 2α
sin 2α = 2 sin α cos α sin2 α = 2 1 + cos 2α
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α cos2 α = 2 2 tan α 1 − cos 2α tan 2α = tan2 α = 1 − tan2 α 1 + cos 2α cot2 α − 1 1 + cos 2α cot 2α = cot2 α = 2 cot α 1 − cos 2α Công thức nhân 3
" sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α
3 tan α − tan3 α tan 3α =
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α 1 − 3 tan2 α
6 Công thức biến đổi tổng thành tích a + b a − b a + b a − b cos a + cos b = 2 cos cos cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 2 2 a + b a − b a + b a − b sin a + sin b = 2 sin cos sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 2 2 sin(a + b) sin(a − b) tan a + tan b = tan a − tan b = cos a cos b cos a cos b sin(a + b) sin(b − a) cot a + cot b = cot a − cot b = sin a sin b sin a sin b Đặt biệt √ √ √ √ π π sin x + cos x = 2 sin x + = 2 cos x − π sin x − cos x = 2 sin x − π = − 2 cos x + 4 4 4 4
7 Công thức biến đổi tích thành tổng
1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM 25 1 cos a · cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] 2 1 sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] 2
Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 360◦ π π π π 2π 3π 5π rad 0 π 2π 6 4 √ 3 √ 2 3 √ 4 √ 6 1 2 3 3 2 1 sin α 0 1 0 0 2 √ 2 √ 2 2 2√ 2√ 3 2 1 1 2 3 cos α 1 0 − − − −1 1 2 √ 2 2 2 2 2 √ 3 √ √ 3 tan α 0 1 3 kxđ − 3 −1 − 0 0 3 √ √ 3 √ 3 3 √ cot α kxđ 3 1 0 − −1 − 3 kxđ kxđ 3 3
Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cos α, sin α) y (0, 1) √ √ 3 1 − 1 , , 3 2 2 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 2 − , π , 2 2 2 2 2 2π π √ √ 3 3 − 3 3 3 π , 1 2 2 90◦ π , 1 4 4 2 2 120◦ 60◦ 5π π 6 6 150◦ 30◦ (−1, 0) (1, 0) π 180◦ 0◦ 360◦ 2π x 210◦ 330◦ 7π 11π 6 6 √ √ 240◦ 300◦ 5π − 3 , − 1 270◦ 7π 3 4 4 , − 1 2 2 4 2 2 π 5π √ √ 3 √ √ 3 3 π − 2 , − 2 2 2 2 , − 2 2 2 2 √ √ − 1 , − 3 1 , − 3 2 2 2 2 (0, −1) 26
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 2.
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Tính chất của hàm số
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số y = f (x) có tập xác định là D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D
thì −x ∈ D và f (−x) = f (x). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số y = f (x) có tập xác định là D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D thì
−x ∈ D và f (−x) = − f (x). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. b) Hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập (a; b) ⊂ R.
Hàm số y = f (x) gọi là đồng biến trên (a; b) nếu ∀x1, x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).
Hàm số y = f (x) gọi là nghịch biến trên (a; b) nếu ∀x1, x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2). c) Hàm số tuần hoàn
Hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu
có số T 6= 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có (x + T) ∈ D và (x − T) ∈ D và f (x + T) = f (x).
Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f . 2 Hàm số y = sin x
Hàm số y = sin x có tập xác định là D = R ⇒ y = sin [ f (x)] xác định ⇔ f (x) xác định. ◦ 0 ≤ | sin x| ≤ 1
Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa là −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ ◦ 0 ≤ sin2 x ≤ 1.
Hàm số y = f (x) = sin x là hàm số lẻ vì f (−x) = sin(−x) = − sin x = − f (x).
Nên đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa là sin (x + k2π) = sin x. 2π
Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = . |a| π
Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng − π + k2π; + k2π và nghịch 2 2 π 3π biến trên mỗi khoảng + k2π; + k2π với k ∈ Z. 2 2 π ◦ sin x = 1 ⇔ x = + k2π 2
Hàm số y = sin x nhận các giá trị đặc biệt ◦ sin x = 0 ⇔ x = kπ , ◦
sin x = −1 ⇔ x = − π + k2π 2 k ∈ Z. Đồ thị hàm số 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 27 y − π2 − x π π π 2 3 Hàm số y = cos x
Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos [ f (x)] xác định ⇔ f (x) xác định. ®0 ≤ | cos x| ≤ 1
Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa là −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos2 x ≤ 1.
Hàm số y = cos x là hàm số chẵn vì f (−x) = cos(−x) = cos x = f (x) nên đồ thị
của hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa là cos(x + 2π) = cos x. 2π
Hàm số y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = . |a|
Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z và nghịch
biến trên các khoảng (k2π; π + k2π) , k ∈ Z. ◦ cos x = 1 ⇔ x = k2 π
Hàm số y = cos x nhận các giá trị đặc biệt ◦
cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , π ◦ cos x = 0 ⇔ x = + kπ 2 k ∈ Z. Đồ thị hàm số y − − π π 2 π x π 2 4 Hàm số y = tan x n π π
Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \
+ kπ, k ∈ Zo, nghĩa là x 6= + kπ 2 2 ⇒ π
hàm số y = tan [ f (x)] xác định ⇔ f (x) 6=
+ kπ; (k ∈ Z). 2 Tập giá trị T = R.
Hàm số y = tan x là hàm số lẻ vì f (−x) = tan(−x) = − tan x = − f (x) nên đồ
thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T0 = π ⇒ y = tan(ax + b) tuần hoàn với π chu kì T0 = . |a| π
Hàm số y = tan x đồng biến trên các khoảng − π + kπ; + kπ , k ∈ Z. 2 2 28
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π ◦ tan x = 1 ⇔ x = + kπ 4
Hàm số y = tan x nhận các giá trị đặc biệt ◦ tan x = −1 ⇔ x = −π + k , π 4 ◦ tan x = 0 ⇔ x = kπ k ∈ Z. Đồ thị hàm số y − − π π 2 π x O π 2 5 Hàm số y = cot x
Hàm số y = y = cot x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z}, nghĩa là x 6= kπ ⇒
hàm số y = cot [ f (x)] xác định ⇔ f (x) 6= kπ; (k ∈ Z). Tập giá trị T = R.
Hàm số y = cot x là hàm số lẻ vì f (−x) = cot(−x) = − cot x = − f (x) nên đồ thị
của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
Hàm số y = y = cot x tuần hoàn với chu kì T0 = π ⇒ y = cot(ax + b) tuần hoàn π với chu kì T0 = . |a|
Hàm số y = y = cot x nghịch biến trên các khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z. π ◦ cot x = 1 ⇔ x = + kπ 4
Hàm số y = y = cot x nhận các giá trị đặc biệt ◦
cot x = −1 ⇔ x = − π + kπ 4 π ◦ cot x = 0 ⇔ x = k π 2 , k ∈ Z. Đồ thị hàm số 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 29 y 3π − − π π 2 2 π x O π − 3π 2 2 B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
{ DẠNG 2.1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Phương pháp giải: Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ: sin f (x) π
1 y = tan f (x) =
; Điều kiện xác định: cos f (x) 6= 0 ⇔ f (x) 6=
+ kπ, (k ∈ Z). cos f (x) 2 cos f (x)
2 y = cot f (x) =
; Điều kiện xác định: sin f (x) 6= 0 ⇔ f (x) 6= kπ, (k ∈ Z). sin f (x)
3 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: 1 y =
, điều kiện xác định là P(x) 6= 0. P(x) y = 2n
pP(x), điều kiện xác định là P(x ≥ 0). 1 y =
, điều kiện xác định là P(x) > 0. 2n pP(x) ® A 6= 0
4 Lưu ý rằng: −1 ≤ sin f (x); cos f (x) ≤ 1 và A · B 6= 0 ⇔ B 6= 0.
5 Với k ∈ Z, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt: π π sin x = 1 ⇔ x = + k2π tan x = 1 ⇔ x = + kπ 2 4
sin x = 0 ⇔ x = kπ
tan x = 0 ⇔ x = kπ
sin x = −1 ⇔ x = − π + k2π
tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ 2 4 π cot x = 1 ⇔ x = + kπ cos x = 1 ⇔ x = k2 4 π π + k π cot x = 0 ⇔ x = π cos x = 0 ⇔ x = + kπ 2 2 cos x = −1 ⇔ x =
cot x = −1 ⇔ x = − π + k π + k2π π 4 30
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin 3x … 2 − cos x
VÍ DỤ 1. Tìm tập xác định của hàm số: y = f (x) = + . ĐS: tan2 x − 1 1 + cos x D n π o
= R \ ± π + kπ;
+ kπ; π + k2π . 4 2 L Lời giải tan2 x − 1 6= 0 cos x 6= 0
Điều kiện xác định của hàm số: 2 − cos x ≥ 0 1 + cos x cos x 6= −1. ®1 ≤ 2 − cos x ≤ 3 2 − cos x
Do −1 ≤ cos x ≤ 1 nên ⇐ . Từ đó suy ra: ≥ 0, ∀x ∈ R. 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 1 + cos x x 6= ±π + k π 4 n π o
Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi π x 6= + k
, nên D = R \ ± π + k + k . π π;
π; π + k2π 4 2 2
x 6= π + k2π. √4π2 − x2
VÍ DỤ 2. Tìm tập xác định của hàm số: y = f (x) = . ĐS: cos x D n π o =
−2π ≤ x ≤ 2π; x 6= + kπ . 2 L Lời giải ®4 2
− 2π ≤ x ≤ 2π π − x2 ≥ 0 n π o
Điều kiện xác định của hàm số: ⇔ π
. Vậy D = −2π ≤ x ≤ 2π; x 6= + kπ . cos x 6= 0 x 6= + k 2 π. 2 1 BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI 1. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau: 4 √ 1 y = cos .
ĐS: D = R \ {0}. 2 cos 2x. ĐS: D = [0; +∞). x 1 + cos x tan 2x ß ™ π kπ 3 y =
ĐS: D = R \ {kπ}. 4 y = . ĐS: D = R \ + . sin x 1 + cos2 x 4 2 tan 2x … cos x + 4 5 y = . ĐS: 6 y = . ĐS: sin x − 1 sin x + 1 ß ™ n o D π kπ π = R \ + ; + k2 D − π π . = R \ + k2π . 4 2 2 2 … cos x − 2 7 y = . ĐS: D = ∅. 1 − sin x Lời giải.
1 Điều kiện xác định: x 6= 0. 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 31
2 Điều kiện xác định: 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.
3 Điều kiện xác định: sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ. π π kπ
4 Điều kiện xác định: cos 2x 6= 0 ⇔ 2x 6= + kπ ⇔ x 6= + . 2 4 2 π kπ ® cos 2x 6= 0 x 6= +
5 Điều kiện xác định: ⇔ 4 2 sin x 6= 1 π x 6= + k2π. 2 cos x + 4 ≥ 0
6 Điều kiện xác định: sin x + 1 sin x + 1 6= 0. cos x + 4
Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ 1 nên ≥ 0; ∀x ∈ R. sin x + 1
Vậy hàm số xác định khi x 6= − π + k2π. 2 cos x − 2 ≥ 0
7 Điều kiện xác định: 1 − sin x 1 − sin x 6= 0. cos x − 2
Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ 1 nên ≤ 0; ∀x ∈ R. 1 − sin x
Vậy tập xác định của hàm số là: ∅.
BÀI 2. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau: √ ß ™ π2 − x2 kπ 1 y = .
ĐS: D = −π ≤ x ≤ π; x 6= . sin 2x 2 √ ß ™ π kπ 2 y = π2 − 4x2 + tan 2x.
ĐS: D = − π ≤ x ≤ π ; x 6= + . 2 2 4 2 tan 2x − π ß ™ 4 3π kπ 5π 3 . ĐS: D = R \ + ; + k2π . … 8 2 8 1 − sin x − π 8 tan x − π ß 3 ™ π 4 y = 4 . ĐS: D = R \
+ kπ; − π + k2π . π 1 − cos x + 4 3 3 Lời giải. ® 2
− π ≤ x ≤ π π − x2 ≥ 0
1 Điều kiện xác định: ⇔ k sin 2x 6= 0 π x 6= . 2 ® 2 − π ≤ x ≤ π π − 4x2 ≥ 0 2 2
2 Điều kiện xác định: ⇔ cos 2x 6= 0 π kπ x 6= + . 4 2 32
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3π kπ cos 2x − π 6= 0 cos 2x − π 6= 0 x 6= + 4 4 8 2
3 Điều kiện xác định: ⇔ ⇔ 5π 1 − sin x − π > 0 1 − sin x − π 6= 0 + 8 8 x 6= k2π. 8 3π cos x − π 6= 0 x 6= + k 4 π
4 Điều kiện xác định: ⇔ 4 π 1 − cos x + 6= 0 x 6= − π + k2 3 π. 3 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 3. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau: … 2 + sin x cot 2x ß k ™ π 1 y =
. ĐS: D = R \ {π + k2π} 2 y = √ . ĐS: D = R \ cos x + 1 1 − cos2 x 2 √ … 1 − sin x x 3 y =
. ĐS: D = R \ {π + k2π} 4 y = .
ĐS: D = [0; +∞) \ Z 1 + cos x sin πx cos 2x x2 + 1 n π o 5 y = + tan x. ĐS: 6 y = . ĐS: D = R \ + kπ; 0 1 − sin x x cos x 2 D n π o = R \ + kπ 2 tan 2x 7 y = √ . ĐS: sin x + 1 ß ™ D π kπ = R \ + ; − π + k2π 4 2 2
BÀI 4. Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau: π 1 + tan − x n o 1 y = 4 .
ĐS: D = R \ − π + kπ . cos x − 2 4 √3 − sin4x 2 y = .
ĐS: D = R \ {π + k2π}. cos x + 1 3 ß k ™ π 3 y = .
ĐS: D = R \ kπ; . cos x − cos 3x 4 ß ™ π kπ π kπ 4 y = cot 2x + · tan 2x.
ĐS: D = R \ − π + ; + . 3 6 2 4 2 √ 1 n o 5 y = 2 + sin x − .
ĐS: D = R \ ± π + kπ . tan2 x − 1 4 4 ß ™ π kπ 6 y = . ĐS: D = R \ + . sin2 x − cos2 x 4 2 … π 1 + cos x n o 7 y = cot x + + .
ĐS: D = R \ − π + kπ; k2π . 6 1 − cos x 6 π 1 + cot + x ß ™ π kπ π kπ 8 y = 3 .
ĐS: D = R \ − π + kπ; + ; + . tan2 3x − π 3 12 3 4 3 4 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 33
{ DẠNG 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác Phương pháp giải:
Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn "0 ≤ | sin x| ≤ 1 "0 ≤ | cos x| ≤ 1 ◦ −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒
hoặc −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin2 x ≤ 1 0 ≤ cos2 x ≤ 1.
◦ Biến đổi đưa về dạng m ≤ y ≤ M.
Kết luận: max y = M và min y = m. 1 VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) = √ √ 4 4 5 4 2 . ĐS: min y = , max y = p5 − 2 cos2 x sin2 x 5 3 L Lời giải Ta có 4 4 4 y = f (x) = = = . p … … 5 − 2 cos2 x sin2 x 1 1 5 − (2 cos x sin x)2 5 − sin2 2x 2 2 √ √ 1 9 4 5 4 4 2
Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên 5 ≥ 5 − sin2 2x ≥ . Suy ra ≤ y = ≤ . 2 2 5 … 1 3 5 − sin2 2x √ 2 4 5 ◦ y =
khi sin 2x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. 5 √ 4 2 ◦ π y =
khi sin 2x = 1 hoặc sin 2x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 3 √ √ 4 4 5 4 2 Vậy min y = và max y = . 5 3
VÍ DỤ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x) = 3 sin2 x + 5 cos2 x − 4 cos 2x − 2.
ĐS: min y = −1, max y = 5 L Lời giải Ta có
f (x) = 3 sin2 x + 5 cos2 x − 4 cos 2x − 2
= 3 sin2 x + cos2 x + 2 cos2 x − 4 2 cos2 x − 1 − 2 = 5 − 6 cos2 x.
Do 0 ≤ cos2 x ≤ 1 nên 5 ≥ f (x) = 5 − 6 cos2 x ≥ −1. ◦ π
f (x) = 5 khi cos x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 2
◦ f (x) = −1 khi cos2 x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0.
Vậy max f (x) = 5 và min f (x) = −1. 34
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
VÍ DỤ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x) = sin6 x + cos6 x + 2, ∀x ∈ h i 9 − π π ; .
ĐS: min y = , max y = 3 2 2 4 L Lời giải Ta có 3
f (x) = sin6 x + cos6 x + 2 = sin2 x + cos2 x
− 3 sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x + 2 3 3
= 1 − (2 sin x cos x)2 + 2 = 3 − sin2 2x. 4 4 9
Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên 3 ≥ f (x) ≥ . 4 h i ◦ π
f (x) = 3 khi sin 2x = 0 ⇔ x = ± π hoặc x = 0 do x ∈ − π ; . 2 2 2 9 h i ◦ π f (x) =
khi sin2 2x = 1 ⇔ x = ± π do x ∈ − π ; . 4 4 2 2 9
Vậy max f (x) = 3 và min f (x) = . 4 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau: √ √ 1 y = 5 3 + cos 2x + 4
ĐS: min y = 5 2 + 4, max y = 14 √ √ 2 y = 1 − cos 4x ĐS: min y = 0, max y = 2 3 y = 3 sin2 2x − 4
ĐS: min y = −4, max y = −1 11
4 y = 4 − 5 sin2 2x cos2 2x ĐS: min y = , max y = 4 4 5 y = 3 − 2| sin 4x|
ĐS: min y = 1, max y = 3 Lời giải. √ √
1 Do −1 ≤ cos 2x ≤ 1 nên 2 ≤ 3 + cos 2x ≤ 4. Suy ra 5 2 + 4 ≤ y = 5 3 + cos 2x + 4 ≤ 14. √ ◦ π
y = 5 2 + 4 khi cos 2x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 2
◦ y = 14 khi cos 2x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. √
Vậy min y = 5 2 + 4 và max y = 14. √ √
2 Do −1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên 2 ≥ y = 1 − cos 4x ≥ 0. √ ◦ π y =
2 khi cos 4x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 4
◦ y = 0 khi cos 4x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. √ Vậy max y = 2 và min y = 0. 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 35
3 Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên −4 ≤ y = 3 sin2 2x − 4 ≤ −1.
◦ y = −4 khi sin 2x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. ◦ π
y = −1 khi sin2 2x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 4
Vậy min y = −4 và max y = −1. 4 Ta có 5 5
y = 4 − 5 sin2 2x cos2 2x = 4 − (2 sin 2x cos 2x)2 = 4 − sin2 2x. 4 4 11
Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên 4 ≥ y ≥ . 4
◦ y = 4 khi sin 2x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. 11 ◦ π y =
khi sin2 2x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 4 4 11 Vậy max y = 4 và min y = . 4
5 Do 0 ≤ | sin 4x| ≤ 1 nên 3 ≥ y = 3 − 2| sin 4x| ≥ 1.
◦ y = 3 khi sin 4x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. ◦ π
y = 1 khi | sin 4x| = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 8 Vậy max y = 3 và min y = 1.
BÀI 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau: 3
1 y = − sin2 x − cos x + 2 ĐS: min y = ,
2 y = sin4 x − 2 cos2 x + 1 ĐS: min y = −1, 4 max y = 3 max y = 2 9
3 y = cos2 x + 2 sin x + 2 ĐS: min y = 0,
4 y = sin4 x + cos4 x + 4 ĐS: min y = , 2 max y = 4 max y = 5 p 1 5 y = 2 − cos 2x + sin2 x ĐS: min y = 1, 6 y = sin6 x + cos6 x ĐS: min y = , 4 max y = 2 max y = 1 √ 7 y = sin 2x +
3 cos 2x + 4 ĐS: min y = 2, max y = 6 Lời giải. 36
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Ta có 2 1 3
y = − sin2 x − cos x + 2 = − 1 − cos2 x − cos x + 2 = cos2 x − cos x + 1 = cos x − + . 2 4 3 1 1
Do −1 ≤ cos x ≤ 1 nên − ≤ cos x − ≤ . 2 2 2 1 2 9 3 Suy ra 0 ≤ cos x − ≤ ⇔ ≤ y ≤ 3. 2 4 4 3 1 ◦ π y =
khi cos x = , luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 4 2 3
◦ y = 3 khi cos x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = π. 3 Vậy min y = và max y = 3. 4 2 Ta có 2
y = sin4 x − 2 cos2 x + 1 = sin4 x − 2 1 − sin2 x + 1 = sin4 x + 2 sin2 x − 1 = sin2 x + 1 − 2.
Do 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ sin2 x + 1 ≤ 2.
Suy ra 1 ≤ sin2 x + 12 ≤ 4 ⇔ −1 ≤ y ≤ 2.
◦ y = −1 khi sin x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. ◦ π
y = 2 khi sin2 x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 2
Vậy min y = −1 và max y = 2. 3 Ta có
y = cos2 x + 2 sin x + 2 = 1 − sin2 x + 2 sin x + 2 = − sin2 x + 2 sin x + 3 = 4 − (sin x − 1)2.
Do −1 ≤ sin x ≤ 1 nên −2 ≤ sin x − 1 ≤ 0.
Suy ra 0 ≤ (sin x − 1)2 ≤ 4 ⇔ 4 ≥ y ≥ 0. ◦ π
y = 4 khi sin x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 2
◦ y = 0 khi sin x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = − π . 2 Vậy max y = 4 và min y = 0. 4 Ta có 2 1 1
y = sin4 x + cos4 x + 4 = sin2 x + cos2 x
− 2 sin2 x cos2 x + 4 = 1 − (2 sin x cos x)2 + 4 = 5 − sin2 2x. 2 2 9
Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên 5 ≥ y ≥ . 2
◦ y = 5 khi sin 2x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. 9 ◦ π y =
khi sin2 2x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 2 4 9 Vậy max y = 5 và min y = . 2 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 37 5 Ta có »
y2 = 2 − cos 2x + sin2 x = 2 − 1 − 2 sin2 x + sin2 x = 3 sin2 x + 1 ⇒ y = 3 sin2 x + 1.
Do 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ 3 sin2 x + 1 ≤ 4. Suy ra 1 ≤ y ≤ 2.
◦ y = 1 khi sin x = 0, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = 0. ◦ π
y = 2 khi sin2 x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 2 Vậy min y = 1 và max y = 2. 6 Ta có 3
y = sin6 x + cos6 x = sin2 x + cos2 x
− 3 sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x 3 3
= 1 − (2 sin x cos x)2 = 1 − sin2 2x. 4 4 1
Do 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên 1 ≥ y ≥ . 4 h i ◦ π
y = 1 khi sin 2x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ± π do x ∈ − π ; . 2 2 2 1 h i ◦ π y =
khi sin2 2x = 1 ⇔ x = ± π do x ∈ − π ; . 4 4 2 2 1 Vậy max y = 1 và min y = . 4 7 Ta có √ y 1 3 π π = sin 2x + cos 2x + 2 = cos − 2x + 2 ⇒ y = 2 cos − 2x + 4. 2 2 2 3 3 π Do −1 ≤ cos
− 2x ≤ 1 nên 2 ≥ y ≥ 6. 3 − ◦ π π y = 2 khi cos
− 2x = −1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 3 3 ◦ π π y = 6 khi cos
− 2x = 1, luôn tồn tại x thỏa mãn, chẳng hạn x = . 3 6 Vậy min y = 2 và max y = 6.
BÀI 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau h π i
1 y = sin 2x, ∀x ∈ 0;
ĐS: min y = 0, max y = 1 2 π 2π 1 2 y = cos x + , ∀x ∈ − ; 0
ĐS: min y = , max y = 1 3 3 2 √ π h π i 2 3 y = sin 2x + , ∀x ∈ − π ; ĐS: min y = − , max y = 1 4 4 4 2 Lời giải. 38
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC h π i 1 Do x ∈ 0;
nên 2x ∈ [0; π]. Suy ra 0 ≤ y = sin 2x ≤ 1 2 ◦ π y = 0 khi x = 0 hoặc x = . 2 ◦ π y = 6 khi x = . 4 Vậy min y = 0 và max y = 1. 2 π π h π i 1 π π 2 Do x ∈ − ; 0 nên x + ∈ − π ; . Suy ra = cos ≤ y = cos x + ≤ 1 3 3 3 3 2 3 3 1 2 ◦ π y = khi x = − hoặc x = 0. 2 3
◦ y = 1 khi x = − π . 3 1 Vậy min y = và max y = 1. 2 √ h π i π 3π 2 π
3 Do x ∈ − π ; nên 2x + ∈ − π ; . Suy ra − ≤ y = sin 2x + ≤ 1. 4 4 4 4 4 2 4 √2 ◦ y = − khi x = ± π . 2 4
◦ y = 1 khi x = − π . √ 8 2 Vậy min y = − và max y = 1. 2 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau √ √ p 1 y = 4 − 2 sin5 2x − 8 ĐS: min y = −8 + 2, max y = −8 + 6 4 2 y = y =
ĐS: min y = 1, max y = 4 1 + 3 cos2 x 4 3 y = ĐS: min y =, max y = p5 − 2 cos2 x sin2 x √2 1 4 y =
ĐS: min y = √ , max y = 1 p4 − 2 sin2 3x 2 √ 3 9 − 3 2 5 y = √ ĐS: min y = 1, max y = 3 − 1 − cos x 7 √ 4 2 6 6 ĐS: min y = − , max y = 2 … 3 2 − cos x − π + 3 6 2 7 y = √
ĐS: min y = −1, max y = 1 3 sin 2x + cos 2x
BÀI 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 39 1 y = cos2 x + 2 cos 2x
ĐS: min y = −2, max y = 3
2 y = 2 sin2 x − cos 2x
ĐS: min y = −1, max y = 3 √ √
3 y = 2 sin 2x(sin 2x − 4 cos 2x) ĐS: min y = 1 − 17, max y = 1 + 17
4 y = 3 sin2 x + 5 cos2 x − 4 cos 2x
ĐS: min y = 1, max y = 7 √ 5 y = 4 sin2 x + 5 sin 2x + 3
ĐS: min y = 2, max y = 8 √ √ 5 2 5 2
6 y = (2 sin x + cos x)(3 sin x − cos x) ĐS: min y = 5 − , max y = 5 + 2 2 9 √
7 y = sin x + cos x + 2 sin x cos x − 1
ĐS: min y = − , max y = 2 4 √ √
8 y = 1 − (sin 2x + cos 2x)3
ĐS: min y = 1 − 2 2, max y = 1 + 2 2
9 y = |5 sin x + 12 cos x − 10|
ĐS: min y = 0, max y = 23 √ √ √ π 10 y = 2 sin x + 2 sin − x − 1 ĐS: min y = −1 − 2, max y = −1 + 2 4 2 π 11 y = 2 cos 2x + cos 2x + + 3
ĐS: min y = 1, max y = 5 3
BÀI 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau h π i 5
1 y = sin4 x + cos4 x, ∀x ∈ 0;
ĐS: min y = , max y = 1 6 8 h π i
2 y = 2 sin2 x − cos 2x, ∀x ∈ 0;
ĐS: min y = −1, max y = 2 3 π 3π 3 y = cot x + , ∀x ∈ − ; − π
ĐS: min y = −∞, max y = 0 4 4 4
{ DẠNG 2.3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác Phương pháp giải
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác.
Nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D ⇒ D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2.
Bước 2. Tính f (−x), nghĩa là sẽ thay x bằng −x, sẽ có 2 kết quả thường gặp sau
– Nếu f (−x) = f (x) ⇒ f (x) là hàm số chẵn.
– Nếu f (−x) = − f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ.
Nếu không là tập đối xứng (∀x ∈ D ⇒ −x /
∈ D) hoặc f (−x) không bằng f (x) hoặc
− f (x) ta sẽ kết luận hàm số không chẵn, không lẻ. !
Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng toán này, cụ thể
cos(−a) = cos a, sin(−a) = − sin a, tan(−a) = − tan a, cot(−a) = − cot a. 40
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số √
1 f (x) = sin2 2x + cos 3x ĐS: f (x) là 2 f (x) = cos x2 − 16 ĐS: f (x) là hàm hàm số chẵn số chẵn L Lời giải
1 Tập xác định D = R.
∀x ∈ R ⇒ −x ∈ D = R nên ta xét
f (−x) = sin2(−2x) + cos(−3x) = sin2 2x + cos 3x = f (x).
Vậy f (x) là hàm số chẵn.
2 Tập xác định D = (−∞; −4] ∪ [4; +∞). " " x ∈ (−∞; −4] − x ∈ [4; +∞)
∀x ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞) ⇒ ⇒ ⇒ −x ∈ D x ∈ [4; +∞) − x ∈ (−∞; −4] √
Xét f (−x) = cos p(−x)2 − 16 = cos x2 − 16 = f (x).
Vậy f (x) là hàm số chẵn. 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
1 y = f (x) = tan x + cot x
ĐS: f (x) là hàm số lẻ
2 y = f (x) = tan7 2x · sin 5x
ĐS: f (x) là hàm số chẵn 9 π 3 y = f (x) = sin 2x +
ĐS: f (x) là hàm số chẵn 2 Lời giải. ß k ™ π
1 Tập xác định D = R \ : k ∈ Z . 2 ß k ™ k k ∀ π π π x ∈ R \ : k ∈ Z ⇒ x 6= ⇒ −x 6= − ⇒ −x ∈ D 2 2 2
Xét f (−x) = tan(−x) + cot(−x) = − tan x − cot x = − f (x).
Vậy f (x) là hàm số lẻ. ß ™ π kπ
2 Tập xác định D = R \ + : k ∈ Z . 4 2 ß k ™ k k −(k + 1) ∀ π π π π π π π x ∈ R \ + : k ∈ Z ⇒ x 6= + ⇒ −x 6= − π − = + ⇒ 4 2 4 2 4 2 4 2 −x ∈ D
Xét f (−x) = tan7(−2x) · sin(−5x) = − tan7 2x · (− sin 5x) = tan7 2x · sin 5x = f (x).
Vậy f (x) là hàm số chẵn.
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 41
3 Tập xác định D = R.
∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R nên ta xét 9 π 9π 9π 9π f (−x) = sin −2x + = sin −2x − + 9π = − sin −2x − = sin 2x + = f (x). 2 2 2 2
Vậy f (x) là hàm số chẵn. 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau π
1 y = f (x) = −2 cos3 3x +
ĐS: f (x) là hàm số lẻ. 2
2 y = f (x) = sin3(3x + 5π) + cot(2x − 7π)
ĐS: f (x) là hàm số lẻ.
3 y = f (x) = cot(4x + 5π) tan(2x − 3π)
ĐS: f (x) là hàm số chẵn. √ 4 y = f (x) = sin 9 − x2
ĐS: f (x) là hàm số chẵn.
5 y = f (x) = sin2 2x + cos 3x
ĐS: f (x) là hàm số chẵn. BÀI 3.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Với k ∈ Z, ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau "a = b + k2π
tan x = tan b ⇔ a = b + kπ.
sin a = sin b ⇔ a = π − b + k2π.
cot x = cot b ⇔ a = b + kπ. "a = b + k2π
cos a = cos b ⇔ a = −b + k2π.
Nếu đề bài cho dạng độ ( ◦
α ) thì ta sẽ chuyển k2π → k360◦, kπ → k180◦, với π = 180◦.
Những trường hợp đặc biệt π sin x = 1 ⇔ x = + k2π. cos x = 1 ⇔ x = k2π. 2 π cos x = 0 ⇔ x = + k sin x = 0 ⇔ x = k π. π. 2
sin x = −1 ⇔ x = − π + k2 cos x = −1 ⇔ x = π. π + k2π. 2 π cot x = 0 ⇔ x = + k tan x = 0 ⇔ x = k π. π. 2 π tan x = 1 ⇔ x = + k π π. cot x = 1 ⇔ x = + k 4 π. 4
tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ.
cot x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4 4 42
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Giải các phương trình x = − π + k 1 π 12 1 sin 2x = − . ĐS: (k ∈ Z) 2 7π x = − + kπ 12 4π 2 cos x − π = −1. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 3 3 √ 3 tan(2x − 30◦) = 3.
ĐS: x = 45◦ + k90◦ (k ∈ Z) 7π
4 cot(x − π ) = 1. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 3 12 L Lời giải 2x = − π + k2 x = − π + k 1 π π 6 12 1 sin 2x = − ⇔ ⇔ (k ∈ Z). 2 7π 7π 2x = − + k2π x = − + kπ 6 12 4π 2 cos x − π
= −1 ⇔ x − π = π + k2π ⇔ x =
+ k2π (k ∈ Z). 3 3 3 √ 3 tan(2x − 30◦) =
3 ⇔ 2x − 30◦ = 60◦ + k180◦ ⇔ x = 45◦ + k90◦ (k ∈ Z). π 7π 4 cot x − π = 1 ⇔ x − π = + kπ ⇔ x = + kπ (k ∈ Z). 3 3 4 12 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau 2π 2 x = + k2 π π 1 sin x = sin . ĐS: 3 (k ∈ Z) 3 π x = + k2π 3 π x = + kπ 1 6 2 sin 2x − π = . ĐS: (k ∈ Z) 6 2 π x = + kπ 2 π 3 sin 2x + = −1.
ĐS: x = − π + kπ (k ∈ Z) 6 3
x = − π + kπ π π 24 4 cos 2x + = cos . ĐS: (k ∈ Z) 3 4 7π x = − + kπ 24 1 2π 5 cos x = − . ĐS: x = ± + k2π (k ∈ Z) 2 3
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 43 π 6 cos x + = 1.
ĐS: x = − π + k2π (k ∈ Z) 6 6 Lời giải. 2π 2 x = + k2 π π 1 sin x = sin ⇔ 3 (k ∈ Z). 3 π x = + k2π 3 π 2x − π = + k2 π π x = + kπ 1 6 6 6 2 sin 2x − π = ⇔ ⇔ (k ∈ Z). 6 2 5π π 2x − π = + k2π x = + kπ 6 6 2 π π 3 sin 2x + = −1 ⇔ 2x +
= − π + k2π ⇔ x = − π + kπ (k ∈ Z). 6 6 2 3 π π 2x + = + k2π x = − π + kπ π π 3 4 24 4 cos 2x + = cos ⇔ ⇔ (k ∈ Z). 3 4 π 7 2x + = − π + k2 π π x = − + k 3 4 π 24 1 2π 5 cos x = − ⇔ x = ±
+ k2π (k ∈ Z). 2 3 π π 6 cos x + = 1 ⇔ x +
= k2π ⇔ x = − π + k2π (k ∈ Z). 6 6 6 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI 2. √ "x = −90◦ + k360◦ 1 2 sin(x + 30◦) + 3 = 0.
ĐS: x = −150◦ + k360◦ (k ∈ Z)
2 cot(4x + 35◦) = −1.
ĐS: x = −20◦ + k45◦ (k ∈ Z) x = π + k2π √ 3 2 cos x − π + 3 = 0. ĐS: ( 2 k ∈ Z) 6 π x = − + k2π 3 2π
4 (1 + 2 cos x)(3 − cos x) = 0. ĐS: x = ± + k2π (k ∈ Z) 3
5 tan(x − 30◦) cos(2x − 150◦) = 0.
ĐS: x = 30◦ + k180◦ (k ∈ Z) π x = + kπ 2 √ 6 2 sin 2x + 2 cos x = 0.
ĐS: x = − π + k2π (k ∈ Z) 4 5π x = + k2π 4 √ x = k2 x π 7 sin x + 3 sin = 0. ĐS: ( 5 k ∈ Z) 2 π x = ± + k4π 6 44
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC kπ 1 x = − π + 24 2 8 sin 2x cos 2x + = 0. ĐS: (k ∈ Z) 4 7π kπ x = + 24 2 1 π kπ
9 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x = . ĐS: x = + (k ∈ Z) 16 32 8 B
MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
{ DẠNG 3.1. Sử dụng thành thạo cung liên kết Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau π cos(−a) = cos a sin(π − a) = sin a sin − a = cos a 2 π sin(−a) = − sin a
cos(π − a) = − cos a cos − a = sin a 2 π tan(−a) = − tan a
tan(π − a) = − tan a tan − a = cot a 2 π cot(−a) = − cot a
cot(π − a) = − cot a cot − a = tan a 2 π
Cung hơn kém π Cung hơn kém 2 π sin(π + a) = − sin a sin + a = cos a 2 π cos(π + a) = − cos a cos + a = − sin a 2 π tan(π + a) = tan a tan + a = − cot a 2 π cot(π + a) = cot a cot + a = − tan a 2 Tính chu kỳ sin(x + k2π) = sin x cos(x + k2π) = cos x
sin(x + π + k2π) = − sin x
cos(x + π + k2π) = − cos x tan(x + kπ) = tan x cot(x + kπ) = cot x 1 VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định) 5π k2π x = +
1 sin 2x = cos x − π . ĐS: 18 3 (k ∈ Z). 3 π x = + k2π 6 π π kπ 2 tan 2x − π = cot x + . ĐS: x = + (k ∈ Z). 3 3 6 3 L Lời giải
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 45
1 Ta có phương trình tương đương h π i 5π sin 2x = sin − x − π ⇔ sin 2x = sin − x 2 3 6 5π 2x = − x + k2 5π k2π π 6 x = + ⇔ 18 3 ( ( k ∈ Z) ⇔ k ∈ Z). 5 π π 2x = π − − x + k2π x = + k2π 6 6 5π k2π x = +
Vậy phương trình có nghiệm là 18 3 (k ∈ Z). π x = + k2π 6 π π
2 Điều kiện: 2x − π 6= + kπ, x +
6= kπ (k ∈ Z). 3 2 3
Phương trình tương đương h π π i tan 2x − π = tan − x + 3 2 3 ⇔ π tan 2x − π = tan − x 3 6 ⇔ π 2x − π =
− x + kπ (k ∈ Z) 3 6 k ⇔ π π π 3x =
+ kπ (k ∈ Z) ⇔ x = + (k ∈ Z). 2 6 3 π kπ
Vậy phương trình có nghiệm là x = + (k ∈ Z). 6 3
VÍ DỤ 2. Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định) kπ x = − π + π 1 sin 3x + cos − x = 0. ĐS: 24 2 (k ∈ Z) 3 5π x = − + kπ 12 kπ
2 tan x · tan 3x + 1 = 0.
ĐS: x = − π + (k ∈ Z). 4 2 L Lời giải
1 Ta có phương trình tương đương π π π cos − x = − sin 3x ⇔ cos − x = cos + 3x 3 3 2 π k − π π x = + 3x + k2π x = − π − ⇔ 3 2 24 2 (k ∈ Z) ⇔ (k ∈ Z). π
− x = − π − 3x + k2 5π π + 3 2 x = − kπ 12 kπ x = − π −
Vậy phương trình có nghiệm 24 2 (k ∈ Z). 5π x = − + kπ 12 46
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π ® x 6= + k cos x 6= 0 π 2 π kπ 2 Điều kiện: ⇔ ⇔ x 6= + (k ∈ Z). cos 3x 6= 0 π kπ 6 3 x 6= + 6 3
Xét tan 3x = 0 không là nghiệm, khi đó phương trình tương đương tan x + 1 = 0 cot 3x ⇔ tan x = − cot 3x ⇔ π tan x = tan 3x + 2 k ⇔ π π x = 3x +
+ kπ ⇔ x = − π − (k ∈ Z). 2 4 2 kπ
Vậy phương trình có nghiệm x = − π + (k ∈ Z). 4 2 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định). π x = + k2π π 3 1 sin 2x = cos − x . ĐS: (k ∈ Z). 6 2π k2π x = + 9 3 π k2π x = + π 12 3 2 cos 2x + = sin x. ĐS: (k ∈ Z). 4 3π x = − + k2π 4 π kπ x = + π 20 3 3 cos 4x + − sin 2x = 0. ĐS: (k ∈ Z). 5 7π x = − + kπ 20 3 π 17π kπ 4 cot 2x − = tan x − π . ĐS: x = + (k ∈ Z). 4 6 36 3 Lời giải.
1 Ta có phương trình tương đương h π π i π sin 2x = sin − − x ⇔ sin 2x = sin + x 2 6 3 π π 2x = + x + k2π x = + k2π ⇔ 3 3 (k ∈ Z) ⇔ (k ∈ Z). π 2 k2 2x = π π π − + x + k2π x = + 3 9 3 π x = + k2π 3
Vậy phương trình có nghiệm là (k ∈ Z). 2π k2π x = + 9 3
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 47
2 Ta có phương trình tương đương π π 2x + = − x + k2π π π cos 2x + = cos − x ⇔ 4 2 (k ∈ Z) 4 2 π 2x +
= x − π + k2π 4 2 π k2π x = + ⇔ 12 3 (k ∈ Z). 3π x = − + k2π 4
Vậy phương trình có nghiệm
3 Ta có phương trình tương đương π π 4x + = − 2x + k2π π π cos 4x + = cos − 2x ⇔ 5 2 (k ∈ Z) 5 2 π 4x +
= 2x − π + k2π 5 2 π kπ x = + ⇔ 20 3 (k ∈ Z). 7π x = − + kπ 20 π kπ x = +
Vậy phương trình có nghiệm 20 3 (k ∈ Z). 7π x = − + kπ 20 3π 3π kπ 2x − 6= k x 6= + π 8 2 4 Điều kiện 4 ⇔ (k, l ∈ Z). π 2π 6 x − π = + lπ x 6= + l 6 2 π 3
Ta có phương trình tương đương 3 π 2π cot 2x − = cot − x 4 3 3 2 ⇔ π π 2x − = −x + + kπ (k ∈ Z) 4 3 17 k ⇔ π π x = + (k ∈ Z). 36 3 17π kπ
Vậy phương trình có nghiệm x = + (k ∈ Z). 36 3
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định). "x = 33,75◦ + k90◦
1 cos (3x + 45◦) = − cos x.
ĐS: x = −112,5◦ + k180◦ (k ∈ Z). 5π k2π x = + 2 sin x − π = − sin 2x − π . ĐS: 36 3 (k ∈ Z). 4 6 13π x = − − k2π 12 π kπ 3 tan 3x − π = − tan x. ĐS: x = + (k ∈ Z). 3 12 4 48
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π kπ x = + 4 cos 3x − π + cos x = 0. ĐS: 3 2 (k ∈ Z). 3
x = −π + kπ 3 3π x = − + k2π π 5 sin 2x + + cos x = 0. ĐS: 4 (k ∈ Z). 4 5π k2π x = + 12 3 π kπ 6 tan 3x + + tan 2x = 0.
ĐS: x = − π + (k ∈ Z). 4 20 5 Lời giải.
1 Phương trình tương đương
cos(3x + 45◦) = cos(180◦ − x)
"3x + 45◦ = 180◦ − x + k360◦ ⇔
3x + 45◦ = x − 180◦ + k360◦ (k ∈ Z) "x = 33,75◦ + k90◦ ⇔
x = −112,5◦ + k180◦ (k ∈ Z). "x = 33,75◦ + k90◦
Vậy phương trình có nghiệm x = −112,5◦ + k180◦ (k ∈ Z).
2 Phương trình tương đương π sin x − π = sin − 2x 4 6 π x − π = − 2x + k2π ⇔ 4 6 (k ∈ Z) π
x − π = π − − 2x + k2π 4 6 5π k2π x = + ⇔ 36 3 (k ∈ Z). 13π x = − − k2π 12 5π k2π x = +
Vậy phương trình có nghiệm 36 3 (k ∈ Z). 13π x = − − k2π 12
3 Phương trình tương đương π kπ tan 3x − π
= tan(−x) ⇔ 3x − π = −x + kπ ⇔ x = + (k ∈ Z). 3 3 12 4 π kπ
Vậy phương trình có nghiệm x = + (k ∈ Z). 12 4
4 Phương trình tương đương
3x − π = π − x + k2π cos 3x − π = cos( 3 π − x) ⇔ (k ∈ Z) 3
3x − π = x − π + k2π 3 π kπ x = + ⇔ 3 2 (k ∈ Z).
x = −π + kπ 3
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 49 π kπ x = +
Vậy phương trình có nghiệm 3 2 (k ∈ Z).
x = −π + kπ 3
5 Phương trình tương đương π 2x +
= x − π + k2π π sin 2x + = sin x − π ⇔ 4 2 (k ∈ Z) 4 2 π 2x +
= π − x − π + k2π 4 2 3π x = − + k2π ⇔ 4 (k ∈ Z). 5π k2π x = + 12 3 3π x = − + k2π
Vậy phương trình có nghiệm 4 (k ∈ Z). 5π k2π x = + 12 3
6 Phương trình tương đương π tan 3x + = tan(−2x) 4 ⇔ π 3x + = −2x + kπ 4 k ⇔ π x = − π + (k ∈ Z). 20 5 kπ
Vậy phương trình có nghiệm x = − π + (k ∈ Z). 20 5
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau π k2π x = +
1 sin 4x − 2 cos2 x + 1 = 0. ĐS: 12 3 (k ∈ Z). π x = + kπ 4 π x = + k2π 2
2 2 cos 5x · cos 3x + sin x = cos 8x. ĐS: (k ∈ Z). k2π x = − π + 6 3 k2π π x = 3 cos − x + sin 2x = 0. ĐS: ( 3 k ∈ Z). 2 x = π + k2π π kπ x = +
4 2 sin2 x = cos 5x + 1. ĐS: 6 3 (k ∈ Z). 2 kπ x = − π + 4 2 + x = − π k2 4 π π π √ 9 5 sin + x + cos − x = 3. ĐS: (k ∈ Z). 9 18 2π x = + k2π 9 50
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải.
1 Phương trình tương đương π
sin 4x = cos 2x ⇔ sin 4x = sin − 2x 2 π k2 4x = − 2x + k2 π π π x = + ⇔ 2 (k ∈ Z) ⇔ 12 3 (k ∈ Z). 4x = π
π − π + 2x + k2π x = + k 2 π 4 π k2π x = +
Vậy phương trình có nghiệm 12 3 (k ∈ Z). π x = + kπ 4
2 Phương trình tương đương π
cos 8x + cos 2x + sin x = cos 8x ⇔ cos 2x = cos + x 2 π π 2x = + x + k2π x = + k2π ⇔ 2 2 (k ∈ Z) ⇔ (k ∈ Z). k2 2x = − π − x + k2 π π x = − π + 2 6 3 π x = + k2π 2
Vậy phương trình có nghiệm (k ∈ Z). k2π x = − π + 6 3
3 Phương trình tương đương
sin x + sin 2x = 0 ⇔ sin 2x = sin(−x) " k2 2x = −x + k2 π π x = ⇔ (k ∈ Z) ⇔ ( 3 k ∈ Z).
2x = π + x + k2π x = π + k2π k2π x =
Vậy phương trình có nghiệm ( 3 k ∈ Z). x = π + k2π
4 Phương trình tương đương
cos 5x + cos x = 0 ⇔ cos 5x = cos(π − x) π kπ "5x = x = + π − x + k2π ⇔ (k ∈ Z) ⇔ 6 3 (k ∈ Z).
5x = x − π + k2π kπ x = − π + 4 2 π kπ x = +
Vậy phương trình có nghiệm 6 3 (k ∈ Z). kπ x = − π + 4 2
5 Phương trình tương đương 4 √ √ π π 4π sin + x + sin − π + x = 3 ⇔ 2 sin + x = 3 9 2 18 9 4π π x + = + k2π
x = − π + k2π ⇔ 9 3 9 ⇔ (k ∈ Z). 4π 2π 2π x + = + k2π x = + k2π 9 3 9
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 51
x = −π + k2π 9
Vậy phương trình có nghiệm (k ∈ Z). 2π x = + k2π 9 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định) π kπ 2 x = + π 9π 1 sin 3x + = cos x − . ĐS: 48 2 (k ∈ Z). 3 4 5π x = − + kπ 24 7π k2π 2 x = + π 2 cos 2x = sin x − . ĐS: 18 3 (k ∈ Z). 3 7π x = − + k2π 6 7π kπ 3 tan 3x − π = cot x. ĐS: x = + (k ∈ Z). 5 40 4
BÀI 5. Giải các phương trình lượng giác sau 5π k2π x = + π π 1 cos 2x + = − cos x + . ĐS: 36 3 (k ∈ Z). 3 4 13π x = − + k2π 12 k2π x = − π + π 2 sin 2x + + sin x = 0. ĐS: 9 3 (k ∈ Z). 3 2π x = + k2π 3 π 3 cot x − π + cot − x = 0. ĐS: Vô nghiệm. 4 2 11π kπ 2 x = + π 7π 4 sin 3x + + sin x − = 0. ĐS: 60 2 (k ∈ Z). 3 5 8π x = − + kπ 15 k2π x = − π + π 5 cos 4x + + sin x − π = 0. ĐS: 36 3 (k ∈ Z). 3 4 7π k2π x = − + 60 5 π kπ 6 tan 2x · tan 3x = 1. ĐS: x = + (k ∈ Z). 10 5
BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau k2π x = − π +
1 sin 5x + 2 cos2 x = 1. ĐS: 6 3 (k ∈ Z). k2π x = − π + 14 14 52
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 − tan x π 2 cot 2x = . ĐS: x = + kπ (k ∈ Z). 1 + tan x 4 2π k2π x = + π 4π √ 3 sin 3x + + sin − 3x = 3. ĐS: 45 3 (k ∈ Z). 5 5 7π k2π x = + 45 3 π kπ x = +
4 cos 2x cos x + cos x = sin 2x sin x. ĐS: 4 2 (k ∈ Z).
x = −π + kπ 2 π 5π k2π 5 cos 3x + + sin + 3x = 2.
ĐS: x = − π + (k ∈ Z). 3 6 9 3
{ DẠNG 3.2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng a + b a − b a + b a − b cos a + cos b = 2 cos · cos cos a − cos b = −2 sin · sin 2 2 2 2 a + b a − b a + b a − b sin a + sin b = 2 sin · cos sin a − sin b = 2 cos · sin 2 2 2 2 a + b a − b
Khi áp dụng tổng thành tích đối với hai hàm sin và cosin thì được hai cung mới là , . 2 2
! Do đó khi sử dụng nên nhẩm (tổng và hiệu) hai cung mới này trước để nhóm hạng tử thích hợp
sao cho xuất hiện nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử còn lại hoặc cụm ghép khác trong
phương trình cần giải. 1 VÍ DỤ kπ
VÍ DỤ 1. Giải phương trình sin 5x + sin 3x + sin x = 0. ĐS: , (k ∈ Z) 3 L Lời giải Ta có
sin 5x + sin 3x + sin x = 0 ⇔ (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0 ⇔ 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0 " sin 3x = 0
⇔ sin 3x(2 cos 2x + 1) = 0 ⇔ 2cos2x + 1 = 0 kπ x = 3x = kπ 3 ⇔ ( π ( 1 k ∈ Z) ⇔ x = + lπ k, l ∈ Z). cos 2x = − 3 2
x = −π + lπ 3 kπ
Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta được phương trình có nghiệm x = , (k ∈ Z). 3
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 53 π kπ π l2π
VÍ DỤ 2. Giải phương trình cos 3x + cos 2x + cos x + 1 = 0. ĐS: + , + , 4 2 3 3 (k, l ∈ Z) L Lời giải Ta có
cos 3x + cos 2x + cos x + 1 = 0 ⇔ (cos 3x + cos x) + (cos 2x + 1) = 0
⇔ 2 cos 2x cos x + 2 cos2 x = 0 ⇔ 2 cos x(cos 2x + cos x) = 0 cos 2x = 0 3x x 3x ⇔ 4 cos 2x cos cos = 0 ⇔ cos = 0 2 2 2 x cos = 0 2 π 2x = + k k π π π 2 x = + 4 2 3x ⇔ π =
+ lπ (k, l, m ∈ Z) ⇔ l2 π
π (k, l, m ∈ Z). 2 2 + x = 3 3 x π = + mπ x = 2 2 π + m2π π kπ
Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta được phương trình có nghiệm x = + , 4 2 π l2π x = + , (k, l ∈ Z). 3 3 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau kπ 2π
1 sin x + sin 2x + sin 3x = 0. ĐS: , ±
+ l2π, (k, l ∈ Z) 2 3 π kπ
2 cos x + cos 3x + cos 5x = 0. ĐS: +
, ± π + lπ, (k, l ∈ Z) 6 3 3 kπ 7π
3 1 − sin x − cos 2x + sin 3x = 0. ĐS: , − π + m2π,
+ m2π, (k, m ∈ Z) 2 6 6
4 cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0. ĐS: mnp Lời giải. 1 Ta có
sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 0 " sin 2x = 0
⇔ sin 2x(2 cos x + 1) = 0 ⇔ 2cos x + 1 = 0 k 2x = k π π x = ⇔ ( 2 ( 1 k ∈ Z) ⇔ k, l ∈ Z). cos x = − 2π 2 x = ± + l2π 3 kπ 2π
Vậy phương trình có nghiệm x = , x = ±
+ l2π, (k, l ∈ Z). 2 3 54
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 Ta có
cos x + cos 3x + cos 5x = 0 ⇔ 2 cos 3x cos 2x + cos 3x = 0 " cos 3x = 0
⇔ cos 3x(2 cos 2x + 1) = 0 ⇔ 2cos2x + 1 = 0 π 3x = + k π kπ π x = + ⇔ 2 (k ∈ Z) ⇔ 6 3 (k, l ∈ Z). 1 cos 2x = − x = ± π + lπ 2 3 π kπ
Vậy phương trình có nghiệm x = +
, x = ± π + lπ, (k, l ∈ Z). 6 3 3 3 Ta có
1 − sin x − cos 2x + sin 3x = 0 ⇔ 2 cos 2x sin x + 2 sin2 x = 0 " sin 2x = 0
⇔ 2 sin x(cos 2x + sin x) = 0 ⇔ cos 2x = − sin x kπ x = 2x = k 2 π ⇔ π (
π (k ∈ Z) ⇔ 2x = x + + l2π k, l ∈ Z) cos 2x = cos x + 2 2 π 2x = − x + + l2π 2 kπ x = 2 π ⇔ x = + l2π (k, l ∈ Z). 2 l2π x = − π + 6 3 kπ
Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta được phương trình có nghiệm x = , 2 7π
x = − π + m2π, x =
+ m2π, (k, m ∈ Z). 6 6 4 Ta có 3x x 7x x
cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 ⇔ 2 cos cos + 2 cos cos = 0 2 2 2 2 x 7x 3x x 5x ⇔ 2 cos cos + cos = 0 ⇔ 4 cos cos cos x = 0 2 2 2 2 2 cos x = 0 π x = + kπ x 2 ⇔ cos = 0 ⇔ x =
π + k2π (k ∈ Z). 2 5x π k2π cos = 0 x = + 2 5 5 π π k2π
Vậy phương trình có nghiệm x =
+ kπ, x = π + k2π, x = + , (k ∈ Z). 2 5 5
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau π kπ π l2π 5π l2π
1 sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1. ĐS: + , + , + , (k, l ∈ Z) 4 2 18 3 18 3
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 55 π 2π π 5π
2 sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x. ĐS: + kπ, ± + k2π, + k2π, + k2π, 2 3 6 6 (k ∈ Z) 7π
3 cos 3x − 2 sin 2x − cos x − sin x = 1.
ĐS: − π + k2π, − π + lπ,
+ lπ, (k, l ∈ Z) 2 12 12 kπ
4 4 sin 3x + sin 5x − 2 sin x cos 2x = 0. ĐS: , (k ∈ Z) 3 Lời giải. 1 Ta có
sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1 ⇔ (sin 5x + sin x) − (1 − 2 sin2 x) = 0
⇔ 2 sin 3x cos 2x − cos 2x = 0 ⇔ cos 2x(2 sin 3x − 1) = 0 π kπ x = + 4 2 " cos 2x = 0 l2 ⇔ ⇔ π π x = + (k, l ∈ Z). 2 sin 3x − 1 = 0 18 3 5π l2π x = + 18 3 π kπ π l2π 5π l2π
Vậy phương trình có nghiệm x = + , x = + , x = + , (k, l ∈ Z). 4 2 18 3 18 3 2 Ta có
sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x ⇔ (sin 3x + sin x) + sin 2x = (1 + cos 2x) + c x
⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos2 x + cos x ⇔ sin 2x(2 cos x + 1) − cos x(2 cos x + 1) = 0 cos x = 0
⇔ cos x(2 cos x + 1)(2 sin x − 1) = 0 ⇔ 2 cos x + 1 = 0 2 sin x − 1 = 0 π x = + kπ cos x = 0 2 2π 1 x = ± + k2π ⇔ cos x = − 3 2 ⇔ (k ∈ Z). π x = + k2 1 π sin x = 6 2 5π x = + k2π 6 π 2π π 5π
Vậy phương trình có nghiệm x = + kπ, x = ± + k2π, x = + k2π, x = + k2π, 2 3 6 6 (k ∈ Z). 3 Ta có
cos 3x − 2 sin 2x − cos x − sin x = 1 ⇔ (cos 3x − cos x) − 2 sin 2x − (sin x + 1) = 0
⇔ −2 sin 2x sin x − 2 sin 2x − (sin x + 1) = 0 ⇔ 2 sin 2x(sin x + 1) − (sin x + 1) = 0 " sin x + 1 = 0
⇔ (sin x + 1)(2 sin 2x + 1) = 0 ⇔ 2sin2x + 1 = 0
x = − π + k2π sin x = −1 2 ⇔ ⇔ x = − π + l ( 1 π k, l ∈ Z). sin 2x = − 12 2 7π x = + lπ 12 56
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 7π
Vậy phương trình có nghiệm x = − π + k2π, x = − π + lπ, x =
+ lπ, (k, l ∈ Z). 2 12 12 4 Ta có
4 sin 3x + sin 5x − 2 sin x cos 2x = 0 ⇔ 4 sin 3x + sin 5x + sin x − sin 3x = 0
⇔ 3 sin 3x + 2 sin 3x cos 2x = 0 ⇔ sin 3x(3 + 2 cos 2x) = 0 " sin 3x = 0 k ⇔ ⇔ π x = , (k ∈ Z).
3 + 2 cos 2x = 0 (vô nghiệm) 3 kπ
Vậy phương trình có nghiệm x = , (k ∈ Z). 3 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau π kπ π 5π
1 sin 3x + cos 2x − sin x = 0. ĐS: + , + l2π,
+ l2π, k, l ∈ Z 4 2 6 6 π
2 sin x − 4 cos x + sin 3x = 0. ĐS: + kπ, k ∈ Z 4 kπ
3 cos 3x + 2 sin 2x − cos x = 0. ĐS: , k ∈ Z 2 k2π π
4 cos x − cos 2x = sin 3x. ĐS: ,
+ kπ, − π + k2π, k ∈ Z 3 4 2
BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau kπ
1 sin 5x + sin 3x + 2 cos x = 1 + sin 4x. ĐS: − π +
, ± π + l2π, (k, l ∈ Z) 4 2 3 π kπ π l2π 5π l2π
2 cos 2x − sin 3x + cos 5x = sin 10x + cos 8x. ĐS: + kπ, − π + , + , + , 4 16 4 30 5 30 5 (k, l ∈ Z) 7π
3 1 + sin x + cos 3x = cos x + sin 2x + cos 2x.
ĐS: kπ, ± π + k2π, − π + l2π, + l2π, 3 6 6 (k, l ∈ Z) π kπ 2π
4 sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x. ĐS: + , ±
+ l2π, (k, l ∈ Z) 8 2 3
{ DẠNG 3.3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos
Sử dụng công thức hạ bậc 1 − cos 2α 1 + cos 2α
1 sin2 α = .
2 cos2 α = . 2 2 1 − cos 2α 1 + cos 2α
3 tan2 α = .
4 cot2 α = . 1 + cos 2α 1 − cos 2α
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 57
Đối với công thức hạ bậc của sin và cosin 1
Mỗi lần hạ bậc xuất hiện
và cung góc tăng gấp đôi. ! 2
Mục đích cả việc hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích
hợp để sau khi áp dụng công thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử
chung hoặc làm bài toán đơn giản hơn. 1 VÍ DỤ 1 π kπ kπ
VÍ DỤ 1. Giải phương trình sin2 2x − cos2 8x = cos 10x. ĐS: + , ± π + , 2 20 10 18 3 (k ∈ Z) L Lời giải Ta có 1 1 − cos 4x 1 + cos 16x 1 sin2 2x − cos2 8x = cos 10x ⇔ − = cos 10x 2 2 2 2
⇔ cos 16x + cos 4x − cos 10x = 0 ⇔ 2 cos 10x cos 6x − cos 10x = 0 π kπ " cos 10x = 0 x = + ⇔ ⇔ 20 10 (k ∈ Z). 2 cos 6x − 1 = 0 kπ x = ± π + 18 3 π kπ kπ
Phương trình có nghiệm x = + , x = ± π + , (k ∈ Z). 20 10 18 3 3 π kπ
VÍ DỤ 2. Giải phương trình cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = . ĐS: + , √ √ 2 8 4 1 −1 − 5 1 −1 + 5 ± arccos + lπ, ± arccos
+ lπ, (k, l ∈ Z) 2 4 2 4 L Lời giải Ta có 3
cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2 1 + cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x 3 ⇔ + + + cos2 4x = 2 2 2 2
⇔ cos 6x + cos 2x + cos 4x + 2 cos2 4x = 0 ⇔ 2 cos 4x cos 2x + cos 4x + 2 cos2 4x = 0
⇔ cos 4x(2 cos 4x + 2 cos 2x + 1) = 0 ⇔ cos 4x(4 cos2 2x + 2 cos 2x − 1) = 0 k cos 4x = 0 π π x = + √ 8 4 1 − 5 √ 1 −1 − 5 ⇔ cos 2x = ⇔ x = ± arccos
+ lπ (k, l ∈ Z). 4√ 2 4 √ 1 + 5 cos 2x = 1 −1 + 5 4 x = ± arccos + lπ 2 4 58
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ √ π kπ 1 −1 − 5 1 −1 + 5
Phương trình có nghiệm x = + , x = ± arccos + lπ, x = ± arccos + 8 4 2 4 2 4
lπ, (k, l ∈ Z). 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau 1 π kπ 1 sin2 x = . ĐS: + , (k ∈ Z) 2 4 4 3 π kπ 5π kπ 2 cos2 2x − π = . ĐS: + , + , (k ∈ Z) 4 4 24 2 24 2 √ 2 + 3 3 cos2 x = .
ĐS: ± π + kπ, (k ∈ Z) 4 12 4 4 sin2 x − 1 = 0.
ĐS: ± π + kπ, (k ∈ Z) 6 2 π 7π 13π kπ 29π kπ 5 sin2 3x + = sin2 − x . ĐS: + , − + , (k ∈ Z) 3 4 48 4 24 2 √ π 1 1 −2 + 2 6 cos4 x + sin4 x + = . ĐS: ± arccos + kπ, (k ∈ Z) 4 4 2 2 Lời giải. 1 Ta có 1 1 + cos 2x 1 π kπ sin2 x = ⇔ = ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + , (k ∈ Z). 2 2 2 4 4 π kπ
Vậy phương trình có nghiệm x = + , (k ∈ Z). 4 4 2 Ta có π kπ 1 + cos 4x − π x = + 3 3 1 cos2 2x − π = ⇔ 2 = ⇔ sin 4x = ⇔ 24 2 (k ∈ Z). 4 4 2 4 2 5π kπ x = + 24 2 π kπ 5π kπ
Vậy phương trình có nghiệm x = + , x = + , (k ∈ Z). 24 2 24 2 3 Ta có √ √ √ 2 + 3 1 + cos 2x 2 + 3 3 cos2 x = ⇔ = ⇔ cos 2x =
⇔ x = ± π + kπ, (k ∈ Z). 4 2 4 2 12
Vậy phương trình có nghiệm x = ± π + kπ, (k ∈ Z). 12 4 Ta có 1
4 sin2 x − 1 = 0 ⇔ 2(1 − cos 2x) − 1 = 0 ⇔ cos 2x =
⇔ x = ± π + kπ, (k ∈ Z). 2 6
Vậy phương trình có nghiệm x = ± π + kπ, (k ∈ Z). 6
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 59 5 Ta có 4 π 7π 1 − cos 6x + 1 − cos − 2x 2 π 7π 3 2 sin2 3x + = sin2 − x ⇔ = 3 4 2 2 4π 7π 6x + = − 2x + k2 4 7 π 3 2 ⇔ π π cos 6x + = cos − 2x ⇔ (k ∈ Z) 3 2 4 7 π π 6x + = − − 2x + k2π 3 2 13π kπ x = + ⇔ 48 4 (k ∈ Z). 29π kπ x = − + 24 2 13π kπ 29π kπ
Vậy phương trình có nghiệm x = + , x = − + , (k ∈ Z). 48 4 24 2 6 Ta có π 2 2 1 − cos 2x + π 1 1 + cos 2x 1 cos4 x + sin4 x + = ⇔ + 2 = 4 4 2 2 4
⇔ (1 + cos 2x)2 + (1 + cos 2x)2 = 1 ⇔ 2 cos2 2x + 4 cos 2x + 1 = 0 √ −2 − 2 √ cos 2x = (vô nghiệm) 1 −2 + 2 ⇔ 2 √ ⇔ x = ± arccos
+ kπ, (k ∈ Z). −2 + 2 2 2 cos 2x = 2 √ 1 −2 + 2
Vậy phương trình có nghiệm x = ± arccos
+ kπ, (k ∈ Z). 2 2 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau kπ 1 sin2 2x + sin2 x = 1. ĐS: , (k ∈ Z) 3 kπ
2 sin2 2x + cos2 3x = 1. ĐS: , (k ∈ Z) 5 3 π kπ
3 sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = . ĐS: +
, ± π + lπ, (k, l ∈ Z) 2 8 4 3 3 π kπ
4 cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = . ĐS: +
, ± π + lπ, (k, l ∈ Z) 2 8 4 3 π kπ π kπ
5 sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 2. ĐS: + , + , (k ∈ Z) 4 2 6 3 π π lπ π lπ
6 sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x. ĐS: + kπ, + , + , (k, l ∈ Z) 2 4 2 10 5 √2 kπ 5π kπ
7 sin3 x cos x − sin x cos3 x = . ĐS: − π + , + , (k ∈ Z) 8 16 2 4 2 60
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √2 5π
8 sin3 x cos x + sin x cos3 x = − .
ĐS: − π + kπ, + kπ, (k ∈ Z) 4 8 8
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau π 3π kπ
1 sin2 4x + cos2 6x = sin 10x, ∀x ∈ 0; . ĐS: x = ; x = , k = 1, 4 2 4 10 π kπ x = + 12 6 π 5x π
2 cos 3x + sin 7x = 2 sin2 + − 2 cos2 9x . ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 4 2 2 4 kπ x = − π + 8 2 π kπ x = + 8 4 π k2π
3 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x. ĐS: x = + (k ∈ Z) 18 3 5π k2π x = + 18 3 π kπ x = + 10 5 k
4 cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2. ĐS: π π x = + (k ∈ Z) 4 2 π x = + kπ 2 π kπ x = + 6 3 π 7
5 cos2 x + cos2 2x + cos2 − 3x = .
ĐS: x = − π + kπ (k ∈ Z) 3 4 6 kπ x = − π + 12 2 π π π π kπ
6 sin2 4x − cos2 6x = sin + 10x , ∀x ∈ 0, . ĐS: x = ; x = + , k = 0, 4 2 2 3 20 10 π x = + kπ 2 kπ
7 sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x. ĐS: x = (k ∈ Z) 2 kπ x = 9 π kπ
8 tan2 x + sin2 2x = 4 cos2 x. ĐS: x = + (k ∈ Z) 4 2 kπ
9 cos2 3x · cos 2x − cos2 x = 0. ĐS: x = (k ∈ Z) 2 5π √ 3 x = + k2π π 6 10 4 sin2 x − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 x − . ĐS: (k ∈ Z) 2 4 5π x = + k2π 18
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 61
{ DẠNG 3.4. Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích
Đa số đề thi, kiểm tra thường là những phương trình đưa về tích số. Do đó, trước khi giải ta phải
quan sát xem chúng có những lượng nhân tử chung nào, sau đó định hướng để tách, ghép, nhóm phù
hợp. Một số lượng nhân tử thường gặp:
1. Các biểu thức có nhân tử chung với cos x ± sin x thường gặp là:
1 ± sin 2x = sin2 x ± 2 sin x cos x + cos2 x = (sin x ± cos x)2
cos 2x = cos2 x − sin2 x = (cos x + sin x)(cos x − sin x)
cos4 x − sin4 x = (cos2 x − sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = (cos x + sin x)(cos x − sin x)
cos3 x − sin3 x = (cos x ∓ sin x)(1 ± sin x cos x) sin x cos x ± sin x 1 ± tan x = 1 ± = cos x cos x cos x sin x ± cos x 1 ± cot x = 1 ± = sin x sin x π 1 cos x − π = sin x + = √ (sin x + cos x) 4 4 2 π 1 sin x − π = − cos x + = √ (sin x − cos x) 4 4 2
2. Nhìn dưới góc độ hằng đẳng thức số 3, dạng a2 − b2 = (a − b)(a + b), chẳng hạn:
sin2 x = 1 − cos2 x = (1 − cos x)(1 + cos x)
sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ cos2 x = 1 − sin2 x = (1 − sin x)(1 + sin x)
cos3 x = cos x · cos2 x = cos x(1 − sin2 x) = cos x(1 − sin x)(1 + sin x)
sin3 x = sin x · sin2 x = sin x(1 − cos2 x) = sin x(1 − cos x)(1 + cos x)
cos3 x − sin3 x = (cos x ∓ sin x)(1 ± sin x cos x)
3 − 4 cos2 x = 3 − 4(1 − sin2 x) = 4 sin2 x − 1 = (2 sin x − 1)(2 sin x + 1)
sin 2x = 1 + sin 2x − 1 = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x − 1 = (sin x + cos x)2 − 1 =
(sin x + cos x − 1)(sin x + cos x + 1) √ √
2(cos4 x − sin4 x) + 1 = 3 cos2 x − sin2 x = ( 3 cos x − sin x)( 3 cos x + sin x)
3. Phân tích tam thức bậc hai dạng: f (X) = aX2 + bX + c = a(X − X1)(X − X2) với X có thể là
sin x, cos x và X1, X2 là hai nghiệm của f (X) = 0 1 VÍ DỤ √ √ π
VÍ DỤ 1. Giải phương trình 2 cos x + 3 sin x = sin 2x + 3. ĐS:
+ k2π, ± π + k2π, 2 6 (k ∈ Z) L Lời giải 62
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ √ Ta có:2 cos x + 3 sin x = sin 2x + 3 √ √ ⇔ (2 cos x − sin 2x) + 3 sin x − 3 = 0 √ ⇔ 2 cos x (1 − sin x) + 3 (sin x − 1) = 0 √ ⇔ (1 − sin x) 2 cos x − 3 = 0 sin x = 1 π √ x = + k2π ⇔ ⇔ 2 π + 3
, k ∈ Z Vậy phương trình có nghiệm là: x = k2π; cos x = x = ± π + k2 2 2 π 6
x = ± π + k2π, k ∈ Z 6 3π
VÍ DỤ 2. Giải phương trình cos 2x + (1 + sin x) (sin x + cos x) = 0. ĐS: π + k2π, + kπ, 4 (k, l ∈ Z) L Lời giải
Ta có: cos 2x + (1 + sin x) (sin x + cos x) = 0
⇔ cos2 x − sin2 x + (1 + sin x) (sin x + cos x) = 0
⇔ (cos x − sin x) (cos x + sin x) + (1 + sin x) (sin x + cos x) = 0
⇔ (sin x + cos x) (cos x + 1) = 0 " " " cos x = −1 x = π + k2π x = π + k2π x = π + k2π ⇔ ⇔ √ ⇔ π ⇔ 3 Vậy cos x + sin x = 0 2 cos x − π = 0 x − π = + k π π x = + k 4 4 2 π 4 3π
phương trình có nghiệm là: x = π + k2π; x = + kπ, k ∈ Z 4
VÍ DỤ 3. Giải phương trình (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) − sin 2x = 0. ĐS: 3π −π x = k2π; x = + k2π; x = + k2π, k ∈ Z 2 2 L Lời giải
Ta có: (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) − sin 2x = 0
⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) + (1 − sin 2x) − 1 = 0
⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) + (sin x − cos x)2 − 1 = 0
⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) + (sin x − cos x − 1) (sin x − cos x + 1) = 0
⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x + sin x − cos x − 1) = 0
⇔ (sin x − cos x + 1) (− sin x − 1) = 0 √
x − π = − π + k2 −1 π 4 4 √ sin x − cos x + 1 = 0 2 sin x − π + 1 = 0 sin x − π = π ⇔ ⇔ 4 ⇔ 4
2 ⇔ x − π = π + + k2π sin x = −1 −π − x = + k2 π 4 4 π − 2 x = + k2π π 2 x = + k2π 2 x = k2π 3 π ⇔ x = + k2π , k ∈ Z 2 −π x = + k2π 2 3π −π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = k2π; x = + k2π; x = + k2π, k ∈ Z 2 2
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 63 √ √
VÍ DỤ 4. Giải phương trình 2 sin x − 3 sin x cos x + 3 = 1 − 4 cos2 x. ĐS: π 2π x = + k2π; x =
+ k2π; x = kπ, k ∈ Z 3 3 L Lời giải √ √ Ta có: 2 sin x − 3 sin x cos x + 3 = 1 − 4 cos2 x √ √ ⇔ 2 sin x − 3 sin x cos x + 3 = 1 − 4(1 − sin2 x) √ √ ⇔ 2 sin x − 3 sin x cos x + 3 = 4 sin2 x − 3 √ √ √ √ ⇔ 2 sin x − 3 sin x cos x + 3 = 2 sin x − 3 2 sin x + 3 = 0 √ ⇔ 2 sin x −
3 (sin x cos x − 2 sin x) = 0 √ ⇔ 2 sin x − 3 sin x (cos x − 2) = 0 √ π π x = + k x = + k2 3 2π π 3 3 ⇔ sin x = ⇔ ⇔ 2π 2 x = , k ∈ Z
π − π + k2π x = + k2π sin x = 0 3 3 x = kπ x = kπ π 2π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = + k2π; x =
+ k2π; x = kπ, k ∈ Z 3 3 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau √ π 1 sin 2x − 3 sin x = 0. ĐS: x =
+ k2π; x = − π + k2π; x = kπ, k ∈ Z 6 6 π π 5π
2 (sin x + cos x)2 = 1 + cos x. ĐS: x = + kπ; x = + k2π; x = + k2π, k ∈ Z 2 6 6 3π
3 sin x + cos x = cos 2x.
ĐS: x = − π + kπ; x =
+ k2π; x = k2π, k ∈ Z 4 2 π
4 cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0. ĐS: x =
+ kπ; x = − π + k2π, k ∈ Z 4 4 Lời giải. √
1 Ta có Ta có: sin 2x − 3 sin x = 0 √ ⇔ 2 sin x cos x − 3 sin x = 0 √ ⇔ sin x 2 cos x − 3 = 0 sin x = 0 " √ x = kπ ⇔ ⇔ 3 , k ∈ Z cos x = x = ± π + k2π 2 6 π
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
+ k2π; x = − π + k2π; x = kπ, k ∈ Z 6 6
2 Ta có: (sin x + cos x)2 = 1 + cos x
⇔ sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x − 1 − cos x = 0
⇔ 2 sin x cos x − cos x = 0 64
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π x = + kπ " cos x = 0 2 π
⇔ cos x(2 sin x − 1) = 0 ⇔ 1 ⇔ x = + k2π , k ∈ Z sin x = 6 2 5π x = + k2π 6 π π 5π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = + kπ; x = + k2π; x = + k2π, k ∈ Z 2 6 6
3 Ta có: sin x + cos x = cos 2x
⇔ sin x + cos x = cos2 x − sin2 x
⇔ sin x + cos x = (cos x + sin x) (cos x − sin x)
⇔ (sin x + cos x) (1 − cos x + sin x) = 0 √ π π sin x + = 0 sin x + cos x = 0 2 sin x + = 0 ⇔ ⇔ 4 √ ⇔ 4 sin x − cos x = −1 −1 2 sin x − π = −1 sin x − π = √ 4 4 2 π x + = kπ 4 x = − π + kπ −π 4 ⇔ = + x = k2 x − π k2π ⇔ π , k ∈ Z 4 4 3π 5π x − π = + k2 x = + k2π π 4 4 2 3π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = − π + kπ; x =
+ k2π; x = k2π, k ∈ Z 4 2 4 Ta có
Ta có: cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0
⇔ cos2 x − sin2 x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0
⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x) − (1 + 2 cos x)(cos x − sin x) = 0
⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x − 1 − 2 sin x) = 0
⇔ (cos x − sin x)(cos x − sin x − 1) = 0 π π π π cos x − sin x = 0 cos x + = 0 x + = + kπ x = + kπ ⇔ ⇔ 4 ⇔ 4 2 ⇔ 4 , k ∈ cos x − sin x = 1 π π cos x + = 1 x + = k2π
x = − π + k2π 4 4 4 Z π
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
+ kπ; x = − π + k2π, k ∈ Z 4 4
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau
1 (tan x + 1) sin2 x + cos 2x = 0.
ĐS: x = − π + kπ, k ∈ Z 4 π
2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + cos x.
ĐS: x = π + k2π; x = + kπ, k ∈ Z 4 √ 3 sin 2x + cos x − 2 sin x − π = 1.
ĐS: x = − π + k2π; x = ± π + k2π, k ∈ Z 4 2 3 √ π 1 + cos 2x π π 4 2 cos − x · = 1 + cot x. ĐS: x = + k , k ∈ Z 4 sin x 4 2 Lời giải.
1 Ta có: (tan x + 1) sin2 x + cos 2x = 0 sin x ⇔
+ 1 sin2 x + (cos2 x − sin2 x) = 0 cos x
⇔ (sin x + cos x) sin2 x + cos x(cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 65
⇔ (sin x + cos x)(sin2 x + cos2 x − sin x cos x) = 0 1 ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin 2x) = 0 2 sin x + cos x = 0 √ ⇔ ⇔ π π sin x + cos x = 0 ⇔ 2 sin x + = 0 ⇔ x + = k sin 2x = 2(loại) π ⇔ x = 4 4
− π + kπ, k ∈ Z 4
Vậy phương trình có nghiệm là: x = − π + kπ, k ∈ Z 4
2 Ta có: sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + cos x
⇔ 2 sin x cos2 x + sin 2x = 1 + cos x
⇔ sin 2x cos x + sin 2x = 1 + cos x
⇔ sin 2x(1 + cos x) = 1 + cos x " " cos x = −1 x = π + k2π x = π + k2π
⇔ (1 + cos x)(sin 2x − 1) = 0 ⇔ ⇔ π ⇔ π , k ∈ Z sin 2x = 1 2x = + k2π x = + kπ 2 4 π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = π + k2π; x = + kπ, k ∈ Z 4 √
3 Ta có: sin 2x + cos x − 2 sin x − π = 1 4
⇔ sin 2x + cos x − sin x + cos x − 1 = 0
⇔ sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 = 0
⇔ 2 sin x cos x + 2 cos x − (sin x + 1) = 0
⇔ 2 cos x(sin x + 1) − (sin x + 1) = 0
⇔ (sin x + 1)(2 cos x − 1) = 0 "sin x = −1
x = − π + k2π ⇔ 1 ⇔ 2 , k ∈ Z cos x = + 2 x = ± π k2π 3
Vậy nghiệm của phương trình là: x = − π + k2π; x = ± π + k2π, k ∈ Z 2 3
4 Ta có Điều kiện: sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z √ π 1 + cos 2x Ta có: 2 cos − x · = 1 + cot x 4 sin x 1 + cos 2x sin x + cos x ⇔ (cos x + sin x) · = sin x sin x
⇔ (sin x + cos x)(1 + cos 2x) − (sin x + cos x) = 0 ⇔ (sin x + cos x) cos 2x = 0 √ π π sin x + cos x = 0 2 sin x + = 0 x + = kπ x = − π + kπ ⇔ ⇔ 4 ⇔ 4 ⇔ 4 cos 2x = 0 π π π π 2x = + kπ 2x = + kπ x = + k 2 2 4 2 ⇔ π π x = + k , k ∈ Z 4 2 π π
Vậy nghiệm của phương trình là: x = + k , k ∈ Z 4 2 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau √ π
1 1 + tan x = 2 2 sin x + .
ĐS: x = − π + kπ; x = ± π + k2π, k ∈ Z 4 4 3 √ π π 2 cos x + cos 3x = 1 + 2 sin 2x + .
ĐS: x = − π + kπ; x =
+ kπ; x = k2π, k ∈ Z 4 4 2 66
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3 (2 cos x + 1)(cos 2x + 2 sin x − 2) = 3 − 4 sin2 x.. ĐS: 2π 2π π x = + k2π; x = − + k2π; x = + kπ, k ∈ Z 3 3 4
4 (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3) = 3 − 4 cos2 x. ĐS: π 5π π x = + k2π; x = + k2π; x = + kπ, k ∈ Z 6 6 2
BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau √ π π
1 4 sin2 x + 3 3 sin 2x − 2 cos2 x = 4. ĐS: x = + kπ; x = + kπ, k ∈ Z 2 6
2 (cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x) + 2 sin2 x = 0.
ĐS: x = π + k2π, k ∈ Z 7π
3 1 + sin x + cos 3x = cos x + sin 2x + cos 2x.
ĐS: kπ, ± π + k2π, − π + l2π, + l2π, 3 6 6 (k, l ∈ Z) π kπ 2π
4 sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x. ĐS: + , ±
+ l2π, (k, l ∈ Z) 8 2 3
BÀI 5. Giải các phương trình lượng giác sau: √ 1 2 sin2 x − 3 sin x cos x + cos2 x = 1. π
ĐS: x = kπ; x = + nπ. 3
2 4 sin 2x sin x + 2 sin 2x − 2 sin x = 4 − 4 cos2 x. 7π
ĐS: x = k1π, x = − π + k + k + k 6 22π,x = 6
32π và x = ± π 3
42π với k1, k2, k3, k4 ∈ Z. √
3 4 sin2 x + 3 3 sin 2x − 2 cos2 x = 4. π π ĐS: x = + kπ và x =
+ k0π, với k, k0 ∈ Z. 2 6
4 (cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x) + 2 sin2 x = 0.
ĐS: x = π + k2π, k ∈ Z.
5 (2 cos x + 1)(sin 2x + 2 sin x − 2) = 4 cos2 x − 1. 2π π ĐS: x = ± + k + k 3 12π và x = 4
2π, với k1, k2 ∈ Z.
6 (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3) = 4 sin2 x − 1. π 5π π ĐS: x = + k + k + k 6 12π, x = 6 22π và x = 2
3π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
7 (2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) + 4 cos2 x = 3. π 5π ĐS: x = + k + k + k 6 12π, x = 6
22π, x = k3π, x = ± π 3
4π với k1, k2, k3, k4 ∈ Z.
8 (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 1) = 3 − 4 cos2 x. π 5π π π ĐS: x = + k + k + k , với k 6 12π, x = 6 22π và x = 4 3 2 1, k2, k3 ∈ Z.
9 sin 2x = (sin x + cos x − 1)(2 sin x + cos x + 2). π ĐS: x =
+ kπ, x = k02π, với k, k0 ∈ Z. 2 √
10 2(cos4 x − sin4 x) + 1 = 3 cos x − sin x. π π ĐS: x = + k + k + k 3 1π, x = 2 22π, x = − π 6
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 67 Lời giải. 1 Ta có √ √ 2 sin2 x −
3 sin x cos x + cos2 x = 1 ⇔ sin2 x − 3 sin x cos x = 0 √ ⇔ sin x(sin x − 3 cos x) = 0 " sin x = 0 ⇔ √ sin x − 3 cos x = 0 "x = kπ ⇔ √ tan x = 3 x = kπ ⇔ π , (k, n ∈ Z). x = + nπ 3 π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = kπ và x =
+ nπ với k, n ∈ Z. 3 π
ĐS: x = kπ; x = + nπ. 3 2 Ta có
4 sin 2x sin x + 2 sin 2x − 2 sin x = 4 − 4 cos2 x ⇔ 2 sin 2x(2 sin x + 1) − 2 sin x(2 sin x + 1) = 0
⇔ (2 sin x + 1)(4 sin x cos x − 2 sin x) = 0
⇔ (2 sin x + 1)(2 cos x − 1) sin x = 0 sin x = 0 1 ⇔ cos x = 2 1 sin x = − 2 x = k1π + x = − π k22π 6 ⇔ 7 π + x = k32π 6 x = ± π + k 3 42π. 7π
Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm là x = k1π, x = − π + k + k 6 22π,x = 6 32π và x = ± π + k 3
42π với k1, k2, k3, k4 ∈ Z. 7π
ĐS: x = k1π, x = − π + k + k + k 6 22π,x = 6
32π và x = ± π 3
42π với k1, k2, k3, k4 ∈ Z. 68
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 Ta có √ √
4 sin2 x + 3 3 sin 2x − 2 cos2 x = 4 ⇔ 6 3 sin x cos x − 6 cos2 x = 0 √
⇔ cos x( 3 sin x − cos x) = 0 " cos x = 0 ⇔ √3sinx − cosx = 0 π x = + kπ ⇔ 2 √ cot x = 3 π x = + kπ ⇔ 2 π x = + k0π. 6 π π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = + kπ và x =
+ k0π, với k, k0 ∈ Z. 2 6 π π ĐS: x = + kπ và x =
+ k0π, với k, k0 ∈ Z. 2 6 4 Ta có
(cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x) + 2 sin2 x = 0
⇔ (cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x) + 2(1 − cos2 x) = 0
⇔ (cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x + 2 − 2 cos x) = 0
⇔ (cos x + 1)(cos 2x + 2) = 0 ⇔ cos x = −1
⇔ x = π + k2π.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = π + k2π, k ∈ Z.
ĐS: x = π + k2π, k ∈ Z. 5 Ta có
(2 cos x + 1)(sin 2x + 2 sin x − 2) = 4 cos2 x − 1
⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x + 2 sin x − 2) = (2 cos x − 1)(2 cos x + 1))
⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x + 2 sin x − 2 − 2 sin x + 1) = 0
⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x − 1) = 0 1 cos x = − ⇔ 2 sin 2x = 1 2π x = ± + k12π ⇔ 3 π 2x = + k 2 22π 2π x = ± + k12π ⇔ 3 π x = + k 4 2π. 2π π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = ± + k + k 3 12π và x = 4
2π, với k1, k2 ∈ Z. 2π π ĐS: x = ± + k + k 3 12π và x = 4
2π, với k1, k2 ∈ Z.
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 69 6 Ta có
(2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3) = 4 sin2 x − 1
⇔ (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3) = (2 sin x + 1)(2 sin x − 1)
⇔ (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3 − 2 sin x − 1) = 0
⇔ (2 sin x − 1)(cos 2x + 1) = 0 1 sin x = ⇔ 2 cos 2x = −1 π x = + k 6 12π 5 ⇔ π x = + k 6 22π π x = + k 2 3π. π 5π π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = + k + k + k 6 12π, x = 6 22π và x = 2 3π, với k1, k2, k3 ∈ Z. π 5π π ĐS: x = + k + k + k 6 12π, x = 6 22π và x = 2
3π, với k1, k2, k3 ∈ Z. 7 Ta có
(2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) + 4 cos2 x = 3
⇔ (2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) + 1 − 4 sin2 x = 0
⇔ (2 sin x − 1)(4 sin x cos x + 1 − 1 − 2 sin x) = 0 1 sin x = ⇔ 2 2 sin x cos x − sin x = 0 1 sin x = 2 ⇔ sin x = 0 1 cos x = 2 π x = + k 6 12π 5π x = + k ⇔ 22π 6 x = k3π x = ± π + k 3 4π. π 5π
Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm là x = + k + k 6 12π, x = 6 22π, x = k3π, x = ± π + k 3
4π với k1, k2, k3, k4 ∈ Z. π 5π ĐS: x = + k + k + k 6 12π, x = 6
22π, x = k3π, x = ± π 3
4π với k1, k2, k3, k4 ∈ Z. 70
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 8 Ta có
(2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 1) = 3 − 4 cos2 x
⇔ (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 1) = 4 sin2 x − 1
⇔ (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 1 − 2 sin x − 1) = 0 1 sin x = ⇔ 2 cos 2x = 0 π x = + k 6 12π 5 ⇔ π x = + k 6 22π π π x = + k . 4 3 2 π 5π π π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = + k + k + k , 6 12π, x = 6 22π và x = 4 3 2 với k1, k2, k3 ∈ Z. π 5π π π ĐS: x = + k + k + k , với k 6 12π, x = 6 22π và x = 4 3 2 1, k2, k3 ∈ Z. 9 Ta có
sin 2x = (sin x + cos x − 1)(2 sin x + cos x + 2)
⇔ sin 2x = sin2 x + 3 sin x cos x + cos x − 1
⇔ sin2 x − 1 + sin x cos x + cos x = 0
⇔ (sin x − 1)(sin x + 1) + cos x(sin x + 1) = 0
⇔ (sin x + 1)(sin x + cos x − 1) = 0 sin x = −1 ⇔ √ 2 cos x − π = 1 4 sin x = −1 √ ⇔ 2 cos x − π = 4 2 x = −π + k 2 12π π ⇔ x − π = + k22π 4 4
x − π = − π + k 4 4 32π x = −π + k 2 12π ⇔ π x = + k22π 2 x = k32π π x = + kπ ⇔ 2 x = k02π. π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x =
+ kπ, x = k02π, với k, k0 ∈ Z. 2 π ĐS: x =
+ kπ, x = k02π, với k, k0 ∈ Z. 2
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 71 10 Ta có √ 2(cos4 x − sin4 x) + 1 = 3 cos x − sin x √ ⇔ 2(cos2 x − sin2 x) + 1 = 3 cos x − sin x √ ⇔ 2 cos 2x + 1 = 3 cos x − sin x √ 1 3 1 ⇔ cos 2x + = cos x − sin x 2 2 2 ⇔ π π 2 cos x + cos x − π = cos x + 6 6 6 π cos x + = 0 ⇔ 6 1 cos x − π = 6 2 π π x + = + k 6 2 1π π ⇔ x − π = + k22π 6 3
x − π = − π + k 6 3 32π π x = + k 3 1π π ⇔ x = + k22π 2 x = − π + k 6 32π. π π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = + k + k + k 3 1π, x = 2 22π, x = − π 6 32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. π π ĐS: x = + k + k + k 3 1π, x = 2 22π, x = − π 6
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau:
1 sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x.
ĐS: x = ± π + k2π với k ∈ Z. 3 √ √ 2 sin 2x + 3 = 2 cos x + 3 sin x π ĐS: x = + k + k 2 12π, x = ± π 6
22π với k1, k2 ∈ Z. √ 3
2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x. 3π ĐS: x = ±
+ k2π với k ∈ Z. 4
4 sin 2x − sin x = 2 − 4 cos x.
ĐS: x = ± π + k2π với k ∈ Z. 3
5 sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 = 0.
ĐS: x = − π + k2π, x = ± π + k02π, với k, k0 ∈ Z. 2 3
6 sin 2x − 2 sin x − 2 cos x + 2 = 0. π ĐS: x =
+ k2π, x = k02π, với k, k0 ∈ Z. 2 72
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
7 sin 2x + 1 = 6 sin x + cos 2x.
ĐS: x = kπ với k ∈ Z.
8 sin 2x − cos 2x = 2 sin x − 1. π
ĐS: x = k1π, x = + k 2
22π với k1, k2 ∈ Z.
9 sin 2x + 2 sin x + 1 = cos 2x. π
ĐS: x = k1π, x = + k 2
22π với k1, k2 ∈ Z.
10 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + cos x. π
ĐS: x = π + k2π, x =
+ k0π với k, k0 ∈ Z. 4
11 sin 2x − sin x + 2 cos 2x = 1 − 4 cos x.
ĐS: x = ± π + k2π, k ∈ Z. 3
12 (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.
ĐS: x = ± π + k + k 3
12π, x = π + k22π, x = − π 2
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
13 tan x + cot x = 2(sin 2x + cos 2x). π π π 5π ĐS: x = + k , x = + k + k 4 1 2 12 2π, x = 12
3π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
14 (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x. 3π π ĐS: x = + k + k 4
1π, x = k22π, x = 2
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
15 sin 2x + 2 sin2 x = sin x + cos x. 3π π 5π ĐS: x = + k + k + k 4 1π, x = 6 22π, x = 6
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. √
16 cos 3x + cos x = 2 3 cos 2x sin x. π π π ĐS: x = + k , x = + k 4 1 2 6
2π, với k1, k2 ∈ Z.
17 cos 3x − cos x = 2 sin x cos 2x. π
ĐS: x = k1π, x = − π + k , với k 8 2 2 1, k2 ∈ Z.
18 2 sin2 x − sin 2x + sin x + cos x = 1. π
ĐS: x = k2π, x =
+ k0 2π , với k, k0 ∈ Z. 6 3
19 cos x + tan x = 1 + tan x sin x. π ĐS: x = + k 4
1π, x = k32π, với k1, k2 ∈ Z.
20 tan x = sin 2x − 2 cot 2x. π π π ĐS: x = + k , x = + k 4 1 2 2
2π, với k1, k2 ∈ Z. Lời giải.
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 73 1 Ta có sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x
⇔ sin x − 2 + 4 cos x − 2 sin x cos x = 0
⇔ (sin x − 2)(1 − 2 cos x) = 0 1 ⇔ cos x = 2
⇔ x = ± π + k2π. 3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = ± π + k2π với k ∈ Z. 3
ĐS: x = ± π + k2π với k ∈ Z. 3 2 Ta có √ √ sin 2x + 3 = 2 cos x + 3 sin x √ √
⇔ 2 sin x cos x − 2 cos x + 3 − 3 sin x = 0 √ ⇔ (sin x − 1)(2 cos x − 3) = 0 sin x = 1√ ⇔ 3 cos x = 2 π x = + k12π ⇔ 2 x = ±π + k 6 22π. π
Vậy phương trình có ba nghiệm là x = + k + k 2 12π, x = ± π 6
22π với k1, k2 ∈ Z. π ĐS: x = + k + k 2 12π, x = ± π 6
22π với k1, k2 ∈ Z. 3 Ta có
√2(sinx − 2cosx) = 2 − sin2x √ √ ⇔
2 sin x − 2 − 2 2 cos x + 2 sin x cos x = 0 √ √ √ ⇔ 2(sin x − 2) + 2 cos x(sin x − 2) = 0 √ √ ⇔ (sin x − 2)(2 cos x + 2) = 0 √2 ⇔ cos x = − 2 3 ⇔ π x = ± + k2π. 4 3π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = ±
+ k2π với k ∈ Z. 4 3π ĐS: x = ±
+ k2π với k ∈ Z. 4 4 Ta có
sin 2x − sin x = 2 − 4 cos x
⇔ sin x(2 cos x − 1) + 2(2 cos x − 1) = 0
⇔ (2 cos x − 1)(sin x + 2) = 0 1 ⇔ cos x = 2
⇔ x = ± π + k2π. 3 74
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = ± π + k2π với k ∈ Z. 3
ĐS: x = ± π + k2π với k ∈ Z. 3 5 Ta có
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 = 0
⇔ 2 cos x(sin x + 1) − (sin x + 1) = 0
⇔ (sin x + 1)(2 cos x − 1) = 0 sin x = −1 ⇔ 1 cos x = 2
x = − π + k2π ⇔ 2
x = ±π + k02π. 3
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = − π + k2π, x = ± π + k02π, với k, k0 ∈ Z. 2 3
ĐS: x = − π + k2π, x = ± π + k02π, với k, k0 ∈ Z. 2 3 6 Ta có
sin 2x − 2 sin x − 2 cos x + 2 = 0
⇔ 2 sin x(cos x − 1) − 2(cos x − 1) = 0
⇔ (sin x − 1)(cos x − 1) = 0 " sin x = 1 ⇔ cos x = 1 π x = + k2π ⇔ 2 x = k02π. π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =
+ k2π, x = k02π, với k, k0 ∈ Z. 2 π ĐS: x =
+ k2π, x = k02π, với k, k0 ∈ Z. 2 7 Ta có sin 2x + 1 = 6 sin x + cos 2x
⇔ 2 sin x cos x + 2 sin2 x − 6 sin x = 0
⇔ sin x(cos x + sin x − 3) = 0
⇔ sin x = 0, (do cos x + sin x − 3 6= 0) ⇔ x = kπ.
Vậy phương trình có một nghiệm x = kπ với k ∈ Z.
ĐS: x = kπ với k ∈ Z.
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 75 8 Ta có
sin 2x − cos 2x = 2 sin x − 1
⇔ 2 sin x cos x + 1 − cos 2x − 2 sin x = 0
⇔ 2 sin x cos x + 2 sin2 x − 2 sin x = 0
⇔ sin x(cos x + sin x − 1) = 0 sin x = 0 ⇔ √ 2 cos x − π = 1 4 sin x = 0 √ ⇔ 2 cos x − π = 4 2 x = k1π π ⇔ = + x − π k22π 4 4
x − π = − π + k 4 4 32π x = k1π π ⇔ x = + k22π 2 x = k32π x = k1π ⇔ π x = + k 2 22π. π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = k1π, x = + k 2
22π với k1, k2 ∈ Z. π
ĐS: x = k1π, x = + k 2
22π với k1, k2 ∈ Z. 76
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 9 Ta có sin 2x + 2 sin x + 1 = cos 2x
⇔ 2 sin x cos x + 2 sin x + 2 sin2 x = 0
⇔ sin x(cos x + sin x + 1) = 0 sin x = 0 ⇔ √ 2 cos x − π = −1 4 sin x = 0 √ ⇔ 2 cos x − π = − 4 2 x = k1π 3π ⇔ x − π = + k22π 4 4 3π x − π = − + k 4 4 32π x = k1π
⇔ x = π + k22π x = −π + k 2 32π x = k1π ⇔ x = −π + k 2 22π. π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = k1π, x = + k 2
22π với k1, k2 ∈ Z. π
ĐS: x = k1π, x = + k 2
22π với k1, k2 ∈ Z. 10 Ta có
sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + cos x
⇔ 2 sin x cos2 x − cos x + (sin 2x − 1) = 0
⇔ cos x(sin 2x − 1) + (sin 2x − 1) = 0
⇔ (cos x + 1)(sin 2x − 1) = 0 " cos x = −1 ⇔ sin 2x = 1 x = π + k2π ⇔ π x = + k0π. 4 π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = π + k2π, x =
+ k0π với k, k0 ∈ Z. 4 π
ĐS: x = π + k2π, x =
+ k0π với k, k0 ∈ Z. 4
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 77 11 Ta có
sin 2x − sin x + 2 cos 2x = 1 − 4 cos x
⇔ 2 sin x cos x − sin x + 4 cos2 x − 3 + 4 cos x = 0
⇔ sin x(2 cos x − 1) + 2 cos x(2 cos x − 1) + 3(2 cos x − 1) = 0
⇔ (2 cos x − 1)(sin x + 2 cos x + 3) = 0 1 cos x = ⇔ 2 sin x + 2 cos x + 3 = 0 ® sin x = −1
Mà sin x + 2 cos x ≥ −3, đẳng thức xảy ra khi hệ này vô nghiệm. Suy ra cos x = −1
phương trình sin x + 2 cos x + 3 = 0 vô nghiệm. 1 Do đó cos x =
⇔ x = ± π + k2π, k ∈ Z. 2 3
ĐS: x = ± π + k2π, k ∈ Z. 3 12 Ta có
(2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x
⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin x(2 cos x − 1)
⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x − sin x + 1) = 0 1 cos x = ⇔ 2 √ 2 cos x − π = −1 4 x = ±π + k 3 12π 3π ⇔ x − π = + k22π 4 4 3π x − π = − + k 4 4 32π x = ±π + k 3 12π
⇔ x = π + k22π x = − π + k 2 32π.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là x = ± π + k + k 3
12π, x = π + k22π, x = − π 2 32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
ĐS: x = ± π + k + k 3
12π, x = π + k22π, x = − π 2
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. 78
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π
13 Điều kiện sin 2x 6= 0 ⇔ x 6= k . Ta có 2
tan x + cot x = 2(sin 2x + cos 2x) 1 ⇔ = 2(sin 2x + cos 2x) sin x cos x
⇔ 1 = 2 sin x cos x(sin 2x + cos 2x)
⇔ 1 = sin2 2x + 2 sin 2x cos 2x
⇔ 1 − sin2 2x = 2 sin 2x cos 2x ⇔ cos 2x(1 − 2 sin 2x) = 0 cos 2x = 0 ⇔ 1 sin 2x = 2 π π x = + k 4 1 2 π ⇔ x = + k2π 12 5π x = + k 12 3π. π π π 5π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = + k , x = + k + k 4 1 2 12 2π, x = 12 3π, với k1, k2, k3 ∈ Z. π π π 5π ĐS: x = + k , x = + k + k 4 1 2 12 2π, x = 12
3π, với k1, k2, k3 ∈ Z. 14 Ta có
(1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x
⇔ sin x + cos x + sin x cos x(sin x + cos x) = (sin x + cos x)2
⇔ (sin x + cos x)(1 + sin x cos x − sin x − cos x) = 0
⇔ cos x − π (1 − cos x)(1 − sin x) = 0 4 cos x − π = 0 4 ⇔ cos x = 1 sin x = 1 π x − π = + k 4 2 1π ⇔ x = k22π π x = + k 2 32π 3π x = + k 4 1π ⇔ x = k 22π π x = + k 2 32π. 3π π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = + k + k 4
1π, x = k22π, x = 2 32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. 3π π ĐS: x = + k + k 4
1π, x = k22π, x = 2
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 79 15 Ta có
sin 2x + 2 sin2 x = sin x + cos x
⇔ 2 sin x(sin x + cos x) − (sin x + cos x) = 0
⇔ (sin x + cos x)(2 sin x − 1) = 0 cos x − π = 0 ⇔ 4 1 sin x = 2 π x − π = + k 4 2 1π π ⇔ x = + k22π 6 5π x = + k 6 32π 3π x = + k1π 4 π ⇔ x = + k22π 6 5π x = + k 6 32π 3π π 5π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = + k + k + k 4 1π, x = 6 22π, x = 6 32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. 3π π 5π ĐS: x = + k + k + k 4 1π, x = 6 22π, x = 6
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. 16 Ta có √
cos 3x + cos x = 2 3 cos 2x sin x √
⇔ 2 cos 2x cos x = 2 3 cos 2x sin x √
⇔ cos 2x( 3 sin x − cos x) = 0 " cos 2x = 0 ⇔ √ cot x = 3 π 2x = + k1π ⇔ 2 π x = + k 6 2π π π x = + k1 ⇔ 4 2 π x = + k 6 2π. π π π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = + k , x = + k 4 1 2 6
2π, với k1, k2 ∈ Z. π π π ĐS: x = + k , x = + k 4 1 2 6
2π, với k1, k2 ∈ Z. 80
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 17 Ta có
cos 3x − cos x = 2 sin x cos 2x
⇔ −2 sin 2x sin x = 2 sin x cos 2x ⇔ sin x(sin 2x + cos 2x) = 0 " sin x = 0 ⇔ tan 2x = −1 x = k1π ⇔ π x = − π + k . 8 2 2 π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = k1π, x = − π + k , với k 8 2 2 1, k2 ∈ Z. π
ĐS: x = k1π, x = − π + k , với k 8 2 2 1, k2 ∈ Z. 18 Ta có
2 sin2 x − sin 2x + sin x + cos x = 1
⇔ sin2 x − cos2 x − 2 sin x cos x + sin x + cos x = 0
⇔ sin x + cos x = sin 2x + cos 2x
⇔ cos x − π = cos 2x − π 4 4
2x − π = x − π + k2π ⇔ 4 4 π 2x − π = −x + + k02π 4 4 x = k2π ⇔ π x = + k0 2π . 6 3 π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = k2π, x =
+ k0 2π , với k, k0 ∈ Z. 6 3 π
ĐS: x = k2π, x =
+ k0 2π , với k, k0 ∈ Z. 6 3
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 81 π
19 Điều kiện cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ. Ta có 2
cos x + tan x = 1 + tan x sin x
⇔ cos2 x + sin x = cos x + sin2 x
⇔ sin x − cos x = (sin x − cos x)(sin x + cos x)
⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x − 1) = 0 sin x = cos x ⇔ √ 2 cos x − π = 1 4 tan x = 1 √ ⇔ 2 cos x − π = 4 2 π x = + k 4 1π π ⇔ x − π = + k22π 4 4
x − π = − π + k 4 4 32π π x = + k 4 1π ⇔ π x = + k22π 2 x = k32π π x = + k ⇔ 4 1π x = k22π. π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = + k 4
1π, x = k32π, với k1, k2 ∈ Z. π ĐS: x = + k 4
1π, x = k32π, với k1, k2 ∈ Z. π
20 Điều kiện sin 2x 6= 0 ⇔ x 6= k . Ta có 2 tan x = sin 2x − 2 cot 2x sin x 2 cos 2x ⇔ = sin 2x − cos x sin 2x
⇔ 2 sin2 x = sin2 2x − 2 cos 2x
⇔ 1 − cos 2x = sin2 2x − 2 cos 2x ⇔ 1 − sin2 2x = − cos 2x ⇔ cos2 2x + cos 2x = 0 " cos 2x = 0 ⇔ cos 2x = −1 π π x = + k1 ⇔ 4 2 π x = + k 2 2π. π π π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = + k , x = + k 4 1 2 2
2π, với k1, k2 ∈ Z. π π π ĐS: x = + k , x = + k 4 1 2 2
2π, với k1, k2 ∈ Z. 82
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 7. Giải các phương trình lượng giác sau:
1 cos x + 2 sin x(1 − cos x)2 = 2 + 2 sin x.
ĐS: x = − π + kπ, k ∈ Z. 4
2 2(cos x + sin 2x) = 1 + 4 sin x(1 + cos 2x). π 5π ĐS: x = + k + k + k 12 1π, x = 12 2π, x = ± π 3
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. x
3 1 − sin x cos x = 2 sin x − cos2 . 2 π ĐS: x = + k2π, k ∈ Z. 2 √ 4 sin 2x + cos x − 2 sin x − π = 1. 4
ĐS: x = − π + k + k 2 12π, x = ± π 3
22π, với k1, k2 ∈ Z. √ π π 2 5 sin − 2x + sin + x = . 4 4 2 π 5π
ĐS: x = − π + k + k + k 4 1π, x = 6 22π, x = 6
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. √ π π 2 6 cos − x − sin + 2x = . 4 4 2
ĐS: x = − π + k + k 4 1π, x = ± π 3
22π., với k1, k2 ∈ Z.
7 sin3 x + cos3 x = sin x + cos x. π
ĐS: x = − π + k , với k 4 1π, x = k2 2 1, k2 ∈ Z.
8 sin3 x + cos3 x = 2(sin5 x + cos5 x). π π ĐS: x = + k , với k ∈ Z. 4 2
9 2 sin3 x + cos 2x + cos x = 0.
ĐS: x = π + k12π, x = − π + k 4
2π, với k1, k2 ∈ Z. 5
10 sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + cos 2x. 4 π π ĐS: x = + k , k ∈ Z. 4 2 √
11 sin 2x − cos 2x − 2 sin x = 0. π 5π 2π ĐS: x = + k + k , với k 4 12π, x = 12 2 3 1, k2 ∈ Z.
12 tan 2x + cot x = 8 cos2 x. π π π 5π π ĐS: x = + k + k , x = + k , với k 2 1π, x = 24 2 2 24 3 2 1, k2, k3 ∈ Z.
13 3 sin 3x + 2 + sin x(3 − 8 cos x) = 3 cos x. 2 π 5π ĐS: x = ± arccos + k + k + k 3 12π, x = 12 2π, x = 12
3π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 83
14 2 sin x(2 cos 2x + 1 + sin x) = cos 2x + 2. π 5π ĐS: x = + k + k + k 6 12π, x = 6 22π, x = ± π 3
3π, với k1, k2, k3 ∈ Z. Lời giải. 1 Ta có
cos x + 2 sin x(1 − cos x)2 = 2 + 2 sin x
⇔ cos x − 2 + 2 sin x((1 − cos x)2 − 1) = 0
⇔ cos x − 2 + 2 sin x cos x(cos x − 2) = 0
⇔ (cos x − 2)(sin 2x + 1) = 0 ⇔ sin 2x = −1
⇔ x = − π + kπ. 4
Vậy phương trình có một nghiệm là x = − π + kπ, k ∈ Z. 4
ĐS: x = − π + kπ, k ∈ Z. 4 2 Ta có
2(cos x + sin 2x) = 1 + 4 sin x(1 + cos 2x)
⇔ 2 cos x + 2 sin 2x = 1 + 8 sin x cos2 x
⇔ 2 cos x + 2 sin 2x = 1 + 4 sin 2x cos x
⇔ 2 sin 2x(1 − 2 cos x) − (1 − 2 cos x) = 0
⇔ (2 sin 2x − 1)(1 − 2 cos x) = 0 1 sin 2x = ⇔ 2 1 cos x = 2 π x = + k 12 1π 5 ⇔ π x = + k 12 2π x = ±π + k 3 32π. π 5π
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là x = + k + k + k 12 1π, x = 12 2π, x = ± π 3 32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. π 5π ĐS: x = + k + k + k 12 1π, x = 12 2π, x = ± π 3
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. 3 Ta có
1 − sin x cos x = 2 sin x − cos2 x 2
⇔ 1 − sin x cos x = 2 sin x − 2 cos2 x2
⇔ 1 − sin x cos x = 2 sin x − 1 − cos x
⇔ 2 + cos x − sin x(cos x + 2) = 0
⇔ (2 + cos x)(1 − sin x) = 0 ⇔ sin x = 1 ⇔ π x = + k2π. 2 84
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = + k2π, k ∈ Z. 2 π ĐS: x = + k2π, k ∈ Z. 2 4 Ta có √ sin 2x + cos x − 2 sin x − π = 1 4
⇔ 2 sin x cos x + cos x − sin x + cos x = 1
⇔ sin x(2 cos x − 1) + 2 cos x − 1 = 0
⇔ (sin x + 1)(2 cos x − 1) = 0 sin x = −1 ⇔ 1 cos x = 2
x = − π + k12π ⇔ 2 x = ±π + k 3 22π.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = − π + k + k 2 12π, x = ± π 3
22π, với k1, k2 ∈ Z.
ĐS: x = − π + k + k 2 12π, x = ± π 3
22π, với k1, k2 ∈ Z. 5 Ta có √ π π 2 sin − 2x + sin + x = 4 4 2 √ √ √ √ √ ⇔ 2 cos 2x − 2 sin 2x + 2 cos x + 2 sin x = 2
⇔ cos 2x − sin 2x + sin x + cos x = 1
⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x) + (sin x + cos x) = (sin x + cos x)2
⇔ (sin x + cos x)(cos x − sin x + 1 − sin x − cos x) = 0 " sin x + cos x = 0 ⇔ 2 sin x = 1 tan x = −1 ⇔ 1 sin x = 2 x = − π + k 4 1π π ⇔ x = + k22π 6 5π x = + k 6 32π. π 5π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = − π + k + k + k 4 1π, x = 6 22π, x = 6 32π, với k1, k2, k3 ∈ Z. π 5π
ĐS: x = − π + k + k + k 4 1π, x = 6 22π, x = 6
32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 85 6 Ta có √ π π 2 cos − x − sin + 2x = 4 4 2 √ √ 2 ⇔ π π 2 cos − x − 2 sin + 2x = 4 4 2
⇔ sin x + cos x − sin 2x − cos 2x = 1
⇔ sin x + cos x − (sin x + cos x)2 − (cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0
⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x − cos x − cos x + sin x) = 0
⇔ (sin x + cos x)(1 − 2 cos x) = 0 " sin x + cos x = 0 ⇔ 1 − 2 cos x = 0 tan x = −1 ⇔ 1 cos x = 2
x = − π + k1π ⇔ 4 x = ±π + k 3 22π.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = − π + k + k 4 1π, x = ± π 3
22π., với k1, k2 ∈ Z.
ĐS: x = − π + k + k 4 1π, x = ± π 3
22π., với k1, k2 ∈ Z. 7 Ta có
sin3 x + cos3 x = sin x + cos x
⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = sin x + cos x ⇔ (sin x + cos x) sin 2x = 0 " sin x + cos x = 0 ⇔ sin 2x = 0 " tan x = −1 ⇔ sin 2x = 0
x = − π + k1π ⇔ 4 π x = k2 . 2 π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = − π + k , với k 4 1π, x = k2 2 1, k2 ∈ Z. π
ĐS: x = − π + k , với k 4 1π, x = k2 2 1, k2 ∈ Z. 86
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 8 Ta có
sin3 x + cos3 x = 2(sin5 x + cos5 x)
⇔ sin3 x − 2 sin5 x + cos3 x − 2 cos5 x = 0
⇔ sin3 x(1 − 2 sin2 x) + cos3 x(1 − 2 cos2 x) = 0
⇔ sin3 x cos 2x − cos3 x cos 2x = 0
⇔ cos 2x(sin x − cos x)(1 + sin x cos x) = 0 cos 2x = 0 ⇔ sin x = cos x sin 2x = −2 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ π π x = + k . 4 1 2 π π
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = + k , với k ∈ Z. 4 2 π π ĐS: x = + k , với k ∈ Z. 4 2 9 Ta có 2 sin3 x + cos 2x + cos x = 0
⇔ 2 sin3 x + 1 − 2 sin2 x + cos x = 0
⇔ 2(1 − cos2 x)(sin x − 1) + (1 + cos x) = 0
⇔ (1 + cos x)(2 sin x + 2 cos x − 2 sin x cos x − 1) = 0
⇔ (1 + cos x)(2(sin x + cos x) − (sin x + cos x)2) = 0
⇔ (1 + cos x)(sin x + cos x)(2 − sin x − cos x) = 0
⇔ (1 + cos x)(sin x + cos x) = 0 " cos x = −1 ⇔ tan x = −1
x = π + k12π ⇔ x = −π + k 4 2π.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = π + k12π, x = − π + k 4
2π, với k1, k2 ∈ Z.
ĐS: x = π + k12π, x = − π + k 4
2π, với k1, k2 ∈ Z. 10 Ta có 5
sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + cos 2x 4 5
⇔ sin8 x(1 − 2 sin2 x) + cos8 x(1 − 2 cos2 x) = cos 2x 4 5
⇔ sin8 x cos 2x − cos8 x cos 2x = cos 2x 4
⇔ cos 2x(4(sin8 x − cos8 x) − 5) = 0 cos 2x = 0 ⇔ 5 sin8 x − cos8 x = 4
3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 87 5 5 5
Xét phương trình sin8 x − cos8 x = ⇔ sin8 x = + cos8 x ≥
> 1 vô lý, suy ra phương 4 4 4 5 trình sin8 x − cos8 x = vô nghiệm. 4 π π Do đó cos 2x = 0 ⇔ x = + k , k ∈ Z. 4 2 π π ĐS: x = + k , k ∈ Z. 4 2 11 Ta có √ sin 2x − cos 2x − 2 sin x = 0 √ √ ⇔ 2 sin 2x − π − 2 sin x = 0 4
⇔ sin 2x − π = sin x 4
2x − π = x + k12π ⇔ 4
2x − π = π − x + k 4 22π π x = + k12π ⇔ 4 5π 2π x = + k . 12 2 3 π 5π 2π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = + k + k , với k 4 12π, x = 12 2 3 1, k2 ∈ Z. π 5π 2π ĐS: x = + k + k , với k 4 12π, x = 12 2 3 1, k2 ∈ Z. ® π π cos 2x 6= 0 x 6= + k 12 Điều kiện ⇔ 4 2 , k ∈ Z. Ta có sin x 6= 0 x 6= kπ tan 2x + cot x = 8 cos2 x sin 2x cos x ⇔ + = 8 cos2 x cos 2x sin x
⇔ cos 2x cos x + sin 2x sin x = 8 cos 2x sin x cos2 x ⇔ cos x = 2 sin 4x cos x cos x = 0 ⇔ 1 sin 4x = 2 π x = + k 2 1π π π ⇔ x = + k2 24 2 5π π x = + k . 24 3 2 π π π 5π π
Vậy phương trình có ba nghiệm là x = + k + k , x = + k , với k 2 1π, x = 24 2 2 24 3 2 1, k2, k3 ∈ Z. π π π 5π π ĐS: x = + k + k , x = + k , với k 2 1π, x = 24 2 2 24 3 2 1, k2, k3 ∈ Z. 88
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 13 Ta có
3 sin 3x + 2 + sin x(3 − 8 cos x) = 3 cos x
⇔ 9 sin x − 12 sin3 x + 2 + 3 sin x − 8 sin x cos x − 3 cos x = 0
⇔ 12 sin x − 12 sin3 x + 2 − 8 sin x cos x − 3 cos x = 0
⇔ 12 sin x cos2 x − 8 sin x cos x + 2 − 3 cos x = 0
⇔ 4 sin x cos x(3 cos x − 2) − (3 cos x − 2) = 0
⇔ (3 cos x − 2)(2 sin 2x − 1) = 0 2 cos x = ⇔ 3 1 sin 2x = 2 2 x = ± arccos + k 3 12π ⇔ π x = + k 2π 12 5π x = + k 12 3π. 2 π
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là x = ± arccos + k + k 3 12π, x = 12 2π, x = 5π + k 12
3π, với k1, k2, k3 ∈ Z. 2 π 5π ĐS: x = ± arccos + k + k + k 3 12π, x = 12 2π, x = 12
3π, với k1, k2, k3 ∈ Z. 14 Ta có
2 sin x(2 cos 2x + 1 + sin x) = cos 2x + 2
⇔ 4 sin x cos 2x + 2 sin x + 2 sin2 x − cos 2x − 2 = 0
⇔ 4 sin x cos 2x − 2 cos 2x + 2 sin x − 1 = 0
⇔ (2 cos 2x + 1)(2 sin x − 1) = 0 1 sin x = ⇔ 2 1 cos 2x = − 2 π x = + k 6 12π 5 ⇔ π x = + k 6 22π x = ±π + k 3 3π. π 5π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = + k + k + k 6 12π, x = 6 22π, x = ± π 3 3π, với k1, k2, k3 ∈ Z. π 5π ĐS: x = + k + k + k 6 12π, x = 6 22π, x = ± π 3
3π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC89 BÀI 4.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC
HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác
(cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn: Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện a sin2 X + b sin X + c = 0 t = sin X −1 ≤ t ≤ 1 a cos2 X + b cos X + c = 0 t = cos X −1 ≤ t ≤ 1 π a tan2 X + b tan X + c = 0 t = tan X X 6= + kπ 2 a cot2 X + b cot X + c = 0 t = cot X X 6= kπ
Nếu đặt t = sin2 x, cos2 x hoặc t = | sin x|, | cos x| thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1. B
DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 1 VÍ DỤ π x = + k2π 6
VÍ DỤ 1. Giải phương trình: 4 cos2 x − 4 sin x − 1 = 0. ĐS: (k ∈ Z) 5π x = + k2π 6 L Lời giải
4 cos2 x − 4 sin x − 1 = 0 ⇔ 4(1 − sin2 x) − 4 sin x − 1 = 0
⇔ 4 − 4 sin2 x − 4 sin x − 1 = 0
⇔ 4 sin2 x + 4 sin x − 3 = 0.
Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1 t =
4t2 + 4t − 3 = 0 ⇔ (2t − 1)(2t + 3) = 0 ⇔ 2 −3 t = . 2 π x = + k2 1 π 6
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔ (k ∈ Z). 2 5π x = + k2π 6 90
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x = k2π − π
VÍ DỤ 2. Giải phương trình: cos 2x − 3 cos x + 2 = 0. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 3 π x = + k2π 3 L Lời giải
cos 2x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔ cos2 x − sin2 x − 3 cos x + 2 = 0
⇔ 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0.
Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1 t =
2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔ (2t − 1)(t − 1) = 0 ⇔ 2 t = 1. x = k2π 1 t = cos x = − π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ x = + k2π ( 2 k ∈ Z). 3 t = cos x = 1 π x = + k2π 3 −π x = + k2π 6
VÍ DỤ 3. Giải phương trình 3 cos 2x + 7 sin x + 2 = 0. ĐS: (k ∈ Z) 7π x = + k2π 6 L Lời giải
3 cos 2x + 7 sin x + 2 = 0 ⇔ 3(1 − 2 sin2 x) + 7 sin x + 2 = 0
⇔ 6 sin2 x − 7 sin x − 5 = 0.
Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 5 t =
6t2 − 7t − 5 = 0 ⇔ (3t − 5)(2t + 1) = 0 ⇔ 3 −1 t = . 2 −π − + 1 x = k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔ 6 (k ∈ Z). 2 7π x = + k2π 6 −π x = + kπ 2 −π
VÍ DỤ 4. Giải phương trình: 4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 6 π x = + kπ 6
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC91 L Lời giải
4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0 ⇔ 4 sin4 x + 5(1 − sin2 x) − 4 = 0
⇔ 4 sin4 x − 5 sin2 x + 1 = 0.
Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1 t =
4t2 − 5t + 1 = 0 ⇔ (4t − 1)(t − 1) = 0 ⇔ 4 t = 1. −π x = + kπ 1 1 2 t = sin2 x = t = sin x = ± − Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ ⇔ π ( 4 2 x = + kπ k ∈ Z). t = sin2 x = 1 t = sin x = ±1 6 π x = + kπ 6
VÍ DỤ 5. Giải phương trình: cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0.
ĐS: x = kπ (k ∈ Z) L Lời giải
cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0 ⇔ cos2 2x − sin2 2x + 12 sin2 x − 1 = 0
⇔ (cos2 x − sin2 x)2 − 4 sin2 x cos2 x + 12 sin2 x − 1 = 0
⇔ (1 − 2 sin2 x)2 − 4 sin2 x(1 − sin2 x) + 12 sin2 x − 1 = 0
⇔ 1 − 4 sin2 x + 4 sin4 x − 4 sin2 x + 4 sin4 x + 12 sin2 x − 1 = 0 ⇔ 8 sin4 x + 4 sin2 x = 0.
Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 0
8t2 + 4t = 0 ⇔ 4t(2t + 1) = 0 ⇔ −1 t = . 2
Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên t = sin2 x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z). π x = + k 1 2 5 2π 3
VÍ DỤ 6. Giải phương trình: − tan2 x + − = 0. ĐS: (k ∈ Z) 2 cos x 2 −π x = + k2π 3 L Lời giải π
Điều kiện: cos x 6= 0 ⇔ x 6=
+ kπ (k ∈ Z). Ta có: 2 1 2 5 sin2 x 4 cos x 5 cos2 x − tan2 x + − = 0 ⇔ − + − = 0. 2 cos x 2 2 cos2 x 2 cos2 x 2 cos2 x
⇔ cos2 x − 1 + 4 cos x − 5 cos2 x = 0
⇔ 4 cos2 x − 4 cos x + 1 = 0 92
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ (2 cos x − 1)2 = 0 1 ⇔ cos x = 2 π x = + k2π ⇔ 3 (k ∈ Z). −π x = + k2π 3 π x = + k2π
So sánh hai nghiệm với điều kiện thỏa mãn. Vậy 3 (k ∈ Z). −π x = + k2π 3 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau −π x = + k2π 6 7
1 2 sin2 x − sin x − 1 = 0. ĐS: π x = + k2 (k ∈ Z) π 6 π x = + k2π 2 π x = + k2π 6
2 4 sin2 x + 12 sin x − 7 = 0. ĐS: (k ∈ Z) 5π x = + k2π 6 π x = + k2π 4 3π √ √ x = + k2π 3 2 2 sin2 x − (2 + 2) sin x + 1 = 0. ĐS: 4 (k ∈ Z) π x = + k2π 6 5π x = + kπ 6 −π x = + kπ 2 π
4 −2 sin3 x + sin2 x + 2 sin x − 1 = 0. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 6 5π x = + k2π 6 x = k2π − π
5 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 3 π x = + k2π 3 −π x = + k2π
6 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0. ĐS: 3 (k ∈ Z) π x = + k2π 3
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC93 x = k2π √ √ −3π 7 2 cos2 x + ( 2 − 2) cos x = 2. ĐS: x = + k2π 4 (k ∈ Z) 3π x = + k2π 4 −3π x = + k2π 4 3π √ √ √ x = + k2 π 8 4 cos2 x − 2( 3 − 2) cos x = 6. ĐS: 4 (k ∈ Z) −π x = + k2 π 6 π x = + k2π 6 √ −π
9 tan2 x + 2 3 tan x + 3 = 0. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 3 √ 3 − 3 √ x = arctan + kπ
10 2 tan2 x − 2 3 tan x − 3 = 0. ĐS: 2 √ (k ∈ Z) 3 + 3 x = arctan + kπ 2 −π √ √ x = + kπ 11 tan2 x + (1 − 3) tan x − 3 = 0. ĐS: 4 (k ∈ Z) π x = + kπ 3 √ −π
12 3 cot2 x + 2 3 cot x + 1 = 0. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 3 π √ √ x = + kπ 13 3 cot2 x − (1 + 3) cot x + 1 = 0. ĐS: 4 (k ∈ Z) π x = + kπ 3 π √ √ x = + kπ 14 3 cot2 x + (1 − 3) cot x − 1 = 0. ĐS: 4 (k ∈ Z) −π x = + kπ 3 Lời giải.
1 Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: −1 t =
2t2 − t − 1 = 0 ⇔ (2t + 1)(t − 1) = 0 ⇔ 2 t = 1. −π x = + k2π −1 6 t = sin x = 7 Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ π ( 2 x = + k2 k ∈ Z). π t = sin x = 1 6 π x = + k2π 2 94
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2 Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: −7 t =
4t2 + 12t − 7 = 0 ⇔ (2t + 7)(2t − 1) = 0 ⇔ 2 1 t = . 2 π x = + k2 1 π 6
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔ (k ∈ Z). 2 5π x = + k2π 6
3 Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1 √ √ √ t = 2 2 2t2 − 2t −
2t + 1 = 0 ⇔ (2t − 1)( 2t − 1) = 0 ⇔ √ 2 t = . 2 π x = + k2π 4 1 3 t = sin x = π x = + k2 2 π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên √ 4 ⇔ (k ∈ Z). π 2 t = sin x = x = + k2π 2 6 5π x = + kπ 6
4 Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 1
−2t3 + t2 + 2t − 1 = 0 ⇔ (−t + 1)(t + 1)(2t − 1) = 0 ⇔ t = −1 1 t = . 2 −π t = sin x = 1 x = + kπ 2 π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = −1 + ⇔ x = k2π (k ∈ Z). 1 6 t = sin x = 5π 2 x = + k2π 6
5 Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 1
2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔ (t − 1)(2t − 1) = 0 ⇔ 1 t = . 2 x = k2π t = cos x = 1 − π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ x = + k2π ( 1 k ∈ Z). t = cos x = 3 2 π x = + k2π 3
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC95
6 Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = −2
2t2 + 3t − 2 = 0 ⇔ (t + 2)(2t − 1) = 0 ⇔ 1 t = . 2 −π 1 x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = ⇔ 3 (k ∈ Z). 2 π x = + k2π 3
7 Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: √ √ √ t = 1 √ 2t2 + 2t − 2t − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(2t + 2) = 0 ⇔ − 2 t = . 2 x = k2π t = cos x = 1 √ −3π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ x = + k2π ( − 2 4 k ∈ Z). t = cos x = 2 3π x = + k2π 4
8 Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: √ − 2 √ √ √ √ √ t = 4t2 − 2 3t + 2 2t − 6 = 0 ⇔ (2t + 2)(2t − 3) = 0 ⇔ 2 √ 3 t = . 2 −3π x = + k2π √ 4 − 2 3 t = cos x = π x = + k2 π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên 2 4 √ ⇔ (k ∈ Z). 3 −π t = cos x = x = + k2 π 2 6 π x = + k2π 6 π
9 Đặt t = tan x (x 6=
+ kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: 2 √ √ √ t2 + 2 3t + 3 = 0 ⇔ (t + 3)2 = 0 ⇔ t = − 3 π √ −π Với x 6=
+ kπ, k ∈ Z, ta có t = tan x = − 3 ⇔ x = + kπ(k ∈ Z). 2 3 96
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π
10 Đặt t = tan x (x 6=
+ kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: 2 √ √ 3 − 3 √ !2 3 9 t = 2t2 − 2 3t − 3 = 0 ⇔ t − = ⇔ 2 √ 2 4 3 + 3 t = . 2 √ √ 3 − 3 3 − 3 t = tan x = x = arctan + kπ π Với x 6= + k 2 2
π, k ∈ Z, ta có √ √ ⇔ (k ∈ Z). 2 3 + 3 3 + 3 t = tan x x = arctan + kπ 2 2 π
11 Đặt t = tan x (x 6=
+ kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: 2 √ √ √ "t = −1 t2 + t − 3t − 3 = 0 ⇔ (t + 1)(t − 3) = 0 ⇔ √ t = 3. −π " x = + kπ π t = tan x = −1 Với x 6= + k 4
π, k ∈ Z, ta có √ ⇔ (k ∈ Z). 2 t = tan x = 3 π x = + kπ 3
12 Đặt t = cot x (x 6= kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: √ √ √ − 3
3t2 + 2 3t + 1 = 0 ⇔ ( 3t + 1)2 = 0 ⇔ t = . 3 √ − 3 −π
Với x 6= kπ, k ∈ Z, ta có t = cot x = ⇔ x = + kπ(k ∈ Z). 3 3
13 Đặt t = cot x (x 6= kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: √ √ √ t = 1√ 3t2 − t −
3t + 1 = 0 ⇔ (t − 1)( 3t − 1) = 0 ⇔ 3 t = . 3 t = cot x = 1 π x = + k √ π Với x 6= k 4
π, k ∈ Z, ta có ⇔ ( 3 k ∈ Z). t = cot x = π x = + k 3 π 3
14 Đặt t = cot x (x 6= kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành: √ √ √ t = 1 √ 3t2 + t −
3t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)(t 3 + 1) = 0 ⇔ − 3 t = . 3 t = cot x = 1 π x = + k √ π Với x 6= k 4
π, k ∈ Z, ta có ⇔ ( − 3 − k ∈ Z). t = cot x = π x = + k 3 π 3
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC97 −π x = + k2π
1 6 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0. ĐS: 6 (k ∈ Z) 7π x = + k2π 6 π x = + k2π
2 2 cos2 x + 5 sin x − 4 = 0. ĐS: 6 (k ∈ Z) π x = + k2π 6 π x = + k2π 2 −5π
3 3 − 4 cos2 x = sin x(2 sin x + 1). ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 6 −π x = + k2π 6
4 − sin2 x − 3 cos x + 3 = 0.
ĐS: x = k2π (k ∈ Z) x = k2π π
5 −2 sin2 x − 3 cos x + 3 = 0. ĐS: x = + k2 π (k ∈ Z) 3 −π x = + k2π 3 −5π x = + kπ
6 2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0. ĐS: 12 (k ∈ Z) −π x = + kπ 12 x = k2π − π
7 3 sin2 x + 2 cos4 x − 2 = 0. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 4 π x = + kπ 4 π x = + kπ
8 4 sin4 x + 2 cos2 x = 7. ĐS: 4 (k ∈ Z) −π x = + kπ 4 −3π x = + kπ
9 4 cos4 x = 4 sin2 x − 1 ĐS: 4 (k ∈ Z) 3π x = + kπ 4 −π x = + k2π 6
10 4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0. ĐS: π (k ∈ Z) x = + k2π 6 x = k2π Lời giải. 98
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Ta có:
6 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0 ⇔ −6 sin2 x + 5 sin x + 4 = 0.
Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành 4 t = −6t2 + 5t + 4 = 0 ⇔ 3 −1 t = . 2 −π − + 1 x = k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔ 6 (k ∈ Z). 2 7π x = + k2π 6 2 Ta có:
2 cos2 x + 5 sin x − 4 = 0 ⇔ 2 − 2 sin2 x + 5 sin x − 4 = 0
⇔ 2 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0.
Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành t = 2 2t2 − 5t + 2 = 0 ⇔ 1 t = . 2 π 1 x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔ 6 (k ∈ Z). 2 π x = + k2π 6 3 Ta có:
3 − 4 cos2 x = sin x(2 sin x + 1) ⇔ 3 − 4(1 − sin2 x) − 2 sin2 x − sin x = 0
⇔ 2 sin2 x − sin x − 1 = 0.
Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 1 2t2 − t − 1 = 0 ⇔ −1 t = . 2 π x = + k2π t = sin x1 2 −5π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ ( −1 x = + k2π k ∈ Z). t = sin x = 6 2 −π x = + k2π 6
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC99 4 Ta có:
¯ sin2 x − 3 cos x + 3 = 0 ⇔ cos2 x − 3 cos x + 2 = 0.
Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: "t = 2 t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1.
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = 1 ⇔ x = k2π(k ∈ Z). 5 Ta có:
−2 sin2 x − 3 cos x + 3 = 0 ⇔ 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0.
Đặt t = cos x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 1 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔ 1 t = . 2 x = k2π t = cos x = 1 π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ x = + k2 π ( 1 3 k ∈ Z). t = cos x = 2 −π x = + k2π 3 6 Ta có:
2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0 ⇔ −2 sin2 2x + 5 sin 2x + 3 = 0.
Đặt t = sin 2x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 3 2t2 − 5t − 3 = 0 ⇔ −1 t = . 2 −5π −1 x = + kπ
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin 2x = ⇔ 12 (k ∈ Z). 2 −π x = + kπ 12 7 Ta có:
3 sin2 x + 2 cos4 x − 2 = 0 ⇔ 2 cos4 x − 3 cos2 x + 1 = 0.
Đặt t = cos2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 1 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔ 1 t = . 2 x = k2π t = cos2 x = 1 cos x = 1 √ − π Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ ⇔ x = + kπ ( 1 2 k ∈ Z). t = cos2 x = 4 cos x = ± 2 2 π x = + kπ 4 100
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 8 Ta có:
4 sin4 x + 12 cos2 x = 7 ⇔ 4 sin4 x − 12 sin2 x + 5 = 0.
Đặt t = sin2 x(0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1 t = 4t2 − 12t + 5 = 0 ⇔ 2 5 t = . 2 √ π x = + k 1 2 π
Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên t = sin2 x = ⇔ sin x = ± ⇔ 4 (k ∈ Z). 2 2 −π x = + kπ 4 9 Ta có:
4 cos4 x = 4 sin2 x − 1 ⇔ 4 cos4 x + 4 cos2 x − 3 = 0.
Đặt t = cos2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1 t = 4t2 + 4t − 3 = 0 ⇔ 2 −3 t = . 2 √ −3π 1 2 x = + kπ
Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên t = cos2 x = ⇔ cos x = ± ⇔ 4 (k ∈ Z). 2 2 3π x = + kπ 4 10 Ta có:
4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0 ⇔ 4 sin4 x − 5 sin2 x + 1 = 0.
Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 1 t = 4t2 − 5t + 1 = 0 ⇔ 4 t = 1. −π x = + k 1 1 2π t = sin2 x = t = sin x = 6 Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ ⇔ π ( 4 2 k ∈ Z). x = + k2π t = sin2 x = 1 t = sin x = 1 6 x = k2π
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau: −π x = + k2π
1 2 cos 2x − 8 cos x + 5 = 0. ĐS: 3 (k ∈ Z) π x = + k2π 3 x = k2π 2 1 + cos 2x = 2 cos x. ĐS: ( −π k ∈ Z) x = + kπ 2 π 3 9 sin x + cos 2x = 8. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 2
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC101 −π x = + k2π
4 2 + cos 2x + 5 sin x = 0. ĐS: 6 (k ∈ Z) −5π x = + k2π 6 x = k2π 3
5 3 sin x + 2 cos 2x = 2. ĐS: x = arcsin + k2π 4 (k ∈ Z) 3 x = − arcsin + π + k2π 4 π x = + k2π 6
6 2 cos 2x + 8 sin x − 5 = 0. ĐS: (k ∈ Z) 5π x = + k2π 6 −5π x = + kπ
7 2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0. ĐS: 12 (k ∈ Z) −π x = + kπ 12 x 8 5 cos x − 2 sin + 7 = 0.
ĐS: x = π + 4kπ (k ∈ Z) 2
9 sin2 x + cos 2x + cos x = 2.
ĐS: x = k2π (k ∈ Z) π
10 cos 2x + cos2 x − sin x + 2 = 0. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 2 Lời giải. 1 Ta có:
2 cos 2x − 8 cos x + 5 = 0 ⇔ 4 cos2 x − 8 cos x + 3 = 0.
Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 3 t = 4t2 − 8t + 3 = 0 ⇔ 2 1 t = . 2 −π 1 x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = ⇔ 3 (k ∈ Z). 2 π x = + k2π 3 2 Ta có:
1 + cos 2x = 2 cos x ⇔ 2 cos2 x − 2 cos x = 0.
Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: "t = 0 2t2 − 2t = 0 ⇔ t = 1. "t = cos x = 0 x = k2π Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ ( − k ∈ Z). t = cos x = 1 π x = + kπ 2 102
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 Ta có:
9 sin x + cos 2x = 8 ⇔ −2 sin2 x + 9 sin x − 7 = 0.
Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 1 2t2 − 9t + 7 = 0 ⇔ 7 t = . 2 π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ x =
+ k2π (k ∈ Z). 2 4 Ta có:
2 + cos 2x + 5 sin x = 0 ⇔ −2 sin2 x + 5 sin x + 3 = 0.
Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 3 2t2 − 5t − 3 = 0 ⇔ −1 t = . 2 −π − + 1 x = k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔ 6 (k ∈ Z). 2 −5π x = + k2π 6 5 Ta có:
3 sin x + 2 cos 2x = 2 ⇔ −4 sin2 x + 3 sin x = 0.
Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 0 −4t2 + 3t = 0 ⇔ 3 t = . 4 x = k2π t = sin x = 0 3 Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ x = arcsin + k2π ( 3 4 k ∈ Z). t = sin x = 4 3 x = − arcsin + π + k2π 4 6 Ta có:
2 cos 2x + 8 sin x − 5 = 0 ⇔ −4 sin2 x + 8 sin x − 3 = 0.
Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: 3 t = 4t2 − 8t + 3 = 0 ⇔ 2 1 t = . 2 π x = + k2 1 π 6
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = ⇔ (k ∈ Z). 2 5π x = + k2π 6
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC103 7 Ta có:
2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0 ⇔ −2 sin2 2x + 5 sin 2x + 3 = 0.
Đặt t = sin 2x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 3 2t2 − 5t − 3 = 0 ⇔ −1 t = . 2 −5π −1 x = + kπ
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin 2x = ⇔ 12 (k ∈ Z). 2 −π x = + kπ 12 x 8 Đặt y =
. Khi đó, phương trình trở thành: 2
5 cos 2y − 2 sin y + 7 = 0 ⇔ −10 sin2 y − 2 sin y + 12 = 0.
Đặt t = sin y (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: t = 1 10t2 + 2t − 12 = 0 ⇔ −6 t = . 5 x x Vì −1 ≤ t ≤ 1, y = nên t = sin
= 1 ⇔ x = π + 4kπ (k ∈ Z). 2 2 9 Ta có:
sin2 x + cos 2x + cos x = 2 ⇔ 1 − cos2 x + 2 cos2 x − 1 + cos x − 2 = 0 ⇔ cos2 x + cos x − 2 = 0.
Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: "t = −2 t2 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1.
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z). 10 Ta có:
cos 2x + cos2 x − sin x + 2 = 0 ⇔ 1 − 2 sin2 x + 1 − sin2 x − sin x + 2 = 0
⇔ 3 sin2 x + sin x − 4 = 0.
Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành: −4 t = 3t2 + t − 4 = 0 ⇔ 3 t = 1. π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ x =
+ k2π (k ∈ Z). 2 104
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau: π
1 3 cos2 x − 2 cos 2x = 3 sin x − 1. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 2
2 cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0.
ĐS: x = kπ (k ∈ Z) x = kπ −2π
3 cos 4x − 2 cos2 x + 1 = 0. ĐS: x = + kπ 3 (k ∈ Z) −4π x = + kπ 3
4 16 sin2 x − cos 2x = 15.
ĐS: x = π + 2kπ (k ∈ Z) 2
−5π + k2π
5 cos 2x + 2 cos x = 2 sin2 x . ĐS: 3 (k ∈ Z) 2 −π x = + k2π 3 −4π x x = + k2π
6 cos 2x − 3 cos x = 4 cos2 . ĐS: 3 (k ∈ Z) 2 −2π x = + k2π 3 π x = + kπ 2 −π
7 1 + cos 4x − 2 sin2 x = 0. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 6 π x = + kπ 6 » √ x = ±2 arctan 2 3 − 3 + k2π
8 8 cos2 x − cos 4x = 1. ĐS: … √ (k ∈ Z) 1 x = ±2 arctan (3 + 2 3) + k2π 3 −7π kπ x = +
9 6 sin2 3x − cos 12x = 4. ĐS: 12 12 −π kπ x = + 12 12 −2π x = + k2π
10 5(1 + cos x) = 2 + sin4 x − cos4 x. ĐS: 3 (k ∈ Z) 2π x = + k2π 3 −π x = + kπ 2 −
11 cos4 x − sin4 x + cos 4x = 0. ĐS: π x = + kπ (k ∈ Z) 6 π x = + kπ 6 −π
12 4(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x = 0. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 4
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC105
BÀI 5. Giải các phương trình lượng giác sau: 2 π π −5π 1 cos 2x + + 3 cos x + + 1 = 0. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 3 3 6 π π π 2 cos2 + x + 4 cos − x = 4. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 3 6 6 π 1 kπ x = + +
3 4 cos2(6x − 2) + 16 cos2(1 − 3x) = 13. ĐS: 18 3 3 (k ∈ Z) −π 1 kπ x = + + 18 3 3 π 5π π 4 5 cos 2x + = 4 sin − x − 9. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 3 6 3 x = kπ 5 π π 7π 5 sin 2x + − 3 cos x − = 1 + 2 sin x. ĐS: x = + k2 π (k ∈ Z) 2 2 6 5π x = + k2π 6 √ √ π 6 cos 2x − 3 sin 2x − 3 sin x + 4 = cos x. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 3 −5π x = + kπ √ √ 6 7 3 sin 2x +
3 sin x + cos 2x − cos x = 2.
ĐS: x = π + k2π (k ∈ Z) π x = + k2π 3 x = kπ 4 2 −2π 8 2 cos2 x + + 9 − cos x = 1. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) cos2 x cos x 3 2π x = + kπ 3 −π + 1 1 x = k2π 9 4 sin2 x + + 4 sin x + = 7. ĐS: 6 (k ∈ Z) sin2 x sin x 7π x = + k2π 6 1 1 10 cos2 x + + 2 = 2 cos x + .
ĐS: x = k2π (k ∈ Z) cos2 x cos x
BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau: 3 1 = 3 + 2 tan2 x.
ĐS: x = kπ (k ∈ Z) cos2 x −3π x = + kπ 4 −π x = + k 1 π 2 + 3 cot2 x = 5. ĐS: 4 (k ∈ Z) cos2 x −2π x = + kπ 3 −4π x = + kπ 3 106
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ −π + 3 √ x = kπ 3 = 3 cot x + 3. ĐS: 2 (k ∈ Z) sin2 x −5π x = + kπ 6 4 4 9 − 13 cos x + = 0.
ĐS: x = k2π (k ∈ Z) 1 + tan2 x 3 5 2 tan2 x + 3 = .
ĐS: x = k2π (k ∈ Z) cos x −π 1 2 5 x = + k2π 6 − tan2 x + − = 0. ĐS: 3 (k ∈ Z) 2 cos x 2 π x = + k2π 3 √ x = k 1 π 7 3 sin x + cos x = . ĐS: ( −2 k ∈ Z) cos x π x = + kπ 3 −3π x = + kπ
8 2 sin2 x + tan2 x = 2. ĐS: 4 (k ∈ Z) −π x = + kπ 4
BÀI 7. Giải các phương trình lượng giác sau: −π
1 8 sin x cos x − cos 4x + 3 = 0. ĐS: x = + kπ (k ∈ Z) 4 π kπ
2 2 sin2 8x + 6 sin 4x cos 4x = 5. ĐS: x = + (k ∈ Z) 16 4 cos x x = k2π 3 = 1 − sin x. ĐS: ( k ∈ Z) 1 + sin x π x = + k2π 2 √ −π + 1 − cos x(2 cos x + 1) − 2 sin x x = k2π 4 = 1. ĐS: 4 (k ∈ Z) 1 − cos x −3π x = + k2π 4 x = k2π 3 sin 2x − 2 sin x − π 5 = 2. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) sin 2x cos x 3 π x = + k2π 3 √
2 sin2 x + 3 2 sin x − sin 2x + 1 −3π 6 = −1. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) (sin x + cos x)2 4 x = k2π 1 − π
7 2 cos 2x − 8 cos x + 7 = . ĐS: x = + k2π cos x 3 π x = + k2π 3 √ −π + 3 4 + 2 sin 2x √ x = kπ 8 + − 2 3 = 2(cot x + 1). ĐS: 3 (k ∈ Z) cos2 x sin 2x −5π x = + kπ 6
4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC107 x = kπ π
9 3 cos 4x + 2 cos2 x + 3 = 8 cos6 x. ĐS: x = + k π (k ∈ Z) 4 −π x = + kπ 4 −π x = + k2π 3 π x = + k2
10 3 cos x − 2 = −3(1 − cos x) cot2 x. ĐS: π 3 (k ∈ Z) √ x = −2 arctan 5 + k2π √ x = 2 arctan 5 + k2π x = kπ π
11 sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sin x cos 2x. ĐS: x = + k2 π (k ∈ Z) 6 5π x = + k2π 6 π x = + k2π 2 −5π
12 2 cos 5x cos 3x + sin x = cos 8x. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 6 −π x = + k2π 6
13 4(sin6 x + cos6 x) = 4 sin 2x. ĐS: 3 1 √ » √ x = −2 arctan + 15 ± 2(4 + 15) + k2π 2 2 √ (k ∈ Z) … ! 3 15 1 √ x = −2 arctan − ± (4 − 15) + k2π 2 2 2 x = k2π π
14 sin 4x + 2 = cos 3x + 4 sin x + cos x. ĐS: x = + k2 π (k ∈ Z) 6 5π x = + k2π 6
BÀI 8. Giải các phương trình lượng giác sau: 2π x = + k2π 3 cos2 x + cos3 x − 1 1 cos 2x − tan2 x = . ĐS: −2 π (k ∈ Z) cos2 x x = + k2 π 3 x = k2π 3 2 tan x − 2 −π kπ 2 3 tan 2x − − + 4 cos2 x = 2. ĐS: x = + (k ∈ Z) cos 2x 1 + tan x 12 3 x = π + k2π − π
3 (2 tan2 x − 1) cos x = 2 − cos 2x. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 3 π x = + k2π 3 108
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC −π x = + kπ 2 −2π
4 2 cos2 x + 3 cos x − 2 cos 3x = 4 sin x sin 2x. ĐS: x = + k2π (k ∈ Z) 3 2π x = + k2π 3 −5π x = + k2π
5 4 sin x + 3 = 2(1 − sin x) tan2 x. ĐS: 6 (k ∈ Z) −π x = + k2π 6 −2π x = + k2π
6 2 sin3 x − 3 = (3 sin2 x + 2 sin x − 3) tan x. ĐS: 3 (k ∈ Z) 2π x = + k2π 3 −π x = + k2π π 7 5 sin
− x − 3(1 − cos x) cot2 x = 2. ĐS: 3 (k ∈ Z) 2 π x = + k2π 3 −2π 3 sin2 x + 2 sin x − 3 x = + k2π 8 + 3 = 2 sin3 x. ĐS: 3 (k ∈ Z) cot x 2π x = + k2π 3 3 cos 3x + sin 3x x = − arcsin + π + k2π 9 5 sin x + = 3 + cos x. ĐS: 4 (k ∈ Z) 1 + 2 sin 2x 3 x = arcsin + k2π 4 √ −2π 3 √ x = + kπ x 10
− tan x − 2 3 = sin x 1 + tan x tan . ĐS: 3 (k ∈ Z) cos2 x 2 −π x = + kπ 6 BÀI 5.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Dạng tổng quát: a sin x + b cos x = c, (a, b ∈ R \ {0}). (1) Phương pháp giải:
a2 + b2 < c2, phương trình vô nghiệm.
a2 + b2 ≥ c2, ta làm như sau: √ a b c Chia hai vế của (1) cho a2 + b2, (1) ⇔ √ sin x + √ cos x = √ . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 (2) a b Đặt cos α = √ , sin α = √
, α ∈ [0; 2π]. Ta có a2 + b2 a2 + b2 c c
(2) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = √ ⇔ sin(x + α) = √ , đây là phương a2 + b2 a2 + b2 trình ở dạng cơ bản.
5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS 109
Lưu ý: Hai công thức hay sử dụng là
sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b);
cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b).
Các dạng có cách giải tương tự a sin mx + b cos mx = c;
a sin mx + b cos mx = c sin nx + d cos nx, a2 + b2 = c2 + d2. B VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP 1 VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Giải phương trình √ √ 5π 1 sin x − 3 cos x = − 3;
ĐS: x = k2π, x = + k2π, k ∈ Z 3 √ √ π 5π 2 3 cos x − sin x = 2. ĐS: x = + k2π, x = − + k2π, k ∈ Z 12 12 L Lời giải 1 2 √ √ √ √ sin x − 3 cos x = − 3 √ √ 3 cos x − sin x = 2 √ √ 1 3 3 3 1 2 ⇔ sin x − cos x = − ⇔ cos x − sin x = 2 2 2 √ 2 2 2 √ 3 2 ⇔ π π π π cos sin x − sin cos x = − ⇔ sin cos x − cos sin x = 3 3 2 3 3 2 ⇔ π π sin x − π = sin − π ⇔ sin − x = sin 3 3 3 4 π π
x − π = − π + k2π − x = + k2π ⇔ 3 3 3 4 ⇔ π π x − π = π + + k2π
− x = π − π + k2π 3 3 3 4 x = k2 π π x = + k2π ⇔ 12 5π , k ∈ Z. ⇔ , k ∈ Z. x = + k2π 5π 3 x = − + k2π 12 110
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
VÍ DỤ 2. Giải phương trình √ π 2π k2π 1 cos 2x − 3 sin 2x = 2 cos − x ; ĐS: x = +
, x = k2π, k ∈ Z 3 9 3 √ √ π π π 2 3 sin + x + sin − x = 2. ĐS: x =
+ k2π, x = − π + k2π, k ∈ Z 4 4 3 6 L Lời giải 1 2 √ √ √ π π π cos 2x − 3 sin 2x = 2 cos − x 3 sin + x + sin − x = 2 3 √ 4 4 √ √ 1 3 3 π 1 h π π i 2 ⇔ π cos 2x − sin 2x = cos − x ⇔ sin + x + cos − − x = 2 2 3 2 4 2 2 4 2 √ ⇔ π π π cos cos 2x − sin sin 2x = cos − x π π π π 2 3 3 3 ⇔ sin sin + x + cos cos + x = 3 4 3 4 2 ⇔ π cos 2x − π = cos − x π π 3 3 ⇔ cos x + − π = cos 4 3 4 π 2x − π = − x + k2 π ⇔ π cos x − π = cos ⇔ 3 3 12 4
2x − π = −π + x + k2 π π 3 3 x − π = + k2π 12 4 2 ⇔ π k2π x = + = − π + ⇔ x − π k2π 9 3 , k ∈ Z. 12 4 x = k2π π x = + k2π ⇔ 3 , k ∈ Z.
x = −π + k2π 6
VÍ DỤ 3. Giải phương trình √ π k2π π k2π 1 cos 4x − sin x = 3 (cos x − sin 4x); ĐS: x = + , x = + , k ∈ Z 18 3 10 5 √ k2π 2
3 (cos 2x + sin 3x) = sin 2x + cos 3x.
ĐS: x = − π + k2π, x = − π + , k ∈ Z 6 10 5 L Lời giải 1 √ √ √ cos 4x − sin x =
3 (cos x − sin 4x) ⇔ cos 4x + 3 sin 4x = 3 cos x + sin x √ √ 1 3 3 1 ⇔ π π π π cos 4x + sin 4x = cos x + sin x ⇔ cos cos 4x + sin sin 4x = cos cos x + sin sin x 2 2 2 2 3 3 6 6 π k2π
4x − π = x − π + k2π x = +
⇔ cos 4x − π = cos x − π ⇔ 3 6 18 3 ⇔ , k ∈ Z. 3 6 π 4x − π = −x + + k2 π k2π π 3 6 x = + 10 5
5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS 111 2 √ √ √
3 (cos 2x + sin 3x) = sin 2x + cos 3x ⇔
3 cos 2x − sin 2x = cos 3x − 3 sin 3x √ √ 3 1 1 3 ⇔ π π π π cos 2x − sin 2x = cos 3x − sin 3x ⇔ cos cos 2x − sin sin 2x = cos cos 3x − sin sin 3x 2 2 2 2 6 6 3 3 π π 2x + = 3x + + k2π
x = − π + k2π ⇔ π π 6 cos 2x + = cos 3x + ⇔ 6 3 ⇔ , k ∈ Z. 6 3 π k2 2x + = −3x − π + k2 π π x = − π + 6 3 10 5
VÍ DỤ 4. Giải phương trình √ 1 √ π π 1 3 sin2 x + sin 2x = 3; ĐS: x = + kπ, x = + kπ, k ∈ Z 2 3 2 √ π 2 sin x
3 − sin x = cos x (1 + cos x). ĐS: x =
+ k2π, x = π + k2π, k ∈ Z. 3 L Lời giải 1 2 √ √ 1 √ 3 sin2 x + sin 2x = 3 sin x
3 − sin x = cos x (1 + cos x) 2 √ √ 1 − cos 2x 1 √ ⇔
3 sin x − cos x = sin2 x + cos2 x ⇔ 3 · + sin 2x = 3 √ 2 2 √ √ 3 1 1 ⇔ sin x − cos x = 1 3 3 2 2 2 ⇔ sin 2x − cos 2x = 2 2 2 1 √ ⇔ π π sin x cos − cos x sin = 3 6 6 2 ⇔ π π sin 2x cos − cos 2x sin = π 3 3 2 ⇔ sin x − π = sin 6 6 ⇔ π sin 2x − π = sin 3 3 π x − π = + k2π π 6 6 2x − π = + k2 ⇔ π ⇔ 3 3 x − π = + k2 π − π π 6 6
2x − π = π − π + k2π 3 3 π x = + k2π π ⇔ 3 , k ∈ Z. x = + k π x = π + k2π ⇔ 3 , k ∈ Z. π x = + kπ 2
VÍ DỤ 5. Giải phương trình sin x − sin 2x √ k2π 1 = 3;
ĐS: x = − π + , k ∈ Z cos x − cos 2x 9 3 cos x − sin 2x √ 2 = 3.
ĐS: x = − π + k2π, k ∈ Z 2 cos2 x − sin x − 1 6 112
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC L Lời giải ®x 6= x 6= k 2x + k2 2π π k2π
1 Điều kiện xác định: cos x − cos 2x 6= 0 ⇔ ⇔ k2 ⇔ x 6= , k ∈ x 6= −2x + k2 π π 3 x 6= 3 Z. (1) sin x − sin 2x √ √ √ = 3 ⇔ sin x − 3 cos x = sin 2x − 3 cos 2x cos x − cos 2x √ √ 1 3 1 3 ⇔ sin x − cos x = sin 2x − cos 2x 2 2 2 2 ⇔ π π π π cos cos x − sin sin x = cos cos 2x − sin sin 2x 6 6 6 6 ⇔ π π cos x + = cos 2x + 6 6 π π x + = 2x + + k2π ⇔ 6 6 π x +
= −2x − π + k2π 6 6 x = k2π ⇔ k2π , k ∈ Z. x = − π + 9 3 k2π
Kết hợp với điều kiện (1) ta có nghiệm của phương trình là x = − π + , k ∈ Z . 9 3 π
2 Điều kiện xác định: 2 cos2 x − sin x − 1 6= 0 ⇔ cos 2x − sin x 6= 0 ⇔ cos 2x 6= cos − x 2 π π k2π 2x 6= − x + k2π x 6= + k2 ⇔ 2 ⇔ 6 3 ⇔ π π x 6= + , k ∈ Z. (2) 6 3
2x 6= − π + x + k2 π x 6= − π + k2 2 π 2 cos x − sin 2x √ cos x − sin 2x √ = 3 ⇔ = 3 2 cos2 x − sin x − 1 cos 2x − sin x √ √ ⇔ cos x + 3 sin x = sin 2x + 3 cos 2x √ √ 1 3 1 3 ⇔ cos x + sin x = sin 2x + cos 2x 2 2 2 2 ⇔ π π π π cos cos x + sin sin x = cos cos 2x + sin sin 2x 3 3 6 6
⇔ cos x − π = cos 2x − π 3 6
x − π = 2x − π + k2π ⇔ 3 6 π x − π = −2x + + k2π 3 6
x = −π + k2π ⇔ 6 , k ∈ Z. π k2π x = + 6 3
Kết hợp với điều kiện (2) ta có nghiệm của phương trình là x = − π + k2π, k ∈ Z . 6
5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS 113
VÍ DỤ 6. Giải phương trình x 1 cos 2x 1 + tan x tan + tan x = 2 sin x + 1; ĐS: 2 7π 11π x = k2π, x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 6 6 √ 2 4 sin2 x + tan x + 2 (1 + tan x) sin 3x = 1. ĐS: π k2π 3π
x = − π + kπ, x = + , x = + k2π, k ∈ Z 4 20 5 4 L Lời giải π cos x 6= 0 π x 6= + kπ 2 x 6= + kπ
1 Điều kiện xác định: x ⇔ ⇔ 2 , k ∈ Z. (1) cos 6= 0 x π 2 6= + k x 6= π π + k2π 2 2
Phương trình đã cho tương đương với x
cos 2x − 1 − 2 sin x + cos 2x tan x tan + tan x = 0 2 sin x x sin x ⇔ cos 2x · · tan + − 2 sin2 x − 2 sin x = 0 cos x 2 cos x cos 2x x 1 ⇔ sin x · tan + − 2 sin x − 2 = 0 cos x 2 cos x sin x = 0 (2) ⇔ cos 2x x 1 · tan + − 2 sin x − 2 = 0. (3) cos x 2 cos x
(2) ⇔ x = kπ, k ∈ Z. (4) x x x x (3) ⇔ cos 2x sin − 2 sin x cos x cos + cos − 2 cos x cos = 0 2 2 2 2 x x x 3x x ⇔ sin cos 2x − cos sin 2x + cos − cos + cos = 0 2 2 2 2 2 3x 3x 3x ⇔ sin + cos = 0 ⇔ cos − π = 0 2 2 2 4 3x k2 ⇔ − π π π π = + kπ ⇔ x = + , k ∈ Z. (5) 2 4 2 2 3 7π 11π
Từ (1), (4), (5) ta có nghiệm của phương trình là x = k2π, x = + k2π, x = + 6 6 k2π, k ∈ Z. π
2 Điều kiện xác định: cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ, k ∈ Z. (1) 2
Phương trình đã cho tương đương với √ 4 sin2 x − 2 + (tan x + 1) + 2 (1 + tan x) sin 3x = 0 √
⇔ 2 sin2 − cos2 x + (tan x + 1) + 2 (1 + tan x) sin 3x = 0 sin x + cos x √ sin x + cos x
⇔ 2 (sin x + cos x) (sin x − cos x) + + 2 · sin 3x = 0 cos x cos x 1 √ sin 3x
⇔ (sin x + cos x) 2 sin x − 2 cos x + + 2 · = 0 cos x cos x sin x + cos x = 0 (2) ⇔ √ 1 sin 3x 2 sin x − 2 cos x + + 2 · = 0. (3) cos x cos x 114
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π (2) ⇔ sin x + = 0 ⇔ x +
= kπ ⇔ x = − π + kπ, k ∈ Z. (4) 4 4 4 1 √ sin 3x √ (3) ⇔ 2 sin x − 2 cos x + + 2 ·
= 0 ⇔ sin 2x − 2 cos2 x + 1 + 2 sin 3x = 0 cos x cos x π √ − 2x = 3x + k2π ⇔ π cos 2x − sin 2x = 2 sin 3x ⇔ sin − 2x = sin 3x ⇔ 4 ⇔ 4
π − 2x = π − 3x + k2π 4 π k2π x = + 20 5 , k ∈ Z. (5) 3π x = + k2π 4 π k2π 3π
Từ (1), (4), (5) ta có nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = + , x = + 4 20 5 4 k2π, k ∈ Z. 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 1. Giải phương trình √ π 1 sin x + 3 cos x = 1
ĐS: x = − π + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 6 2 √ √ 5π k2π 11π k2π 2 3 sin 3x − cos 3x = 2 ĐS: x = + , x = + , k ∈ Z 36 3 36 3 √ π 3 3 sin − x − sin x = 2
ĐS: x = − π + k2π, k ∈ Z 2 6 x x 2 √ π 4 sin + cos + 3 cos x = 2
ĐS: x = − π + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 2 2 6 2 Lời giải. 1 2 √ √ √ sin x + 3 cos x = 1 √ 3 sin 3x − cos 3x = 2 √ √ 1 3 1 3 1 2 ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin 3x − cos 3x = 2 2 2 2 2 2 √ 1 ⇔ π π sin x cos + cos x sin = 2 ⇔ π − π 3 3 2 sin 3x cos cos 3x sin = 6 6 2 ⇔ π π sin x + = sin ⇔ π 3 6 sin 3x − π = sin 6 4 π π x + = + k2 π π 3x − π = + k2π ⇔ 3 6 ⇔ 6 4 π x + =
π − π + k2π 3 6
3x − π = π − π + k2π 6 4 x = − π + k2 π 5π k2π x = + ⇔ 6 , k ∈ Z. 36 3 π ⇔ , k ∈ Z. x = + k2π 11π k2π 2 x = + 36 3
5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS 115 3 4 √ π √ 2 3 sin − x − sin x = 2 x x + + 2 sin cos 3 cos x = 2 √ 2 2 √ ⇔ 3 cos x − sin x = 2 x x √ ⇔ sin2 x + cos2 x + 2 sin cos + 3 cos x = 2 3 1 2 2 2 2 √ ⇔ cos x − sin x = 1 2 2 ⇔ sin x + 3 cos x = 1 π π 1 ⇔ π π sin cos x − cos sin x = 1 ⇔ sin x cos + cos x sin = 3 3 3 3 2 π π ⇔ π π sin − x = sin ⇔ sin x + = sin 3 2 3 6 ⇔ π − π π π x = + k2π x + = + k2π 3 2 ⇔ 3 6 ⇔ π
x = − π + k2π, k ∈ Z. x +
= π − π + k2π 6 3 6
x = − π + k2π ⇔ 6 , k ∈ Z. π x = + k2π 2 BÀI 2. Giải phương trình √ π 3π 1 3 sin x + cos x = 2 sin
ĐS: x = − π + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 12 12 4 √ π 4π k2π 2 sin 3x − 3 cos 3x = 2 sin 2x ĐS: x = + k2π, x = + , k ∈ Z 3 15 5 √ π kπ 3 2 cos 3x + 3 sin x + cos x = 0 ĐS: x = + , k ∈ Z 3 2 √ π π k2π 4 2 cos 2x + sin x − cos x = 0 ĐS: x = + k2π, x = + , k ∈ Z 4 12 3 √ π π 5 cos x − 3 sin x = 2 cos − x ĐS: x = + kπ, k ∈ Z 3 3 √ 2π k2π 4π 6 sin x − 3 cos x + 2 = 4 cos2 x ĐS: x = + , x = + k2π, k ∈ Z 9 3 3 √ π 7 2 cos x 3 sin x + cos x − 1 = 1 ĐS: x = + kπ, k ∈ Z 6 √ π kπ π kπ 8
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x = sin x ĐS: x = + , x = + , k ∈ Z 18 3 6 2 Lời giải. 116
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 2 √ √ 3 1 π 1 3 sin x + cos x = sin sin 3x − cos 3x = sin 2x 2 2 12 2 2 ⇔ π π π π π sin x cos + cos x sin = sin ⇔ sin 3x cos − cos 3x sin = sin 2x 6 6 12 3 3 ⇔ π π sin x + = sin
⇔ sin 3x − π = sin 2x 6 12 3 π π x + = + k2π
3x − π = 2x + k2π ⇔ 6 12 3 ⇔ π x +
= π − π + k2π
3x − π = π − 2x + k2π 6 12 3 π
x = − π + k2π x = + k2π ⇔ 12 3 , k ∈ Z. ⇔ , k ∈ Z. 3π 4π k2π x = + k2π x = + 4 15 5 3 4 √ √ √ 3 1 2 2 sin x + cos x = cos(π − 3x) cos x − sin x = cos 2x 2 2 2 2 ⇔ π π π π cos x cos + sin x sin = cos(π − 3x) ⇔ cos x cos − sin x sin = cos 2x 3 3 4 4 π
⇔ cos x − π = cos(π − 3x) ⇔ cos x + = cos 2x 3 4 π
x − π = π − 3x + k2π x + = 2x + k2π ⇔ 3 4 ⇔ π
x − π = −π + 3x + k2π x + = −2x + k2π 3 4 π kπ π x = + x = + k2π ⇔ 4 3 2 ⇔ , k ∈ Z. π π k2π x = + kπ x = + 3 12 3 k ⇔ π π x = + , k ∈ Z. 3 2
5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS 117 5 6 √ √ 1 3 π sin x − 3 cos x = 2 cos 2x cos x − sin x = cos − x √ 2 2 3 1 3 ⇔ sin x − cos x = cos 2x ⇔ π π π cos x cos − sin x sin = cos − x 2 2 3 3 3 π π ⇔ cos x cos − sin x sin = cos (π − 2x) ⇔ π π cos x + = cos − x 6 6 3 3 π π π ⇔ cos x + = cos (π − 2x) x + = − x + k2π 3 ⇔ 3 3 π = π x + π − 2x + k2π x +
= − π + x + k2π 3 3 3 ⇔ π x +
= −π + 2x + k2π ⇔ π x = + kπ, k ∈ Z. 3 3 2π k2π x = + ⇔ 9 3 , k ∈ Z. 4π x = + k2π 3 7 8 √ √
2 3 sin x cos x + 2 cos2 x − 2 = 1 √
3 cos 5x − (sin 5x + sin x) = sin x √ ⇔ 3 sin 2x + cos 2x = 2 √ ⇔ 3 cos 5x − sin 5x = 2 sin x √ 3 1 ⇔ 3 1 sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ cos 5x − sin 5x = sin x 2 2 2 2 ⇔ π π cos 2x cos + sin 2x sin = cos 0 ⇔ π π sin cos 5x − cos sin 5x = sin x 3 3 3 3
⇔ cos 2x − π = cos 0 ⇔ π sin − 5x = sin x 3 3 ⇔ 2x − π = k2 π π − 3 5x = x + k2π ⇔ 3 ⇔ π x = + k π π, k ∈ Z. − 6
5x = π − x + k2π 3 π kπ x = + ⇔ 18 3 , k ∈ Z. π kπ x = + 6 2 BÀI 3. Giải phương trình k2π
1 sin 2x + cos x = cos 2x − sin x
ĐS: x = − π + k2π, x = , k ∈ Z 2 3 π k2π
2 sin 2x + 2 cos2 x + sin x − cos x = 1 ĐS: x = + k2π, x = , k ∈ Z 2 3 (1 − 2 sin x) cos x √ k2π 3 = 3
ĐS: x = − π + , k ∈ Z (1 + 2 sin x)(1 − sin x) 18 3 √3 1 π kπ 4 8 sin x = + ĐS: x =
+ kπ, x = − π + , k ∈ Z cos x sin x 6 12 2 118
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ √ π 5 3 cos2 x + 2 sin x cos x − 3 sin2 x = 1 ĐS: x =
+ kπ, x = − π + kπ, k ∈ Z 4 12 √ 5π k2π 6
3(cos 2x − sin x) + cos x(2 sin x + 1) = 0
ĐS: x = − π + k2π, x = + , k ∈ Z 2 18 3 Lời giải. 1 2
cos 2x − sin 2x = cos x + sin x √ √ √ √
sin 2x + 2 cos2 x − 1 = cos x − sin x 2 2 2 2 ⇔ cos 2x − sin 2x = cos x + sin x
⇔ cos 2x + sin 2x = cos x − sin x √ √ √ √ 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ cos 2x + sin 2x = cos x − sin x ⇔ π π π π cos cos 2x − sin sin x = cos cos x + sin sin 2 x 2 2 2 4 4 4 4 π
⇔ cos 2x − π = cos x + ⇔ π cos 2x + = cos x − π 4 4 4 4 π π 2x − π = x + + k2 2x + = x − π + k2 π π ⇔ 4 4 ⇔ 4 4 π π
2x − π = −x − π + k2 2x + = −x + + k2 π π 4 4 4 4 π x = + k2 x = − π + k2 π π ⇔ 2 , k ∈ Z. ⇔ 2 , k ∈ Z. k2π k2π x = x = 3 3 ®1 + 2 sin x 6= 0 ® sin x 6= 0
3 Điều kiện xác định:
4 Điều kiện xác định: 1 − sin x 6= 0 cos x 6= 0 kπ
x 6= − π + k2π ⇔ sin 2x 6= 0 ⇔ x 6= , k ∈ Z. (2) 1 6 2 sin x 6= − 5 ⇔ 2 ⇔ π x 6= − + k2 √ π , k ∈ 6 8 sin2 x cos x = 3 sin x + cos x sin x 6= 1 √ π ⇔ x 6= + k2 cos x + 3 sin x = 4 sin x sin 2x π 2 √ Z. (1) ⇔ cos x + 3 sin x = 2 (cos x + cos 3x) √ √ ⇔ cos x − 3 sin x = 2 cos 3x cos x − sin 2x =
3 1 − sin x + 2 sin x − 2 sin2 x ⇔ π cos x + = cos 3x √ 3 ⇔ cos x − sin 2x = 3 (cos 2x + sin x) √ √ π x + = 3x + k2π ⇔ 3 cos 2x + sin 2x = cos x − 3 sin x ⇔ 3 π ⇔ π cos 2x − π = cos x + x + = −3x + k2π 6 3 3 π π 2x − π = x + + k2 x = + k π π 6 ⇔ 6 3 ⇔ , k ∈ Z. kπ
2x − π = −x − π + k2π x = − π + 6 3 12 2 π x = + k2π
Kết hợp với điều kiện (2) ta có nghiệm của ⇔ 2 , k ∈ Z. π k2π phương trình là x = + k + x = − π + π, x = − π 6 12 18 3 kπ , k ∈ Z .
Kết hợp với điều kiện (1) ta có nghiệm của 2 k2π
phương trình là x = − π + , k ∈ Z . 18 3
5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS 119 5 6 √ √ √ 3 cos 2x + sin 2x = 1 √ 3 cos 2x + sin 2x = 3 sin x − cos x √ √ 3 1 1 1 3 3 1 ⇔ cos 2x + sin 2x = ⇔ sin 2x + cos 2x = sin x − cos x 2 2 2 2 2 2 2 1 π ⇔ π π cos 2x cos + sin 2x sin = ⇔ sin 2x + = sin x − π 6 6 2 3 6 1 π ⇔ cos 2x − π = 2x +
= x − π + k2π 6 2 ⇔ 3 6 π π π 2x − π = + k2 2x + = π − x + + k2π π 3 6 ⇔ 6 3
2x − π = −π + k2 x = − π + k2 π π 6 3 ⇔ 2 , k ∈ Z. k π 5π 2π x = + k x = + π 18 3 ⇔ 4 , k ∈ Z.
x = − π + kπ 12 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI 4. Giải phương trình √ 1 3 sin x + cos x = −1
ĐS: x = π + k2π, x = − π + k2π, k ∈ Z 3 √ π 2 sin x + 3 cos x = 2 ĐS: x = + k2π, k ∈ Z 6 √ √ 5π k2π 13π k2π 3 cos 7x − 3 sin 7x = − 2 ĐS: x = + , x = − + , k ∈ Z 84 7 84 7 π √ π 4 sin + 2x + 3 sin(π − 2x) = 1
ĐS: x = kπ, x = + kπ, k ∈ Z 2 3 π
5 sin x(sin x − 1) = cos x(1 − cos x)
ĐS: x = k2π, x = + k2π, k ∈ Z 2 √ π π 6 4 sin x + + 2 cos x − π = 3 2
ĐS: x = k2π, x = + k2π, k ∈ Z 4 4 2 √ π π 7 2 sin2 x + 3 sin 2x − 2 = 0 ĐS: x = + kπ, x = + kπ, k ∈ Z 2 6 √ √ π π 8 cos x sin 3x − 3 cos 2x = 3 + cos 3x sin x ĐS: x = + kπ, x = + kπ, k ∈ Z 2 3 √ π 2π 9
3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1
ĐS: x = k2π, x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 2 3 π 5π 10 2 sin 2x + + 4 sin x = 1
ĐS: x = kπ, x = + k2π, k ∈ Z 6 6 √ 11 cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x
ĐS: x = kπ, x = − π + kπ, k ∈ Z 3 √
12 2 cos4 x − sin4 x + 1 = 3 cos x + sin x ĐS: π
x = − π + k2π, x =
+ k2π, x = − π + kπ, k ∈ Z 2 6 3 120
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 7π
13 2 sin2 x + sin 2x − 3 sin x + cos x = 2
ĐS: x = − π + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 6 6 5 π π π kπ
14 cos x − 2 cos 2x = 2 sin x cos 2x − ĐS: x = + k2π, x = + , k ∈ Z 6 3 4 2 BÀI 5. Giải phương trình √ π k2π 1 cos x = 2 sin 2x − sin x ĐS: x = + , k ∈ Z 4 3 √ π k2π
2 sin x + cos x = 2 2 sin x cos x ĐS: x = + , k ∈ Z 4 3 √ 5π k2π 7π 3 (sin x + cos x)2 − 3 cos 2x = 1 + 2 cos x ĐS: x = + , x = − + k2π, k ∈ Z 18 3 6 √ π kπ 4 sin 3x + 3 cos 3x − 2 sin x = 0
ĐS: x = − π + kπ, x = + , k ∈ Z 6 6 2 x √ π 5π kπ 5 2 cos2 + 3 sin x = 1 + 2 sin 3x ĐS: x = + kπ, x = + , k ∈ Z 2 12 24 2 √ π k2π
6 4 sin2 x + sin x = 2 − 3 cos x
ĐS: x = − π + k2π, x = + , k ∈ Z 6 18 3 √ 7π kπ 7
3 sin 2x + 2 sin2 x = 4 sin 3x cos x + 2
ĐS: x = − π + kπ, x = + , k ∈ Z 12 24 2 √
8 2 (cos 6x + cos 4x) − 3 (1 + cos 2x) = sin 2x ĐS: π kπ π kπ x =
+ kπ, x = − π + , x = + , k ∈ Z 2 24 2 24 3 √ π kπ
9 2 sin x cos2 x − sin2 x = sin x + 3 cos 3x ĐS: x = + , k ∈ Z 9 3 √ √ π 10
3 sin 2x − 2 cos2 x = 2 2 + 2 cos 2x ĐS: x = + kπ, k ∈ Z 2 √ π kπ π kπ 11
3 sin 7x − 2 sin 4x sin 3x = cos x ĐS: x = + , x = + , k ∈ Z 18 3 24 4 sin 2x √ π π kπ 12 sin2 x + = 2 sin x sin 3x +
ĐS: x = kπ, x = + , k ∈ Z 2 4 8 2 √ 5π kπ 5π kπ 13 2 − 3 cos 2x + sin 2x = 4 cos2 3x ĐS: x = − + , x = − + , k ∈ Z 24 2 48 4 √ √ 5π 14
3 cos 2x + sin 2x + 2 sin 2x − π = 2 2 ĐS: x = + kπ, k ∈ Z 6 24 BÀI 6. Giải phương trình √ √ k2π 1 cos 2x − 3 sin 2x = 3 sin x + cos x ĐS: x = , k ∈ Z 3 √ π π kπ 2 cos 7x − sin 5x = 3 (cos 5x − sin 7x) ĐS: x = + kπ, x = + , k ∈ Z 12 24 6 1 − 2 sin x 1 − sin x π k2π 3 = √ ĐS: x = + , k ∈ Z 1 + 2 sin x 3 cos x 18 3
6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP (BẬC 2, BẬC 3, BẬC 4) 121 sin x − sin 3x √ kπ 4 = 3
ĐS: x = − π + , k ∈ Z cos x − cos 3x 12 2 π π kπ 5π 5 4 sin2 x +
= 4 cos 2x cos 2x − π + 1 ĐS: x = + , x = + kπ, k ∈ Z 6 3 6 3 6 √ √ k2π 6 2 cos x + 3 sin x cos x = cos x − 3 sin x + 1 ĐS: x = , k ∈ Z 3 BÀI 7. Giải phương trình √ π 7π
1 sin 2x − 2 3 cos2 x = 2 cos x ĐS: x = + kπ, x = + k2π, k ∈ Z 2 6 π π
2 sin 2x − cos x + sin x = 1 ĐS: x = + kπ, x =
+ k2π, x = π + k2π, k ∈ Z 4 2 √ π 3
3 sin 2x − cos 2x = 4 sin x − 1 ĐS: x =
+ kπ, x = kπ, k ∈ Z 6 π x 4 tan sin x + 2 cos2 = 2
ĐS: x = k2π, k ∈ Z 7 2 √ π 4π 5
3 sin 2x − 1 = cos 2x − 2 cos x ĐS: x = + kπ, x =
+ k2π, x = k2π, k ∈ Z 2 3 √ π
6 cos 2x + 2 sin x = 1 + 3 sin 2x ĐS: x =
+ k2π, x = − π + k2π, x = kπ, k ∈ Z 2 6 √ √
7 2 sin 6x − 2 sin 4x + 3 cos 2x = 3 + sin 2x ĐS: kπ π kπ x = − π + , x = +
, x = kπ, k ∈ Z 12 2 18 3 √ π π 8 cos x + cos 3x = 1 + 2 sin 2x + ĐS: x =
+ kπ, x = − π + kπ, x = k2π, k ∈ Z 4 2 4 BÀI 6.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP
(BẬC 2, BẬC 3, BẬC 4) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) Dạng tổng quát a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d (a, b, c, d ∈ R). (1)
2) Dấu hiệu nhận dạng: phương trình đối với hàm sin hoặc cosin đồng bậc (hoặc lệch nhau
hai bậc). Chú ý hàm tan và cotan được xem là bậc 0.
3) Phương pháp giải: ® π cos x = 0
Bước 1. Kiểm tra x = + kπ ⇔
có là nghiệm của phương trình không? 2 sin2 x = 1 " π cos x 6= 0 Bước 2. Với x 6= + kπ ⇔
, ta chia hai vế của (1) cho cos2 x. 2 sin2 x 6= 1 sin2 x sin x d (1) ⇔ a · + b · + c =
⇔ a tan2 x + b tan x + c = d(1 + tan2 x). cos2 x cos x cos2 x
Bước 3. Đặt t = tan x để đưa về phương trình bậc hai với ẩn t, từ đó suy ra x. 122
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
! Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn. B VÍ DỤ π
VÍ DỤ 1. Giải phương trình 2 cos2 x + 2 sin 2x − 4 sin2 x = 1. ĐS: x = + kπ, 4 1 x = arctan − + kπ 5 L Lời giải
Ta có phương trình có dạng 2 cos2 x + 4 sin x cos x − 4 sin2 x = sin2 x + cos2 x ⇔ 5 sin2 x − 4 sin x cos x − cos2 x = 0. (2) π TH1. Với x =
+ kπ, thay vào phương trình (2) ta được 5 = 0 (vô lí). 2 π TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (2) cho cos2 x ta được: 5 tan2 x − 4 tan x − 1 = 0 ⇔ 2 tan x = 1 1 tan x = − . 5 π Với tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4 1 1
Với tan x = − ⇔ x = arctan − + kπ. 5 5 π 1
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ, x = arctan − + kπ. 4 5 π
VÍ DỤ 2. Giải phương trình 4 sin3 x + 3(cos3 x − sin x) = sin2 x cos x. ĐS: x = + kπ, 4 x = ± π + kπ 3 L Lời giải π TH1. Với x =
+ kπ, thay vào phương trình đã cho. 2 π Nếu x =
+ k2π thì (1) ⇔ 1 = 0 (vô lí). 2
Nếu x = − π + k2π thì (1) ⇔ 7 = 0 (vô lí). 2 π TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của phương trình cho cos3 x ta được: 2 " h i tan x = 1
4 tan3 x + 3 1 − tan x(1 + tan2 x) = tan2 x ⇔ tan3 x − tan2 x − 3 tan x + 3 = 0 ⇔ √ tan x = ± 3.
6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP (BẬC 2, BẬC 3, BẬC 4) 123 π Với tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4 √ π Với tan x = 3 ⇔ x = + kπ. 3 √
Với tan x = − 3 ⇔ x = − π + kπ. 3 π
Vậy nghiệm của phương trình là x =
+ kπ, x = ± π + kπ. 4 3
VÍ DỤ 3. Giải phương trình sin2 x(tan x + 1) = 3 sin x(cos x − sin x) + 3. ĐS:
x = − π + kπ, x = ± π + kπ 4 3 L Lời giải π
Điều kiện xác định cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ. 2
Chia hai vế của phương trình cho cos2 x ta được: " tan x = −1
tan2 x(tan x + 1) = 3 tan x(1 − tan x) + 3(1 + tan2 x) ⇔ tan3 x + tan2 x − 3 tan x − 3 = 0 ⇔ √ tan x = ± 3.
Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4 √ π Với tan x = 3 ⇔ x = + kπ. 3 √
Với tan x = − 3 ⇔ x = − π + kπ. 3
Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = ± π + kπ. 4 3 C BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau: √ π π
1 2 sin2 x + 3 3 sin x cos x − cos2 x = 2. ĐS: x = + kπ, x = + kπ 2 6 π
2 sin2 x + sin x cos x − 2 cos2 x = 0. ĐS: x =
+ kπ, x = arctan(−2) + kπ 4 √ 3 cos2 x − 3 sin 2x = 1 + sin2 x.
ĐS: x = kπ, x = − π + kπ 3 √ π π
4 2 cos2 x − 3 3 sin 2x + 4 = 4 sin2 x. ĐS: x = + kπ, x = + kπ 2 6 √ √ √ π 5 3 sin2 x + (1 −
3) sin x cos x − cos2 x + 1 = 3.
ĐS: x = − π + kπ, x = + kπ 4 3 √ √ π 6 2 sin2 x + (3 +
3) sin x cos x + ( 3 − 1) cos2 x + 1 = 0.
ĐS: x = − π + kπ, x = + kπ 4 6 9
7 4 sin2 x − 5 sin x cos x − 9 cos2 x = 0.
ĐS: x = − π + kπ, x = arctan + kπ 4 4 √ 9 π π π
8 cos2(3π − 2x) − 3 cos 4x − = 1 + sin2 2x.
ĐS: x = k , x = − π + k 2 2 6 2 124
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải. 1 Ta có √ √
2 sin2 x + 3 3 sin x cos x − cos2 x = 2 ⇔ 2 sin2 x + 3 3 sin x cos x − cos2 x = 2(cos2 x + sin2 x) √ ⇔ 3 sin x cos x − cos2 x = 0. (*) π TH1. Với x =
+ kπ, thay vào phương trình (*) ta được 0 = 0 (thỏa mãn). 2 π √ TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: 3 tan x − 1 = 0 ⇔ tan x = 2 1 √ ⇔ π x = + kπ. 3 6 π π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ, x = + kπ. 2 6
2 Ta có sin2 x + sin x cos x − 2 cos2 x = 0. (*) π
TH1. Với cos x = 0 ⇔ x =
+ kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí). 2 π TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: tan2 x + tan x − 2 = 0 ⇔ 2 " tan x = 1 tan x = −2. π Với tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4
Với tan x = −2 ⇔ x = arctan(−2) + kπ. π
Vậy nghiệm của phương trình là x =
+ kπ, x = arctan(−2) + kπ. 4 √ √ 3 Ta có cos2 x −
3 sin 2x = 1 + sin2 x ⇔ 2 sin2 x + 2 3 sin x cos x = 0 ⇔ 2 sin x(sin x + √3cos x) = 0.
TH1. Với sin x = 0 ⇔ x = kπ. √ √ TH2. Với sin x +
3 cos x = 0 ⇔ tan x = − 3 ⇔ x = − π + kπ. 3
Vậy nghiệm của phương trình là x = kπ, x = − π + kπ. 3 √ √
4 Ta có 2 cos2 x − 3 3 sin 2x + 4 = 4 sin2 x ⇔ 2 cos2 x − 6 3 sin x cos x + 4(1 − sin2 x) = 0 ⇔ √ cos x(cos x − 3 sin x) = 0. π
TH1. Với cos x = 0 ⇔ x = + kπ. 2 √ 1 π TH2. Với cos x −
3 sin x = 0 ⇔ tan x = √ ⇔ x = + kπ. 3 6 π π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ, x = + kπ. 2 6 √ √ √ √ 5 Ta có 3 sin2 x + (1 −
3) sin x cos x − cos2 x + 1 = 3 ⇔ sin2 x + (1 − 3) sin x cos x − √3cos2 x = 0. (*) π TH1. Với x =
+ kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 2 1).
6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP (BẬC 2, BẬC 3, BẬC 4) 125 π √ √ TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: tan2 x + (1 − 3) tan x − 3 = 2 " tan x = −1 0 ⇔ √ tan x = 3.
Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4 √ π Với tan x = 3 ⇔ x = + kπ. 3 π
Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = + kπ. 4 3 √ √ √
6 Ta có 2 sin2 x + (3 +
3) sin x cos x + ( 3 − 1) cos2 x + 1 = 0 ⇔ 3 sin2 x + (3 + 3) sin x cos x + √3cos2 x = 0. (*) π TH1. Với x =
+ kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 2 1). π √ √ TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: 3 tan2 x + (3 + 3) tan x + 3 = 2 tan x = −1 0 ⇔ 1 tan x = √ . 3
Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4 1 π Với tan x = √ ⇔ x = + kπ. 3 6 π
Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = + kπ. 4 6
7 Ta có 4 sin2 x − 5 sin x cos x − 9 cos2 x = 0. (*) π TH1. Với x =
+ kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 2 1). π TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: 4 tan2 x − 5 tan x − 9 = 0 ⇔ 2 tan x = −1 9 tan x = . 4
Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4 9 9 Với tan x = ⇔ x = arctan + kπ. 4 4 9
Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = arctan + kπ. 4 4 8 Ta có √ 9 √ π cos2(3π − 2x) − 3 cos 4x − = 1 + sin2 2x ⇔ cos2 2x − 3 sin 4x = 1 + sin2 2x 2 √
⇔ 2 sin2 2x + 2 3 sin 2x cos 2x = 0 √ ⇔ sin 2x(sin 2x + 3 cos 2x) = 0. 126
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π
TH1. Với sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = k . 2 √ √ π TH2. Với sin 2x +
3 cos 2x = 0 ⇔ tan 2x = − 3 ⇔ 2x = − π + kπ ⇔ x = − π + k . 3 6 2 π π
Vậy nghiệm của phương trình là x = k , x = − π + k . 2 6 2
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau: 1 sin x = 2 cos3 x.
ĐS: x = ± π + kπ, x = kπ 4 π
2 cos3 x + sin3 x = sin x − cos x. ĐS: x = + kπ 2 π
3 sin x − 4 sin3 x + cos x = 0. ĐS: x = + kπ 4 π
4 4(sin3 x + cos3 x) = cos x + 3 sin x. ĐS: x =
+ kπ, x = ± π + kπ 4 3
5 6 sin x + 2 cos3 x = 5 sin 2x cos x. ĐS: x ∈ ∅ π
6 cos3 x − 4 sin3 x + sin x = 3 cos x sin2 x. ĐS: x =
+ kπ, x = ± π + kπ 4 6
7 3 cos4 x + sin4 x = 4 cos2 x sin2 x.
ĐS: x = ± π + kπ, x = ± π + kπ 4 3 π
8 4 sin3 x + 3(cos3 x − sin x) = sin2 x cos x. ĐS: x =
+ kπ, x = ± π + kπ 4 3 √ π π
9 2 2 cos3 x − π − 3 cos x = sin x. ĐS: x = + kπ, x = + kπ 4 4 2 (1 + cos 2x)2 10 sin2 x + = 2 cos 2x.
ĐS: x = − π + kπ 2 sin 2x 4
11 cos2 x tan2 4x + 1 + sin 2x = 0.
ĐS: x = − π + kπ 4
12 tan x sin2 x − 2 sin2 x = 3(cos 2x + sin x cos x).
ĐS: x = − π + kπ, x = ± π + kπ 4 3 √ √ 13 sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x.
ĐS: x = ± π + kπ, x = − π + kπ 4 3 π π 1 1 π
14 4(sin4 x + cos4 x) + 5 sin 2x cos 2x + cos2 2x = 6. ĐS: x = + k , x = arctan + k 8 2 2 4 2 √ √
15 3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x.
ĐS: x = ± π + k2π, x = ± π + k2π 4 3 Lời giải.
1 Ta có sin x = 2 cos3 x ⇔ sin x − 2 cos3 x = 0. (*) π TH1. Với x =
+ kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 2 1).
6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP (BẬC 2, BẬC 3, BẬC 4) 127 π TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được: 2 " tan x = ±1
tan x(1 + tan2 x) − 2 tan3 x = 0 ⇔ tan x(1 − tan2 x) = 0 ⇔ tan x = 0.
Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4 π Với tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4
Với tan x = 0 ⇔ x = kπ.
Vậy nghiệm của phương trình là x = ± π + kπ, x = kπ. 4
2 Ta có cos3 x + sin3 x = sin x − cos x. (*) π TH1. Với x =
+ k2π, thay vào phương trình (*) ta được 1 = 1 (thỏa mãn). 2
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −1 = −1 (thỏa mãn). 2 π TH3. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được: 2
1 + tan3 x = tan x(1 + tan2 x) − (1 + tan2 x) ⇔ tan2 x − tan x + 2 = 0 (vô nghiệm). π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ. 2
3 Ta có sin x − 4 sin3 x + cos x = 0. (*) π TH1. Với x =
+ k2π, thay vào phương trình (*) ta được −3 = 0 (vô lí). 2
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được 3 = 0 (vô lí). 2 π TH3. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được: 2 π
tan x(1 + tan2 x) − 4 tan3 x + 1 + tan2 x = 0 ⇔ −3 tan3 x + tan2 x + tan x + 1 = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4 π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ. 4
4 Ta có 4(sin3 x + cos3 x) = cos x + 3 sin x. (*) π TH1. Với x =
+ k2π, thay vào phương trình (*) ta được 4 = 3 (vô lí). 2
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −4 = −3 (vô lí). 2 π TH3. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được: 2 " tan x = 1
4(1 + tan3 x) = tan2 x + 1 + 3 tan x(tan2 x + 1) ⇔ tan3 x − tan2 x − 3 tan x + 3 = 0 ⇔ √ tan x = ± 3. π Với tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4 √
Với tan x = ± 3 ⇔ x = ± π + kπ. 3 128
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π
Vậy nghiệm của phương trình là x =
+ kπ, x = ± π + kπ. 4 3
5 Ta có 6 sin x + 2 cos3 x = 5 sin 2x cos x ⇔ 3 sin x + cos3 x = 5 sin x cos2 x. (*) π TH1. Với x =
+ kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 2 1). π TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được: 2
3 tan x(1 + tan2 x) + 1 = 5 tan x ⇔ 3 tan3 x − 2 tan x + 1 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình vô nghiệm.
6 Ta có cos3 x − 4 sin3 x + sin x = 3 cos x sin2 x. (*) π TH1. Với x =
+ k2π, thay vào phương trình (*) ta được −3 = 0 (vô lí). 2
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được 3 = 0 (vô lí). 2 π TH3. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được: 2 tan x = 1
1 − 4 tan3 x + tan x(tan2 x + 1) = 3 tan2 x ⇔ 3 tan3 x + 3 tan2 x − tan x − 1 = 0 ⇔ 1 tan x = ± √ . 3 π Với tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4 1
Với tan x = ± √ ⇔ x = ± π + kπ. 3 6 π
Vậy nghiệm của phương trình là x =
+ kπ, x = ± π + kπ. 4 6
7 Ta có 3 cos4 x + sin4 x = 4 cos2 x sin2 x. (*) π TH1. Với x =
+ kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 2 1). π TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos4 x ta được: 2 " tan x = ±1
3 + tan4 x = 4 tan2 x ⇔ tan4 x − 4 tan2 x + 3 = 0 ⇔ √ tan x = ± 3.
Với tan x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ. 4 √
Với tan x = ± 3 ⇔ x = ± π + kπ. 3
Vậy nghiệm của phương trình là x = ± π + kπ, x = ± π + kπ. 4 3
8 Ta có 4 sin3 x + 3(cos3 x − sin x) = sin2 x cos x ⇔ 4 sin3 x − 3 sin x + 3 cos3 x = sin2 x cos x. (*) π TH1. Với x =
+ k2π, thay vào phương trình (*) ta được 1 = 0 (vô lí). 2
6. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP (BẬC 2, BẬC 3, BẬC 4) 129
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −1 = 0 (vô lí). 2 π TH3. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được: 2 " tan x = 1
4 tan3 x − 3 tan x(tan2 x + 1) + 3 = tan2 x ⇔ tan3 x − tan2 x − 3 tan x + 3 = 0 ⇔ √ tan x = ± 3. π Với tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4 √
Với tan x = ± 3 ⇔ x = ± π + kπ. 3 π
Vậy nghiệm của phương trình là x =
+ kπ, x = ± π + kπ. 4 3 √
9 Ta có 2 2 cos3 x − π
− 3 cos x = sin x ⇔ (sin x + cos x)3 − 3 cos x = sin x. (*) 4 π TH1. Với x =
+ k2π, thay vào phương trình (*) ta được 1 = 1 (thỏa mãn). 2
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −1 = −1 (thỏa mãn). 2 π TH3. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được: 2 π
(tan x + 1)3 − 3(tan2 x + 1) = tan x(tan2 x + 1) ⇔ tan x − 1 = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ. 4 π π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ, x = + kπ. 4 2 π
10 Điều kiện xác định sin 2x 6= 0 ⇔ x 6= k . 2 (1 + cos 2x)2 cos3 x Ta có sin2 x + = 2 cos 2x ⇔ sin2 x + = 2(cos2 x − sin2 x). (*) 2 sin 2x sin x
Chia hai vế của (*) cho sin2 x ta được:
1 + cot3 x = 2(cot2 x − 1) ⇔ cot3 x − 2 cot2 x + 3 = 0 ⇔ cot x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4
Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ. 4 π π
11 Điều kiện xác định cos 4x 6= 0 ⇔ x 6= + k . 8 4 Ta có π ® tan 4x = 0 x = k
cos2 x tan2 4x + 1 + sin 2x = 0 ⇔ tan2 4x + (1 + tan x)2 = 0 ⇔ ⇔ 4
⇔ x = − π + kπ. tan x = −1 4 x = − π + k π 4
Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ. 4 π
12 Điều kiện xác định cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ. 2 Ta có
tan x sin2 x − 2 sin2 x = 3(cos 2x + sin x cos x) ⇔ tan x sin2 x − 2 sin2 x = 3(cos2 x − sin2 x + sin x cos x)
⇔ tan3 x − 2 tan2 x = 3(1 − tan2 x + tan x)
⇔ tan3 x + tan2 x − 3 tan x − 3 = 0 " tan x = −1 ⇔ √ tan x = ± 3. 130
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4 √
Với tan x = ± 3 ⇔ x = ± π + kπ. 3
Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = ± π + kπ. 4 3 √ √ 13 Ta có sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x. (*) π
TH1. Với cos x = 0 ⇔ x =
+ kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí). 2 π TH2. Với x 6=
+ kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được: 2 √ √ √ √ " tan x = ±1 tan3 x − 3 = tan x − 3 tan2 x ⇔ tan3 x + 3 tan2 x − tan x − 3 = 0 ⇔ √ tan x = − 3.
Với tan x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ. 4 √
Với tan x = − 3 ⇔ x = − π + kπ. 3
Vậy nghiệm của phương trình là x = ± π + kπ, x = − π + kπ. 4 3 14 Ta có
4(sin4 x + cos4 x) + 5 sin 2x cos 2x + cos2 2x = 6
⇔ 4 1 − 2 sin2 x cos2 x + 5 sin 2x cos 2x + cos2 2x = 6. ! sin2 2x ⇔ 4 1 −
+ 5 sin 2x cos 2x + cos2 2x = 6. 2
⇔ 2 sin2 2x − 5 sin 2x cos 2x − cos2 2x + 2 = 0. (*)
TH1. Với cos 2x = 0, thay vào phương trình (*) ta được sin2 2x = −1 (vô lí).
TH2. Với cos 2x 6= 0, chia hai vế của (*) cho cos2 2x ta được: tan 2x = 1
2 tan2 2x − 5 tan 2x − 1 + 2(1 + tan2 2x) = 0 ⇔ 4 tan2 2x − 5 tan 2x + 1 = 0 ⇔ 1 tan 2x = . 4 π π π Với tan 2x = 1 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k . 4 8 2 1 1 1 1 π Với tan 2x = ⇔ 2x = arctan + kπ ⇔ x = arctan + k . 4 4 2 4 2 π π 1 1 π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + k , x = arctan + k . 8 2 2 4 2
15 Điều kiện xác định sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ. Ta có √ √ cos x √ √
3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x ⇔ 3 cos x − 2 + 2( 2 sin2 x − cos x) = 0 sin2 x √ 3 cos x
⇔ ( 2 sin2 x − cos x) 2 − = 0. sin2 x
7. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG 131 1 √ √ √ cos x = √ (thỏa mãn) TH1. Với 2 sin2 x − cos x = 0 ⇔ 2 cos2 x + cos x − 2 = 0 ⇔ 2 ⇒ √ cos x = − 2 (loại)
x = ± π + k2π. 4 1 cos x = (thỏa mãn)
TH2. Với 2 sin2 x − 3 cos x = 0 ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0 ⇔ ⇒ 2 cos x = −2 (loại)
x = ± π + k2π. 3
Vậy nghiệm của phương trình là x = ± π + k2π, x = ± π + k2π. 4 3 BÀI 7.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Dạng 1. a(sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = 0. (1) √
Đặt t = sin x ± cos x (điều kiện |t| ≤
2), suy ra t2 = . . . và viết sin x cos x theo t. √
! Khi đặt t = |sinx ± cosx| thì điều kiện của t là 0 ≤ |t| ≤ 2.
Dạng 2. a(tan2 x + cot2 x) + b(tan x ± cot x) + c = 0. (2)
Đặt t = tan x ± cot x (điều kiện |t| ≥ 2), suy ra t2 = . . . và biểu diễn tan2 x + cot2 x theo t. ! 2
Ta thường sử dụng kết quả tan x cot x = 1 và tan2 x + cot2 x = . sin 2x B VÍ DỤ √ √
VÍ DỤ 1. Giải phương trình sin 2x + (2 −
2)(sin x + cos x) + 1 − 2 2 = 0. (1) L Lời giải √
Đặt t = sin x + cos x (|t| ≤
2), suy ra t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = t2 − 1. Thay vào phương trình (1) ta được √ √ √ √ √ "t = 2 (thỏa mãn) t2 − 1 + (2 −
2)t + 1 − 2 2 = 0 ⇔ t2 + (2 −
2)t − 2 2 = 0 ⇔ t = −2 (loại). √ √ 1 1 Với t = 2, suy ra sin x + cos x =
2 ⇔ √ sin x + √ cos x = 1 ⇔ cos x − π = 1 ⇔ x = 2 2 4 π + k2π. 4 132
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ √
VÍ DỤ 2. Giải phương trình 2(tan2 x + cot2 x) − (4 −
2)(tan x + cot x) + 4 + 2 2 = 0.(1) L Lời giải ® sin x 6= 0 π Điều kiện xác định ⇔ x 6= k . cos x 6= 0 2
Đặt t = tan x + cot x (|t| ≥ 2), suy ra t2 = tan2 x + cot2 x + 2 ⇒ tan2 x + cot2 x = t2 − 2. Thay vào (1) ta được √ √ √ √ 2(t2 − 2) − (4 −
2)t + 4 + 2 2 = 0 ⇔ 2t2 − (4 − 2)t + 2 2 = 0 (vô nghiệm). C BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau: √ 3π
1 sin 2x − 2 2(sin x + cos x) = 5. ĐS: − + k2π 4 π
2 2(sin x + cos x) + 6 sin x cos x = 2. ĐS: + k2π, k2π 2 π
3 sin x + cos x + sin x cos x = 1. ĐS: + k2π, k2π 2 √ √ π 3π 4 (1 +
2)(sin x − cos x) + 2 sin x cos x = 1 + 2. ĐS:
+ k2π, π + k2π, + k2π 2 4 √ 3π
5 2 2(sin x − cos x) = 3 − sin 2x. ĐS: + k2π 4 √ 3π 6 (1 −
2)(1 + sin x − cos x) = sin 2x.
ĐS: − π + k2π, k2π, + k2π 2 4 √ 5π 13π
7 2 2(sin x − cos x) − 2 sin 2x = 1. ĐS: + k2π, + k2π 12 12 √
8 sin x − cos x = 2 6 sin x cos x. ĐS: √ √ ! ! 9 3 3 5 − π π π π + k2π, + k2π, arcsin + + k2π, − arcsin + + k2π 12 12 3 4 3 4 Lời giải. √
1 sin 2x − 2 2(sin x + cos x) = 5. (1) √
Đặt t = sin x + cos x (|t| ≤
2), suy ra t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = t2 − 1. Thay vào
phương trình (1) ta được √ √ √ "t = − 2 (thỏa mãn)
t2 − 1 − 2 2t − 5 = 0 ⇔ t2 − 2 2t − 6 = 0 ⇔ √ t = 3 2 (loại). √ √ 1 1
Với t = − 2, suy ra sin x + cos x = − 2 ⇔ √ sin x + √ cos x = −1 ⇔ cos x − π = 2 2 4 3 − π 1 ⇔ x = − + k2π. 4
7. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG 133
2 2(sin x + cos x) + 6 sin x cos x = 2. (1) √
Đặt t = sin x + cos x (|t| ≤
2), suy ra t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = t2 − 1. Thay vào
phương trình (1) ta được t = 1 (thỏa mãn)
2t + 3 t2 − 1 = 2 ⇔ 3t2 + 2t − 5 = 0 ⇔ 5 t = − (loại). 3 1 1 1
Với t = 1, suy ra sin x + cos x = 1 ⇔ √ sin x + √ cos x = √ ⇔ cos x − π = 2 2 2 4 π π cos ⇔ x =
+ k2π, x = k2π. 4 2
3 sin x + cos x + sin x cos x = 1. (1) √
Đặt t = sin x + cos x (|t| ≤
2), suy ra t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = t2 − 1. Thay vào
phương trình (1) ta được " t2 − 1 t = 1 (thỏa mãn) t + = 1 ⇔ t2 + 2t − 3 = 0 ⇔ 2 t = −3 (loại). 1 1 1
Với t = 1, suy ra sin x + cos x = 1 ⇔ √ sin x + √ cos x = √ ⇔ cos x − π = 2 2 2 4 π π cos ⇔ x =
+ k2π, x = k2π. 4 2 √ √ 4 (1 +
2)(sin x − cos x) + 2 sin x cos x = 1 + 2. (1) √
Đặt t = sin x − cos x (|t| ≤
2), suy ra t2 = 1 − 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = 1 − t2. Thay vào
phương trình (1) ta được √ √ √ √ "t = 1 (thỏa mãn) (1 + 2)t + 1 − t2 = 1 + 2 ⇔ t2 − (1 + 2)t + 2 = 0 ⇔ √ t = 2 (thỏa mãn). 1 1 1 π
Với t = 1, suy ra sin x − cos x = 1 ⇔ √ sin x − √ cos x = √ ⇔ sin x − π = sin ⇔ 2 2 2 4 4 π x =
+ k2π, x = π + k2π. 2 √ √ 1 1 Với t = 2, suy ra sin x − cos x =
2 ⇔ √ sin x − √ cos x = 1 ⇔ sin x − π = 1 ⇔ 2 2 4 3π x = + k2π. 4 √
5 2 2(sin x − cos x) = 3 − sin 2x. (1) √
Đặt t = sin x − cos x (|t| ≤
2), suy ra t2 = 1 − 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = 1 − t2. Thay vào
phương trình (1) ta được √ √ √
2 2t = 3 − (1 − t2) ⇔ t2 − 2 2t + 2 = 0 ⇔ t = 2 (thỏa mãn). √ √ 1 1 Với t = 2, suy ra sin x − cos x =
2 ⇔ √ sin x − √ cos x = 1 ⇔ sin x − π = 1 ⇔ 2 2 4 3π x = + k2π. 4 134
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ 6 (1 −
2)(1 + sin x − cos x) = sin 2x. (1) √
Đặt t = sin x − cos x (|t| ≤
2), suy ra t2 = 1 − 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = 1 − t2. Thay vào
phương trình (1) ta được √ √ √ "t = −1 (thỏa mãn) (1 −
2)(1 + t) = 1 − t2 ⇔ t2 + (1 − 2)t − 2 = 0 ⇔ √ t = 2 (thỏa mãn). Với t = −1, suy ra sin x − cos x = −1 1 1 1
⇔ √ sin x − √ cos x = − √ 2 2 2 − ⇔ π sin x − π = sin 4 4 3 ⇔ π x =
+ k2π, x = k2π. 2 √ √ 1 1 Với t = 2, suy ra sin x − cos x =
2 ⇔ √ sin x − √ cos x = 1 ⇔ sin x − π = 1 ⇔ 2 2 4 3π x = + k2π. 4 √
7 2 2(sin x − cos x) − 2 sin 2x = 1. (1) √
Đặt t = sin x − cos x (|t| ≤
2), suy ra t2 = 1 − 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = 1 − t2. Thay vào
phương trình (1) ta được √ 2 √ √ t = (thỏa mãn)
2 2t − 2(1 − t2) = 1 ⇔ 2t2 + 2 2t − 3 = 0 ⇔ 2 √ 3 2 t = − (loại). 2 √2 Với t = , suy ra 2 √2 sin x − cos x = 2 1 1 1 ⇔ √ sin x − √ cos x = 2 2 2 ⇔ π sin x − π = sin 4 6 5 13 ⇔ π π x = + k2π, x = + k2π. 12 12
7. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG 135 √
8 sin x − cos x = 2 6 sin x cos x. (1) √
Đặt t = sin x − cos x (|t| ≤
2), suy ra t2 = 1 − 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = 1 − t2. Thay vào
phương trình (1) ta được √ 6 √ √ √ t = (thỏa mãn) t = 6(1 − t2) ⇔ 6t2 + t − 6 = 0 ⇔ 3 √ 6 t = − (thỏa mãn). 2 √6 Với t = , suy ra 3 √6 sin x − cos x = 3 √ 1 1 3 ⇔ √ sin x − √ cos x = 2 2 3 √ 3 ⇔ sin x − π = 4 3 √ √ 3 5 3 ⇔ π π x = + arcsin + k2π, x = − arcsin + k2π. 4 3 4 3 √6 Với t = − , suy ra 2 √6 sin x − cos x = − 2 √ 1 1 3
⇔ √ sin x − √ cos x = − 2 2 2 − ⇔ π sin x − π = sin 4 3 19 ⇔ π
x = − π + k2π, x = + k2π 12 12
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
1 3 tan2 x + 4 tan x + 4 cot x + 3 cot2 x + 2 = 0.
ĐS: − π + kπ 4 2 2
+ 2 tan2 x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0.
ĐS: − π + kπ sin2 x 4 √ 4π π
3 tan x − 3 cot x = 4(sin x + 3 cos x).
ĐS: − π + kπ, + k 3 9 3
4 2 sin3 x − cos 2x + cos x = 0.
ĐS: k2π, − π + kπ 4 π
5 2 cos3 x + cos 2x + sin x = 0. ĐS:
+ k2π, − π + kπ 2 4 π π π
6 2 sin3 x − sin x = 2 cos3 x − cos x − cos 2x. ĐS: + k2π, k2π, + k 2 4 2 136
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π
7 sin3 x − cos3 x = 1 − sin 2x. ĐS:
+ k2π, π + k2π, + kπ 2 4 π
8 cos 2x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x). ĐS:
+ k2π, π + k2π 2 Lời giải.
1 3 tan2 x + 4 tan x + 4 cot x + 3 cot2 x + 2 = 0. (1) ® sin x 6= 0 π Điều kiện xác định ⇔ x 6= k . cos x 6= 0 2
Đặt t = tan x + cot x (|t| ≥ 2), suy ra t2 = tan2 x + cot2 x + 2 ⇒ tan2 x + cot2 x = t2 − 2. Thay vào (1) ta được t = −2 (thỏa mãn)
3(t2 − 2) + 4t + 2 = 0 ⇔ 3t2 + 4t − 4 = 0 ⇔ 2 t = (loại). 3 1
Với t = −2, suy ra tan x + cot x = −2 ⇔ tan x +
= −2 ⇒ tan2 x + 2 tan x + 1 = 0 ⇔ tan x
tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4 2 2
+ 2 tan2 x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0. (1) sin2 x ® sin x 6= 0 π Điều kiện xác định ⇔ x 6= k . cos x 6= 0 2
(1) ⇔ 2(1 + cot2 x) + 2 tan2 x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0 ⇔ 2(cot2 x + tan2 x) + 5(tan x + cot x) + 6 = 0. (2)
Đặt t = tan x + cot x (|t| ≥ 2), suy ra t2 = tan2 x + cot2 x + 2 ⇒ tan2 x + cot2 x = t2 − 2. Thay vào (2) ta được t = −2 (thỏa mãn)
2(t2 − 2) + 5t + 6 = 0 ⇔ 2t2 + 5t + 2 = 0 ⇔ 1 t = − (loại). 2 1
Với t = −2, suy ra tan x + cot x = −2 ⇔ tan x +
= −2 ⇒ tan2 x + 2 tan x + 1 = 0 ⇔ tan x
tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ. 4 √
3 tan x − 3 cot x = 4(sin x + 3 cos x). (1) ® sin x 6= 0 π Điều kiện xác định ⇔ x 6= k . cos x 6= 0 2 Ta có √ tan x − 3 cot x = 4(sin x + 3 cos x) sin x 3 cos x √ ⇔ − = 4(sin x + 3 cos x) cos x sin √ x √ √ ⇒ (sin x + 3 cos x)(sin x − 3 cos x) = 2 sin 2x(sin x + 3 cos x) h i ⇔ π sin x +
sin x − π − sin 2x = 0 3 3 π sin x + = 0 4 ⇔ 3 π π
⇔ x = − π + kπ, x = + k .
sin x − π − sin 2x = 0 3 9 3 3
7. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG 137
4 2 sin3 x − cos 2x + cos x = 0. (1) Ta có
(1) ⇔ 2 sin2 x sin x − 2 cos2 x + cos x + 1 = 0
⇔ 2 sin x(1 − cos2 x) − 2 cos2 x + cos x + 1 = 0
⇔ 2 sin x(1 − cos x)(1 + cos x) + (1 − cos x)(2 cos x + 1) = 0
⇔ (1 − cos x)[2 sin x(1 + cos x) + 2 cos x + 1] = 0 h i
⇔ (1 − cos x) (sin x + cos x)2 + 2(sin x + cos x) = 0
⇔ (1 − cos x)(sin x + cos x)(sin x + cos x + 2) = 0 "1 − cos x = 0 ⇔ sin x + cos x = 0
⇔ x = k2π, x = − π + kπ. 4
5 2 cos3 x + cos 2x + sin x = 0. (1) Ta có
(1) ⇔ 2 cos3 x + cos 2x + sin x = 0
⇔ 2 cos3 x + cos2 x − sin2 x + sin x = 0
⇔ cos2 x(2 cos x + 1) + sin x(1 − sin x) = 0
⇔ (1 − sin2 x)(2 cos x + 1) + sin x(1 − sin x) = 0
⇔ (1 − sin x)(1 + sin x)(2 cos x + 1) + sin x(1 − sin x) = 0
⇔ (1 − sin x) [(1 + sin x)(2 cos x + 1) + sin x] = 0
⇔ (1 − sin x) [2 cos x + 1 + 2 sin x · cos x + sin x + sin x] = 0 h
⇔ (1 − sin x) 2(sin x + cos x) + (sin x + cos x)2i = 0
⇔ (1 − sin x) [(sin x + cos x)(2 + sin x + cos x)] = 0 "1 − sin x = 0 ⇔ sin x + cos x = 0 ⇔ π x =
+ k2π, x = − π + kπ. 2 4 138
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
6 2 sin3 x − sin x = 2 cos3 x − cos x − cos 2x. (1) Ta có
(1) ⇔ 2(sin x − cos x)(1 + sin x cos x) − (sin x − cos x) + (cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0
⇔ (sin x − cos x) [2 + 2 sin x cos x − 1 − (cos x + sin x)] = 0
⇔ (sin x − cos x) [1 + 2 sin x cos x − (cos x + sin x)] = 0 h i
⇔ (sin x − cos x) (sin x + cos x)2 − (cos x + sin x) = 0
⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x)(cos x + sin x − 1) = 0
⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x)(cos x + sin x − 1) = 0
⇔ − cos 2x(cos x + sin x − 1) = 0 " cos 2x = 0 ⇔ cos x + sin x = 1 ⇔ π π π x = + k , x =
+ k2π, x = k2π. 4 2 2
7 sin3 x − cos3 x = 1 − sin 2x. (1) Ta có
(1) ⇔ (sin x − cos x)(1 + sin x cos x) = (sin x − cos x)2
⇔ (sin x − cos x) [(1 + sin x cos x) − (sin x − cos x)] = 0 " sin x − cos x = 0 ⇔
1 + sin x cos x − (sin x − cos x) = 0 ⇔ π π x = + kπ, x =
+ k2π, x = π + k2π. 4 2
8 cos 2x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x). (1) Ta có
(1) ⇔ 2 cos2 x − 1 + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)
⇔ cos2 x + 2 = (2 − cos x)(sin x − cos x)
⇔ cos2 x + 2 = 2 sin x − 2 cos x − cos x sin x + cos2 x
⇔ 2(sin x − cos x) − sin x cos x + 2 = 0 1 − t2 √ √ ⇔ t2 − 4t − 5 = 0 với t = sin x − cos x, = sin x cos x, − 2 ≤ t ≤ 2 2 "t = −1(thỏa mãn) ⇔ t = 5(loại). " x = k2 π 1 π
Với t = −1 suy ra ⇔ cos x − sin x = 1 ⇔ cos x + = √ ⇔ (k ∈ Z). 4 2
x = − π + k2π 2 D BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
8. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 139 √ π π 1 sin 2x + 2 sin x − π = 1. ĐS:
+ k2π, π + k2π, + kπ 4 2 4 1 1 √ π 11π 5π 2 + = 2 2. ĐS: + k2π, + k2π, − + k2π sin x cos x 4 12 12 1 1 √ 7 3 − π π π = 2 2 cos x + . ĐS:
+ kπ, − π + kπ, + kπ cos x sin x 4 4 12 12 √ 5π π 13π −7π
4 2 sin 2x + 8 = 3 6| sin x + cos x|. ĐS: + k2π, + k2π, + k2π, + k2π 12 12 12 12 5 | π
sin x − cos x| + 4 sin 2x = 1. ĐS: k 2 π
6 sin x cos x + | sin x + cos x| = 1. ĐS: k 2
BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau: π
1 (3 − cos 4x)(sin x − cos x) = 2. ĐS:
+ k2π, π + k2π 2 √ ! π π 2
2 tan2 x · 1 − sin3 x + cos3 x = 1. ĐS: k2π, + kπ, + k2π, ± arctan 1 − + k2π 4 2 2 BÀI 8.
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Dạng 1. m · sin 2x + n · cos 2x + p · sin x + q · cos x + r = 0. = cos2 x − sin2 x (1)
• Ta luôn viết sin 2x = 2 sin x cos x, còn cos 2x = = 2 cos2 x − 1 (2) = 1 − 2 sin2 x (3)
• Nếu thiếu sin 2x ta sẽ biến đổi cos 2x theo (1) và lúc này thường được đưa về
dạng A2 = B2 ⇔ (A − B)(A + B) = 0.
• Nếu theo (2) được: sin x · (2m · cos x + p) + 2n · cos2 x + q · cos x + r − n = | {z } (i)
0 và theo (3) được cos x(2m · sin x + q) + −2n · sin2 x + p · sin x + r + n = 0. | {z } (ii)
Ta sẽ phân tích (i), (ii) thành nhân tử dựa vào: at2 + bt + c = a(t − t1)(t − t2).
Với t1 và t2 là hai nghiệm của phương trình at2 + bt + c = 0 để xác định lượng nhân tử chung.
Dạng 2. Phương trình có chứa R(. . . , tan X, cot X, sin 2X, cos 2X, tan 2X, . . .), sao cho cung
của sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cot. Lúc đó đặt t = tan X và sẽ biến đổi: sin X 2 tan X 2t
• sin 2X = 2 sin X cos X = 2 · · cos2 X = = . cos X 1 + tan2 X 1 + t2 140
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 1 − tan2 X 1 − t2
• cos 2X = 2 cos2 X − 1 = 2 · − 1 = = . 1 + tan2 X 1 + tan2 X 1 + t2 sin 2X 2t 1 − t2 • tan 2X = = và cot 2X = . cos 2X 1 − t2 2t
Từ đó thu được phương trình bậc 2 hoặc bậc cao theo t, giải ra sẽ tìm được t ⇒ x. B VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Giải phương trình cos 2x − cos x − 3 sin x − 2 = 0. (1) L Lời giải
(1) ⇔ cos2 x − sin2 x − cos x − 3 sin x − 2 = 0 1 1 3 9 ⇔ cos2 x − 2 · cos x · + − sin2 x + 2 · sin x · + = 0 2 4 2 4 1 2 3 2 ⇔ cos x − − sin x + = 0 2 2 1 3 1 3 ⇔ cos x − − sin x − cos x − + sin x + = 0 2 2 2 2
⇔ (cos x − sin x − 2) (cos x + sin x + 1) = 0 " cos x − sin x = 2 ⇔ cos x + sin x = −1 √ π 2 cos x + = 2 ⇔ 4 √ 2 cos x − π = −1 4 √ π cos x + = 2 (vô nghiệm) 4 ⇔ 1 cos x − π = − √ 4 2 3 ⇔ π cos x − π = cos 4 4 3π x − π = + k2π ⇔ 4 4 3π x − π = − + k2π 4 4 x = π + k2π ⇔ , k ∈ Z.
x = − π + k2π 2
VÍ DỤ 2. Giải phương trình 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4. (1) L Lời giải
8. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 141
(1) ⇔ 4 sin x cos x − 1 − 2 sin2 x − 7 sin x − 2 cos x + 4 = 0
⇔ cos x (4 sin x − 2) + 2 sin2 x − 7 sin x + 3 = 0
⇔ 2 cos x (2 sin x − 1) + (2 sin x − 1) (sin x − 3) = 0
⇔ (2 sin x − 1) (2 cos x + sin x − 3) = 0 "2 sin x − 1 = 0 ⇔
2 cos x + sin x − 3 = 0 (vô nghiệm) ⇔ 2 sin x = 1 1 ⇔ sin x = 2 ⇔ π sin x = sin 6 π x = + k2π ⇔ 6
x = π − π + k2π 6 π x = + k2π ⇔ 6 , k ∈ Z. 5π x = + k2π 6
VÍ DỤ 3. Giải phương trình sin 2x + 2 tan x = 3. (1) L Lời giải sin x 2 tan x 2t
Đặt t = tan x. Ta có sin 2x = 2 sin x cos x = 2 · · cos2 x = = . cos x 1 + tan2 x 1 + t2 2t (1) ⇔ + 2t = 3 1 + t2
⇔ 2t + 2t 1 + t2 − 3 1 + t2 = 0 ⇔ 2t3 − 3t2 + 4t − 3 = 0
⇔ (t − 1)(2t2 − t + 3) = 0 "t − 1 = 0 ⇔
2t2 − t + 3 = 0 (vô nghiệm) ⇔ t = 1 ⇔ π tan x = tan 4 ⇔ π x = + kπ, k ∈ Z. 4 C BÀI TẬP ÁP DỤNG π
BÀI 1. Giải phương trình lượng giác cos 2x + 3 cos x + 2 = sin x. ĐS:
+ k2π, π + k2π 2 142
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải.
cos 2x + 3 cos x + 2 = sin x. (1) Ta có
(1) ⇔ cos2 x − sin2 x + 3 cos x + 2 − sin x = 0 3 9 1 1 ⇔ cos2 x + 2 · cos x · + − sin2 x + 2 · sin x · + = 0 2 4 2 4 3 2 1 2 ⇔ cos x + − sin x + = 0 2 2 3 1 3 1 ⇔ cos x + + sin x + cos x + − sin x − = 0 2 2 2 2
⇔ (cos x + sin x + 2) (cos x − sin x + 1) = 0
" cos x + sin x = −2 (loại) ⇔ cos x − sin x = −1 ⇔ π x =
+ k2π, x = π + k2π. 2
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
1 1 + 3 tan x = 2 sin 2x.
ĐS: − π + kπ 4 π 2 cos 2x + tan x = 1. ĐS: kπ, + kπ 4 π 3 sin 2x + 2 tan x = 3. ĐS: + kπ 4
4 (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x.
ĐS: kπ, − π + kπ 4 1 + tan x
5 1 + cot x − π = . ĐS: kπ 2 1 + sin 2x sin 2x − cos 2x 6 cot x = , ∀x ∈ − π ; 0 . ĐS: − π 2 + sin 2x 2 4 Lời giải.
1 1 + 3 tan x = 2 sin 2x. (1) π Điều kiện x 6= + kπ. 2 Ta có 2 tan x
(1) ⇔ 1 + 3 tan x = 2 · 1 + tan2 x
⇔ (1 + 3 tan x)(1 + tan2 x) = 4 tan x
⇔ (tan x + 1)(3 tan2 x − 2 tan x + 1) = 0 ⇔ tan x + 1 = 0 ⇔ tan x = −1 − ⇔ π x = + kπ. 4
8. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 143 2 cos 2x + tan x = 1. (1) π Điều kiện x 6= + kπ. 2 Ta có sin x (1) ⇔ 1 − 2 sin2 x + = 1 cos x
⇒ 2 sin2 x · cos x − sin x = 0
⇔ sin x [2 sin x cos x − 1] = 0 ⇔ sin x(sin 2x − 1) = 0 " sin x = 0 ⇔ sin 2x = 1 x = kπ ⇔ π x = + kπ. 4 3 sin 2x + 2 tan x = 3. (1) π Điều kiện x 6= + kπ. 2 Ta có sin x (1) ⇔ 1 − sin 2x = 2 − 1 cos x 2 ⇔ (sin x − cos x)2 − (sin x − cos x) = 0 cos x 2
⇔ (sin x − cos x)(sin x − cos x − ) = 0 cos x sin x − cos x = 0 ⇔ 2 sin x − cos x − = 0 cos x tan x = 1 ⇔ √ 2
vô nghiệm vì từ phương trình suy ra sin x = cos x + ≥ 2 2 (vô lí) cos x ⇔ π x = + kπ. 4 144
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
4 (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x. (1) π
Điều kiện cos x 6= 0 ⇒ x 6= + kπ. 2 Ta có sin x sin x (1) ⇔ 1 −
(sin2 x + cos2 x + 2 sin x · cos x) = 1 + cos x cos x
⇔ (cos x − sin x)(sin x + cos x)2 = sin x + cos x
⇔ (sin x + cos x)(cos2 x − sin2 x − 1) = 0 " sin x + cos x = 0 ⇔ cos 2x = 1 −π x = + kπ ⇔ 4 x = kπ. 1 + tan x
5 1 + cot x − π = . (1) 2 1 + sin 2x cos x 6= 0 π x 6= + kπ Điều kiện sin x − π 6= 0 ⇒ 2 2 x 6= − π + k π. sin 2x 6= −1 4 Ta có 1 + tan x
(1) ⇔ 1 − tan x = 1 + sin2x
⇔ (1 + sin 2x)(1 − tan x) = (1 + tan x)
⇔ 1 + sin 2x − tan x − sin 2x tan x = 1 + tan x sin x sin x ⇔ 2 sin x cos x − 2 − 2 sin x cos x = 0 cos x cos x
⇔ 2 sin x cos2 x − 2 sin x − 2 sin2 x cos x = 0
⇔ sin x 2 cos2 x − 2 − 2 sin x cos x = 0
⇔ sin x 2 cos2 x − 2 − 2 sin x cos x = 0
⇔ sin x 2 cos2 x − 1 − 2 sin x cos x − 1 = 0
⇔ sin x (cos 2x − sin 2x − 1) = 0 " sin x = 0 ⇔ cos 2x − sin 2x = 1 x = kπ
⇔ x = −π + kπ (loại) 4 ⇔ x = kπ.
8. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 145 sin 2x − cos 2x 6 cot x = , ∀x ∈ − π ; 0 . (1) 2 + sin 2x 2
Điều kiện sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ. Ta có cos x sin 2x − cos 2x (1) ⇔ = sin x 2 + sin 2x
⇔ cos x(2 + sin 2x) = (sin 2x − cos 2x) sin x
⇔ 2 cos x + 2 sin x cos2 x = 2 sin2 x cos x − (2 cos2 x − 1) sin x
⇔ 2 cos x + 2 sin x cos2 x − 2 sin2 x cos x + 2 cos2 x sin x − sin x = 0
⇔ 2 cos x − sin x + 4 sin x cos2 x − 2 sin2 x cos x = 0
⇔ 2 cos x − sin x + 2 sin x cos x(2 cos x − sin x) = 0
⇔ (2 cos x − sin x)(1 + 2 sin x cos x) = 0
⇔ (2 cos x − sin x)(sin x + cos x)2 = 0 "2 cos x − sin x = 0 ⇔ sin x + cos x = 0 " tan x = 2 ⇔ tan x = −1 x = arctan 2 + kπ
⇔ x = −π + kπ 4
⇒ x = − π vì x ∈ − π ; 0 . 4 2 D BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau: 5 + cos 2x 1 = 2 cos x. ĐS: k2π 3 + 2 tan x 5π
2 3 sin x − cos x + 2 − cos 2x = sin 2x.
ĐS: − π + k2π, k2π, − π + k2π, − + k2π 2 6 6 √ π
3 5 cos x + sin x − 3 = 2 sin 2x + .
ĐS: ± π + k2π 4 3 2π π
4 sin 2x − cos 2x + sin x − cos x = 1. ĐS: ± + k2π, + kπ 3 4 √ π 5 2 sin 2x + = 3 sin x + cos x + 2.
ĐS: − π + k2π, π + k2π 4 2
6 cos x + sin x − sin 2x − cos 2x = 1.
ĐS: ± π + k2π, − π + kπ 3 4 π 3
7 sin 2x − cos x + 2 sin x = cos 2x + 3 sin2 x.
ĐS: π + k2π, + k2π, arctan + kπ 2 4 5π
8 sin 2x − 2 cos2 x = 3 sin x − cos x.
ĐS: − π + k2π, − + k2π 6 6 146
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ √ √ ! π 5π 2
9 2 2 sin 2x − cos 2x − 7 sin x + 4 = 2 2 cos x. ĐS: + k2π, + k2π, arctan + kπ 6 6 4 π 5π
10 sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x = 1. ĐS: + k2π, + k2π 6 6 π
11 sin 2x + cos 2x − 3 cos x + 2 = sin x.
ĐS: ± π + k2π, + k2π, k2π 3 2
12 sin 2x + 2 cos 2x = 1 + sin x − 4 cos x.
ĐS: ± π + k2π 3 π 5π
13 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4. ĐS: + k2π, + k2π 6 6 π 1 π 14 2 sin x + − sin 2x − π = . ĐS:
+ k2π, − π + kπ 3 6 2 2 3 √ π π 15 2 sin 2x + = sin x + 3 cos x − 2.
ĐS: ± π + k2π, + k2π, k2π 4 3 2 2 − tan x 1 − tan x π 5π kπ 16 = √ . ĐS: + kπ, + kπ, − π + cos 5x − π 2 sin x 12 12 8 2 4 √ 2π π 17
3(sin 2x − 3 sin x) = 2 cos2 x + 3 cos x − 5. ĐS: + k2π, + k2π 3 3
BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau: 2 π 2π
1 cot x − tan x + 4 sin 2x = . ĐS: + kπ, + kπ sin 2x 3 3 cos 2x 1 π 2 cot x − 1 = + sin2 x − sin 2x. ĐS: + kπ 1 + tan x 2 4 BÀI 9.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT ® A = 0
TH1. Tổng các số không âm: A2 + B2 = 0 ⇔ B = 0 ® A ≤ M ® A = M
TH2. Đối lập: A = B mà chứng minh được ⇒ B ≥ M B = M. ® A ≤ M ® A = M
Hoặc: A + B = M + N mà chứng minh được ⇒ B ≤ N B = N.
TH3. Một số trường hợp đặc biệt
9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT 147 ® sin u = 1 ®sin u = −1 sin u ± sin v = 2 ⇔ sin u + sin v = −2 ⇔ sin v = ±1 sin v = −1 ® cos u = 1 ®cos u = −1 cos u ± cos v = 2 ⇔ cos u + cos v = −2 ⇔ cos v = ±1 cos v = −1 ®sin u = 1 ®sin u = −1 sin v = 1 sin v = 1 sin u · sin v = 1 ⇔ sin u. sin v = −1 ⇔ ®sin u = −1 ® sin u = 1 sin v = −1 sin v = −1 ®cos u = 1 ®cos u = −1 cos v = 1 cos v = 1 cos u. cos v = 1 ⇔ cos u. cos v = −1 ⇔ ®cos u = −1 ® cos u = 1 cos v = −1 cos v = −1 B VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Giải các phương trình lượng giác sau √ √ π
1 4 cos2 x + 3 tan2 x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0. ĐS: x =
+ kπ; x = − π + l2π. 6 6 √ π
2 4 cos2 x − 4 cos x + 3 tan2 x − 2 3 tan x + 2 = 0. ĐS: x =
+ k2π; x = − π + k2π; 3 3 π x = + lπ. 6 L Lời giải √ √
1 4 cos2 x + 3 tan2 x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0 (1). Điều kiện cos x 6= 0. Khi đó √ √ (1) ⇔ (2 cos x − 3)2 + ( 3 tan x − 1)2 = 0 √ "2 cos x − 3 = 0 ⇔ √3tanx = 1 π x = + kπ ⇔ 6
x = −π + l2π. 6 π Vậy x =
+ kπ; x = − π + l2π. 6 6 √
2 4 cos2 x − 4 cos x + 3 tan2 x − 2 3 tan x + 2 = 0 (2) Điều kiện cos x 6= 0. 148
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Khi đó √
(2) ⇔ (2 cos x − 1)2 + ( 3 tan x − 1)2 = 0 "2 cos x − 1 = 0 ⇔ √3tanx = 1 π x = + k2π 3 ⇔ x = − π + k2π 3 π x = + lπ. 6 π π Vậy x =
+ k2π; x = − π + k2π; x = + lπ. 3 3 6
VÍ DỤ 2. Giải các phương trình lượng giác sau 1 cos x cos 2x = 1. ĐS: x = lπ π 2 sin x sin 3x = −1. ĐS: x = + kπ 2 L Lời giải ® ®cos x = 1 x = k2π x = lπ cos 2x = 1
1 cos x cos 2x = 1 ⇔ ⇔ ⇔ x = lπ. ®cos x = −1 x = π + 2mπ π cos 2x = −1 x = + n π 2 π + x = k2π 2 ®sin x = 1 −π 2lπ π x = + x = + k2π sin 3x = −1 6 3 2
2 sin x sin 3x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = ®sin x = −1 −π −π x = + 2mπ x = + 2mπ sin 3x = 1 2 2 π n2π x = + 6 3 π + kπ. 2 π
VÍ DỤ 3. Giải các phương trình lượng giác sau: tan2 x + cot2 x = 2 sin5 x + . 4 L Lời giải Điều kiện sin 2x 6= 0. tan2 x + cot2 x ≥ 2 tan2 x + cot2 x = 2 Ta có π ⇔ π (1) 2 sin5 x + ≤ 2 2 sin5 x + = 2. 4 4
9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT 149
Theo bất đẳng thức Cauchy dấu “=” xảy ra khi: tan x = cot x. tan x = cot x π Khi đó (1) ⇔ π ⇔ x = + k2π. sin x + = 1 4 4
VÍ DỤ 4. Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm 1
1 cos (2x − 15◦) = 2m2 + m. ĐS: −1 ≤ m ≤ 2 2
2 m cos x + 1 = 3 cos x − 2m. ĐS: m ∈ −4; 3 −4
3 (4m − 1) sin x + 2 = m sin x − 3. ĐS: m ∈ −∞; ∪ [2; +∞) 3 L Lời giải
1 Để phương trình cos (2x − 15◦) = 2m2 + m có nghiệm thì ®2m2 + m ≥ −1 1 ⇔ −1 ≤ m ≤ . 2m2 + m ≤ 1 2
2 m cos x + 1 = 3 cos x − 2m (2)
Với m = 3 thì 1 trở thành 1 = −6 (vô lý). Suy ra m = 3 không thỏa yêu cầu đề bài. Với m 6= 3 −2m − 1 Khi đó (1) ⇔ cos x = (2). m − 3 −2m − 1 −3m + 2 ≤ 2 ≤ 1 0 m − m ∈ −∞; ∪ (3; +∞) Để m − 3 ( 3 2) có nghiệm thì ⇔ ⇔ 3 ⇔ −2m − 1 −m − 4 ≥ −1 ≥ 0 m ∈ [−4; 3) m − 3 m − 3 2 m ∈ −4; . 3
3 (4m − 1) sin x + 2 = m sin x − 3 (3) 1 Với m =
thì (3) trở thành 2 = −3 . (vô lý) 3 1 Suy ra m =
không thỏa yêu cầu đề bài. 3 1 −5 Với m 6= thì (3) ⇔ sin x = . (4) 3 3m − 1 Để (4) có nghiệm thì − 5 −3m − 4 −4 1 m ∈ −∞; ∪ ; ∞ ≤ 1 ≤ 0 3m − 1 3 3 −4 ⇔ 3m − 1 ⇔ ⇔ m ∈ −∞; ∪ [2; +∞) . −5 3m − 6 1 3 ≥ −1 ≥ 0 m ∈ −∞; ∪ [2; +∞) 3m − 1 3m − 1 3 150
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
VÍ DỤ 5. Cho phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0 3 −π
1 Giải phương trình khi m = . ĐS: x = + 2kπ 2 3 π 3π
2 Tìm tham số m để phương trình có nghiệm nằm trong khoảng ; . ĐS: 2 2 m ∈ [−1; 0) L Lời giải 3 3 1 Với m =
thì phương trình trở thành 2 cos2 x − 4 cos x + = 0. Ta có 2 2 3 2 cos2 x − 4 cos x + = 0 (1.1) 2 3 cos x = ⇔ 2 (1.2) 1 cos x = 2 1 ⇔ cos x = (1.3) 2 π x = + 2kπ ⇔ 3 (1.4) −π x = + 2kπ. 3
2 cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ⇔ 2cos2x − (2m + 1) cos x + m = 0. (1) π 3π Đặt t = cos x khi x ∈ ; thì t ∈ [−1; 0). 2 2
(1) trở thành 2t2 − (2m + 1)t + m = 0. (2) π 3π
Để phương trình (1) có nghiệm nằm trong khoảng ;
thì phương trình (2) có nghiệm 2 2
nằm trong khoảng t ∈ [−1; 0). 1 t =
Mà 2t2 − (2m + 1)t + m = 0 ⇔ (2t − 1)(t − m) = 0 ⇔ 2 t = m. Do đó m ∈ [−1; 0). C BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau √ π
1 2 sin2 x + 3 tan2 x − 6 tan x − 2 2 sin x + 4 = 0. ĐS: x = + k2π 4 −π
2 cos2 x tan2 4x + 1 + sin 2x = 0. ĐS: x = + lπ 4 Lời giải.
9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT 151 √
1 2 sin2 x + 3 tan2 x − 6 tan x − 2 2 sin x + 4 = 0 (1). Điều kiện cos x 6= 0. √ √ √ √ 2 sin x = π
Khi đó (1) ⇔ ( 2 sin x − 1)2 + ( 3 tan x − 3)2 = 0 ⇔ 2 ⇔ x = + k2π. 4 tan x = 1
2 cos2 x tan2 4x + 1 + sin 2x = 0 (1). Điều kiện cos 4x 6= 0. Khi đó
(1) ⇔ (cos x · tan 4x)2 + (sin x + cos x)2 = 0 ®cos x · tan 4x = 0 ⇔ cos x + sin x = 0 "cos x = 0 ⇔ sin 4x = 0 π sin x + = 0 4 π x = + k π 2 mπ ⇔ x = 4 − π x = + l π 4 − ⇔ π x = + lπ. 4
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau −π kπ 1 sin 2x cos 4x = 1. ĐS: x = + k2π 2 cos 2x cos 6x = 1. ĐS: x = 4 2 Lời giải. ®sin 2x = 1 cos 4x = 1 −π
1 sin 2x cos 4x = 1 ⇔ ⇔ x = + k2π. ®sin 2x = −1 4 cos 4x = −1 ®cos 2x = 1 cos 6x = 1 kπ
2 cos 2x cos 6x = 1 ⇔ ⇔ x = ®cos 2x = −1 2 cos 6x = −1
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau √ √ π 1 2 cos x +
2 sin 10x = 3 2 + 2 cos 28x sin x. ĐS: x = + kπ 4 π
2 2 sin 5x + cos 4x = 3 + cot2 x. ĐS: x = + k2π 2 152
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải. √ √ √ √ 1 2 cos x +
2 sin 10x = 3 2 + 2 cos 28x sin x ⇔ 2 cos x − 2 sin x cos 28x = 3 2 − 2 sin 10x.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakowski cho vế trái ta được. √
(2 cos x − 2 sin x cos 28x)2 ≤ 4 + 4 cos2 28x ≤ 8 ⇒ 2 cos x − 2 sin x cos 28x ≤ 2 2 (1) √ √ √ √ √ Mặt khác 3 2 − 2 sin 10x ≥ 3 2 − 2 = 2 2 (2). ® cos2 28x = 1 π
Từ (1) và (2) Dấu “=”xảy ra khi ⇔ x = + kπ, k ∈ Z. sin x cos 28x = − sin x 4
2 2 sin 5x + cos 4x = 3 + cot2 x ®2 sin 5x ≤ 2 Ta có . cos 4x ≤ 1 + cot2 x Do đó 2 sin 5x + cos 4x = 3 + cot2 x ® sin 5x = 1 ⇔ cos 4x = 1 + cot2 x π k2π x = + (1) ⇔ 10 5 1 cos 4x = (2) sin2 x (2) ⇔ sin2 x cos 4x = 1 ⇔ (1 − cos 2x) cos 4x = 2
⇔ (1 − cos 2x) 2 cos2 2x − 1 = 2
⇔ 2 cos2 2x − 1 − 2 cos3 2x + cos 2x − 2 = 0
⇔ −2 cos3 2x + 2 cos2 2x + cos 2x − 3 = 0 3
⇔ −2(cos 2x + 1) cos2 2x − 2 cos 2x + = 0 2 ⇔ cos 2x = −1 ⇔ π x = + kπ (3) 2 π
Từ (1) và (3) ta được x = + k2π, k ∈ Z. 2
BÀI 4. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm √ √ 1
m2 + m cos 2x = m2 − m − 3 + m2 cos 2x.
ĐS: m ∈ [− 3; −1] ∪ [ 3; 3]
2 m sin x + 2 cos x = 1. ĐS: m ∈ R
3 m cos 2x + (m + 1) sin 2x = m + 2.
ĐS: m ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞) Lời giải.
9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT 153 1
m2 + m cos 2x = m2 − m − 3 + m2 cos 2x ⇔ m cos 2x = m2 − m − 3.
Xét m = 0 khi đó ta được 0 = 3 (vô lý). m2 − m − 3 Xét m 6= 0 ⇔ cos 2x = . mm2 − m − 3
Vì −1 ≤ cos 2x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ ≤ 1. m m2 − m − 3 ≥ −1 (1) Xét m m2 − m − 3 ≤ 1 (2) m m2 − 3 √ √ (1) ⇔
≥ 0 ⇔ m ∈ [− 3; 0) ∪ [ 3; +∞). m m2 − 2m − 3 (2) ⇔
≤ 0 ⇔ m ∈ (−∞; −1] ∪ (0; 3]. m √ √
Vậy m ∈ [− 3; −1] ∪ [ 3; 3]. m 2 1
2 m sin x + 2 cos x = 1 ⇔ √ sin x + √ cos x = √ . m2 + 4 m2 + 4 m2 + 4 m 2 Đặt cos a = √ ⇒ sin a = √ . m2 + 4 m2 + 4 Ta được 1
cos a · sin x + sin a · cos x = √m2 + 11 1 ⇔ sin(x + a) = √m2 + 11 1 x = −a + arcsin √ + k2π ⇔ m2 + 11 1
x = −a + π − arcsin √ + k2π. m2 + 11
Vậy phương trình có nghiệm ∀m ∈ R 154
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3 m cos 2x + (m + 1) sin 2x = m + 2 (1) Điều kiện 2 2 m2 + m2 + 1 ≥ m2 + 2 ⇔ m2 − 2m − 3 ≥ 0
⇔ m ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞). m m + 1 m + 2 Khi đó (1) ⇔ cos 2x + sin 2x = . pm2 + (m + 1)2 pm2 + (m + 1)2 pm2 + (m + 1)2 m m + 1 Đặt sin a = ⇒ cos a = . pm2 + (m + 1)2 pm2 + (m + 1)2 Ta được m + 2
sin a cos 2x + cos a sin 2x = pm2 + (m + 1)2 m + 2
⇔ sin(a + 2x) = pm2 + (m + 1)2 m + 2 a + 2x = arcsin + k2π p m2 + (m + 1)2 ⇔ m + 2
a + 2x = π − arcsin + k2π. pm2 + (m + 1)2
Vậy m ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞) thì phương trình có nghiệm.
BÀI 5. Cho phương trình cos 4x + 6 sin x cos x = m kπ
1 Giải phương trình khi m = 1. ĐS: x = 2 h π i 17
2 Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn 0; .ĐS: 2 ≤ m < 4 8 Lời giải. 1 Khi m = 1 ta được cos 4x + 6 sin x cos x = 1
⇔ 1 − 2 sin2 2x + 3 sin 2x − 1 = 0
⇔ −2 sin2 2x + 3 sin 2x = 0 sin 2x = 0 ⇔ 3 sin 2x = 2 k ⇔ π x = . 2
9. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT 155
2 Đặt f (x) = −2 sin2 2x + 3 sin 2x + 1 và g(x) = m. h π i
Xét f (x) = −2 sin2 2x + 3 sin 2x + 1 trên 0; . 4 Suy ra 0 ≤ sin 2x ≤ 1.
Đặt a = sin 2x ⇒ 0 ≤ a ≤ 1.
Xét f (a) = −2a2 + 3a + 1 trên [0; 1]. Bảng biến thiên 3 a 0 1 4 17 f (a) 8 1 2 17
Vậy f (x) = g(x) có hai nghiệm phân biệt khi 2 ≤ m < . 8 D BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau π 5π
1 4 sin2 x + sin2 3x = 4 sin x sin2 3x.
ĐS: x = kπ; x = + k2π; x = + k2π 6 6 1 3π 2 sin2 2x + 2 sin 2x + + 2 tan x + 1 = 0. ĐS: x = + kπ cos2 x 4 √ 5 3 − π
4 cos2 x + 3 tan2 x + 2 3 tan x = 4 sin x − 6. ĐS: x = + k2π 6 √ 2π 3π 4 8 cos 4x cos2 2x + 1 − cos 3x + 1 = 0. ĐS: x = + k2π; x = + k2π 3 3 sin2 3x 5 sin2 x +
cos 3x sin3 x + sin 3x cos3 x = sin x sin2 3x. ĐS: 3 sin 4x π 5π x = + k2π; x = + k2π 6 6
BÀI 7. Giải các phương trình lượng giác sau π 1
cos2 x − sin2 x sin 5x + 1 = 0. ĐS: x = + k2π 2
2 (cos x + sin x)(sin 2x − cos 2x) + 2 = 0. ĐS: x = ∅ 3 sin 7x − sin x = 2. ĐS: x = ∅ π
4 cos 4x − cos 6x = 2. ĐS: x = + kπ 2 π 5 sin3 x + cos3 x = 1.
ĐS: x = k2π; x = + k2π 2 π
6 sin5 x − cos3 x = 1.
ĐS: x = π + k2π; x = + k2π 2
BÀI 8. Giải các phương trình lượng giác sau 156
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC −1 1 tan 2x + tan 3x = . ĐS: x ∈ ∅ sin x cos 2x cos 3x π
2 (cos 2x − cos 4x)2 = 6 + 2 sin 3x. ĐS: x = + k2π 2 π
3 sin4 x − cos4 x = | sin x| + | cos x|. ĐS: x = + kπ 2 kπ
4 cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0. ĐS: x = 2 3x 5 cos 2x + cos − 2 = 0. ĐS: x = k2π 4
6 cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2. ĐS: x = kπ
BÀI 9. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm 4
1 m sin x cos x + sin2 x = m. ĐS: 0 ≤ m ≤ 3 √ 5 2 sin x − 5 cos x + 1 = m(2 + sin x). ĐS: −1 ≤ m ≤ 3
3 sin 2x + 4(cos x − sin x) = m. ĐS: −1 ≤ m ≤ 5
4 2(sin x + cos x) + sin 2x + m = 1. ĐS: −1 ≤ m ≤ 3 √
5 sin 2x − 2 2m(sin x − cos x) + 1 = 4m. ĐS: −1 ≤ m ≤ 0
6 3 sin2 x + m sin 2x − 4 cos2 x = 0. ĐS: m ∈ R √ √
7 (m + 2) cos2 x + m sin 2x + (m + 1) sin2 x = m − 2.
ĐS: m ∈ (−∞; −2 3) ∪ (2 3; +∞)
8 sin2 x + (2m − 2) sin x cos x − (1 + m) cos2 x = m. ĐS: −2 ≤ m ≤ 1 h π i
BÀI 10. Tìm tham số m để phương trình cos2 x − cos x + 1 = m có nghiệm ∀x ∈ 0; . ĐS: 2 3 ≤ m ≤ 1 4 h π i
BÀI 11. Tìm tham số m để phương trình 2 sin x + m cos x = 1 − m có nghiệm ∀x ∈ − π ; .ĐS: 2 2 −1 ≤ m ≤ 3
BÀI 12. Tìm tham số m để phương trình 2 cos 2x + (m + 4) sin x = m + 2 có 2 nghiệm ∀x ∈ h i − π π ; . ĐS: −4 ≤ m ≤ 4 2 2 BÀI 10.
BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I
BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau cos 3x + sin 3x π 5π 1 5 sin x +
= cos 2x + 3, ∀x ∈ (0; 2π) ĐS: x = , x = 1 + 2 sin 2x 3 3 kπ kπ
2 sin2 3x − cos2 4x = sin2 6x − cos2 6x ĐS: x = , x = , k ∈ Z 9 2 π 3π 5π 7π
3 cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0, ∀x ∈ [0; 14] ĐS: x = , x = , x = , x = 2 2 2 2
10. BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 157
BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau cos 2x 1 π 1 cot x − 1 = + sin2 x − sin 2x ĐS: x = + kπ, k ∈ Z 1 + tan x 2 4 2
2 cot x − tan x + 4 sin 2x =
ĐS: x = ± π + kπ, k ∈ Z sin 2x 3 x x 3 sin2 − π tan2 x − cos2 = 0
ĐS: x = π + k2π, x = − π + kπ, k ∈ Z 2 4 2 4
BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau π 5π
1 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x ĐS: x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z 6 6
2 (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x
ĐS: x = ± π + k2π, x = − π + kπ, k ∈ Z 3 4
BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau kπ
1 cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0 ĐS: x = , k ∈ Z 2 2π
2 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0
ĐS: x = − π + kπ, x = ± + k2π, k ∈ Z 4 3 3 5π
3 cos4 x + sin4 x + cos x − π sin 3x − π − = 0 ĐS: x = + k2π, k ∈ Z 4 4 2 4
BÀI 5. Giải các phương trình lượng giác sau
2 cos6 x + sin6 x − sin x cos x 1 √ π = 0 ĐS: x = + kπ, k ∈ Z 2 − 2 sin x 4 x π 5π
2 cot x + sin x 1 + tan x tan = 4 ĐS: x = + kπ, x = + kπ, k ∈ Z 2 12 12 2π
3 cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0
ĐS: x = kπ, x = ± + k2π, k ∈ Z 3
BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau 1
1 + sin2 x cos x + 1 + cos2 x sin x = 1 + sin 2x ĐS: π
x = − π + kπ, x =
+ k2π, x = k2π, k ∈ Z 4 2 π kπ π k2π 5π k2π
2 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x ĐS: x = + , x = + , x = + , k ∈ Z 8 4 18 3 18 3 x x 2 √ π 3 sin + cos + 3 cos x = 2 ĐS: x =
+ k2π, x = − π + k2π, k ∈ Z 2 2 2 6
BÀI 7. Giải các phương trình lượng giác sau 1 1 7 π 1 + = 4 sin − x ĐS: sin x 3 π 4 sin x − 2 5π
x = − π + kπ, x = − π + kπ, x = + kπ, k ∈ Z 4 8 8 √ √ π kπ 2 sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x ĐS: x = +
, x = − π + kπ, k ∈ Z 4 2 3 2π π
3 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x ĐS: x = ± + k2π, x = + kπ, k ∈ Z 3 4 158
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 8. Giải các phương trình lượng giác sau (1 − 2 sin x) cos x √ k2π 1 = 3
ĐS: x = − π + , k ∈ Z (1 + 2 sin x)(1 − sin x) 18 3 √
2 sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3 x ĐS: π k2π
x = − π + k2π, x = + , k ∈ Z 6 42 7 √ π kπ kπ 3
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 ĐS: x = + , x = − π + , k ∈ Z 18 3 6 2
BÀI 9. Giải các phương trình sau π (1 + sin x + cos 2x) sin x + 1 7π 1 4 = √ cos x
ĐS: x = − π + k2π; x = + k2π, k ∈ Z 1 + tan x 2 6 6 π
2 (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0 ĐS: x = + kπ, k ∈ Z 4 π 5π
3 sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0 ĐS: x = + k2π; x = + k2π, k ∈ Z 6 6 Lời giải.
1 Điều kiện cos x 6= 0 và tan x 6= −1. Phương trình tương đương với 1 1 (1 + sin x + cos 2x) √ sin x + √ cos x 2 2 1 = √ cos x sin x + cos x 2 cos x ⇔ 1 + sin x + cos 2x = 1
⇔ 2 sin2 x − sin x − 1 = 0
sin x = 1(không thoả điều kiện) ⇔ 1
sin x = − (thoả điều kiện) 2
x = −π + k2π ⇔ 6 , k ∈ Z. 7π x = + k2π 6
2 Phương trình tương đương với
sin 2x cos x − sin x + cos 2x cos x + 2 cos 2x = 0
⇔ sin x(2 cos2 x − 1) + cos 2x(cos x + 2) = 0
⇔ cos 2x(sin x + cos x + 2) = 0
" sin x + cos x + 2 = 0 (vô nghiệm) ⇔ cos 2x = 0 ⇔ π x = + kπ, k ∈ Z. 4
10. BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 159
3 Phương trình tương đương với
2 sin x cos x − cos x − 1 − 2 sin2 x + 3 sin x − 1 = 0
⇔ cos x(2 sin x − 1) + 2 sin2 x + 3 sin x − 2 = 0
⇔ cos x(2 sin x − 1) + (2 sin x − 1)(sin x + 2) = 0
⇔ (2 sin x − 1)(cos x + sin x + 2) = 0 1 sin x = ⇔ 2
cos x + sin x + 2 = 0 (vô nghiệm) π x = + k2π ⇔ 6 , k ∈ Z. 5π x = + k2π 6
BÀI 10. Giải các phương trình sau 1 + sin 2x + cos 2x √ π π 1 = 2 sin x sin 2x ĐS: x = + kπ, x = + k2π, k ∈ Z 1 + cot2 x 2 4
2 sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x ĐS: π π k2π x =
+ k2π, x = −π + k2π, x = + , k ∈ Z 2 3 3
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 π 3 √ = 0 ĐS: x = + k2π, k ∈ Z tan x + 3 3 Lời giải.
1 Điều kiện sin x 6= 0. Phương trình tương đương với 1 + sin 2x + cos 2x √ = 2 2 cos x sin2 x 1 sin2 x √
⇔ 1 + cos 2x + sin 2x − 2 2 cos x = 0 √
⇔ 2 cos2 x + 2 sin x cos x − 2 2 cos x = 0 √ ⇔ 2 cos x(cos x + sin x − 2) = 0 cos x = 0 ⇔ π sin x x + = 1 4 π x =
+ kπ (thoả điều kiện) ⇔ 2 , k ∈ Z. π x =
+ k2π (thoả điều kiện) 4 160
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2 Phương trình tương đương với
2 sin x cos2 x + sin x cos x − sin x = cos 2x + cos x
⇔ sin x(2 cos2 x − 1 + cos x) − (cos 2x + cos x) = 0
⇔ (cos 2x + cos x)(sin x − 1) = 0 " cos 2x = − cos x ⇔ sin x = 1
cos 2x = cos(π − x) ⇔ π x = + k2π 2 x = −π + k2π π k2π ⇔ x = + 3 3 , k ∈ Z. π x = + k2π 2 √
3 Điều kiện cos x 6= 0 và tan x 6= −
3. Phương trình tương đương với
2 cos x(sin x + 1) + (sin x + 1) = 0
⇔ (sin x + 1)(2 cos x + 1) = 0
sin x = −1 (không thoả điều kiện) ⇔ 1 cos x = − 2 π x = + k2π ⇔ 3
x = −π + k2π (không thoả điều kiện) 3 ⇔ π x = + k2π, k ∈ Z. 3
BÀI 11. Giải các phương trình sau √ π 2π 1
3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1 ĐS: + kπ, k2π, + k2π 2 3 √ √ 2π 2π 2 2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1 ĐS: + k2π, k 3 3 √ π kπ 7π
3 sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = 2 cos 2x ĐS: + ,
+ k2π, − π + k2π 4 2 12 12 Lời giải.
10. BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 161
1 Phương trình đã cho tương đương với √
( 3 sin x + cos x − 1) cos x = 0 " cos x = 0 ⇔ √3sinx + cosx − 1 = 0 π x = + kπ 2 ⇔ x = k2π , k ∈ Z. 2π x = + k2π 3 π 2π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =
+ kπ, x = k2π, x = + k2π(k ∈ Z). 2 3
2 Phương trình đã cho tương đương với √ √ cos 2x + 3 sin 2x = cos x − 3 sin x ⇔ π cos 2x − π = cos x + 3 3 ⇔ π 2x − π = ± x + + k2π(k ∈ Z) 3 3 2π x = + k2π ⇔ 3 (k ∈ Z). 2π x = k 3 2π 2π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + k2π, x = k (k ∈ Z). 3 3
3 Phương trình đã cho tương đương với √ (2 sin x + 2 cos x − 2) cos 2x = 0 " cos 2x = 0 ⇔ √ 2 sin x + 2 cos x − 2 = 0 π kπ x = + ⇔ 4 2 1 cos x − π = 4 2 π kπ x = + 4 2 ⇔ 7 π x = + k2 (k ∈ Z). π 12
x = − π + k2π 12 π kπ 7π
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là x = + , x =
+ k2π, x = − π + 4 2 12 12 k2π(k ∈ Z).
BÀI 12. Giải các phương trình lượng giác sau √ π
1 1 + tan x = 2 2 sin x +
ĐS: − π + kπ, ± π + k2π 4 4 3 162
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2π 2π 2 sin 5x + 2 cos2 x = 1 ĐS: − π + k , − π + k 6 3 14 7 π π 7π
3 sin 3x + cos 2x − sin x = 0 ĐS:
+ k , − π + k2π, x = + k2π 4 2 6 6 Lời giải.
1 Điều kiện cos x 6= 0. Phương trình đã cho tương đương với sin x 1 + = 2(sin x + cos x) cos x
⇔ (sin x + cos x)(2 cos x − 1) = 0 " sin x + cos x = 0 ⇔ 2 cos x − 1 = 0 x = − π + kπ ⇔ 4 (k ∈ Z) .
x = ±π + k2π 3
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm x = − π + kπ, x = ± π + k2π(k ∈ Z). 4 3
2 Phương trình đã cho tương đương với sin 5x + cos 2x = 0 ⇔ π cos 5x + = cos 2x 2 2π x = − π + k ⇔ 6 3 (k ∈ Z) . 2π x = − π + k 14 7 2π 2π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = − π + k , x = − π + k (k ∈ Z). 6 3 14 7
3 Phương trình đã cho tương đương với 2 cos 2x sin x + cos 2x = 0 ⇔ cos 2x(2 sin x + 1) = 0 " cos 2x = 0 ⇔ 2 sin x + 1 = 0 π π x = + k 4 2
⇔ x = − π + k2π (k ∈ Z) . 6 7π x = + k2π 6 π π 7π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =
+ k , x = − π + k2π, x = + k2π(k ∈ Z). 4 2 6 6
BÀI 13. Giải phương trình lượng giác sau:
10. BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 163
1 sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x
ĐS: ± π + k2π 3 √ 3π 2
2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x ĐS: ± + k2π 4 Lời giải.
1 Phương trình đã cho tương đương với
sin x + 4 cos x = 2 + 2 sin x cos x
⇔ (sin x − 2)(2 cos x − 1) = 0
" sin x − 2 = 0 (vô nghiệm) ⇔ 2 cos x − 1 = 0
⇔ x = ± π + k2π (k ∈ Z). 3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ± π + k2π(k ∈ Z). 3
2 Phương trình đã cho tương đương với √ √ 2 sin x cos x − 2 2 cos x + 2 sin x − 2 = 0 √ √ ⇔ (sin x − 2)(2 cos x + 2) = 0 √
" sin x − 2 = 0 (vô nghiệm) ⇔ √ 2 cos x + 2 = 0 3 ⇔ π x = ± + k2π(k ∈ Z). 4 3π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ± + k2π(k ∈ Z). 4 π 5π
BÀI 14. Giải phương trình lượng giác 2 sin2 x + 7 sin x − 4 = 0. ĐS: + k2π, + k2π 6 6 Lời giải. π sin x = −4 sin x = −4 vô nghiệm x = + k2π 6
Ta có 2 sin2 x + 7 sin x − 4 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ( 1 1 k ∈ sin x = sin x = 5π 2 2 x = + k2π 6 Z). π 5π
Vậy nghiệm của phương trình x = + k2π, x =
+ k2π, (k ∈ Z). 6 6
BÀI 15. Giải các phương trình lượng giác sau π π π kπ
1 cos x cos 3x − sin 2x sin 6x − sin 4x sin 6x = 0 ĐS: + kπ, + k , ± π + 2 6 3 18 3 1 π π π
2 cos x cos 2x cos 3x − sin x sin 2x sin 3x =
ĐS: − π + k ,
+ k , − π + kπ 2 8 2 12 6 4 π π
3 cot x + cos 2x + sin x = sin 2x cot x + cos x cot x ĐS: + kπ, + k2π 4 2
4 4 + 3 sin x + sin3 x = 3 cos2 x + cos6 x
ĐS: − π + k2π, kπ 2 164
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
5 2 sin3 x + cos 2x + cos x = 0
ĐS: − π + kπ, π + k2π 4
6 2 cos x cos 2x cos 3x + 5 = 7 cos 2x. ĐS: x = kπ π kπ π kπ
7 sin2 x(4 cos2 x − 1) = cos x(sin x + cos x − sin 3x). ĐS: x = + ; x = + 8 2 4 2 √ 2π 8 cos x +
3(sin 2x + sin x) − 4 cos 2x cos x − 2 cos2 x + 2 = 0. ĐS: x = ± + k2π; 3 π k2π x =
+ k2π; x = − π + 3 9 3 √ (sin x + cos x)2 − 2 sin2 x 2 h π π i 3π kπ 9 = sin − x − sin − 3x . ĐS: x = + ; 1 + cot2 x 2 4 4 8 2 π x = + k2π 2 1 1 15 cos 4x 10 + = .
ĐS: x = ± π + k2π 2 cot2 x + 1 2 tan2 x + 1 8 + sin2 2x 12 √ 2 sin x − π √ 4 11 + cos 3x = 2 sin 2x − π − 1.
ĐS: x = − π + k2π; x = π + k2π tan x − 1 4 2 3 π π 12 3 sin2 x cos + x − sin2
+ x cos x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x. ĐS: 2 2
x = − π + kπ; x = ± π + kπ 4 6
(2 sin x + 1)(cos 2x + sin x) − 2 sin 3x + 6 sin x + 1 √ 7 13 √ π + 2 cos x + 3 = 0. ĐS: x = + k2π 2 cos x − 3 6 … 3 … 3 1 2π 14 + cos2 x + − cos 2x = 2.
ĐS: x = ± π + k2π; x = ± + k2π 4 4 2 3 3 π π
15 (tan x + 1) sin2 x + cos 2x + 2 = 3(cos x + sin x) sin x. ĐS: x = + kπ; x = + kπ; 4 3 2π x = + kπ 3
16 sin3 x − cos3 x + 3 sin2 x + 4 sin x − cos x + 2 = 0.
ĐS: k2π; x = − π + k2π 2 √ √ 5π 17 sin 2x − 3 cos 2x + 3(sin x − 3) = 7 cos x. ĐS: x = ± + k2π 6 √ √ π kπ
18 8(sin6 x + cos6 x) − 3 3 cos 2x = 11 − 3 3 sin 4x − 9 sin 2x. ĐS: x = + ; 12 2 π 7π x = + kπ; x = − + kπ 4 12
10. BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 165 sin 5x 2 sin 3x 2 cos 3x 19 + + = 5.
ĐS: x = ± π + k2π sin x sin x cos x 6 π
20 2 cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = 2(sin x + cos x).
ĐS: x = − π + kπ; x = + k2π; 4 2 x = −π + k2π π
21 sin x + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x. ĐS: x = + kπ; 4 3π x = ± + k2π 4 sin3 x cos3 x 7π 22 1 + + = cos 2x + 2 cos x.
ĐS: x = − π + k2π; x = + k2π; 1 + cos x 1 + sin x 6 6 5π
x = − π + k2π; x = + k2π 4 4 √ π kπ
23 (2 cos 2x − 1) cos x − sin x = 2(sin x + cos x) sin 3x.
ĐS: x = − π + kπ; x = + ; 4 16 2 3π x = + kπ 8 Lời giải.
1 Phương trình đã cho tương đương với
cos x · cos 3x − sin 2x · sin 6x − sin 4x sin 6x = 0
⇔ cos x · cos 3x − (sin 2x + sin 4x) sin 6x = 0
⇔ cos x · cos 3x − 2 sin 3x · cos x · 2 sin 3x · cos 3x = 0
⇔ cos x · cos 3x · (2 cos 6x − 1) = 0 π x = + kπ 2 π π ⇔ x = + k (k ∈ Z). 6 3 kπ x = ± π + 18 3 π π π kπ
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = + kπ, x = + k , x = ± π + (k ∈ Z). 2 6 3 18 3
2 Phương trình đã cho tương đương với
cos 2x [cos 4x + cos 2x − cos 2x] + sin 2x [cos 4x − cos 2x − sin 2x] = 0 h i
⇔ [cos 2x + sin 2x] · cos2 2x − sin2 2x − sin 2x = 0
⇔ [cos 2x + sin 2x] · [cos 4x − sin 2x] = 0 π x = − π + k 8 2 π π ⇔ x = + k (k ∈ Z). 12 6 x = − π + kπ 4 π π π
Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + k , x =
+ k , x = − π + kπ, (k ∈ Z) 8 2 12 6 4 166
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3 Điều kiện xác định sin x 6= 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với
cot x + cos 2x + sin x = sin 2x · cot x + cos x · cot x
⇔ cot x + cos 2x + sin x = 2 cos2 x + cos x · cot x
⇔ cos x(1 − cos x) + sin x(sin x − 1) = 0
⇔ (cos x − sin x)(1 − sin x − cos x) = 0 π x = + kπ 4
⇔ x = k2π (loại) (k ∈ Z). π x = + k2π 2 π π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ, x =
+ k2π (k ∈ Z). 4 2
4 Phương trình đã cho tương đương với
4 + 3 sin x + sin3 x = 3 cos2 x + cos6 x h i
⇔ (sin x + 1) sin2 x + 2 sin x + 1 − (1 − sinx)(3 + cos4 x) ) = 0
⇔ (sin x + 1)3 h1 − (1 − sin x)3i = 0
x = − π + k2π ⇔ 2 ( k ∈ Z). x = kπ
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = − π + k2π, x = kπ, (k ∈ Z). 2
5 Phương trình đã cho tương đương với
2 sin3 x + 1 − 2 sin2 x + cos x = 0
⇔ 2 sin2 x(sin x − 1) + 1 + cos x = 0
⇔ (1 + cos x)[2(1 − cos x)(sin x − 1) + 1] = 0
⇔ (1 + cos x)(sin x + cos x) [2 − (sin x + cos x)] = 0 x = − π + kπ ⇔ 4 ( k ∈ Z). x = π + k2π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = − π + kπ, x = π + k2π, (k ∈ Z). 4
6 Phương trình đã cho tương đương với
cos 2x(cos 4x + cos 2x) + 5 − 7 cos 2x = 0
⇔ cos 2x(2 cos2 2x + cos 2x − 1) + 5 − 7 cos 2x = 0
⇔ 2 cos3 2x + cos2 2x − 8 cos 2x + 5 = 0
⇔ (2 cos 2x + 5)(cos 2x − 1)2 = 0 " 5 2 cos 2x + 5 = 0 cos 2x = − (vô nghiệm) ⇔ ⇔ 2 cos 2x − 1 = 0 cos 2x = 1
⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ Z).
Vậy phương trình có nghiệm x = kπ (k ∈ Z).
10. BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG I 167
7 Phương trình đã cho tương đương với
4 sin2 x cos2 x − sin2 x = cos x [2 cos 2x sin(−x) + cos x]
⇔ sin2 2x − sin2 x = cos2 x − sin 2x cos 2x 1 1 − cos 4x ⇔ sin 4x + − 1 = 0 2 2 ⇔ sin 4x − cos 4x = 1 √ ⇔ 2 sin 4x − π = 1 4 π k 4x − π = + k2 π π π x = + ⇔ 4 4 8 2 ⇔ (k ∈ Z). 3π k 4x − π = + k2 π π π x = + 4 4 4 2 π kπ π kπ
Vậy phương trình có nghiệm là x = + và x = + (k ∈ Z). 8 2 4 2
8 Phương trình đã cho tương đương với
√3sinx(2cosx + 1) − 4(2cos2 x − 1)cosx − 2cos2 x + cosx + 2 = 0 √ ⇔
3 sin x(2 cos x + 1) − 8 cos3 x − 2 cos2 x + 5 cos x + 2 = 0 √ ⇔
3 sin x(2 cos x + 1) − (2 cos x + 1)(4 cos2 x − cos x − 2) = 0 √
⇔ (2 cos x + 1)( 3 sin x + 4 cos2 x − cos x − 2) = 0 "2 cos x + 1 = 0 ⇔
√3sinx + 4cos2 x − cosx − 2 = 0 "2 cos x + 1 = 0 ⇔
√3sinx − cosx + 2(2cos2 x − 1) = 0 "2 cos x + 1 = 0 ⇔ √ cos x − 3 sin x = 2 cos 2x 1 cos x = − ⇔ 2 π cos x + = cos 2x 3 2π x = ± + k2π 3 π ⇔ x = + k2π (k ∈ Z). 3 k2π x = − π + 9 3 2π π k2π
Vậy phương trình có nghiệm là x = ± + k2π; x =
+ k2π; x = − π + (k ∈ Z). 3 3 9 3
9 Điều kiện xác định : sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ (k ∈ Z). 168
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Với điều kiện xác định, phương trình đã cho tương đương với cos2 x − sin2 x + sin 2x √ π = 2 cos − 2x sin x sin2 x + cos2 x 4 sin2 x √ ⇔ (cos 2x + sin 2x) sin2 x = 2 cos 2x − π sin x 4
⇔ cos 2x − π sin2 x = cos 2x − π sin x 4 4
⇔ cos 2x − π (sin2 x − sin x) = 0 4 cos 2x − π = 0 3π kπ 4 x = + ⇔ 8 2 sin x = 0 (loại) ⇔ (k ∈ Z). π x = + k2 sin x = 1 π 2
Ta thấy 2 nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện xác định. 3π kπ π
Vậy phương trình có nghiệm là x = + ; x =
+ k2π (k ∈ Z). 8 2 2 ® sin x 6= 0 kπ
10 Điều kiện xác định : ⇔ sin 2x 6= 0 ⇔ x 6= (k ∈ Z). cos x 6= 0 2
Với điều kiện xác định, phương trình đã cho tương đương với sin2 x cos2 x 15(1 − 2 sin2 2x) + = sin2 x + 2 cos2 x cos2 x + 2 sin2 x 8 + sin2 2x
2 sin2 x cos2 x + 2(sin4 x + cos4 x) 15 − 30 sin2 2x ⇔ =
2(sin4 x + cos4 x) + 5 sin2 x cos2 x 8 + sin2 2x
2(sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x 15 − 30 sin2 2x ⇔ =
2(sin2 x + cos2 x)2 + sin2 x cos2 x 8 + sin2 2x sin2 2x 2 − 15 − 30 sin2 2x ⇔ 2 = sin2 2x 8 + sin2 2x 2 + 4
⇔ 28 sin4 2x + 217 sin2 2x − 56 = 0 1 sin2 2x = 1 ⇔ ⇔ ⇔ + 4 cos 4x = x = ± π k2π(k ∈ Z). 2 12 sin2 2x = −8 (vô nghiệm)
Ta thấy 2 nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình có nghiệm là x = ± π + k2π (k ∈ Z). 12